Physics Introduction

Introduction to Physics (Mainly Mechanics)

(‫מבוא לפיסיקה )בעיקר מכניקה‬ ,‫ הפקולטה למדעים מדויקים ע"ש סאקלר‬,‫בית הספר לכימיה‬ ‫אוניברסיטת תל אביב‬ School of Chemistry, Sackler Faculty of Exact Sciences, Tel Aviv University

Israel Schek ‫ישראל ֶשׁק‬ ‫ ישראל שק‬Israel Schek

1

http://www.tau.ac.il/chemistry/undergraduate/undergraduate-courses.html

‫ ישראל שק‬Israel Schek

Israel Schek ‫ישראל ֶשׁק‬ 215 ‫בנין אורנשטיין‬ 03-6408326 ‫טלפון‬

2

‫ספרות בעברית‬ ‫ההרצאות‬ ‫"מכאניקה ניוטונית" – עדי רוזן‪ ,‬זאב קרקובר‪ ,‬מכון וייצמן‬ ‫"מכאניקה"‪ ,‬פ‪ .‬ו‪ .‬סירס‪ ,‬מ‪ .‬ו‪ .‬זימנסקי )‪(Sears, Zemansky‬‬ ‫"מכאניקה"‪ ,‬יורם אשל‬

‫•‬ ‫•‬ ‫•‬ ‫•‬

‫‪3‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מהי מכניקה‬ ‫½ מכניקה ‪ -‬התחום בפיסיקה העוסק בכוחות שגופים מפעילים זה על זה‪,‬‬ ‫ובתנועה שהגופים נעים בה תחת השפעת כוחות אלה‪.‬‬ ‫½ הגופים הנידונים הם בכל סידרי‪-‬הגודל‪ :‬החל בחלקיקים אלמנטאריים‪,‬‬ ‫אטומים‪ ,‬מולקולות‪ ,‬גופים מיקרוסקופיים‪ ,‬גופים מאקרוסקופיים‪,‬‬ ‫פלנטות‪ ,‬כוכבים‪ ,‬וכלה בגלאקסיות וצבירי גלאקסיות‪.‬‬ ‫½ סוגי הכוחות משתנים )ובהתאם גם צורתם הפונקציונאלית(‪,‬‬ ‫אבל חוקים מכאניים מסוימים חלים בכל סדרי‪-‬הגודל‪.‬‬ ‫½ קינמאטיקה היא התחום המתאר את התנועה של הגופים‬ ‫)למשל‪ :‬שינוי מקום כפונקציה של הזמן(‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫יחידות אורך‬

‫‪5‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫סולם מרחקים‬

‫‪6‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫הגדרת יחידת הזמן‬ ‫½ יחידת הזמן היא גודל שרירותי‪ ,‬אבל יש להיות עקביים בהגדרה‬ ‫½ שניה סטנדרטית נקבעת כזמן של ‪9,192,631,770‬‬ ‫)בערך ‪ 10‬מיליארד( תנודות של אור הנפלט מאטום צזיום‬ ‫)קרינה הנובעת ממעבר בין שתי רמות אלקטרוניות על‪-‬דקות במצב‬ ‫היסוד של ‪.(Cs‬‬ ‫½ לחילופין )ההגדרה הקלאסית‪ ,‬שאינה מדויקת(‪ 1/60 :‬של הדקה‬ ‫)שהיא ‪ 1/60‬של השעה‪ ,‬שהיא ‪ 1/24‬של היממה – שאינה מדויקת(‬

‫‪7‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫הגדרת יחידת האורך‬

‫‪8‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫סולם זמנים‬

‫‪9‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫סולם מהירויות‬

‫‪10‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫קידומות סדרי גודל‬

‫שימו לב‪:‬‬ ‫הקפיצות בד"כ בשלושה סדרי גודל‬

‫‪11‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

?‫מי יגיע קודם‬

Conceptual Physics by Paul G. Hewitt

‫ ישראל שק‬Israel Schek

12

‫מי יגיע קודם?‬

‫) ב(‬

‫ניסוי גליליאו להוכחת הנפילה החופשית‬ ‫)שלפי המסופר נערך בעיר פיזה‪ ,‬לערך‬ ‫‪(1585‬‬ ‫)לפי המסופר הצופים בניסוי טענו שגלילאו‬ ‫כישף את האבנים באומרם‪" :‬אין כזה‬ ‫דבר"(‬

‫‪Paul G. Hewitt, Conceptual Physics‬‬

‫‪13‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫)‪Galileo Galilei (1564-1642‬‬ ‫½ גליליאו היה המדען הראשון שהשתמש בטכניקות שאנו מייחסים למדע‬ ‫המודרני‪) .‬מקבילו בכימיה היה אנטואן לאבואזיה ‪.((1743-1794) -‬‬ ‫½ למרות שגליליאו עדיין לא ניסח את משוואות התנועה )עשה זאת ניוטון(‪,‬‬ ‫הוא תפס את חשיבותו הראשונית של מושג הזמן בתנועה‪.‬‬ ‫½ בהפנותו את הטלסקופ אל השמים )אל הירח( פרץ דרך – ניתן לבחון‬ ‫מדעית את השמים השגיאים והמושלמים לכאורה‪ ,‬כמו את הגופים‬ ‫הארציים הבלתי מושלמים‪.‬‬ ‫½ יש לבצע ניסויים כדי לבחון תיאוריות‪.‬‬

‫‪14‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫צפיפות ‪ -‬מי שוקל יותר –‬ ‫קילוגרם עופרת או קילוגרם נוצות ?‬

‫‪15‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫צפיפות‪:‬‬ ‫משקל ליחידת נפח‬

‫‪d = w/V‬‬ ‫‪¾ d: density‬‬ ‫‪¾ w: weigh‬‬ ‫‪¾ V: volume‬‬

‫½ הצפיפות אופיינית לחומר הנדון ותלויה בטמפרטורה‬

‫‪16‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫וכעת בעיה קטנה‪ :‬מהו משקל כדור הארץ ?‬

‫‪17‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מהו משקל כדור הארץ ?‬

‫) ב(‬

‫½ מהו נפח כדור הארץ?‬ ‫½ מהי צפיפות כדור הארץ?‬

‫‪V = 4π / 3 × R‬‬ ‫‪π = 3.14159265......... ≈ 3.14 ≈ 3.‬‬ ‫‪3‬‬

‫½ מהו אם כן רדיוס כדור הארץ?‬

‫‪18‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מהו משקל כדור הארץ ?‬

‫) ג(‬

‫½ כדור הארץ הוא כדור פחוס‬

‫½ הקף קו המשווה בערך ‪ 40‬אלף קילומטר ‪2πR ≈ 4. × 10 4 km‬‬

‫≈ ‪R ≈ 4. ×10 km / 2π ≈ 4. × 10 km / 6.‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪4‬‬

‫‪≈ 6.4 ×103 km‬‬

‫‪19‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

? ‫מהו נפח כדור הארץ‬ R 3 ≈ (6.4 × 6.4 × 6.4) × 109 km 3 ≈ 2.6 ×10 2 ×109 km 3 = 2.6 ×10 km 11

3

4 π / 3 ≈ 4. ∴ V ≈ 4. × 2.6 × 10 km = 10.4 × 10 km ≈ 10 km

3

‫ ישראל שק‬Israel Schek

20

11

3

11

3

12

‫מהי צפיפות כדור הארץ ?‬

‫)א (‬

‫‪d water (3.98 C) = 1.000000g / ml‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪d mercury (0 C) = 13.5955gr / ml‬‬ ‫‪o‬‬

‫‪3‬‬

‫‪= 5.5g / cm‬‬

‫‪average‬‬ ‫‪earth‬‬

‫‪d‬‬

‫צפיפות הארץ – בערך פי חמישה צפיפות המים‬

‫‪21‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

? ‫מהי צפיפות כדור הארץ‬ (‫מעבר יחידות )ב‬ 1km = 103 m = 103 × 10 2 cm = 105 cm 1km = 10 cm 3

15

3

1kg = 103 g −3

∴1gr / cm = 10 kg / 10 3

d

‫ ישראל שק‬Israel Schek

average earth

−15

km = 10 kg / km 3

12

= 5.5 × 10 kg / km 12

3

3

22

‫משקל כדור הארץ‬

‫≈ ‪m earth = Vearth × d earth‬‬ ‫‪10 km × 5.5 ×10 kg / km = 5.5 ×10 kg‬‬ ‫‪24‬‬

‫‪3‬‬

‫‪12‬‬

‫‪3‬‬

‫‪12‬‬

‫משקל הארץ הוא בסדר גודל של ‪ 10‬בחזקת ‪ 24‬קילוגרם‪.‬‬ ‫המקדם ‪ 5.5‬פחות חשוב לצרכים שלנו ולשרירים של אטלס‪.‬‬

‫‪23‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מה היה חשוב לנו בחישובים ?‬

‫½ יחידות – חובה מוחלטת לציין ממדים‬ ‫למשל‪ ,‬חס ושלום לא להחסיר ‪ m3, km3‬בביטוי הנפח‪ ,‬או ‪ gr‬בביטוי משקל‪ ,‬וכיוצא בזאת‪.‬‬

‫½ סדרי גודל חשובים מאשר דיוק בספרות ערך‬ ‫)ביחוד כאשר אין לנו נתונים מדויקים(‬ ‫אין טעם לדייק בספרות הערך אם אין מקפידים על החזקה עצמה !‬

‫‪24‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫קינמאטיקה – תנועה בקו ישר‬ ‫½ אורך וזמן הם מושגים ראשוניים הברורים לנו מבחינה אינטואיטיבית‪.‬‬ ‫½ את התובנה המודרנית של מושג התנועה והשלכותיו על הבנת הטבע הביע‬ ‫לראשונה החוקר האיטלקי הדגול )‪Galileo Galilei (1564-1642‬‬ ‫½ גליליאו העז לבטל את תפיסותיו המקובלות )ומקודשות ע"י הכנסייה( של‬ ‫אריסטו‪.‬‬ ‫½ למעשה גליליאו גלילי היה הראשון שעמד על כך ש‪:‬‬

‫כדי שגוף ינוע בקו ישר ללא שינוי במהירותו‪,‬‬ ‫אין צורך בכוח שיפעל על הגוף‪.‬‬ ‫½ הוא חקר טענה זאת באופן ניסיוני‪ .‬הדרישה לחקירה ניסיונית היא אחת‬ ‫מתרומותיו הפנטסטיות לחקר המדע )עד כמה שהדבר ישמע מוזר(‪.‬‬ ‫‪25‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫קינמאטיקה – הנימוק של גליליאו‬

‫‪26‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫קינמאטיקה – ללא חיכוך‬ .‫½ללא חיכוך הגוף יתמיד בתנועה קצובה‬ (Galileo” Dialogues Concerning the Two New Sciences”)

‫ ישראל שק‬Israel Schek

27

‫תיאור מקום הגוף‬ ‫תאור מקומו של גוף הנע על קו ישר נעשה בעזרת ציר מקום )‪ ,(x‬המאופיין ע"י‪:‬‬ ‫™ א( יחידת אורך‬ ‫™ ב( נקודת ראשית )מסומנת למשל ע"י האינדקס ‪(0‬‬ ‫™ ג( כיוון ציר‬ ‫½ המקום הוא שיעור הנקודה ‪ x‬על הציר‪ ,‬בה הגוף נמצא‪.‬‬ ‫½ אם גוף נמצא ברגע מסוים בנקודה ששיעורה ‪ x1‬ולאחר מכן בנקודה ששיעורה‬ ‫‪ ,x2‬אזי ההעתק מ‪ x1 -‬ל‪ x2 -‬מוגדר על‪-‬ידי ההפרש‪∆x = x 2 − x1 :‬‬ ‫½ דרכים מקובלות לתיאור תנועה )הצגת המקום כפונקציה של הזמן( הן‪:‬‬ ‫טבלה‪ ,‬גרף וביטוי מתמטי‪.‬‬ ‫‪28‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מהירות )‪(Velocity‬‬ ‫הגדרות לתנועה כללית‪:‬‬ ‫½ ממוצע יצוין להלן ע"י סוגריים זוויתיים‪<> :‬‬ ‫½ מהירות‪ :‬קצב רגעי של שנוי המקום )נגזרת ביחס לזמן של מקום החלקיק(‪:‬‬ ‫½ מהירות ממוצעת‪:‬‬ ‫½ מהירות רגעית‪:‬‬

‫‪29‬‬

‫‪∆x‬‬ ‫=> ‪< v‬‬ ‫‪∆t‬‬

‫‪∆x dx‬‬ ‫‪v = lim‬‬ ‫≡‬ ‫‪∆t →0 ∆t‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה קצובה בקו ישר‬ ‫½ תנועה קצובה היא תנועה שבה גוף עובר העתקים שווים בפרקי זמן שווים‬ ‫)בתנועה על קו ישר(‪.‬‬ ‫½ פונקצית "מהירות‪-‬זמן"‪.v=const :‬‬ ‫גרף "מהירות‪-‬זמן"‪ :‬קו ישר המקביל לציר הזמן‪.‬‬ ‫½ פונקצית "מקום‪-‬זמן"‪.x=x0+vt :‬‬ ‫גרף "מקום‪-‬זמן"‪ :‬קו ישר משופע‪.‬‬

‫‪30‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תאוצה )‪(Acceleration‬‬ ‫תאוצה‪ :‬קצב רגעי של שנוי המהירות‬ ‫)נגזרת ביחס לזמן של מהירות החלקיק =נגזרת שניה ביחס לזמן של המקום(‪:‬‬ ‫½ תאוצה ממוצעת‪:‬‬ ‫½ תאוצה רגעית‪:‬‬

‫‪∆v‬‬ ‫‪∆t‬‬

‫=> ‪< a‬‬

‫‪∆v dv d 2 x‬‬ ‫‪a = lim‬‬ ‫≡‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪∆t →0 ∆t‬‬ ‫‪dt dt‬‬

‫½ תנועה שוות תאוצה היא תנועה שבה התאוצה קבועה‬ ‫)למשל נפילה חופשית(‪.‬‬ ‫½ פונקצית "מהירות‪-‬זמן"‪v=v0+at :‬‬ ‫½ במקרה זה תאור גרפי "מהירות‪-‬זמן" הוא קו ישר‪.‬‬

‫‪31‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫קצב )‪(Rate‬‬ ‫½ שים לב‪ :‬קצב ממוצע הוא גודל המתאר שינוי על תחום סופי )גם אם קטן(‪.‬‬ ‫קצב רגעי מתאר שינוי על תחום קצר לאין שעור‪.‬‬ ‫½ על‪-‬כן ניתן לומר שהקצב הרגעי הוא "הקצב המדויק"‪ ,‬ואילו הקצב הממוצע‬ ‫הוא "רק מקורב"‪.‬‬ ‫½ עם זאת‪ ,‬בבעיות ריאליסטיות‪ ,‬הפונקציה שאת השינוי שלה מחפשים‪,‬‬ ‫לפעמים אינה נתונה במפורש‪.‬‬ ‫½ למשל זהו גודל שנמדד בניסוי‪ ,‬או גודל מחושב בפרקי זמן נתונים‪.‬‬ ‫יודעים את ערכו רק בקירוב ורק בפרקי זמן מסוימים )אך לא בפרקי זמן‬ ‫צפופים יותר(‪ .‬הפונקציה ידועה אם כך לא במפורש‪ ,‬אלא כסדרת מספרים‪.‬‬ ‫אין ברירה אלא להתייחס לנגזרת כאל שיפוע מקורב של סדרת המספרים‪,‬‬ ‫וזהו קצב ממוצע על פני מרווחי הזמן הנתונים‪.‬‬ ‫‪32‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מהירות כשיפוע )נגזרת(‬

‫אם הפונקציה רציפה וגזירה‪ ,‬נתקרב יותר ויותר לשיפוע הנקודתי )"האמיתי"( ככל‬ ‫שמרווח הזמן קטן‪ .‬הקצב יהיה שיפוע המשיק לפונקציה בנקודת הזמן הנדונה‪.‬‬ ‫במציאות מסתפקים בגדלים מקורבים‪ ,‬לפי הדיוק הנדרש‪ ,‬וככל שזמן המדידה‬ ‫והחישוב מספקים אותנו‪.‬‬ ‫‪33‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

(‫) א‬

‫מהו אינטגרל‬

Schaum, Calculus ‫ ישראל שק‬Israel Schek

34

(‫) ב‬

‫מהו אינטגרל‬

Resnick, Halliday ‫ ישראל שק‬Israel Schek

35

‫המקום – פונקציה של תנאי התחלה‬

‫)א(‬

‫½ לקבלת פונקצית "מקום‪-‬זמן" נבצע אינטגרציה על פני הזמן‬ ‫של פונקצית המהירות )‪:v(t‬‬

‫‪at 2‬‬ ‫‪x ( t ) = ∫ v( t )dt = x 0 + v 0 t +‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t‬‬

‫½ במקרה זה שבו התאוצה קבועה )בלתי תלויה בזמן(‬ ‫התיאור הגראפי "מקום‪-‬זמן" הוא פרבולה‪.‬‬

‫‪36‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫המקום – פונקציה של תנאי התחלה‬

‫)ב(‬

‫דרך אחרת‪ ,‬ללא שימוש מפורש באינטגרציה‪:‬‬ ‫½ המהירות הממוצעת בין הזמנים )‪ (0,t‬היא‪v 0 + v :‬‬ ‫= ‪v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v0 + v‬‬ ‫½ ולכן המקום נתון ע"י‪:‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪x = x0 + v t = x0 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫½ אולם‪ ,v=v0+at :‬ובהציבנו נקבל את הקשר הפרבולי‪.‬‬ ‫½ אם נחלץ את הזמן‪t=(v-v0)/a :‬‬ ‫ונציב ערך זה בביטוי ל‪ x -‬ונקבל קשר שבו הזמן אינו מפורש‪:‬‬

‫) ‪v = v + 2a ( x − x 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪37‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫המקום – פונקציה של תנאי התחלה‬

‫)ג(‬

‫‪x0=1.; v0=4. a0=-1.‬‬ ‫‪x0=1.; v0=1. a0=1.‬‬ ‫‪x0=1.; v0=-4. a0=1.‬‬

‫‪38‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫נפילה חופשית – תנועה שוות תאוצה‬ ‫½ נפילה חופשית היא תנועת גוף בהשפעת כוח הכובד בלבד‪.‬‬ ‫זוהי תנועה שוות תאוצה וכיוונה אל מרכז האדמה‪.‬‬ ‫½ לכל הגופים )ללא תלות במאסה( אותה תאוצה על פני הארץ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪39‬‬

‫‪g = 9.81m / s ≈ 10m / s‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫דוגמה לבעיה קינמאטית‬

‫)א(‬

‫½ דוגמה לבעיית תנועה עם פונקציה מפורשת )מקום החלקיק נתון‬ ‫כפונקציה מפורשת של הזמן(‪:‬‬

‫‪x ( t ) = at 3 − 3bt 2 + 2ct‬‬ ‫½ שים לב שבגלל העדר מקדמים מתאימים אנו מתעלמים כאן‬ ‫מהממדים‪ .‬לחילופין‪ ,‬לזמן ולמקום יש ממד של יחידה‪.‬‬ ‫אנו ניקח‪a=1, b=1, c=1 :‬‬ ‫½ תאור גראפי של המקום בתלות בזמן בין ההתחלה ‪ t=0‬לבין זמן‬ ‫שרירותי‪ ,‬למשל ‪ t=3‬ניתן להלן‪.‬‬

‫‪40‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫דוגמה לבעיה קינמאטית‬

‫‪41‬‬

‫) ב(‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫דוגמה לבעיה קינמאטית‬

‫)ג(‬

‫½ באמצעות הפונקציה המפורשת נוכל לחקור את התנועה באופן אנאליטי‪:‬‬ ‫½ שאלה‪ :‬מה זמן המעבר דרך נקודת הראשית ‪?x=0‬‬ ‫½ פותרים את המשוואה ממעלה שלישית ‪x=t3-3t2+2t=0 ,‬‬ ‫או‪t(t2-3t+2)=0 :‬‬ ‫½ שלושה הפתרונות )השורשים( המתקבלים הם‪:‬‬ ‫א( הפתרון הטריוויאלי ‪,t1=0‬‬ ‫ב‪ ,‬ג( פתרון המשוואה הריבועית‪.t3=2 ,t2=1 :‬‬ ‫)שים לב‪ ,‬איננו מציינים כאן את יחידות הזמן(‪.‬‬

