Pertemuan-11.pdf

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang Pertemuan 1. PENGANTAR Bahan ajar ini mengutip dari beberapa buku, adapun materi terdiri dari 1. Prolog ; Logika dan Himpunan 2. Bilangan Real 3. Sifat Kelengkapan Bilangan real 4. Lebih Jauh Tentang Bilangan Real 5. Barisan 6. Sub Barisan dan Barisan cauchy 7. Deret 8. Fungsi 9. Limit dan Kekontinuan 10. Fungsi Kontinu pada interval 11. Turunan 12. teorema nilai rata-rata 13. Fungsi Monoton 14. Integral dengan daftar pustaka ; 1. H. Gunawan. Pengantar Analisi Real,Catatan Kuliah, ITB, 2008 2. R.G. Bartle and D. Sherbert, Introduction to Real Analysis, 3rded., John Wiley & Sons, 19xx. 3. K.G Binmore, Mathematical Analysis, 2nd ed, Cambridge Univ.Press.,1982. 4. T.Tao, Analysis I & II, Hindustan Book Agency, 2006 Dan pen ilaian dengan acuan 1. 2. 3. 4.

Keaktifan 10% Tugas 25% UTS 25% UAS 40%

1

-1 PROLOG LOGIKA DAN HIMPUNAN -1.1 Kalimat Matematika dan Logika Diberikan dua pernyataan P dan Q, kita dapat membentuk konjungsi, atau disjungsi. Tabel kebenarannya diberikan ; P B B S S

Q B S B S

P dan Q B S S S

P atau Q B B B S

Selain itu kita dapat mempunyai implikasi, tabel kebenarannya diberikan ; P B B S S

Q B S B S

P⇒Q B S B B

Contoh -1.1. Implikasi ”jika n = 1, maka n2 = n” bernilai benar, karena ketika P benar, Q juga benar. Latihan -1.1 1. Mungkinkah ”P dan tidak P” benar? Bagaimanakah dengan ”P atau tidak P”? 2. Implikasi ”jika tidak Q, maka tidak P” merupakan kontraposisi dari ” jika P maka Q”. Periksa kesetaraan kedua implikasi ini dengan menggunakan tabel kebenaran. 3. Implikasi ”jika Q, maka P” merupakan konvers dari ”jika P, maka Q”. Berikan alsan sebuah contoh implikasi yang benar tetapi konversnya salah. 4. Buatlah tabel kebenaran untuk ” P atau tidak Q” dan bandingkan tabel kebenaran untuk ”Jika P, maka Q”. Apa kesimpulan anda? -1.2 Pernyataan berkuantor Berikut beberapa contoh pernyataan berkuantor Contoh -1.2 (i) setiap bilangan asli n memenuhi pertaksamaan n2 > n. (ii) Setiap bilangan asli dapat dinyatakan dengan sebagai jumlah dari beberapa bilangan kuadrat. (iii) Terdapat bilangan yang asli yang genap dan ganjil sekaligus. 2

