Pgs Elips

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELIPS

PENYUSUN: AULIA FITRIANA

(160384202033)

EMA KARINA

(160384202003)

DWI ANDINI RIZKY

(160384202012)

NOVA SUSANTI

(160384202031)

DESI MARSELA

(160384202022)

MAHARANI DELTA DEWI

(160384202006)

DOSEN PENGAMPU: Rezky Ramadhona, M.Pd

PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MARITIM RAJA ALI HAJI

1

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA ELIPS A. Persamaan Garis Singgung di Titik (x1,y1)

Misalkan persamaan elips di atas adalah adalah

𝑥² 𝑎²

+

𝑦² 𝑏²

= 1  b².x² + a².y² = a².b². dimisalkan

titik P(x1,y1) dan Q (x2,y2) terletak pada elips, sehingga di dapat : mPQ =

𝑦₁− 𝑦₂

----- (1)

𝑥₁−𝑦₂

juga didapat : 𝑥₁² 𝑎²

+

𝑦₁² 𝑏²

= 1  b².x₁² + a².y₁² = a².b² ----- (2)

b².x₂² + a².y₂² = a².b²

----- (3)

jika persamaan (2) dikurangi dengan persamaan (3) akan didapat : b².x₁² + a².y₁² = a².b² b².x₂² + a².y₂² = a².b²

_

b².x₁² - b².x₂² + a².y₁² - a².y₂² = 0 b²(x₁² - x₂²)+ a²(y₁² - y₂²) = 0 b²(x₁² - x₂²) = - a²(y₁² - y₂²) b²(x₁ - x₂)(x₁ + x₂) = - a²(y₁ - y₂)(y₁ + y₂) (y₁ − y₂) (x₁ − x₂)

b² (x₁ + x₂)

= - a²

(y₁ + y₂)

----- (4)

Bandingkan sekarang persamaan (1) dan (4). Dengan demikian, didapat persamaan garis PQ adalah :

2

b² (x₁ + x₂)

y - y₁ = mPQ (x - x₁)  y - y₁ = - a²

(y₁ + y₂)

(x - x₁)

jika titik Q (x2,y2) didekatkan sehingga berimpit dengan titik P(x1,y1) akan didapat x2 = x1 dan y2= y1, sehingga persamaan garis singgungnya menjadi : b² (x₁ + x₂)

y - y₁ = - a²

(x - x₁)

(y₁ + y₂) b² (2x₁)

 y - y₁ = - a² 

y₁y 𝑏²

-

y₁² 𝑏²

+

(x - x₁) 

(2y₁)

x₁x 𝑎²

-

x₁²

=0

𝑎²

x₁x 𝑎²

y₁(y − y₁)

+

𝑏² y₁y 𝑏²

=

+

x₁² 𝑎²

x₁(x − x₁) 𝑎²

+

=0

y₁² 𝑏²

Berdasar persamaan (2) maka ruas kanan persamaan terakhir adalah

x₁² 𝑎²

+

y₁² 𝑏²

= 1 ; sehingga 𝑥²

didapat persamaan garis singgung dititik P(x1,y1) yang terletak pada elips dengan persamaan 𝑎² + 𝑦² 𝑏²

= 1 adalah

x₁x 𝑎²

+

y₁y 𝑏²

= 1.

Agar mudah mengingat rumus tersebut, dapat digunakan aturan pembagian adil. Perhatikan gambar berikut!

Gambar dibawah ini menunjukkan suatu elips dengan persamaan

(𝑥−𝛼)² 𝑎²

+

(𝑦−𝛽)² 𝑏²

= 1. Elips

tersebut berpusat di P(α,β). Jika digunakan sumbu baru x’= x – α dan y’= y – β, maka akan di dapat persamaan elips dan persamaan garis singgung pada elips di titik Q(x₁,y₁) adalah : 𝑥′2 𝑎2

+

𝑦′2 𝑏2

= 1 dan

𝒙₁′𝒙′ 𝒂²

+

𝒚₁′𝒚′ 𝒃²

=𝟏

jika digunakan sumbu baru; maka x₁’= x₁ - α dan y₁’= y₁ - β; maka pada akhirnya akan didapat persamaan garis singgung di titik P(x₁,y₁) pada elips dengan pusat P(α,β) adalah: (𝒙₁−𝜶)(𝒙−𝜶) 𝒂²

