Persamaan Dan Fungsi Logaritma

PERSAMAAN DAN FUNGSI LOGARITMA A. Persamaan Logaritma. Persamaan logaritma adalah persamaan yang peubahnya terdapat dalam bilangan pokok atau numerusnya. Contoh : (i) log (3x – 1) = log (x – 15) , (ii) (x-1)log 16 = 2, dll Macam-macam bentuk persamaan logaritma : 1. alog f(x) = alog p 5. f(x)log a = g(x)log a 2. alog f(x) = alog g(x) 6. f(x)log g(x) = f(x)log h(x) 3. alog f(x) = blog f(x) 4. f(x)log g(x) = p







2



7. A. a log x  B a log x  C  0 untuk A  0

Bentuk persamaan logaritma pada umumnya belum sederhana. Untuk menyederhanakan persamaan logaritma perlu memperhatikan sifat-sifat logaritma berikut : a. Bila alog x = n , maka x = an g. alog x.y = alog x + alog y x a b. alog 1 = 0 h. alog = log x – alog y y c. alog a = 1 i. alog xn = n.alog x b log x 1 d. alog an = n j. alog x = b  x log a log a a

 

m

n

a log x k. a n e. a log x = x  xm a a f. (i) log b = log c , maka b = c (ii) alog b = clog b , maka a = c Dalam menyelesaikan persamaan logaritma, bilangan pokok logaritma perlu disamakan dahulu. Nilai penyelesaian yang diperoleh perlu diuji dengan mensubstitusikan ke persamaan semula. Nilai penyelesaian yang menjadi anggota himpunan penyelesaian (HP) adalah yang mengakibatkan : 1. numerus pada persamaan semula bernilai positif. 2. bilangan pokok logaritma pada persamaan semula bernilai positif dan tidak sama dengan 1 (satu).

Contoh soal dan penyelesaian.:  Bentuk alog f(x) = alog p.  Syarat f(x) > 0

 Penyelesaiannya adalah f(x) = p

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 2log (2x+1) = 3 !  Penyelesaian : 2

log (2x+1) = 3 => 2log (2x+1) 2log 23 => 2log (2x+1) = 2log 8

7 =3½ 2  Syarat : f(x) > 0 => x = 3 ½ => f(3 ½ ) = 2.3 ½ + 1 = 7 + 1 = 8 > 0 (memenuhi) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 3 ½ }

=> 2x + 1 = 8

=> 2x = 7 => x =

2. Tentukan HP dari 3log (2x-5) = 4  Penyelesaian : 3 log (2x-5) = 4 => 3log (2x-5) = 3log 34 => 3log (2x-5) = 3log 81 => 2x – 5 = 81 => 2x = 86 => x = 43  Syarat : f(x) > 0 => x = 43 => f(43) = 2.43 - 5 = 86 – 5 = 81 > 0 (memenuhi) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 43 }  Bentuk alog f(x) = alog g(x).  Penyelesaiannya f(x) = g(x)  Syarat f(x) dan g(x) > 0. 1. Tentukan HP dari 3log (2x-3) = 3log (x+1) !  Penyelesaian : 3 log (2x-3) = 3log (x+1) => 2x – 3 = x + 1 => x = 4  Syarat : f(x) dan g(x) > 0 x = 4 => f(4) = 2.4 – 3 = 8 - 3 = 5 > 0 (memenuhi) => g(4) = 4 + 1 = 5 > 0 (memnuhi) Jadi HP : { 4 } 2. Tentukan HP dari 2log ( 2x-3) = 2log (x2-3x+1) !.  Penyelesaian : 2 log (2x-3) = 2log (x2-3x+1) => 2x -3 = x2 – 3x + 1 => x2 – 5x + 4 = 0 => (x - 1)(x - 4) = 0 => x = 1 atau x = 4  Syarat : f(x) dan g(x) > 0 x = 1 => f(1) = 2.1 -3 = 2 – 3 = -1 < 0 (tidak memenuhi) x = 4 => f(4) = 2.4 – 3 = 5 > 0 (memenuhi) => g(4) = 42 – 3.4 + 1 = 16 – 12 + 1 = 5 > 0 (memenuhi). Jadi HP : { 4 }  Bentuk alog f(x) = blog f(x).

