Pg Bab 02b Persamaan Dan Fungsi
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Pg Bab 02b Persamaan Dan Fungsi as PDF for free.
More details
- Words: 8,228
- Pages: 19
Akar-akar persamaan kuadrat ax 2 + bx + c = 0 adalah x1 =
− + − − dan x2 = , dengan D = b2 – 4ac.
1.
x1 + x2 = (
− + − − )+( )
x1 · x2 = ( = =
− + − −
–b + D –b − D )·( )=
b 2 − D
=
b 2 − b 2 −
b2 − b 2 + 4ac
=
4ac
b.
–b –b + D −b − D –2b = = = a
2.
Bila akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2, tentukan: a. x1 – x2
=
Jawaban: x1 =
− +
dan x2 =
a. x1 – x2 = b.
− −
− + = − −
c a
Selanjutnya, coba kalian diskusikan syarat-syarat yang harus dipenuhi oleh suatu persamaan kuadrat supaya kedua akarnya mempunyai sifat khusus yang sudah ditentukan.
1. 2.
Lakukan diskusi ini dengan kelompokmu. Lengkapilah tabel berikut untuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akar x1 dan x2. No.
Akar-Akar
1.
Kedua akar nyata positif: x1 positif dan x2 positif
D>0 > 0 x1 · x2 ___ > 0 x1 + x2 ___
2.
Kedua akar nyata negatif: x1 negatif dan x2 negatif
> 0 D ___ < 0 x1 · x2 ___ x1 + x2 ___ > 0
3.
Kedua akar nyata berlawanan tanda: x1 positif dan x2 negatif atau x1 negatif dan x2 positif
> 0 D ___ < x1 · x2 ___0
4.
Kedua akar nyata berlawanan: x1 = –x2
> 0 D ___ 0 0 → b = ___ x1 + x2 = ___
5.
Kedua akar nyata berkebalikan:
> 0 D ___ 1 → a = ___ c x1 · x2 = ___
x1 = 6.
7.
3.
Syarat
Kedua akarnya sama: x1 = x2 Salah satu akarnya nol: x1 = 0
= 0 D ___ x1 = x2 = –
b 2a
> 0 D ___ 0 c = ___
Sampaikan hasil diskusi kelompokmu di depan kelas untuk dibahas bersama. PG Matematika Kelas X
147
Ayo, kita mantapkan dengan melengkapi yang berikut ini. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, tunjukkan bahwa: a.
α2
+
β2
1.
−
=
b. (α – β)2 =
−
a.
x1 + x2 dan x1 · x2
b.
x12 + x22
Jawaban: a. α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ
−
=– –7 = 1 x1 · x2 =
x1 + x2 = –
b. (α – β)2 =
= =
−
b.
c.
2.
Apabila akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah α dan β, maka: = (α + β)2 – 2αβ = (α + β)(α – β) = (α + β)3 – 3αβ(α + β) = (α – β)3 + 3αβ(α – β)
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
3 = . .3. . 1
= . –7 ...
+ + = ⋅ –3 3 = –7 7
Salah satu akar persamaan kuadrat x2 – 12x – m = 0 adalah tiga kali akar yang lain. Tentukan nilai m. Jawaban: Misal akar-akar persamaan x2 – 12x – m = 0 adalah x1 dan x2. Diketahui x1 = . .3. .x2 i) x1 + x2 = . 12 ... ⇔ . .3. .x2 + x2 = . 12 ... ⇔
... . .4. .x2 = . 12
⇔
x2 =
12 = . .3. . 4
x1 = . .3. .x2 = . .3. . × . .3. . = . .9. . ii) x1 · x2 = –m ⇔ . .9. . × . .3. . = –m ⇔ . 27 . . . = –m ⇔ m = . –27 .... Jadi, nilai m adalah . –27 .... 3.
148
+
x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1 · x2 2 = .(–3) . . . . . – 2 · .(–7) .... 9 14 = . . . . + . . . . = . 23 ...
=
α2 + β2 α2 – β2 α3 + β3 α3 – β3
c.
Jawaban: a. Dari persamaan x2 + 3x – 7 = 0 diperoleh: a = 1; b = 3; dan c = –7
= –
=
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 7 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukanlah nilai:
Tentukan nilai p agar akar-akar p(x 2 – x + 2) = x + 1 berlawanan. Jawaban: p(x2 – x + 2) = x + 1 . . . + . 2p . . . – . .x. . – . .1 . . = 0 ⇔ px2 – . px ...– . . 1. . = 0 ⇔ px2 – (. .p. . + . .1 . .)x + .2p
Misal akar-akar persamaannya adalah x1 dan x2. Karena berlawanan, maka x1 + x2 = . .0. . x1 + x2 = . .0. . ⇔
+ = . .0. . p
⇔ p + 1 = . .0. . ⇔ p = .–1 ... Jadi, nilai p adalah . –1 ...
Kerjakan sesuai perintah. 1.
Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat berikut. a. x2 + 3x – 10 = 0 b. 3x2 – 5x + 2 = 0 c. px2 – 5x – 3 = 0 Jawaban: a. x2 + 3x – 10 = 0 x1 + x2 = –3 x1 · x2 = –10 b. 3x2 – 5x + 2 = 0
3.
Akar-akar dari x 2 – 5x – m = 0 adalah x1 dan x2. Tentukan nilai m, jika: a. x1 : x2 = 2 : 3 b. x1 + 4x2 = 14 Jawaban: Dari persamaan x2 – 5x – m = 0 diperoleh x1 + x2 = 5 dan x1 · x2 = –m. a. x1 : x2 = 2 : 3
= → x2 = x1
x1 · x2 =
•
x1 + x2 =
c.
px2 – 5x – 3 = 0
− x1 · x2 = Hitunglah nilai + , bila x1 dan x2 adalah
x1 + x2 =
2.
+ + = ⋅
=
+ − ⋅ ⋅
− − ⋅ − − + = = –11 −
=
x =5 1
⇔
x1 +
⇔
x =5 1
⇔
x1 = 2
⇔
x2 =
x = ·2=3 1
x1 · x2 = –m ⇔ 2 · 3 = –m ⇔ m = –6 Jadi, nilai m adalah –6. • x1 + 4x2 = 14 x1 + x2 + 3x2 = 14 ⇔ 5 + 3x2 = 14 ⇔ 3x2 = 9 ⇔ x2 = 3 x1 + 4 · 3 = 14 ⇔ x1 = 14 – 12 = 2 • x1 · x2 = –m ⇔ 3 · 2 = –m ⇔ m = –6 Jadi, nilai m adalah –6.
•
akar-akar persamaan x2 + 3x – 1 = 0. Jawaban: x1 + x2 = –3 dan x1 · x2 = –1
x1 + x2 = 5
b.
PG Matematika Kelas X
149
4.
5.
Tentukan nilai a jika jumlah kebalikan akarakar persamaan kuadrat 3x2 – (a + 3)x + 6 = 0 adalah 2. Jawaban: Misal akar-akar persamaan kuadrat 3x2 – (a + 3)x + 6 = 0 adalah x1 dan x2, maka + dan x1 · x2 = 2.
Diketahui + = 2. + + = ⋅ + ⇔ 2=
x1 + x2 =
⇔ a + 3 = 12 ⇔ a = 12 – 3 = 9 Jadi, nilai a adalah 9.
Jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan x2 – 2x + b = 0 adalah 38. Tentukan nilai b. Jawaban: Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + b = 0 adalah x 1 dan x 2, maka x 1 + x 2 = 2 dan x1 · x2 = b. Diketahui x13 + x23 = 38. x13 + x23= (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) 38 = (2)3 – 3 · b · 2 38 = 8 – 6b 6b = –30 b = –5 Jadi, nilai b adalah –5.
4. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya Memenuhi Kondisi Tertentu Suatu persamaan kuadrat dapat disusun apabila akar-akarnya diketahui. Terdapat 3 cara penyusunan persamaan kuadrat sebagai berikut. a.
Menggunakan Perkalian Faktor Jika akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2, maka: ax2 + bx + c = 0
⇔ ⇔
dengan x1 + x2 = –
x2 +
x+ =0
(x – x1)(x – x2) = 0
dan x1 · x2 = .
Dengan menggunakan perkalian faktor, persamaan kuadrat yang (x – x1)(x – x2) = 0 akar-akarnya x dan x adalah ___________________. 1
150
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
2
Ayo, kita berlatih menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor. 1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 3. Jawaban: x1 = 2 dan x2 = 3 Persamaan kuadratnya adalah (x – x1)(x – x2) = 0 ⇔ (x – . 2 . . )(x – . 3. . ) = 0 . . . + .6 ..=0 ⇔ x2 – 5x 2.
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya a +
dan a – . Jawaban: . x1 = .a. . +. . . .2. dan x2 = . .a. .–. . . 2 Persamaan kuadratnya adalah: (x – x1)(x – x2) = 0 ⇔ (x – (a . . .+. . . .2. ).)(x – .(a . . .–. . . 2. .).) = 0 . . . .2 . .)x – (.a– . . . .2.)x + (.a+ . . . .2.)(.a.–. . .2.) = 0 ⇔ x2 – (. a+ 2 . . .x + .a. . .–. .2. . = 0 ⇔ x2 – . 2a
Selesaikanlah soal-soal berikut. 1.
Susunlah persamaan kuadrat yang akarakarnya: a. –3a dan –7a 3 + dan 3 –
c.
a + b dan a – b
Jawaban: a. x1 = –3a dan x2 = –7a Persamaan kuadratnya adalah: (x – (–3a))(x – (–7a)) = 0 ⇔ (x + 3a)(x + 7a) = 0 ⇔ x2 + 10ax + 21a2 = 0 x1 = 3 + dan x2 = 3 – Persamaan kuadratnya adalah: (x – (3 + ))(x – (3 – )) = 0 ⇔
x2
– (3 + )x – (3 –
)x
⇔ x2 – (a + b )x – (a – b )x + (a + b )(a – b ) = 0 ⇔ x2 – a x – b x – a x + b x + 2a2 – 3b2 = 0 ⇔ x2 – 2ax + 2a2 – 3b2 = 0 2.
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + x – 12 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukan nilai x1 dan x2, kemudian susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya: a.
x1 + 2 dan x2 + 2
b.
3x1 dan 3x2
c.
dan
+ (3 + )(3 – ) = 0 ⇔ ⇔
x1 = a + b dan x2 = a – b Persamaan kuadratnya adalah: (x – (a + b ))(x – (a – b )) = 0
b.
b.
c.
x2 – 3x – x – 3x + x + 9 – 5 = 0 x2 – 6x + 4 = 0
PG Matematika Kelas X
151
Jawaban: x2 + x – 12 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 3) = 0 ⇔ x = –4 atau x = 3 Diperoleh x1 = –4 dan x2 = 3. a. α = x1 + 2 = –4 + 2 = –2 β = x2 + 2 = 3 + 2 = 5 Persamaan kuadratnya adalah: (x – α)(x – β) = 0 ⇔ (x + 2)(x – 5) = 0 ⇔ x2 – 3x – 10 = 0 b.
c.
