Phuong Trinh Vo Ti Voi Dieu Kien

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân soá CHUYÊN ĐỀ

Chuyeân ñeà Ñaïi

SỬ DỤNG HÀM SỐ TÌM ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình f(x) = g(m) (1) có nghiệm thực x Î X . Trong đó m là tham số, X là tập hợp con của ¡ . Các bước giải tổng quát: i) Bước 1: Tìm GTNN (min f(x)) và GTLN (max f(x)) của f(x) trên X. ii) Bước 2: min f(x) £ g(m) £ max f(x) . Chú ý: i) Nếu bài toán không hạn chế khoảng nghiệm thì ta xem X = Df(x) (miền xác định của f(x)). ii) Nếu hàm f(x) không đạt min hoặc max thì ta phải dùng giới hạn, ta có thể thay bước 2) bằng bảng biến thiên (BBT) của f(x). iii) Đối với câu hỏi tìm điều kiện m để phương trình có từ 2 nghiệm phân biệt trở lên thì ta phải dùng BBT. 4i) Đôi khi ta phải đặt ẩn phụ t = t(x) và nhớ tìm điều kiện của t (miền giá trị của t). II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP Bài 1. Tìm điều kiện của m để phương trình x 2 + 2x - m = 2x - 1 (1) 1) có nghiệm thực, 2) có 1 nghiệm thực, 3) có 2 nghiệm thực phân biệt. HƯỚNG DẪN GIẢI ì ì ï 1 ï 1 ï ï x³ x³ ï ï (1) Û í Ûí 2 2 ï ï 2 2 ï ï x + 2x m = (2x 1) m = -3x 2 + 6x - 1. ï ï î î 1 Đặt y = -3x2 + 6x - 1 , với x ³ ta có: 2 Bảng biến thiên 1 x -¥ 1 +¥ 2 y 2 5 -¥ 4 Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Trang 1

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân soá 1) m £ 2 ,

2) m <

Chuyeân ñeà Ñaïi

5 Ú m = 2, 4

3)

5 £ m < 2. 4

1 1 + x + = m (2) có nghiệm thực. 2 4 HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 2. Tìm điều kiện của m để phương trình x +

Đặt t =

x+

x+

1 1 ³ 0 Û x = t2 - , (2) trở thành: 4 4

1 t - + 4 2

2

æ 1 1 1ö t + t + = m Û t2 + t + = m Û çç t + ÷÷÷ = m . ç 4 4 2ø è 2

2

æ 1 1ö 1 Do t ³ 0 Þ çç t + ÷÷÷ ³ nên (2) có nghiệm m ³ . çè 4 2ø 4 16 - x 2 -

m

- 4 = 0 (3) có nghiệm thực. 16 - x 2 HƯỚNG DẪN GIẢI m Đặt t = 16 - x2 Þ t Î (0; 4] , (3) trở thành t - - 4 = 0 Û t2 - 4t = m . t Lập BBT của hàm số y = t2 – 4t, ta có -4 £ m £ 0 .

Bài 3. Tìm điều kiện của m để phương trình

Chú ý: Nếu giải như bài 2, ta sẽ loại mất m = 0. Do đó nên lập BBT để tránh sai sót. x -1 x+2 -m + 2 = 0 (4) có nghiệm thực. x+2 x -1 HƯỚNG DẪN GIẢI x -1 m Đặt t = Þ t Î (0; +¥) \ {1} , (4) trở thành t - + 2 = 0 Û t2 + 2t = m . x+2 t 2 Lập BBT của hàm số y = t + 2t, ta có 0 < m ¹ 3 . Bài 4. Tìm điều kiện của m để phương trình

Bài 5. Tìm điều kiện của m để phương trình x + 1 - m x - 1 + 2 4 x 2 - 1 = 0 (5) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện: x ³ 1 . + x = 1: (5) vô nghiệm. + x > 1: (5) Û

x +1 x -1 - m4 +2 = 0. x -1 x +1

4

x +1 2 m = 4 1+ Þ t Î (1; +¥) , (5) trở thành t - + 2 = 0 Û t2 + 2t = m . x -1 x -1 t 2 Lập BBT của hàm số y = t + 2t, ta có m > 3.

Đặt t =

4

Bài 6. Tìm điều kiện của m để phương trình x 2 - 2x - 3 = x + m (6) 1) có nghiệm thực, 2) có 2 nghiệm phân biệt. HƯỚNG DẪN GIẢI Ta có (6) Û x - 2x - 3 - x = m. Đặt y = x2 - 2x - 3 - x, x £ -1 Ú x ³ 3 2

Trang 2

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân soá

Þ y' = Bảng biến thiên

x -¥ y’ – y +¥

Chuyeân ñeà Ñaïi

x -1 x2 - 2x - 3

x - 1 - x 2 - 2x - 3

-1 =

–1

x 2 - 2x - 3

.

