Pol It Rope

10.6.8 Vrste politropske promene stanja Vrste politropske promene stanja koje će se ovde izučavati biće su izobarska, izohorska, izotermska i izentropska promena stanja. Za različite vrste politropskih promena stanja Tabela 10 daje njihov eksponent politrope i specifičnu toplotu. Takodje za različite vrste politropskih promena stanja, Sl.10.9 daje te politrope u p-v i T-s koordinatnim sistemima. Tabela 10.1 Eksponent politrope i specifična toplota za različite politropske promene stanja

1 2 3 4 5 6 7 8

Proces Izohora

const. v

Izobara

p

Izoterma

T

Izentropa

S

n

±∞ −∞ < n < 0 −∞ < n < 0 −∞ < n < 0 1 −∞ < n < 0 κ −∞ < n < 0

c cv cv < cn < c p cp cv < cn < c p ∞ cv < cn < c p 0 cv < cn < c p

Šta znači ”izo”? Rečica ”izo” je grčkog porekla i znači isto ili jednako. Tako izobara znači promenu stanja pri jednakom pritisku, izohora promenu stanja pri jednakoj zapremini, izoterma promenu stanja pri jednakoj temperaturi i izentropa promenu stanja pri jednakoj entropiji. 10.6.8. Izobarska promena stanja Šta je za vreme izvođenja izobarske promene stanja uvek isto? Čemu je jednaka specifična toplota radne materije pri toj promeni stanja? Izobarska promena stanja se naziva izobarom. Kod izobare pritisak radne materije je uvek isti- konstantan. Zato kod te radne materije uzimamo da je njena specifična toplota jednaka specifičnoj toploti pri konstantnom pritisku, cn=cp. Izvesti i navesti sve o izobarskoj promeni stanja i nacrtati je u pv i Ts koordinatnim sistemima.

Kako je cn=cp to se iz (10.28) dobija da je n=

cn − cp cn − cv

=

cp − cp cn − cv

=0

tj.

n=0. (10.38)

(a)

(b)

Sl.10.5 Izobare (p=const.) u (a) p-v i (b) T-s dijagramu stanja

Kriva kojom se grafički predstavlja ova promena stanja naziva se izobarom. Jednačina izobare u p-v (i p-T) dijagramu je

pv n = pv 0 = p = const

(vidi sl. 10.5.a)

p=const (10.39) u T-v dijagramu Tv n−1 = Tv −1 = const

tj.

−1

Tv = const

(10.40)

i u s-T dijagramu (10.32) (vidi sl. 10.5.b) s − s1 = c p ln

T T1 .

Upotreba diferencijalnih izraza za prvi zakon termodinamike za zatvorene sisteme (du= δq-δl), za kaloričnu jednačinu stanja (du=cvdT) i za količinu toplote politropske promene stanja (δq = cndT) i za specifičnu toplotu pri konstantnom pritisku (cn=cp) daje: δl = −du + δq = − c v dT + c p dT = (c p − c v )dT

Kako je cp –cv= R Mayer - ova relacija i δl=pdv važi za kvazistatički proces to je: δl = RdT = pdv

Integraljenjem ovih jednačina dobija se: l12 = R (T2 − T1 ) = p( v 2 − v1 )

(10.42) Isti rezultat se dobija korišćenjem jednačina (10.33) i (10.34) kada se u njima zameni n=0. Kako je dp=0 dobija se:

2

l t12 = − ∫ vdp = 0 1

(10.43) Isto se dobija korišćenjem jednačine (10.35) kada se u njoj zameni n=0. Upotreba diferencijalnog izraza za kaloričnu jednačinu stanja (dh=cpdT), diferencijalnog izraza za prvi zakon termodinamike za otvorene sisteme (dh= δq+vdp), diferencijalnog izraza za količinu toplote politropske promene stanja (δq = cndT) i izraza za specifičnu toplotu pri konstantnom pritisku (cn=cp) daje relaciju: δq = c p dT = dh − vdp = dh

Integraljenje ove relacije daje: 2

q12 = ∫ δq = h2 − h1 = c p (T2 − T1 ) 1

(10.44) Isti rezultat se dobija korišćenjem relacije (10.36) kada se u njoj zameni n=0. A Sl.10.5 sa 1 je označeno pošetno stanje dok su sa 2 i 3 označena konačna stanja za proces pri konstantnom pritisku. Kada se proces vodi od 1 do 2 tada se radna materija zagreva, uvećava T i v. Kada se proces odvija od 1 do 3 tada se radna materija hladi i smanjuje v i T. 10.6.9. Izohorska promena stanja Šta je za vreme izvođenja izohorske promene stanja uvek isto? Čemu je jednaka specifična toplota radne materije pri toj promeni stanja? Izohorska promena stanja se naziva izohorom. Kod izohore zapremina radne materije je uvek ista- konstantna. Zato kod te radne materije uzimamo da je njena specifična toplota jednaka specifičnoj toploti pri konstantnoj zapremini, cn=cv.

