Persamaan_differensial_riccati_dan_clair.docx

TUGAS PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

“Persamaan Diferensial Riccati dan Persamaan Diferensial Clairaut”

CHEVI KURNIA 1201273 / 2012 MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI PADANG

2014

Persamaan Diferensial Riccati Bentuk Umum : 𝑑𝑦 = 𝑃(𝑥)𝑦 2 + 𝑄(𝑥)𝑦 + 𝑅(𝑥) 𝑑𝑥

Secara jelas, jika 𝑅(𝑥) = 0 maka persamaan menjadi persamaan diferensial Bernoulli, dan bila

𝑄(𝑥) = 0 , menjadi persamaan diferensial linear orde-1, sehingga 𝑅(𝑥) ≠ 0 dan

𝑄(𝑥) ≠ 0. Contoh : 𝑑𝑦 = 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 + 2 𝑑𝑥

Cara Mencari Solusi : Pandang persamaan diferensial Riccati : 𝑑𝑦 = 𝑃(𝑥)𝑦 2 + 𝑄(𝑥)𝑦 + 𝑅(𝑥) 𝑑𝑥

Diambil suatu penyelesaian khusus, 𝑦 = 𝑣(𝑥) Maka diperoleh : 𝑑𝑣 = 𝑃(𝑥)𝑣 2 + 𝑄(𝑥)𝑣 + 𝑅(𝑥) 𝑑𝑥 Misalkan : 𝑦=𝑣+

1 𝑧

Sehingga diperoleh : 1 𝑑𝑦 = 𝑑 (𝑣 + ) 𝑧

𝑑𝑦 𝑑 1 = (𝑣 + ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑧

𝑑𝑦 𝑑𝑣 1 𝑑𝑧 = − 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑧 2 𝑑𝑥 Substitusikan 𝑦 = 𝑣 +

1 𝑧

dan

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑑𝑣 𝑑𝑥

−

1 𝑑𝑧 𝑧 2 𝑑𝑥

ke bentuk umum persamaan diferensial

Riccati. Diperoleh : 𝑑𝑣 1 𝑑𝑧 1 2 1 − 2 = 𝑃(𝑥) (𝑣 + ) + 𝑄(𝑥) (𝑣 + ) + 𝑅(𝑥) 𝑑𝑥 𝑧 𝑑𝑥 𝑧 𝑧 𝑑𝑣 1 𝑑𝑧 2𝑣 1 1 − 2 = 𝑃(𝑥) (𝑣 2 + + 2 ) + 𝑄(𝑥) (𝑣 + ) + 𝑅(𝑥) 𝑑𝑥 𝑧 𝑑𝑥 𝑧 𝑧 𝑧 𝑑𝑣 1 𝑑𝑧 2𝑣 1 1 − 2 = 𝑃(𝑥)𝑣 + 𝑃(𝑥) + 2 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥)𝑣 + 𝑄(𝑥) + 𝑅(𝑥) 𝑑𝑥 𝑧 𝑑𝑥 𝑧 𝑧 𝑧 𝑑𝑣 1 𝑑𝑧 2𝑣 1 1 − 2 = [𝑃(𝑥)𝑣 2 + 𝑄(𝑥)𝑣 + 𝑅(𝑥)] + [ 𝑃(𝑥) + 2 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥)] 𝑑𝑥 𝑧 𝑑𝑥 𝑧 𝑧 𝑧 Sehingga diperoleh 𝑑𝑣 1 𝑑𝑧 𝑑𝑣 2𝑣 1 1 − 2 = + [ 𝑃(𝑥) + 2 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥)] 𝑑𝑥 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑧 𝑧 𝑧 −

1 𝑑𝑧 2𝑣 1 1 = 𝑃(𝑥) + 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) 𝑧 2 𝑑𝑥 𝑧 𝑧2 𝑧

Dibagidengan −

1 𝑧2

, diperoleh : 𝑑𝑧 = −2𝑣𝑧𝑃(𝑥) − 𝑃(𝑥) − 𝑧𝑄(𝑥) 𝑑𝑥

Diperoleh :

𝑑𝑧 + [2𝑣𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥)]𝑧 = −𝑃(𝑥) 𝑑𝑥 Merupakan persamaan diferensial linear orde-1, dan dapat diselesaikan dengan mencari faktor integrasinya dengan cara yang telah dipelajari sebelumnya. 1

Setelah solusi didapatkan, substitusikan 𝑦 = 𝑢 + . 𝑧

Jadi, dengan langkah terakhir tadi didapatlah solusi untuk persamaan diferensial Riccati.

Contoh: Hitunglah: 𝑑𝑦 = 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 + 2 𝑑𝑥 Dengan 𝑦 = 2 adalah penyelesaian khususnya. Penyelesaian : Diketahui suatu penyelesaian khusus 𝑦 = 𝑣(𝑥) = 2 Misalkan : 𝑦 =2+

1 𝑧

Sehingga : 1 𝑑𝑦 = 𝑑 (2 + ) 𝑧

𝑑𝑦 𝑑 1 = (2 + ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑧

𝑑𝑦 1 𝑑𝑧 =− 2 𝑑𝑥 𝑧 𝑑𝑥 Substitusikan 𝑦 = 2 +

1 𝑧

dan

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=−

1 𝑑𝑧 𝑧 2 𝑑𝑥

ke PD Riccati.