 Penyelesaiannya f(x) = 1

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3log (x2-2x-7) = 2log (x2-2x-7) !  Penyelesaian : 3 log (x2-2x-7) = 2log (x2-2x-7) => x2-2x-7 = 1

=> x2-2x – 8 = 0 => (x-4)(x+2) = 0 => x = 4 atau x = -2 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {4,-2} 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3log (x2-3) = 5log (x2-3) !  Penyelesaian : 3 log (x2-3) = 5log (x2-3) => x2-3 = 1 => x2 – 4 = 0 => (x-2)(x+2) = 0 => x = 2 atau x = -2 jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 2}  Bentuk f(x)log g(x) = p.  Penyelesaiannya f(x)p = g(x).  Syarat ; f(x) dan g(x) > 0 dan f(x)  1. 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari xlog (x+2) = 2 !  Penyelesaian : x log (x+2) = 2 => x2 = (x+2) => x2 – x – 2 = 0 => (x-2)x+1) = 0 => x = 2 atau x = -1

 Syarat : f(x) dan g(x) > 0 dan f(x)  1 x = 2 => f(2) = 2 > 0 dan f(2) ≠ 1 (memenuhi) => g(2) = 2+2 = 4 > 0 (memenuhi). x = -1 => f(-1) = 1 < 0 (tidak memenuhi). Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 2 }

2. tentukan himpunan penyelesaian dari (x+2)log (5x+6) = 2 !.  Penyelesaian : (x+2) log (5x+6) = 2 => (x+2)2 = (5x+6) => x2 + 4x + 4 = 5x + 6 => x2 – x – 2 = 0 => (x-2)(x+1) = 0 => x = 2 atau x = -1

 Syarat ; f(x) dan g(x) > 0 dan f(x) ≠ 1 x = 2 => f(2) = 2+2 = 4 > 0 dan f(2) ≠ 1 (memenuhi) => g(2) = 5.2+6 = 16 > 0 (memenuhi) x = -1 => f(-1) = -1 + 2 = 1 > 0 tetapi f(-1) = 1 (tidak memenuhi) Jadi himpunan penyelesaiannya adalag { 2 }

 Bentuk f(x)log a = g(x)log a.  Penyelesaiannya f(x) = g(x).  Syarat : f(x) dan g(x) > 0 serta f(x) dan g(x) ≠ 1 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari (x-5)log 5 = (-2x+1)log 5 !.  Penyelesaian : (x-5) log 5 = (-2x+1)log 5 => x-5 = -2x+1 => 3x = 6 => x = 2

 Syarat : f(x) dan g(x) > 0 serta f(x) dan g(x) ≠ 1 x = 2 => f(2) = 2-5 = -3 < 0 (tidak memenuhi). Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { }

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari

( x 2 3 x  7 )

log 3  ( 2 x 3) log 3 !.

 Penyelesaian : ( x 2 3 x  7 ) log 3  ( 2 x 3) log 3 => x2 – 3x + 7 = 2x + 3 => x2 – 5x + 4 = 0 => (x – 1)(x – 4) = 0 => x = 1 atau x = 4  Syarat : f(x) dan g(x) > 0 serta f(x) dan g(x) ≠ 1 x = 1 => f(1) = 12 – 3.1 + 7 = 5 > 0 dan f(1) ≠ 1 (memenuhi) => g(1) = 2.1 + 3 = 5 > 0 dan g(1) ≠ 1 (memenuhi). x = 4 => f(4) = 42 – 3.4 + 7 = 11 > 0 dan f(4) ≠ 1 (memenuhi) => g(4) = 2.4 + 3 = 11 > 0 dan g(4) ≠ 1 (memenuhi) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {1 , 4}  Bentuk f(x)log g(x) = f(x)log h(x).  Penyelesaiannya g(x) = h(x).  Syarat : f(x), g(x) dan h(x) > 0, serta f(x) ≠ 1 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari xlog (2x+3) = xlog (x2-2x+6) !.  Penyelesaian : x log (2x+3) = xlog (x2-2x+6) => 2x + 3 = x2 - 2x + 6 => x2 - 4x + 3 = 0 => (x – 1)(x – 3) = 0 => x = 1 atau x = 3  Syarat ; f(x), g(x) dan h(x) > 0, serta f(x) ≠ 1 x = 1 => f(1) = 1 (tidak memenuhi) x = 3 => f(3) = 3 > 0 dan f(x) ≠ 1 (memenuhi) => g(3) = 2.3 + 3 = 9 > 0 (memenuhi) => h(3) = 32 – 2.3 + 6 = 9 > 0 (memenuhi) Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 3 } 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari xlog (2x-1) = xlog (x + 3) !.  Penyelesaian : x log (2x-1) = xlog (x + 3) => 2x – 1 = x + 3 => x = 4  Syarat ; f(x), g(x) dan h(x) > 0, serta f(x) ≠ 1 x = 4 => f(4) = 4 > 0 dan f(4) ≠ 1 (memenuhi). => g(4) = 2.4 – 1 = 7 > 0 (memenuhi) => h(4) = 4 + 3 = 7 > 0 (memenuhi) Jadi himpunan penyelesaiannya adalh { 4 }