+

(𝒚₁−𝜷)(𝒚−𝜷) 𝒃²

=𝟏 3

Sebagaimana pada Lingkaran dan Parabola, maka akan dapat dibuktikan bahwa jika titik T(x₁,y₁) terletak diluar elips dengan persamaan

𝑥2 𝑎2

+

𝑦2 𝑏2

= 1; maka bentuk

𝒙₁𝒙 𝒂²

+

𝒚₁𝒚 𝒃²

=𝟏

merupakan persamaan garis kutub dan garis polar titik T, yaitu garis yang menghubungkan kedua titik singgungnya. Dapat dibuktikan juga bahwa jika titik T(x₁,y₁) terletak diluar elips dengan persamaan

(𝑥−𝛼)² 𝑎²

+

(𝑦−𝛽)² 𝑏²

= 1; maka bentuk

(𝒙₁−𝜶)(𝒙−𝜶) 𝒂²

+

(𝒚₁−𝜷)(𝒚−𝜷) 𝒃²

= 𝟏 merupakan

persamaan garis kutub dan garis polar titik T, yaitu garis yang menghubungkan kedua titik singgungnya. Ketentuan ini dapat digunakan sebagai salah satu alternative untuk menentukan garis singgung dari suatu titik yang tidak terletak pada elips. Contoh 1. 𝑥²

𝑦²

5

Tentukan persamaan garis singgung elips 25 + 16 = 1yang melalui (2 √3 , 2). Penyelesaian. 5 Sebelum mencari persamaan garis singgung, terlebih dahulu selidiki apakah titik (2 √3 , 2). melalui persamaan elips tersebut. Perhatikan: 3 4

1

+4=1 5

Jadi, titik (2 √3 , 2). melalui persamaan elips. Selanjutnya, akan dicari persamaan garis singgungnya. Perhatikan: 𝑥₁𝑥 𝑝

+

5 √3 2

𝑦₁𝑦 𝑞

=1

2𝑦

25

x + 16 = 1

√3 10

𝑥 + 16 = 1

2𝑦

16√3 𝑥 + 20𝑦 = 160

Contoh 2. Tentukan persamaan garis singgung dari persamaan elips x2 + 2y2 – 16 = 0 (2√2 ) , 2)

melalui titik

Penyelesaian: x2 + 2y2 – 16 = 0 x2 + 2y2 = 16 𝑥²

+

16

𝑦² 8

=1 4

Seperti pada Contoh 1, terlebih dahulu dicek apakah titik (2√2 ) , 2)terletak persamaan elips. (2√2) ² 16

+

2² 8

8

4

= 16 + 8 = 1

Jadi, (2√2 ) , 2)terletak pada elips tersebut. Selanjutnya dengan menggunakan rumus garis singgung, diperoleh: 2√2 2𝑦 𝑥+ =1 16 8 √2 𝑦 𝑥+ =1 8 4 4√2 𝑥+8𝑦=32

Contoh 3. Tentukan persamaan garis singgung elips

(𝑥−2)² 20

+

(𝑦+3)² 5

= 1 melalui titik (6, -2).

Penyelesaian. Cek apakah titik (6, -2) melalui persamaan elips. Perhatikan: (6−2)² 20

+

(−2+3)² 5

16

1

= 20 + 5 = 1

Selanjutnya, akan dicari persamaan garis singgungnya. Karena titik pusatnya bukan di (0,0), maka kita akan menggunakan rumus: (x₁ − a)(x − a) (y₁ − b)(y − b) + =1 p q (6 − 2)(x − 2) (−2 + 3)(y + 3) + =1 20 5 4 (x − 2) (𝑦 + 3) + =1 20 5 (x − 2) (𝑦 + 3) + =1 5 5 x–2+y+3=5 x+y=4

Contoh 4. Tentukan persamaan garis singgung elips 2x2 + y2 + 20x - 6y + 53 = 0 melalui titik (-4 , 1). Penyelesaian. 5

2x2 + y2 + 20x - 6y + 53 = 0 2x2 + y2 + 20x - 6y + 59 = 6 2x2 + 20x + 50 + y2 – 6y + 9 = 6 2(x2 + 10x + 25) + (y2 – 6y + 9) = 6 2(x + 5)2 + (y - 3)2 = 6 (𝑥+5)² 3

+

(𝑦−3)²

=1

6

Selanjutnya, selidiki apakah titik (-4 , 1) terletak pada elips. Perhatikan, (−4+5)² 3

+

(1−3)² 6

1

4

3

6

= + =1

Sehingga diperoleh persamaan garis singgungnya adalah: (−4+5)(𝑥+5) 3 (𝑥+5) 3

+

(1−3)(𝑦−3)

