Pierre De Fermat

Pierre de Fermat I renæssancen genopstod den store interesse for græske værker og tænkere, som havde været undertrykt i hele middelalderen pga. kristendommens indtog i Europa. Der blev gransket i de gamle græske kilder og man genoptog de ideer som havde præget antikken. De blev ofte ligefrem anset som ”den store sandhed”, topmålet af indsigt og viden. De gamle grækeres indsigt i matematikkens verden kunne således bane vejen for forbedrede og nye teorier. Kilderne som havde været gemt væk på klostre i århundreder blev taget frem og udforsket. Store matematikere byggede deres teorier på de græske udsagn.1 En af disse var den franske matematiker Pierre de Fermat (1601-1665). Fermat var uddannet jurist og dyrkede matematikken som hobby ved siden af arbejdet. Fermat betragtede matematik som et pusterum, noget han kunne slappe af ved, og dette gjorde at han aldrig offentliggjorde nogle af sine teorier (med en enkelt undtagelse2). En offentliggørelse ville nemlig kræve stor matematisk nøjagtighed og efterfølgende diskussioner med andre dygtige matematikere, hvilket Fermat ikke var interesseret i. Dette giver naturligvis visse vanskeligheder når vi i dag er interesserede i matematikeren Fermat og hvilke matematiske teorier han stod for. De manglende publiceringer af hans ideer giver os mindre førstehåndsmateriale at arbejde med. Heldigvis korrespondere Fermat livligt med andre matematikere og fra disse breve, samt fra en offentliggørelse af Fermats manuskripter (ved hans søn), kan vi nu danne os et nogenlunde helstøbt billede af ham. Dog er Fermats redegørelser til tider noget rodede og usystematiske. Han kunne godt lide at ”drille” sine samtidige kolleger ved at give dem små hints til løsningerne på sine problemer, men det var ikke altid de blev fulgt op af en egentlig redegørelse eller bevisførelse.3 Som det fremgår af følgende citat brugte Fermat meget tid på at studere gamle græske værker: ”Fermat followed Viète and others in seeking to restore those lost texts, such as Apollonius’ Plane Loci… Another supposed source of insight was Diophantus’ Arithmetica, to which Fermat devoted a lifetime of study. These ancient sources, together with the works of Archimedes, formed the initial elements in a clear pattern of development that Fermat’s research followed”4. Dette kommer også tydeligt til udtryk I den kilde vi nu vil behandle.

1

Katz Side 432, m+mn Dictionary of Scientific Biography side 572, spalte 2 n 3 Katz Side 433, biografien 4 Dictionary of Scientific Biography side 566, spalte 1 m 2

I kilden finder Fermat arealet af området mellem en hyperbel, den vandrette asymptote og en lodret linje mellem hyperblen og den vandrette asymptote. Kilden hedder ”On the Transformation and Simplification of the Equations of Loci” og er fra ca. 1640. Før vi går i gang er det værd at bemærke, at Fermat kun arbejdede med en x-akse. Han havde ikke en y-akse som vi kender det i dag, endskønt han forstod sammenhængen mellem en kurve og en ligning med to ubekendte.5 Dette gør naturligvis at han i kilden ikke refererer til akserne. I stedet benytter han sig af en vandret og en lodret asymptote. Fermat indleder med at stille et spørgsmål om hvorfor Archimedes6 ikke bruger kvotientrækken, men kun differensrækken når han sammenligner forskellige størrelser. Det eneste tilfælde hvor Archimedes anvender kvotientrækken er parabolens kvadratur. Er det mon fordi han finder kvotientrækken mindre egnet i forbindelse med kvadratur? Eller fordi hans metode mht. parabolens kvadratur hvor han bruger kvotientrækken kun vanskeligt kan overføres til andre tilfælde? Fermat besvarer ikke spørgsmålene, men hævder at han finder kvotientrækken særdeles nyttig, både når det gælder paraboler og hyperbler. Indledningen viser tydeligt den respekt som Fermat havde for Archimedes og det bekræfter Fermats fascination af den græske matematik, som før nævnt. Hvad der er vigtigt er at vi her har at gøre med en førstehåndskilde og denne viser os tydeligt hvor ideerne kommer fra. Det har interesseret Fermat hvad Archimedes har tænkt mht. brugen af differens- og kvotientrækker og han har derfor indledt sin tekst med at fortælle hvordan Archimedes gik frem, og dernæst fortæller han så hvad han selv vil gøre. Han bruger også senere en af Archimedes’ ideer, samt en ide af den græske matematiker Diophantus7, men det vender vi tilbage til. Metoden bygger på en egenskab ved kvotientrækker, nemlig: “Given a geometric progression the terms of which decrease indefinitely, the difference between two consecutive terms of this progression is to the smaller of them as the greater one is to the sum of all following terms”.8 (*)