= =– −
β=
=
Persamaan kuadratnya adalah: (x – α)(x – β) = 0
α = 3x1 = 3(–4) = –12 β = 3x2 = 3 · 3 = 9 Persamaan kuadratnya adalah: (x – α)(x – β) = 0 ⇔ (x + 12)(x – 9) = 0 ⇔ x2 + 3x – 108 = 0
b.
α=
⇔ (x +
)(x – ) = 0
⇔ x2 –
x– =0
⇔ 12x2 – x – 1 = 0
Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah: (x – x1)(x – x2) = 0 ⇔ x2 – x2x – x1x + x1x2 = 0 ⇔ x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0
Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali, persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 dapat dicari dengan rumus 2 – (x + x )x + x · x = 0 x_________________________. 1 2 1 2
Ayo, kita mantapkan dengan melengkapi yang berikut.
1.
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya –3 dan 8. Jawaban: x1 = –3 dan x2 = 8 x + x = .–3 . . . + . .8. . = . .5. . 1
2
x1 · x2 = .–3 . . . × . .8. . = .–24 ... Persamaan kuadratnya adalah: x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0 ...=0 x2 – . .5. .x – .24
152
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
2.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 + dan 5– . Jawaban: x1 = 5 + dan x2 = 5 – x1 + x2 = .5. .+. . . 3. . + . .5. .–. . . 3. = . . .10 . (5 + 3 ) (5 – 3 ) x1 · x2 = . . . . . . . . . . × . . . . . . . . . . = . 25 . . . – . .3. . = . 22 ... Persamaan kuadratnya adalah: x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0 x2 – . 10 . . .x + . 22 ...=0
Kerjakanlah dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya. 1.
Susunlah persamaan kuadrat yang akarakarnya: a. –3a dan –7a b. 3 + dan 3 – c. a + b dan a – b Jawaban: a. x1 = –3a dan x2 = –7a x1 + x2 = –3a + (–7a) = –10a x1 · x2 = –3a × (–7a) = 21a2 Persamaan kuadratnya adalah: x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0 ⇔ x2 – (–10a)x + 21a2 = 0 ⇔ x2 + 10ax + 21a2 = 0 b. x1 = 3 + dan x2 = 3 – x1 + x2 = 3 + + 3 – = 6
c.
x1 · x2 = (3 + )(3 – ) = 9 – 5 = 4 Persamaan kuadratnya adalah: x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0 x2 – 6x + 4 = 0 x1 = a + b dan x2 = a – b x1 + x2 = a + b + a – b = 2a x1 · x2 = (a + b )(a – b ) = 2a2 – 3b2 Persamaan kuadratnya adalah: x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0 x2 – 2a x + 2a2 – 3b2 = 0
2.
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + x – 12 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya: a.
x1 + 2 dan x2 + 2
b.
3x1 dan 3x2
c.
dan
Jawaban: Akar-akar persamaan kuadrat x2 + x – 12 = 0 adalah x1 dan x2, maka x1 + x2 = –1 dan x1 · x2 = –12. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah α dan β. a. α = x1 + 2 dan β = x2 + 2 α + β = x1 + 2 + x2 + 2 = x1 + x2 + 4 = –1 + 4 = 3 α · β = (x1 + 2) (x2 + 2) = x1 · x2 + 2(x1 + x2) + 4 = –12 + 2(–1) + 4 = –10 Persamaan kuadratnya adalah: x2 – 3x – 10 = 0 b. α = 3x1 dan β = 3x2 α + β = 3x1 + 3x2 = 3(x1 + x2) = 3 · (–1) = –3 α · β = 3x1 · 3x2 = 9x1 · x2 = 9 · (–12) = –108 Persamaan kuadratnya adalah: x2 – (–3)x – 108 = 0 ⇔ x2 + 3x – 108 = 0
PG Matematika Kelas X
153
c.
Persamaan kuadratnya adalah:
dan β = + − α+β = + = = = ⋅ − α·β = · = = =– − ⋅
α=
c.
x2 –
x– =0
⇔ 12x2 – x – 1 = 0 ⇔ 12x2 – x – 1 = 0
Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Akar-akarnya Diketahui Mempunyai Hubungan dengan Akar Persamaan Kuadrat Lain
Selesaikanlah soal-soal berikut dengan melengkapi isiannya. 1. Menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya simetri dapat dilakukan dengan metode substitusi. Contoh: Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kurangnya dari akar-akar persamaan 3x2 – 4x + 1 = 0.
Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β dengan α = x1 – . .2. . dan β = x2 – . . 2. ., maka: α + β = . x. 1. – . . .2. . + . . x. 2. .–. . 2. 4 8 x + x = . . 1. . . . .2. – . .4. . = . .3. . – . .4. . = – . .3. . α · β = .x.1 .–. .2. . × .x.2. .–. .2. x · x = . .1 . . . .2. – 2(.x.1. + . . x. 2. .) + . .4. .
Jawaban: Misal akar-akar 3x2 – 4x + 1 = 0 adalah x1 dan x2, serta akar-akar yang baru adalah y1 dan y2, maka:
y1 = x1 – 2 ⇒ x1 = y1 + 2 y2 = x2 – 2 ⇒ x2 = y2 + 2
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kurangnya dari akar-akar persamaan 3x2 – 4x + 1 = 0. Jawaban: Misal akar-akar persamaan 3x2 – 4x + 1 = 0 adalah x1 dan 1 x2, maka: 4 3 3 x1 + x2 = . . . . dan x1 · x2 = . . . .
x=y+2
=.
Substitusikan x = y + 2 ke persamaan kuadrat.
1 3 ..
.–2×.
4 .3.
1
– 4(y + 2) + 1 = 0 3(y + ⇔ 3y2 + 12y + 12 – 4y – 8 + 1 = 0 ⇔ 3y2 + 8y + 5 = 0
⇔
Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah 3x2 + 8x + 5 = 0.
2.
x2
8 .3.
(– )
5 . 3. .
– . . .x + . =0 ––––––––––––––––––– × 3 ..=0 ⇔ . .3. .x2 + . .8. .x + . . 5 Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berlawanan dengan akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 4 = 0. Jawaban: Misal akar-akar persamaan x2 – 5x + 4 = 0 adalah x1 dan x2, maka x1 + x2 = . .5. . dan x1 · x2 = . .4. . Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β dengan α = .–x . . 1. dan β = .–x . .2., maka: (–x ) (–x ) α + β = . . . .1 . + . . . .2. = –(. .x.1 . + .x.2. .) = .–5 ... (–x ) x · x (–x ) 4 α · β = . . . .1 . × . . . .2. = . .1 . . . .2. = . . . . Persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 – (α + β)x + α · β = 0 ⇔ x2 – .(–5) . . . .x + . 4 ...=0 2 5 4 ⇔ x – . . . .x + . . . . = 0
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
5
Persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 – (α + β)x + α · β = 0
2)2
154
8
. + . .4. . = . .3. . – . .3. . + . .4. . = . .3. .
3.
Persamaan kuadrat dengan akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadrat 2x 2 – ax + 2 = 0 adalah 2x2 – 2ax + a + 3 = 0. Tentukan nilai a. Jawaban: Misal akar-akar persamaan 2x2 – ax + 2 = 0 adalah x1 dan a x2, maka x1 + x2 = . .2. . dan x1 · x2 = . .1 . .
Misal akar-akar persamaan 2x2 – 2ax + a + 3 = 0 adalah α a+3 dan β, maka α + β = . .a. . dan α · β = . . 2. . . Diketahui α = . .2. .x1 dan β = . . 2 . .x2, sehingga: a+3
α · β = . .2. . . a+3 2 2 ⇔ . . . .x1 · . . . .x2 = . .2. . . a+3
⇔
. .4. .x1 · x2 = . .2. . .
⇔
. .4. . × . .1. . = . . .2. .
⇔
. .4. . =
⇔
a + 3 = . .8. . a = . .5. .
⇔
a+3
+ 2
Jadi, nilai a = . .5. .
Kerjakanlah soal-soal berikut. 1.
Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + x + 3 = 0 adalah x 1 dan x 2 . Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya: a.
x1 + 3 dan x2 + 3
b.
3+
c.
=
adalah x1 dan x2, maka: x1 + x2 = – dan
x1 · x2 = .
Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β dengan α = x1 + 3 dan β = x2 + 3, maka: α + β = x1 + 3 + x2 + 3 = x1 + x2 + 6 =– +6 = 5
+ 3 · (– ) + 9 = 9
Persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 – (α + β)x + α · β= 0
dan 3 + dan − −
Jawaban: Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + x + 3 = 0
a.
α · β = (x1 + 3) (x2 + 3) = x1 · x2 + 3(x1 + x2) + 9
⇔ ⇔ b.
x2 – 5 x + 9 = 0 –––––––––––––– × 2 2x2 – 11x + 18 = 0
Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β dengan α = 3 + , maka: α+β =3+ +3+
dan β =
3+
=6+
+ + =6+ ⋅
−
=6+
=6–
=5 =
PG Matematika Kelas X
155
Jawaban: Misal akar-akar persamaan 2x2 – 4x + 3 = 0
)(3 + ) + )+ · = 9 + 3( + =9+3· + ⋅ ⋅
α · β = (3 +
−
=9+3·
+
adalah x 1 dan x 2, maka x 1 + x 2 = 2 dan x1 · x2 =
Misal akar-akar persamaan kuadrat baru
adalah α dan β dengan α =
maka:
=9–1+ =8 =
α+β=
Persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 – (α + β)x + α · β= 0 ⇔ ⇔ c.
=
− − +
−
α·β = · − −
=
=
=–
= ⋅ − ⋅ +
Persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 – (α + β)x + α · β = 0 ⇔ x2 – (–
)x + =0
––––––––––––––– × 24 ⇔
24x2 + 13x + 2 = 0
Susunlah persamaan kuadrat yang akarakarnya berkebalikan dengan akar-akar persamaan 2x2 – 4x + 3 = 0.
156
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
+ + = =
⋅
Misal akar-akar persamaan kuadrat baru
− −
dan β = ,
α·β = · = = =
⋅
––––––––––––––– × 3 3x2 – 17x + 26 = 0
adalah α dan β dengan α = dan − β= , maka: − α+β = + − − − + − =
− − + − = ⋅ − + +
2.
=
x+ =0
x2 –
.
Persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 – (α + β)x + α · β = 0 ⇔ ⇔ 3.