+

6

−2(𝑦−3) 6

=1

=1

2(x +5) – 2 (y – 3) = 6 2x + 10 – 2y + 6 = 6 2x -2y = -10 x – y = -5

B. Persamaan Garis Singgung dengan gradien m Misal diberikan elips dengan persamaan

𝑥² 𝑎²

+

𝑦² 𝑏²

= 1. Selanjutnya misalkan terdapat garis y = mx

+ n. sedemikian hingga menyinggung elips. Karena garis g menyinggung elips, maka berakibat diskriminannya sama dengan nol, yaitu D = 0, perhatikan : 𝑥² 𝑎²

+



𝑥² 𝑎²

𝑦² 𝑏²

+

=1

𝑥² 𝑎²

+

(𝑚𝑥+𝑛)²

𝑚𝑥²+2𝑚𝑥𝑛+𝑛² 𝑏²

𝑏²

=1

= 1  𝑏² 𝑥² + 𝑎²𝑚𝑥² + 2𝑚𝑥𝑛𝑎² + 𝑎²𝑛² = 𝑎²𝑏²

 (𝑏² + 𝑎²𝑚) 𝑥² + (2𝑎2 𝑚𝑛)𝑥 + 𝑎²𝑛² - 𝑎²𝑏² = 0 Garis g menyinggung elips jika : D = 0 = 𝑏²- 4ac (2𝑎2 𝑚𝑛)² - 4 (𝑏² + 𝑎²𝑚) (𝑎²𝑛² - 𝑎²𝑏²) = 0 (4𝑎⁴ 𝑚²𝑛²) - (4𝑏² + 4𝑎²𝑚) (𝑎²𝑛² - 𝑎²𝑏²) = 0 6

4𝑎⁴ 𝑚²𝑛² - 4 𝑎²𝑏²𝑛² + 4 𝑎²b⁴ - 4𝑎⁴ 𝑚²𝑛² + 4𝑎⁴ 𝑏² 𝑚² = 0 - 4 𝑎²𝑏²𝑛² + 4 𝑎²b⁴+ 4𝑎⁴ 𝑏² 𝑚² = 0 - 4 𝑎²𝑏² (𝑛²- 𝑏²- 𝑎² 𝑚²) = 0 𝑛² = 𝑏²+𝑎²𝑚² n = ±√𝑏² + 𝑎²𝑚² y = mx + n y = mx ±√𝑏² + 𝑎²𝑚² Dengan menggunakan sumbu baru x’ dan y’; maka persamaan garis singgung dengan gradient m terhadap elips dengan pusat P(α,β) adalah (y – b) = m(x-a) ± √𝒃² + 𝒂²𝒎² Contoh 1. Tentukan 𝑥² 16

+

𝑦² 36

persamaan

garis

singgung

jika

diketahui

persamaan

elipsnya

adalah

= 1 dan dengan gradient m = 3.

Penyelesaian. Dengan enggunakan rumus persamaan garis singgung elips, diperoleh: y = 3x ± √36 + 16(3)² y = 3x ± √36 + 16(9) y = 3x ± √36 + 144 y = 3x ± √180 y = 3x ± 6√5 Jadi, 𝑥² 16

+

persamaan 𝑦² 36

garis

singgung

dari

persamaan

elips

= 1 dan dengan gradient m = 3 adalah y = 3x + 6√5 atau y = 3x - 6√5.

Contoh 2. Tentukan persamaan garis singgung elips 16x2 + 25y2 – 64x – 336 = 0 yang bergradien m = -1. Penyelesaian. 16x2 + 25y2 – 64x – 336 = 0 16x2– 64x + 25y2 – 336 = 0 16(x2– 4x) + 25y2 – 336 = 0 7

