Pers

PERSAMAAN PARABOLA Definisi Parabola Diberikan suatu titik tertentu f dan garis tertentu D dalam bidang, suatu parabola adalah himpunan semua titik (x, y) sedemikian sehingga jarak antara f dan (x, y) sama dengan jarak antara D dan (x, y). Titik f disebut sebagai fokus parabola dan garis D disebut sebagai direktriks.

Persamaan umum dari suatu parabola dapat diperoleh dengan mengkombinasikan definisi di atas dan rumus jarak. Dengan tidak mengurangi keumuman, kita dapat menganggap parabola yang ditunjukkan pada gambar di atas memiliki titik puncak di (0, 0) dan memiliki titik fokus di (0, p). Seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah, parabola yang dimaksud memiliki direktriks dengan persamaan y = –p , sehingga semua titik pada D dapat dituliskan sebagai (x, –p).

Dengan menggunakan rumus jarak dan menerapkan definisi bahwa d1 = d2, kita mendapatkan,

Persamaan terakhir di atas disebut persamaan bentuk fokus-direktriks dari suatu parabola vertikal dengan titik puncak di (0, 0). Jika parabola di atas diputar sehingga terbuka ke kanan, maka kita akan mendapatkan suatu parabola horizontal dengan titik puncak di (0, 0), dan persamaannya adalah y² = 4px.

A. Persamaan Parabola dengan titik puncak P ( 0, 0 ) Suatu parabola vertikal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: x² = 4py, yang memiliki fokus di (0, p) dan dengan direktriks: y = –p. Jika

p

>

0,

parabola

tersebut

akan

terbuka

Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke bawah. Contoh soal : Diketahui x2 = -12y. Tentukanlah: a. koordinat pusat

c. persamaan direktriksnya

b. koordinat titik fokus

d. sketsa grafik

Jawab: x2 = -12y 4p = -12 ⇒ p =

−12 4

⇒ p = -3

ke

atas.

a. Pusat ( 0, 0 ) b. Fokus ( 0, -3 ) c. Direktriksnya y = 3

d. Suatu parabola horizontal memiliki persamaan dalam bentuk fokus-direktriks: y² = 4px, yang memiliki fokus di (p, 0) dan dengan direktriks: x = –p. Jika p > 0, parabola tersebut akan terbuka ke kanan. Jika p < 0, parabola tersebut akan terbuka ke kiri Contoh soal : Diketahui persamaan parabola y2 = 8x. Tentukanlah: a. koordinat pusat

c. persamaan direktriksnya

b. koordinat titik fokus

d. sketsa grafik

jawab: y2 = 8x 8

4p = 8 ⇒ p = 4 ⇒ p = 2 a. pusat ( 0, 0 ) b. fokus ( 2, 0 ) c. x = -2

d. Fokus

Direktris

Sb. Simetri

LR

Persamaan

Keterangan

( p, 0 )

x = -p

Sumbu y

4p

y2 = 4px

Terbuka kebawah ( p < 0 )

( -p, 0 )

x=p

Sumbu y

4p

y2 = -4px

Terbuka kekiri ( p < 0 )

( 0, p )

y = -p

Sumbu x

4p

x2 = 4py

Terbuka keatas ( p > 0 )

( 0, -p )

y=p

Sumbu x

4p

x2 = -4py

Terbuka kekanan ( p < 0 )

B. Persamaan Parabola dengan titik puncak P ( a, b)

1. Sumbu simetrinya sumbu x: Persamaan parabola : ( y – b )2 = 4p ( x –a ) Koordinat fokus : F = ( p + a, b ) Direktriks : x = a - p 2. Sumbu simetrinya sumbu y: Persamaan parabola : ( x – a )2 = 4p ( y –b ) Koordinat fokus : F = ( a, p + b ) Direktriks : y = b - p contoh soal: 1. diketahui ( y – 1 )2 = 4 ( x + 3 ). Tentukanlah: a. Koordinat pusat b. Koordinat titik fokus c. Direktriksnya d. Sketsa grafik Jawab: ( y – 1 )2 = 4 ( x + 3 ) 

( y – 1 )2 ⇒ ( y – b )2 ⇒ b = 1



4p = 4 ⇒ p = 4 ⇒ p = 1

4

 ( x + 3 ) ⇒ ( x – a ) ⇒ a = -3 a. Pusat ( -3, 1 ) b. Titik fokus ( p + a, b ) = ( 1 + -3, 1 ) = ( -2, 1 ) c. x = a – p = -3 – 1 = -4

d.

C. Bentuk umum persamaan parabola Sumbu simetri disumbu x ( y – b )2 = 4p ( x – a ) y2 – 2by + b2 = 4px – 4pa y2 – 2by – 4px + b2 + 4pa = 0 y2 +Ay + Bx + C = 0

⇒ A = -2b, B = -4p, C = b2 + 4pa

Sumbu simetri disumbu y ( x – a )2 = 4p ( y – b ) x2 – 2ax + a2 = 4py – 4pb x2 – 2ax – 4py + a2 + 4pb = 0 x2 +Ax + By + C = 0

⇒ A = -2a, B = -4p, C = a2 + 4pb

Contoh soal: 1. Ubah kebentuk umum dari persamaan parabola : ( y – 4 )2 = 16 ( x – 3 ) Jawab: Sumbu simetri disumbu x a = 3; b = 4; 4p = 16 A = -2b = -2 . 4 = -8 B = -4p = -4 . 4 = -16

C = 42 + 4 . 4 .3 = 16 + 48 = 64 Bentuk umum persamaan parabola y2 +Ay + Bx + C = 0 → y2 – 8y – 16x + 64 = 0 2. Tentukan puncak dan fokus dari persamaan parabola : x2 + 10x – 8y + 41 = 0 Jawab: Sumbu simetri di sumbu y 10



a = −2 = -5



B = -4p -8 = -4p p=



−8 −4

=2

C = a2 + 4pb 41 = (-5)2 + 4 . 2 . b 41 = 25 + 8b 8b = 41 – 25 8b = 16 b=2

jadi, puncak ( a, b ) = ( -5, 2 ) titik fokus ( a, b + p ) = ( -5, 2 + 2) = ( -5, 4 )

Drill your mind: 1. Tentukan puncak, fokus, dan direktriks parabola dibawah ini a. y2 = 20x b. x2 = -12y c. ( y + 3 )2 = 8 ( x – 2 ) d. ( x – 1 )2 = 16 ( y – 4 ) e. y2 + 10y – 12x – 59 = 0 f. x2 – 4x + 8y – 4 = 0 jawab: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. Tentukan persamaan parabola, jika: a. Puncak P ( 0, 0 ) dan fokus F ( -3, 0 ) b. Puncak P ( -3, 4 ) dan fokus F ( -3, -2 ) Jawab:

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

3. Tentukan persamaan parabola dengan: a. Fokus ( 2, 0 ) dan direktris x = -2 b. Puncak ( 2, 3 ) dan direktriks y = -2 Jawab: ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________