=0 x2 – x +
–––––––––––––––– × 3 3x2 – 4x + 2 = 0
Akar-akar dari x2 – 2px + 3q = 0 adalah 2 kurangnya dari akar x2 – 3px + 7q = 0. Carilah nilai p dan q. Jawaban: Misal akar-akar persamaan x2 – 3px + 7q = 0 adalah x1 dan x2, maka x1 + x2 = 3p dan x1 · x2 = 7q. Misal akar-akar persamaan x2 – 2px + 3q = 0 adalah α dan β dengan α + β = 2p dan α · β = 3q. Diketahui α = x1 – 2 dan β = x2 – 2, sehingga: α + β = 2p ⇔ x1 – 2 + x2 – 2 = 2p ⇔ x1 + x2 – 4 = 2p ⇔ 3p – 4 = 2p ⇔ p=4 α · β = 3q ⇔ (x1 – 2)(x2 – 2) = 3q ⇔ x1 · x2 – 2(x1 + x2) + 4 = 3q ⇔ 7q – 2(3p) + 4 = 3q ⇔ 7q – 2 · 12 + 4 = 3q ⇔ 4q = 20 ⇔ q=5 Jadi, nilai p dan q adalah 4 dan 5.
B. Fungsi Kuadrat Ingat kembali kasus Dito dalam melemparkan bola ke dalam keranjang di depan. Ketinggian bola yang dilempar memenuhi rumus h(t) = –1,2t2 + 2,4t + 2 dengan t adalah waktu dalam detik. Bentuk h(t) = –1,2t2 + 2,4t + 2 disebut fungsi kuadrat dengan variabel bebas t. Berikut ini tabel posisi bola (h) pada waktu (t) yang ditentukan. t
0
0,4
0,8
1
1,2
1,6
2
2,4
–1,2t2
0
–0,192
–0,768
–1,2
–1,728
–3,072
–4,8
–6,912
2,4t
0
0,96
1,92
2,4
2,88
3,84
4,8
5,76
2
2
2
2
2
2
2
2
2
h(t)
2
2,768
3,152
3,2
3,152
2,768
2
0,848
Sifat optik parabola: semua sinar datang sejajar sumbu utama (sumbu simetri) dipantulkan ke arah fokus dan sebaliknya sinar datang dari fokus dipantulkan sejajar sumbu utama.
fokus
Dari tabel tersebut dapat digambarkan lintasan bola basket yang dilemparkan Dito seperti berikut.
Apabila parabola tersebut diputar menurut sumbu utamanya maka akan diperoleh suatu bentuk yang banyak digunakan dalam kehidupan. Misalnya pada lampu sorot dan teleskop (teropong bintang).
h 3
2
☞ 1
sumbu utama
Perhatikan gambar parabola di samping. Garis t = 1 merupakan sumbu simetri parabola. Secara matematis, parabola simetri terhadap garis t = 1 karena nilai fungsi h sama untuk t = 1 + a dan t = 1 – a, yaitu h(1 + a) = h(1 – a).
t O
0,4
0,8 1 1,2
1,6
2
2,4
3
Kurva lengkung di atas adalah lintasan bola basket dari dilemparkan sampai jatuh di lantai (asumsi bola tidak mengenai keranjang). Kurva lengkung secara lengkap adalah parabola yang merupakan bentuk geometri dari fungsi kuadrat h(t) = –1,2t2 + 2,4t + 2. Contoh fungsi kuadrat yang lain adalah: 1. f(x) = x2 + 4x – 5 2. g(a) = 6 + a – a2 3. f(t) = 2t2 – 5t 4. g(x) = 4x2 – 9 Bentuk umum fungsi kuadrat dalam x adalah: f(x) = ax2 + bx + c
Apabila a = 0, maka f(x) = bx + c
☞ yaitu menjadi fungsi linear.
dengan a ≠ 0 dan a, b, c bilangan nyata.
PG Matematika Kelas X
157
1. Grafik Fungsi Kuadrat Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. puncak maksimum
☞
sumbu simetri
☞
☞ sumbu simetri
☞ puncak minimum Parabola terbuka ke atas
Parabola terbuka ke bawah
Grafik fungsi tersebut dapat digambarkan dengan bantuan beberapa titik berikut. a.
b. Apa syarat grafik memotong sumbu X bila dikaitkan dengan nilai diskriminannya?
☞ c.
Titik potong dengan sumbu Y Grafik memotong sumbu Y apabila x = 0. f(x) = ax2 + bx + c f(0) = a. (0)2 + b · 0 + c = c Jadi, koordinat titik potong dengan sumbu Y adalah (0, c). Titik potong dengan sumbu X Grafik memotong sumbu X apabila y = f(x) = 0, yaitu ax2 + bx + c = 0. Jika x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, maka titik potong dengan sumbu X adalah (x1, 0) dan (x2, 0). Titik puncak Misal koordinat titik puncaknya adalah (x0, y0). Garis x = x0 disebut sumbu simetri dan y0 disebut nilai puncak (maksimum atau minimum). Jika titik potong dengan sumbu X adalah (x1, 0) dan (x2, 0),
− + maka sumbu simetrinya adalah x = = = – .
Nilai puncak diperoleh dengan mensubstitusikan nilai x=–
ke f(x). Diperoleh rumus:
sumbu simetri
y=–
Y
–
nilai minimum
x2 –
.
Y –
x1
nilai maksimum
X x1
–
sumbu simetri
158
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
x2
X
Agar lebih jelas dalam menggambar grafik, lakukanlah kegiatan berikut.
1.
Buatlah grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x – 5. a. Titik potong dengan sumbu Y x = 0 ⇒ f(0) = (. .0. .)2 – 4 · . .0. . – 5 = . –5 ... Jadi, koordinat titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0, –5 . . . .). b.
c.
Titik potong dengan sumbu X f(x) = 0 ⇒ x2 – 4x – 5 = 0 ⇔ (x – . .5. .)(x + . .1. .) = 0 ⇔ x = . .5. . atau x = . –1 ... Jadi, koordinat titik potongnya dengan sumbu X adalah (. .5. ., 0) dan (. –1 . . ., 0). Titik puncak Dari fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x – 5 diperoleh: a = . .1. ., b = . .–4 . ., c = .–5 ... (–20) 2 . . . – . . . . . . = . 36 ... D = b – 4ac = . 16 x= y=
f(–
) = a(
=
⋅ 1
Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (. .2. ., . –9 . . .). Tentukan letak titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y serta titik puncak yang telah kalian peroleh pada bidang koordinat seperti di samping. Kemudian buatlah sketsa parabola melalui titik-titik tersebut. Bila perlu, tentukan titik bantu yang lain.
+ b(
2
=
b 2
–
4a
–b 2a
)+c
2
–
b
2a
b 2 2a
+c
+c
=
2 2 b − 2b + 4ac
=
2 –b + 4ac
=
2 − b − 4ac
D 4a
=–
Y x=2 7 6
= . . . . atau
− 2 –9 2 = f(2) = (. .2. .) – 4 · . . . . – 5 = . . . .
–b 2 ) 2a
b 2 4a
=a
− –4 4 − = = = . .2. . ⋅ 1 2 − –36 –9
y = f
2.
Lengkapilah penemuan rumus nilai puncak berikut.
(–1, 0)
5 4 3 2 1
–3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9
(5, 0) 1 2 3 4 5 6
X
(0, –5)
(2, –9)
Gambarkan grafik fungsi kuadrat f(x) = 3 – 2x – x2. a. Titik potong dengan sumbu Y x = 0 ⇒ f(0) = 3 – 2 · . .0. . – (. .0. .)2 = . .3. . Jadi, koordinat titik potongnya dengan sumbu Y adalah (. .0. ., . .3. .). b.
Titik potong dengan sumbu X y = 0 ⇒ 3 – 2x – x2 = 0 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ (x + . .3. .)(x – . .1. .) = 0 ⇔ x = .–3 . . . atau x = . .1 . . Jadi, koordinat titik potongnya dengan sumbu X adalah (. .–3 . ., . .0. .) dan (. .1 . ., . .0. .).
PG Matematika Kelas X
159
c.
Titik puncak Dari fungsi kuadrat f(x) = 3 – 2x – x2 diperoleh: a = .–1 . . ., b = .–2 . . ., c = . .3. . 2 D = b – 4ac = . .4. . – .(–12) . . . . = . 16 ... x=
Y
y=
(–1, 4)
2 − − –2 = = = . .–1. . –2 ⋅ –1 –16 − –16
4 3
(0, 3)
=
⋅ –1
=
–4
= . .4. .
− . . .) = 3 – 2 · (. –1 . . .) – (.–1 . . .)2 = f(. –1
atau y = f (–3, 0)
(1, 0)
–4 –3 –2 –1 0
1
2
= . .1 . . + . .4. . – . .3. . = .2. . . Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (. –1 . . ., . .4. .).
X
Dengan menghubungkan titik-titik yang telah diperoleh, gambar sketsa grafiknya seperti gambar di samping.
x=1
Fungsi luas L = 25p – p2 dapat digambarkan sebagai berikut. L
p O
12,5
25
Luasnya maksimum pada saat p = 12,5 cm. Panjangnya semakin besar (lebarnya semakin kecil), tidak mengakibatkan luas yang semakin besar.
3.
Suatu persegi panjang mempunyai keliling 50 cm. Tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut. Jawaban: Rumus keliling persegi panjang: K = 2(p + A). Keliling persegi panjang adalah 50 cm, berarti: 2(p + A) = .50 ... p + A = .25 ... 25 A =....–..p .. Luas persegi panjang: L=p×A 2 = p ×(.25 . . . – . .p. .) = 25p – . p ... Luas merupakan fungsi kuadrat dengan variabel p dan a = .–1 ... b = .25 ... c = . .0. . Lmaks = – =–
−
625 0 625 –1 ⋅ 0 − − ⋅ = – = – –2 = .312,5 ... –1 –2 ⋅
Jadi, luas maksimum adalah . 312,5 . . . . . cm2.
Lakukan diskusi ini secara berkelompok. 1. Perhatikan lagi grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x – 5 dan f(x) = 3 – 2x – x2. 2. Mengapa grafik fungsi f(x) = x2 – 4x – 5 terbuka ke atas dan grafik f(x) = 3 – 2x – x2 terbuka ke bawah? 3. Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut. c. h(x) = 2x2 – 6x a. f(x) = x2 – x – 12 2 b. g(x) = 8x – x d. i(x) = 2 – x – 3x2 Manakah yang grafiknya terbuka ke atas? Manakah yang grafiknya terbuka ke bawah?
160
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
4.
Apakah syarat grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas? Apakah syarat grafik fungsi kuadrat terbuka ke bawah?
