Phuong Trinh Logarit

Bài 1: Giải các phương trình:

(

)

a) lg 3 x − 2 4−x = 2 +

(

)

(

c) log 2 4 x + 1 = x + log 2 2 x + 3 − 6 Bài 2: Giải các phương trình sau:

1

a)

= ( 2 x − 1)

2x − 1

 1x  1    3 + 27  = 0 2 lg 2 + 1 + lg 3 − lg   b)   2x    

1 x lg 16 − lg 4 4 2

(

log 1 1+ 7 x − 2. x 2

)

x +1 x d) log 2 ( 4 + 4 ). log 2 ( 4 + 1) = log

2

)

(

)

(

)

2x + 1 −1

2 d) log x +3 3 − 1 − 2 x + x =

Bài 3:Tìm x biết lg2, lg ( 2 x −1), lg ( 2 x + 3) , theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Bài 4: Giải các phương trình: x x +1 a) log 5 (5 −1). log 25 (5 −5) =1 2 b) log 4 ( x +1) + 2 = log

4 − x + log 8 ( 4 + x )

2

1 8

b) log 4 { 2 log 3 [1 + log 2 (1 + 3 log 3 x ) ]} =

4

2 c) 2 log 9 x = log 3 x. log 3

1

1 2

1 2

3

2 2 4 2 4 2 c) log 2 ( x + x +1) + log 2 ( x − x +1) = log 2 ( x + x +1) + log 2 ( x − x +1)

2 d) log 27 ( x − 5 x + 6 ) = . log

1 2

3

3

x −3 2 + log 9 ( x − 3) 2

Bài 5: Giải các phương trình: a)

3

x log 3 x − 3 log3 x = 3 3

c)

x

( log x )

2 3

=

( x)

− 3log2

− log3 x +

b) 2 log5 ( x +3 ) = x

4+ 8

2

1 log

3

x

d)

(

e) 2 log 6

)

x + 4 x = log 4 x

f)

g) log 2 (log 3 x ) = log 3 (log 2 x )

(

)

2

(

h) log 2 x − x −1 . log 3 x + Bài 6: Giải các phương trình sau: a) log x ( x + 2) = log 3 5

)

x 2 −1 = log

2

x 2

(x − d)

2

(1 + x ) = log

3

x

log 7 ( x + 2 ) = log 5 x

x 2 −1

log

( x −1)

)

( 2 x +1) = log 2 7

(

)

3

x −14 . log 16 x x + 40 . log 4 x

x =0

(

d) log x ( 2 + x ) + log 2

1 ( x +3 ) 2 +x

2

= 2 + log 2 ( x +1)

x =2

Bài 8: Giải các phương trình:  x2 + x + 3   2  = 7 x 2 + 21x + 14 log a)  3  2x + 4x + 5 

c)

3 x =1 + x + log

3

(1 + 2 x )

1 − x    x 

x 1− x b) 2 − 2 = log 2 

d)

 x + x+3  2

 = x 2 + 3x + 2 e) log 3  2   2x + 4x + 5 

6 x =1 + 2 x +3 log

x f) 4

2

−3 x

− 2 5− x = log 3

PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT Phương pháp 1: Đưa về cùng cơ số: 1 1 8 1) log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 (4 x ) 2 4

)

3 + log 2 x 2 − 4 x + 5 + 2. 5 − log 2 x 2 − 4 x + 5 = 6

b) log 2 ( 3 x −1) + log

a) log x ( x +1) = log 4 5 log

6

b)

c) 3 2 − lg x =1 − lg x −1 Bài 7: Giải các phương trình:

c)

log

3

6

(5 x +1)

5− x 2x 2 − 6x

ĐK: 0<x≠1.

 x > 1   ( x + 3)( x − 1) = 4 x ⇔  x = 3 (1) ⇔ ( x + 3) x − 1 = 4 x ⇔   0 < x < 1 x = 2 3 − 3   ( x + 3)(1 − x) = 4 x 2) log 3

3 x3 1 .log 2 x − log 3 = + log 2 x x 3 2

ĐK: x>0

x =1 (2) ⇔ log 2 x(1 − 2log 3 x − 6log 3 2) = 0 ⇔  x = 3  8 1 5 3) 2log( x − 1) = logx − log x 2 ĐK:x>1

1 (không thoả mãn đk). Phương trình vô nghiệm 2 log 2 ( x 2 − 3) − log 2 (6 x − 10) + 1 = 0.

