Phuong Phap Toa Do Trong Mat Phang - Dang Viet

Trung tâm BDKT Quang Minh 423/27/15 Lc Long Quân, P.5, Q.11

PHNG PHÁP TA TRONG MT PH NG ÔN THI I HC NM 2009 I. ng thng 1. Phng trình ng thng a) Các nh ngha G

G

x Vect n  A; B khác vect 0 và có giá vuông góc vi ng thng  d c g i là vect pháp tuy n ca ng thng  d G

G

x Vect u  a; b khác vect 0 có giá song song ho c trùng vi  d c g i là vect ch phng ca ng thng  d N u a z 0 thì k

b c g i là h s góc ca ng thng  d a

x Chú ý: - Các vect pháp tuy n (vect ch phng) ca mt ng thng thì cùng phng. N u G G n  A; B là vect pháp tuy n ca  d thì k .n

-

 kA; kB cng là vect pháp tuy n ca  d

Vect pháp tuy n và vect ch phng ca mt ng thng thì vuông góc nhau. N u G G n  A; B là vect pháp tuy n thì u  B;  A là vect ch phng.

b) Các dng phng trình x Phng trình tng quát ca ng thng  d i qua im M  x0 ; y0 có vect pháp tuy n G n  A; B là:

d :

A  x  x0  B  y  y0 0 œ Ax  By  C

0

C

 Ax0  By0

Nhn xét: Phng trình ng thng  d1 song song vi  d có dng:  d1 : Ax  By  C c 0 Phng trình ng thng  d 2 vuông góc vi  d có dng  d 2 : Bx  Ay  C cc 0 Phng trình ng thng có h s góc k và i qua im A  x0 ; y 0 là: y k  x  x0  y0 x a

Phng trình ng thng i qua A  a;0 , B  0; b là:  AB :  x

y b

1 (phng trình on chn) G

Phng trình tham s ca ng thng  d i qua N  x0 ; y0 có vect ch phng u  a; b là: ­x ¯y

d : ® Nguyn Tng V http://tangvu.tk

x0  at y0  bt

( t là tham s)

1

Trung tâm BDKT Quang Minh 423/27/15 Lc Long Quân, P.5, Q.11 G

x Phng trình chính tc ca ng thng  d i qua N  x0 ; y0 có vect ch phng u  a; b

 a, b z 0 là:

x  x0 a

y  y0 b

c) V trí tng i gia hai ng thng Cho hai ng thng  d1 : A1 x  B1 y  C1 0 và  d 2 : A2 x  B2 y  C2

0 . Khi ó s giao im

­ A1 x  B1 y  C1 0 ¯ A2 x  B2 y  C2 0

ca  d1 và  d 2 là s nghim ca h phng trình:  I : ®

Trong trng hp  d1 và  d 2 ct nhau thì nghim ca  I chính là t a  ca giao im. 2. Khong cách và góc a) Khong cách x Cho ng thng  ' : Ax  By  C 0 và im A  x0 ; y0 . Ax0  By0  C

Khong cách t im A  n ng thng  d là: d A/  ' x

A2  B 2

Cho hai ng thng  '1 : A1 x  B1 y  C 0 và  ' 2 : A2 x  B2 y  C2

0 ct nhau ti A . Khi

ó phng trình hai ng phân giác ca góc A là:

 d1 :

A1 x  B1 y  C1 A12  B12



A2 x  B2 y  C2

0 và  d 2 :

A22  B22

A1 x  B1 y  C1 A12  B12



A2 x  B2 y  C2 A22  B22

0

b) Góc Hai ng thng  d1 và  d 2 ct nhau ti A to ra 4 góc, góc nh nht trong 4 góc ó c g i là góc gia hai ng thng  d1 và  d 2 . N u d1 // d 2 thì góc gia hai c thng là 0o . JG

JJG

G i D là góc gia  d1 và  d 2 , E là góc gia hai vect ch phng u1  a1 ; b1 và u2  a2 ; b2 . Khi ó: N u 0o d E d 90o thì D E N u 90o  E d 180o thì D 180o  E

JG JJG u1.u2 JG JJG u1 . u2

Trong ó E c tính nh sau: cos E Khi ó cos D

cos E

a1a2  b1b2 a12  b12 . a22  b22

a1a2  b1b2 a12  b12 . a22  b22

Các k t qu trên vn úng n u thay vect ch phng bng vect pháp tuy n. Trng hp c bit: Phng trình ng thng i qua im A  x0 ; y0 hp vi Ox mt góc D có h s góc là k