Petunjuk guru Setelah siswa dapat menggambarkan grafiknya, tanyakan kaitannya dengan nilai a (koefisien dari x2). Grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas bila a > 0. Grafik fungsi kuadrat terbuka ke bawah bila a < 0.
1. 2.
>0 Syarat grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas adalah a ____. a <0 Syarat grafik fungsi kuadrat terbuka ke bawah adalah ____.
Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut. 1.
f(x) = x2 – x – 2 Jawaban: • Titik potong dengan sumbu Y → (0, –2) • Titik potong dengan sumbu X x2 – x – 2 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1) = 0 ⇔ x = 2 atau x = –1 Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (2, 0) dan (–1, 0). • Titik puncak x=
− − = ⋅
y = f(
f(x) = 2x2 + 2x – 4 Jawaban: • Titik potong dengan sumbu Y → (0, –4) • Titik potong dengan sumbu X 2x2 + 2x – 4 = 0 ⇔ (2x + 4)(x – 1) = 0 ⇔ x = –2 atau x = 1 Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (–2, 0) dan (1, 0). • Titik puncak − =– ⋅ y = f(– ) = 2 · (– )2 + 2 · (– ) – 4 = –4
x=
) = ( )2 – – 2 = –2
Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (
2.
Jadi, koordinat titik puncaknya adalah
, –2 ).
(–
Grafiknya adalah:
, –4 ).
Grafiknya adalah:
Y
Y – –1 –2 –2
2
X
–2
1
X
–4 –4
PG Matematika Kelas X
161
3.
f(x) = 6x – x2 Jawaban: • Titik potong dengan sumbu Y → (0, 0) • Titik potong dengan sumbu X 6x – x2 = 0 ⇔ x(6 – x) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 6 Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (0, 0) dan (6, 0). • Titik puncak x=
− =3 ⋅ −
y = f(3) = 6 · 3 – 32 = 9 Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (3, 9). Grafiknya adalah: Y
•
x=
4.
3
6
3
–
5.
X
f(x) = –2x2 + 4x – 3 Jawaban: • Titik potong dengan sumbu Y → (0, –3) • Titik potong dengan sumbu X –2x2 + 4x – 3 = 0 D = 42 – 4 · (–2) · (–3) = –8 Karena D < 0, maka grafik tidak memotong sumbu X. • Titik puncak − =1 ⋅ − − − y= = –1 ⋅ −
x=
X
f(x) = –x2 + 3 Jawaban: • Titik potong dengan sumbu Y → (0, 3) • Titik potong dengan sumbu X –x2 + 3 = 0 ⇔ x2 – 3 = 0 ⇔
− =0 ⋅ −
y = f(0) = (0)2 + 3 = 3 Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (0, 3). Y Grafiknya adalah:
9
0
Titik puncak
Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (1, –1). Grafiknya adalah: Y
1
(x + )(x – ) = 0
X
–1
⇔ x = – atau x = Jadi, titik potongnya dengan sumbu X
–3
adalah (– , 0) dan ( , 0).
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan tepat. 1.
Sebuah benda dilemparkan dari permukaan bumi dengan kecepatan awal 100 m/detik. Setelah t detik, benda tersebut mencapai ketinggian 100t – 5t2 meter. Tentukan tinggi maksimum yang dicapai benda tersebut. Jawaban: Misal ketinggian yang dicapai h(t), maka h(t) = 100t – 5t2. Tinggi maksimum dicapai pada: t=
162
− = = 10 ⋅ −
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
h(10) = 100 · 10 – 5 · (10)2 = 1.000 – 500 = 500 m. Jadi, ketinggian maksimum benda tersebut adalah 500 meter. 2.
Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek (3x – 900 +
) ratus ribu rupiah per
hari. Agar biaya proyek minimum, berapa hari proyek tersebut harus diselesaikan?
Jawaban: Biaya proyek selama x hari: B(x) = x(3x – 900 +
)
= 3x2 – 900x + 120 Biaya minimum jika: x = –
− = 150
Jadi, agar biayanya minimum, proyek harus diselesaikan dalam 150 hari. 3.
a.
Tentukan rumus fungsi g yang menyatakan jumlah luas persegi itu. b. Tentukan jumlah luas maksimum/minimum kedua persegi dan ukuran potongan kedua tali tersebut. Jawaban: a. Tali dipotong menjadi 2 bagian misal x meter dan (100 – x) meter. Pada persegi pertama. Keliling = panjang tali = x
Selisih dua bilangan adalah 4p. Tentukan nilai terkecil dari hasil perkalian dua bilangan tersebut.
Pada persegi kedua. Keliling = panjang tali = 100 – x Panjang sisi persegi (s2) = Luas (L2) = [
− = –2p ⋅
(–2p)2
+ 4p(–2p) Fmin = 2 = 4p – 8p2 = –4p2 Jadi, nilai terkecilnya adalah –4p2. 4.
Suatu persegi dengan lebar x cm dan panjang (50 – x) cm. Tentukan ukurannya agar luasnya maksimum. Jawaban: Luas persegi panjang = panjang × lebar L(x) = (50 – x) × x L(x) = 50x – x2 Luas maksimum dicapai pada − − = ⋅ − = 25 x=
Jadi, lebar persegi panjang adalah 25 cm dan panjangnya (50 – 25) = 25 cm. 5.
Tali dengan panjang 100 m dipotong menjadi 2 bagian. Potongan tali masing-masing dibuat persegi.
2 2 x) = x
Luas (L1) = (
Jawaban: Misal 2 bilangan itu adalah a dan b. a – b= 4p ⇔ a = b + 4p Misal F merupakan hasil kali kedua bilangan. F = a × b = (b + 4p) × b = b2 + 4pb Nilai terkecil dicapai pada b=
x
Panjang sisi persegi (s1) =
(100 – x)
(100 – x)]2
=
(10.000 – 200x + x2)
=
2 x – x + 625
Jumlah luas kedua persegi: g(x) = L1 + L2 =
2 2 x + x – x + 625
=
2 x – x + 625 −
b.
−
− x= = = 50 ⋅
g(50) =
(50)2 – (50) + 625
= 312,5 Jadi, jumlah luas minimum 312,5 m2 dengan potongan tali masing-masing 50 m dan (100 – 50) m = 50 m.
PG Matematika Kelas X
163
2. Syarat Fungsi Kuadrat Definit Positif dan Negatif
1.
Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut. a. f(x) = x2 – 8x + 12 b. g(x) = x2 – 8x + 16 c. h(x) = x2 – 8x + 20
2.
Tentukan nilai diskriminan, yaitu D = b2 – 4ac, dari masingmasing fungsi kuadrat pada nomor 1.
3.
Lakukan kegiatan pada nomor 1 dan 2 terhadap fungsi kuadrat berikut. a. p(x) = –x2 + 6x – 5 b. q(x) = –x2 + 6x – 9 c. r(x) = –x2 + 6x – 13
4.
Amatilah hubungan antara nilai diskriminan (D) dan perpotongan grafik fungsi kuadrat dengan sumbu X. Kesimpulan apa yang kalian peroleh?
Dari praktikum dapat disimpulkan bahwa: 1. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik bila D > 0 ______. 2. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di satu titik bila D = 0 ______. D < 0 3. Grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X bila ______.
Diskusikan bersama teman sebangkumu. Gambarlah sketsa hubungan grafik fungsi kuadrat dengan sumbu X pada kotak-kotak yang tersedia berikut ini. Bentuk Parabola D>0
a>0
x1
D=0
D<0
x2 sumbu X sumbu X x1 = x2
164
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
sumbu X
Bentuk Parabola D>0
D=0
D<0
x1 = x2 sumbu X
sumbu X
a<0
x1
x2
sumbu X
Perhatikan hasil diskusimu. Khusus D < 0, grafik seluruhnya akan berada di atas sumbu X (terbuka ke atas) atau grafik seluruhnya berada di bawah sumbu X (terbuka ke bawah). Fungsi kuadrat yang seluruh grafiknya berada di atas sumbu X disebut fungsi kuadrat definit positif. Sebaliknya, fungsi kuadrat yang seluruh grafiknya berada di bawah sumbu X disebut fungsi kuadrat definit negatif.
negatif Syarat fungsi kuadrat definit adalah nilai D _______. positif negatif dan a _______. Syarat fungsi kuadrat definit positif adalah nilai D _______ negatif dan a _______. negatif Syarat fungsi kuadrat definit negatif adalah nilai D _______
Agar dapat membedakan fungsi yang definit positif dan negatif lengkapilah isian berikut.
1.
2.
3.
Fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 5. a = . .1 . . . . . – .20 . . . = . –4 ... D = (.–4 . . .)2 – 4 · . .1. . · . .5. . = .16 negatif positif Nilai a . . . . . . . . dan D . . . . . . . . . ...... Jadi, fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 5 definit . .positif 2 Diberikan fungsi kuadrat g(x) = –x + 10x – 30. a = .–1 ... D = .10 . .2 . – 4 · .–1 . . . · . –30 . . . . = . 100 . . . . – .120 . . . . = . –20 .... negatif Nilai a negatif . . . . . . . . dan D . . . . . . . . . ........ Jadi, fungsi kuadrat g(x) = –x2 + 10x – 30 definit . negatif Diberikan fungsi kuadrat h(x) = x2 – 4x – 5. a = . .1. . . . .) = . 16 . . . + . 20 . . . = . .36 .. D = (.–4 . . .)2 – 4 · . . 1. . · (.–5 Nilai D .positif ....... . . . . . .definit ....... Jadi, fungsi kuadrat h(x) = x2 – 4x – 5 . .tidak
Akan dibuat fungsi kuadrat berbentuk y = x2 + bx + c dengan b dan c anggota himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Berapa banyak fungsi kuadrat definit positif yang dapat dibuat? Jawaban: a = 1 bernilai positif Syarat definit: D < 0 b2 – 4ac < 0 b2 < 4c c = 1 → b = 1 (1 fungsi) c = 2 → b = 1, 2 (2 fungsi) c = 3 → b = 1, 2, 3 (3 fungsi) c = 4 → b = 1, 2, 3 (3 fungsi) c = 5 → b = 1, 2, 3, 4 (4 fungsi) c = 6 → b = 1, 2, 3, 4 (4 fungsi) Jadi, dapat disusun 17 fungsi yang definit positif.
PG Matematika Kelas X
165
− + − − dan x2 = , dengan D = b2 – 4ac.
1.
x1 + x2 = (
− + − − )+( )
x1 · x2 = ( = =
− + − −
–b + D –b − D )·( )=
b 2 − D
=
b 2 − b 2 −
b2 − b 2 + 4ac
=
4ac
b.
–b –b + D −b − D –2b = = = a
2.
Bila akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2, tentukan: a. x1 – x2
=
Jawaban: x1 =
− +
dan x2 =
a. x1 – x2 = b.