 Bentuk A.( a log x) 2  B.( a log x)  C  0  Penyelesaiannya Ay2 + By + C = 0 dengan y = alog x => x = ay 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari 5log2 x + 3.5log x – 4 = 0 !.  Penyelesaian: 5 log2 x + 3.5log x – 4 = 0 => (5log x)2 + 3(5log x) – 4 = 0, misal y = 5log x, maka diperoleh: => y2 + 3y – 4 = 0 => (y + 4)(y – 1) = 0 => y = -4 atau y = 1 1 1 untuk y = -4 => 5log x = -4 => x = 5-4 = 4  625 5 untuk y = 1 => 5log x = 1 => x = 51 = 5. 1 Jadi himpunan penyelesainnya adalah { ,5} 625 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari log2 x + log x2 – 3 = 0 !.  Penyelesaian : log2 x + log x2 – 3 = 0 => (log x)2 + 2(log x) – 3 = 0, misal y = log x, maka diperoleh : => y2 + 2y – 3 = 0 => ( y + 3)(y - 1) = 0 => y = -3 atau y = 1 1 1 Untuk y = -3 => log x = -3 => x = 10-3 = 3  1000 10 Untuk y = 1 => log x = 1 => x = 10. 1 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { , 10 } 1000  SOAL-SOAL LATIHAN. 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari : a..2log (2x+1) = 4 b. 3log (x2 – 3x -7) = 1 c. log (x2 + 7x + 11) = 0 d. 2log (3x–5) – 2log (x+2) = 1 e. 2log x + 2log (x+2) = 3 f. log (x-2) + log (x-1) = 3

2

Tentukan himpunan penyelesaian dari : a.. 2log (3x+2) = 2log (x2-3x+7) b. 2log (x-4) + 2log (x-6) = 2 c. 3log (x2+x) = 3log (2x+2) d. log (2x-30 + log 4 = log (2x+6) e. 4log (3x-3) = 4log (x+2) f. 3log (x2-x+6) = 3log (4x+2)

3 Tentukan himpunan penyelesaian dari : a..4log (x2+7x+13) = 5log (x2+7x+13) 2 2 4 2 b. log (x -2x-7) = log (x -2x-7) c. 3log (x2-x+1) = 5log (x2-x+1) d. 6log (x2-x-1) = 5log (x2-x-1) 4 Tentukan himpunan penyelesaian dari : a.. xlog (2x-3) + xlog 2 = 1 b. xlog (x+3) – 2 = xlog 4 c. xlog (x+10) – xlog (2x-10 = 2 d. xlog (4x-2) = 1 5 Tentukan himpunan penyelesaian : dari : a.. (2x-4)log 5 = (-x+2)log 5 2 b. ( x 3 x  7 ) log 3  ( 2 x 3) log 3 c.

( x 2 10 )

d.

( 2 x 2 10 x  2 )

6

7

Tentukan himpunan penyelesaian dari : a..(2x-5)log (x+4) = (2x-5)log (2x+1) b. (2x+1)log(x2-3x+7) =(2x+1)log(3x+2) c. (x+6)log x2 = (x+6)log (6x+7) d. (2x-1)log(x2-5) = (2x-1)log 4x e. (x=20log (5x-6) = (x+2)log x2 Tentukan himpunan penyelesaian dari : a..2log2x – 2.2log x – 3 = 0 b. 2log2x – 2log x3 + 2 = 0 c. 5log2x – 5log x4 + 5log 125 = 0 d. 2log2x + 2.2log x – 3 = 0 e. 2.log2x – 3.log x = -1 f. 2log2x + 4.2log x = 2log 32 g. 2.4log2x – 10.4log x + 8 = 0

log 6  ( 7 x 8) log 6 log 4  (  x

2

 2 x 10 )

