Phuong Trinh Mu

PHƯƠNG TRÌNH MŨ. Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số:Giải phương trình 1):

2 x +1 2

x −1

= 3.2 3 2 x −3 3 ) =1⇔ x = . Hdẫn: (1) ⇔ ( 2 2 x +1 x+ 2 x+ 4 x +3 2) 7.3 − 5 = 3 − 5 3 x+1 x +1 x +1 Hdẫn: (2) ⇔ 3 = 5 ⇔ ( ) = 1 ⇔ x = −1 5 4.9

x −1 x

3) 5 x .8 Hdẫn:

= 500

(3) ⇔ 5 .2 x

⇔5

x −3

3( x −1) x

1

=(

2

(

4) [

5

27

)

)

1 x

x x − 4 3

= 5 .2 ⇔ 5 3

x −3

]

2

x−3

1 x x −3

⇔ (5.2 )

x x + 4 3

=2

3− x x

⇔5

x −3

−

1 x x−3

= (2 )

x − 3 = 0 x = 3 =1⇔  1 ⇔ 5.2 x = 1  x = − log 5 2 

= 4 37 . ĐS: x=10.

Phưong pháp 2: Đặt ẩn phụ: 2 2 1) 2 x − x − 22+ x − x = 3. 2

−x

= t (t > 0) . Phương trình trở thành: t = 4  x = −1 4 t − =3⇔  ⇒ t t = −1(l )  x = 2

Hdẫn: Đặt 2 x

2) 32 x +5 − 36.3x+1 + 9 = 0 . ĐS: x=-1; x=-2. 2 2 3) 32 x + 2 x +1 − 28.3x + x + 9 = 0 . ĐS: x=-2; x=1. 4) 9 x + 6 x = 2.4 x

3 2

Hdẫn: Chia cả 2 vế cho 4x ta được phương trình ( ) x 2 −5

5) 4 x −

− 12.2 x−1−

Hdẫn: Đặt 2

x − x 2 −5

2

x 2 −5

x = 3 2 t = 2  x − x − 5 = 1 = t (t > 0) ⇒  ⇒ ⇔ 9 t = 4  x − x 2 − 5 = 2  x =  4

2

2

9)

)

7

2x

100

x

(

= 6.( 0,7 ) x + 7 2

1

+1

1 x 1  x = 12 10)    + 3  3 

11) 9 sin

2

3 

x

+ 9 cos

2

x

3 + ( ) x − 2 = 0 . ĐS: x=0 2

+ 8 = 0.

6) 4 x −3 x +2 + 4 x +6 x +5 = 4 2 x +3 x +7 + 1 sin x sin x 7) 7 + 4 3 + 7 −4 3 =4 1 12 3x x 8) 2 − 6.2 − 3( x −1) + x = 1 2 2

(

2x

= 10

)

HVQHQT - D - 99 ĐHL - 98 ĐHY HN - 2000 ĐHAN - D - 2000 HVCTQG TPHCM - 2000 ĐHAN - D - 99

12) 4 x +1 + 2x +1 = 2x + 2 + 12 2 2 13) 22 x +1 − 9.2 x + x + 22 x + 2 = 0 14) ( 2 + 3 ) x + ( 7 + 4 3 )( 2 − 3 ) x = 4( 2 + 3 ) 15) 5.32x-1-7.3x-1 + 1- 6.3x + 9 x+1 = 0 16) 6.4x - 13.6x + 6.9x = 0 17) 12.3x + 3.15x - 5x+1 = 20 18) 32x-1 = 2 + 3x-1 x x 19) 6 - 35 + 6 + 35 = 12 20) 4x - 6.2x+1 + 32 = 0 x  26  x 21) 9 −  .3 + 17 = 0  3 2 x +1 22) 2 − 2 x +3−64 = 0 x x 23) 2 − 3 + 2 + 3 = 4 Đặt

(

) (

(

) (

(

ĐHTCKT - 99 ĐHTL - 2000 ĐHNN - 98 (§ H hång§ øc - 2001- khèi A)

(§ H huÕ- 2001- khèi D) (§ H danlËp§ «ng§ « - 2001- BD)

)

(§ H DL küthuËtc«ngnghÖ- 2001) (§ H danlËpv¨nhiÕn- 2001- khèiD)

)

