Penyelesaian Masalah

TUGASAN 3: Projek dan Laporan Penyelesaian Masalah. 3.1

Menentukan Masalah Sebenar Dalam sebuah ekosistem, hubungan dinamik antara pemangsa dan manga telah lama

dan akan terus menjadi. Masalah ini mungkin kelihatan mudah pada mulanya, tetapi hakikatnya ia sangat mencabar dan rumit. Dr. Scott Campbell, seorang profesor ‘Chemical & Biomedical Engineering’ di University of South Florida telah menjalankan satu kajian terhadap hubungan antara serigala sebagai pemangsa dan arnab sebagai mangsa. Kajian ini dijalankan untuk mengkaji hubungan antara serigala dan arnab serta peranan pemangsa dan mangsa dalam sesebuah habitat. Kestabilan dalam hubungan pemangsa-mangsa dari masa ke masa membolehkan kita untuk mengukur kekuatan dan kestabilan sesebuah ekosistem. Hal ini kerana, jika bilangan salah satu daripada pemangsa-mangsa meningkat atau kurang akan memberi kesan kepada bilangan pemangsa-mangsa. Berikut merupakan data populasi serigala dan arnab yang diambil daripada sebuah taman negara selama 12 bulan:

Bulan,t Bil. Arnab,R Bil. Serigala,F

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1000

750

567

500

567

750

1000

1250

1433

1500

1433

1250

150

143

125

100

75

57

50

57

75

100

125

143

Jadual 1: Bilangan serigala dan arnab dalam satu tahun. Berdasarkan Jadual 1, saya akan menggunakan data ini untuk mencari punca kepada populasi meningkat atau menurun. Saya akan mengaplikasikan Model Lotka-Volterra dalam menyelesaikan masalah ini. Hal ini kerana, model ini menggunakan dua pemboleh ubah yang bersandar iaitu pemangsa dan mangsa. Mangsa ialah satu populasi yang mempunyai sumber makanan yang cukup untuk membiak manakala pemangsa iailah spesis yang memakan mangsa. 3.2

Penyelesaian Masalah

Langkah penyelesaian: a) Cari penyelesaian yang konstant dan tafsir data. b) Guna sistem persamaan pembezaan unutk mencari persamaan 𝑑𝑊 ⁄𝑑𝑅. c) Lukis satu arah lapangan untuk keputusan persamaan pembezaan dalam RW-plane.

d) Kemudian, lukis lengkungan dan gunakannya untuk menyatakan perubahan pada tahap kedua-dua populasi. e) Menganalisis data. Pengiraan: a) Diberi k = 0.05, a = 0.001, r = 0.02 , dan b = 0.00002 , maka persamaan Lotka-Volterra yang terhasil ialah : 𝑑𝑅 = 0.05𝑅 − 0.001𝑅𝑊 𝑑𝑡 𝑑𝑊 = 0.02𝑅 − 0.0002𝑅𝑊 𝑑𝑡 Kedua-dua R dan F akan menjadi konstant jika kedua-dua terbitan adalah 0, pengiraan adalah seperti berikut : R’ = R( 0.08 – 0.001F ) = 0 F’ = F( -0.02 + 0.00002R ) = 0 Satu penyelesaian yang diberi ialah R = 0 dan F = 0 ( jika tiada arnab atau serigala, maka kadar populasi tidak akan meningkat ). Cara penyelesaian konstant yang lain ialah : 𝑑𝑅 = 0 𝑑𝑡 0.05R − 0.001R𝑊 = 0 R (0.05 − 0.001𝑊) = 0 0.05 − 0.001𝑊 = 0 𝑊=

0.05 0.001

W = 50 𝑑𝑊 = 0 𝑑𝑡 −0.02𝑊 + 0.00002R𝑊 = 0

(−0.02 + 0.00002R) = 0 −0.02 + 0.00002R = 0 R = 1000 Oleh itu, populasi yang seimbang, terdiri daripada 1000 ekor arnab dan 50 ekor serigala. Hal ini bermaksud, bilangan 1000 ekor arnab sudah mencukupi untuk memberi menampung keperluan 100 ekor serigala.