(3) ⇔ log( x − 1) 2 = logx 2 ⇔ x = 4)

DK : x > 3

 x = 1(l ) (4) ⇔ log 2 ( x 2 − 3) = log 2 (3 x − 5) ⇔ x 2 − 3 = 3 x − 5 ⇔  x = 2 1 2 5) log( x + 10) + logx = 2 − log 4 2 ĐK: -10<x≠0

 x = −5 (5) ⇔ x ( x + 10) = 25 ⇔   x = −5 + 5 2 1 2 2 3 6) log 2 (2 x + ) − log 2 x = 3 x − 2 x 2 ĐK:x>0

(6) ⇔ log 2 (2 x +

1 ) = 3x 2 − 2 x3 2x

Áp dụng BBĐT Côsi cho 2 số dương 2x; 1/2x ta có: 2 x + Xét hàm số y=3x2-2x3 trên (0 ;+ ∞ ) có GTLN là 1 khi x=1. Do đó pt có nghiệm duy nhất x=1. 7) 3 x 2 − 2log 2 x ĐK:x>0

3

+1

1 ≥ 2 ⇒ VT ≥ log 2 2 = 1 2x

= log 2 ( x 2 + 1) − log 2 x

1 (7) ⇔ 3 x 2 − 2 x3 = log 2 ( x + ) x 8) log 3 ( x + 2) 2 + log 3

x 2 + 4 x + 4 = 9 . ĐS: x=25; x=-29

9) log 4 ( x + 2).log x 2 = 1 . ĐK: 0<x≠1

(9) ⇔ log 4 ( x + 2) =

1 1 = log 2 x ⇔ log 2 ( x + 2) = log 2 x ⇔ log x 2 2

 x = −1(l ) x = 2 

10) log 2 ( x + 3 x + 2) + log 2 ( x + 7 x + 12) = 3 + log 2 3 . ĐK: x<-4 hoặc -3<x<-2 2

2

(10) ⇔ ( x + 1)( x + 2)( x + 3)( x + 4) = 24 ⇔ ( x 2 + 5 x + 4)( x 2 + 5 x + 6) = 24 Đặt x2+5x+5=t phương trình trở thành (t-1)(t+1)=25  t=±5. Giải được x=0 hoặc x=-5. 11) log ( x 2 − x + 2) ( x + 3) = log ( x +5) ( x + 3) . ĐK : x>-3 +) x+3=1 x=-2 là nghiệm của pt +) x+3≠1x≠-2 (11) ⇔

x = 3 1 1 2 = ⇔ x − x + 2 = x + 5 ⇔  x = −1 log ( x+3) ( x 2 − x + 2) log ( x+3) ( x + 5) 

Vậy pt có 3 nghiệm. Phương pháp 2 : Đặt ẩn phụ : 1) log ( x +1) 16 = log 2 ( x + 1) . ĐK : -1<x≠0.

x = 3 t = 2 4 ⇒ Đặt log 2 ( x + 1) = t. Pt trở thành = t ⇔  x = − 3 t = − 2 t   4 2 2 2) log x 4 x .log 2 x = 12 . ĐK : 0<x≠1. x = 4 log 2 4 x 2 2 (8) ⇔ .log 2 x = 12 ⇔ (1 + log 2 x)log 2 x = 6 ⇔  1 x = log 2 x 8  3) log 2 x − 4 log 4 x − 5 = 0 . ĐK x ≥ 1 . t = −1(l ) 1 1 1 ⇒ x = 250 (9) ⇔ log 2 x − 4 log 2 x − 5 = 0 . Đặt t= log 2 x (t ≥ 0) ⇒  2 2 2 t = 5 Phương pháp 3: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 2 1) log( x − x − 6) + x = log( x + 2) + 4 > ĐK x>3 (1) ⇔ log( x − 3) = 4 − x . Xét Sự BT của 2 hàm số suy ra pt có nghiệm duy nhất x=4 x2 − x + 1 = x 2 − 3x + 2 . 2 2x − 4x + 3 (2) ⇔ log 3 ( x 2 − x + 1) − log 3 (2 x 2 − 4 x + 3) = (2 x 2 − 4 x + 3) − ( x 2 − x + 1)

2) log 3

⇔ log 3 ( x 2 − x + 1) + ( x 2 − x + 1) = log 3 (2 x 2 − 4 x + 3) + (2 x 2 − 4 x + 3) u = x 2 − x + 1 ⇒ (2) : log 3 u + u = log 3 v + v  2 v = 2 x − 4 x + 3  Xét hàm số f(t)=log3t+t là HSĐB với t>0

x =1 x = 2

Pt tương đương u=v ⇒ 

.

1 − x   . ĐK: 0<x<1  x 

x 1− x 3) 2 − 2 = log 2 

⇔ 2 x + log 2 x = 21− x + log 2 (1 − x) Xét hàm số f(t) =2t+log2t trên (0 ; 1) là HSĐB nên pt  x=1-x  x=1/2  x2 + x + 3   2  = 7 x 2 + 21x + 14 . log 4)  3  2x + 4x + 5 

⇔ log 3 ( x 2 + x + 3) − log 3 (2 x 2 + 4 x + 5) = 7[(2 x 2 + 4 x + 5) − ( x 2 + x + 3)] ⇔ log 3 ( x 2 + x + 3) + 7( x 2 + x + 3) = log 3 (2 x 2 + 4 x + 5) + (2 x 2 + 4 x + 5)  x = −1 ⇔ x 2 + x + 3 = 2 x 2 + 4 x + 5 ⇔ x 2 + 3x + 2 = 0 ⇔   x = −2 log 6 x 5) log 2 ( x + 3 ) = log 6 x . ĐK : x>0 3 2