Negasi dari pernyataan ”untuk setiap n berlaku P” adalah ” terdapat n yang tidak memenuhi P”. Sebagai contoh negasi ” setiap bilangan asli n memenuhi n2 > n” adalah ”terdapat bilangan asli n yang tidak memenuhi n2 > n”. Tentu dalam hal ini negasinyalah yang benar. Cukup sering kita menyimpulkan bahwa suatu pernyataan salah setelah kita memeriksa negasinya benar. Perhatikan bahwa pernyataan bahwa pernyataan ”setiap bilangan asli n memenuhi n2 > n” dapat ditulis ulang sebagai implikasi ” jika n adalah bilangan asli, maka n2 > n. Jadi selain melalui negasinya, kita dapat pula memeriksa kebenaran suatu pernyataan berkuator universal sebagai sebuah implikasi. Latihan -1.2 1. Tentukan negasi dari pernyataan pada Contoh -1.2 (ii) dan (iii). 2. Tulis ulang kedua pernyataan pada soal no.1 sebagai sebuah implikasi atau bentuk lainnya yang dibahas pada bagian terdahulu. -1.3 Bukti dan Metode Pembuktian Bukti (Ing.”proof”) merupakan sesuatu yang membedakan matematika dengan ilmu lainnya seperti fisika atau kimia yang berpijak pada eksperimen. Eksperimen dapat menghasilkan suatu dugaan, namun kita perlu bukti untuk menyakinkan bahwa pernyataan itu memang benar adanya. Untuk dapat membuktikan pernyataan , kita perlu banyak latihan. langkah pertama yang dilakukan adalah memahami maksud pernyataan tersebut : apa yang diketahui dan apa yang harus dibuktikan Untuk pembuktian bahwa P danQ benar, tentu kita harus membuktikan bahwa P benar dan juga Q benar. Sementara itu, untuk membuktikan bahwa ”P atau Q” benar, kita dapat memulainya dengan memisalkan P salah dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa Q benar. Untuk membuktikan bahwa implikasi ”jika P, maka Q benar” benar, kita mulai dengan memisalkan bahwa P benar dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa Q juga benar. Implikasi ini dapat pula dibuktikan melalui kontraposisinya , yaitu ” jika tidak Q, maka tidak P”. Cara lainnya adalah dengan pembuktian tak lansung, yaitu dengan memisalkan P benar dan Q salah, dan kemudian berusaha mendapatkan suatu kontradiksi, sesuatu yang senantiasa salah. Yang dimaksud dengan kontradiksi adalah konjungsi ”R dan tidak R”, untuk suatu pernyataan R. Contoh -1.4 Buktikan jika n memenuhi n2 = n, maka n = 0 atau n = 1. Bukti: Misalkan n memenuhi n2 = n (yaitu hipotesis benar). Akan ditunjukkan n = 0 atau n = 1 benar (yaitu kesimpulan benar).Untuk itu misalkan n = 0 yakni n 6= 0. Tugas kita sekarang adalah menunjukkan bahwa n = 1. Untuk itu perhatikan bahwa n2 − n setara dengan n(n − 1) = 0. Karena n 6= 0,maka mestilah n − 1 = 0. Jadi mestilah n = 1. 3

Sekarang kita akan membahas bagaimana membuktikan suatu pernyataan berkuantor. Secara umum, untuk membuktikan pernyataan ”terdapat n sehingga P, kita harus mendapatkan n (entah bagaimana caranya) yang membuat P benar. Sebagai contoh, pernyataan ”terdapat bilangan asli n sehingga n2 ≤ n ” terbukti benar setelah kita menemukan bilangan n = 1 yang memenuhi n2 ≤ n. Contoh -1.4 Buktikan bahwa setiap bilangan kuadrat mempunyai sisa 0 atau 1 ketiga dibagi 4. Latihan -1.3 1. Buktikan jika n2 ganjil, maka n ganjil. 2. Buktikan jika m2 + n2 = 0, maka m = 0 dan n = 0 -1.4 Himpunan dan notasinya Himpunan adalah suatu koleksi objek, dan objek dalam suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan itu. Jika x merupakan suatu anggota himpunan H, maka kita katakan x di H dan kita tuliskan x ∈ H. Jika y bukan anggota H, maka kita tuliskan yH Misalkan H dan G adalah dua himpunan. Kita sebut G himpunan bagian dari H dan kita tuliskan G⊆H Jika kita diminta untuk membuktian bahwa G ⊆ H, maka yang harus dilakukan adalah mengambil x ∈ G dan kemudian berusaha menunjukkan bahwa x ∈ H. Latihan -1.4 1. Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapat mendefenisikan irisan dari A dan B, yaitu A ∩ B = {x : x ∈ A dan x ∈ B} Buktikan bahwa A ∩ B = A jika dan hanya jika A ⊆ B 2. Diberikan dua buah himpunan A dan B, kita dapat mendefenisikan gabungan dari A dan B, yaitu A ∪ ∪B = {x : x ∈ A atau x ∈ B} Buktikan bahwa untuk tiga himpunan A, B, dan C sembarang berlaku a. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) b. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Tugas 1. Latihan -1.1, -1.2, -1.3, dan latihan -1.4. 4