16(x2– 4x + 4 - 4) + 25(y – 0)² – 336 = 0 16(x2– 4x + 4)- 64 + 25(y – 0)² – 336 = 0 16(x – 2)2 + 25(y – 0)² –400 = 0 (𝑥 − 2)² (𝑦 − 0)² + =1 25 8 Dari persaman di atas, diperoleh bahwa a² = 25 dan b² = 8. Dengan menggunakan rumus persamaan garis singgung elips, diperoleh y = - x ± √8 + 25 (−1)² y = - x ± √8 + 25 y = - x ± √33 Jadi, persamaan garis singgung dari persamaan elips 16x2 + 25y2 – 64x – 336 = 0 dan dengan gradient m = -1 adalah y = - x + √33 atau y = - x - √33. Contoh 3. Cari persamaan garis singgung elips 9x2 + 4y2 – 18x – 16y – 11 = 0 yang tegak lurus dengan garis 3y + 4x = 5. Penyelesaian. 9x2 + 4y2 – 18x – 16y – 11 = 0 9x2 – 18x + 4y2 - 16y – 11 = 0 9(x2 – 2x) + 4(y2 - 4y) – 11 = 0 9(x2 – 2x + 1 – 1) + 4(y2 - 4y + 4 - 4) – 11 = 0 9((x – 1)2 – 1) + 4((y – 2)2 - 4) – 11 = 0 9(x – 1)2 – 9 + 4(y – 2)2 - 16 – 11 = 0 9(x – 1)2 + 4(y – 2)2 – 36 = 0 9(x – 1)2 + 4(y – 2)2 = 36 (𝑥 − 1)² (𝑦 − 2)² + =1 4 9 Dari persamaan di atas, diperoleh bahwa a² = 4 dan b² = 9. Selanjutnya, diperoleh gradien garisnya adalah: 3y + 4x = 5 3y = 5 – 4x 5

4

Y=3–3x 8

4

M1 = - 3 Karena persamaan garis singgungnya tegak lurus dengan garis 3y +4x = 5, maka syarat gradient 3

garisnya adalah m1 . m2 = -1. Sehingga diperoleh m = m2 = 4. Dengan menggunakan rumus persamaan garis singgung elips, diperoleh: y= y= y= y= y=

3 4 3 4 3 4 3 4 3 4

3

x ±√4 + 9 (4)² x ±√4 + 9 64

9 16

81

x ±√16 + 16 145

x ±√ 16 1

x ± 4 √145

4y = 3x ± √145 4y - 3x = ± √145 Jadi, persamaan garis singgung dari persamaan elips 9x2 + 4y2 – 18x – 16y – 11 = 0 yang tegak lurus dengan garis 3y + 4x = 5 adalah 4y - 3x = √145 atau 4y - 3x = −√145.

9

KESIMPULAN

1. Persamaan garis singgung di titik (x₁,y₁) pada elips

𝑥2 𝑎2

+

𝑦2 𝑏2

=1

𝒙₁𝒙 𝒚₁𝒚 + =𝟏 𝒂² 𝒃² 2. Persamaan garis singgung di titik (x₁,y₁) pada elips

(𝑥−𝛼)² 𝑎²

+

(𝑦−𝛽)² 𝑏²

=1

(𝒙₁ − 𝒂)(𝒙 − 𝒂) (𝒚₁ − 𝒃)(𝒚 − 𝒃) + =𝟏 𝒂² 𝒃² 3. Persamaan garis singgung melalui (x₁,y₁) di luar elips dapat dicari dengan menggunakan D (diskriminan/garis kutub) 4. Persamaan garis singgung elips dengan gradient m 

elips

𝑥2

+ 𝑎2

𝑦2 𝑏2

= 1 Persamaan garis singgungnya :

y = mx ± √𝒃² + 𝒂²𝒎² 

elips

(𝑥−𝛼)² 𝑎²

+

(𝑦−𝛽)² 𝑏²

= 1 Persamaan garis singgungnya:

(y – b) = m(x-a) ± √𝒃² + 𝒂²𝒎²

10

LATIHAN SOAL 1. Tentukan persamaan garis singgung elips

2x2 16

+

𝑥2 4

= 1, pada titik ( -2, √3 )

........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ 2. Tentukan persamaan garis singgung elips

( x+3 ) 2 4

+

( y−1 ) 8

2

= 1 , pada

titik ( -2 , 3 ) ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ 3. Tentukan persamaan garis singgung elips 3x2 + 4y2 + 12x – 8y - 36 = 0, pada titik ( -6 , 0 ) ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ 11

........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ 4. Tentukan persamaan garis singgung elips

𝑥2 9

+

y2 4

= 1 , sejajar garis 2x – y + 5 = 0

........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ 5. Tentukan persamaan garis singgung elips

(x+3) 2 6

+

( y−1 ) 2 1

= 1 , yang bergradien 2

........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ 12

........................................................................................................................ 6. Tentukan persamaan garis singgung elips x2 + 3y2 + 12x – 18y = 0, yang tegak lurus dengan garis 2x + y = 6 ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................ ........................................................................................................................

SEKIAN DAN TERIMA KASIH

13