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OCM09 Blog Problemas Primer Nivel Miguel Moreno 22 de marzo de 2009

1.

Geometr´ıa

1. Los tri´ angulos AHF , HCF , DEG, EGB, son is´osceles con la medida de sus bases iguales a la medida de sus alturas e iguales a b. Si A, C est´an en lados distintos de HF , B, D est´an en lados distintos de GE, A, E, G, C son colineales, D, H, F, B son colineales, AF y EB se intersectan en O1 , GB y F C se intersectan en O2 , HC y DG se intersectan en O3 , DE y AH se intersectan en O4 . Hallar el ´area de EO1 F O2 GO3 HO4 en funci´on de b. 2. Sea ABC un tri´ angulo rect´angulo, ∠ABC = 90 con inradio r. Demostrar r = AB+AC−BC . 2 3. En el rect´ angulo ABCD, M , N , P y Q son los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA respectivamente, O el punto de intersecci´on de M P con QN y R el punto de intersecci´on de BP con ON . Si el ´area de OBR es 1 hallar el ´ area de ABCD. 4. En un cuadrado de lado k, se ubican los puntos P y Q sobre los lados BC y CD respectivamente. De tal manera que P C = 3P B y QD = 2QC. Si se llama M al punto de intersecci´on de AQ y P D, determinar el ´area del tri´ angulo QM D en funci´on de k.

´ Algebra

2.

1. Suponga que a > b > c > d > 0 y a + d = b + c. Demuestre que ad < bc. 2. Suponga que a ≥ 1 y x un numero real. Demuestre que 3. Demuestre que para todo entero n ≥ 2 n X 1 3n > 2 k 2n + 1

k=1

. 1

2 √ x +a x2 +a−1

≥ 2.

4. Los n´ umeros reales a, b, c, r son tales que c(b − a) b(c − a) = =r a(b − c) b(c − a) Muestre que

3.

1 r

+ 1 = r y halle todos los valores de r.

Teor´ıa de N´ umeros

1. Juan eligi´ o 18 n´ umeros consecutivos de tres cifras. Demostrar que entre ellos hay uno que es divisible por la suma de sus tres digitos. 2. Con los n´ umeros enteros 0 ≤ a, b < 10 se forman los numeros x=

a a a + 3 ··· + 10 102 10

y b + 10 Determinar todos los valores e los numero natural mayor o igual que y=

b b + 3 ··· 102 10 n´ umeros a y b que satisfacen que 40.

x y

es

3. Cual es el valor maximo que se puede obtener al dividir un numero natural de tres digitos por la suma de sus digitos. 4. Sean a, b, c enteros positivos. Probar que si a + b > c entonces ax + by = c no tiene soluciones en los enteros positivos.

4.

Combinatoria

1. El n´ umero A esta formado por 666 d´ıgito iguales a 3 y el n´ umero B esta formado por 666 digitos iguales a 6. Hallar A · B. 2. En un tablero de 8 × 8 se se colocan 10 fichas, cada una ocupa una casilla. En cada casilla que esta sin ficha se escribe un numero entre 1 y 8, que es igual al numero de fichas colocadas en sus casillas vecinas, dos casillas son vecinas si comparten un lado o un v´ertice. De una distribuci´on de las fichas que haga que la suma de los n´ umeros escritos en las casillas vac´ıas sea la mayor posible. 3. Γ es un circulo de radio 1, dentro de el se eligen 8 puntos. Demuestre que hay dos puntos a distancia menor que uno.

2

4. Halle todas las soluciones positivas del siguiente sistema de ecuaciones. x1 + x2 = x33 x2 + x3 = x34 x3 + x4 = x35 x4 + x5 = x31 x5 + x1 = x32

3