Persamaan Schrodinger.docx

Persamaan Schrodinger Adalah persamaan gelombang untuk partikel seperti elektron 𝜕2 𝜓 𝜕𝑥 2

1 𝜕2 𝜓

+ 𝑣2

𝜕𝑡 2

=0

𝜓 (x,t) = 𝜑 (x) F (t) Y1 = F (t) ~ 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 𝜕2 𝜑 𝜕𝑥 2

𝜔2

+ 𝑉2 =

2𝜋 𝜆

Partikel sebagai gelombang ℎ

𝜆 = 𝑝 (de Broglie) p = momentum partikel 𝜔 𝑉

=

2𝜋 ℎ

𝑝

ℎ

p = ℏ dimana ℏ = 2𝜋

Persamaan gelombang untuk partikel 𝑑2 𝜑 𝑑𝑥 2

𝑝2

+ ℏ2 𝜑 = 0 1

p2 = (mv)2 = 2 mv2. 2m = 2 mK m = massa partikel K = energy kinetic v = kecepatan partikel ingat : E = k + v dimana E = energy partikel v = energy potensialnya

ℏ2 𝑑 2 𝜑

-2𝑚

𝑑𝑥 2

ℏ2 𝑑 2 𝜑

-2𝑚

𝑑𝑥 2

= (E-V) 𝜑 + 𝑣𝜑 = E 𝜑

ℏ2 𝑑 2

(-2𝑚 𝑑𝑥 2 + V) 𝜑 = E 𝜑 (operator) 2

2

̂=−ℏ 𝑑 2+V Sebutlah 𝐻 2𝑚 𝑑𝑚 Hamiltonian partikel atom Persamaan Schrodinger yang tidak bergantung waktu ̂𝜑=E𝜑 𝐻 Atau ℏ2 𝑑 2

(− 2𝑚 𝑑𝑚2 + V ) 𝜑 = E 𝜑 −

ℏ2 𝑑 2 𝜑 2𝑚 𝑑𝑚2 𝑑2 𝜑 𝑑𝑚2

𝑑2 𝜑 𝑑𝑚2

+

2𝑚 ℏ2

= (E-V) 𝜑 =

2𝑚 ℏ2

(E-V) 𝜑

(E-V) 𝜑 = 0

Sifat-sifat suatu fungsi gelombang Untyk fungsi gelombang partikel yang tidak bergantung waktu, 𝜓 (x). |𝜓(𝑥)|2 dx disebut peluang menemukan partikel di antara x dan x+dx. |𝜓(𝑥)|2 rapat peluang partikel berada di x Total peluang untuk menemukan partikel itu disepanjang sumbu-x adalah: ∞

∞

∫−∞ 𝜓 (x)𝜓(x) dx = ∫−∞|𝜓(𝑥)|2 dx = 1 𝜓 adalah konjugasi dari 𝜓 Fungsi 𝜓 (x) yang memenuhi persamaan diatas disebut fungsi yang dinormalisasi, sedangkan disebut rapat peluang.

Suatu fungsi gelombang partikel harus memiliki kelakuan yang baik, yakni: 

tidak sama dengan nol dan bernilai tunggal, artinya untuk suatu harga x, 𝜓(x)



fungsi dan turunannya kontinu di semua harga x dan



fungsi (harga mutlaknya) tetap terbatas (finite) untuk x menuju ±∞

Arti fisis dari fungsi gelombang Di dalam persoalan sesungguhnya Hamiltonian suatu-sistem diketahui atau diberikan. Mengacu pada persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan diferensial (parsial). Persoalannya sekarang adalah mencari solusi 𝜓 dari persamaan tersebut. Jadi, Fungsi gelombang 𝜓 merupakan kuantitas teoritis fundamental di dalam mekanika kuantum. Meskipun demikian, seandainya fungsi gelombang 𝜓 sudah diperoleh, masih tersisa satu pertanyaan mendasar: “Fungsi gelombang merupakan suatu deskripsi dari kejadian yang mungkin, tetapi-kejadian apa? Atau, apa yang didiskripsikan oleh fungsi gelombang? Singkatnya, apa arti fisis dari nilai 𝜓 (𝑟⃗,t) di setiap posisi 𝑟⃗ pada saat t? Jawaban pertanyaan diatas diberikan oleh Max Born pada tahun 1926 yang menyatakan bahwa 𝜓 (𝑟⃗,t) itu sendiri tidak mempunyai arti fisis apa-apa tetapi 𝜓 (𝑟⃗,t) 𝜓 (𝑟⃗,t) = |𝜓(𝑟⃗,t)|2 = P (𝑟⃗,t) Diinterpretasikan sebagai kerapatan probabilitas. Secara lebih spesifik P (𝑟⃗,t) dv = |𝜓(𝑟⃗,t)|2 dv Menyatakan kemungkinan untuk mendapat partikel yang dideskripsikan oleh 𝜓(𝑟⃗,t) berada dalam elemen volume dv di sekitar posisi 𝑟⃗ pada saat t. Di dalam kasus satu dimensi P(x,t) = |𝜓(𝑟⃗,t)|2 dx Menyatakan besar kemungkinan partikel yang dideskripsikan oleh 𝜓 (x,t) berada diantara x dan x+dx pada saat t. Jika partikel (memang) ada di dalam ruang, interpretasi di atas mensyaratkan ∫𝑣 𝑃( 𝑟⃗,t) dv = 1 Dengan integrasi dilakukan ke seluruh ruangan V. Fungsi gelombang yang memenuhi syarat dikatakan sebagai fungsi gelombang ternormalisasi (Agus Purwanto, 2005)