tan D và có phng trình là: y

Nguyn Tng V http://tangvu.tk

k  x  x0  y0

2

Trung tâm BDKT Quang Minh 423/27/15 Lc Long Quân, P.5, Q.11 3. Bài tp v ng thng a) Bài tp c bn Bài 1. (Phng trình các ng thng c bn trong tam giác). Cho tam giác ABC có A(1;2), B(-3; 4) và C(2;0). a) Vi t phng trình ng trung tuy n AM. b) Vi t phng trình ng cao BK c) Vi t phng trình ng trung trc ca AB. Bài 2. (Tìm ta  các i!m c bit trong tam giác) Cho tam giác ABC có A(0;1), B(-2; 3) và C(2;0) a) Tìm t a  trc tâm H ca tam giác ABC. b) Tìm t a  tâm I ca ng tròn ngoi ti p ca tam giác ABC. c) Vi t phng trình ng thng qua IH và chng minh rng IH i qua tr ng tâm G ca tam giác ABC. Bài 3. (Tìm i!m i x"ng c#a mt i!m qua mt ng thng). Cho 2 im A(1;2) và B(-3; 3) và ng thng  d : x  y 0 a) Tìm t a  hình chi u ca A trên  d b) Tìm t a  im D i xng vi A qua d. c) Tìm giao im ca  BD và  d Bài 4. (Tìm i!m trên ng thng cách mt i!m khác mt khong cho tr$c) ­ x 2  2t và im M(3;1). ¯ y 1  2t

Cho ng thng ' : ®

a) Tìm trên ' im A sao cho AM

13

b) Tìm trên ' im B sao cho MB là ngn nht. Bài 5. (Vi%t phng trình ng thng qua mt i!m cách mt i!m mt khong cho tr$c) Cho im A 1;1 và im B  2; 2 . Vi t phng trình ng thng  d qua A và cách B mt khong bng 5 . Bài 6. (Vi%t phng trình ng thng hp v$i mt ng thng cho tr$c mt góc) Cho ng thng  ' x  y  1 0 . Vi t phng trình ng thng  d hp vi  ' mt góc b) 450 c) 600 d) 300 a) 900 b) Bài tp nâng cao Bài 1. (B – 2004) Trong m t phng t a  Oxy cho hai im A 1;1 và B  4; 3 . Tìm im C thuc ng thng x  2 y  1 0 sao cho khong cách t C  n ng thng AB bng 6. Bài 2. (A – 2006) Trong m t phng t a , cho các ng thng: Nguyn Tng V http://tangvu.tk

3

Trung tâm BDKT Quang Minh 423/27/15 Lc Long Quân, P.5, Q.11

 d1 : x  y  3

 d2 : x  y  4 0  d3 : x  2 y 0 Tìm t a  im M trên  d3 sao cho khong cách t M  n ng thng  d1 bng hai ln khong cách t M  n  d 2 0

Bài 3. (D – 2004) Trong m t phng vi h t a  Oxy cho tam giác ABC có các  nh A  1;0 ; B  4;0 ; C  0; m vi m z 0 . Tìm t a  tr ng tâm G ca tam giác ABC theo m. Xác !nh m  tam giác GAB vuông ti G. §1

·

Bài 4. Trong m t phng t a  "#cac vuông góc Oxy cho hình ch nh$t ABCD có tâm I ¨ ;0 ¸ , ©2 ¹ phng trình ng thng AB là x  2 y  2 0 và AB = 2AD. Tìm t a  các  nh A, B, C, D bi t rng  nh A có hoành  âm. Bài 5. Cho ng thng  d : x  2 y  4 0 và im A  2;0 . Tìm im B trên tr%c hoành và im C trên ng thng d sao cho tam giác ABC vuông cân ti C. Bài 6 (A – 2002). Trong m t phng vi h t a  "êcac vuông góc cho tam giác ABC vuông ti A, phng trình ng thng BC là

3x  y  3

0 , các  nh A và B thuc tr%c hoành và bán

kính ng tròn ni ti p bng 2. Tìm t a  tr ng tâm G ca tam giác ABC. Bài 7. (B – 2003) Trong m t phng t a  "#cac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có AB

§2 · 90o . Bi t M 1; 1 là trung im cnh BC và G ¨ ;0 ¸ là tr ng tâm tam giác ©3 ¹

n AC , BAC

ABC. Tìm t a  các  nh A, B, C





Bài 8 (A – 2004). Trong m t phng vi h t a  Oxy cho hai im A  2;0 và B  3; 1 . Tìm t a  trc và t a  tâm ng tròn ngoi ti p ca tam giác OAB. Bài 9 ( A – 2005) Trong m t phng vi h t a  Oxy cho hai ng thng

 d1 : x  y

0

 d2 : 2 x  y  1

0

Tìm t a  các  nh hình vuông ABCD bi t rng  nh A thuc d1 ,  nh C thuc d 2 và các  nh B, D thuc tr%c hoành. Bài 10 ( B – 2007) Trong m t phng t a  vi h t a  Oxy, cho im A  2; 2 và các ng thng:

 d1 : x  y  2

0

 d2 : x  y  8

0

Tìm t a  các im B và C ln lt thuc các ng thng  d1 và  d 2 sao cho tam giác ABC vuông cân ti A. Bài 11 (B – 2008) Trong m t phng vi h t a  Oxy, hãy xác !nh t a  im C ca tam