‫‪42‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫דוגמה לבעיה קינמאטית‬

‫)ד(‬

‫שאלה‪:‬‬ ‫מה הזמן בו המערכת עוברת דרך נקודות האקסטרמום )מינימום ומקסימום(?‬ ‫‪dx‬‬ ‫= ) ‪v( t‬‬ ‫גוזרים את הפונקציה ומשווים את הנגזרת לאפס‪= 3t 2 − 6t + 2 = 0 :‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫‪3‬‬ ‫⇐‬ ‫‪m‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪= 1±‬‬

‫‪1, 2‬‬

‫‪t‬‬

‫בזמנים אלה התנועה נעצרת ‪ -‬המהירות‪ ,‬שהיא נגזרת המקום‪ ,‬מתאפסת‪.‬‬

‫‪43‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫איור לתנועה קצובה‬ ‫שלושה אופנוענים נעים בכביש ישר שלצדו גדר עמודים‪ .‬מרווחי העמודים קבועים )למשל ‪ 2‬מטר(‪.‬‬ ‫אופנוען ג' עובר העתקים שווים בפרקי זמן שווים‪ .‬תנועתו קצובה‪ ,‬ומהירותו ‪ 4‬מטר בשניה‪.‬‬ ‫גם אופנוען ד' נע בתנועה קצובה‪ ,‬אלא שמהירותו גדולה יותר )‪ 6‬מטר בשניה(‪.‬‬

‫‪44‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫וקטורים‬ ‫וקטור ‪ A‬מאופיין על ידי שני פרמטרים‪:‬‬ ‫™גודלו ‪) A‬מספר היחידות הכלולות בו(‬ ‫™כיוונו‪ ,‬המתואר בעזרת זווית )‪ θ‬למשל( ביחס לציר ייחוס כלשהו‪.‬‬ ‫שני וקטורים שווים רק אם הם‪:‬‬ ‫™שווי גודל‬ ‫™שווי כיוון‪.‬‬ ‫½וקטור האפס הוא וקטור שגודלו שווה לאפס )אין משמעות לכיוונו(‪.‬‬ ‫½אם ‪ A‬הוא וקטור‪ ,‬לווקטור הנגדי )מסומן ב‪ (– A -‬אותו גודל וכיוון הפוך‪.‬‬

‫‪45‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫חיבור וקטורים‬

‫)א(‬

‫½בין וקטורים )מאותו סוג( מוגדרת פעולת חיבור‪:‬‬ ‫תוצאת פעולת החיבור היא וקטור חדש‪ ,‬הנקבע על‪-‬פי דרכים גיאומטריות‬ ‫למציאת סכום וקטורים‪.‬‬ ‫½נתונים שני וקטורים ‪ A‬ו‪:B -‬‬

‫‪46‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫חיבור וקטורים‬

‫)ב(‬

‫½ שתי דרכי החיבור שקולות זו לזו‪.‬‬ ‫½ ‪ C‬הוא הווקטור השקול לווקטורים ‪ A‬ו‪.B -‬‬ ‫‪47‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫חיסור וקטורים‬ ‫½ אם ‪ A‬ו‪ B -‬הם שני וקטורים‪ ,‬ההפרש ביניהם ‪ B – A‬מוגדר כך‪:‬‬ ‫)‪A − B = A + (− B‬‬ ‫½ כלומר‪ -‬בחיסור מחברים לראשון את הנגדי של השני‪.‬‬ ‫½ להלן ‪ 3‬דרכים גיאומטריות )שקולות( לקביעת ההפרש הווקטורי ‪,‬‬ ‫כאשר הווקטורים ‪ A‬ו‪ B -‬מתוארים למעלה בשרטוט‪:‬‬

‫‪48‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מערכת קארטזית‪ ,‬רכיבים‬

‫)א(‬

‫½ אם ‪ A‬הוא וקטור ו‪ a -‬סקאלר‪ ,‬אז המכפלה ‪ aA‬מוגדרת כווקטור‬ ‫שגודלו ‪) aA‬כלומר פי ‪ a‬מגודלו של ‪ (A‬וכיוונו שווה לזה של ‪ A‬אם ‪a‬‬ ‫חיובי ומנוגד לו אם ‪ a‬שלילי‪.‬‬ ‫½ ניתן לאפיין וקטור במערכת צירים קארטזית באמצעות שני רכיביו‬ ‫הקארטזיים ‪ Ax‬ו‪.Ay -‬‬ ‫ע"ש המתמטיקאי והפילוסוף הצרפתי )‪Réne Descartes (1596-1650‬‬ ‫שהיה גם הראשון שטבע את המושג חוק שימור התנע‪.‬‬

‫‪49‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מערכת קארטזית‪ ,‬רכיבים‬

‫)ב(‬

‫‪sinθ=a/c‬‬ ‫‪cosθ=b/c‬‬

‫½ הקשרים בין גודל הווקטור ‪ A‬וכיוונו ‪ θ‬לבין רכיביו ‪ Ax‬ו‪ Ay -‬הם‪:‬‬

‫‪A x = A cosθ; A y = A sin θ‬‬

‫‪50‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מערכת קארטזית‪ ,‬רכיבים‬

‫)ג (‬

‫½ נוסחאות לחישוב הגודל והכיוון על‪-‬פי הרכיבים‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Ay‬‬

‫‪+‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪Ax‬‬

‫=‪A‬‬

‫‪= tan θ‬‬

‫‪Ay‬‬ ‫‪Ax‬‬

‫½ כאשר נתונים מספר וקטורים‪ ,‬אזי הסכום האלגברי של רכיבי ‪ x‬של‬ ‫הווקטורים שווה לרכיב ‪ x‬של הווקטור השקול‪.‬‬ ‫אותו כלל יפה גם לגבי רכיבי ‪.y‬‬ ‫במרחב תלת ממדי רכיב ‪ z‬שווה לסכום האלגברי של רכיבי ‪ z‬של‬ ‫הווקטורים‪.‬‬

‫‪51‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫רנה דקארט )‪(1596-1650‬‬

‫‪52‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫דוגמה‪ :‬קואורדינאטות ‪ -‬רכיבי המקום‬ ‫½ מקום‪ :‬ניתן לתאר את מקומו של גוף הנע בשני ממדים במערכת צירים‬ ‫קארטזית )יש מערכות אחרות בהן איננו עוסקים(‪.‬‬ ‫½ המקום ‪ r‬של גוף הוא וקטור שזנבו בנקודת ראשית הצירים וראשו‬ ‫בנקודה בה הגוף נמצא‪.‬‬ ‫½ ניתן לאפיין את וקטור המקום על‪-‬ידי הצגות שונות‪ :‬השעורים‬ ‫הקארטזיים‪ ,(x,y) :‬או ע"י אורכו ‪ r‬וכיוונו ‪ θ‬עם ציר ה‪ ,x -‬הקשרים בין‬ ‫שתי ההצגות‪:‬‬

‫‪y = r sinθ‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪r= x +y‬‬

‫‪x = r cosθ‬‬

‫‪y / x = tgθ‬‬

‫½ הגדרת מקום בשני ממדים היא הכללה של המושג "מקום" בממד אחד‪.‬‬ ‫‪53‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫העתק‬ ‫½ העתק‪ :‬אם גוף נמצא ברגע מסוים במקום ‪ ,r1‬ולאחר מכן במקום ‪ ,r2‬אזי‬ ‫ההעתק בתנועתו מ‪ r1 -‬ל‪) r2 -‬במסלול כלשהו( מוגדר על‪-‬ידי‪:‬‬

‫‪∆r = r 2 − r1‬‬ ‫זהו וקטור שזנבו ב‪ r1 -‬וראשו ב‪.r2 -‬‬ ‫½ רכיביו הקארטזיים של ההעתק‪:‬‬

‫‪∆x = x 2 − x 1 ; ∆y = y 2 − y1 ; ∆z = z 2 − z1‬‬

‫‪54‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מהירות ממוצעת‪ -‬הרחבה לשלושה ממדים‬ ‫הגדרת המהירות בשני ממדים היא הכללה של המושג "מהירות" בממד אחד‪.‬‬ ‫½ מהירות ממוצעת‪∆ r :‬‬ ‫= ‪v‬‬ ‫‪∆t‬‬

‫‪∆r dr‬‬ ‫≡‬ ‫‪∆t → 0 ∆t‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪v = lim‬‬

‫½ מהירות רגעית‪:‬‬ ‫שים לב לסימן הוקטור מתחת לאותיות המתאימות‪.‬‬ ‫½‬ ‫½‬ ‫½‬ ‫½‬

‫‪∆x‬‬ ‫‪∆t → 0 ∆t‬‬

‫‪v x = lim‬‬

‫‪∆y‬‬ ‫‪∆t → 0 ∆t‬‬

‫‪v y = lim‬‬

‫רכיבים קארטזיים של מהירות רגעית‪:‬‬ ‫הגדרת התאוצה בשנים‪-‬שלושה ממדים היא הכללה של המושג "תאוצה"‬ ‫בממד אחד‪.‬‬ ‫‪∆v‬‬ ‫=> ‪< a‬‬ ‫תאוצה ממוצעת בשלושה ממדים‪:‬‬ ‫‪∆t‬‬ ‫תאוצה רגעית‪:‬‬ ‫‪∆v dv‬‬ ‫≡‬ ‫‪∆t → 0 ∆t‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪a = lim‬‬

‫‪55‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מהירות ומסלול‬ ‫½ המהירות משיקה בכל נקודה למסלול התנועה‪.‬‬ ‫½ לגוף הנע במסלול עקום יש תאוצה )גם אם גודלה המספרי של המהירות‬ ‫קבוע(‪.‬‬ ‫½ הרכיב המשיקי )‪ (aT‬של התאוצה מבטא את קצב שינוי גודל המהירות‪.‬‬ ‫½ הרכיב הרדיאלי )‪ (aR‬מבטא את קצב שינוי כיוון המהירות‪.‬‬ ‫½ תנועה קצובה היא תנועה בה גודל המהירות אינו משתנה‪.‬‬ ‫½ בתנועה קצובה במסלול עקום‪ ,‬התאוצה בכל נקודה ניצבת למהירות‪,‬‬ ‫ופונה לצד הקעור של המסלול‪.‬‬

‫‪56‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫כוח )‪(Force‬‬ ‫½ כוח הוא הגורם החיצוני המביא לשינוי תנועתו של גוף )למשל שינוי‬ ‫מהירותו של גוף(‪.‬‬ ‫½ כוחות הם וקטורים‪ ,‬כלומר מאופיינים על‪-‬ידי גודל וכיוון‪ ,‬וחיבורם נעשה‬ ‫על‪-‬פי כללי חיבור וקטורים‪.‬‬ ‫½ כוח הכובד הוא כוח שכל מאסה ביקום מפעילה על כל מאסה אחרת‪.‬‬ ‫זהו אחד הכוחות הבסיסיים בטבע‪.‬‬ ‫כוח הכובד פועל מרחוק ויורד לפי רבוע המרחק בין שני הגופים‪.‬‬ ‫½ משקל גוף )‪ ,w‬תחילת המלה ‪ (weight‬מוגדר ככוח הכובד הפועל על גוף‬ ‫המונח על כדור הארץ‪.‬‬

‫‪57‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מדידת כוח‬

‫)א(‬

‫½ מאזני קפיץ משמשים למדידת כוח‪.‬‬ ‫½ המרכיב העיקרי של המאזניים הוא קפיץ‪.‬‬ ‫½ הקפיץ הוא אמצעי למדידת כוח בזכות תכונת האלסטיות שלו‪.‬‬ ‫½ הוראת המאזניים שווה לגודלו של כל אחד משני כוחות שווים הפועלים‬ ‫בקצות הקפיץ‪.‬‬

‫‪58‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מדידת כוח‬

‫) ב(‬

‫½ ליניאריות הקפיץ אינה חיונית‪ ,‬אך היא מקלה על המדידה‪.‬‬ ‫½ כיול מאזניים מבוסס על חוק הוּק )‪:(Hook‬‬ ‫כאשר ‪ ∆ℓ‬הוא ערך השנוי באורך הקפיץ‪,‬‬ ‫‪ k‬הוא קבוע האלסטיות של ‪.Hook‬‬

‫‪F = − k∆l‬‬

‫½ חוק זה נכון רק בקירוב‪ ,‬כל עוד התארכות הקפיץ קטנה‬ ‫)אז הקפיץ נמצא בתחום האלסטי(‪.‬‬ ‫כאשר ההתארכות גבוהה‪ ,‬הקפיץ עובר לתחום הפלאסטי‪ ,‬ואינו חוזר‬ ‫למצבו ההתחלתי‪.‬‬

‫‪59‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫החוק הראשון של ניוטון )חוק ההתמדה(‬

‫)א(‬

‫מהירותו של גוף חופשי )שאין פועלים עליו כוחות(‬ ‫אינה משתנה )לא בגודלה ולא בכיוונה(‪.‬‬

‫‪60‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫החוק הראשון של ניוטון )חוק ההתמדה(‬

‫) ב(‬

‫½גוף הנתון להשפעת כוחות‪ ,‬שהשקול שלהם שווה לאפס‬

‫‪∑ j Fx ; j = 0; ∑ j Fy; j = 0; ∑ j Fz; j = 0‬‬ ‫מתנהג כגוף חופשי‪.‬‬ ‫½בתנאים אלה מהירות הגוף אינה משתנה‪ .‬זהו תנאי התמדה‪.‬‬ ‫להלן הכלל יוצג כמקרה פרטי של החוק השני של ניוטון‪.‬‬ ‫½הסימן )סיגמא גדולה ביוונית( מסמל סכום של איברים עם אינדקס רץ )‪.(j‬‬ ‫½למקרה הזה‪ ,‬שבו התנועה קצובה נתייחס כאל סטאטיקה‪:‬‬ ‫מערך הכוחות של מערכת מכאנית בשיווי‪-‬משקל‪.‬‬ ‫‪61‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫גוף מופעל ע"י כוחות חיצוניים בלבד‬ ‫גוף אינו מפעיל כוח על עצמו‪.‬‬ ‫המקרה היחיד הידוע לי שבו הופר החוק הראשון של ניוטון‪ ,‬לפי עדותו המהימנה‬ ‫של הבארון הירונימוס פון מינכהאוזן‪ :‬הנה הוא שולף את עצמו ואת סוסו הליטאי‬ ‫מן הביצה )אליה הגיעו במרדף בעת ציד(‪.‬באוחזו בציציות שערותיו‪:‬‬ ‫‪Gottfried August Bürger: Die Abenteuer des Barons von Münchhausen‬‬

‫‪62‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫יחידות כוח‬

‫) א(‬

‫יחידות כוח עשרוניות‪:‬‬ ‫½ ‪MKS‬‬ ‫‪ - 1 Newton‬הכוח הדרוש להאיץ מאסה בת ‪ 1 Kg‬לתאוצה בת ‪.1 m/sec2‬‬

‫½ ‪cgs‬‬ ‫‪ - 1 dyne‬הכוח הדרוש להאיץ מאסה בת ‪ 1 gr‬לתאוצה בת ‪.1 cm/sec2‬‬ ‫½ הקשר ביניהן‪:‬‬

‫‪1N = 1Kg × m / sec 2 = 10 3 gr × 10 2 cm / sec 2 = 10 5 dyne‬‬

‫‪63‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫יחידות כוח‬

‫) ב(‬

‫½ מכיוון שאנו נוהגים להשתמש בגדלים גראם וקילוגרם הן עבור מאסה‬ ‫והן עבור המשקל )שהוא כוח(‪ ,‬יש צורך במשנה זהירות‪.‬‬ ‫לצורך הכוח נשתמש בגדלים "גראם כוח"‪ ,‬ו‪"-‬קילוגרם כוח" ונסמנם‪:‬‬ ‫*‪gr*, Kg‬‬ ‫½ הקשר בין יחידת הכוח *‪ Kg‬ויחידת הכוח ‪ 1 Newton‬אינו עשרוני‪.‬‬ ‫*‪ 1 Kg‬הוא המשקל של מאסה בת ‪1 Kg‬‬ ‫שמשקלה ביחידות ‪ MKS‬הוא‪:‬‬ ‫‪w = mg ~ 1 Kg×9.81 m/sec2 = 9.81 Newton‬‬ ‫לכן‪.1 Kg* ~ 9.81 N :‬‬ ‫)אם כי בקירוב ניתן לומר ש *‪ 1 Kg‬קרוב בערכו ל‪.(10 Newton -‬‬ ‫‪64‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫החוק השלישי של ניוטון )פעולה ותגובה(‬ ‫אם גוף אחד מפעיל כוח על משנהו‪,‬‬ ‫אז גם השני מפעיל כוח על הראשון‪.‬‬ ‫שני הכוחות שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם‪.‬‬

‫‪Paul G. Hewitt, Conceptual Physics‬‬ ‫‪65‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫החוק השלישי של ניוטון )פעולה ותגובה(‬ ‫½ כאשר כוחות פועלים בשני קצות חבל‪ ,‬הוא נמצא במצב מתיחה‪.‬‬ ‫אם הכוחות בקצותיו שווים בגודלם‪ ,‬וכוחות אחרים אינם פועלים על‬ ‫החבל‪ ,‬אזי גודלו של כל אחד מכוחות אלה מכונה מתיחות החבל‪.‬‬ ‫½ למרות שהדבר נשמע בראשונה מוזר‪ ,‬גוף כלשהו על פני האדמה מושך‬ ‫את כדור הארץ באותו כוח שכדור הארץ מושך אותו אליו )דהיינו משקל‬ ‫הגוף(‪.‬‬

‫‪66‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫כוח נורמאלי )‪(Normal‬‬ ‫נדון בשני כוחות הפועלים במשטח המגע בין גופים‪:‬‬ ‫½ כוח נורמלי‪ :‬כאשר גופים נלחצים זה כלפי זה‪ ,‬הם נוטים להתעוות )להתכווץ(‬ ‫בכיוון הכוח‪ ,‬ומפעילים האחד על משנהו כוחות שהשקול שלהם כיוונו ניצב‬ ‫למשטח המגע בין הגופים‪.‬‬ ‫½ גוף מונח על שולחן‪ ,‬וכיון "שיש לו משקל"‪ ,‬כלומר הוא נמשך אל האדמה‪ ,‬הוא‬ ‫מעיק על השולחן בכוח שערכו שווה למשקל הגוף‪.‬‬ ‫לפי החוק השלישי השולחן מפעיל על הגוף כוח שווה והפוך במגמתו‬ ‫)הנורמל(‪.‬‬ ‫כעת פועלים על הגוף שני כוחות ולא כוח אחד‪ :‬המשקל והנורמל‪,‬‬ ‫והם מבטלים זה את זה‪.‬‬ ‫שקול הכוחות הפועלים על הגוף הוא אפס‪ ,‬והגוף נח‪ ,‬בהתאם לחוק הראשון‪.‬‬

‫‪67‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫כוח החיכוך )‪(Friction‬‬ ‫½ כוח החיכוך‪ :‬כאשר גופים נלחצים זה כלפי זה נוצרים כוחות חיכוך‬ ‫)‪ (friction‬על פני משטח המגע ביניהם‪ ,‬בכיוון מקביל למשטח‪.‬‬ ‫½ כוח זה נובע מחספוס שטח המגע בין הגופים ומקיומם של כוחות‬ ‫משיכה בין מולקולאריים בין המשטחים )‪.(adhesion‬‬ ‫½ יש צורך בהקניית אנרגיה מינימאלית כדי לשבור קשרים )חלשים אמנם(‬ ‫בין המשטחים הנוגעים זה בזה‪.‬‬ ‫½ בדרך‪-‬כלל גודלו של כוח החיכוך )‪ (fk‬יחסי לכוח הנורמאלי למשטח בין‬ ‫הגופים )‪ :(N‬המקדם ‪ µk‬נקרא מקדם החיכוך הקינטי‪ ,‬וערכו בד"כ קטן‬ ‫מיחידה‪ ,‬והוא תלוי במהות הגופים המתחככים ובמידת החספוס שלהם‪.‬‬ ‫‪68‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫החוק השני של ניוטון )כוח ותאוצה(‬ ‫תאוצתו של גוף מתכונתית לכוח השקול הפועל עליו‪.‬‬ ‫כיוון התאוצה ככיוון הכוח‪.‬‬