+¥

3 +

-1

1 Dựa vào bảng biến thiên: 1) -3 £ m < -1 Ú m ³ 1 ,

–3 2) không có m.

Bài 7. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình

x + 1 + 1 - x = m (7).

HƯỚNG DẪN GIẢI Xét hàm số f(x) =

1 + x + 1 - x, x Î [-1; 1] Þ f / (x) =

Bảng biến thiên

x -¥ –1 0 f’(x) + 0 f(x) 2 - 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta có: + m < 2 Ú m > 2 : (7) vô nghiệm. + m = 2: (7) có 1 nghiệm. + 2 £ m < 2 : (7) có 2 nghiệm phân biệt.

1

1-x - 1+ x 2 1 - x2

.

+¥

–

2

Bài 8. Tìm điều kiện m để phương trình x + 9 - x = -x2 + 9x + m (8) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI ìï x + 9 - x ³ 0 ìï 0 £ x £ 9 ï ï (8) Û í Û í 2 2 ï ï -(9x - x 2 ) + 2 9x - x 2 + 9 = m. îï ïïî 9 + 2 9x - x = 9x - x + m x + (9 - x) 9 Đặt t = 9x - x2 Þ 0 £ t £ = , "x Î [0; 9] , ta có (8) trở thành: 2 2 2 -t + 2t + 9 = m . 9 Lập BBT của hàm số y = -t2 + 2t + 9 trên [0 ; 9/2] ta có - £ m £ 10 . 4 Bài 9. Tìm điều kiện m để phương trình x + 4 x - 4 + x + HƯỚNG DẪN GIẢI 2 Đặt t = x - 4 ³ 0 Þ x = t + 4. Ta có (9) trở thành:

x - 4 = m (9) có nghiệm thực.

t2 + 4t + 4 + t2 + 4 + t = m Û t2 + 2t + 6 = m. Lập BBT của hàm số y = t2 + 2t + 6, t ³ 0 ta có m ³ 6 .

Bài 10. Tìm điều kiện m để phương trình

x +6 x-9 + x -6 x -9 =

nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI Trang 3

x+m (10) có 6

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân soá

Chuyeân ñeà Ñaïi

Đặt t =

x - 9 ³ 0 Û x = t2 + 9 . Ta có (10) trở thành: t2 + 9 + m Û 6 ( t + 3 + t - 3 ) = t2 + 9 + m t2 + 6t + 9 + t2 - 6t + 9 = 6 é -t2 + 12t - 9 = m, t ³ 3 (*) Û êê 2 êë -t + 27 = m, 0 £ t < 3 (**) + Lập BBT của hàm số y = -t2 + 12t - 9, t ³ 3 ta suy ra (*) có nghiệm thực Û m £ 27 .

+ Do 18 < -t2 + 27 £ 27, "t Î [0; 3) nên (**) có nghiệm thực Û 18 < m £ 27 . Vậy với m £ 27 thì (10) có nghiệm thực. x - 1 + 3 - x - (x - 1)(3 - x) = m (11) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI 2 3 - x ³ 0 Þ t = 2 + 2 x - 1. 3 - x ³ 2 Þ t ³ 2.

Bài 11. Tìm m để phương trình Đặt t =

x -1 +

Mặt khác t2 = 2 + 2 x - 1. 3 - x £ 2 + [(x - 1) + (3 - x)] = 4 Þ 2 £ t £ 2. Ta có (11) trở thành: t2 - 2 1 t= m Û - t2 + t + 1 = m. 2 2 1 Lập BBT của hàm số y = - t2 + t + 1, t Î éê 2; 2 ùú ta có 1 £ m £ 2 . ë û 2 Chú ý: Nên lập BBT của t = x - 1 + 3 - x để tìm miền giá trị t. Bài 12. Tìm m để phương trình Đáp số: 3 £ m £

1+ x +

8 - x + (1 + x)(8 - x) = m có nghiệm thực.

9+6 2 . 2

x 4 + 4x + m + 4 x 4 + 4x + m = 6 (13) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI 4 x + 4x + m ³ 0. Ta có:

Bài 13. Tìm m để phương trình Đặt t =

4

(13) Û t2 + t - 6 = 0 Û t = 2 Û 4 x 4 + 4x + m = 2 Û -x 4 - 4x + 16 = m . Lập BBT của hàm số y = -x 4 - 4x + 16 trên ¡ ta có m £ 19 . Bài 14. Tìm điều kiện của m để phương trình 1 - x2 + 2 3 1 - x2 = m (14) 1) có nghiệm thực duy nhất, 2) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI 1) Nhận thấy nếu x0 là nghiệm của (14) thì – x0 cũng là nghiệm của (14). Suy ra x 0 = -x 0 Û x 0 = 0 là nghiệm duy nhất của (14). Thế x0 = 0 vào (14) ta được m = 3. Thử lại ta thấy (14) có nghiệm duy nhất. Vậy m = 3. 6 2 2) Đặt t = 1 - x Þ 0 £ t £ 1 . Ta có (14) trở thành t3 + 2t2 = m . Lập BBT của hàm số y = t3 + 2t2 trên [0 ; 1] ta suy ra 0 £ m £ 3 . Bài 15. Chứng tỏ rằng phương trình

3x2 - 1 2x - 1

=

2x - 1 + mx (15) luôn có nghiệm thực với mọi

giá trị của m. Trang 4

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân soá

Chuyeân ñeà Ñaïi

HƯỚNG DẪN GIẢI ìï ì ìï 2x - 1 > 0 ïx > 1 ïï x > 1 ï ï ï 2 (15) Û ï Û íï 2 2 Û íï . í 3x 2 - 1 3x 2x 3x 2 ï ï ï = 2x 1 mx ïï ïï ïï = m = mx ï î 2x - 1 ïîï 2x - 1 ïîï 2x - 1 3x - 2 1 3x - 1 , x > Þ f / (x) = Xét hàm số f(x) = . 2 2x - 1 (2x - 1) 2x - 1 Mặt khác lim

3x - 2 2x - 1

x ®+¥

= +¥ , lim+ 1 x® 2

3x - 2 2x - 1

= -¥ .

Suy ra hàm số f(x) có tập giá trị là ¡ . Vậy (15) luôn có nghiệm thực với mọi m. x +1 = m (16) có nghiệm thực. x-3

Bài 16. Tìm m để phương trình (x - 3)(x + 1) + 4(x - 3) HƯỚNG DẪN GIẢI

x +1 ³ 0 Û x £ -1 Ú x > 3 . x-3 + Với x £ -1 : (16) Û (x - 3)(x + 1) - 4 (x - 3)(x + 1) = m . Điều kiện

(x - 3)(x + 1) ³ 0, "x £ -1 , (16) trở thành t2 - 4t = m Þ m ³ -4 .

Đặt t =

+ Với x > 3 : (16) Û (x - 3)(x + 1) + 4 (x - 3)(x + 1) = m Þ m ³ 0 . Vậy m ³ -4 . 3

1 - x + 3 1 + x = m (17) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI ù 1é 1 1 ú Xét hàm số f(x) = 3 1 - x + 3 1 + x Þ f / (x) = êê 2 ú 3 3 êë 3 (1 + x)2 (1 - x) úû Þ f / (x) = 0 Û 3 (1 + x)2 = 3 (1 + x)2 Û x = 0 Þ f(0) = 2 . 3 1 - x + 3 1 + x éê 3 (1 - x)2 - 3 1 - x2 + 3 (1 - x)2 ùú ë û lim f(x) = lim x ®¥ x ®¥ é 3 (1 - x)2 - 3 1 - x2 + 3 (1 - x)2 ù ëê ûú Bài 17. Tìm m để phương trình

(

)

2

= lim

2 é æ ö 1 ê 1 x ê 3 çç - 1 ÷÷÷ - 3 2 - 1 + ç x x è ø ê ë Suy ra tập giá trị của f(x) là (0; 2]. Vậy 0 < m £ 2 . x ®¥

3

2 æ1 ö ù çç + 1 ÷÷ úú ÷ø èç x ú û

= 0.

Bài 18 (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện của m để phương trình: m 1 + x2 - 1 - x 2 + 2 = 2 1 - x 4 + 1 + x 2 - 1 - x2 (18) có nghiệm thực.

(

Đặt t =

)

HƯỚNG DẪN GIẢI 1+ x - 1- x , -1 £ x £ 1 2

2

Þ t' =

x

(

1 + x2 + 1 - x2 1 + x2 . 1 - x2

Trang 5

)=0Ûx=0

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân soá

Chuyeân ñeà Ñaïi

2, t(0) = 0 Þ t Î éê 0; 2 ùú , "x Î éë -1; 1 ùû . ë û 2 -t + t + 2 (18) trở thành m(t + 2) = 2 - t2 + t Û m = . t+2 -t2 + t + 2 -t2 - 4t Xét hàm số y = Þ y' = £ 0, "t Î éê 0; 2 ùú . ë û t+2 (t + 2)2 Bảng biến thiên 2 x -¥ 0 +¥ y’ 0 – y 1 2 -1 Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực Û 2 - 1 £ m £ 1. t(±1) =