log 4

B. Fungsi Logaritma Fungsi Logaritma adalah suatu fungsi invers (balikan) dari fungsi eksponen. Bila fungsi eksponen dinyatakan dengan f(x) = ax, a > 0, a ≠ 1, maka invers dari f(x0 ditulis dengan f-1(x) = alog x atau f(x) = alog x, a > 0, a ≠ 1. Secara umum bila y = ax, maka x = alog y.  Bila f(x) = alog x, dengan a > 1, x > 0 , x  R, maka f(x) dikatakan fungsi turun.  Bila f(x) = alog x, dengan 0 < a < 1, x > 0 , x  R, maka f(x) dikatakan fungsi naik. Grafik fungsi logaritma selalu melalui titik (1,0) dan selalu berada di sebelah kanan sumbu Y. Perhatikan gambar di bawah ini. Y y = alog x, a > 1 X 0

(1,0) y = alog x, 0
Contoh Soal : 1. Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2log x , x  R !  Penyelesaian : Fungsi y = f(x) = 2log x 1 1 X 8 4 2 y = log x -3 -2

1 2 -1

1

2

4

8

0

1

2

3

Grafiknya.

1

2. Gambarkan grafik fungsi f(x) = 2 log x, x  R !  Penyelesaian :

1 2

Fungsi y = f(x) = log x 1 1 x 8 4 1 3 2 2 y = log x Grafiknya.

1 2 1

1

2

4

8

0

-1

-2

-3

C. Pertidaksamaan logaritma. Dari grafik fungsi logaritma di atas tampak bahwa : 1. Untuk a rel="nofollow"> 1 - Bila alog f(x)  alog g(x), maka f(x)  g(x), dengan syarat f(x) dan g(x) > 0. - Bila alog f(x)  alog g(x), maka f(x)  g(x), dengan syarat f(x) dan g(x) > 0. Contoh soal : Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2log (2x-3) > 2log 5 !  Penyelesaian : 2 log (2x-3) > 2log 5 , karena a = 2 dan a > 1, maka 2x – 3 > 5 2x > 8 x > 4 ........(1)  Syarat : f(x) > 0  2x – 3 > 0 2x > 3 x > 1½ ..... (2) (1) 4 (2) 1½ 4 Kesimpulan : Nilai x yang menjadi penyelesaian pertidaksamaan harus memenuhi (1) dan (2) Jadi nilai x yang memenuhi adalah x > 4 2. Untuk 0 < a < 1 - Bila alog f(x)  alog g(x) , maka f(x)  g(x) dengan syarat f(x) dan g(x) > 0 - Bila alog f(x)  alog g(x) , maka f(x)  g(x) dengan syarat f(x) dan g(x) > 0. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan ½ log (x2 – X) < -1 !  Penyelesaian : ½ log (x2 – x) < -1 ½ log (x2 – x) < ½ log 2 , karena a = ½ dan 0 < a < 1 , maka 2 x – x > 2  x2 – x – 2 > 0  (x – 2)(x + 1) > 0  x > 2 atau x < -1 ................(1)  Syarat : f(x) > 0  x2 – x > 0  x(x – 1) > 0  x < 0 atau x > 1 .........(2) (1) -1 2 (2) 0 1 -1 2 Kesimpulan ; Himpunan penyelesaiannya adalah { x < -1 atau x > 2}

SOAL-SOAL LATIHAN 1. Gambarkan grafik fungsi logaritma di bawah ini : 1 1 1 a. y = 4log x,  x  16 b. y  4 log x,  x  16 16 16 1 1 1 c. y  5 log x,  x  25 d. y = 5 log x,  x  25 25 25 2. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : a. 6log (x2 – x) > 1 b. 2log (x2 – x) > 2log 6 c. 2log (3x + 2) < 2log (x2 – 3x + 2) d. 3log (2x – 3) < 3log (x2 + 2x – 5) e. 2log (3x – 5) + 2log (x – 2) > 1 3. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan : 1

a. 3 log( x  3)  1 1

b. 3 log( x 2  2 x)  1 1 3

1 3

c. log( x  x  2)  log( x  6) 1 5

2

1 5

d. log(2 x  x  1)  log(3x 2  2 x  1) 1

2

1

e. 2 log(2 x 2  x  1)  2 log(2 x 2  2 x  1) 1

1

f. 3 log(12 x 2  x  1)  3 log(6 x 2  x  1)