− −
− + = − −
c a
Selanjutnya, coba kalian diskusikan syarat-syarat yang harus dipenuhi oleh suatu persamaan kuadrat supaya kedua akarnya mempunyai sifat khusus yang sudah ditentukan.
1. 2.
Lakukan diskusi ini dengan kelompokmu. Lengkapilah tabel berikut untuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan akar-akar x1 dan x2. No.
Akar-Akar
1.
Kedua akar nyata positif: x1 positif dan x2 positif
D>0 > 0 x1 · x2 ___ > 0 x1 + x2 ___
2.
Kedua akar nyata negatif: x1 negatif dan x2 negatif
> 0 D ___ < 0 x1 · x2 ___ x1 + x2 ___ > 0
3.
Kedua akar nyata berlawanan tanda: x1 positif dan x2 negatif atau x1 negatif dan x2 positif
> 0 D ___ < x1 · x2 ___0
4.
Kedua akar nyata berlawanan: x1 = –x2
> 0 D ___ 0 0 → b = ___ x1 + x2 = ___
5.
Kedua akar nyata berkebalikan:
> 0 D ___ 1 → a = ___ c x1 · x2 = ___
x1 = 6.
7.
3.
Syarat
Kedua akarnya sama: x1 = x2 Salah satu akarnya nol: x1 = 0
= 0 D ___ x1 = x2 = –
b 2a
> 0 D ___ 0 c = ___
Sampaikan hasil diskusi kelompokmu di depan kelas untuk dibahas bersama. PG Matematika Kelas X
147
Ayo, kita mantapkan dengan melengkapi yang berikut ini. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, tunjukkan bahwa: a.
α2
+
β2
1.
−
=
b. (α – β)2 =
−
a.
x1 + x2 dan x1 · x2
b.
x12 + x22
Jawaban: a. α2 + β2 = (α + β)2 – 2αβ
−
=– –7 = 1 x1 · x2 =
x1 + x2 = –
b. (α – β)2 =
= =
−
b.
c.
2.
Apabila akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah α dan β, maka: = (α + β)2 – 2αβ = (α + β)(α – β) = (α + β)3 – 3αβ(α + β) = (α – β)3 + 3αβ(α – β)
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
3 = . .3. . 1
= . –7 ...
+ + = ⋅ –3 3 = –7 7
Salah satu akar persamaan kuadrat x2 – 12x – m = 0 adalah tiga kali akar yang lain. Tentukan nilai m. Jawaban: Misal akar-akar persamaan x2 – 12x – m = 0 adalah x1 dan x2. Diketahui x1 = . .3. .x2 i) x1 + x2 = . 12 ... ⇔ . .3. .x2 + x2 = . 12 ... ⇔
... . .4. .x2 = . 12
⇔
x2 =
12 = . .3. . 4
x1 = . .3. .x2 = . .3. . × . .3. . = . .9. . ii) x1 · x2 = –m ⇔ . .9. . × . .3. . = –m ⇔ . 27 . . . = –m ⇔ m = . –27 .... Jadi, nilai m adalah . –27 .... 3.
148
+
x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1 · x2 2 = .(–3) . . . . . – 2 · .(–7) .... 9 14 = . . . . + . . . . = . 23 ...
=
α2 + β2 α2 – β2 α3 + β3 α3 – β3
c.
Jawaban: a. Dari persamaan x2 + 3x – 7 = 0 diperoleh: a = 1; b = 3; dan c = –7
= –
=
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 7 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukanlah nilai:
Tentukan nilai p agar akar-akar p(x 2 – x + 2) = x + 1 berlawanan. Jawaban: p(x2 – x + 2) = x + 1 . . . + . 2p . . . – . .x. . – . .1 . . = 0 ⇔ px2 – . px ...– . . 1. . = 0 ⇔ px2 – (. .p. . + . .1 . .)x + .2p
Misal akar-akar persamaannya adalah x1 dan x2. Karena berlawanan, maka x1 + x2 = . .0. . x1 + x2 = . .0. . ⇔
+ = . .0. . p
⇔ p + 1 = . .0. . ⇔ p = .–1 ... Jadi, nilai p adalah . –1 ...
Kerjakan sesuai perintah. 1.
Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat berikut. a. x2 + 3x – 10 = 0 b. 3x2 – 5x + 2 = 0 c. px2 – 5x – 3 = 0 Jawaban: a. x2 + 3x – 10 = 0 x1 + x2 = –3 x1 · x2 = –10 b. 3x2 – 5x + 2 = 0
3.
Akar-akar dari x 2 – 5x – m = 0 adalah x1 dan x2. Tentukan nilai m, jika: a. x1 : x2 = 2 : 3 b. x1 + 4x2 = 14 Jawaban: Dari persamaan x2 – 5x – m = 0 diperoleh x1 + x2 = 5 dan x1 · x2 = –m. a. x1 : x2 = 2 : 3
= → x2 = x1
x1 · x2 =
•
x1 + x2 =
c.
px2 – 5x – 3 = 0
− x1 · x2 = Hitunglah nilai + , bila x1 dan x2 adalah
x1 + x2 =
2.
+ + = ⋅
=
+ − ⋅ ⋅
− − ⋅ − − + = = –11 −
=
x =5 1
⇔
x1 +
⇔
x =5 1
⇔
x1 = 2
⇔
x2 =
x = ·2=3 1
x1 · x2 = –m ⇔ 2 · 3 = –m ⇔ m = –6 Jadi, nilai m adalah –6. • x1 + 4x2 = 14 x1 + x2 + 3x2 = 14 ⇔ 5 + 3x2 = 14 ⇔ 3x2 = 9 ⇔ x2 = 3 x1 + 4 · 3 = 14 ⇔ x1 = 14 – 12 = 2 • x1 · x2 = –m ⇔ 3 · 2 = –m ⇔ m = –6 Jadi, nilai m adalah –6.
•
akar-akar persamaan x2 + 3x – 1 = 0. Jawaban: x1 + x2 = –3 dan x1 · x2 = –1
x1 + x2 = 5
b.
PG Matematika Kelas X
149
4.
5.
Tentukan nilai a jika jumlah kebalikan akarakar persamaan kuadrat 3x2 – (a + 3)x + 6 = 0 adalah 2. Jawaban: Misal akar-akar persamaan kuadrat 3x2 – (a + 3)x + 6 = 0 adalah x1 dan x2, maka + dan x1 · x2 = 2.
Diketahui + = 2. + + = ⋅ + ⇔ 2=
x1 + x2 =
⇔ a + 3 = 12 ⇔ a = 12 – 3 = 9 Jadi, nilai a adalah 9.
Jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan x2 – 2x + b = 0 adalah 38. Tentukan nilai b. Jawaban: Misal akar-akar persamaan x2 – 2x + b = 0 adalah x 1 dan x 2, maka x 1 + x 2 = 2 dan x1 · x2 = b. Diketahui x13 + x23 = 38. x13 + x23= (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) 38 = (2)3 – 3 · b · 2 38 = 8 – 6b 6b = –30 b = –5 Jadi, nilai b adalah –5.
4. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Akar-akarnya Memenuhi Kondisi Tertentu Suatu persamaan kuadrat dapat disusun apabila akar-akarnya diketahui. Terdapat 3 cara penyusunan persamaan kuadrat sebagai berikut. a.
Menggunakan Perkalian Faktor Jika akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 adalah x1 dan x2, maka: ax2 + bx + c = 0
⇔ ⇔
dengan x1 + x2 = –
x2 +
x+ =0
(x – x1)(x – x2) = 0
dan x1 · x2 = .
Dengan menggunakan perkalian faktor, persamaan kuadrat yang (x – x1)(x – x2) = 0 akar-akarnya x dan x adalah ___________________. 1
150
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
2
Ayo, kita berlatih menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor. 1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 dan 3. Jawaban: x1 = 2 dan x2 = 3 Persamaan kuadratnya adalah (x – x1)(x – x2) = 0 ⇔ (x – . 2 . . )(x – . 3. . ) = 0 . . . + .6 ..=0 ⇔ x2 – 5x 2.
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya a +
dan a – . Jawaban: . x1 = .a. . +. . . .2. dan x2 = . .a. .–. . . 2 Persamaan kuadratnya adalah: (x – x1)(x – x2) = 0 ⇔ (x – (a . . .+. . . .2. ).)(x – .(a . . .–. . . 2. .).) = 0 . . . .2 . .)x – (.a– . . . .2.)x + (.a+ . . . .2.)(.a.–. . .2.) = 0 ⇔ x2 – (. a+ 2 . . .x + .a. . .–. .2. . = 0 ⇔ x2 – . 2a
Selesaikanlah soal-soal berikut. 1.
Susunlah persamaan kuadrat yang akarakarnya: a. –3a dan –7a 3 + dan 3 –
c.
a + b dan a – b
Jawaban: a. x1 = –3a dan x2 = –7a Persamaan kuadratnya adalah: (x – (–3a))(x – (–7a)) = 0 ⇔ (x + 3a)(x + 7a) = 0 ⇔ x2 + 10ax + 21a2 = 0 x1 = 3 + dan x2 = 3 – Persamaan kuadratnya adalah: (x – (3 + ))(x – (3 – )) = 0 ⇔
x2
– (3 + )x – (3 –
)x
⇔ x2 – (a + b )x – (a – b )x + (a + b )(a – b ) = 0 ⇔ x2 – a x – b x – a x + b x + 2a2 – 3b2 = 0 ⇔ x2 – 2ax + 2a2 – 3b2 = 0 2.
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + x – 12 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukan nilai x1 dan x2, kemudian susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya: a.
x1 + 2 dan x2 + 2
b.
3x1 dan 3x2
c.
dan
+ (3 + )(3 – ) = 0 ⇔ ⇔
x1 = a + b dan x2 = a – b Persamaan kuadratnya adalah: (x – (a + b ))(x – (a – b )) = 0
b.
b.
c.
x2 – 3x – x – 3x + x + 9 – 5 = 0 x2 – 6x + 4 = 0
PG Matematika Kelas X
151
Jawaban: x2 + x – 12 = 0 ⇔ (x + 4)(x – 3) = 0 ⇔ x = –4 atau x = 3 Diperoleh x1 = –4 dan x2 = 3. a. α = x1 + 2 = –4 + 2 = –2 β = x2 + 2 = 3 + 2 = 5 Persamaan kuadratnya adalah: (x – α)(x – β) = 0 ⇔ (x + 2)(x – 5) = 0 ⇔ x2 – 3x – 10 = 0 b.
c.
= =– −
β=
=
Persamaan kuadratnya adalah: (x – α)(x – β) = 0
α = 3x1 = 3(–4) = –12 β = 3x2 = 3 · 3 = 9 Persamaan kuadratnya adalah: (x – α)(x – β) = 0 ⇔ (x + 12)(x – 9) = 0 ⇔ x2 + 3x – 108 = 0
b.