‫‪69‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫החוק השני של ניוטון ‪ -‬הקשר בין הכוח והתאוצה‬ ‫½גודל התאוצה נמצא ביחס ישר לגודל הכוח השקול‬ ‫½וביחס הפוך למסת הגוף‪:‬‬

‫‪∑jFj‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫‪m‬‬

‫½אם ‪ ∑ j F j = 0‬מתקבל התנאי להתמדה‬ ‫)ראה החוק הראשון של ניוטון(‪.‬‬

‫‪70‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫החוק השני של ניוטון – כוח ומהירות‬ ‫אפשר לחשב את מקומו‪ ,‬מהירותו ותאוצתו של גוף בכל רגע ורגע‬ ‫אם יודעים את‪:‬‬ ‫™א( תנאי ההתחלה )מקומו ומהירותו של הגוף ברגע ההתחלתי (‪.‬‬ ‫™ב( הכוח השקול הפועל על הגוף בכל רגע ורגע‪.‬‬ ‫½החישוב יבוצע ע"י פתרון של משוואה דיפרנציאלית התלויה בזמן‬ ‫)אינטגרציה(‪:‬‬ ‫‪t‬‬

‫‪t‬‬

‫‪0‬‬

‫‪0‬‬

‫‪v( t ) = v 0 + ∫ a ( t )dt = v 0 + ∫ [F( t ) / m]dt‬‬

‫‪71‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מאסה‬ ‫מאסה של גוף מייצגת שתי תכונות‪:‬‬ ‫½ א( מאסה אינרטית מבטאת את מידת ההתמדה של הגוף‪:‬‬ ‫ככל שמאסתו גדולה יותר – דרוש כוח גדול יותר כדי להקנות לגוף‬ ‫יחידה אחת של תאוצה‪.‬‬ ‫½ ב( מאסה גרוויטציונית מבטאת את עוצמת כוח הכובד הפועל על הגוף‪:‬‬ ‫ככל שמאסתו גדולה יותר – עוצמתו של כוח הכובד הפועל על הגוף‬ ‫גדולה יותר‪.‬‬ ‫½ מאסתו של גוף היא תכונה סגולית של הגוף‪ ,‬ומייצגת את "כמות‬ ‫החומר" בגוף‪.‬‬ ‫½ בפיסיקה קלאסית כל עוד לא הוספנו לגוף חומר או גרענו ממנו חומר –‬ ‫מאסתו קבועה‪.‬‬ ‫‪72‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫יחידת המאסה‬ ‫½ק"ג )‪ (Kg‬היא היחידה התקנית של המסה‪.‬‬ ‫היא אחת משבע היחידות הבסיסיות של מערכת היחידות התקנית )‪,(SI‬‬ ‫והיא מגולמת בגוף השמור במכון התקנים הבינלאומי בפאריס‪.‬‬

‫‪1Kg=103g‬‬ ‫½ניוטון )‪ (1N‬היא היחידה התקנית של כוח‪:‬‬ ‫זהו הכוח הדרוש כדי להאיץ מאסה ‪ 1Kg‬לתאוצה בת ‪.1m/sec2‬‬ ‫½אפשר לקבוע את גודלו של כוח על‪-‬ידי מדידה באמצעות דינמומטר‬ ‫)מאזני קפיץ(‪ ,‬או על‪-‬ידי מדידת התאוצה של גוף הנע בהשפעת הכוח‪,‬‬ ‫מדידת מאסתו‪ ,‬וחישוב מכפלתם‪.‬‬

‫‪73‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫)‪Isaac Newton (1642-1727‬‬ ‫½ניוטון‪ ,‬כנראה ענק המדענים‪ ,‬גיבש את השיטה המדעית )בירושה מגליליאו(‪:‬‬ ‫יש לבצע ניסויים בפועל כדי לבחון השערות ותיאוריות‪.‬‬ ‫½מתוך ההשערות והניסויים )שלו ושל אחרים( הוא פיתח סדרת חוקים‬ ‫מכאניים ואת תורת הכבידה‪.‬‬ ‫½הוא הבין שאותם חוקים בדיוק חלים בכל היקום – הם חוקים‬ ‫אוניברסאליים )סיבוב הירח סביב הארץ נובע מאותו חוק כמו נפילה חופשית‬ ‫על פני הארץ(‪ .‬אין כאן קפריזה‪ ,‬אלא חוקיות ברורה‪.‬‬ ‫½לצורך הבנת מושג התנועה פיתח‪ ,‬במקביל לגוטפריד לייבניץ )‪ (1646-1716‬את‬ ‫החשבון הדיפרנציאלי‪ ,‬שהוא הכלי האינטנסיבי ביותר עד היום לאנליזה של כל‬ ‫מערכת דינאמית‪.‬‬ ‫‪74‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

Newton: Principia Mathematica, 1687

‫ ישראל שק‬Israel Schek

75

‫דוגמה לבעיה המשלבת את החוק השני וכוח חיכוך‬

‫)א(‬

‫רכב נוסע בתאוצה ‪ a‬ובחזיתו נמצא חפץ בעל מאסה ‪ ,m‬שבינו לבין משטח‬ ‫הרכב פועל כוח חיכוך‪ ,‬עם מקדם חיכוך סטאטי ‪.‬‬ ‫מה צריכה להיות התאוצה המינימאלית של הרכב כדי שהחפץ בקדמת‬ ‫הרכב לא יחליק מטה?‬

‫‪76‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫דוגמה לבעיה המשלבת את החוק השני וכוח חיכוך‬

‫) ב(‬

‫תשובה‪:‬‬ ‫הרכב מפעיל על החפץ כוח‪ ,‬הנובע מתאוצתו ימינה‪.‬‬ ‫בתנועה יציבה‪ ,‬שבה אין החפץ מחליק‪ ,‬גם הוא נוסע ימינה בתאוצה ‪,a‬‬ ‫ו"חש" בכוח שערכו הוא ‪ .ma‬את הכוח הזה "מפרש" החפץ ככוח נורמאלי‬ ‫הפועל עליו מצד הרכב‪.‬‬ ‫התנועה כלפי מטה מסופקת ע"י כוח הכבידה‪,mg ,‬‬ ‫ומתנגד לה כוח חיכוך הפועל במקרה זה כלפי מעלה‪ ,‬וערכו‪f s = µ s N = µ s ma:‬‬ ‫כוח החיכוך צ"ל גדול מן הכוח הפועל מטה כדי שהחפץ לא יחליק‪f s ≥ mg :‬‬ ‫מכאן צ"ל‪µ s a ≥ g :‬‬ ‫או‬ ‫‪a ≥ g / µs‬‬

‫‪77‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מערכות יחוס‪ ,‬מהירות יחסית‬

‫)א (‬

‫½ מערכת ייחוס אינרציאליות‪ :‬יש מערכות שביחס אליהן מהירותו של גוף‬ ‫חופשי אינה משתנה‪ .‬מערכות ייחוס אלה מכונות אינרציאליות‪.‬‬ ‫½ תוקף חוקי ניוטון‪ :‬חוקי ניוטון מתקיימים ביחס למערכות אינרציאליות‪.‬‬

‫½ מהירות ותאוצה יחסיים‪ :‬אם ‪ S‬היא מערכת ייחוס אינרציאלית‪ A ,‬ו‪B -‬‬ ‫הם שני גופים‪ ,‬אז המהירות של ‪ A‬ביחס ל‪B -‬‬

‫‪v A, B = v A,S − v B,S‬‬ ‫כאשר‪ VA,S :‬היא מהירותו של גוף ‪ A‬ביחס למערכת הייחוס ‪ ,S‬ו‪VB,S -‬‬ ‫היא מהירותו של גוף ‪ B‬ביחס למערכת הייחוס ‪.S‬‬ ‫½ מהירות בהגדרתה היא גודל יחסי‪ :‬תמיד יש לקבוע ביחס למה מודדים‬ ‫את המהירות )כלומר ביחס לאיזו מערכת יחוס‪ ,‬ביחס לאיזה גוף(‪.‬‬ ‫½ באותו אופן‪ ,‬התאוצה של ‪ A‬ביחס ל– ‪a A, B = a A,S − a B,S :B‬‬ ‫‪78‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מערכות יחוס‪ ,‬מהירות יחסית‬

‫) ב(‬

‫½ מדידת משקל‪ :‬מאזניים מורים את משקלו של גוף הניצב עליהם‪ ,‬רק אם‬ ‫מערכת צירים ה"צמודה" אליהם היא אינרציאלית‪.‬‬ ‫½ משקל יחסי‪ :‬אם מערכת צירים ה"צמודה" למאזניים אינה אינרציאלית‪,‬‬ ‫הוריית המאזניים )המכונה במקרה זה "המשקל היחסי של הגוף"(‪ ,‬שונה‬ ‫ממשקל הגוף‪ .‬גם תחושת הכובד של אדם הניצב עליהם‪ ,‬שונה מתחושת‬ ‫הכובד הרגילה שלו‪.‬‬ ‫½ "חוסר משקל"‪ :‬כאשר מאזניים נופלים חופשית‪ ,‬הם מורים אפס‪ ,‬ולאדם‬ ‫הניצב עליהם תחושה של חוסר משקל‪ ,‬כיוון שלא פועל כוח נורמלי על‬ ‫כפות רגליו‪ .‬יש האומרים במקרה זה שהאדם נמצא במצב של "חוסר‬ ‫משקל"‪.‬‬

‫‪79‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מערכות יחוס‪ ,‬מהירות יחסית‬

‫‪80‬‬

‫) ג(‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זריקה אנכית‬

‫) א(‬

‫½גוף נזרק אנכית במהירות התחלתית ‪ v0‬כלפי מעלה‪.‬‬

‫½בכיוון האנכי פועל על הגוף כוח הכבידה כלפי מטה‪FY = mg :‬‬ ‫½הגוף מאיץ מטה )או מאט מעלה(‪:‬‬

‫‪v y = v 0 − gt‬‬ ‫‪y = v 0 t − 12 gt 2‬‬

‫½בגובה המכסימאלי אליו יגיע הגוף נעצרת התנועה‪,‬‬ ‫והגוף חוזר מטה בנפילה חופשית‪:‬‬

‫‪v0‬‬ ‫= ‪vy = 0 → t m‬‬ ‫‪g‬‬ ‫‪81‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זריקה אנכית‬

‫) ב(‬

‫½נציב ערך זה ונקבל את הגובה המכסימאלי‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪y m = v 0 t m − 12 gt m 2 = 0‬‬ ‫‪2g‬‬ ‫½משך הזמן שלוקח לגוף להגיע מן המכסימום חזרה לנקודת המוצא שווה‬ ‫למשך זמן העלייה‪.‬‬

‫½ זמן התנועה הוא כמובן כפליים זמן העלייה )זהו גם הזמן שעליך לברוח‬ ‫הצדה‪ ,‬פן יינזק ראשך!(‪.‬‬ ‫½תאור גראפי של גובה הגוף כפונקציה של הזמן הוא פרבולה‪.‬‬ ‫½כשנלמד את חוק שימור האנרגיה‪ ,‬נראה שלפעמים קל יותר לנתח בעיות‬ ‫ע"י שימוש בחוק יסודי זה‪.‬‬ ‫‪82‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זריקה אופקית‬

‫)א(‬

‫½גוף נזרק אופקית במהירות התחלתית ‪ .v0‬את התנועה נתאר ע"י מערכת‬ ‫צירים )‪ (x,y‬שראשיתה מזדהה עם נקודת הזריקה )‪(x 0 = 0, y 0 = 0‬‬ ‫½בכיוון האופקי אין פועלים כוחות על הגוף ‪∑ j FXj = 0‬‬

‫½לכן התאוצה האופקית מתאפסת ‪a x = 0‬‬

‫½לכן המהירות האופקית נשמרת‪v x = v 0 :‬‬ ‫½הדרך האופקית שעושה הגוף היא פונקציה ליניארית של הזמן‪:‬‬

‫‪x = x0 + v x t = v0t‬‬

‫‪83‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה במישור‬

‫)א(‬

‫½אי תלות רכיבים קארטזיים‪ :‬כאשר גוף נופל חופשית בקרבת הארץ‪,‬‬ ‫הרכיבים האנכיים של המקום‪ ,‬המהירות והתאוצה אינם תלויים ברכיבים‬ ‫האופקיים‪ ,‬ולהפך‪.‬‬ ‫½הדבר מקל על ניתוח תנועה זו )יש תנועות דו‪-‬ממדיות שבהן הרכיבים‬ ‫האופקיים והאנכיים תלויים זה בזה‪ ,‬למשל תנועה בתווך צמיג(‪.‬‬ ‫½זריקה אופקית בקרבת הארץ‪:‬‬ ‫התנועה האופקית קצובה; הרכיב האופקי של המהירות שווה בכל רגע לרכיב‬ ‫האופקי של המהירות ההתחלתית‪.‬‬

‫‪84‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה במישור‬

‫) ב(‬

‫½התנועה האנכית בקרבת הארץ היא שוות תאוצה; גודל התאוצה הוא ‪.g‬‬ ‫המהירות ההתחלתית היא הרכיב האנכי של המהירות ההתחלתית בה הגוף‬ ‫נזרק‪.‬‬ ‫½תנועה בהשפעת כוח קבוע כלשהו‪:‬‬ ‫מסלול תנועתו של גוף אשר נע בהשפעת כוח קבוע הוא קו ישר או פרבולה;‬ ‫קו ישר מתקבל כאשר המהירות ההתחלתית שווה לאפס או כאשר היא‬ ‫מכוונת בכיוון הכוח )בשני מקרים אלה‪ ,‬הגוף נע בכיוון הכוח(‪,‬‬ ‫או כאשר כיוונה מנוגד לכיוון הכוח )במקרה זה כיוון התנועה מנוגד לכיוון‬ ‫הכוח עד לרגע שהמהירות מתאפסת‪ ,‬ולאחר מכן‪ ,‬הגוף נע בכיוון הכוח(‪.‬‬ ‫½פרבולה מתקבלת כאשר המהירות ההתחלתית אינה בכיוון הכוח ואינה‬ ‫בכיוון מנוגד לכוח‪ .‬ציר הפרבולה מקביל לכוח‪.‬‬ ‫‪85‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זריקה אופקית‬

‫) ב(‬

‫½בכיוון האנכי פועל על הגוף כוח הכבידה כלפי מטה‪∑ j FYj = mg :‬‬

‫½לכן הגוף מאיץ מטה‪:‬‬

‫‪v y = gt‬‬

‫‪y = y 0 + v 0 y t + 12 a y t 2 = 12 gt 2‬‬ ‫½הדרך האופקית שעושה הגוף תלויה ליניארית בזמן‪ ,‬ואילו הדרך האנכית‬ ‫תלויה בחזקה השניה של הזמן‪.‬‬ ‫½כשנחלץ את הזמן מן הקשר ‪ x = v 0 t‬ונציב בקשר ‪y = 12 gt 2‬‬

‫נקבל מסלול תנועה פראבולי‪:‬‬

‫‪86‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪g‬‬ ‫‪2v 0‬‬

‫=‪y‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זריקה אופקית‬

‫)ג(‬

‫מסלול של גוף שנזרק אופקית )שים לב‪ :‬המהירות האופקית קבועה(‬

‫‪87‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זריקה אופקית‬

‫)ד(‬

‫היה זה גלילאו גליליי שמצא לראשונה קשר זה‪ ,‬ככל הנראה בניסויים שערך‬ ‫על מישורים משופעים‪ ,‬ולאו דווקא בנפילה חופשית‪.‬‬

‫‪88‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זריקה אופקית – ערך המהירות‬ ‫½מהירות הגוף היא הוקטור‬ ‫½ שערכו המוחלט‪:‬‬

‫)ה(‬

‫) ‪(v x = v 0 , v y = gt‬‬ ‫‪v = v 02 + (gt )2‬‬

‫½הזווית שיוצר וקטור זה עם האופק היא‪:‬‬ ‫‪vy‬‬

‫‪gt‬‬ ‫= ‪tgθ‬‬ ‫=‬ ‫‪vx v0‬‬

‫½זהו כמובן כיוון תנועת הגוף בכל רגע )ההולך וגדל ליניארית בזמן(‪.‬‬ ‫½התנועה בכיוון האופקי והתנועה בכיוון האנכי בלתי תלויות זאת בזאת‪.‬‬ ‫½לכן משך הזמן של הגעת גוף הנזרק אופקית בגובה כלשהו מעל האדמה‪ ,‬אינו‬ ‫תלוי במהירות האופקית ההתחלתית‪ ,‬והוא זהה למשך זמן נפילה אנכית‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪h = gt m / 2 → t m = 2h / g‬‬ ‫‪89‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זריקה משופעת‬

‫)א(‬

‫½גוף נזרק בזווית התחלתית כלשהי ‪ θ0‬במהירות התחלתית ‪.v0‬‬ ‫½מהירות הגוף ההתחלתית היא אם כך‪:‬‬

‫‪v x 0 = v0 cos θ 0 ; v y 0 = v0 sin θ 0‬‬ ‫½בכל רגע מהירות הגוף נתונה לפי‪:‬‬

‫‪v x = v x 0 = v0 cos θ 0‬‬

‫‪v y = v y 0 − gt = v 0 sin θ 0 − gt‬‬ ‫½גודל המהירות נתון ע"י‪:‬‬ ‫=‬

‫)‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫(‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪v = v x + v y = v 0 cos θ0 + v 0 sin θ0 − gt‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪= v 0 + g 2 t 2 − (2gv 0 sin θ0 )t‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪90‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זריקה משופעת‬ ‫½כיוון המהירות הוא‪:‬‬

‫½מקום הגוף נתון ע"י‪:‬‬

‫)ב (‬

‫‪vy‬‬

‫‪v sin θ0 − gt‬‬ ‫= ‪tgθ‬‬ ‫‪= 0‬‬ ‫‪vx‬‬ ‫‪v 0 cos θ0‬‬

‫‪x = (v 0 cos θ0 )t‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫‪y = (v 0 sin θ0 )t − gt‬‬ ‫‪2‬‬

‫½נחלץ את הזמן מתוך הביטוי לקואורדינאטה האופקית ונציב בקואורדינאטה‬ ‫האנכית‪.‬‬ ‫‪g‬‬ ‫נקבל שוב תנועה פרבולית‪:‬‬ ‫‪x 2 + (tgθ )x‬‬ ‫‪y=−‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪91‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2v 0 cos 2 θ0‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זריקה משופעת‬

‫‪92‬‬

‫) ג(‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זריקה משופעת – טווח הזריקה‬

‫)ד(‬

‫½ טווח הזריקה המרחק האופקי ‪ R‬עד לנקודה שבה הגוף חוזר לגובהו‬ ‫ההתחלתי‪ .‬התנאי לקבלתה‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪y = 0 = (v 0 sin θ0 )t R − gt R 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫½ פתרון המשוואה הריבועית הזאת נותן שני שורשים‪:‬‬ ‫™ א‪ (.‬הפתרון הטריוויאלי ‪t m1 = 0‬‬ ‫שהוא הזמן הראשון שבו הגוף נמצא בגובה ההתחלתי )זמן ההתחלה(‬ ‫™ ב‪(.‬‬

‫‪93‬‬

‫‪2 v 0 sin θ0‬‬ ‫‪g‬‬

‫= ‪t m2‬‬

‫שהוא זמן ההגעה לטווח הזריקה‪.‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זריקה משופעת – טווח הזריקה‬ ‫½ עבור זריקה אנכית‪ ,‬זווית הזריקה היא‬ ‫‪2v 0‬‬ ‫‪= 2t m‬‬ ‫‪g‬‬

