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Secuencia de pasos para resolver actividad de la página 222 de MATEMATICA de 4to GRADO de Manuel Coveñas Naquiche, desarrollado en el software DERIVE 6.1. PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS POLÍGONOS Fórmula para hallar el número de diagonales de un polígono #1:

n·(n - 3) ND(n) ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2

#2:

Angle ≔ Degree

Fórmula para hallar un ángulo exterior de un polígono #3:

360° AE(n) ≔ ⎯⎯⎯⎯ n

Fórmula para hallar un ángulo interno de un polígono #4:

180°·(n - 2) AI(n) ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ n

Fórmula para hallar un ángulo central de un polígono #5:

360° AC(n) ≔ ⎯⎯⎯⎯ n

Fórmula para hallar la suma de los ángulos interiores de un polígono #6:

SAI(n) ≔ 180°·(n - 2)

Fórmula para hallar la suma de los ángulos exteriores de un polígono #7:

SAE(n) ≔ 360°

Fórmula para hallar el número de diagonales que se trazan de "k" vértices consecutivos en un polígono de "n" lados #8:

(k + 1)·(k + 2) NDP(n, k) ≔ n·k - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 2

PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO SOBRE POLIGONOS PROBLEMA N°1.¿Cuántas diagonales tiene un endecácogono? #9: #10:

ND(11) 44

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PROBLEMA N°2. ¿Cuánto mide uno de los ángulos exteriores de un dodecágono regular? #11:

AE(12)

#12:

30°

PROBLEMA N°3. Encontrar el número de lados de un polígono, si su número de diagonales es igual a siete veces su número de lados #13:

ND(n) = 7·n n·(n - 3) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 7·n 2

#14:

#15:

⎛ n·(n - 3) ⎞ SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 7·n, n⎟ ⎝ 2 ⎠

#16:

n = 17 ∨ n = 0

PROBLEMA N°4. ¿En qué polígono regular, la medida de uno de sus ángulos interiores es igual al triple de uno de sus ángulos exteriores? #17:

AI(n) = 3·AE(n) (n - 2)·180° 1080° ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯ n n

#18:

#19:

⎛ (n - 2)·180° 1080° ⎞ SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯, n⎟ ⎝ n n ⎠

#20:

n = 8

PROBLEMA N°5. Encontrar la medida de uno de los ángulos exteriores de un nonágono equiángulo? #21:

AE(9)

#22:

40°

PROBLEMA N°6. El ángulo central de un polígono regular mide 72°, encontrar su número de diagonales #23: #24:

AC(n) = 72° 360° ⎯⎯⎯⎯ = 72° n

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#25:

⎛ 360° ⎞ SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯ = 72°, n⎟ ⎝ n ⎠

#26:

n = 5

PROBLEMA N°7. Hallar el número de lados de un polígono, si la suma de las medidas de sus ángulos interiores es igual a seis veces la suma de las medidas de sus ángulos exteriores #27:

SAI(n) = 6·SAE(n)

#28: #29:

(n - 2)·180° = 2160° SOLVE((n - 2)·180° = 2160°, n)

#30:

n = 14

PROBLEMA N°8. El número de diagonales de un polígono, más el número de vértices, más el número de ángulos interiores es igual a nueve veces el número de lados. Hallar el número de lados. #31:

ND(n) + n + n = 9·n n·(n + 1) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 9·n 2

#32:

#33:

⎛ n·(n + 1) ⎞ SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 9·n, n⎟ ⎝ 2 ⎠

#34:

n = 17 ∨ n = 0

PROBLEMA N°9. Tres ángulos interiores de un heptágono convexo miden 110°, 130° y 100°; los otros cuatro ángulos interiores son congruentes. Hallar la medida de uno de estos cuatro ángulos interiores. #35:

SAI(7)

#36: #37: #38: #39: #40:

900° 110° + 130° + 100° + x + x + x + x = 900° 4·x + 340° = 900° SOLVE(4·x + 340° = 900°, x) x = 140°

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PROBLEMA N°10. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo ángulo interior mide 144°? #41:

AI(n) = 144° (n - 2)·180° ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 144° n

#42:

#43:

⎛ (n - 2)·180° ⎞ SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 144°, n⎟ ⎝ n ⎠

#44:

n = 10

PROBLEMA N°11. El número de diagonales de un polígono es 275. Encontrar su número de lados. #45:

ND(n) = 275 n·(n - 3) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 275 2

#46:

#47:

⎛ n·(n - 3) ⎞ SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 275, n⎟ ⎝ 2 ⎠

#48:

n = 25 ∨ n = -22

PROBLEMA N°12. La suma de las medidas de los ángulos interiores, más la suma de las medidas de los ángulos exteriores de un polígono es igual a 720°. Calcular el número de lados. #49:

SAI(n) + SAE(n) = 720°

#50: #51:

n·180° = 720° SOLVE(n·180° = 720°, n)

#52:

n = 4

PROBLEMA N°13. En un hexágono convexo, tres de sus ángulos interiores son congruentes entre sí y miden 100° cada uno, los otros ángulos interiores también son congruentes. Calcular la medida de uno de estos ángulos congruentes. #53:

SAI(6)

#54: #55: #56:

720° 3·100° + 3·x = 720° 3·x + 300° = 720°

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#57:

SOLVE(3·x + 300° = 720°, x)

#58:

x = 140°

PROBLEMA N°14. El número de diagonales de un polígono es igual al número de ángulos llanos que contiene la suma de las medidas de sus ángulos interiores. Hallar el número de lados. #59:

SAI(n) ND(n) = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ 180° n·(n - 3) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = n - 2 2

#60:

#61:

⎛ n·(n - 3) ⎞ SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = n - 2, n⎟ ⎝ 2 ⎠

#62:

n = 4 ∨ n = 1

PROBLEMA N°15. Encontrar el número de lados de un polígono, en el cual de cuatro vértices consecutivos se pueden trazar 29 diagonales. #63:

NDP(n, 4) = 29

#64: #65: #66:

4·n - 15 = 29 SOLVE(4·n - 15 = 29, n) n = 11