α=
⇔ (x +
)(x – ) = 0
⇔ x2 –
x– =0
⇔ 12x2 – x – 1 = 0
Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 adalah: (x – x1)(x – x2) = 0 ⇔ x2 – x2x – x1x + x1x2 = 0 ⇔ x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0
Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali, persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 dan x2 dapat dicari dengan rumus 2 – (x + x )x + x · x = 0 x_________________________. 1 2 1 2
Ayo, kita mantapkan dengan melengkapi yang berikut.
1.
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya –3 dan 8. Jawaban: x1 = –3 dan x2 = 8 x + x = .–3 . . . + . .8. . = . .5. . 1
2
x1 · x2 = .–3 . . . × . .8. . = .–24 ... Persamaan kuadratnya adalah: x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0 ...=0 x2 – . .5. .x – .24
152
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
2.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 + dan 5– . Jawaban: x1 = 5 + dan x2 = 5 – x1 + x2 = .5. .+. . . 3. . + . .5. .–. . . 3. = . . .10 . (5 + 3 ) (5 – 3 ) x1 · x2 = . . . . . . . . . . × . . . . . . . . . . = . 25 . . . – . .3. . = . 22 ... Persamaan kuadratnya adalah: x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0 x2 – . 10 . . .x + . 22 ...=0
Kerjakanlah dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya. 1.
Susunlah persamaan kuadrat yang akarakarnya: a. –3a dan –7a b. 3 + dan 3 – c. a + b dan a – b Jawaban: a. x1 = –3a dan x2 = –7a x1 + x2 = –3a + (–7a) = –10a x1 · x2 = –3a × (–7a) = 21a2 Persamaan kuadratnya adalah: x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0 ⇔ x2 – (–10a)x + 21a2 = 0 ⇔ x2 + 10ax + 21a2 = 0 b. x1 = 3 + dan x2 = 3 – x1 + x2 = 3 + + 3 – = 6
c.
x1 · x2 = (3 + )(3 – ) = 9 – 5 = 4 Persamaan kuadratnya adalah: x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0 x2 – 6x + 4 = 0 x1 = a + b dan x2 = a – b x1 + x2 = a + b + a – b = 2a x1 · x2 = (a + b )(a – b ) = 2a2 – 3b2 Persamaan kuadratnya adalah: x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2 = 0 x2 – 2a x + 2a2 – 3b2 = 0
2.
Akar-akar persamaan kuadrat x2 + x – 12 = 0 adalah x1 dan x2. Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya: a.
x1 + 2 dan x2 + 2
b.
3x1 dan 3x2
c.
dan
Jawaban: Akar-akar persamaan kuadrat x2 + x – 12 = 0 adalah x1 dan x2, maka x1 + x2 = –1 dan x1 · x2 = –12. Misalkan akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah α dan β. a. α = x1 + 2 dan β = x2 + 2 α + β = x1 + 2 + x2 + 2 = x1 + x2 + 4 = –1 + 4 = 3 α · β = (x1 + 2) (x2 + 2) = x1 · x2 + 2(x1 + x2) + 4 = –12 + 2(–1) + 4 = –10 Persamaan kuadratnya adalah: x2 – 3x – 10 = 0 b. α = 3x1 dan β = 3x2 α + β = 3x1 + 3x2 = 3(x1 + x2) = 3 · (–1) = –3 α · β = 3x1 · 3x2 = 9x1 · x2 = 9 · (–12) = –108 Persamaan kuadratnya adalah: x2 – (–3)x – 108 = 0 ⇔ x2 + 3x – 108 = 0
PG Matematika Kelas X
153
c.
Persamaan kuadratnya adalah:
dan β = + − α+β = + = = = ⋅ − α·β = · = = =– − ⋅
α=
c.
x2 –
x– =0
⇔ 12x2 – x – 1 = 0 ⇔ 12x2 – x – 1 = 0
Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Akar-akarnya Diketahui Mempunyai Hubungan dengan Akar Persamaan Kuadrat Lain
Selesaikanlah soal-soal berikut dengan melengkapi isiannya. 1. Menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya simetri dapat dilakukan dengan metode substitusi. Contoh: Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kurangnya dari akar-akar persamaan 3x2 – 4x + 1 = 0.
Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β dengan α = x1 – . .2. . dan β = x2 – . . 2. ., maka: α + β = . x. 1. – . . .2. . + . . x. 2. .–. . 2. 4 8 x + x = . . 1. . . . .2. – . .4. . = . .3. . – . .4. . = – . .3. . α · β = .x.1 .–. .2. . × .x.2. .–. .2. x · x = . .1 . . . .2. – 2(.x.1. + . . x. 2. .) + . .4. .
Jawaban: Misal akar-akar 3x2 – 4x + 1 = 0 adalah x1 dan x2, serta akar-akar yang baru adalah y1 dan y2, maka:
y1 = x1 – 2 ⇒ x1 = y1 + 2 y2 = x2 – 2 ⇒ x2 = y2 + 2
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 kurangnya dari akar-akar persamaan 3x2 – 4x + 1 = 0. Jawaban: Misal akar-akar persamaan 3x2 – 4x + 1 = 0 adalah x1 dan 1 x2, maka: 4 3 3 x1 + x2 = . . . . dan x1 · x2 = . . . .
x=y+2
=.
Substitusikan x = y + 2 ke persamaan kuadrat.
1 3 ..
.–2×.
4 .3.
1
– 4(y + 2) + 1 = 0 3(y + ⇔ 3y2 + 12y + 12 – 4y – 8 + 1 = 0 ⇔ 3y2 + 8y + 5 = 0
⇔
Jadi, persamaan kuadrat yang dimaksud adalah 3x2 + 8x + 5 = 0.
2.
x2
8 .3.
(– )
5 . 3. .
– . . .x + . =0 ––––––––––––––––––– × 3 ..=0 ⇔ . .3. .x2 + . .8. .x + . . 5 Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya berlawanan dengan akar-akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 4 = 0. Jawaban: Misal akar-akar persamaan x2 – 5x + 4 = 0 adalah x1 dan x2, maka x1 + x2 = . .5. . dan x1 · x2 = . .4. . Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β dengan α = .–x . . 1. dan β = .–x . .2., maka: (–x ) (–x ) α + β = . . . .1 . + . . . .2. = –(. .x.1 . + .x.2. .) = .–5 ... (–x ) x · x (–x ) 4 α · β = . . . .1 . × . . . .2. = . .1 . . . .2. = . . . . Persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 – (α + β)x + α · β = 0 ⇔ x2 – .(–5) . . . .x + . 4 ...=0 2 5 4 ⇔ x – . . . .x + . . . . = 0
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
5
Persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 – (α + β)x + α · β = 0
2)2
154
8
. + . .4. . = . .3. . – . .3. . + . .4. . = . .3. .
3.
Persamaan kuadrat dengan akar-akarnya dua kali akar-akar persamaan kuadrat 2x 2 – ax + 2 = 0 adalah 2x2 – 2ax + a + 3 = 0. Tentukan nilai a. Jawaban: Misal akar-akar persamaan 2x2 – ax + 2 = 0 adalah x1 dan a x2, maka x1 + x2 = . .2. . dan x1 · x2 = . .1 . .
Misal akar-akar persamaan 2x2 – 2ax + a + 3 = 0 adalah α a+3 dan β, maka α + β = . .a. . dan α · β = . . 2. . . Diketahui α = . .2. .x1 dan β = . . 2 . .x2, sehingga: a+3
α · β = . .2. . . a+3 2 2 ⇔ . . . .x1 · . . . .x2 = . .2. . . a+3
⇔
. .4. .x1 · x2 = . .2. . .
⇔
. .4. . × . .1. . = . . .2. .
⇔
. .4. . =
⇔
a + 3 = . .8. . a = . .5. .
⇔
a+3
+ 2
Jadi, nilai a = . .5. .
Kerjakanlah soal-soal berikut. 1.
Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + x + 3 = 0 adalah x 1 dan x 2 . Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya: a.
x1 + 3 dan x2 + 3
b.
3+
c.
=
adalah x1 dan x2, maka: x1 + x2 = – dan
x1 · x2 = .
Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β dengan α = x1 + 3 dan β = x2 + 3, maka: α + β = x1 + 3 + x2 + 3 = x1 + x2 + 6 =– +6 = 5
+ 3 · (– ) + 9 = 9
Persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 – (α + β)x + α · β= 0
dan 3 + dan − −
Jawaban: Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + x + 3 = 0
a.
α · β = (x1 + 3) (x2 + 3) = x1 · x2 + 3(x1 + x2) + 9
⇔ ⇔ b.
x2 – 5 x + 9 = 0 –––––––––––––– × 2 2x2 – 11x + 18 = 0
Misal akar-akar persamaan kuadrat baru adalah α dan β dengan α = 3 + , maka: α+β =3+ +3+
dan β =
3+
=6+
+ + =6+ ⋅
−
=6+
=6–
=5 =
PG Matematika Kelas X
155
Jawaban: Misal akar-akar persamaan 2x2 – 4x + 3 = 0
)(3 + ) + )+ · = 9 + 3( + =9+3· + ⋅ ⋅
α · β = (3 +
−
=9+3·
+
adalah x 1 dan x 2, maka x 1 + x 2 = 2 dan x1 · x2 =
Misal akar-akar persamaan kuadrat baru
adalah α dan β dengan α =
maka:
=9–1+ =8 =
α+β=
Persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 – (α + β)x + α · β= 0 ⇔ ⇔ c.
=
− − +
−
α·β = · − −
=
=
=–
= ⋅ − ⋅ +
Persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 – (α + β)x + α · β = 0 ⇔ x2 – (–
)x + =0
––––––––––––––– × 24 ⇔
24x2 + 13x + 2 = 0
Susunlah persamaan kuadrat yang akarakarnya berkebalikan dengan akar-akar persamaan 2x2 – 4x + 3 = 0.
156
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
+ + = =
⋅
Misal akar-akar persamaan kuadrat baru
− −
dan β = ,
α·β = · = = =
⋅
––––––––––––––– × 3 3x2 – 17x + 26 = 0
adalah α dan β dengan α = dan − β= , maka: − α+β = + − − − + − =
− − + − = ⋅ − + +
2.
=
x+ =0
x2 –
.
Persamaan kuadrat yang baru adalah: x2 – (α + β)x + α · β = 0 ⇔ ⇔ 3.
