Penyelesain Aljabar.docx

Penyelesain Aljabar – Persamaan Linier secara simultan Pada Bagian 1.1, sebuah metode grafis dijelaskan untuk solusi persamaan linier simultan. Kedua garis itu dibuat sketsa pada kertas grafik dan titik koordinat yang sama. Perpotongan kemudian terbaca dari diagram. Sayangnya pendekatan ini sudah terdapat beberapa kelemahan, Tidak selalu mudah untuk menentukan skala yang sesuai untuk sumbu. Sekalipun berskala memungkinkan semua empat poin (dua dari setiap baris) agar sesuai dengan diagram, tidak ada jaminan bahwa titik persimpangan itu sendiri juga terletak di atasnya. Pada bagian ini, metode alternatif solusi dijelaskan yang bergantung pada aljabar. Metode ini disebut metode eliminasi, karena setiap tahap proses menghilangkan satu (atau lebih) dari yang tidak diketahui. Metode ini selalu menghasilkan solusi yang tepat dan dapat diterapkan pada sistem persamaan lebih besar dari dua persamaan dalam dua hal yang tidak diketahui. Untuk mengilustrasikan metode ini, berikut contohnya :

Koefisien x dalam persamaan (1) adalah 4 dan koefisien x dalam persamaan (2) adalah 2. Jika angka ini ternyata sama persis maka kita bisa menghilangkan variabel x dengan mengurangkan satu persamaan dari yang lain. Namun, kita bisa mengatur agar hal ini dapat mengalikan sisi kiri dari persamaan kedua dengan mengkalikan 2. Tentu saja, kita juga harus ingat untuk melipatgandakan sisi kanan persamaan kedua dengan mengkalikan 2 agar operasi perhitungan ini tepat. Persamaan kedua kemudian menjadi

*Kita sekarang dapat mengurangi persamaan (3) dari (1) untuk mendapatkan Berikut adalah pengurangan dua tata letak dengan dua momor urut :

* X akan dihilangkan ketika dikurangkan Nomor bisa dapat diganti menjadi salah satu persamaan asli untuk menyimpulkan x. Dari persamaan (1)

Metode eliminasi dapat diringkas sebagai berikut.

Langkah 1 Tambahkan / kurangi satu dari satu persamaan ke / dari kelipatan yang lain untuk menghilangkan x.

Langkah 2 Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk y.

Langkah 3 Gantikan nilai y menjadi salah satu persamaan asli untuk menyimpulkan x.

Langkah 4 Periksa bahwa tidak ada kesalahan yang telah dilakukan dengan mengganti kedua x dan y ke dokumen asli lainnya persamaan.

SARAN Dalam deskripsi metode umum, kami menyarankan agar variabel x dieliminasi Langkah 1. Tidak ada yang spesial dari x. Kita bisa sama baiknya menghilangkan y pada tahap ini dan kemudian selesaikan persamaan yang dihasilkan pada langkah 2 untuk x. Anda mungkin ingin memecahkan contoh di atas dengan menggunakan strategi alternatif ini. Kamu butuh persamaan ganda (2) dan kemudian kurangi (1).

CONTOH Contoh berikut memberikan praktik lebih lanjut dalam menggunakan metode dan mengilustrasikan beberapa kasus khusus yang mungkin terjadi Selesaikan sistem persamaan x 2y 1 2x 4y 3

Pengerjaan Langkah 1 Variabel x dapat dieliminasi dengan menggandakan persamaan pertama dan mengurangkan yang kedua:

Pernyataan '0 = 5' jelas tidak masuk akal dan ada yang salah. Untuk mengerti apa itu Terjadi di sini, mari kita coba dan selesaikan masalah ini secara grafis. Baris x - 2y = 1 melewati titik (0, -1/2) dan (1, 0) (periksa ini). Baris 2x - 4y = -3 berlalu melalui titik (0, 3/4) dan (-3/2, 0) (periksa ini). Gambar 1.11 menunjukkan bahwa garis-garis ini sejajar dan begitu mereka tidak berpotongan. Oleh karena itu tidak mengherankan bahwa kita tidak dapat menemukan solusi dengan menggunakan aljabar, karena sistem persamaan ini tidak memilikinya. Kita bisa menyimpulkan hal ini sebelumnya saat mengurangkan persamaan. Persamaan yang hanya melibatkan y pada langkah 2 dapat ditulis sebagai 0y=5

Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa sistem persamaan dapat memiliki solusi unik, tanpa solusi atau banyak solusi. Secara aljabar, hal ini dapat dideteksi pada langkah 2. Jika persamaan tersebut dihasilkan dari penghapusan x terlihat seperti maka persamaan tersebut memiliki solusi yang unik, atau jika memang demikian maka persamaan tersebut tidak memiliki solusinya, atau jika memang demikian maka persamaannya memiliki banyak solusi.

metode aljabar dapat digunakan untuk menyelesaikan tiga persamaan, detailnya lebih rumit daripada hanya untuk dua persamaan, Tapi prinsipnya sama.