b) Menggunakan peraturan lantai ( Chain Rule ) untuk menyingkirkan ‘t’ : 𝑑𝑊 𝑑𝑊 𝑑𝑅 = ˟ 𝑑𝑡 𝑑𝑅 𝑑𝑡 𝑑𝑊 −0.02𝑊 + 0.00002𝑅𝑊 = 𝑑𝑅 0.05𝑅 − 0.001𝑅𝑊 c) Jika F dikatakan sebagai fungsi kepada R, persamaan pembezaan ialah : 𝑑𝑊 −0.02𝑊 + 0.00002𝑅𝑊 = 𝑑𝑅 0.05𝑅 − 0.001𝑅𝑊 Rajah 1 menunjukkan medan arah untuk melukis persamaan dan pembezaan. Lukisan tersebut digunakan untuk melakar lengkungan penyelesaian seperti pada Rajah 2. Sekiranya kita bergerak sepanjang lengkungan penyelesaian, kita akan melihat bagaimana hubungan di antara R dan F berubah mengikut masa. Perhatikan bahawa lengkungan yang dilihat sangan rapat apabila kita bergerak di sepanjang lengkungan, kita akan kembali ke titik yang sama. Lihat juga titik (1000,50) berada dalam lengkungan penyelesaian. Titik itu dikenali sebagai titik keseimbangan kerana ia selari dengan penyelesaian keseimbangan R = 1000 dan F = 50.

Rajah 1: Medan arah bagi system mangsapemangsa

Rajah 2: Fasa potret dalam sistem Rajah 2 menunjukkan ‘phase trajectories’ bagi persamaan pembezaan. ‘Phase trajectories’ adalah satu laluan yang dihasilkan oleh penyelesaian ( R,F) sejajar dengan masa. Satu ‘phase potrait’ mengandungi titik keseimbangan dan ‘typical phase trajectories’.

d) Bagi menentukan pergerakkan mengelilingi ‘phase projectory’, masukkan R = 1000 dan F = 30 dalam persamaan pembezaan yang pertama. 𝑑𝑀 = 0.05𝑀 − 0.001 𝑀𝑊 𝑑𝑡 = 0.05 (1000) – 0.001 (1000)(30) = 20 Disebabkan oleh dR/dt > 0, menunjukkan bahawa R meningkat pada Pₒ, maka pergerakkan kita mengelilingi ‘phase trejectory’ adalah secara lawan jam.

e) Menganalisis data. Pada kuadran I, kita dapat melihat populasi mangsa meningkat berbanding dengan bilangan pemangsa. Po (1000,30) menunjukkan bilangan mangsa lebih banyak berbanding dengan pemangsa. Hal ini mungkin kerana populasi serigala baru berhijrah ke penempatan tersebut. Bilangan pemangsa tidak mencukupi untuk mengekalkan keseimbangan di antara populasi. Kuadran II menunjukkan bilangan populasi mangsa dan pemangsa meningkat secara selari. Hal ini dibuktikan dengan titik yang ditunjukkan pada P1 (3000,50). Titik tersebut telah menunjukkan peningkatan dari segi bilangan populasi mangsa dan pemangsa. Titik tersebut telah menunjukkan peningkatan dari segi bilangan populasi mangsa dan pemangsa. Hal ini mungkin kerana bilangan pemangsa yang sikit pada mulanya telah membolehkan mangsa membiak dan hidup dengan selamat. Apabila pemangsa menyedari kewujudan populasi mangsa yang banyak, semakin banyak bilangan pemangsa yang datang ke penempatan tersebut dan mengakibatkan bilangan pemangsa bertambah. Berdasarkan kuadran III, bilangan mangsa berkurang, dan bilangan pemangsa bertambah pada kuadrant ini. Seperti yang ditunjukkan pada titik P2 (1000,100), bilangan pemangsa meningkat lebih banyak, manakala bilangan mangsa pula semakin berkurang. Hal ini kerana, apabila bilangan pemangsa banyak, pemangsa akan makan mangsa yang ada. Pertumbuhan pemangsa juga menjadi lebih cepat disebabkan oleh sumber makanan yang mencukupi seperti andaian yang telah di buat dalam Lotka-Volterra model. Pada kuadrant IV pula, bilangan pamangsa dan mangsa menurun secara sejajar. Titik P3 (100,500) menunjukkan penurun dari segi bilangan populasi mangsa dan pemangsa. Hal ini terjadi kerana apabila bilangan pemangsa banyak berlakunya persaingan untuk hidup dari segi makanan. Sumber makanan yang ada tidak mencukupi untuk menampung keperluan makanan pemangsa. Hal ini menyebabkan pemangsa terpaksa bergaduh untuk mendapatkan makanan dan akhirnya terdapat juga pemangsa yang mati. Selain itu, penurunan pemangsa juga di sebabkan oleh sesetengah pemangsa yang berhijrah ke tempat lain untuk mendapatkan bekalan manakanan yang mencukupi.

