Persamaan Diferensial Legendre

APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE

Disusun Oleh: Lindawati

(070823)

Tia Anita

(070786)

FKIP Matematika 5B

UNIVERSITAS SULTAN AGENG TIRTAYASA SERANG 2009

1

PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE Persamaaan Diferensial Legendre adalah persamaan diferensial orde ke dua.

(1 ) (1 ) Yang dapat ditulis; (2 ) (2 ) Format di atas adalah suatu kasus khusus yang disebut " persamaan diferensial legendre yang dihubungkan" sesuai dengan kasus m=0. Persamaan diferensial Legendre Telah teratur poin Tunggal di persamaan diferensial Legendre mempunyai poin-poin bentuk tunggal reguler pada, -1, dan, 1, dan

.

Jika variabel digantikan oleh

, Maka persamaan diferensial Legendre menjadi; (3 ) (3 )

Diturunkan di bawah ini untuk kasust (

).

Karena Legendre adalah suatu persamaan diferensial orde kedua persamaan diferensial biasa, , itu memiliki dua solusi independen linear. Solusi A solution

yang biasa di

titik-titik yang terbatas disebut fungsi Legendre jenis pertama, sementara solusi yang singular adalah tunggal di

disebut fungsi Legendre jenis kedua. Jikafungsi

legendre adalah bilangan bulat, fungsi jenis pertama polinom tereduksi menjadi dikenal sebagai polinomial Legendre.

2

Persamaan diferensial Legendre dapat dipecahkan dengan menggunakan metode Frobenius dengan membuat serangkaian ekspansi dengan

.

(4 ) (4 ) (5 ) (5 ) (6 ) (6 ) Memasukkan, (7) (7) (8) (8) (9) (9) (10) (10) (11 ) (11 ) Maka setiap istilah harus lenyap dan; (12 ) (12 ) (13 ) (13 ) 3

(14 ) (14 ) Oleh karena itu, (15 ) (15 ) (16 ) (16 ) (17 ) (17 ) (18 ) (18 ) (19 ) (19 ) Sehingga solusinya, (20 ) (20 ) Demikian pula, solusinya (21 ) (21 ) Jika suatu bilangan bulat, rangkaian kuasa-kuasa x dan rangkaian menurunkan sekedar

menurunkan polynomial derajat tingkat dengan genap berbeda. Jika adalah suatu bilangan bulat aneh, rangkaian

polynomial derajat tingkat dengan kuasa-kuasa x yang lain dan

4

rangkaian

berbeda. Solusi yang umum untuk suatu bilangan bulat kemudian adalah yang

diberi oleh Legendre polynomials.

(22 ) (22 ) (23 ) (23 ) Di mana

dipilih sehingga menghasilkan normalisasi

dan

adalah

sebuah fungsi HIPERGEOMETRIS. Terkait persamaan diferensial Legendre; (24 ) (24 ) Yang dapat ditulis (25 ) (25 ) (Abramowitz dan Stegun 1972; Zwillinger 1997, hal 124). Solusi

untuk persamaan

ini disebut polinomial Legendre yang terkait (jika sebuah bilangan bulat), atau yang terkait fungsi Legendre jenis pertama (jika bukan bilangan bulat). Solusi lengkapnya adalah; (26 ) (26 ) Di mana

adalah sebuah fungsi Legendre jenis kedua.

5

Persamaan diferensial Legendre Yang dihubungkan sering ditulis dalam suatu format yang diperoleh dengan pengaturan

. Isi identitas Yang mengisi identitas; (27 ) (27 ) (28 ) (28 ) (29 ) (29 ) (30 ) (30 )

ke (◇) kemudian memberikan (31 ) (31 ) (32 ) (32 ) Moon dan Spencer (1961, hal. 155) (33 ) (33 ) Fungsi gelombang Legendre (Zwillinger 1997, hal 124).

6

FUNGSI LEGENDRE JENIS PERTAMA Berhubunga dengan fungsi Legendre jenis pertama

adalah solusi bagi persamaan

diferensial Legendre yang teratur pada titik asal untuk

bilangan bulat dan bilangan

real, fungsi Legendre jenis pertama disederhanakan menjadi polinom yang disebut polinom Legendre. Yang terkait fungsi Legendre jenis pertama diberikan oleh Mathematica perintah LegendreP [n, m, z], dan fungsi tidak terkait oleh LegendreP [n, z].

FUNGSI LEGENDRE JENIS KEDUA

Solusi kedua

ke persamaan diferensial Legendre. Fungsi Legendre yang kedua

mencukupi hubungan perulangan sebagai polynomials Legendre.

Fungsi Legendre jenis

Kedua, implementasi dalam Matematika sebagai LegendreQ [ l , x ]. Yang pertama adalah

7

(1 ) (1 ) (2 ) (2 ) (3 ) (3 ) (4 ) (4 ) Yang terkait fungsi Legendre jenis kedua

solusi kedua terkait persamaan

diferensial Legendre, dan dilaksanakan di Mathematica sebagai LegendreQ [l, m, x] memiliki turunan dari 0. (5 ) (5 ) (Abramowitz dan Stegun 1972, hal 334). Turunan Logaritmanya adalah (6 ) (6 ) DEFINISI LAIN: Dari sumber lain diperoleh; Persamaan diferensial yang Legendre adalah urutan kedua persamaan diferensial biasa (ODE) yang dapat ditulis sebagai:

8

atau yang dapat ditulis juga sebagai:

Di mana

adalah operator Legendre:

Kami menggunakan metode Frobenius untuk memecahkan persamaan di wilayah .Kita mulai dengan menetapkan parameter metode Frobenius p dalam nol.