‫)ה(‬

‫‪θ0 = π 2‬‬ ‫= ‪t m2‬‬

‫ונקבל את הקשר הטריוויאלי‪:‬‬ ‫כאשר ‪ tm‬הוא הזמן ההגעה למכסימום שקבלנו בדיון על הזריקה האנכית‪.‬‬ ‫½ נציב את ערכו של ‪ tm2‬בביטוי למרחק האופקי נקבל‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪v 0 sin 2θ 0‬‬ ‫=‬ ‫‪g‬‬

‫)זכור ש‪-‬‬

‫‪R = (v 0 cos θ 0 )t m 2‬‬

‫‪( 2 sin θ cos θ = sin 2θ‬‬

‫‪v 02‬‬ ‫= ‪Rm‬‬ ‫½ עבור זווית התחלתית ‪ θ0 = π 4‬נקבל ערך מכסימאלי לטווח‪:‬‬ ‫‪g‬‬

‫‪94‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זריקה משופעת‬

‫‪95‬‬

‫) ו(‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זריקה משופעת‬

‫) ז(‬

‫לפי הנוסחה עבור הטווח ניתן לראות שזריקה בשתי הזוויות ההתחלתיות ו‪-‬‬ ‫נקבל אותו טווח‪ ,‬למרות ששני המסלולים ושני הזמנים יהיו שונים זה מזה‪:‬‬

‫‪96‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית קצובה‬

‫)א(‬

‫בתנועה זו‪:‬‬ ‫½א‪ (.‬וקטור המהירות משיק למעגל דהיינו ניצב לרדיוס‪.‬‬ ‫בכל נקודה ‪ -‬המהירות משיקית‪.‬‬ ‫½ב( את התנועה חייב לספק כוח הפונה אל תוך המעגל בכיוון הרדיוס –‬ ‫כוח רדיאלי )צנטריפטאלי(‪.‬‬ ‫½ג( כוח זה בהגדרתו ניצב למהירות‪ ,‬ולכן אינו משנה את גודלה‪.‬‬ ‫½ד( לעומת זאת כוח זה מאלץ את המהירות לשנות את כיוונה –‬ ‫כל הזמן פועל בניצב לה‪ ,‬מה שיוצר את עצם התנועה המעגלית‪.‬‬

‫‪97‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית קצובה‬

‫)ב (‬

‫½ה( אלמלא כוח זה )ובהעדר כוחות אחרים(‪ ,‬הגוף היה נע בתנועה קצובה‬ ‫)בקו ישר( בכיוון המהירות ברגע התאפסות הכוח‪.‬‬ ‫½ו( מכיוון שהמהירות משתנה כל העת )כיוונה משתנה( יש לגוף תאוצה‪.‬‬ ‫½ז( דוגמאות‪:‬‬ ‫כוח משיכה גרוויטאציוני‪,‬‬ ‫כוח משיכה קולומבי‪,‬‬ ‫מתיחות של חבל האוחז בקצהו בגוף‪,‬‬ ‫כוח נורמאלי המופעל ע"י הדופן במכשיר צנטריפוגה‪,‬‬ ‫כוחות מגנטיים‪.‬‬

‫‪98‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית קצובה – ניתוח התאוצה‬

‫)א(‬

‫כיוון התאוצה בכל נקודה נקבע ע"י וקטור השינוי של המהירות‬ ‫)שים לב‪ :‬לא ע"י כיוון המהירות‪ ,‬אלא ע"י כיוון שינוי המהירות(‪.‬‬ ‫ההבדל בין המהירות בנקודה ‪) A‬בזמן ‪ (t‬לבין המהירות בנקודה ‪) B‬בזמן ‪(t+∆t‬‬ ‫הוא ההפרש הוקטורי‪:‬‬ ‫‪∆v = VB − VA‬‬ ‫שיתקבל ע"י העתקה מקבילה של הוקטור ‪ V B‬אל ראש הוקטור ‪. V A‬‬

‫‪99‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית קצובה – ניתוח התאוצה‬

‫) ב(‬

‫ככל ששני וקטורי המהירויות מתייחסים אל נקודות קרובות יותר ויותר )‪(∆t→0‬‬ ‫המשולש שווה‪-‬השוקיים הנוצר ע"י שלושה וקטורים אלה יהיה יותר ויותר צר‪,‬‬ ‫זוית הראש שלו )‪ (θ‬תקטן‪ ,‬וזוויות הבסיס תתקרבנה ל‪.900 -‬‬ ‫כלומר בסיס המשולש הצר הזה ) ‪ ( ∆ v‬ילך ויקטן בגודלו‪.‬‬ ‫כיוון וקטור ההפרש ישאף להיות בזוית ישרה אל הוקטור ‪. V A‬‬ ‫מכיוון שוקטור המהירות משיק למעגל בנקודה ‪ ,B‬הרי שוקטור ההפרש יהיה‬ ‫רדיאלי‪ ,‬כלפי מרכז המעגל‪.‬‬ ‫מכאן שבכל נקודה התאוצה היא רדיאלית‪.‬‬

‫‪100‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית קצובה – ניתוח התאוצה‬

‫)ג(‬

‫½בציור דלעיל ישנם שני משולשים שווי שוקיים דומים‪:‬‬ ‫האחד מורכב משני הרדיוסים ‪ RA‬ו‪ ,RB -‬ומן הבסיס הקטן‪ ,‬שהוא קשת המעגל‬ ‫המותווית ע"י תנועת החלקיק לאורך המעגל במשך הזמן הקצר ‪:∆t‬‬

‫‪∆R = v∆t‬‬ ‫½המשולש השני מורכב מוקטורי המהירות‪.‬‬ ‫‪101‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית קצובה – ניתוח התאוצה‬

‫)ד(‬

‫½מכאן שיחס הצלעות במשולש שקדקודו במרכז המעגל‬

‫‪∆R / R = v∆t / R‬‬

‫זהה ליחס הצלעות במשולש המהירויות ‪∆v / v :‬‬ ‫ומכאן‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪∆v / ∆t = v / R‬‬ ‫⎯∆⎯ ‪∆v / ∆t‬‬ ‫‪⎯→ a R‬‬ ‫‪t →0‬‬

‫½אבל היחס שבאגף שמאל‬ ‫אינו אלא התאוצה הרדיאלית‪:‬‬

‫‪aR = v / R‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪102‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית קצובה ‪ -‬מסקנות‬

‫)א(‬

‫½א( על הגוף פועל כוח שכיוונו בכל נקודה כלפי מרכז המעגל וגודלו‪:‬‬

‫‪FR = ma R = mv 2 / R‬‬ ‫½ב( כאשר תנועת הגוף יציבה )אחרי שהגיע למהירות בעלת הערך המספרי‬ ‫הקבוע ( התנועה חלה כל העת בכיוון המשיקי‪ ,‬אך לא בכיוון הרדיאלי‪.‬‬ ‫½ג( מכאן הסיק ‪ D'Alembert‬שעל הגוף פועל כוח צנטריפוגאלי‬ ‫)פונה החוצה מן המעגל‪ ,‬בניגוד לכוח הצנטריפטאלי הפונה פנימה למעגל(‪,‬‬ ‫והוא מאזן את הכוח הצנטריפטאלי‪ ,‬שמסופק ע"י הגורם הממשי‬ ‫)גרוויטאציה‪ ,‬משיכה קולומבית‪ ,‬מתיחות‪ ,‬כוח נורמאלי(‪.‬‬ ‫לפי ‪ D'Alembert‬שקול הכוחות הרדיאלי הוא אפס‪.‬‬

‫‪103‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית קצובה ‪ -‬מסקנות‬

‫) ב(‬

‫½ואכן כאשר ניסע במכונית בקו ישר ולפתע היא תוסט שמאלה או ימינה‪,‬‬ ‫נחוש בכוח ההודף אותנו החוצה מן המעגל )המותווה ע"י התנועה הפתאומית(‪.‬‬ ‫½ זהו כוח שאינו מסופק ע"י גורם ממשי כנ"ל‪ ,‬אבל אנו חשים בו היטב‪,‬‬ ‫כפי שנחוש את הכוח ההודף אותנו אל המושב בשיבתנו במטוס המאיץ על‪-‬פני‬ ‫הקרקע‪ ,‬או בכוח הדוחפנו קדימה בעצירה פתאומית של הרכב‪.‬‬ ‫½אם הסיבוב הרכב יתמיד‪ ,‬נהדף עד דופן הרכב ושם נעצר )אם לא נזרק‬ ‫החוצה(‪.‬‬ ‫½הכוח המונע את המשך תנועתנו הצנטריפוגלית הוא הכוח הנורמאלי‬ ‫המסופק ע"י דופן הרכב‪ ,‬ושקול הכוחות הרדיאליים הוא אפס‪.‬‬

‫‪104‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית קצובה ‪ -‬מסקנות‬

‫)ג(‬

‫בתנועה מעגלית התחושה היא כאילו על הגוף פועל כוח כבדיות‪.‬‬ ‫למשל החרק חושב )אולי( שהוא נמשך גרוויטאציונית אל הדופן האחורית של‬ ‫הקופסה‪ .‬הדופן מפעילה על החרק כוח נורמלי שערכו הוא הערך של הכוח‬ ‫המופעל על הקופסה ע"י החוט‪ ,‬שמסובב ע"י היד‪mv 2 ,‬‬ ‫= ‪N = FR = ma R‬‬ ‫‪R‬‬ ‫כוח זה שקול למשקל‪ ,‬ומבחינת החרק אין נפקא מינא‪.‬‬ ‫‪Paul G. Hewitt‬‬ ‫‪Conceptual Physics‬‬

‫‪105‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫הגבהת מעקמים‬

‫) א(‬

‫½מכונית נעה בתנועה מעגלית ברדיוס ‪ R‬במהירות ‪.v‬‬ ‫½על המכונית פועלים הכוחות הבאים‪:‬‬ ‫™המשקל ‪W=mg‬‬ ‫™הכוח הנורמאלי בינה לבין הכביש ‪N‬‬ ‫™כוח החיכוך הסטאטי ‪ fS‬הפועל רדיאלית‪ ,‬בניצב‬ ‫למהירות ומספק למכונית את התאוצה הרדיאלית‪.‬‬ ‫½שים לב‪ :‬למרות שהמכונית נעה‪ ,‬אנו מתייחסים לחיכוך הסטאטי‪ ,‬מתוך הנחה‬ ‫שמעגל התנועה יציב‪ ,‬ועל כן המכונית אינה מחליקה בכיוון הרדיאלי‪.‬‬ ‫½כמו‪-‬כן שים לב שבגלל הנטייה של המכונית להיזרק החוצה מן המעגל )כוח‬ ‫‪ ,(D'Alembert‬החיכוך המתנגד לתנועה זאת‪ ,‬פונה פנימה‪.‬‬ ‫‪106‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫הגבהת מעקמים‬ ‫½מהחוק השני נקבל‪:‬‬

‫) ב(‬

‫‪N − mg = 0‬‬ ‫‪mv 2‬‬ ‫= ‪fs = µs N‬‬ ‫‪R‬‬

‫ומחילוץ הכוח הנורמאלי והצבתו‪ ,‬נקבל‪:‬‬

‫‪v2‬‬ ‫‪= µsg‬‬ ‫‪R‬‬ ‫½מסקנה‪ :‬ככל שמקדם החיכוך גדל‪ ,‬מותר לנהוג במהירות רבה יותר וברדיוס‬ ‫עיקום קטן יותר‪.‬‬

‫‪107‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫הגבהת מעקמים‬

‫)ג(‬

‫½מקדם החיכוך תלוי בטיב הצמיג אך גם בתנאי הדרך )רטיבות‪ ,‬טמפרטורה(‪.‬‬ ‫½כדי להקטין את התלות בו‪ ,‬משנים את צורת הכביש בפניות שבהן נוהגים‬ ‫במהירות )כמו בירידה מאוטוסטראדה(‪.‬‬ ‫½בציור הבא נראה את הכוחות הפועלים על מכונית בסיבוב מוטה בזווית ‪:θ‬‬

‫משקל המכונית פונה מטה‪ ,‬הנורמאל ניצב לכביש‪ ,‬ומוטה בזווית ‪ θ‬ביחס‬ ‫למשקל‪ .‬החיכוך הסטאטי ‪ fS‬המקביל למשטח פונה כעת במורד המשטח‬ ‫פנימה אל המעגל )בזווית ‪ θ‬למטה מן האופק(‪.‬‬ ‫‪108‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫הגבהת מעקמים‬

‫)ד(‬

‫½נוח כעת לפרק את הכוחות בכיוון הנורמאלי למשטח ובכיוון המשטח ‪:‬‬ ‫‪f s + mgsinθ = mv 2 / R m‬‬

‫‪∑ Fx' :‬‬

‫‪N − mgcosθ = 0‬‬

‫‪∑ Fy' :‬‬

‫‪fs = µs N‬‬

‫½הקשר בין החיכוך והנורמל‪:‬‬ ‫½רדיוס המעגל המוטה ‪ ,Rm‬שאליו נתייחס כעת‪ ,‬מתייחס לרדיוס המעגל‬ ‫המישורי הנתון ‪:R‬‬

‫‪R m = R / cos θ‬‬

‫½נחלץ את הנורמל ‪ N‬ממשוואת הכוחות בכיוון ’‪ y‬ונציב אותו ואת החיכוך‬ ‫במשוואת הכוחות בכיוון ’‪:x‬‬ ‫‪mv 2‬‬ ‫‪R / cos θ‬‬

‫= ‪µ s mg cos θ + mg sin θ‬‬

‫½ומכאן בצמצום של ‪ cosθ‬נקבל‪:‬‬

‫)‪v 2 / R = g (µ s + tan θ‬‬ ‫‪109‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫הגבהת מעקמים‬

‫) ה(‬

‫½כפי שאנו רואים‪ ,‬לא על כתפי החיכוך לבדו נשען כעת הכוח הצנטריפטלי‪,‬‬ ‫אלא ישנה התוספת של רכיב המשקל על‪-‬פני המשטח המוטה ‪mgcosθ‬‬ ‫½ככל שזווית ההטיה גדלה‪ ,‬כך גדלה המהירות המותרת בסיבוב‬ ‫)וקטן הרדיוס המותר(‪.‬‬ ‫½לא הבאנו חשבון תנועה אחת בלתי רצויה‪ :‬החלקת המכונית במדרון‪.‬‬ ‫במקרה זה כוח החיכוך יתנגד לתנועה ויכוון כלפי מעלה‪,‬‬ ‫בתנאי שזווית ההטיה אינה גדולה מדי‪tanθ < µ s :‬‬ ‫½ מכאן שבכל מקרה לא נוכל לעלות על הערך‪v 2 / R = 2µ s g :‬‬

‫‪110‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מחזורית‬

‫)א(‬

‫תנועתו של גוף היא מחזורית‬ ‫½אם קיים פרק זמן ‪ T‬כך שלגבי כל רגע ‪ t‬שנבחר‪ ,‬הגוף יימצא ברגעים ‪ t‬ו‪-‬‬ ‫)‪ (t+T‬בדיוק באותו מקום‪.‬‬ ‫½בהכללה ההגדרה מתייחסת לכל פונקציה‪ ,‬לאו דווקא למקום של חלקיק‪.‬‬ ‫אם )‪ P(t‬מציין תכונה של הגוף‪ ,‬אז לכל ‪ t‬ערכי הפונקציה זהים בשני הזמנים‪:‬‬

‫) ‪P (t ) = P (t + T‬‬

‫½זמן המחזור‪ :‬פרק הזמן ‪ T‬הקצר ביותר המקיים את קריטריון המחזוריות‪.‬‬ ‫½תדירות ‪ :(frequency) f‬מספר המחזורים שהגוף מבצע ביחידת זמן‪.‬‬ ‫½הקשר בין זמן המחזור לבין התדירות הוא הופכי‪:‬‬ ‫‪111‬‬

‫‪f = 1/ T‬‬ ‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מחזורית‬

‫) ב(‬

‫½מוגדרת תדירות זוויתית‪ :‬מספר הרדיאנים שעובר הגוף בשניה‪ .‬הקשר בין‬ ‫שתי ההגדרות‪:‬‬

‫‪ω = 2πf‬‬

‫½תנועה קצובה במעגל היא מחזורית‪ .‬זמן המחזור שלה מקיים את הקשר‪:‬‬

‫‪2πR‬‬ ‫=‪T‬‬ ‫‪v‬‬ ‫½מהירות זוויתית היא קצב שנוי הזווית בזמן‪∆θ :‬‬ ‫‪∆t‬‬

‫=‪ω‬‬

‫½הקשר בין מהירות גוף בתנועה מעגלית קצובה לבין מהירותו הזוויתית‪:‬‬

‫‪v = ωR‬‬

‫½לסכום‪ :‬קשרים בין המהירות הזוויתית לבין הגדלים המאפיינים תנועה‬ ‫מחזורית‪:‬‬

‫‪ω = 2πf = 2π / T‬‬

‫‪112‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית שאינה קצובה‬

‫)א(‬

‫½בתנועה מעגלית בלתי קצובה המהירות משתנה בגודלה‪.‬‬ ‫½רכיב התאוצה הרדיאלי ‪ aR‬המכוון אל מרכז המעגל מבטא את קצב שינוי כוון‬ ‫‪2‬‬ ‫המהירות‪:‬‬

‫‪aR = v / R‬‬

‫½הביטוי זהה אמנם לזה של התאוצה בתנועה רדיאלית בעלת מהירות בגודל‬ ‫קצוב‪ ,‬אבל ערכו המספרי משתנה בכל רגע עם גודל המהירות‪.‬‬ ‫½הרכיב המשיקי של התאוצה ‪ aT‬מבטא את קצב שינוי המהירות הנובע משינוי‬ ‫הגודל שלה‪ ,‬והוא נובע מקיומו של כוח נוסף לזה הרדיאלי‪ ,‬הפועל בניצב לו‪.‬‬ ‫½התאוצה השקולה היא הסכום הוקטורי של התאוצה הרדיאלית )הצנטריפטלית(‬ ‫ושל התאוצה המשיקית )טנגנטיאלית(‪:‬‬

‫‪a = aT + a R‬‬

‫‪113‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית שאינה קצובה‬

‫) ב(‬

‫½מהירות זוויתית ממוצעת‪∆θ :‬‬ ‫= ‪ω‬‬ ‫‪∆t‬‬ ‫‪∆θ dθ‬‬ ‫½מהירות זוויתית רגעית‪:‬‬ ‫≡‬ ‫‪∆t → 0 ∆t‬‬ ‫‪dt‬‬

‫‪ω = lim‬‬

‫½גם בתנועה מעגלית שאינה קצובה מתקיים הקשר‪v = ωR :‬‬ ‫½הרכיב המשיקי הוא בכיוון המהירות‬ ‫‪dv‬‬ ‫)מנוגד לכיוון המהירות אם המהירות הולכת וקטנה(‪& R :‬‬ ‫= ‪aT‬‬ ‫‪≡ v& = ω‬‬ ‫‪dt‬‬

‫&‬ ‫‪ω‬‬

‫‪114‬‬

‫הוא קצב שנוי המהירות הזוויתי‪ ,‬כלומר התאוצה הזוויתית‪.‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית שאינה קצובה‬

‫)ג(‬

‫½הכוח השקול הוא הסכום הוקטורי של הכוח הרדיאלי )הצנטריפטלי( ושל‬ ‫הכוח המשיקי )טנגנטיאלי(‪.‬‬ ‫½בהתאם לכך‪ :‬התאוצה השקולה היא הסכום הוקטורי של התאוצה הרדיאלית‬ ‫)הצנטריפטלית( ושל התאוצה המשיקית )טנגנטיאלית(‪:‬‬

‫‪a = aT + a R‬‬

‫‪115‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה הרמונית‬

‫)א(‬

‫½תנודה‪ :‬תנועה מחזורית הלוך ושוב על‪-‬פני מסלול סגור בעל שתי נקודות קצה‬ ‫)תנועה מוגבלת במרחב(‪.‬‬ ‫½תנועה הרמונית פשוטה היא תנועת גוף בהשפעת כוח שקול שתבניתו‬ ‫המתמטית היא לפי חוק הוּק )‪:(Hook‬‬