Bài 19. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình m x2 + 2 = x + m (19). HƯỚNG DẪN GIẢI x (19) Û m x2 + 2 - 1 = x Û m = do x2 + 2 - 1 > 0, "x Î ¡ . 2 x +2 -1 x Xét hàm số y = 2 x + 2 -1 x2 x2 + 2 - 1 2 - x2 + 2 x2 + 2 = Þ y' = = 0 Û x = ± 2. 2 2 2 2 2 x + 2 -1 x + 2 x + 2 -1

(

)

(

(

Giới hạn lim y = lim x ®¥

x ®¥

(

)

x æ 2 1 x ççç 1 + 2 çè x x

ö÷ ÷÷ ø÷

)

)

Þ lim y = ±1. x ®±¥

Bảng biến thiên x -¥ y’ y –1

–

- 2 0

2 0 2

+

+¥

–

- 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta có + m < - 2 Ú m > 2 : (19) vô nghiệm. + -1 £ m £ 1 Ú m = ± 2 : (19) có 1 nghiệm. + - 2 < m < -1 Ú 1 < m <

1

2 : (19) có 2 nghiệm phân biệt.

Bài toán 20. Tìm m để phương trình

2x 2 - x - 3 = mx + m (20) có nghiệm thực x ¹ -1 .

HƯỚNG DẪN GIẢI 3 Điều kiện 2x2 - x - 3 ³ 0 Û x < -1 Ú x ³ (x ¹ -1) . 2 2 2x - x - 3 Ta có (20) Û = m. x +1

Trang 6

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân soá Lập BBT của hàm số y =

Chuyeân ñeà Ñaïi

2x 2 - x - 3 ta suy ra m < - 2 Ú 0 £ m < x +1

2.

Bài 21. Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất: x + 1 - x + 2m x(1 - x) - 2 4 x(1 - x) = m 3 (21). HƯỚNG DẪN GIẢI Nhận thấy x0 là nghiệm của (21) thì 1 – x0 cũng là nghiệm của (21). Từ đó, để (21) có nghiệm duy 1 nhất thì x 0 = 1 - x 0 Û x 0 = Þ m 3 = m Û m = 0 Ú m = ±1 . 2 t2 - 1 . Đặt t = x + 1 - x ³ 0, 0 £ x £ 1 Þ 4 x(1 - x) = 2 (21) trở thành 2(t2 - 1) = mt2 + t - m 3 - m . 1 1 Û x = (nhận). 2 2 + m = 1: (21) Û 2(t2 - 1) = t2 + t - 2 Û 2(t2 - 1) = (t - 1)(t + 2) ét = 1 ê ïì ³ t 1 ê ìï t > 1 Û ïí Û 2 2 êï ï 2(t 1)(t 1) (t 1) (t 2) + = + ï êí î ï t3 + 3t2 - 2t - 6 = 0 êï ëî éx = 0 ét = 1 ê é = x(1 x) 0 ét = 1 ê ê ê ê x = 1 (loại). Û êê ïïì t > 1 Û êê Û ê Û 1 ê ê 2 êë t = 2 ê íï(t + 3)(t2 - 2) = 0 ê êë x(1 - x) = 2 êëî ï êx = 1 ë 2 + m = -1 : (21) Û 2(t - 1) = (t + 1)(2 - t) ïì 0 £ t £ 2 1 Û ïí 3 Û t = 2 Û x = (nhận). ïï t - 3t2 - 2t + 6 = 0 2 î Vậy m = 0 Ú m = -1 .

+ m = 0: (21) Û

2(t2 - 1) = t Û t2 = 2 Û

x+

Bài 22. Tìm m để phương trình Điều kiện x +

x2 - x + 1 ³ 0 Û

Xét hàm số f(x) = x + Giới hạn

x2 - x + 1 = m (22) có nghiệm thực. HƯỚNG DẪN GIẢI x2 - x + 1 ³ -x Û "x Î ¡ .

x2 - x + 1 Þ f / (x) =

(

lim f(x) = lim x +

x ®+¥

x ®+¥

lim f(x) = lim

x ®-¥

x ®-¥

x(1 - x) =

2 x 2 - x + 1 + 2x - 1

)

2 x2 - x + 1

> 0, "x Î ¡ .

x 2 - x + 1 = +¥

x -1 x - x2 - x + 1

x -1

= lim

x ®-¥

x- x

1-

1 1 + 2 x x

1 x(1 - ) 1 x = lim = lim = x ®-¥ x ®-¥ æ ö 2 1 1 1 1 x + x 1- + 2 x ççç 1 + 1 - + 2 ÷÷÷ çè x x x x ø÷ x -1

Trang 7

ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân soá 1 Þ f(x) > , "x Î ¡ Þ 2

Chuyeân ñeà Ñaïi x+

x2 - x + 1 >

Vậy (22) có nghiệm thực Û m >

Trang 8

2 , "x Î ¡ . 2

2 . 2