=0 x2 – x +
–––––––––––––––– × 3 3x2 – 4x + 2 = 0
Akar-akar dari x2 – 2px + 3q = 0 adalah 2 kurangnya dari akar x2 – 3px + 7q = 0. Carilah nilai p dan q. Jawaban: Misal akar-akar persamaan x2 – 3px + 7q = 0 adalah x1 dan x2, maka x1 + x2 = 3p dan x1 · x2 = 7q. Misal akar-akar persamaan x2 – 2px + 3q = 0 adalah α dan β dengan α + β = 2p dan α · β = 3q. Diketahui α = x1 – 2 dan β = x2 – 2, sehingga: α + β = 2p ⇔ x1 – 2 + x2 – 2 = 2p ⇔ x1 + x2 – 4 = 2p ⇔ 3p – 4 = 2p ⇔ p=4 α · β = 3q ⇔ (x1 – 2)(x2 – 2) = 3q ⇔ x1 · x2 – 2(x1 + x2) + 4 = 3q ⇔ 7q – 2(3p) + 4 = 3q ⇔ 7q – 2 · 12 + 4 = 3q ⇔ 4q = 20 ⇔ q=5 Jadi, nilai p dan q adalah 4 dan 5.
B. Fungsi Kuadrat Ingat kembali kasus Dito dalam melemparkan bola ke dalam keranjang di depan. Ketinggian bola yang dilempar memenuhi rumus h(t) = –1,2t2 + 2,4t + 2 dengan t adalah waktu dalam detik. Bentuk h(t) = –1,2t2 + 2,4t + 2 disebut fungsi kuadrat dengan variabel bebas t. Berikut ini tabel posisi bola (h) pada waktu (t) yang ditentukan. t
0
0,4
0,8
1
1,2
1,6
2
2,4
–1,2t2
0
–0,192
–0,768
–1,2
–1,728
–3,072
–4,8
–6,912
2,4t
0
0,96
1,92
2,4
2,88
3,84
4,8
5,76
2
2
2
2
2
2
2
2
2
h(t)
2
2,768
3,152
3,2
3,152
2,768
2
0,848
Sifat optik parabola: semua sinar datang sejajar sumbu utama (sumbu simetri) dipantulkan ke arah fokus dan sebaliknya sinar datang dari fokus dipantulkan sejajar sumbu utama.
fokus
Dari tabel tersebut dapat digambarkan lintasan bola basket yang dilemparkan Dito seperti berikut.
Apabila parabola tersebut diputar menurut sumbu utamanya maka akan diperoleh suatu bentuk yang banyak digunakan dalam kehidupan. Misalnya pada lampu sorot dan teleskop (teropong bintang).
h 3
2
☞ 1
sumbu utama
Perhatikan gambar parabola di samping. Garis t = 1 merupakan sumbu simetri parabola. Secara matematis, parabola simetri terhadap garis t = 1 karena nilai fungsi h sama untuk t = 1 + a dan t = 1 – a, yaitu h(1 + a) = h(1 – a).
t O
0,4
0,8 1 1,2
1,6
2
2,4
3
Kurva lengkung di atas adalah lintasan bola basket dari dilemparkan sampai jatuh di lantai (asumsi bola tidak mengenai keranjang). Kurva lengkung secara lengkap adalah parabola yang merupakan bentuk geometri dari fungsi kuadrat h(t) = –1,2t2 + 2,4t + 2. Contoh fungsi kuadrat yang lain adalah: 1. f(x) = x2 + 4x – 5 2. g(a) = 6 + a – a2 3. f(t) = 2t2 – 5t 4. g(x) = 4x2 – 9 Bentuk umum fungsi kuadrat dalam x adalah: f(x) = ax2 + bx + c
Apabila a = 0, maka f(x) = bx + c
☞ yaitu menjadi fungsi linear.
dengan a ≠ 0 dan a, b, c bilangan nyata.
PG Matematika Kelas X
157
1. Grafik Fungsi Kuadrat Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. puncak maksimum
☞
sumbu simetri
☞
☞ sumbu simetri
☞ puncak minimum Parabola terbuka ke atas
Parabola terbuka ke bawah
Grafik fungsi tersebut dapat digambarkan dengan bantuan beberapa titik berikut. a.
b. Apa syarat grafik memotong sumbu X bila dikaitkan dengan nilai diskriminannya?
☞ c.
Titik potong dengan sumbu Y Grafik memotong sumbu Y apabila x = 0. f(x) = ax2 + bx + c f(0) = a. (0)2 + b · 0 + c = c Jadi, koordinat titik potong dengan sumbu Y adalah (0, c). Titik potong dengan sumbu X Grafik memotong sumbu X apabila y = f(x) = 0, yaitu ax2 + bx + c = 0. Jika x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan kuadrat tersebut, maka titik potong dengan sumbu X adalah (x1, 0) dan (x2, 0). Titik puncak Misal koordinat titik puncaknya adalah (x0, y0). Garis x = x0 disebut sumbu simetri dan y0 disebut nilai puncak (maksimum atau minimum). Jika titik potong dengan sumbu X adalah (x1, 0) dan (x2, 0),
− + maka sumbu simetrinya adalah x = = = – .
Nilai puncak diperoleh dengan mensubstitusikan nilai x=–
ke f(x). Diperoleh rumus:
sumbu simetri
y=–
Y
–
nilai minimum
x2 –
.
Y –
x1
nilai maksimum
X x1
–
sumbu simetri
158
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
x2
X
Agar lebih jelas dalam menggambar grafik, lakukanlah kegiatan berikut.
1.
Buatlah grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x – 5. a. Titik potong dengan sumbu Y x = 0 ⇒ f(0) = (. .0. .)2 – 4 · . .0. . – 5 = . –5 ... Jadi, koordinat titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0, –5 . . . .). b.
c.
Titik potong dengan sumbu X f(x) = 0 ⇒ x2 – 4x – 5 = 0 ⇔ (x – . .5. .)(x + . .1. .) = 0 ⇔ x = . .5. . atau x = . –1 ... Jadi, koordinat titik potongnya dengan sumbu X adalah (. .5. ., 0) dan (. –1 . . ., 0). Titik puncak Dari fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x – 5 diperoleh: a = . .1. ., b = . .–4 . ., c = .–5 ... (–20) 2 . . . – . . . . . . = . 36 ... D = b – 4ac = . 16 x= y=
f(–
) = a(
=
⋅ 1
Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (. .2. ., . –9 . . .). Tentukan letak titik potong dengan sumbu X dan sumbu Y serta titik puncak yang telah kalian peroleh pada bidang koordinat seperti di samping. Kemudian buatlah sketsa parabola melalui titik-titik tersebut. Bila perlu, tentukan titik bantu yang lain.
+ b(
2
=
b 2
–
4a
–b 2a
)+c
2
–
b
2a
b 2 2a
+c
+c
=
2 2 b − 2b + 4ac
=
2 –b + 4ac
=
2 − b − 4ac
D 4a
=–
Y x=2 7 6
= . . . . atau
− 2 –9 2 = f(2) = (. .2. .) – 4 · . . . . – 5 = . . . .
–b 2 ) 2a
b 2 4a
=a
− –4 4 − = = = . .2. . ⋅ 1 2 − –36 –9
y = f
2.
Lengkapilah penemuan rumus nilai puncak berikut.
(–1, 0)
5 4 3 2 1
–3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9
(5, 0) 1 2 3 4 5 6
X
(0, –5)
(2, –9)
Gambarkan grafik fungsi kuadrat f(x) = 3 – 2x – x2. a. Titik potong dengan sumbu Y x = 0 ⇒ f(0) = 3 – 2 · . .0. . – (. .0. .)2 = . .3. . Jadi, koordinat titik potongnya dengan sumbu Y adalah (. .0. ., . .3. .). b.
Titik potong dengan sumbu X y = 0 ⇒ 3 – 2x – x2 = 0 ⇔ x2 + 2x – 3 = 0 ⇔ (x + . .3. .)(x – . .1. .) = 0 ⇔ x = .–3 . . . atau x = . .1 . . Jadi, koordinat titik potongnya dengan sumbu X adalah (. .–3 . ., . .0. .) dan (. .1 . ., . .0. .).
PG Matematika Kelas X
159
c.
Titik puncak Dari fungsi kuadrat f(x) = 3 – 2x – x2 diperoleh: a = .–1 . . ., b = .–2 . . ., c = . .3. . 2 D = b – 4ac = . .4. . – .(–12) . . . . = . 16 ... x=
Y
y=
(–1, 4)
2 − − –2 = = = . .–1. . –2 ⋅ –1 –16 − –16
4 3
(0, 3)
=
⋅ –1
=
–4
= . .4. .
− . . .) = 3 – 2 · (. –1 . . .) – (.–1 . . .)2 = f(. –1
atau y = f (–3, 0)
(1, 0)
–4 –3 –2 –1 0
1
2
= . .1 . . + . .4. . – . .3. . = .2. . . Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (. –1 . . ., . .4. .).
X
Dengan menghubungkan titik-titik yang telah diperoleh, gambar sketsa grafiknya seperti gambar di samping.
x=1
Fungsi luas L = 25p – p2 dapat digambarkan sebagai berikut. L
p O
12,5
25
Luasnya maksimum pada saat p = 12,5 cm. Panjangnya semakin besar (lebarnya semakin kecil), tidak mengakibatkan luas yang semakin besar.
3.
Suatu persegi panjang mempunyai keliling 50 cm. Tentukan luas maksimum persegi panjang tersebut. Jawaban: Rumus keliling persegi panjang: K = 2(p + A). Keliling persegi panjang adalah 50 cm, berarti: 2(p + A) = .50 ... p + A = .25 ... 25 A =....–..p .. Luas persegi panjang: L=p×A 2 = p ×(.25 . . . – . .p. .) = 25p – . p ... Luas merupakan fungsi kuadrat dengan variabel p dan a = .–1 ... b = .25 ... c = . .0. . Lmaks = – =–
−
625 0 625 –1 ⋅ 0 − − ⋅ = – = – –2 = .312,5 ... –1 –2 ⋅
Jadi, luas maksimum adalah . 312,5 . . . . . cm2.
Lakukan diskusi ini secara berkelompok. 1. Perhatikan lagi grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x – 5 dan f(x) = 3 – 2x – x2. 2. Mengapa grafik fungsi f(x) = x2 – 4x – 5 terbuka ke atas dan grafik f(x) = 3 – 2x – x2 terbuka ke bawah? 3. Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut. c. h(x) = 2x2 – 6x a. f(x) = x2 – x – 12 2 b. g(x) = 8x – x d. i(x) = 2 – x – 3x2 Manakah yang grafiknya terbuka ke atas? Manakah yang grafiknya terbuka ke bawah?
160
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
4.
Apakah syarat grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas? Apakah syarat grafik fungsi kuadrat terbuka ke bawah?
Petunjuk guru Setelah siswa dapat menggambarkan grafiknya, tanyakan kaitannya dengan nilai a (koefisien dari x2). Grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas bila a > 0. Grafik fungsi kuadrat terbuka ke bawah bila a < 0.