5

Katz Side 442 ø Archimedes 287-212 f.kr. Græsk fysiker og matematiker. 7 Diophantus ca. 200-284 e.kr. Græsk matematiker 8 Kilde 3, side 1, spalte 2 m. 6

Sagt på en anden måde: Hvis vi har givet rækken a+ar+ar2+ar3+…+arn+… , 0
a (1 − r )

venstre siden kan omformes til:

Vi kan derfor bevise ovenstående:

ar j −1 − ar j 1 − r = arj r

Højresiden kan omformes til : ar j −1 = ar j + ar j +1 + ...

ar j −1 a − (a + ar + ... + ar j −1 ) (1 − r )

=

r j −1 (1 − r ) = 1 − (1 + r + ... + r j −1 )(1 − r )

r j −1 − r j r j −1 − r j 1 − r = = r 1 − (1 + r + ... + r j −1 ) + (r + r 2 + ... + r j ) rj Det ses at de to sider er ens!

Fermat definerer en hyperbel som en kurve der går mod uendelig. Han lader RA og AC være asymptoter hvor AC er lodret og RA er vandret. Han lader dernæst tegne lodrette linjer parallelle

med AC. Disse kaldes EG,HI,NO,MP,RS osv. Forholdet mellem enhver potens i af AH og den samme potens af AG skal være lig med forholdet mellem enhver potens j af EG og den samme potens af HI (evt. i = j). Moderne udtrykt vil det sige AH i EG j = AG i HI j i og j behøver ikke være heltal, men kan også være enhedsbrøker. Disse potenser afgør hvilken hyperbel der er tale om For eksempel vil i = j give

a og j = 2i vil give x

a og så fremdeles. x2 Fermat hævder nu at alle disse uendelige hyperbler kan ”kvadreres” vha. kvotientrækker ved brug af en generel metode. Undtaget er dog Apollonius’ hyperbel hvorom det gælder at hvis den har ligningen xy=a2 så divergerer integralet

∫

∞

1

ydx .9 Det vil sige integralet af

1 divergerer, hvilket er x

et kendt resultat. Fermat betragter nu som et eksempel forholdene AH 2 EG AM 2 NO AO 2 HI = = , og = HI AG 2 AO 2 MP AH 2 NO

osv. Dvs. det er

1 vi ser på. x2

Man skal hele tiden huske at EG,HI,ON,… er funktionsværdierne af henholdsvis AG,AH,AO,… Dvs. EG =

1 1 1 HI = , ON = ,… 2 , 2 AG AO 2 AH

Påstanden er at det ubegrænsede areal som begrænses af den lodrette linje EG, kurven ES og asymptoten GOR, lad os kalde det a1, er lig med arealet af et bestemt parallelogram bestående af rette linjer, lad os kalde det b. Vi betragter nu leddene i en ubegrænset aftagende kvotientrække. Fermat lader AG være det første led, AH det andet led, AO det tredje led, AM det fjerde led osv. Her skal det siges at det er 1 1 1 , , ,... der danner en geometrisk række. AG AH AO Det vil sige, hvis AG = 1 og AH = 2 vil AO være lig 4 og AM = 8 osv. Dvs. en geometrisk række med r=½ og a=1. Det antages så at leddene er så tæt på hinanden at vi, hvis vi bruger Archimedes’ metode, kan tilnærme os en bestemt værdi ifølge Diophantus. Fermat vil med andre ord approksimere det 9