3.3

Banding dengan Realiti

Hasil dapatan daripada model ini menunjukkan bahawa turun naik populasi arnab dengan serigala adalah tidak selari. Adakalanya populasi serigala meningkat, namun populasi arnab juga masih di tahap yang tinggi yang mana populasi arnab tidak mengalami penurunan. Pada pandangan saya, pertambahan bilangan mangsa bukan sahaja tertumpu kepada kurangnya bilangan pemangsa dan sumber makanan yang cukup, malah hal ini juga boleh terjadi sekiranya berlakunya migrasi mangsa yang sama dari tempat yang lain. Apabila kehadiran mangsa yang sama dari tempat lain semakin ramai, maka bilangan mangsa akan bertambah. Pada pandangan saya, sesuatu habit mempunyai ekosistemnya yang tersendiri di mana setiap ekosistem mempunyai pelbagai mahkluk hidup yang saling bergantung antara satu sama lain. Serigala merupakan haiwan omnivor di mana serigala boleh makan apa sahaja termasuklah ayam, tikus, siput, buah beri, bangkai haiwan dan sebagainya. Hal ini jelas menunjukkan bahawa pengurangan populasi serigala tidak bergantung kepada pengurangan populasi arnab semata-mata. Secara formula dan statistiknya jelas menunjukkan bahawa kedua-dua mangsa dan pemangsa saling bergantungan antara satu sama lain. Banyak perkara yang berlaku di luar sana yang menjadi faktor kepada perkembangan dan kematian mangsa dan pemangsa. Faktor yang menggugat perkembangan pemangsa yang pertama ialah pemangsa mendapat ganguan daripada pemangsa yang lain. Seperti yang saya nyatakan sebentar tadi, di dalam satu ekosistem terdapat pelbagai spesis haiwan yang tinggal bersama. Walaupun serigala dikatakan sebagai seekor haiwan yang kuat jika hendak dibandingkan dengan arnab, namun masih lagi terdapat haiwan lain yang lebih kuat seperti harimau. Seterusnya, pengurangan kadar perkembangan populasi mangsa dan pemangsa juga adalah di sebabkan oleh pemburuan haram secara terbuka yang dilakukan oleh manusia. Manusia membunuh serigala dan arnab bagi mendapatkan isi mereka serta bulu mereka untuk di jadikan pakaian. hal ini membuktikan bahawa pemburuan secara haram juga telah menyebabkan bilangan populasi arnab dan serigala semakin berkurang. Akhir sekali ialah perubahan iklim dan cuaca di sesuatu habitat menjadi salah satu faktor kepada pengurangan bilangan populasi mangsa dan pemangsa. Hal ini terjadi apabila sesuatu habitat sudah tidak sesuai untuk di diami, pemangsa dan mangsa akan mencari dan meneroka tempat baru yang sesuai dengan mereka. Sehubungan dengan itu, bilangan populasi mangsa dan pemangsa di tempat asal akan berubah. Sebagai contoh serigala merupakan haiwan yang tinggal di kawasan yang lembap seperti hutan hujan tropika, jika

habitat tersebut berubah menjadi sangat panas dan kering, serigala akan bermigrasi untuk mencari habitat yang sesuai. Hal ini akan menyebabkan bilangan populasi serigala di kawasan itu berkurang. Perkara yang sama juga akan berlaku terhadap arnab. Bukti ini jelas menunjukkan bahawa kadar pengurangan bilangan populasi mangsa dan pemangsa tidak bergantungan antara satu sama lain. Penutup Model matematik seperti model pemangsa-mangsa ini di wujudkan oleh pakar matematik adalah untuk membantu pakar-pakar ekologis untuk membuat pengiraan terhadap perubahan kadar perkembangan sesuatu populasi. Setiap model mempunyai fokusnya tersendiri yang perlu di capai. Sebagai contoh model pemangsa-mangsa di gunakan untuk melihat interaksi yang berlaku diantara dua populasi, manakala model perkembangan logistik pula ingin meramal dan melihat sejauh mana perkembangan sesuatu populasi pada tahap atau masa yang tertentu. Oleh itu, sebagai pengguna model matematik ini, kita hendaklah membuat pilihan model matematik yang tepat supaya objektif dapat dicapai. (1464 Patah Perkataan)