1. 2.
>0 Syarat grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas adalah a ____. a <0 Syarat grafik fungsi kuadrat terbuka ke bawah adalah ____.
Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut. 1.
f(x) = x2 – x – 2 Jawaban: • Titik potong dengan sumbu Y → (0, –2) • Titik potong dengan sumbu X x2 – x – 2 = 0 ⇔ (x – 2)(x + 1) = 0 ⇔ x = 2 atau x = –1 Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (2, 0) dan (–1, 0). • Titik puncak x=
− − = ⋅
y = f(
f(x) = 2x2 + 2x – 4 Jawaban: • Titik potong dengan sumbu Y → (0, –4) • Titik potong dengan sumbu X 2x2 + 2x – 4 = 0 ⇔ (2x + 4)(x – 1) = 0 ⇔ x = –2 atau x = 1 Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (–2, 0) dan (1, 0). • Titik puncak − =– ⋅ y = f(– ) = 2 · (– )2 + 2 · (– ) – 4 = –4
x=
) = ( )2 – – 2 = –2
Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (
2.
Jadi, koordinat titik puncaknya adalah
, –2 ).
(–
Grafiknya adalah:
, –4 ).
Grafiknya adalah:
Y
Y – –1 –2 –2
2
X
–2
1
X
–4 –4
PG Matematika Kelas X
161
3.
f(x) = 6x – x2 Jawaban: • Titik potong dengan sumbu Y → (0, 0) • Titik potong dengan sumbu X 6x – x2 = 0 ⇔ x(6 – x) = 0 ⇔ x = 0 atau x = 6 Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (0, 0) dan (6, 0). • Titik puncak x=
− =3 ⋅ −
y = f(3) = 6 · 3 – 32 = 9 Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (3, 9). Grafiknya adalah: Y
•
x=
4.
3
6
3
–
5.
X
f(x) = –2x2 + 4x – 3 Jawaban: • Titik potong dengan sumbu Y → (0, –3) • Titik potong dengan sumbu X –2x2 + 4x – 3 = 0 D = 42 – 4 · (–2) · (–3) = –8 Karena D < 0, maka grafik tidak memotong sumbu X. • Titik puncak − =1 ⋅ − − − y= = –1 ⋅ −
x=
X
f(x) = –x2 + 3 Jawaban: • Titik potong dengan sumbu Y → (0, 3) • Titik potong dengan sumbu X –x2 + 3 = 0 ⇔ x2 – 3 = 0 ⇔
− =0 ⋅ −
y = f(0) = (0)2 + 3 = 3 Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (0, 3). Y Grafiknya adalah:
9
0
Titik puncak
Jadi, koordinat titik puncaknya adalah (1, –1). Grafiknya adalah: Y
1
(x + )(x – ) = 0
X
–1
⇔ x = – atau x = Jadi, titik potongnya dengan sumbu X
–3
adalah (– , 0) dan ( , 0).
Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan tepat. 1.
Sebuah benda dilemparkan dari permukaan bumi dengan kecepatan awal 100 m/detik. Setelah t detik, benda tersebut mencapai ketinggian 100t – 5t2 meter. Tentukan tinggi maksimum yang dicapai benda tersebut. Jawaban: Misal ketinggian yang dicapai h(t), maka h(t) = 100t – 5t2. Tinggi maksimum dicapai pada: t=
162
− = = 10 ⋅ −
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
h(10) = 100 · 10 – 5 · (10)2 = 1.000 – 500 = 500 m. Jadi, ketinggian maksimum benda tersebut adalah 500 meter. 2.
Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek (3x – 900 +
) ratus ribu rupiah per
hari. Agar biaya proyek minimum, berapa hari proyek tersebut harus diselesaikan?
Jawaban: Biaya proyek selama x hari: B(x) = x(3x – 900 +
)
= 3x2 – 900x + 120 Biaya minimum jika: x = –
− = 150
Jadi, agar biayanya minimum, proyek harus diselesaikan dalam 150 hari. 3.
a.
Tentukan rumus fungsi g yang menyatakan jumlah luas persegi itu. b. Tentukan jumlah luas maksimum/minimum kedua persegi dan ukuran potongan kedua tali tersebut. Jawaban: a. Tali dipotong menjadi 2 bagian misal x meter dan (100 – x) meter. Pada persegi pertama. Keliling = panjang tali = x
Selisih dua bilangan adalah 4p. Tentukan nilai terkecil dari hasil perkalian dua bilangan tersebut.
Pada persegi kedua. Keliling = panjang tali = 100 – x Panjang sisi persegi (s2) = Luas (L2) = [
− = –2p ⋅
(–2p)2
+ 4p(–2p) Fmin = 2 = 4p – 8p2 = –4p2 Jadi, nilai terkecilnya adalah –4p2. 4.
Suatu persegi dengan lebar x cm dan panjang (50 – x) cm. Tentukan ukurannya agar luasnya maksimum. Jawaban: Luas persegi panjang = panjang × lebar L(x) = (50 – x) × x L(x) = 50x – x2 Luas maksimum dicapai pada − − = ⋅ − = 25 x=
Jadi, lebar persegi panjang adalah 25 cm dan panjangnya (50 – 25) = 25 cm. 5.
Tali dengan panjang 100 m dipotong menjadi 2 bagian. Potongan tali masing-masing dibuat persegi.
2 2 x) = x
Luas (L1) = (
Jawaban: Misal 2 bilangan itu adalah a dan b. a – b= 4p ⇔ a = b + 4p Misal F merupakan hasil kali kedua bilangan. F = a × b = (b + 4p) × b = b2 + 4pb Nilai terkecil dicapai pada b=
x
Panjang sisi persegi (s1) =
(100 – x)
(100 – x)]2
=
(10.000 – 200x + x2)
=
2 x – x + 625
Jumlah luas kedua persegi: g(x) = L1 + L2 =
2 2 x + x – x + 625
=
2 x – x + 625 −
b.
−
− x= = = 50 ⋅
g(50) =
(50)2 – (50) + 625
= 312,5 Jadi, jumlah luas minimum 312,5 m2 dengan potongan tali masing-masing 50 m dan (100 – 50) m = 50 m.
PG Matematika Kelas X
163
2. Syarat Fungsi Kuadrat Definit Positif dan Negatif
1.
Gambarlah grafik fungsi kuadrat berikut. a. f(x) = x2 – 8x + 12 b. g(x) = x2 – 8x + 16 c. h(x) = x2 – 8x + 20
2.
Tentukan nilai diskriminan, yaitu D = b2 – 4ac, dari masingmasing fungsi kuadrat pada nomor 1.
3.
Lakukan kegiatan pada nomor 1 dan 2 terhadap fungsi kuadrat berikut. a. p(x) = –x2 + 6x – 5 b. q(x) = –x2 + 6x – 9 c. r(x) = –x2 + 6x – 13
4.
Amatilah hubungan antara nilai diskriminan (D) dan perpotongan grafik fungsi kuadrat dengan sumbu X. Kesimpulan apa yang kalian peroleh?
Dari praktikum dapat disimpulkan bahwa: 1. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik bila D > 0 ______. 2. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di satu titik bila D = 0 ______. D < 0 3. Grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X bila ______.
Diskusikan bersama teman sebangkumu. Gambarlah sketsa hubungan grafik fungsi kuadrat dengan sumbu X pada kotak-kotak yang tersedia berikut ini. Bentuk Parabola D>0
a>0
x1
D=0
D<0
x2 sumbu X sumbu X x1 = x2
164
Persamaan dan Fungsi Kuadrat
sumbu X
Bentuk Parabola D>0
D=0
D<0
x1 = x2 sumbu X
sumbu X
a<0
x1
x2
sumbu X
Perhatikan hasil diskusimu. Khusus D < 0, grafik seluruhnya akan berada di atas sumbu X (terbuka ke atas) atau grafik seluruhnya berada di bawah sumbu X (terbuka ke bawah). Fungsi kuadrat yang seluruh grafiknya berada di atas sumbu X disebut fungsi kuadrat definit positif. Sebaliknya, fungsi kuadrat yang seluruh grafiknya berada di bawah sumbu X disebut fungsi kuadrat definit negatif.
negatif Syarat fungsi kuadrat definit adalah nilai D _______. positif negatif dan a _______. Syarat fungsi kuadrat definit positif adalah nilai D _______ negatif dan a _______. negatif Syarat fungsi kuadrat definit negatif adalah nilai D _______
Agar dapat membedakan fungsi yang definit positif dan negatif lengkapilah isian berikut.
1.
2.
3.
Fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 5. a = . .1 . . . . . – .20 . . . = . –4 ... D = (.–4 . . .)2 – 4 · . .1. . · . .5. . = .16 negatif positif Nilai a . . . . . . . . dan D . . . . . . . . . ...... Jadi, fungsi kuadrat f(x) = x2 – 4x + 5 definit . .positif 2 Diberikan fungsi kuadrat g(x) = –x + 10x – 30. a = .–1 ... D = .10 . .2 . – 4 · .–1 . . . · . –30 . . . . = . 100 . . . . – .120 . . . . = . –20 .... negatif Nilai a negatif . . . . . . . . dan D . . . . . . . . . ........ Jadi, fungsi kuadrat g(x) = –x2 + 10x – 30 definit . negatif Diberikan fungsi kuadrat h(x) = x2 – 4x – 5. a = . .1. . . . .) = . 16 . . . + . 20 . . . = . .36 .. D = (.–4 . . .)2 – 4 · . . 1. . · (.–5 Nilai D .positif ....... . . . . . .definit ....... Jadi, fungsi kuadrat h(x) = x2 – 4x – 5 . .tidak
Akan dibuat fungsi kuadrat berbentuk y = x2 + bx + c dengan b dan c anggota himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Berapa banyak fungsi kuadrat definit positif yang dapat dibuat? Jawaban: a = 1 bernilai positif Syarat definit: D < 0 b2 – 4ac < 0 b2 < 4c c = 1 → b = 1 (1 fungsi) c = 2 → b = 1, 2 (2 fungsi) c = 3 → b = 1, 2, 3 (3 fungsi) c = 4 → b = 1, 2, 3 (3 fungsi) c = 5 → b = 1, 2, 3, 4 (4 fungsi) c = 6 → b = 1, 2, 3, 4 (4 fungsi) Jadi, dapat disusun 17 fungsi yang definit positif.
PG Matematika Kelas X
165
Related Documents
Pg Bab 02b Persamaan Dan Fungsi
May 2020 4
Persamaan Dan Fungsi Kuadrat.docx
November 2019 27
Persamaan Dan Fungsi Logaritma
May 2020 8
Persamaan Dan Fungsi Eksponen
May 2020 6