‫‪F = − kx‬‬

‫½הכוח )‪ (F‬הפוך בכיוונו לכיוון התארכות הקפיץ )‪– (x‬‬ ‫מכוון בכל רגע לנקודת שיווי המשקל )"כוח מחזיר"( ‪ -‬הסיבה לסימן המינוס‪.‬‬ ‫½גודל הכוח פרופורציוני למידת הסטייה )‪ (x‬מנקודת שיווי המשקל‬

‫‪116‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה הרמונית‬

‫) ב(‬

‫½מתי הקשר הליניארי הזה )‪ (F~-x‬ישים?‬ ‫כאשר חריגת המערכת ממצב שווי המשקל שלה אינה גדולה‪.‬‬ ‫אז יש למערכת נטייה טבעית לחזור אל שווי המשקל באופן ספונטאני‪.‬‬ ‫½הקביעה מהי חריגה קטנה או גדולה תלויה במהות המערכת‪.‬‬ ‫למשל בקפיץ ההתארכות קטנה בהרבה מאורכו העצמי של הקפיץ‪.‬‬ ‫½נקודת האפס של ציר ‪ x‬נבחרה בנקודת שיווי המשקל של הגוף‪.‬‬

‫‪117‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה הרמונית – פתרון מחזורי‬

‫)ג(‬

‫½הפתרון הידוע למשוואה כזאת הוא פונקציה מחזורית )‪ sin‬או ‪:(cos‬‬

‫)‪x(t) = A cos (ωt + ϕ‬‬

‫½הגודל ‪ A‬המקדם את הפונקציה הוא המשרעת )אמפליטודה( של התנועה‪:‬‬ ‫עד שמה מגיע החלקיק בתנועתו‪ ,‬לפני חזרתו אל נקודת שווי המשקל‪.‬‬ ‫½הגודל ‪ φ‬המופיע תחת הפונקציה ‪ cos‬כתוספת לארגומנט ‪ ωt‬קרוי פאזה‬ ‫ומגדיר פתרון מחזורי כללי ותלוי בתנאי ההתחלה של הבעיה‪.‬‬

‫‪118‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה הרמונית ‪ -‬פאזה‬

‫)ד(‬

‫הפאזה נקבעת לפי תנאי ההתחלה של הבעיה‪:‬‬ ‫™ ‪ :φ=0‬הפתרון הוא ) ‪x(t) = A cos (ωt‬‬ ‫בזמן ההתחלתי ‪ t=0‬המערכת נמצאת במקום ‪x(0) = A cos (0) = A‬‬ ‫כלומר במשרעת ומשם היא מתחילה לנוע אל עבר נקודת שווי המשקל‪.‬‬ ‫™ ‪ :φ=-π/2‬הפתרון הוא‬ ‫) ‪x(t) = A cos (ωt − π/2) = Asin (ωt‬‬ ‫בזמן ההתחלתי ‪ t=0‬המערכת נמצאת במקום ‪x(0) = A sin (0) = 0‬‬ ‫ומתחילה את תנועתה מנקודת שווי המשקל לעבר ערכים חיוביים של המקום‪.‬‬ ‫) ‪x(t) = A cos (ωt + π/2) = − Asin (ωt‬‬

‫™ ‪ :φ=π/2‬הפתרון הוא‬ ‫בזמן ההתחלתי ‪ t=0‬המערכת נמצאת במקום ‪x(0) = − A sin (0) = 0‬‬ ‫ומתחילה את תנועתה מנקודת שווי המשקל לעבר ערכים שליליים של המקום‪.‬‬

‫‪119‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה הרמונית – מהירות ותאוצה‬

‫)ה(‬

‫½נגזור את פונקצית המקום )‪ x(t‬פעם אחת לפי הזמן ונקבל את המהירות‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫)‪v(t) = x(t) = −ωA sin (ωt + ϕ‬‬ ‫‪dt‬‬

‫½נגזור את פונקצית המהירות )‪ v(t‬פעם אחת לפי הזמן‬ ‫)נגזרת שניה של המקום( ונקבל את התאוצה‪:‬‬ ‫‪d‬‬ ‫) ‪v(t ) = −ω2 A cos(ωt + ϕ) = −ω2 x (t‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫½עד כדי גורם קבוע‪ ,‬הפונקציה המבטאת את התאוצה שווה לזאת המבטאת‬ ‫את המקום ‪.‬‬ ‫= ) ‪a (t‬‬

‫‪2‬‬

‫‪a = &x& = − ω x‬‬

‫½השוויון הזה קיים בכל זמן‪ ,‬והוא הבסיס לתנועה ההרמונית‪.‬‬

‫‪120‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה הרמונית – מהירות ותאוצה‬

‫)ו(‬

‫½הממד של המהירות הזוויתית )או התדירות הזוויתית( הוא ‪[ω] = sec −1‬‬ ‫ואכן ממד המהירות המתקבל הוא כנדרש ‪[v ] = [ωA] = cm sec −1‬‬ ‫ובהתאם ממד התאוצה הוא ‪[a ] = [ω2 A] = cm sec −2‬‬ ‫½שים לב כי התנועה מחזורית "בגלל" סימן המינוס המופיע בחוק הוּק‪.‬‬ ‫½אילו הסימן בביטוי של הכוח היה במקום זאת חיובי‪,‬‬ ‫פתרון המשוואה הדיפרנציאלית היה ‪a = &x& = + β 2 x → x (t ) = Ae ± β t‬‬ ‫½הפונקציה העולה אכספוננציאלית )הסימן ‪ (+‬היא פונקציה מתבדרת‪,‬‬ ‫שאינה תחומה באזור סגור‪ ,‬ובהכרח אינה מחזורית‪.‬‬ ‫½הפונקציה היורדת אכספוננציאלית )הסימן ‪ (-‬יורדת מונוטונית‬ ‫וגם היא אינה מחזורית‪.‬‬ ‫½ בשני המקרים הפונקציה אינה משתנית מחזורית‪.‬‬ ‫‪121‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה הרמונית –‬ ‫קשר בין המאסה‪ ,‬התדירות וקבוע הכוח )ז(‬ ‫½כאשר נציב את הפתרון המתנודד בתוך במשוואה הדיפרנציאלית‪ ,‬ייווצר‬ ‫קשר הכרחי בין הפרמטרים הפיסיקליים הנתונים‪ :‬מאסה )‪ (m‬וקבוע הכוח )‪(k‬‬ ‫לבין התדירות הזוויתית )‪ (ω‬של התנועה המחזורית‪:‬‬ ‫½תדירות התנודה היא‪:‬‬ ‫½וזמן המחזור‪:‬‬

‫‪ω‬‬ ‫‪1 k‬‬ ‫=‬ ‫‪2π 2π m‬‬

‫=‪f‬‬

‫‪ω= k/m‬‬

‫‪T = 1 / f = 2π m / k‬‬

‫½אנו רואים שפתרון המשוואה הדיפרנציאלית מספק לנו הן את צורת‬ ‫הפונקציה והן את הערך היסודי )גודל התדירות(‪ ,‬ושניהם מגדירים את התנועה‪.‬‬

‫‪122‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

R. Hook (1635-1703) vs. I. Newton (1643-1727)

‫ ישראל שק‬Israel Schek

123

‫תנאי התחלה במשוואה דיפרנציאלית‬ ‫½המשרעת ‪ A‬אינה נקבעת עדיין‪ ,‬אלא ע"י תנאי ההתחלה‪.‬‬ ‫½לפתרון משוואה דיפרנציאלית מסדר שני יש צורך בשני תנאי התחלה‪.‬‬ ‫½זוהי דרישה כללית‪:‬‬ ‫למשוואה דיפרנציאלית מסדר ‪ N‬יש צורך ב ‪ N -‬תנאי התחלה‪.‬‬ ‫½משוואת התנועה היא מסדר שני‪ ,‬ולפתרונה דרושים שני תנאי התחלה‬ ‫)למשל מהירות התחלתית ומקום התחלתי(‪.‬‬ ‫½אותה מערכת יכולה להתחיל במשרעות שונות‪.‬‬ ‫לכל התנועות של אותה מערכת יש תדירות משותפת ) ‪,( ω = k / m‬‬ ‫אבל זאת עם המשרעת הגבוהה תצטרך לרוץ כל הזמן מהר יותר‪ ,‬כדי להדביק‬ ‫את זאת עם המשרעת הנמוכה‪.‬‬ ‫‪124‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנאי התחלה ומכסימום‬ ‫½הקשר בין המהירות‪ ,‬התאוצה והמקום הרגעיים‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪v = ±ω A − x‬‬

‫½בהגיע התנודה לשיאה – למשרעת )‪ ,(x=A‬המערכת נעצרת )‪.(v=0‬‬ ‫½למהירות של האוסצילטור ההרמוני יש גודל מקסימאלי בנקודת שיווי‬ ‫המשקל )‪:(x=0‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪= ωA‬‬ ‫‪max‬‬

‫½לתאוצה יש גודל מקסימאלי בקצות המסלול‪ ,‬שם הכוח המחזיר מכסימלי‬ ‫וערכה‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪= ω2 A‬‬ ‫‪max‬‬

‫½אין להתבלבל בין ערכי התאוצה והמהירות – הן בהפרשי פאזה של ‪,π/2‬‬ ‫דהיינו התאוצה מתאפסת כשהמהירות מכסימלית‪ ,‬וההפך‪.‬‬

‫‪125‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מטוטלת פשוטה )מטוטלת מתמטית(‬

‫)א(‬

‫½תנודות של מטוטלת במשרעת קטנה )זווית פרישה נמוכה(‬ ‫סביב נקודת שווי‪-‬המשקל הן תנועה הרמונית )בקרוב(‪.‬‬ ‫½נזניח את מאסת החבל ואת התארכותו בגלל המאסה של הגוף‪.‬‬ ‫½התנועה מתרחשת על קשת מעגל ולא בקו ליניארי‪,‬‬ ‫ולכן נתייחס לכוחות הרדיאליים ולכוחות המשיקים‪.‬‬

‫‪126‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מטוטלת פשוטה )מטוטלת מתמטית(‬

‫) ב(‬

‫½הרכיב הרדיאלי של כוח הכובד מתאזן עם מתיחות החבל ‪T‬‬ ‫)שגם היא כמובן רדיאלית(‪mg cos θ = T :‬‬

‫½הרכיב המשיקי של כוח הכובד הוא הכוח המחזיר‪− mg sin θ :‬‬ ‫½ סימן המינוס מראה שהכוח פונה בניגוד לכיוון של גידול הזווית‪.‬‬ ‫עבור זוויות קטנות קיים הקשר‪sin θ ≈ tgθ ≈ θ :‬‬ ‫)כאשר הזווית נמדדת ברדיאנים(‪.‬‬

‫‪127‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מטוטלת פשוטה )מטוטלת מתמטית(‬

‫)ג(‬

‫½נקרא להיסט הליניארי של הגוף לאורך הקשת ‪ ,x‬ואז הכוח המחזיר הוא‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪l‬‬

‫‪F = − mg sin θ ≈ − mgθ = − mg‬‬

‫כאשר ‪ ℓ‬הוא אורך המטוטלת‪.‬‬

‫‪k = mg / l‬‬

‫½הכוח המחזיר יחסי להיסט עם הקבוע‬ ‫ויש לו תבנית של תנודה הרמונית )מחזורית(‪.‬‬ ‫½זמן המחזור הוא‪:‬‬

‫‪T = 2π m k = 2π l g‬‬

‫½כל הדיון נכון אך ורק להיסטים קטנים של המטוטלת ‪.x<< ℓ‬‬ ‫בהיסטים גדולים התנועה אינה הרמונית‪ ,‬ויתכן אף שאינה מחזורית‪.‬‬

‫‪128‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מטוטלת פשוטה )מטוטלת מתמטית(‬

‫)ד(‬

‫½עצה‪ :‬אם שעון המטוטלת שלך ממהר‪ ,‬הארך את אורך מוט המטוטלת‬ ‫)זמן המחזור יתארך(‪.‬‬ ‫½אם הוא מפגר‪ ,‬קצר אותו )והכל בזהירות‪ ,‬שלא לשבור את השעון היקר!(‪.‬‬ ‫½גליליאו גליליי היה הראשון שחקר את תופעת המטוטלת הפשוטה‬ ‫)בהתבוננו בתנועת מנורה משתלשלת מתקרת הכנסייה(‪.‬‬

‫‪129‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מטוטלת פשוטה עם חיכוך‬

‫)א(‬

‫½אם על המערכת פועל כוח חיכוך‪ ,‬יש להוסיף איבר נוסף למשוואת התנועה‪,‬‬ ‫המבטא את כוח החיכוך )המנוגד כרגיל לכיוון התנועה(‪.‬‬ ‫½בד"כ ניתן להניח שכוח החיכוך יחסי למהירות החלקיק‪ ,‬ואז גודלו יהיה‬

‫)‪f(t) = −ηv(t) = ηωA sin (ωt + ϕ‬‬

‫½אם מקדם החיכוך ‪ η‬אינו גבוה‪ ,‬התנודה תהיה מחזורית ודועכת‬ ‫)המשרעת קטנה בכל מחזור(‪.‬‬ ‫½אבל אם מקדם החיכוך גדול דיו‪ ,‬המערכת לא תשלים גם מחזור אחד‪,‬‬ ‫אלא תזחל אסימפטוטית אל נקודת שווי‪-‬המשקל‬ ‫)תאר לעצמך קפיץ הנע בתוך נוזל צמיג כמו דבש(‪.‬‬

‫‪130‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מטוטלת פשוטה עם חיכוך – דעיכת התנועה‬

‫‪131‬‬

‫)ב(‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מתנדים בטבע‬

‫)א(‬

‫½אטומי מולקולה מתנודדים סביב מצב שווי‪-‬משקל בקירוב בתנועה הרמונית‪,‬‬ ‫אם משרעת התנודה אינה גבוהה )למשל בטמפרטורה נמוכה(‪.‬‬ ‫½אם נניח שקבוע הכוח הפועל בין שני אטומי מימן קרוב לקבוע הכוח הפועל‬ ‫בין שני אטומי חמצן‪k H 2 ≈ k O 2 ,‬‬ ‫הרי שתדירויות היסוד של תנודות המולקולות ‪ H2‬ו‪ O2 -‬מתייחסות זאת‬ ‫לזאת כמו‪:‬‬ ‫‪k H mH‬‬ ‫‪ωH‬‬ ‫‪mO‬‬ ‫‪16.‬‬ ‫‪= 4.‬‬

‫‪1.‬‬

‫=‬

‫‪2‬‬

‫‪m H2‬‬

‫½בטבלת סדרי‪-‬גודל הזמנים ראינו‪:‬‬

‫≈‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪k O2 m O2‬‬

‫=‬

‫‪2.1 × 10 −14 s‬‬ ‫=‬ ‫‪= 2.77‬‬ ‫‪7.6 × 10 −15 s‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ωO 2‬‬ ‫‪TO2‬‬ ‫‪TH 2‬‬

‫=‬

‫‪ωH 2‬‬ ‫‪ωO 2‬‬

‫½ההבדל בין שני היחסים נובע בעיקר משתי ההנחות הפשטניות‪ .‬במציאות‬ ‫™התנודה אינה לחלוטין הרמונית‬ ‫™קבועי הכוחות אינם זהים‬ ‫‪132‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מתנדים בטבע‬

‫) ב(‬

‫½תנועות רבות בטבע מתנהגות בקירוב כתנועות הרמוניות‪,‬‬ ‫בד"כ כאשר המשרעת קטנה‪ ,‬קרוב למצבי שווי‪-‬המשקל‪:‬‬ ‫½•תנועות מולקולאריות‪• ,‬מודלים מסוימים של עירורים אלקטרוניים‪,‬‬ ‫•גאות ושפל בים‪• ,‬תנועות מתונות של גשרים‪,‬‬ ‫•תנועות מתונות של בניינים גבוהים‪• ,‬מטוטלות‪,‬‬ ‫•תנודות קלות של מיתר‪• ,‬תנודות קלות של נוזל בתוך מיכל‪,‬‬ ‫•תנודות קלות במטענים חשמליים בין אלקטרודות‪,‬‬ ‫•פוטונים כביטוי לשדה אלקטרו‪-‬מגנטי‪• ,‬תנועות מטען בתוך מוצק‪,‬‬ ‫•שינויים בשדות חשמליים או מגנטיים בתוך סריג‪,‬‬ ‫•שינויי שדות בתוך פלאסמה‬

‫‪133‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנע קוי )‪(Momentum‬‬

‫)א(‬

‫½התנע של גוף שמאסתו ‪ ,m‬והנע במהירות ‪ ,v‬מוגדר ע"י המכפלה‪:‬‬

‫‪p = mv‬‬ ‫½זהו גודל וקטורי בכיוון המהירות‪.‬‬

‫½התנע הכולל של מערכת גופים =‬ ‫סכום וקטורי של תנעי כל גופי המערכת‪.‬‬

‫‪134‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנע קוי‬

‫) ב(‬

‫½הניסוח המקורי של ניוטון לחוק השני‪:‬‬

‫‪∆(m v ) = F∆t‬‬

‫½מניסוח זה ניתן לגזור את הקשר הפחות כללי )עבור מאסה קבועה(‪:‬‬

‫‪F = ma‬‬ ‫½שים לב‪ :‬בניסוחו המקורי ניוטון לקח בחשבון אפשרות שלא רק המהירות‪,‬‬ ‫אלא גם המאסה עשויה להשתנות בזמן‪.‬‬ ‫לכן לא הוציאה אל מחוץ לסימן ההפרש ‪. ∆ m v‬‬

‫)‬

‫‪135‬‬

‫(‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מתקף )או תקיפה( )‪(Torque‬‬

‫)א(‬

‫½המיתקף )תקיפה( של כוח ‪ F‬הפועל על גוף במשך פרק זמן ‪∆t‬‬ ‫מוגדר כמכפלת הכוח במשך הזמן‪:‬‬

‫‪∆J = F∆t‬‬

‫½כיוונו של וקטור המיתקף שווה לכיוון הכוח הפועל‪.‬‬ ‫½ככל שהכוח גדל וככל שגדל משך פעולתו‪ ,‬כך גדל המיתקף שלו‪.‬‬ ‫½גודל המיתקף ‪ J‬של כוח הפועל לאורך זמן שווה ל"שטח" התחום בין העקומה‬ ‫המתארת את גודל הכוח )כפונקציה של הזמן( לבין ציר הזמן‬ ‫)דהיינו האינטגרל על‪-‬פני הזמן(‪.‬‬ ‫½השינוי בתנע הגוף שווה למיתקף הכולל הפועל על הגוף במהלך פרק הזמן‪:‬‬

‫‪J total = ∆ p‬‬ ‫‪136‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

(‫) ב‬

‫ שימור הגודל‬- ‫מתקף‬

Paul G. Hewitt, Conceptual Physics

‫ ישראל שק‬Israel Schek

137

‫תנע קוי – מאסה משתנית‬

‫) ג(‬

‫½בתנועה רלאטיביסטית המאסה גדלה עם המהירות ‪ v‬לפי הקשר‪:‬‬ ‫‪m0‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1− v c‬‬ ‫) ‪ m‬מאסת המנוחה(‪.‬‬ ‫‪0‬‬

‫½כאשר המהירות קטנה מאד ביחס למהירות האור ‪v<
‫½יחידת התנע במערכת ‪gr cm/sec :cgs‬‬ ‫במערכת ‪.Kg M/sec :MKS‬‬

‫‪138‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫עקרון שימור התנע הקוי‬

‫)א(‬

‫½מערכת גופים מכונה סגורה אם הכוח החיצוני השקול הפועל על כל המערכת‬ ‫שווה לאפס‪.‬‬ ‫½התנע הכולל של מערכת סגורה קבוע‪.‬‬ ‫½התנע הכולל אינו משתנה בגלל אינטראקציה בין גופי המערכת‬ ‫)אינטראקציה פנימית(‪.‬‬ ‫½כלל זה נטבע ראשונה ע"י דקארט‪.‬‬ ‫הכלל נגזר מן הניסוח המקורי של ניוטון לחוק השני‪ ,‬שבו‪,‬‬ ‫בהעדר כוח חיצוני‪ ,‬נציב ‪ F=0‬ואז‪:‬‬