)

x t = 2 − 3  x = 2 1 ⇒ 2 − 3 =t (t>0). phương trình trở thành : t + = 4 ⇔  t t = 2 + 3  x = −2

24) ( 7 + 4 3) x − 3( 2 − 3) x + 2 = 0 2 2 2 25) 2.4 x +1 + 6 x +1 = 9 x +1 2 2 26) 2 x −5 x +6 + 21−x = 2.2 6−5 x +1 2 2 27) 16 sin x + 16 cos x = 10

(

28) 7 + 5 2

)

x

(

+ ( 2 − 5) 3 + 2 2

)

x

+ 3(1 + 2) x + 1 − 2 = 0

Hdẫn: Đặt

t = (1 + 2) x ; t > 0 pt ⇔ t 3 + ( 2 − 5)t 2 + 3t + 1 − 2 = 0 ⇔ (t − 1)(t 2 + ( 2 − 4)t + 2 − 1) = 0 t = 1 x = 0  ⇔ t = 3 − 2 2 ⇒  x = −2  t = 1 + 2  x = 1  29) 32 x +1 = 3x + 2 + 1 − 6.3 x + 32( x+1) . ĐS: x = log 3 (2 + 30) Giải phương trình

. Đặt Giải phương trình trên ta được Phương pháp 3: lôgarit hoá: 1) 5 x.x+1 8 x = 100 ĐK: x nguyên dương

.

11 ) 3

(1) ⇔ 5 x ( x +1).23 x = 52( x+1).22( x +1) ⇔ 5 x

2

− x−2

= 2 2− x

⇔ log 2 5.( x 2 − x − 2) = 2 − x x = 2 ⇔  x = −1 − log 5 2(l ) 2 2 x 2) 2 x +3 − 3x + 2 x −6 = 3x + 2 x −5 − 2 Hdẫn:

(2) ⇔ 2 x −2 = 2( x−2)( x+ 4) ⇔ x − 2 = ( x − 2)( x + 4)log 2 3 x = 2 ⇔  x = log 3 2 − 4

Phương pháp 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số. 1) 3x + 4 x = 5 x

3 4 (1) ⇔ ( ) x + ( ) x = 1 5 5

+) Ta thấy x=2 là nghiệm của pt + Nếu x>2 : VT<1 +) Nếu x<2 : Vt>1 x 2) 8 (3 x + 1) = 4 . Pt có nghiệm x=1/3 3)

(

3− 2

)

x

+ ( 3 + 2) x = ( 5) x

Hdẫn :

3− 2 x 3+ 2 x ) +( ) =1 5 5

(3) ⇔ (

3− 2 3+ 2 = u;0 < u < 1; = v; v > 1 5 5 +Nếu x ≥ 0 : u x > 0; v x ≥ 1 ⇒ VT > 1 +Nếu x < 0 : u x ≥ 1; v x > 0 ⇒ VT > 1 Vậy pt vô nghiệm. 4) Cho a, b, c là các số dương, a
a c

b c

Hdẫn : ⇔ ( ) + ( ) − 1 = 0 x

x

Đặt VT=f(x) . Ta có f(x) là hàm số liên tục trên R, f(x) là hàm nghịch biến trên R

lim f ( x) = −1; lim f ( x) = +∞ ⇒ ∃! x0 ∈ ¡ : f ( x0 ) = 0 hay pt có nghiệm duy nhất. x →−∞

x →+∞ x +1

5) 2 − 4 x = x − 1 x x Hdẫn : ⇔ 2 (2 − 2 ) = x − 1 +x=1 là nghiệm +x>1 : VT<0 ; VP>0 +x<1 : VT>0 ; VP<0 6)

x

2x = 32 + 1

3 x 1 x ) + ( ) = 1 . ĐS : x=2. 2 2 x −2 x −2 7) 3.16 + (3 x − 10)4 + 3 − x Hdẫn : ⇔ (

Hdẫn : x−2 Đặt 4 = t (t > 0). Pt trở thành :

 x −2 1  1 4 = t =  x = 2 − log 4 3 3t + (3x − 10)t + 3 − x = 0 ⇔  3 ⇒  ⇔ 3  x −2  x = 2 t = 3 − x  4 = 3 − x 2

8) Giải phương trình: Phương trình tương đương với: Rõ ràng phương trình có

là nghiệm

Ta có với ; Suy ra

là hàm liên tục,đồng biến và nhận cả giá trị âm,cả giá trị dương trên R nên phương trình

có nghiệm duy nhất . Từ bảng biến thiên của hàm Vậy phương trình có đúng hai nghiệm :

có không quá hai nghiệm. .

