Peubah-acak-kontinu.pdf

Peubah Acak Kontinu Peubah Acak Kontinu Continuous Random Variables

• Peubah Acak Kontinu adalah peubah acak dimana keluarannya merupakan suatu nilai dalam sebuah interval pada garis bilangan riil. • Biasanya merupakan pengukuran. • Contoh: – Y = panjang dalam mm – X = waktu dalam detik – Y = temperatur dalam ºC

Peubah Acak Kontinu • Tidak bisa menghitung P(Y = y), yang bisa dihitung adalah P(a < Y < b), dimana a dan b adalah bilangan riil. • Untuk peubah acak kontinu P(Y = y) = 0.

Peubah Acak Kontinu

• Probability density function (pdf) jika digambar terhadap semua nilai Y akan berbentuk kurva. Daerah (area) dibawah kurva pada interval tertentu adalah peluang.

0.40

f(y)

a

b Y

Sifat dari Probability Density Function (pdf) 1) f(y) > 0 untuk semua nilai dalam  interval yang mengandung y. 2)  f ( y )dy  1  3) Jika y0 adl nilai yang diamati, maka cumulative distribution function (cdf) y adalah: F ( y )  P(Y  y )  f ( y )dy

Besaran lead (gram) per liter bensin mempunyai probability density function (pdf): f(y) = 12.5y - 1.25

untuk 0.1 < y < 0.5

0

0

0





4) Jika y1 dan y2 adl dua nilai yang diamati, maka y P( y1  Y  y2 ) 

2

 f ( y)dy  F ( y )  F ( y ) 2

Berapa peluang bahwa seliter bensin mengandung kurang dari 0.3 grams lead?

1

y1

Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu • Ingat Nilai Harapan dari peubah acak diskrit:

E (Y )     y  p( y )

• Nilai Harapan dari Peubah  Acak Kontinu:

E (Y )   

 yf ( y)dy



Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu dari g(y)

g( y)=k + y E [ g( y)]=E [k + y] ∞

=∫−∞ (k + y )f ( y)dy ∞

∞

=k ∫−∞ f ( y)dy +∫−∞ y f ( y)dy =k +μ

Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu dari g(y)

g( y)=ky

Varians Peubah Acak Kontinu Ingat Varians dari Peubah Acak Diskrit:

∞

E [ g( y)]=E [ky ]=∫−∞ ky f ( y)dy ∞

=k ∫−∞ y f ( y)dy =k μ

Var (Y )   2   ( y   ) 2 p ( y ) Varians untuk Peubah Acak Kontinu: 

Var (Y )     ( y   ) 2 f ( y )dy 2



Penggunaan Distribusi Normal 1. Menjelaskkan banyak proses acak yang kontinu Bisa digunakan untuk mendekati peluang peubah acak diskrit 

Example: Binomial

Dasar dari semua statistik inferensia klasik

Normal Distribution 1. ‘Bell-Shaped’ & Symmetrical

f(X )

2. Mean, Median, Mode sama

X

3. ‘Middle Spread’ adl 1.33   Peubah Acak mempunyai range tak hingga

Mean Median Mode

Normal Distribution Sifat yg penting • Hampir separo “bobot/ weight” berada dibawah mean (krn symmetri) • 68% peluang berada dlm 1 standard deviation dari mean • 95% peluang berada dlm 2 standard deviations • 99% peluang berada dlm 3 standard deviations

Probability Density Function

f(X )

f ( x )=

    3   2   

     2   3

Mean Median Mode

X

x  π e 

x− μ 2 σ

)

= Nilai Peubah acak (- < x < ) = Standard Deviation dari populasi = 3.14159 = 2.71828 = Mean dari peubah acak x

Akibat dari Variasi Parameter ( &  )

Notasi X ~ N(μ,σ) Peubah Acak X mengikuti distribusi Normal (N) dengan mean μ dan standard deviation σ. X ~ N(40,1) X ~ N(10,5) X ~ N(50,3)

1 e σ √ 2π

1 2

( )(

−

f(X) B A

C X

Normal Distribution Probability Peluang dibawah kurva!

d

P (c  x  d )   ? f ( x) dx c

Tak hingga tabel Normal Tiap distribusi memerlukan satu tabel.

? f(X)

f(x )

c

X

x

d

Standardize the Normal Distribution Z

Normal Distribution

X  

Z is N(0,1) Standardized Normal Distribution



 =1



X

Contoh Standarisasi

 =0 Hanya satu tabel!

Z Normal Distribution

X   6.2  5   .12  10

Standardized Normal Distribution

 = 10

Z

 =5

 =1

6.2

X

 =0

.12

Z

Mendapatkan Peluangnya

Contoh P(3.8  X  5)

Standardized Normal Probability Table (Portion) Z

.00

.01

Z

.02

Normal Distribution

 =1

0.0 .0000 .0040 .0080

.0478

0.1 .0398 .0438 .0478 0.2 .0793 .0832 .0871

X   3.8  5    .12  10 Standardized Normal Distribution

 = 10

 =1 .0478

 =0

.12

Z

0.3 .1179 .1217 .1255

3.8

Probabilities

 = 5

X

Contoh P(2.9  X  7.1) X   2.9  5    .21  10 X   7.1  5 Z   .21  10

Z

Standardized Normal Distribution

 = 10

 =1

Normal Distribution

Standardized Normal Distribution

 = 10

 =1 .5000 .1179

.0832 .0832

5 7.1

X

-.21

Z

X  85   .30  10

.1664

2.9

 =0

Contoh P(X  8)

Z Normal Distribution

-.12

0 .21

Z

 =5

8

X

 =0

.30

.3821

Z

Contoh P(7.1  X  8) X   7.1  5   .21  10 X   8 5 Z   .30  10 Z Normal Distribution

Standardized Normal Distribution

 = 10

 =1 .1179 .0832

 =5

7.1

8

X

 =0

.21

.30

.0347

Z