Izvesti i navesti sve o izohorskoj promeni stanja i nacrtati je u pv i Ts koordinatnim sistemima. Kako je cn=cv to se iz (10.28) eksponent politrope pri izohorskoj promeni stanja idealnog gasa dobija se kao: n=

tj:

cn − cp cn − cv

=

cv − cp cv − cv

= ±∞

n = ±∞

(10.45) Važi da je:

( ) pv n

1 n

1

1

1

= ( const ) n = p n v = p ±∞ v = v

tj.: v=const (10.46)

(a)

(b)

Sl.10.6 Izohore (označene sa v) u (a) p-v i (b) T-s dijagramu stanja Tako je izohora u p-v dijagramu predstavljena pravom linijom (označena sa “v” na sl. 10.6.a). U p-T dijagramu je:

pT

n 1− n

= pT

1 1 −1 n

= pT −1 = const

odnosno: pT −1 = const .

(10.47) U T-v dijagramu dobija se:

v=const (10.48) i u T-s dijagramu (označena sa „v“ na sl. 10.6. b) s − s1 = c v ln

T T1

(10.49) Za kvazistatičku promenu stanja δl = pdv . Kako je dv=0, to je δl = 0, pa je: l12 = 0 .

(10.50) Korišćenjem izraza za tehnički rad kod kvazistatičke promene stanja (δlt=-vdp), jednačine za prvi zakon termodinamike za otvorene sisteme (dh=δq-δlt), diferencijalnu jednačinu za razmenjenu količinu toplote pri izohori (δq = cvdT), kaloričnu jednačinu stanja za idealni gas (dh = cpdT) i Mayer-ovu relaciju (cp-cv=R) dobija se: δlt=-vdp= δq- dh = cvdT-cpdT= -(cp-cv)dT=-R dT 2

2

1

1

l t12 = − ∫ vdp = + v( p1 − p 2 ) = − ∫ RdT = R( T1 − T2 )

tj. konačno:

l t12 = v( p1 − p 2 ) = R (T1 − T2 )

(10.51) Pomoću jednačine prvog zakona termodinamike za zatvorene sisteme (du=δq-δl), i diferencijalne jednačine za razmenjenu količinu toplote pri izohori (δq = cvdT), dobija se: δq = c v dT = du + δl = du

jer je δl = 0. Integraljenje ove relacije daje:

q 12 = u 2 − u1 = c v ( T2 − T1 )

(10.52) Na Sl.10.6 sa 1 je označeno početno stanje dok su sa 2 i 3 označena krajna stanja za proces pri konstantnoj zapremini. Kada se proces vodi od 1 do 2 tada se radna materija zagreva, uvećava T i p. Kada se proces odvija od 1 do 3 tada se radna materija hladi i smanjuje T i p. 10.6.10. Izotermska promena stanja Šta je za vreme izvođenja izotermske promene stanja uvek isto? Čemu je jednaka specifična toplota radne materije pri toj promeni stanja? Izotermska promena stanja se naziva izotermom. Kod izoterme temperatura radne materije je uvek istakonstantna. Zato kod te radne materije uzimamo da je njena specifična toplota jednaka ili negativnoj ili pozitivnoj vrednosti beskonačnosti, cn=±∞. Izvesti i navesti sve o izotermskoj promeni stanja i nacrtati je u pv i Ts koordinatnim sistemima. Kod je cn=±∞ to se kao koeficijent n dobija: cp c 1− p cn − cp cn ∞ =1 n= = = c c cn − cv 1 − v 1 − v cn ∞ , tj.: 1−

n=1 (10.53)

(a)

(b)

Sl.10.7 Izoterme (označene sa T) u (a) p-v i (b) T-s dijagramu stanja Ukoliko je temperatura konstantna tada kada se dovodi toplota pri čemu se uvećava v i smanjuje p dolazi do uvećanja entropije. U p-v dijagramu dobija se: pv=const . (10.54)