Chú ý : * Có thể chứng minh phương trình

có nghiệm như sau :

Ta có : Suy ra phương trình

có nghiệm

.

9) Giải hệ phương trình: Hệ phương trình

hoặc CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ. Bài 1 : Tìm m để pt m.2 x + 2− x − 5 = 0 có nghiệm duy nhất. Giải :

1 t

Đặt t=2x , t>o. Pt trở thành : mt + − 5 = 0 ⇔ f (t ) = mt − 5t + 1 = 0 2

+Nếu m=0 : t=1/5 (t.m) + Nếu m≠0 : Pt đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi pt (2) có duy nhất 1 nghiệm dương. Xét 3 TH :

 m < 0 t1 < 0 < t2 m < 0  t = 0 < t ⇔ ∃m ⇔ 2 1  m = 25   0 < t1 = t2  4  m ≠ 0   ∆=0  Bài 2 : Cho pt : m.16 x + 2.81x = 5.36 x a) Giải pt khi m=3 b) Tìm m để pt có nghiệm duy nhất.

9 4

Hdẫn : Đặt t = ( ) ; t > 0 . Pt trở thành 2t 2 − 5t + m = 0. (2) x

a) x=0 ; x=1/2 b) (2) ⇔ m = −2t 2 + 5t Pt đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi pt (2) có đúng một nghiệm dương. Khảo sát hàm số y=-2t2+5t trên (0 :+∞) ta được m =

25 ;m ≤ 0 8

Bài 3 : Tìm a để pt sau có nghiệm duy nhất :

(

)

x

5 +1 + a

(

)

x

5 − 1 = 2x

Hdẫn : x

x

 5 +1  5 −1 ⇔  +  =1 2 2     x

 5 +1 a 2 Đặt t=   (t>0) phương trình trở thành : t + = 1 ⇔ t − t + a = 0 t  2  1 ĐS : a ≤ 0 ∨ a = . 4 x x 7+3 5  7−3 5  Bài 4 : Biện luận theo a, số nghiệm của phương trình   + a  =8 2  2    x

7+3 5  a 2 2 Đặt t=   (t>0), phương trình trở thành t + = 8 ⇔ t − 8t + a = 0 ⇔ a = −t + 8t . t 2   Khảo sát hs và lập bảng biến thiên +a>16 ; pt vô nghiệm +a=16 hoặc a≤0 : pt có nghiệm duy nhất +0
2

x

⇒ t ∈ [ 1;81] . Phương trình trở thành: t +

Khảo sát hàm số ta được kết quả 18≤m≤82 2 2 Bài 6: Cho phương trình 34−2 x − 2.32− x + 2m − 3 = 0

81 =m t

a) Giải phương trình khi m=0 b) Xác định m để phương trình có nghiệm.

Giải: Đặt 32− x = t ⇒ t ∈ ( 0;9] 2

a) x=±1

t2 3 b) Khảo sát hàm số f (t ) = − + t + ; t ∈ ( 0;9] được -30≤m≤2 2 2 2 2 Bài 7: Tìm a để phương trình sau có nghiệm 91+ 1−t − ( a + 2).31+ 1−t + 2a + 1 = 0 64 2 Hdẫn: Đặt t= 31+ 1−t ⇒ t ∈ [ 3;9] . Khảo sát hs được 4 ≤ a ≤ 7 Bài 8: Cho phương trình Hdẫn: Đặt

(

)

2 +1

x2

(

) +(

2 +1

x2

)