Nguyn Tng V http://tangvu.tk

4

Trung tâm BDKT Quang Minh 423/27/15 Lc Long Quân, P.5, Q.11 giác ABC bi t rng hình chi u vuông góc ca im C trên ng thng AB là H  1; 1 . "ng phân giác trong ca góc A có phng trình x  y  2 0 và ng cao k& t B có phng trình 4 x  3 y  1 0 Bài 12. Cho hai ng thng d1 :

x 3 3

­x 3  t y và d 2 : ® và im M(1,2) 1 ¯ y 2t

Tìm trên d1 im A và d 2 im B sao cho A, B i xng nhau qua M. Bài 13. Trong m t phng vi h t a  Oxy cho tam giác ABC vuông ti C . Khong cách t tr ng tâm G  n tr%c hoành bng

1 và t a  hai  nh A  2;0 , B  2;0 . Tìm t a   nh C . 3

Bài 14 Trong m t phng vi h t a  Oxy cho hai im A  0; 4 , B  5;0 và ng thng

 d : 2 x  2 y  1 0 . L$p phng trình hai ng thng ln lt i qua A, B nh$n ng thng  d làm ng phân giác. Bài 15. Trong m t phng vi h t a  Oxy , cho ng thng  d : x  2 y  2 0 và im A  0; 2 . Tìm trên  d hai im B, C sao cho tam giác ABC vuông ti B và AB 2 BC . Bài 16. Trong m t phng vi h tr%c t a  Oxy cho hai ng thng  d1 : 3 x  4 y  6 0 và  d 2 : 5 x  12 y  4 0 ct nhau ti im M . L$p phng trình ng thng qua K 1;1 ct  d1 ,  d 2 tai hai im A, B sao cho tam giác MAB cân ti M . Bài 17. Cho 3 ng thng  d1 : x  y 0,  d 2 : x  2 y 0,  d3 : x  2 y  1 0 . Vi t phng trình các cnh ca tam giác ABC ; bi t A là giao im ca  d1 và  d 2 ; B, C   d3 và tam giác BAC vuông cân ti A Bài 18 – 20. Các bài c&c tr c bn. Bài 18. Cho ng thng  d : x  y  1 0 và hai im A  2;3 , B  2;0 . Tìm im M trên ng thng  d sao cho: a) MA  MB nh

b) MA  MB ln nht

Bài 19. Cho ng thng  d : x  2 y  2 0 và hai im A  2;0 , B  2;6 . Tìm im N trên

ng thng  d sao cho: a) NA  NB là nh nht

b) NA  NB ln nht

Bài 20 Bài 3. Cho ng thng  d : x  y  1 0 và hai im A  2;3 , B  4;1 . Tìm im M trên JJJG JJJG

ng thng  d sao cho: a) MA  MB nh nht.

Nguyn Tng V http://tangvu.tk

b) 2 MA2  3MB 2 nh nht.

5

Trung tâm BDKT Quang Minh 423/27/15 Lc Long Quân, P.5, Q.11 b) Chuyên  - Xác !nh các y u t ca tam giác khi bi t mt s y u t cho trc Dng 1: Bi%t ta  'nh và phng trình các ng cùng tính ch*t. Cho tam giác ABC có im A(2;2), hai ng thng d1 : 9 x  3 y  4 0 , d 2 : x  y  2 0 . S' d%ng gi thi t này  gii các bài toán sau. 1. Bi%t ta 'nh và phng trình hai ng cao. Cho d1, d2 ln lt là các ng cao BH và CK. a) Vi t phng trình cnh AB, AC b) Vi t phng trình cnh BC, và ng cao còn li. 2. Bi%t ta  'nh và phng trình hai ng trung tuy%n. Cho d1, d2 là các ng trung tuy n BM và CN. a) Tìm t a  tr ng tâm ca tam giác ABC, tìm im D i xng ca A qua G. b) Vi t phng trình ng thng qua D song song vi BM c) Vi t phng trình ng thng qua D song song vi CN d) Tìm t a  ca B, C. 3. Bi%t ta  'nh và phng trình hai ng phân giác. Cho d1, d2 là các ng phân giác trong ca góc B và C. a) Tìm t a  hình chi u ca A trên d1, d2 b) Tìm t a  im A’, A’’ i xng ca A qua d1, d2. c) Vi t phng trình ng thng BC. d) Xác !nh t a  im B, C. Dng 2: Bi%t ta  'nh và phng trình hai ng khác tính ch*t. Cho tam giác ABC ình A(2;-1), hai ng thng d1 : x  2 y  1 0, d 2 : x  y  3 0 S' d%ng gi thi t trên  gii các bài toán sau: 1. Bi%t ta  'nh A, phng trình ng cao BH và phân giác CE. Cho d1, d2 ln lt là ng cao BH và phân giác trong CE. a) Vi t phng trình ng thng AC b) Xác !nh t a  C là giao im ca t CD và t AC. c) Tìm im A’ i xng ca A qua CD d) Vi t phng trình ng thng BC i qua A’ và C. 2. Bi%t ta  'nh A, ng cao BH và trung tuy%n CM Cho d1, d2 ln lt là ng cao BH và trung tuy n CM. a) Vi t phng trình ng thng AC. b) G i B(xB, yB) tìm t a  M theo t a  ca B. c) Tìm t a  ca B. 3. Bi%t ta  'nh A, ng phân giác CE và trung tuy%n BM.

Nguyn Tng V http://tangvu.tk

6