Struik’s note 5

retlinede parallelogram GE × GH til firkanten GHIE, som ikke er retlinet, da den ”øverste” side er en del af kurven. Desuden antages at intervallerne GH, HO, OM, MR osv. er passende lig hinanden, idet vi så kan bruge Archimedes’ Exhaustionsmetode angående omskrevne og indskrevne polygoner. Fermat hævder at denne metode er kendt af alle matematikere og mener derfor ikke at en uddybelse er nødvendig. ”It is enough to make this remark once and we do not need to repeat it and insist constantly upon a device well known to mathematicians”10 Vi ved at Fermat generelt var meget skeptisk overfor de samtidige matematikere som f.eks. Descartes og Roberval. ”He claimed that Descartes had not correctly deduced his law of refraction since it was inherent in his assumptions” 11 og “Fermat claimed that he had a precise demonstration and doubted that Roberval had one.”12 Vi kan derfor igen tydeligt se hvordan han på helt anden vis respekterede Archimedes’ ideer, som han ikke så grund til at betvivle eller uddybe. For at vende tilbage til matematikken har vi nu at AG AH AO 1 2 4 = = Det vil sige med vores tal eksempel fra før får man: = = AH AO AM 2 4 8 og det medfører at

1 (2 − 1) (4 − 2) = = 2 (4 − 2) (8 − 4)

AG GH HO = = , Med taleksemplet får man: AH HO OM

Da GH = AH-AG osv.

For parallelogrammerne har vi EG × GH HI × HO = HI × HO ON × OM Faktisk består forholdet på venstresiden af forholdene

EG GH GH og ,og som før nævnt er = HI HO HO

AG EG AG hvilket betyder at venstresiden kan opløses til brøkerne og . AH HI AH Fermat definerede tidligere leddene i kvotientrækken til at være proportionale. Som før nævnt er

10

Kilde 3, side 2, 2.spalte n MacTutor History of Mathematics, Article by J J O’Connor and E F Robertson side 2, mn 12 Katz side 482 ø 11

EG AO EG AH 2 = = og pga. proportionaliteten kan vi skrive . Med taleksemplet giver dette: 2 HI AG HI AG 1 EG 1 AO 4 = = 4 og = =4 1 HI AG 1 22

Derfor kan brøken

EG × GH AO AG opløses til brøkerne og . HI × HO AG AH

Fermat opløser derefter også

AO AO AG til og . Altså fås forholdene AH AG AH

EG × GH AO AH = = HI × HO AH AG HI × HO AO = Tilsvarende vises det at NO × MO AH . Fra før har vi jo at linjestykkerne AO, AH, AG som netop er elementerne i ovennævnte brøker definerer en kvotientrække. Således vil de uendeligt mange parallelogrammer EG × GH , HI × HO, NO × OM osv. udgøre en kvotientrække, hvor forholdet mellem leddene er AH . AG Ifølge (*) har vi, idet vi ser på intervallerne AG og AH, at forholdet mellem GH (som er differensen mellem intervallerne) og AG vil være lig forholdet mellem parallelogrammet GE × GH (idet GE = AG ) og summen af de uendeligt mange resterende parallelogrammer. Ifølge Archimedes er denne sum netop den ubegrænsede figur begrænset af den lodrette linje HI, asymptoten HR og kurven IND. Multiplicerer vi GH og AG med EG får vi forholdet

GH EG × GH = AG EG × AG

Fermat bemærker dernæst at forholdet mellem parallelogrammet EG × GH og det uendelige areal til højre for linjen HI , lad os kalde det a2, er lig forholdet mellem EG × GH og EG × AG . Det er jo arealet under kurven til højre for linien EG vi var interesserede i, men vi mangler det sidste parallelogram EG × GH . Dette klares ved at lægge det til på begge sider

idet EG × GH vil reduceres til ingenting når vi foretager en uendelig inddeling af intervallerne. Fermat mener at påstanden nemt kan bestyrkes hvis man fører et bevis a la Archimedes og at det ikke er svært at udvide resultatet til alle hyperbler undtagen Apollonius’ hyperbel. Som nævnt må dette være typisk for Fermat. Han gav hints og omrids af sine ideer, men man måtte selv udføre detaljerne for at få et helt stringent bevis. Med taleksemplet får vi altså at arealet under kurven til højre for linien EG er lig EG × AG : EG × AG =

1 ×1 =1 12

Med moderne integration får man: ∞

∫ 1

r

r  − 1  − 1  1 1  − 1 dx = lim r → ∞ ∫ 2 dx = lim r → ∞   = lim r → ∞  −   = 1 2 x  x 1  r  1  1 x