2 −1

x 2 −1

+ m = 0 . Tìm m để phương trình có nghiệm

= t ⇒ t ∈ [ 1; +∞ ) . Phương trình trở thành: −m = t +

2 +1 t

2 +1 ; t ∈ [ 1; +∞ ) được −m ≥ 2 2 + 1 ⇒ m ≤ −2 2 + 1 t 2 2 Bài 9: Cho phương trình 5 x + 2 mx + 2 − 52 x + 4 mx + 2+ m = x 2 + 2mx + m . Tìm m để phương trình có đúng 2 Khảo sát hàm số f (t ) = t +

nghiệm thuộc (0;2). Hdẫn:

u = x 2 + 2mx + 2 ⇒ v − u = x 2 + 2mx + m Đặt  2 v = 2 x + 4mx + 2 + m u v u v Phương trình trở thành 5 − 5 = v − u ⇔ 5 + u = 5 + v ⇔ f (u ) = f (v ) với f(t)=5t+t 2 Ta có f(t) là HSĐB trên R nên pt tương đương u=v ⇔ g ( x ) = x + 2mx + m = 0 (*) Pt đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc (0 ;2) khi và chỉ khi pt (*) có đúng 2 nghiệm thuộc (0 ;2). Khảo sát hàm số ta được kết quả không tồn tại m thoả mãn. Bài 10 :

Bµi tËp tæng hîp vÒ ph¬ng tr×nh mò Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) 2 x

3

−4

=8

8 2 x− 3

c) ( x 2 − 2 x + 2 )

b) 5 x + 5 x +1 + 5 x +2 = 3 x + 3 x +1 + 3 x +2

9 −x 2

(

e) 2 x +4.3 x +2 = 2 2 x −1.33 x +2 Bµi 2: Gi¶i c¸c phong tr×nh: x x a) (3 − 5 ) + (3 + 5 ) − 7.2 x = 0 3 x +3

2

c) 8 x + 2 x − 20 = 0 e) 5 3 x + 9.5 x + 27 .(125 −x + 5 −x ) = 64 Bµi 3: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) 4.33 x −3 x +1 = 1 −9 x d) 5 lg x = 50 − x lg 5 Bµi 4: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:

(

)

x 2 −2 x −1

=

e) 4 2− 3

c) 3 2 + 2 2 + 2 x = 3 x +1 + 2 x +1 + x + 1 Bµi 8: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) 3 x = cos 2 x x

2

(

7+ 5

) +( x

b) x 2 − (3 − 2 x ).x + 2.(1 − 2 x ) = 0

d) 3.25 x −2 + ( 3 x −10 ).5 x −2 + 3 − x = 0 b) 4 x

2

+x

+ 21− x = 2 ( x +1) + 1 2

2

d) 12 .3 x + 3.15 x − 5 x +1 = 20

x

a) x + x log2 3 = x log2 7 − 2

c)

+ x2

b) 2.9 log 2 2 = x log 2 6 − x 2

Bµi 5: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) 3 2 x − ( 2 x + 9 ).3 x + 9.2 x = 0 c) 9 x + 2.( x − 2).3 x + 2 x − 5 = 0 Bµi 6: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: 2 2 2 a) 4 x −3 x + 2 + 4 x +6 x +5 = 4 2. x +3 x +7 + 1 c) 8.3 x + 3.2 x = 24 + 6 x e) 2 x + 3 x = 1 + 6 x Bµi 7: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: x

cos x

b) 5.3 2 x −1 −7.3 x −1 + 1 −6.3 x +9 x +1 = 0 f) 4.2 3 x − 3.2 x = 1 − 2 2 x +2 + 2 4 x +2

x

+ 2− 3

= 2

b) 8 x + 18 x = 2.27 x 1 12 d) 2 3 x − 6.2 x − 3.( x −1) + x = 1 2 2

d) 4.3 x − 9.2 x = 5.6 2 x −1) 2

x +1 x

x

2

a) 2 log 2 x +1 = x 2. log2 x − 48

(2 + 3 ) (

)

d) 2 cos x + x 2

= 3 x 2 − 2x + 2

3+ 2

)

x

( )

= 2. 5

x

b) 2 x = 1 + 3 2 d) x + x log2 3 = x log2 5 b) 4 x = ( − 2.x 2 + x +1).2 x 1+ x d) 2 cos x = ( 2 + x 2 ) 2

2

6

e) 9.7 x + 1 = 2 x

Bµi 9: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh: a) 4

x −1

c) 2 x

2

−2

+3. cos x

x 2 −1

= ( x −1)

− 2x

2

+4. cos 3 x

2

= 7. cos 3 x

b) 2

1− x 2 x2

1− 2 x

−2

d) (2 + 3 )

=

x2

x +1

(

1 1 − 2 x

− 7 +4 3

)

x

= x −1