Analisis penawaran dan permintaan Mikroekonomi berkaitan dengan analisis teori ekonomi dan kebijakan individu perusahaan dan pasar. Pada bagian ini kita fokus pada satu aspek tertentu yang dikenal sebagai pasar ekuilibrium, di mana terjadi keseimbanganantara penawaran dan permintaan. Pada materi ini menggambarkan bagaimana matematika diperkenalkan di dua bagian sebelumnya dapat digunakan untuk menghitung harga ekuilibrium dan kuantitas. Fungsi (F), adalah aturan yang memberikan setiap nomor masuk,(X), yang didefinisikan secara unik untuk nomor keluar yaitu (Y). Diilustrasikan pada gambar 1.13 Sayangnya, representasi semacam itu agak merepotkan. Ada dua alternatif cara mengekspresikan peraturan ini yang lebih ringkas. Kita bisa menulis dengan rumus seperti ini y = 2x + 3 or f (x) = 2x + 3

Yang pertama ini sudah biasa dari sebelumnya, sesuai dengan nomor yang masuk (x), sisi kanan memberitahu apa yang harus dilakukan dengan (x) untuk menghasilkan nomor keluar (y). Notasi kedua juga berguna. Karena ini memiliki keuntungan bahwa itu melibatkan label f, yang digunakan untuk memberi nama aturan. Jika dalam teori ekonomi, ada dua atau lebih fungsi, bisa kita gunakan label berbeda untuk merujuk ke masing-masing. Misalnya, fungsi kedua mungkin seperti ini g(x) 3x 10.

Variabel masuk dan keluar disebut sebagai variabel independen dan dependen masing-masing. Nilai y jelas 'tergantung' pada nilai sebenarnya dari x yang dimasukkan ke dalam fungsi. Sebagai contoh, dalam mikroekonomi kuantitas yang diminta, Q, dari yang baik tergantung pada harga pasar, P. Kita mungkin mengungkapkan hal ini sebagai Q f (P) Dua fungsi, f dan g, dikatakan fungsi invers: yaitu f adalah kebalikan dari g dan, secara ekuivalen, g adalah kebalikan dari f. Di materi ini akan menyelidiki fungsi mikroekonomi lainnya seperti total pendapatan, biaya rata-rata, dan keuntungan. Ditulis dalam bentuk P = g (Q), fungsi permintaan memberitahukan bahwa P adalah fungsi dari Q, tapi itu tidak memberikan informasi tentang hubungan yang tepat antara kedua variabel ini. Untuk menemukan ini, perlu mengetahui bentuk fungsi yang bisa didapat baik dari teori ekonomi atau dari bukti empiris. P aQ b Grafik fungsi permintaan linier tipikal ditunjukkan pada Gambar 1.14. Dasar Teori menunjukkan bahwa permintaan biasanya turun karena harga barang naik dan kemiringan jalur adalah negatif. Secara matematis, P kemudian dikatakan sebagai fungsi penurunan Q.

Dalam simbol yang kita tulis a < 0 Hal ini juga terlihat dari grafik bahwa intercept, b, positif: yaitu, b > 0 Sebenarnya, adalah mungkin dalam teori untuk kurva permintaan menjadi horizontal dengan a = 0

Q f (P, Y, PS, PC, A, T )

dimana variabel di dalam kurung dipisahkan dengan tanda koma. Dalam hal diagram Ini ditunjukkan dengan enam jalur masuk dan satu garis keluar seperti ditunjukkan pada Gambar 1.16. Dalam pembahasan sebelumnya, secara implisit diasumsikan bahwa variabel Y, PS, PC, A dan T adalah tetap. Menggambarkan situasi ini dengan menghubungi Q dan P variabel endogen, karena mereka dibiarkan bervariasi dan ditentukan dalam model. Sisa variabel dipanggil eksogen, karena mereka konstan dan ditentukan di luar model. Pada gambar 1.17 diasumsikan bahwa Y,PS,PC,A dan T semuanya konstan. Perhatikan bahwa saat harga adalah (P), kuantitas yang diminta adalah Q1. Sekarang anggaplah bahwa pendapatan (Y) itu meningkat. Biasanya akan mengharapkan permintaan naik karena penghasilan tambahan membeli lebih banyak barang dengan harga(P). Itu Efeknya jika menggeser kurva permintaan ke kanan, karena pada harga(P) konsumen mampu membelinya dengan jumlah barang yang lebih banyak(Q2).

Dari Gambar 1.17 kita menyimpulkan bahwa jika kurva permintaan adalah P aQ b

Dalam mikroekonomi kita memperhatikan interaksi antara penawaran dan permintaan. Pada diagram 1.19, menunjukkan kurva penawaran dan permintaan yang khas digambarkan pada diagram yang sama. Khususnya yang signifikansi adalah titik persimpangan. Pada titik ini pasar berada dalam ekuilibrium karena kuantitas yang diberikan sama persis dengan jumlah yang diminta. Harga yang sesuai(P0), dan kuantitas(Q0), disebut ekuilibrium harga dan kuantitas. Dalam prakteknya, seringkali terjadi penyimpangan harga pasar yang jauh dari harga ekuilibrium itu adalah yang paling menarik. Misalkan harga pasar(P), melebihi harga ekuilibrium(P0). Dari Gambar 1.19 kuantitas yang ditawarkan(QS), lebih besar dari kuantitas yang diminta(QD), jadi ada kelebihan pasokan, ada stok barang yang tidak terjual yang cenderung menekan harga dan menyebabkan perusahaan untuk mengurangi produksi.Jika harga pasar turun di bawah harga ekuilibrium maka permintaan melebihi menyediakan. Kekurangan ini mendorong harga naik dan mendorong perusahaan untuk memproduksi lebih banyak barang, jadi pasar kembali menuju titik keseimbangan.