,, ,, .. Mengganti istilah-istilah ini ke dalam persamaan asli, diperoleh;

.. Jadi ,

9

Dan secara umum,

.. Rangkaian ini menyatu ketika

Oleh karena itu solusi rangkaian harus dipotong dengan memilih: .

POLINOMIAL LEGENDRE Dalam matematika, fungsi Legendre adalah solusi untuk persamaan diferensial Legendre punya:

Mereka dinamai setelah Adrien-Marie Legendre. Ini persamaan diferensial biasa yang sering ditemui dalam fisika dan bidang teknis lainnya. Secara khusus, hal itu terjadi ketika menyelesaikan persamaan Laplace (dan berhubungan dengan persamaan diferensial parsial) dalam koordinat bola. persamaan diferensial Legendre yang dapat diselesaikan menggunakan standar seri kekuatan metode. Persamaan memiliki titik singular reguler di x = ± 1 , secara umum, serangkaian solusi tentang asal hanya akan berkumpul untuk | x | <1. Jika n adalah bilangan bulat, solusi P n (x) yang teratur pada x = 1 adalah juga teratur pada x = -1, dan seri untuk solusi ini berakhir (yaitu adalah polinomial).

10

Solusi untuk n = 0, 1, 2, ... (Dengan normalisasi P n (1) = 1) membentuk polinom urutan dari polinomial ortogonal disebut polinomial Legendre. Setiap Legendre polinom P n (x) adalah n derajat polinomial th. Ini dapat dinyatakan dengan menggunakan Rodrigues 'rumus:

P n sering didefinisikan sebagai koefisien dalam deret Taylor ekspansi:

.. Dalam fisika, fungsi pembangkit ini merupakan dasar bagi ekspansi multipol Definisi Rekursif Perluasan deret Taylor dalam persamaan (1) untuk kedua istilah pertama memberi

.. untuk pertama dua polinomial Legendre. Untuk mendapatkan pengertian lebih lanjut langsung tanpa beralih pada perluasan deret Taylor, persamaan (1) dibedakan dengan terhadap t pada kedua belah pihak dan disusun kembali untuk mendapatkan

.. Menggantikan hasil bagi akar kuadrat dengan definisi dalam (1), dan menyamakan koefisien t kekuasaan dalam hasil ekspansi memberikan Bonnet's rekursi rumus

11

Hubungan ini, bersama dengan dua polinomial P

0

dan P

1,

memungkinkan polinomial

Legendre dapat dihasilkan secara rekursif. The orthogonality properti (Sifat orthogonal) Sifat penting dari polinomial Legendre adalah bahwa mereka ortogonal yang berkaitan dengan produk L 2 batin pada interval -1 ≤ x ≤ 1:

(di mana

mn

menunjukkan δ Delta Kronecker, sama dengan 1 bila m = n dan ke 0

sebaliknya). Bahkan, alternatif turunan dari polinomial Legendre adalah dengan melaksanakan proses Gram-Schmidt pada polinomial (1, x, x 2, ...) yang berkaitan dengan produk batin ini. Alasan untuk properti orthogonality ini adalah bahwa persamaan diferensial Legendre dapat dipandang sebagai Liouville Sturm-masalah, dan karenanya mereka eigenfunctions

Aplikasi dari polinomial Legendre dalam fisika Para polinomial Legendre pertama kali diperkenalkan pada 1782 oleh Adrien-Marie Legendre sebagai koefisien dalam perluasan potensi Newtonian

dimana r dan r 'adalah panjang dari vektor X dan X ‘masing-masing dan γ adalah sudut antara kedua vektor. Seri menyatu ketika r> r '. Ekspresi memberikan potensial gravitasi dihubungkan ke titik massa atau potensial Coulomb terkait ke titik muatan. Perluasan

12

menggunakan polinomial Legendre mungkin berguna, misalnya, ketika mengintegrasikan ekspresi ini lebih dari massa yang kontinu atau distribusi muatan. Polinomial Legendre terjadi dalam pemecahan persamaan Laplace dari potensi, , Di daerah bebas biaya ruang, dengan menggunakan metode pemisahan variabel, di mana kondisi batas mempunyai simetri aksial (tidak ada ketergantungan pada sudut azimuthal). Di mana

adalah sumbu simetri dan θ adalah sudut antara posisi pengamat dan

sumbu (sudut puncak), solusi potensial akan

•

dan

. harus ditentukan sesuai dengan kondisi batas setiap masalah .

• Polinomial Legendre dalam perluasan multipole Legendre Polinomial juga bermanfaat dalam memperluas fungsi dari bentuk (ini adalah sama seperti sebelumnya, yang ditulis sedikit berbeda):

yang muncul secara alami di multipole ekspansi. Di sisi kiri dari persamaan adalah fungsi pembangkit untuk polinomial Legendre. Sebagai contoh, potensi listrik Φ (r, θ) (dalam koordinat bola) akibat muatan titik yang terletak pada sumbu z pada z = a (Gambar 2) bervariasi seperti

13

Jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih besar daripada seorang, yang potensial dapat dikembangkan dalam polinomial Legendre

di mana kita telah mendefinisikan η = a / r <1 dan x = cos θ. Perluasan ini digunakan untuk mengembangkan normal multipole ekspansi. Sebaliknya, jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih kecil daripada, potensi masih dapat diperluas dalam polinomial Legendre seperti di atas, tetapi dengan a dan r bertukar. Perluasan ini adalah dasar dari interior multipole ekspansi.

14