Đăt t= log 6 x x=6t. phương trình trở thành 2 = 6 + 3 ⇔ 1 = 3 + ( ) ⇒ t = −1 ⇒ x = t

t

t

t

t

1 6

6) x log2 9 = x 2 .3log 2 x − x log 2 3 . ĐK x>0

(3) ⇔ 9log2 x = x 2 .3log 2 x − 3log 2 x ⇔ 3log 2 x = x 2 − 1

Đặt log2x=t pt trở thành 3t+1=4t. Pt có nghiệm t=1 x=2. 2 2 7) log 3 ( x + 2 x + 1) = log 2 ( x + 2 x)

 x 2 + 2 x = 2t ⇒ x = −1 ± 3 Đặt t = log 3 ( x + 2 x + 1) = log 2 ( x + 2 x) . Ta có hệ pt  t t 2 + 1 = 3 8) 3 log 3 x − log 3 x − 1 = 0 . ĐS : x=3 ; x=81. 2

9) 2log 6 ( x +

2

x ) = log 4 x . ĐK : x>0 1 (6) ⇔ log 6 ( x + 4 x ) = log 4 x = log 4 x 2 t t t t t Đặt t= log 4 x . Phương trình trở thành log 6 (4 + 2 ) = t ⇔ 4 + 2 = 6 ⇒ t = 1 ⇒ x = 16 4

10) 2 x log2 x + 2 x −3log8 x − 5 = 0 . ĐK : x>0 t Đặt t = log 2 x ⇒ x = 2 . Pt trở thành

x = 2 2.(2 ) + 2.(2 ) − 5 = 0 ⇔ 2.2 + t 2 − 5 = 0 ⇒ t = ±1 ⇒  x = 1 2  2 2 11) log 2 x + ( x − 1)log 2 x + 2 x − 6 = 0 .ĐK: x>0 Đặt t= log 2 x phương trình trở thành 1  x = log 2 x = −2  t = −2 2 t + ( x − 1)t + 2 x − 6 = 0 ⇔  ⇒ ⇒ 4  t = 3 − x log x = 3 − x   2 x = 2 12) 2log5 ( x +3) = x . ĐK: x>-3 t t

t −t

t2

2

Đặt log 5 ( x + 3) = t ⇒ x + 3 = 5 ⇒ x = 5 − 3 . Phương trình trở thành t

t

t

t

2 1 2 + 3 = 5 ⇔   + 3.  = 1 ⇒ t = 1 ⇒ x = 2 5 5 2 x +1 13) 2 x +1.log 2 ( x 2 + 1) = 4 .(log 2 x + 1 + 1) t

⇔ 2x

t

2

+1

log 2 ( x 2 + 1) = 2

2 x +1

.log 2 2 x + 1

u = x 2 + 1 ( u ≥ 1, v ≥ 0 ) ⇒ 2u log 2 u = 2v log 2 v  v = 2 x + 1 +u>vVT>VP +u
2

CÁC BÀI TOÁN CÓ THAM SỐ. Bài 1: Giải và biện luận phương trình : 2log 3 x − log 3 ( x − 1) − log 3 m = 0 . x > 0 ĐK:  Phương trình ⇔ x 2 − mx + m = 0 m > 0 +0<m<4: phương trình vô nghiệm +m=4 phương trình có nghiệm x=2

S m 1 = > 2 ⇒ x1 > x2 > 2 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm x1,2 = (− m ± m 2 − 4m ) 2 2 2 2 Bài 2; Tìm m để phương trình 4(log 2 x ) − log 1 x + m = 0 có nghiệm thuộc (0;1). +m>4

2

ĐK: x>0

pt ⇔ log 22 x + log 2 x + m = 0 Đặt t= log 2 x ; x ∈ (0;1) ⇒ t ∈ ( −∞;0) . Phương trình trở thành t2+t+m=0 S=-1<0 nên pt có nghiệm ẩn t thì sẽ có nghiệm âm . Do đó đk : ∆ ≥ 0 ⇔ m ≤ Bài 3 : Tìm m để phương trình

1 . 4

log 22 x + log 1 x 2 − 3 = m(log 4 x 2 − 3) có nghiệm thuộc [32; +∞) . 2

ĐK: x>0 Đặt t = log 2 x; x ∈ [32; +∞) ⇒ t ∈ [5; +∞) . Phương trình trở thành: +t=3 không là nghiệm +t≠3 ta có

t 2 − 2t − 3 m = f (t ) = ; t ∈ [5; +∞) t −3  HSNB trên [5;+∞) −2t lim f (t ) = 1; f '(t ) = <0 t →+∞ (t − 3) t 2 − 2t − 3 Lập BBT ta có 1<m ≤

3

t 2 − 2t − 3 = m(t − 3)