‫‪F = 0 → ∆ (p) = ∆ (m v ) = 0‬‬ ‫‪139‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫עקרון שימור התנע הקוי‬

‫)ב(‬

‫½בהעדר כוחות חיצוניים‪ ,‬בהתנגשות בין שני גופים בעלי מאסות ‪,m1, m2‬‬ ‫מהירויות התחלתיות ‪ v1, v2‬ומהירויות סופיות ‪u1, u2‬‬ ‫קיים קשר השימור )הוקטורי(‪:‬‬

‫‪m1 v1 + m 2 v 2 = m1 u1 + m 2 u 2‬‬ ‫½שים‪-‬לב‪:‬‬

‫בעדר כוח חיצוני התנע הכללי הוא שנשמר‪,‬‬ ‫ולא המהירויות !!!‬

‫‪140‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫עקרון שימור התנע הקוי ‪ -‬רקטה‬

‫)ג(‬

‫עיקרון הפעולה של רקטה‪:‬‬ ‫½הרקטה פולטת גז מתוך מפלט הפונה בניגוד לכיוון תנועתה‪.‬‬ ‫½הכוח הפועל על הגז וגורם לפליטתו החוצה מן הרקטה‪,‬‬ ‫הוא כוח פנימי‪ ,‬בתוך המערכת‪.‬‬ ‫½הגז הנפלט מפעיל כוח "תגובה" על הרקטה‪.‬‬ ‫½בגלל חוק שימור התנע של המערכת המשולבת )רקטה ‪ +‬הגז הנפלט(‪,‬‬ ‫כוח זה מאיץ את הרקטה בניגוד לכיוון פליטת הגז‪.‬‬

‫‪141‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מרכז הכובד ) ‪(Center of Mass‬‬

‫)א(‬

‫½הקואורדינאטה ‪ -‬מקומה של נקודת מרכז המסה של מערכת חלקיקים‬ ‫מחושב כממוצע משוקלל לפי המאסות ‪:‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪m r‬‬ ‫∑‬ ‫=‬ ‫‪j‬‬

‫‪j‬‬

‫‪M‬‬

‫‪j‬‬

‫‪∑mr‬‬ ‫‪∑m‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪j‬‬

‫‪j‬‬

‫‪j‬‬

‫‪m r + m 2 r 2 + m 3 r 3 + ....‬‬ ‫‪= 1 1‬‬ ‫=‬ ‫‪m1 + m 2 + m 3 + ....‬‬

‫‪r c.m .‬‬

‫כאשר המאסה הכללית של המערכת היא ‪M = ∑ j m j‬‬

‫½זהו המקום שבו מרוכזת לכאורה כל המאסה של המערכת‪.‬‬ ‫½כאשר המבנה הפנימי )או הקואורדינאטות הפנימיות( אינו מעניין אותנו‪,‬‬ ‫ניתן להתייחס לכוחות החיצוניים כאילו הם פועלים כולם על נקודה זאת‪.‬‬

‫‪142‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מרכז הכובד‬

‫)ב (‬

‫½מהירות מרכז המסה היא הנגזרת לפי הזמן של קואורדינאטת מרכז המסה‪:‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪∑m v‬‬ ‫‪j‬‬

‫‪j‬‬

‫‪M‬‬

‫‪m1 v1 + m 2 v 2 + m 3 v 3 + ....‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪m1 + m 2 + m 3 + ....‬‬

‫‪v c.m. = r& c.m.‬‬

‫½זהו הממוצע המשוקלל לפי המאסות של מהירויות חלקיקי המערכת‪.‬‬ ‫½התנע הכולל של מערכת גופים מחושב עבור מאסה המרוכזת במרכז הכובד‬ ‫של המערכת‪:‬‬ ‫‪p = Mv‬‬ ‫‪c.m .‬‬

‫½החוק השני של ניוטון לגבי גוף שאינו נקודתי ייכתב כאילו גוף שקול‪,‬‬ ‫שמאסתו היא סכום המאסות )‪ ,(M‬מצוי במרכז הכובד‪ ,‬ותאוצתו נתונה ע"י‪:‬‬

‫‪= M a c. m .‬‬ ‫‪143‬‬

‫‪ext‬‬

‫‪∑j F j‬‬ ‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מרכז הכובד‬

‫) ג(‬

‫½את המושג הזה ‪ -‬מרכז הכובד )אח"כ‪ ,‬מרכז המאסה( טבע‪ ,‬בין שאר הישגיו‬ ‫המדהימים ארכימדס איש סיראקוז )‪ 287‬לפנה"ס‪ 212-‬לפנה"ס(‪ .‬ניתן לראות‬ ‫בארכימדס את המדען הראשון‪.‬‬ ‫½ובכן‪ ,‬מנקודות מבט רבות מרכז הכובד היא הנקודה שכל הגוף‪ ,‬מסובך ככל‬ ‫שיהיה‪ ,‬מרוכז בה‪.‬‬

‫‪144‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

(‫)ד‬

‫מרכז הכובד –פיף פאף‬

Paul G. Hewitt, Conceptual Physics

‫ ישראל שק‬Israel Schek

145

‫אנרגיה קינטית‬ ‫½האנרגיה הקינטית ‪ Ek‬של מאסה ‪ ,m‬הנעה במהירות שגודלה ‪v = v‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪E k = mv ≡ mv ⋅ v = m v x + v y + v z‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫האנרגיה הקינטית =‬ ‫מחצית מכפלת רבוע המהירות במאסה‬

‫‪146‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫עבודה )‪(Work‬‬

‫)א(‬

‫½עבודה הנעשית על‪-‬ידי כוח על גוף מתבטאת בכך שפעולת הכוח גורמת‬ ‫להזזת הגוף והיא המכפלה הסקאלרית של הכוח ושל ההעתק )הזזה( של הגוף‪:‬‬ ‫½העבודה היא‪:‬‬ ‫)גודל הכוח( × )גודל ההעתק( × )קוסינוס הזווית שבין הכוח וההעתק(‬

‫) ‪W = F ⋅ ∆s = F cos θ∆s; θ = (F, ∆s‬‬ ‫½במילים אחרות‪:‬‬

‫העבודה היא‪:‬‬ ‫מכפלת השלכת הכוח על המסלול )‪ (Fcosθ‬באורך המסלול )‪.(∆s‬‬

‫‪147‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫עבודה‬

‫) ב(‬

‫½מכאן שאם ווקטורי הכוח וההעתק ניצבים זה לזה ‪cos(F, ∆s ) = cos 90 o = 0‬‬

‫השלכתם ההדדית מתאפסת‪ ,‬ולכן העבודה מתאפסת‪.‬‬

‫½הגדרה זאת מתייחסת לפעולת הכוח לאורך דרך קצרה מאד ‪∆s→0‬‬ ‫כאשר דנים בדרך סופית )לא דיפרנציאלית( יש לבצע אינטגרציה של העבודה‬ ‫הדיפרנציאלית לאורך הדרך הסופית‪:‬‬

‫‪∫ F(s )cos θ(s )ds‬‬

‫=‪W‬‬

‫‪path‬‬

‫½כתבנו במפורש שהן הכוח והן הזווית תלויים במקום )‪ (s‬לאורך המסלול‬ ‫)‪.(path‬‬

‫‪148‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫עבודה‬

‫)ג(‬

‫½בפעולת האינטגרציה מחלקים את המסלול לקטעים רבים מאוד‪,‬‬ ‫כל אחד קטן לאין שעור‪ ,‬כך שכל קטע הוא בקירוב ישר‪,‬‬ ‫והכוח הפועל לאורכו הוא בקירוב קבוע‪ ,‬עם זוית קבועה‪.‬‬ ‫½האינטגרל הוא סכום כל המכפלות על‪-‬פני הקטעים הקטנים‪.‬‬ ‫התחום בין עקומת רכיב הכוח ‪Fcosθ‬‬ ‫גראפית האינטגרל הוא השטח ָ‬ ‫וציר המסלול‪.‬‬

‫‪149‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫עבודה‬

‫)ד(‬

‫½אם כוח פועל על גוף‪ ,‬אך אינו מזיז אותו‪ ,‬העבודה בטלה‪.‬‬ ‫)אם תלחץ על קיר קבוע בלי להזיזו שריריך יתעייפו‪,‬‬ ‫אבל העבודה הפיסיקאלית שתבצע היא אפס(‪.‬‬ ‫½אם כוח פועל על גוף בניגוד לכיוון ההתקדמות )‪,(cosθ<0‬‬ ‫עבודת הכוח שלילית‪.‬‬ ‫½העבודה הכוללת‪ :‬סכום העבודות של כל הכוחות הפועלים על גוף‪.‬‬

‫‪150‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫אנרגיה‬-‫עקרון עבודה‬ ¾ Work-Energy Principle ¾

Wnet=mvf2/2-mvi2/2

¾ The change in the kinetic energy of an object is equal to the net work done on the object.

‫ ישראל שק‬Israel Schek

151

‫כוח משמר )‪(Conservative Force‬‬ ‫½כוח משמר הוא כוח שעבודתו בין שתי נקודות אינה תלויה במסלול התנועה‬ ‫)אלא רק בנקודות המוצא והיעד(‪.‬‬

‫½עבודת כוח משמר לאורך מסלול סגור שווה‬

‫לאפס‪.‬‬

‫½דוגמאות לכוח משמר‪ :‬גרוויטאציה‪ ,‬כוח אלקטרו‪-‬סטאטי‪ ,‬כוח הוּק‪.‬‬ ‫½דוגמה לכוח בלתי משמר )מכלה(‪ :‬חיכוך‪.‬‬ ‫½החיכוך תמיד מתנגד לכיוון התנועה‪ ,‬אבל אינו "יוצר" תנועה‬ ‫)ולכן נקרא "בזבזני"(‪.‬‬

‫‪152‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫אנרגיה פוטנציאלית‬

‫)א(‬

‫½האנרגיה הפוטנציאלית היא תכונה אופיינית למקום שבו נמצא חלקיק‪.‬‬ ‫½ממנה נגזר הכוח הפועל על החלקיק באותה נקודה‪.‬‬ ‫½הנגזרת של הפונקציה )‪ ,U(x‬נותנת את הכוח המשמר )‪:F(x‬‬

‫) ‪dU ( x‬‬ ‫‪F( x ) = −‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪153‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫אנרגיה פוטנציאלית‬

‫) ב(‬

‫½הפרש האנרגיות הפוטנציאליות בין הנקודה ‪ A‬והנקודה ‪B‬‬ ‫שווה לעבודת הכוח‪ ,‬כשהחלקיק נע מן הנקודה ‪ A‬לנקודה ‪:B‬‬

‫‪U A − U B = WA→B‬‬ ‫דוגמאות‪:‬‬ ‫½אנרגיה פוטנציאלית של כוח הכובד‪:‬‬

‫‪U G .A − U G .B = mgy A − mgy B‬‬ ‫½דוגמה‪ :‬אנרגיה פוטנציאלית אלסטית‪:‬‬ ‫‪1 2 1 2‬‬ ‫‪= kx A − kx B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪154‬‬

‫‪U sp.A − U sp.B‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫אנרגיה פוטנציאלית‬

‫)ג(‬

‫½ניתן לייחס אנרגיה פוטנציאלית רק לכוחות משמרים‪:‬‬ ‫יש אנרגיה פוטנציאלית אופיינית לגרוויטאציה‪ ,‬לכוח אלקטרו‪-‬סטאטי‪,‬‬ ‫לכוח הוּק בקפיץ‪ ,‬אך אין אנרגיה פוטנציאלית אופיינית לחיכוך‪.‬‬ ‫½רק הפרש באנרגיה הפוטנציאלית‪ ,‬אך לא האנרגיה הפוטנציאלית עצמה‪,‬‬ ‫מוגדר באופן חד‪-‬ערכי‪.‬‬ ‫½נקודת הייחוס‪ ,‬שבה האנרגיה הפוטנציאלית מתאפסת‪ ,‬היא שרירותית‪.‬‬ ‫הבחירה נעשית לפי שקולי נוחיות חישובית או קונספטואלית‪.‬‬ ‫½אם בוחרים את רמת האפס של האנרגיה במצב שבו הקפיץ רפוי‪ ,‬אזי‪:‬‬

‫‪U sp = kx 2 / 2‬‬

‫‪155‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫שימור האנרגיה‬

‫)א(‬

‫½אנרגיה מכאנית היא סכום האנרגיה הקינטית וכל האנרגיות הפוטנציאליות‪.‬‬ ‫½העבודה הכוללת של הכוחות שאינם משמרים =‬ ‫שינוי באנרגיה המכאנית הכוללת‪:‬‬

‫‪WA →B (nonconservative) = E B − E A = ∆E‬‬ ‫½עיקרון שימור האנרגיה המכאנית‪:‬‬

‫כאשר רק כוחות משמרים עובדים על גוף‪ ,‬האנרגיה‬ ‫המכאנית הכוללת קבועה )נשמרת( לאורך המסלול‬ ‫½גם בלי להגדיר בצורה עקבית מהי אנרגיה )משהו כמו‪" :‬היכולת של מערכת‬ ‫לבצע עבודה"(‪ ,‬אנו יודעים שאנרגיה של מערכת סגורה נשמרת‪.‬‬ ‫‪156‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫שימור האנרגיה – שדה גרוויטציה‬

‫) ב(‬

‫ניתוח תנועת הזריקה האנכית )שכבר נידון משקולים קינמאטיים(‬ ‫יעשה כעת משיקולי שימור אנרגיה גרידא‪:‬‬ ‫½גוף נזרק אנכית במהירות התחלתית ‪ v0‬כלפי מעלה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫½האנרגיה של הגוף בתחילת עלייתו היא קינטית בלבד‪E = E k = mv 0 / 2 :‬‬ ‫½בשיא הרום הגוף נעצר והאנרגיה היא פוטנציאלית בלבד‪E = E p = mgy m :‬‬

‫½חוק שימור האנרגיה )בהזנחת החיכוך באוויר(‬ ‫‪2‬‬ ‫משווה בין האנרגיה ההתחלתית והאנרגיה הסופית‪mv 0 / 2 = mgy m :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫½מכאן הביטוי הדרוש לגובה המכסימאלי‪y m = v 0 / 2g :‬‬

‫‪157‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫יחידות אנרגיה עשרוניות‬ ‫½ ‪:MKS‬‬ ‫‪ 1 Joule‬היא העבודה של כוח בן ‪ 1 Newton‬הנעשית לאורך דרך של ‪:1 m‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪1Joule = 1Kg × m / sec‬‬ ‫‪2‬‬

‫½‪:cgs‬‬ ‫‪ 1 erg‬היא העבודה של כוח בן ‪ 1 dyne‬הנעשית לאורך דרך של ‪:1 cm‬‬

‫‪1erg = 1gr × cm 2 / sec 2‬‬ ‫½הקשר בין שני הערכים הללו‪:‬‬

‫‪1J = 1N × 1m = 10 dyne × 10 cm = 10 erg‬‬ ‫‪7‬‬

‫‪158‬‬

‫‪2‬‬

‫‪5‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫יחידות אנרגיה אחרות‬

‫)א(‬

‫עוד יחידות אנרגיה‪:‬‬ ‫½אלקטרון‪-‬וולט‬ ‫האנרגיה שמקבל אלקטרון בשדה חשמלי בעל מפל פוטנציאלים של וולט אחד‪:‬‬

‫‪1 eV = 1.6021 × 10 -12 erg‬‬ ‫½קלוריה‬ ‫החום הדרוש להעלאת ‪ 1gr‬מים ב‪:10C -‬‬

‫‪1 cal = 4.1840 × 10 7 erg‬‬ ‫½יחידה אטומית‬ ‫כפל האנרגיה של האלקטרון במצב היסוד של אטום המימן‪:‬‬

‫‪1au = 4.3592 × 10 −11 erg = 27.21eV‬‬ ‫‪159‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫יחידות אנרגיה אחרות‬

‫) ב(‬

‫עוד יחידות אנרגיה‪:‬‬ ‫½קלווין‬ ‫האנרגיה הקינטית של חלקיק בטמפרטורה של ‪:10K‬‬

‫‪1o K = 1.3804 × 10 −16 erg‬‬ ‫½מכאן‪.1 au = 3.1578×105 K :‬‬ ‫½לכן יש צורך בטמפרטורה מסדר גודל של ‪ 105 K‬כדי ליונן אטום מימן‪.‬‬ ‫½גראם‬ ‫האנרגיה הגלומה ביחידת משקל כשהופכים אותה לאנרגיה‪,‬‬ ‫לפי הקשר של איינשטיין‪:E=mc2 :‬‬

‫‪1gr = 8.9876 × 1013 J‬‬ ‫‪160‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫עבודה בשדה גרוויטציה‬

‫‪¾ W1=mgsinθ×h/sin θ‬‬ ‫‪¾ W4=mgh‬‬ ‫½ בהעדר חיכוך נעשית אותה עבודה בדרכים השונות‬

‫‪161‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית שאינה קצובה –לפי עקרון שימור האנרגיה‬

‫)א(‬

‫נתבונן בגוף שמאסתו ‪ m‬המחליק על חישוק אנכי שרדיוסו ‪ R‬ללא חיכוך‪.‬‬ ‫נעזוב את הגוף בגובה כלשהו על החישוק‪.‬‬ ‫משיקולי שימור האנרגיה המכאנית הגוף יגיע לתחתית החישוק ויעלה מעלה‬ ‫עד גובה זהה לגובה ההתחלתי‪.‬‬ ‫כעת נשים את הגוף בתחתית החישוק‪ ,‬ונעניק לו מהירות התחלתית ‪.v‬‬ ‫לאיזה גובה הוא יגיע?‬

‫‪162‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית שאינה קצובה –לפי עקרון שימור האנרגיה‬

‫) ב(‬

‫½האנרגיה בראשית המסלול היא קינטית‪E i = mv 0 / 2 :‬‬ ‫‪2‬‬

‫½הגוף יעלה לגבה ‪ h‬עד שיעצור‪ ,‬דהיינו תתאפס האנרגיה הקינטית שלו‪:‬‬

‫‪E f = mgh‬‬ ‫½משימור האנרגיה מקבלים‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫)‪mv0 / 2 = mgh = mgR (1 + sin α‬‬

‫½הזוית בין רדיוסו הסופי לבין הקו האופקי היא‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪v‬‬ ‫‪sin α = 0 − 1‬‬ ‫‪2gR‬‬

‫‪163‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית שאינה קצובה –לפי עקרון שימור האנרגיה‬

‫) ג(‬

‫½בכל רגע פועלים על הגוף שני כוחות )בהעדר חיכוך(‪:‬‬ ‫המשקל ‪ mg‬הפונה תמיד מטה‬ ‫כוח נורמלי ‪ N‬מצד החישוק הפונה תמיד כלפי המרכז )ניצב לרדיוס(‪.‬‬ ‫½בכל רגע הרכיב השקול הפונה אל המרכז מספק את התאוצה הרדיאלית‬ ‫‪.v2/R‬‬ ‫½אם יגיע הגוף לשיא החישוק יהיו המשקל והנורמל על קו אחד במגמה מטה‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫אז‪:‬‬ ‫‪mg + N = mv m / R‬‬ ‫כאשר ‪ vm‬היא המהירות במכסימום הגובה‪.‬‬

‫‪164‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תנועה מעגלית שאינה קצובה –לפי עקרון שימור האנרגיה‬

‫) ד(‬

‫½ ניתוק הגוף מן החישוק יחול כאשר הנורמל מתאפס‪,‬‬ ‫‪2‬‬ ‫כלומר אין מגע בין הגוף והחישוק‪ ,‬ואז‪v = Rg :‬‬ ‫‪m‬‬