To je ravnokraka hiperbola, koja se naziva izotermom (sl. 10.7.a). Jednačina izoterme u p-T, T-v, T-s koordinatnim sistemima je: T=const (10.55) Na sl. 10.7.b. izoterma je predstavljena u T-s dijagramu kao prava kojaje normalna na osu T. Rad se dobija korišćenjem termičke jednačine stanja p=

RT v i izraza za elementarni rad pri

idealnog gasa u obliku kvazistatičkoj promeni stanja. δl = pdv = RT

dv v

Integraljenjem gornje relacije dobija se: 2

l12 = RT∫ 1

dv v = RT ln 2 v v1

pa je konačno: l12 = RT ln

v2 p = RT ln 1 v1 p2

(10.56) Promene unutrašnje energije i entalpije su: du=cvdT=0 i di=cpdT=0, jer je dT=0. Elementarna količina toplote data je izrazom: δq = c n dT .

Kako je cn=∞, a dT=0 to je to neodređen izraz. Korišćenjem prvog zakona termodinamike za zatvorene sisteme dobija se:

δq = du + δl = δl

odnosno prvog zakona termodinamike za otvorene sisteme: δq = di + δl t = δl t

dobija se konačno da je: l12 = l12 t = q 12

(10.57)

10.6.11. Izoentropska promena stanja Šta je za vreme izvođenja izoentropske promene stanja uvek isto? Čemu je jednaka specifična toplota radne materije pri toj promeni stanja? Kod izoentropske promene stanja, entropija radne materije je uvek ista- konstantna. Zato kod te radne materije uzimamo da je njena specifična toplota jednaka nuli, cn=0. Izvesti i navesti sve o izoentropskoj promeni stanja i nacrtati je u pv i Ts koordinatnim sistemima. Entropija je konstantna. Specifična toplota pri izoentropskoj promeni stanja je cn=0. Mo`e se dobiti: n=

cn − cp cn − cv

n=κ (10.58)

=

−c p −c v

=κ

, tj.

(a)

(b)

Sl.10.8 Izentropa (označena sa s) u (a) p-v i (b) T-s dijagramu stanja Jednačine izoentrope su: pv κ = const

(10.59) κ

pT 1−κ = const

(10.60) Tv κ −1 = const

(10.61) s = const

(10.62) Zadnja jednačina izoentrope je glavna karakteristika ove promene stanja. Na osnovu jednačina (10.33) i (10.34) za specifični rad moguće je dobiti: RT1   v 2  1 −   l12 = κ − 1   v1   l12 =

1− κ

κ −1  RT   p  κ  1  = 1−  2    κ − 1  p1     

R ( T1 − T2 ) = c v ( T1 − T2 ) κ −1

Izraz za specifični tehnički rad dobija se na osnovu jednačine (10.35) l t12 = κl12

Iz izraza (10.36) dobija se za specifičnu količinu toplote:

q 12 = 0 .

Na Sl.10.8 sa 1 je označeno početno stanje dok su sa 2 i 3 označena krajnja stanja za proces pri konstantnoj entropiji. Pri ovom procesu nama niti odvodjenja niti dovodjenja toplote. Kada se proces vodi od 1 do 2 tada radna materija obavlja rad, smanjuje T (smanjuje u), smanjuje p i uvećava v. Kada se proces odvija od 1 do 3 se na radnoj materiji obavlja rad i uvećava T (uvećava u), uvećava p i smanjuje v. 10.6.12. Ostale politropske promene stanja Nacrtati ostale moguće politrope u pv i Ts koordinatnom sistemu i dati njihove vrednosti za eksponent politrope i specifičnu toplotu. Na sl. 10.5.a i 10.5.b prikazane su ostale moguće promene stanja u p-v i T-s dijagramima. Kod njih su: κ > n > 1 ( −∞ < c n < 0) ,

(

)

1 > n > 0 ∞ > cn > cp ,

(

n < 0 cp > cn > cv

)

i

∞ > n > κ ( c v > c n > 0)

. Ako promena stanja u p-v dijagramu ide ka unutrašnjosti šrafiranog područja, tada pri promeni stanja dolazi do porasta vrednosti entalpije. U suprotnom slučaju opada entalpija.

p

1 2

3 4 8

5

6

v

(a)

T

7

1

2

3

4 5 6

7

8 (b)

s

Sl.10.9 Politrope u (a) p-v dijagramu stanja i (b) T-s dijagramu stanja