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DEDICATORIA  A él por permitir que este trabajo tan es forzoso  se halla  podido  realizar  y  por brindarme la inteligencia y sabiduría necesaria para  poder realizarlo.     A ellos, por brindarme los medios necesarios para poder realizar este  trabajo y por su cariño que es fundamental para mí.     Por el aprecio que me tiene y el apoyo que me brinda cada momento  que lo necesito.

AGRADECIMIENTO   Por  brindarme  la luz bendita  de la sabiduría e inteligencia y de esa  manera dando como resultado este sacrificado trabajo.    

Por    brindarme  su    afecto  necesario  que  es  fundamental  para  mi,  como lo sería para todo hijo de sus padres.  

Por brindarme todo su cariño y su amor incondicional que es esencial  para mí.

PRESENTACIÓN   Para mi es un agrado presentarles este tan costoso trabajo que es reflejo de una buena educación y una buena formación brindada por mi Institución Educativa, que con tanto esmero y dedicación fue elaborado para mostrar al mundo la enseñanza de esta prestigiosa Institución. Esperando que esta monografía sea debidamente de su agrado… Atte JORDY

INDICE   Justificación………………………………………1 Definición………………………………………….2 Ejercicios…………………………….…………….4 Propiedades…………………………….………….10 Transformaciones…………………………….….11 Igualando a la base………………………….…….20 Grafico……………………………………...............26 Bibliografía………………………………………....31 Anexos……………………………………….……...31

Justificación Las funciones exponenciales son una de las familias de funciones más importantes en las matemáticas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen. En la Administración de Empresas se usan para interés compuesto, anualidades y planes de ahorro entre otras. En las ciencias naturales las aplicaciones son innumerables incluyendo modelos de crecimiento en biología, reacciones de primer orden en química orbitales moleculares en química física, etc.. En este módulo veremos los conceptos básicos de construcción de gráficas, solución de ecuaciones exponenciales y algunas aplicaciones de las funciones exponenciales. 1

Definición de una función exponencial Sea b  0 y b  1 un número real. A una función de la forma f ( x)  b x se le llama función exponencial con base b. La x puede asumir cualquier valor real por lo que el dominio de las funciones exponenciales es el conjunto de los números reales, R   ,   . Como la b  0 y b  1 los resultados al evaluar las funciones exponenciales son números positivos por lo tanto el alcance será, A   0,   . Si b  1 la función será f ( x)  1 una función constante, que no es exponencial. 2

“Estas funciones se conocen como funciones  exponenciales porque el exponente es variable.”

Ejemplos de funciones exponenciales

1. f ( x)  3x x 2. f ( x)  4 x

 2 3. f ( x)     3 x 4. f ( x)  5 5. f ( x)  10 x

3

Ejercicios de funciones exponenciales Ejemplos: Traza la gráfica de las siguientes funciones exponenciales.

1. f ( x)  3x 2. f ( x)  2 x

Solución Solución x

 1 3. f ( x)     2 x  2 4. f ( x)     3 5. f ( x)  10 x

Solución

Solución Solución

4

1. f ( x)  3x

9

y

8 7

x

f(x)

6 5 4

0

1

3

1

3

1

2

9

-2

1

1 3 1 9

-4

2

2

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

-3 -5 -6 -7 -8 -9 -10

Observe el dominio y el alcance en la gráfica. Observe también que si los valores de x tienden a menos infinito, x  , los valores de la función tienden a 0. 5

6

2. f ( x)  2 x

0 1

f(x) 1

x 9 8 7 6 5 4

2

3

2

4

1

3

8

1

1 2 1 4

2

y

Ejercicios

2

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

7

x

 1 3. f ( x)     2 x f(x)

9

y

8 7 6

0

1

1

1 2 1 4

2 1 2

2 4

5 4 3 2 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Ejercicios

-9 -10

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

8

x

 2 4. f ( x)     3

x

f(x)

0

1

1

2 3 4 9 3 2

2 1 2

9 4

9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Ejercicios

-9 -10

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

5. f ( x)  10 x

9 9 8

x

f(x)

7 6 5

0 1 2 1 2

4

1

1 10 1 100

10

100

3 2 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

Ejercicios

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

Resumen de las propiedades de las funciones  exponenciales 3. Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1). 2. Si b > 0 la función es creciente. 3. Si b < 0 la función es decreciente. 4. El eje de x es una asíntota horizontal. 5. El dominio es el conjunto de los números reales. 6. El alcance es el conjunto de números reales positivos. 7. Las funciones exponenciales son uno a uno. 10

Transformaciones de las funciones exponenciales Al igual que las funciones estudiadas anteriormente podemos transformar las funciones exponenciales variando sus parámetros (números) para producir traslaciones, reflexiones, estiramientos y contracciones. Las funciones que resultan de estas transformaciones se conocen como funciones de forma exponencial. Veremos algunos ejemplos a continuación.

11

Transformaciones de las funciones exponenciales Traza la gráfica de las siguientes funciones.