‫½ משיקולי אנרגיה‪:‬‬ ‫½ מכאן נקבל‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪mv 0 = mv m + mg2 R‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1 2 1‬‬ ‫‪v 0 = Rg + 2Rg‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫½ כלומר הערך המינימאלי של המהירות‪ ,‬שמתחת לה הגוף יעזוב את החישוק‬ ‫במכסימום הגוף‪ ,‬ולא ישלים את הסיבוב הוא‪:‬‬

‫‪v 0 = 5Rg‬‬

‫‪165‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫התנגשות אלאסטית‬ ‫½התנגשות אלסטית היא זאת שבה האנרגיה הקינטית הכוללת נשמרת‪:‬‬

‫‪m1v12 /2 + m 2 v 22 /2 = m1u12 /2 + m 2 u 22 /2‬‬ ‫½כדורי ביליארד מתנהגים בקירוב באופן אלסטי‪.‬‬

‫½נעביר אגפים ונכנס‪) :‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪−u‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪) = −m (v‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫(‬

‫‪m1 v − u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫½נחלק משוואה זאת במשוואת שימור התנע בצורתה‪:‬‬

‫) ‪m1 (v1 − u1 ) = −m 2 (v 2 − u 2‬‬

‫½נקבל‪:‬‬

‫‪166‬‬

‫‪v1 + u1 = v 2 + u 2‬‬ ‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫התנגשות פלאסטית‬

‫)א(‬

‫½התנגשות בלתי‪-‬אלסטית‪ :‬התנגשות שבה האנרגיה הקינטית אינה נשמרת‬ ‫)היא מומרת באנרגיה פנימית של הגופים המתנגשים(‪.‬‬ ‫½התנגשות מצח‪ :‬התנגשות שבה מסלולי התנועה לפני ההתנגשות‪ ,‬ואחריה‪,‬‬ ‫נמצאים על ישר אחד‪.‬‬ ‫זה מקרה פרטי; המקרה הכללי הוא תנועה תלת ממדית‪.‬‬ ‫½התנגשות פלסטית היא התנגשות שבסיומה לגופים אותה מהירות‬ ‫)נעים כגוף אחד(‪.‬‬ ‫משוואת שימור התנע במקרה זה‪:‬‬

‫‪m1 v1 + m 2 v 2 = (m1 + m 2 )U = M U‬‬

‫כאשר ‪ M = m1 + m 2‬היא המאסה הכללית של המערכת‪.‬‬ ‫‪167‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫שיקולי אנרגיה בהתנגשות פלאסטית‬

‫)א(‬

‫½נקדים את המאוחר ונאמר שבהתנגשות זאת האנרגיה אינה נשמרת‪,‬‬ ‫אלא רק התנע הכללי‪.‬‬ ‫½האנרגיה הקינטית של שני הגופים לפני ההתנגשות‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= m 1 v 1 + m 2 v 22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪k‬‬

‫‪i‬‬

‫‪E‬‬

‫½לאחר ההתנגשות שני הגופים נצמדים והאנרגיה הקינטית היא‪:‬‬

‫‪E f k = (m1 + m 2 )u 2 /2 ≡ Mu 2 /2‬‬ ‫½חוק שימור התנע קובע‪:‬‬

‫‪m 1 v 1 + m 2 v 2 = (m 1 + m 2 )u‬‬

‫‪168‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫שיקולי אנרגיה בהתנגשות פלאסטית‬

‫) ב(‬

‫½ומכאן מתקבלת המהירות המשותפת‪:‬‬ ‫‪m1 v 1 + m 2 v 2 m1 v 1 + m 2 v 2‬‬ ‫≡‬ ‫‪m1 + m 2‬‬ ‫‪M‬‬

‫=‪u‬‬

‫½מכאן הבדל האנרגיות הקינטיות הוא‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ⎟⎞ ‪(m1 + m 2 )u 2 − ⎛⎜ 1 m1v12 + 1 m 2 v 22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎝2‬‬ ‫⎠‬

‫= ‪∆E ≡ E f k − E i k‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1 ⎛ m1v1 + m 2 v 2 ⎞ ⎛ 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎞‪2‬‬ ‫⎜‪= M‬‬ ‫⎟ ‪⎟ − ⎜ m1v1 + m 2 v 2‬‬ ‫⎝ ‪2‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪⎠ ⎝2‬‬ ‫⎠‬

‫½אחרי פיתוח האיבר הראשון באגף ימין וחיסור נקבל פחת באנרגיה )מינוס(‪:‬‬ ‫= ‪∆E ≡ E f k − E i k‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎞‬ ‫) ‪1 m1m 2 (v1 − v 2‬‬ ‫‪⎟=−‬‬ ‫⎟‬ ‫) ‪2 (m1 + m 2‬‬ ‫⎠‬

‫‪169‬‬

‫‪2‬‬

‫‪1 ⎛ 2m1m 2 v1v 2 − m1m 2 v1 − m1m 2 v 2‬‬ ‫⎜⎜ =‬ ‫⎝‪2‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫שיקולי אנרגיה בהתנגשות פלאסטית‬

‫)ג(‬

‫½נגדיר את הפרש המהירויות ההתחלתיות )המהירות היחסית(‪∆v ≡ v 1 − v 2 :‬‬ ‫½ואת המאסה המוחזרת )‪m1m 2 :(reduced mass‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫=‪→µ‬‬ ‫‪µ m1 m 2‬‬ ‫‪m1 + m 2‬‬

‫½איבוד האנרגיה הוא‪:‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪∆E ≡ E f k − E i k = − µ∆v 2‬‬ ‫‪2‬‬

‫½איבוד האנרגיה שווה ערך לאנרגיה הקינטית של גוף שמאסתו זהה למאסה‬ ‫המוחזרת ומהירותו ‪ -‬המהירות היחסית של שני הגופים‪.‬‬ ‫½המושג מאסה מוחזרת מופיע בחקירה של תנועה הדדית של שני גופים ויותר‪.‬‬ ‫המערכת האקטואלית שקולה למערכת שבה ישנה רק מאסה אחת )המוחזרת(‪,‬‬ ‫והדינאמיקה שלה זהה לזאת של האקטואלית‪.‬‬ ‫‪170‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫חוקי קפלר‬

‫)א(‬

‫½חוקי קפלר מתייחסים לתנועת כוכבי לכת )פלנטות( סביב השמש‪.‬‬ ‫½מתוך אנאליזה של המדידות שערך יוהאנס קפלר )‪(Johannes Kepler‬‬ ‫בעקבות מורו טיכו בראהה )‪ ,(Tycho Brahe‬הוא מצא שהמסלולים המותווים‬ ‫ע"י כוכבי הלכת )‪ (Orbits‬מקיימים את החוקים הבאים‪:‬‬ ‫½החוק הראשון‪ :‬מסלול תנועתו של כל כוכב לכת הוא אליפסה‪.‬‬ ‫½השמש נמצאת באחד ממוקדי האליפסה‪.‬‬

‫‪171‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫חוקי קפלר‬

‫) ב(‬

‫½החוק השני‪:‬‬ ‫הקו המחבר את השמש עם כוכב לכת "מכסה" שטחים שווים בזמנים שווים‪.‬‬

‫‪172‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫חוקי קפלר‬

‫)ג(‬

‫½החוק השלישי‪:‬‬ ‫ריבוע זמן המחזור של כוכב לכת פרופורציוני לחזקה השלישית של הרדיוס‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫מסלולו הממוצע‪:‬‬ ‫⎞‬ ‫⎞ ‪⎛R‬‬ ‫⎟⎟ ‪⎟⎟ = ⎜⎜ 1‬‬ ‫⎠‬ ‫⎠ ‪⎝ R2‬‬

‫‪173‬‬

‫‪⎛ T1‬‬ ‫⎜⎜‬ ‫‪⎝ T2‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫חוקי קפלר‬

‫‪174‬‬

‫)ד(‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

The Solar Planets http://pds.jpl.nasa.gov/planets

http://www.nineplanets.org

‫ ישראל שק‬Israel Schek

175

‫כבידה )גרוויטאציה(‬

‫)א(‬

‫נתונים אסטרונומיים ועובדות ראשוניות‬ ‫½תוצאות תצפיות בכוכבי הלכת‪:‬‬ ‫חמה‪ ,‬נוגה‪ ,‬מאדים‪ ,‬צדק ושבתאי )טיכו בראהה(‪.‬‬ ‫½תיאור תנועת כוכבי הלכת באמצעות שלושת חוקי קפלר‪.‬‬ ‫½תאוצת גופים המשוחררים בקרבת הארץ היא ‪.9.81m/sec2‬‬ ‫½תאוצת גופים בקרבת הירח היא ‪.2.7×10-2m/sec2‬‬ ‫½תופעת הגיאות והשפל‪.‬‬

‫‪176‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫כבידה )גרוויטאציה(‬

‫) ב(‬

‫½בין כל שני חלקיקים ביקום פועל כוח משיכה גרוויטאציוני‪,‬‬ ‫שהתבנית המתמטית שלו‪:‬‬

‫‪m1 m 2‬‬ ‫‪F=G 2‬‬ ‫‪r‬‬

‫כאשר ‪ m1,m2‬הן שתי המאסות באינטראקציה‪ r ,‬הוא המרחק ביניהן‪ ,‬ו‪G -‬‬ ‫קבוע הגרוויטאציה העולמי‪:‬‬

‫‪G = 6.670 × 10 −11 Newton × m 2 / kg 2‬‬ ‫½תיאורית הגרוויטאציה מצליחה להסביר את כל העובדות הראשוניות‬ ‫הרשומות לעיל‪.‬‬

‫‪177‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫כבידה )גרוויטאציה(‬

‫)ג(‬

‫½ניבויי התיאוריה של ניוטון‬ ‫½‪ (.1‬כוח משיכה פועל בין כל שני גופים‪ ,‬אף אם הם קטנים‪.‬‬ ‫½‪ (.2‬יש כוכב לכת שטרם נתגלה‪ ,‬המשפיע על מסלול תנועתו של אוראנוס‪.‬‬ ‫½‪ (.3‬יש אפשרות עקרונית לשגר לווין –‬ ‫גוף במסלול מעגלי )או אליפטי( סביב הארץ )אייזיק ניוטון(‪.‬‬

‫‪178‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫כבידה )גרוויטאציה(‬

‫)ד(‬

‫תוצאות בחינת הניבויים‬ ‫½קבנדיש מגלה שאכן פועל כוח כבידה בין גופים בעלי ממדים רגילים‪.‬‬ ‫ָלה מגלה את כוכב הלכת נפטון שמשפיע על מסלולו של אוראנוס‪.‬‬ ‫½ג ֶ‬ ‫½אלפי לווינים מלאכותיים מקיפים כיום את הארץ‪.‬‬ ‫½אם מסלול הלוויין הוא מעגלי‪ ,‬אזי הגרוויטאציה מספקת את הכוח‬ ‫הצנטריפטלי‪ ,‬ומתקיימת המשוואה‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪GMm‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪=m‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬

‫½ומכאן הקשר בין המהירות במסלול המעגלי לבין הרדיוס‪v 2 = GM / r :‬‬

‫‪179‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תאוצת הנפילה החופשית‬

‫)א(‬

‫½עוצמת שדה הכבידה של גרם שמיים בנקודה מסוימת היא הכוח הפועל על‬ ‫יחידת מסה‪ ,‬המוצבת בנקודה המרוחקת ‪ r‬ממאסה אחרת המפעילה עליה את‬ ‫הכוח‪:‬‬ ‫‪Fg GM‬‬ ‫= *‪g‬‬ ‫‪= 2‬‬ ‫‪m‬‬ ‫‪r‬‬ ‫½כאשר אנו דנים בתאוצת הנפילה על פני הארץ‪ ,‬עלינו להציב את רדיוס כדור‬ ‫‪r=r‬‬ ‫הארץ‪≈ 6.4 × 10 3 km :‬‬ ‫‪Earth‬‬

‫½תאוצת הנפילה החופשית משתנה ממקום למקום על פני הארץ בגלל שלוש‬ ‫סיבות‪:‬‬ ‫½א( הארץ אינה הומוגנית במבנה הפנימי שלה‪.‬‬ ‫½ב( הארץ אינה כדורית‪ ,‬אלא פחוסה‪.‬‬ ‫½ג( הארץ סובבת על צירה )נוספים עוד כוחות על‪-‬פני הכבידה(‪.‬‬

‫‪180‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫תאוצת הנפילה החופשית‬

‫) ב(‬

‫½שדה הכבידה )קבוצת כל עוצמות שדות הכבידה בכל נקודות המרחב( משמר‪.‬‬ ‫לכן ניתן להגדיר אנרגיה פוטנציאלית של כבידה‪.‬‬ ‫כפי שהכוח הוא המפל של האנרגיה פוטנציאלית‬ ‫)קצב שינוי במקום‪ ,‬הנגזרת לפי קואורדינת המקום(‪,‬‬ ‫הרי שהאנרגיה פוטנציאלית מצדה מתקבלת ע"י אינטגרציה של הכוח‪.‬‬

‫½ראינו שעבור קפיץ אלסטי )קפיץ בתחום שחל בו חוק הוּק (‪F = − kx :‬‬ ‫) ‪dU ( x‬‬ ‫‪dx‬‬

‫‪181‬‬

‫‪← F( x ) = −‬‬

‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪U sp = E p ( x ) = − ∫ F( x )dx = kx 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫אנרגיה פוטנציאלית גרוויטאציונית‬

‫) א(‬

‫½באותו אופן שביטאנו את האנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ‪,‬‬ ‫הפרש האנרגיה הפוטנציאלית של כבידת מאסה ‪ m‬בשדה מאסה ‪M‬‬ ‫מבוטא על‪-‬ידי אינטגרל כוח הכבידה לאורך הדרך מנקודה התחלתית )‪(r1‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫לנקודה הסופית )‪:(r2‬‬ ‫‪r2‬‬ ‫‪GMm‬‬ ‫= ‪dr‬‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫‪r‬‬

‫∫ = ‪≡ E p (r2 ) − E p (r1 ) = - ∫ f(r)dr‬‬ ‫‪r1‬‬

‫‪r1‬‬

‫‪r1‬‬

‫‪UG‬‬

‫⎞‪⎛1 1‬‬ ‫⎞ ‪⎛ GMm GMm‬‬ ‫⎟⎟ ‪⎟⎟ = GMm⎜⎜ −‬‬ ‫⎜⎜‪= −‬‬ ‫‪−‬‬ ‫⎠ ‪r1‬‬ ‫⎠ ‪⎝ r1 r2‬‬ ‫‪⎝ r2‬‬

‫½בשינוי שמות נקודות הקצה‪ ,‬או בהביאנו את המאסה ‪ m‬מנקודה התחלתית‬ ‫)‪ (r0‬לנקודה כלשהי )‪ (r‬נקבל‪:‬‬ ‫⎞‪⎛ 1 1‬‬ ‫⎟⎟ ‪≡ E p (r ) − E p ( r0 ) = GMm⎜⎜ −‬‬ ‫⎠ ‪⎝ r0 r‬‬ ‫‪182‬‬

‫‪r‬‬ ‫‪r0‬‬

‫‪UG‬‬ ‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫אנרגיה פוטנציאלית גרוויטאציונית‬

‫) ב(‬

‫½הנקודה התחלתית )‪ (r0‬היא נקודה שרירותית )ובלבד שנהייה עקביים‬ ‫בבחירתה בבעיה הנדונה(‪ .‬מכיוון שבמרחק אינסופי האנרגיה הפוטנציאלית וכן‬ ‫כוח הכבידה מתאפסים‪ ,‬נוח לבחור את נקודת הייחוס שם‪.‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪r‬‬

‫‪GMm‬‬ ‫‪GMm‬‬ ‫‪U G ∞ = -∫ f (r)dr = ∫ r 2 dr = − r‬‬ ‫∞‬ ‫∞‬

‫½הנה כי כן הפונקציה של האנרגיה הפוטנציאלית‬

‫‪r‬‬

‫‪− GMm / r‬‬

‫היא העבודה הנעשית על המאסה ‪ m‬בהביאנו אותה ממרחק אינסופי אל‬ ‫המרחק ‪ r‬ממרכז המאסה ‪.M‬‬

‫‪183‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫אנרגיה פוטנציאלית גרוויטאציונית‬

‫) ג(‬

‫½האנרגיה של לוויין במסלול מעגלי שרדיוסו ‪ r‬מורכבת משני הגורמים‪:‬‬ ‫‪mv 2 GMm‬‬ ‫= ‪Ek‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2r‬‬

‫½האנרגיה הקינטית‪:‬‬ ‫)נובע מן השוויון שבין הכוח הגרוויטאציוני והכוח הצנטריפטלי(‪.‬‬ ‫½האנרגיה הפוטנציאלית‪:‬‬ ‫½האנרגיה הכוללת‪:‬‬

‫‪GMm‬‬ ‫‪r‬‬

‫‪GMm‬‬ ‫‪2r‬‬

‫‪Ep = UG = −‬‬

‫‪E = Ek + UG = −‬‬

‫½אנו רואים שבין האנרגיות קיים הקשר‪E = − E k = E p / 2 :‬‬

‫½הקשר הזה )‪ (Virial Law‬אופייני לכל כוח התלוי במרחק לפי‪f (r ) ∝ 1 / r 2 :‬‬

‫½האנרגיות של חוק הוּק מקיימות‬ ‫‪184‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪E‬‬ ‫‪2‬‬

‫= ‪Ek = Ep‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫גרוויטאציה ואינרציה‬ ‫½כוח המשיכה יחסי למאסה‪ ,‬שהיא הגודל היסודי המודד התמדה )אינרציה( ‪:‬‬ ‫½"כמה קשה להחזיק גוף הנע סביב במעגל"‬ ‫½או "כמה קשה להסיט גוף ממסלול ישר"‬ ‫½שני גופים ‪ -‬כבד וקל ‪ -‬הנעים סביב מרכז גרוויטאציוני משותף ברדיוס זהה‬ ‫ובאותה מהירות‪ ,‬יישארו יחדיו במחוגם‪,‬‬ ‫כיוון שכדי לנוע במעגל נדרש כוח חזק יותר עבור הגוף הכבד‪.‬‬ ‫½אכן הכוח הגרוויטאציוני חזק עבור הגוף הכבד בדיוק ביחס הנכון‪,‬‬ ‫כך ששני הגופים ינועו יחדיו‪.‬‬ ‫½המאסות והמשקלים יחסיים זה לזה באותה מידה עבור כל הגופים‪.‬‬ ‫בניסוי נמצא היחס זהה עד כדי השגיאה הנמוכה של ‪.10-9‬‬ ‫‪185‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫גרוויטאציה ליד פני כדור הארץ‬ ‫½מתי מותר להשתמש עבור האנרגיה הכבידתית על‪-‬פני כדור הארץ בביטוי‬ ‫‪ , U G = mgh‬ולא בביטוי הכללי יותר ‪? U G = −GMm/r‬‬ ‫½אם נלך מ‪ r1 -‬ל‪ ,r2 -‬כך ש‪ h = r2 − r1 << r1 , r2 :‬דהיינו שני המקומות קרובים‬ ‫זה לזה ביחס למרחקים שלהם ממרכז הארץ‪ ,‬אז ניתן לפתח את ההפרש לפי‪:‬‬ ‫⎞ ‪⎛ GMm ⎞ ⎛ GMm‬‬ ‫⎞‪⎛ 1 1‬‬ ‫‪r −r‬‬ ‫‪GMm‬‬ ‫‪⎟⎟ − ⎜⎜ −‬‬ ‫≈ ‪⎟⎟ = −GMm⎜⎜ − ⎟⎟ = −GMm 1 2‬‬ ‫‪U G 2 − U G1 = ⎜⎜ −‬‬ ‫‪h‬‬ ‫⎝ ⎠ ‪r2‬‬ ‫⎠ ‪r1‬‬ ‫‪r2 r1‬‬ ‫‪r2 r1‬‬ ‫⎝‬ ‫⎠ ‪⎝ r2 r1‬‬

‫½במכנה ישנם שני מרחקים ‪ r1‬ו‪ ,r2 -‬ובהסתמך על תנאי אי‪-‬השוויון‬ ‫‪r2 − r1 << r1 , r2‬‬ ‫ניקח את הגודל הממוצע ‪ .r2≈r1r2‬בקרבת פני כדור הארץ ‪ ,r=rE‬נקבל ביטוי‬ ‫מוכר‪:‬‬ ‫‪GMm‬‬ ‫‪h ≡ mgh‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪rE‬‬

‫‪186‬‬

‫= ‪U G 2 − U G1‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מהירות המילוט‬ ‫½מהירות המילוט )‪ :(Escape Velocity‬המהירות המינימאלית שיש להעניק לגוף‬ ‫כדי שימלט מכוח המשיכה של גרם השמיים‪.‬‬ ‫½הגוף יגיע למרחק אינסופי )אנרגיה פוטנציאלית מתאפסת( במהירות הגבולית‬ ‫אפס )אנרגיה קינטית מתאפסת‪ ,‬ומכאן שהאנרגיה הכללית מתאפסת(‪.‬‬ ‫½מחוק שימור האנרגיה נייחס אנרגיה אפס לגוף גם בתחילת תנועתו )על פני‬ ‫הגרם השמימי(‪ .‬אם הגוף נמצא במרחק ‪ r‬ממרכזו של גרם שמיים שמאסתו ‪:M‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪mv e‬‬ ‫‪GmM‬‬ ‫‪−‬‬ ‫=‪E=0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪r‬‬

‫½ומכאן מהירות המילוט‪v e = 2GM / r ~ 11.km / sec :‬‬

‫‪187‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫אנרגיה פוטנציאלית ומושג הפוטנציאל‬

‫)א(‬

‫½אנרגיה פוטנציאלית של גוף בעל מאסה ‪ m‬במרחק ‪ r‬מן הגוף שמאסתו ‪,M‬‬ ‫ובהתייחס אל האינסוף כאל נקודת הייחוס )‪ ,(reference‬נתונה ע"י‪:‬‬

‫‪− GMm/r‬‬ ‫½בגלל הסימטריה של הביטוי‪ ,‬זאת גם האנרגיה של הגוף שמאסתו ‪M‬‬ ‫במרחק ‪ r‬מן החלקיק שמאסתו ‪.m‬‬ ‫½בהתייחסנו למה ש"מרגיש" החלקיק בעל מאסה ‪ ,m‬נכתוב‪:‬‬

‫‪GMm‬‬ ‫‪GM‬‬ ‫‪U(r ) = −‬‬ ‫‪= m(−‬‬ ‫) ‪) = mΦ ( r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫½כאן מוגדר הפוטנציאל ‪:‬‬

‫‪188‬‬

‫‪GM‬‬ ‫‪Φ(r ) ≡ −‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫אנרגיה פוטנציאלית ומושג הפוטנציאל‬

‫) ב(‬

‫½פונקציה זאת של הנקודה ‪ r‬אופיינית למרחב סביב המאסה ‪,M‬‬ ‫אבל אינה תלויה בגודל המאסה ‪.m‬‬ ‫½האנרגיה הפוטנציאלית של חלקיק ‪ m‬בשדה של חלקיק ‪ M‬היא‬ ‫מכפלת המאסה בפוטנציאל‪.‬‬ ‫½אם השדה נוצר ע"י מספר "מקורות גרוויטאציה"‪ ,‬הפוטנציאל יהיה‪:‬‬ ‫‪Mi‬‬ ‫‪ri − r‬‬

‫‪189‬‬

‫∑ ‪Φ ( r ) = −G‬‬ ‫‪i‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫אנרגיה פוטנציאלית ומושג הפוטנציאל‬

‫)ג(‬

‫½כאן כבר כתבנו את המקום בצורתו הוקטורית‪.‬‬ ‫מכפלת המאסה בפונקצית הפוטנציאל הכללי היא האנרגיה הפוטנציאלית;‬ ‫או לחילופין‪ ,‬הפוטנציאל הוא האנרגיה הפוטנציאלית של מאסת יחידה‪.‬‬ ‫½לכאורה הדיון נראה מעגלי‪,‬‬ ‫אבל קיימת האפשרות של חקירת השדה הגרוויטאציוני‪,‬‬ ‫ללא נוכחות מאסת הבוחן‪ ,‬אלא מתוך דיון במבנה של הפונקציה )‪.Φ(r‬‬ ‫½את כוחו הרב של מושג הפוטנציאל אנו מכירים דווקא בתחום של האנרגיה‬ ‫בשדה החשמלי )הקולומבי(‪.‬‬ ‫½יחידת הפוטנציאל‪:‬‬

‫‪190‬‬

‫‪[Φ(r )] = [E ] = energy = velocity2‬‬ ‫‪[m] mass‬‬ ‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫גרוויטאציה וחשמל ‪ -‬אנלוגיה‬

‫)א(‬

‫½התבנית המתמטית של חוק הגרוויטאציה זהה לתבנית המתמטית של חוק‬ ‫האינטראקציה החשמלית בין שני מטענים חשמליים‪:‬‬

‫‪F = − Kq1q 2 / r 2‬‬ ‫½יחידת מטען חשמלי הגודל ‪.1Coulomb‬‬ ‫½כאשר ‪ q1,q2‬הם שני המטענים באינטראקציה‪ r ,‬הוא המרחק ביניהם‪,‬‬ ‫ו‪ K -‬קבוע כוח החשמלי )קבוע ‪:(Coulomb‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪191‬‬

‫‪K = 9. × 10 Newton × m / C‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪9‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫גרוויטאציה וחשמל ‪ -‬אנלוגיה‬

‫) ב(‬

‫½מאסה היא תמיד גודל חיובי‪ ,‬והכוח הגרוויטאציוני הוא תמיד כוח משיכה‪.‬‬ ‫½לעומת זאת מטענים חשמליים יכולים להיות חיוביים או שליליים‪.‬‬ ‫½לכן‪ :‬הכוח החשמלי )הכוח הקולומבי( מושך אם המטענים הפוכי סימן‪,‬‬ ‫ודוחה אם הם זהי סימן‪.‬‬

‫‪192‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫גרוויטאציה וחשמל ‪ -‬אנלוגיה‬

‫)ג(‬

‫½כדי לקבל אמת‪-‬מידה על העוצמה היחסית של הכוחות‬ ‫)שלעת עתה מובנים כנובעים ממקורות שונים ‪ -‬גרוויטאציה וחשמל(‪,‬‬ ‫נשווה את עצמתם עבור שני אלקטרונים‪:‬‬

‫‪m e = 9.10939 × 10 −31 Kg‬‬

‫‪e = 1.60218 × 10 −19 C‬‬

‫½כיון ששני הכוחות יורדים עם המרחק בדיוק באותה חזקה )‪,(r-2‬‬ ‫נקבל בכל מרחק את היחס‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪FG Gm e‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫≈‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Fe‬‬ ‫‪Ke‬‬ ‫‪4.17 × 1042‬‬

‫½יחס אדיר זה )"לרעת" הכוח הגרוויטאציוני( הוא הסבה שבדיון רגיל בתורה‬ ‫האטומית או המולקולארית‪ ,‬אין הכוחות הגרוויטאציוניים נכנסים בחשבון‪.‬‬ ‫½החוק הויריאלי שנידון למעלה חל כמובן גם על הכוח החשמלי‪.‬‬ ‫‪193‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫בעיית החרוז על החישוק‬ ‫שאלה מס' ‪:4‬‬ ‫חרוז מחליק ללא חיכוך על חישוק מעגלי דק שרדיוסו ‪.R=10cm‬‬ ‫החישוק מסתובב במישור האנכי סביב קוטרו האנכי בקצב קבוע‬ ‫של שני סיבובים בשניה ‪.f=2sec-1‬‬ ‫א( מהי הזווית ‪ θ‬שבה נמצא החרוז בשיווי משקל אנכי?‬ ‫ב( הייתכן שהחרוז יעלה לגובה של מרכז החישוק?‬ ‫ג( לאיזה גובה יעלה החרוז אם החישוק יסתובב בקצב של סיבוב אחד בשניה‬ ‫‪ ?f=1sec-1‬הסבר!‬

‫‪194‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫אנרגיה פוטנציאלית ופוטנציאל חשמליים‬

‫)א(‬

‫½כפי שהגדרנו אנרגיה פוטנציאלית גרוויטאציונית ופוטנציאל גרוויטאציוני‪,‬‬ ‫נוכל להגדירם בהתאמה לתחום הקולומבי‪.‬‬ ‫האנרגיה הפוטנציאלית החשמלית )ביחס לאנרגיה במרחק אינסופי(‬ ‫של מטען ‪ q‬בשדה של מטען ‪ ,Q‬הרחוקים זה מזה ‪ ,r‬נתונה ע"י‪:‬‬

‫‪KQq‬‬ ‫‪KQ‬‬ ‫= )‪U E (r‬‬ ‫(‪= q‬‬ ‫)‪) = qΦ E (r) ≡ qV(r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪r‬‬ ‫½הפוטנציאל החשמלי הוא האנרגיה הפוטנציאלית של חלקיק בעל מטען‬ ‫חשמלי בן יחידה‪.‬‬

‫‪195‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫אנרגיה פוטנציאלית ופוטנציאל חשמליים‬

‫) ב(‬

‫½שים לב‪:‬‬ ‫הסימן של הביטוי לאנרגיה החשמלית הפוך פורמאלית לזה של האנרגיה‬ ‫הגרוויטאציונית‪ ,‬יען כי בניגוד למשיכה הקיימת בין "מטענים" גרוויטאציוניים‪,‬‬ ‫שהם תמיד שווי סימן‪ ,‬בין מטענים חשמליים שווי סימן קיימת דחייה‪.‬‬ ‫½משיכה קיימת לעומת זאת‪ ,‬בין מטענים חשמליים הפוכי סימן‪.‬‬ ‫½גם בתחום החשמלי‪ ,‬כמו בתחום הגרוויטאציוני‪,‬‬ ‫נוכל להתייחס לפוטנציאל כאל גודל פיסיקלי בלתי תלוי במטען הבוחן‪,‬‬ ‫ולחקור את תכונותיו הגיאומטריות למשל‪.‬‬

‫‪196‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫וולט ‪ -‬יחידת הפוטנציאל החשמלי‬ ‫½יחידת הפוטנציאל החשמלי‪ ,‬הנקראת על שם החוקר האיטלקי אלכסנדר‬ ‫וולטה‪ ,‬מוגדרת ע"י‪:‬‬

‫‪[ΦE ( r )] ≡ [V( r )] = [E] = energy = 1 Joule ≡ 1 Volt ≡ 1 V‬‬ ‫‪[q ] charge 1 Coulomb‬‬ ‫½האנרגיה ‪ E‬של מטען ‪ q‬בפוטנציאל ‪ V‬היא‪:‬‬

‫‪E = qV‬‬ ‫½אם המטען מוגדר ב‪ Coulomb -‬והפוטנציאל ב‪,Volt -‬‬ ‫האנרגיה מוגדרת ב‪.Joule -‬‬

‫‪197‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זרם חשמלי‬ ‫½זרם חשמלי מוגדר כקצב מעבר מטען חשמלי‪dq :‬‬ ‫=‪i‬‬ ‫‪dt‬‬ ‫½יחידת הזרם נקראת על שם החוקר הצרפתי אנדרי מארי אמפר‬ ‫)‪:(André Marie Ampère‬‬ ‫‪1 Coulomb 1 C‬‬ ‫= ‪1 Ampere ≡ 1 A‬‬ ‫=‬ ‫‪1 sec‬‬ ‫‪1s‬‬

‫‪198‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫מתח‬ ‫½מתח חשמלי‪ ,‬או מפל פוטנציאלים‬ ‫מוגדר כהפרש הפוטנציאלים החשמליים בין שתי נקודות‪:‬‬ ‫‪V1,2=V2-V1‬‬ ‫½המתח הוא קנה מידה להפרש האנרגיות ש"חש" מטען בין שתי הנקודות‬ ‫הנדונות‪.‬‬ ‫½המתח גורם למטען לנוע מן הנקודה שבה האנרגיה גבוהה יותר לזאת שבה‬ ‫האנרגיה נמוכה יותר‪.‬‬

‫‪199‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫זרם חשמלי‪ ,‬מתח‬

‫‪200‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫חוק אוהם‬

‫)א(‬

‫½ קצב התנועה )הזרם החשמלי( יקבע ע"י הפרש הפוטנציאלים‪.‬‬ ‫½ בקרוב שבו ההפרש והקצב אינם גבוהים )נניח מספר לא גדול של‬ ‫יחידות ‪ ,(MKS‬החוקר הגרמני גיאורג סימון אוהם קבע שהיחס הוא‬ ‫ליניארי‪:‬‬

‫‪i∝V‬‬

‫‪i = µV‬‬

‫½ נכתוב זאת בדרך‪:‬‬ ‫½ הגודל ‪ µ‬הנקרא מוליכות‪ ,‬מגדיר את הזרם החשמלי הנוצר ע"י שדה‬ ‫חשמלי במתח בן יחידה‪.‬‬

‫‪V = i×R‬‬

‫½ אנו מכירים את החוק בצורתו ההפכית‪:‬‬ ‫כאשר ‪ (resistance) R‬היא ההתנגדות החשמלית )הופכית למוליכות(‪.‬‬

‫‪201‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

(‫) ב‬

‫חוק אוהם‬ :‫יחידת ההתנגדות‬

[R ] = [V ] = 1 Volt = energy/charge = energy × time ≡ 1 Ohm ≡ 1 Ω 2 [i] 1 Ampere charge/time charge

‫ ישראל שק‬Israel Schek

202

‫חוק תופעתי )‪(phenomenological‬‬

‫)א(‬

‫½חוק אוהם הוא חוק תופעתי )פנומנולוגי(‪ ,‬כלומר קשר נכון בנסיבות‬ ‫מסוימות‪ ,‬המוסק מתוך מדידות‪.‬‬ ‫½אין זה חוק יסודי ברמה של חוקי ניוטון למשל‪.‬‬ ‫)אם כי כבר ציינו שגם החוק השני של ניוטון בצורתו ‪,F=ma‬‬ ‫נכון רק עבור מהירויות נמוכות ביחס למהירות האור(‪.‬‬ ‫חוק ניוטון בצורתו המקורית ‪ ∆(mv ) = F∆t‬נכון תמיד‪.‬‬

‫‪203‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫חוק תופעתי )‪(phenomenological‬‬

‫) ב(‬

‫½הליניאריות של היחס בין כוח לבין תוצאת פעולתו –‬ ‫כלומר השפעת הכוח על החומר )עוות‪ ,‬דחיסה‪ ,‬זרם מטען חשמלי‪,‬‬ ‫זרימת חום‪ ,‬זרימת חומר( היא קירוב המוצדק בדרך‪-‬כלל‪:‬‬ ‫½ כשהכוח חלש )לפי קריטריונים רלבנטיים לכל בעיה בנפרד(‬ ‫½ כשההפרעות שהכוח יוצר הן קטנות‬ ‫וכבר ראינו זאת‪:‬‬ ‫½ בצורה של חוק הוּק ‪F=-kx‬‬ ‫½ בביטוי לחיכוך המתכונתי לכוח הנורמאלי ‪f=µN‬‬ ‫½ בביטוי לחיכוך בתווך צמיג )כוח החיכוך מתכונתי לחזקה הראשונה‬ ‫של המהירות( ‪f=ηv‬‬ ‫½כעת אנו נתקלים בליניאריות של חוק אוהם ‪V=Ri‬‬

‫‪204‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫התנגדות כחיכוך‬

‫)א(‬

‫½ואכן אל ההתנגדות החשמלית ניתן להתייחס בדומה כאל חיכוך הפועל‬ ‫על נושאי המטען בתוך החומר‪.‬‬ ‫½תוצאת ההתנגדות היא בדומה לתוצאה של פעולת כוח החיכוך‪:‬‬ ‫יצירת חום בתווך‪ ,‬דהיינו "בזבוז" של אנרגיה‪.‬‬ ‫שאילולי כן העברת הזרם החשמלי בקווי החשמל הייתה חלקה יותר‪.‬‬

‫½הביטוי לחום המתפתח במוליך בעל התנגדות ‪ R‬שזורם בו זרם ‪i‬‬ ‫יחסי לגודל‪.iV=i2R :‬‬ ‫ככל שגדולה ההתנגדות‪ ,‬עולה החום המתפתח במערכת‪,‬‬ ‫בדומה למה שקורה ככל שגדל מקדם החיכוך‪.‬‬

‫‪205‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫התנגדות כחיכוך‬

‫) ב(‬

‫½הסיבות המיקרוסקופיות לקיום ההתנגדות למעבר זרם חשמלי מגוונות‪.‬‬ ‫די אם נגיד שכל חומר שבו עובר זרם חשמלי אינו תווך אידיאלי‪.‬‬ ‫½בחוט חשמל הסריג המתכתי אינו סריג גיאומטרי אידיאלי‪:‬‬ ‫½ יש בו אילוחים )"לכלוך" הנובע מקיום אטומים זרים למתכת העיקרית(‪,‬‬ ‫½ ישנן אי‪-‬סדירויות גיאומטריות בסריג‪,‬‬ ‫½ ישנן תנודות ההולכות ומתגברות עם עליית הטמפרטורה‪.‬‬ ‫½ כל אלה מפריעים לתנועה "חלקה" של נושאי המטען‬ ‫)במקרה של מתכת אלה הם האלקטרונים(‪.‬‬

‫‪206‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫התנגדות כחיכוך‬

‫)ג(‬

‫½בטמפרטורות נמוכות מאד )מספר מעלות קלווין(‪ ,‬בסריג הבנוי בקפדנות‪,‬‬ ‫יתכנו מצבים בהם ההתנגדות יורדת לרמות כה קטנות‪,‬‬ ‫כך שהזרם החשמלי אינו דועך כמעט ‪.‬‬ ‫½זוהי תופעת על מוליכות )‪.(super conductivity‬‬ ‫האתגר המדעי הגדול הוא במציאת על מוליכים בטמפרטורות גבוהות יותר‪,‬‬ ‫כמו טמפרטורת החדר‪.‬‬ ‫½בתמיסה יונית ישנן התנגשויות "לא רצויות" בין מרכיבי התמיסה‪,‬‬ ‫המפריעים לתנועה "חלקה" של נושאי המטען ‪ -‬היונים‪,‬‬ ‫ויוצרים התנגדות למעבר הזרם החשמלי‪.‬‬ ‫½בתמיסה יונית‪ ,‬בניגוד למתכת מוליכה‪ ,‬העלאת הטמפרטורה דווקא מגדילה‬ ‫את המוביליות של נושאי המטען‪.‬‬ ‫‪207‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫התנגדות כחיכוך‬

‫)ד(‬

‫½ביטוי כמותי להתנגדות בתוך מתכת מתקבל כאנלוגיה לזרימת נוזל‬ ‫בתוך צינור‪:‬‬ ‫½ ככל שהצינור צר‪ ,‬שטף הזרימה קטן‪,‬‬ ‫½ ככל שהצינור רחב‪ ,‬השטף גדל‪.‬‬ ‫)במקרה זה ההשפעה היחסית של המערבולתיות הנובעת מן החיכוך‬ ‫בדפנות הצינור פוחתת(‪.‬‬ ‫½ככל שהצינור ארוך יותר הנוזל השוטף נתקל ביותר הפרעה לזרימתו‬ ‫החופשית‪.‬‬

‫‪208‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬

‫התנגדות כחיכוך‬ ‫½ההתנגדות היא‪:‬‬

‫)ה(‬

‫‪l‬‬ ‫‪R =ρ‬‬ ‫‪A‬‬

‫כאשר ‪ ℓ‬הוא אורך הצינור‪ A ,‬הוא חתך הרוחב‪ ,‬ו‪ ρ -‬היא ההתנגדות‬ ‫הסגולית המבוטאת ביחידות‪:‬‬ ‫‪[ρ] = ⎡⎢R A ⎤⎥ = Ohm × cm‬‬ ‫⎦‪l‬‬

‫⎣‬

‫½ההתנגדות הסגולית אופיינית לכל מתכת‪ ,‬לדרך הפקתה ולטמפרטורה‪.‬‬

‫‪209‬‬

‫‪ Israel Schek‬ישראל שק‬