Diperoleh : 1 𝑑𝑧 1 2 1 − 2 = (2 + ) − 2𝑥 (2 + ) + 2 𝑧 𝑑𝑥 𝑧 𝑧 −

1 𝑑𝑧 4 1 1 = (4 + + ) − 2𝑥 (2 + )+2 𝑧 2 𝑑𝑥 𝑧 𝑧2 𝑧

−

1 𝑑𝑧 4 1 1 = 2 + + 2 − 4𝑥 + . (−2𝑥) + 2 2 𝑧 𝑑𝑥 𝑧 𝑧 𝑧

−

1 𝑑𝑧 4 1 2𝑥 = [4 − 4𝑥 + 2] + [ + 2 − ] 2 𝑧 𝑑𝑥 𝑧 𝑧 𝑧

Sehingga diperoleh −

1 𝑑𝑧 𝑑𝑣 4 1 2𝑥 = +[ + 2− ] 2 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑧 𝑧 𝑧

−

1 𝑑𝑧 4 1 2𝑥 = + − 𝑧 2 𝑑𝑥 𝑧 𝑧 2 𝑧

Dibagi dengan −

1 𝑧2

, diperoleh : 𝑑𝑧 = −4𝑧 − 1 + 2𝑥𝑧 𝑑𝑥

Diperoleh : 𝑑𝑧 + [4 − 2𝑥]𝑧 = −1 𝑑𝑥 Merupakan PD linear orde-1, mempunyai faktor integrasi : 𝑒 ∫(4−2𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 4𝑥−𝑥

2

PD dapat ditulis sebagai : 𝑑𝑧 + [4 − 2𝑥]𝑧𝑑𝑥 = −𝑑𝑥 Kalikan PD dengan faktor integrasi : 2

2

2

𝑒 4𝑥−𝑥 𝑑𝑧 + 𝑒 4𝑥−𝑥 [4 − 2𝑥]𝑧𝑑𝑥 = −𝑒 4𝑥−𝑥 𝑑𝑥

2

2

2

2

𝑑[𝑒 4𝑥−𝑥 𝑧] = −𝑒 4𝑥−𝑥 𝑑𝑥 𝑒 4𝑥−𝑥 = ∫ −𝑒 4𝑥−𝑥 2

2

𝑒 4𝑥−𝑥 = −𝑒 4𝑥−𝑥 + 𝐶 𝐶 = 2𝑒 4𝑥−𝑥

2

Jadi, solusi untuk PD : 𝑑𝑦 = 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 + 2 𝑑𝑥 2

adalah 𝐶 = 2𝑒 4𝑥−𝑥 .

Persamaan Diferensial Clairaut Bentuk Umum : 𝑦=𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑦 +𝑓( ) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

dengan 𝑓 merupakan fungsi sembarang Misalkan : 𝑝 = (

𝑑𝑦 𝑑𝑥

)

Sehingga diperoleh bentuk umum :

𝑦 = 𝑥𝑝 + 𝑓(𝑝)

Cara Mencari Solusi : Pandang bentuk umum PD Clairaut

𝑦 = 𝑥𝑝 + 𝑓(𝑝) Dengan menurunkan PD, diperoleh 𝑑𝑦 = 𝑑(𝑥𝑝) + 𝑑 𝑓(𝑝) Kalikan dengan

1 𝑑𝑥

, sehingga : 𝑑𝑦 𝑑(𝑥𝑝) 𝑑 𝑓(𝑝) = + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑝=𝑥

𝑑𝑝 𝑑𝑥 𝑑𝑓(𝑝) 𝑑𝑝 +𝑝 + . 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑝 𝑑𝑥

𝑝 =𝑝+𝑥

𝑑𝑝 𝑑𝑝 + 𝑓 ′ (𝑝) 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Diperoleh 0 = (𝑥 − 𝑓 ′ (𝑝))

𝑑𝑝 𝑑𝑥

Solusi :

1)

𝑑𝑝 𝑑𝑥

=0

Integralkan kedua ruas, diperoleh 𝑝=𝑐 Merupakan ‘Solusi Umum’ 2) 𝑥 − 𝑓 ′ (𝑝) = 0 𝑓 ′ (𝑝) = 𝑥 Nilai dari fungsi turunan ini akan diketahui 𝑝-nya sehingga dapat disubstitusikan ke PD dan solusinya disebut ‘Solusi Singular’. Solusi : 𝑝=𝑐 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑓(𝑐)

Contoh : 𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑝 − 𝑝2 Penyelesaian : 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑝 =𝑝 +𝑥 + − 2𝑝 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑝 =𝑝+𝑥

𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑝 + − 2𝑝 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

0 = (𝑥 + 1 − 2𝑝) 𝑑𝑝 =0 𝑑𝑥 𝑑𝑝 = 0𝑑𝑥 1) Integralkan kedua ruas

𝑑𝑝 𝑑𝑥

∫ 𝑑𝑝 = ∫ 0𝑑𝑥 Diperoleh : 𝑝=𝑐 Substitusikan ke PD, sehingga : 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑐 − 𝑐 2 2) PD : 𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑝 − 𝑝2 𝑥 + 1 − 2𝑝 = 0 2𝑝 = 𝑥 + 1 𝑝=

𝑥 1 + 2 2

Substitusikan ke PD, diperoleh : 𝑥 1 𝑥 1 𝑥2 𝑥 1 𝑦 = 𝑥. ( + ) + ( + ) − ( + + ) 2 2 2 2 4 2 4 𝑦=

𝑥2 𝑥 𝑥 1 𝑥2 𝑥 1 + + + − − − 2 2 2 2 4 2 4 𝑦=

𝑥2 𝑥 1 + + 4 2 4

𝑦=

𝑥 2 + 2𝑥 + 1 4

1 𝑦 = (𝑥 2 + 2𝑥 + 1) 4 Merupakan solusi singular. Jadi, solusi dari PD :

𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑝 − 𝑝2 adalah 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑐 − 𝑐 2 dan

1 𝑦 = (𝑥 2 + 2𝑥 + 1) 4