1. f ( x)  3x  2 x 1 2. f ( x)  2 x  1 3. f ( x)  2    2 x  2 4. f ( x)  .5    3  x 1 5. f ( x)  2  2 6. f ( x)  2 x  2

Solución Solución Solución

Solución Solución Solución

12

13

1. f ( x)  3x  2 9

x

f(x)

f ( x )  3x  2

8 7

f ( x )  3x

6

0

3

4 3

1

5

2

11

1

1 2 3 1 2 9

2

5

2 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

14

2. f ( x)  2 x

f(x)

0 1 2 3 1 2

1 2

x 1 9 8 7 6 5 4 3

1

2

2

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

4 1 4 1 8

-3

1 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

-2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

Ejercicios

15

x

 1 3. f ( x)  2    2 x

f(x)

8

f(x)

7 6 5

0 2 1 1 2 3

1 1

4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1

2

4

1 4 2 8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Ejercicios

16

x

 2 4. f ( x)  .5    3 x

f(x)

8 8

f(x) f(x)

7 7 6 6 5

1

0 1

1

2

2

1 2 3

2

4 3 2

3

9 3 4 9 8 27 16

1 -9 -8 -8 -7 -7 -6 -6 -5 -5 -4 -4 -3 -3 -2 -2 -1 -9 -1

-2 -3 -4 -5 -6 -6 -7 -7 -8 -8 -9 -9

1

2

3

4

55

66

77

88

99

xx

5. f ( x)  2

 x 1

17

2 8

x

f(x)

f(x)

7 6 5

0 1

5

9

2

4 3 2

4

17

2 8 1 3 2 4 3 6

1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

6. f ( x)  2 a. b. c. d. e.

18

x2

1 1 f (2)  2  2  4  16 2 1 1 3 1 2 f (1)  2  2  3  8 2 1 1 2 02 f (0)  2  2  2  4 2 1 1 1 1 2 f (1)  2  2  1  2 2 2 2 0 f (2)  2  2  1 2  2

4

f . f (3)  23 2  21  2

x

y

-2 1/16 -1 1/8 0

1/4

1

1/2

2

1

3

2

f ( x)  2 x

19

x2 4

y

3

-2 1/16

2

-1 1/8

1

0 1

1/4 1/2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1

2 3 4

1 2 3

-2

-3

-4

Ejercicios

Resolver ecuaciones exponenciales igualando las bases. Las funciones x yexponenciales son funciones uno a a  a uno, por lo tanto si y solo si x = y . Esta propiedad nos permite resolver ecuaciones exponenciales igualando las bases. O sea si las bases son iguales entonces los exponentes son Ejemplos: iguales. Resuelve las siguientes ecuaciones.

1. 23 x 8  2 x  2 4 x 6

2. 3

3

3. 27  3 x

x

x1

Solución

Solución

Solución

20

4 x2

 1 4.    2

 2 x2

Solución

x

 2  5. 16     64  x

2

6 x 10

 2 6.    3

7. e

4 x2

8. 4 x

2

2 x

Solución x 1

 3    2

Solución

x2

 1    e

 2x

2

5

Solución

Solución

21

1. 2

3 x 8

2

x2

3x  8  x  2 3 x  x  2  8

2x  6

Verificación

2

3 ( 3 ) −8

2

9 −8

3− 2

=2 1 =2

2=2

x3 C.S   3 22

4 x 6

2. 3

x

3

4x  6  x 4x  x  6

5x  6 6 x 5  6 C.S     5

Verificación

3

6 4  −6 5

3

24 30 − 5 5

3

−

6 5

=3 =3

=3

23

−

−

−

6 5

6 5

6 5

3. 27  3 x

3 

3 x

3

x1

x1

3x  x  1 2x  1

1 x 2  1 C.S     2

Verificación 1 2

27  3 1 3 2

3 

1 1 2

3

3 2

3 3

24

3 2

3 2

7. e

4 x2

x2

 1    e

4x  2  x  2

4x  2  x  2

  4x  2  x  2 4 x  2  x  2

4 x  x  2  2

4 x  x  2  2

3x  0

x0 

4 C.S.=  0,  5 

5 x  4 4 x 5 25

GRAFICOS Respuestas de la pre y post- prueba

A  1. f ( x)  2 x

0 1

x

f(x)

9 8 7 6

1

5 4

2

3

2

4

1

3

8

1

1 2 1 4

2

y

2

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

26

-8 -9 -10

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

A  2. f ( x)  5

27

x 9

y

8

x

f(x)

7 6 5

0 1

1 5

2 25 1

1 5

2

1 25

4 3 2 1 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

x

 1 A  3. f ( x)     3

x

f(x)

0

1

1

1 3 1 9

2 1 2

28 9

y

8 7 6 5 4 3 2 1 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

3

−2

9

−4

−3 −5 −6 −7 −8 −9

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

A  4. f ( x)  3

29

x 1

4

x

0 1 2 1 3

f(x)

3

1 3

2 1

1

3 1 9

9

−4

−3

−2

−1

1 −1 −2 −3 −4 −5

2

3

4

5

30

A  5. f ( x)  e , e  2.71 x

9

x

f(x)

y

8 7 6 5

0

1

1

e

2

2

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1

2 e 1

1 e

1 2 2 e

4 3 1

−2 −3 −4 −5 −6 −7 −8 −9 −10

x 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

BIBLIOGRAFÍA •www.pdfcoke.com •www.google.com •Blogger

ANEXOS

31