Perkalian Vektor.docx

PERKALIAN VEKTOR ATAU CROSS PRODUCT VEKTOR

A. Pengertian cross product vector Defenisi: cross product vector anatara dua vector 𝑎 ⃗⃗⃗ dan 𝑏⃗ dengan mutasi 𝑎 x 𝑏⃗ ( dibaca 𝑎 cross 𝑏⃗) dimaksudkan adalah suatu vektor 𝑎 dan vektor 𝑏⃗. Misalkan vector tersebut adalah 𝑐 maka ditulis 𝑐 = 𝑎 x 𝑏⃗, maka vector 𝑐 adalah tegak lurus pada 𝑏⃗ dan searah pada sistim putaran tangan kanan (Right hand system). Pada gambar 44, dapat diartikan bahwa 𝑐 = 𝑎 x 𝑏⃗ 𝑑 = 𝑏⃗ x 𝑎

𝑐

Dan 𝜃 = sudut antara vector 𝑎 dengan vector 𝑏⃗

D 𝑏⃗ A 𝜃 h

C

𝑎 𝑑

(Gambar 44)

Dalam hal ini dirumuskan bahwa: ⃗⃗⃗ | 𝑏⃗| sin 𝜃 ) 𝑒 ; 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 𝑎 x 𝑏⃗ = (│𝑎| Dimana 𝑒 merupakan vector satuan yang menyatakan bahwa 𝑎 x 𝑏⃗ adalah sebuah vector. Bila diperhatikan gambar 44, maka luas daerah jajaran yang terjadi yaitu ABCD, sebut luasnya L sehingga: L = ( ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ) h; h = Jarak sisi ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐶 pada ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 L = | 𝑎 | h ; h = | 𝑏⃗ | sin 𝜃 ⃗⃗⃗ | 𝑏⃗| sin 𝜃 L = │𝑎| L = | 𝑎 x 𝑏⃗ |

Berarti | 𝑎 x 𝑏⃗ | = luas daerah jajaran genjang yang sisi-sisinya vektor-vektor 𝑎 dan 𝑏⃗ dan sudut apitnya 𝜃. Dapat juga dikatakan bahwa | 𝑎 x 𝑏⃗ | = 2 kali luas daerah segitiga Yng sisinya vektor-vektor 𝑎 dan 𝑏⃗ Dan sudut apitnya 𝜃.

B. Sifat-sifat Cross Product Vektor 1. Sifat Komutatif 𝑎 x 𝑏⃗ = | 𝑎 x 𝑏⃗ | sin 𝜃 𝑒

𝑐 = 𝑎 x 𝑏⃗

𝑎 x 𝑏⃗ = ( | 𝑎 x 𝑏⃗ | sin 𝜃 ) ⃗0

⃗ x 𝑎 𝑑=-𝑐= ℎ

⃗ x ⃗𝒃 = 0, maka ada 3 kemungkinan yaitu: 2. Jika 𝒂 a. 𝑎 = 0 b. 𝑏⃗ = 0 c. 𝑆𝑖𝑛 < (𝑎, 𝑏⃗) = 0

berarti < (𝑎, 𝑏⃗) = 0° atau 𝑎 sejajar 𝑏⃗.

3. Sifat distributif 𝑎 x ( 𝑏⃗ + 𝑐 ) = (𝑎 x 𝑏⃗ ) + ( 𝑎 × 𝑐 ) Pembuktian sifat distributif dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut: Misalkan 𝑎 × ( 𝑏⃗  𝑐 ) ≠ 𝑎 × 𝑏⃗ + 𝑎 × 𝑐 Karena dimisalkan kedua ruas tidak sama, maka tentu ada selisih, misalkan selisih itu 𝑣. Jadi 𝑣 = 𝑎 × ( 𝑏⃗ + 𝑐 ) – ( 𝑎 × 𝑏⃗ ) − ( 𝑎 × 𝑐 )………………… (∗ ) sehingga jika dapat dibuktikan bahwa 𝑣 = 0 maka sifat distributif di atas telah terbukti. Ambil vector sembarang 𝑢 ⃗ , sehingga: 𝑢 ⃗  𝑣= 𝑢 ⃗  ( 𝑎 × ( 𝑏⃗ + 𝑐 ) ) − 𝑢 ⃗  ( 𝑎 × 𝑐)- 𝑢 ⃗  (𝑎 × 𝑐) Gunakan rumus 𝑎  ( 𝑏⃗ × 𝑐 ) = (𝑎 × 𝑏⃗ )  𝑐 (akan dibuktikan kemudian pada Bab VI). Jadi: 𝑢 ⃗  𝑣 = (𝑢 ⃗ x 𝑎 )  (𝑏⃗ + 𝑐 ) – (𝑢 ⃗ x 𝑎 )  𝑏⃗ – ( 𝑢 ⃗ x 𝑎) 𝑐 = (𝑢 ⃗ x 𝑎 )  𝑏⃗  (𝑢 ⃗ x 𝑎 )  − (𝑢 ⃗ x 𝑎 )  𝑏⃗ – (𝑢 ⃗ x 𝑎)𝑐 𝑢 ⃗  𝑣 = 0, sehngga didapat kemungkinan: a) 𝑢 ⃗ = 0 atau 0 ( u, v ) = 0 b) Cos (𝑢 ⃗ ,𝑣 ) = 0

𝑢 ⃗ tegak lurus 𝑣; 𝑢 ⃗

Sembarang maka dapat diambil u ≠ 0 dan 𝑢 ⃗ tidak tegak lurus 𝑣 sehingga: c) 𝑣 = 0, maka persamaan ( * ) menjadi : a⃗ × ( 𝑏⃗ + 𝑐 ) – ( a⃗ × 𝑏⃗ ) – ( a⃗ × 𝑐 ) = 0 atau a⃗ × ( 𝑏⃗ + 𝑐 ) = ( a⃗ × 𝑏⃗ ) + ( a⃗ × 𝑐 ) Jadi sifat distributif tersebut telah terbukti. ⃗ ) = ( m𝐚⃗ ) × 𝒃 ⃗ =𝐚 ⃗ ), m = skalar. ⃗ × ( m𝒃 4. Sifat: m (𝐚⃗ × 𝒃 5. Pada vektor-vektor satuan 𝒊 , 𝒋 , ⃗𝒌 berlaku: a) 𝑖 × 𝑖 = | 𝑖 | | 𝑗 | sin < (𝑖 , 𝑗 ) = | 𝑖 2 | sin 0° = 1  0 = 0 Dengan cara yang sama didapat: 𝑗 × 𝑗 = 0 ⃗ ×𝑘 ⃗ =0 𝑘 ⃗ b) 𝑖 × 𝑗 = − ( 𝑖 × 𝑗 ) = 𝑘 ⃗ = − (𝑘 ⃗ ×𝑗)=𝑖 𝑗×𝑘 ⃗ × 𝑖 = − (𝑖 × 𝑘 ⃗ )=𝑗 𝑘