Pengertian Dilatasi.docx

Pengertian Dilatasi Dilatasi (pembesaran atau perkalian) merupakan suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperkecil atau memperbesar) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang bersangkutan. Dilatasi dapat ditentukan oleh titik pusat dan faktor (faktor skala) dilatasi. Dilatasi merupakan suatu transformasi mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) bentuk bangun geometri tetapi tidak mengubah bentuk bangun tersebut. Dilatasi dapat ditentukan oleh titik pusat dilatasi dan faktor skala atau faktordilatasi. Notasi dilatasi dengan titik pusat O(0, 0) dan faktor skala k adalah [O, k]. Sifat – Sifat Dilatasi

perubahan bangunan berdasarkan faktor skala k. Tafsiran Geometri dari Dilatasi Perkalian atau dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titikdengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Faktor pengali tersebut disebutfaktor dilatasi atau faktor skala dan titik tertentu itu dinamakan pusat dilatasi.Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu dilatasi ditentukan oleh: 1) Faktor skala (k), dan2) Pusat dilatasiJika yang dilatasikan suatu bangun, maka dilatasi akan mengubah ukuran tanpamengubah bentuk bangun tersebut. Dilatasi yang berpusat di P dengan faktor skala kdinotasikan dengan [P,k].

Notasi dilatasi Sifat-sifat dilatasi antara lain:

-

Jika k > 1,maka bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. - Jika 0 < k < 1,maka bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. - Jika -1 < k < 0,maka bangun bayangan diperkecil dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. - Jika k < -1,maka bangun bayangan diperbesar dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Dilatasi dengan Titik Pusat (0,0) [ O,k] Titik patokan diambil (0,0). Secara umum untuk menentukan bayangan (x’,y’) dari titik asal (x,y) bisa digunakan rumus: x’ = kx dan y’= ky k disini ialah faktor dilatasi atau perbesaran objek dilatasi. Untuk nilai |k| > 1 jadi benda diperbesar. Dan untuk nilai 0<|k|<1 benda diperkecil. Berikut contoh soal dilatasi k dengan pusat O (0,0). 1) Dilatasi Titik Diketahui sebuah segitiga ABC dengan titik sudut A ( 2,3), B ( 7,1) dan C(-2,-5). Jika segitiga ABC tadi di-dilatasi 3 dengan pusat O (0,0). Tentukan lah bayangan segitiga ABC atau A’B’C’. Hitung lah luas segitiga yang baru. Penyelesaian soal ini sangat lah mudah, masing masin titik cukup dikalikan dengan faktor dilatasi yaitu 3. Maka akan didapatkan hasil A’ ( 6,9) B’ (21,3) dan C’ (-6,-15). 2) Dilatasi Persamaan Garis/Lingkaran/Kurva Diketahui kurva y = x 2+5x-6. Jika kurva di dilatasi k = 2, tentukanlah persamaan kurva yang baru penyelesaian ini dilakukan dengan menggunakan bentuk umum saja. x’ = kx dan y’=ky. Maka dari itu akan diperoleh persamaan berdasarkan soal x’=2x dan y’=2y. Jika diubah dalam bentuk x dan y akan diperoleh : x = 1/2 x’ dan y = 1/2 y’. Dari x dan y tersebut kita substitusikan pada persamaan yang ada. y = x 2 +5x – 6 <==> (1/2 y’) = (1/2 x’) 2+ 5(1/2 x’) – 6.dilanjutkan sendiri.

Contoh Soal Dilatasi Diketahui sebuah segitiga ABC dengan titik sudut A ( 2,3), B ( 7,1) dan C(-2,-5). Jika segitiga ABC tersebut di-dilatasi 3 dengan pusat M (1,3). Tentukanlah bayangan segitiga ABC atau A’B’C’. Hitunglah luas segitiga yang baru. Penyelesaian : Nilai (a,b) merupakan pusat dilatasi yaitu (1,3). kita akan menggunakan rumus di atas. Sekarang akan ambil untuk titik A terlebih dahulu. x’ = 3(2-1) + 1 = 4 dan y’ = 3(3-1)+1 = 7. Maka A’ (4,7) Lakukan hal yang sama untuk titik B dan C.

ARITMATIKA Pada barisan aritmatika, susunan dari bilangan nya di bentuk di antara satu bilangan ke bilangan yang berikut nya yang memiliki perbedaan yang sama. Namun beda sendiri dapat di artikan sebagai selisih antara 2 suku yang saling berurutan. Dan jika suatu barisan mempunyai beda lebih dari nol ( b > 0 ) maka barisan aritmatika nya di sebut dengan barisan naik. Dan sebalik nya jika beda nya kurang dari nol ( b < 0 ) maka barisan aritmatika nya di sebut dengan barisan turunan, untuk lebih jelas nya mari kita semua bisa simak penjelasan nya lebih lanjut pada pembahasan di bawah ini

Rumus Deret Aritmatika Barisan dari aritmatika dapat di artikan yang artinya adalah susunan bilangan yang real dan membentuk pola tertentu. Kemudian arti dari deret aritmatika sendiri iyalah sebuah penjumlahan dari barisan aritmatika. Dan ciri – ciri umum nya dari barisan aritmatika yaitu mempunyai beda yang sama dari satu bilangan ke bilangan yang berikut nya. Contoh dari barisan aritmatika ialah seperti di bawah ini : 2 , 10 , 18 , 26 , 34 , 42 …..dan seterus nya Dan barisan di atas mempunyai nilai beda yaitu 8 ( b = 8 ). Selanjut nya akan kita bahas lebih dalam lagi soal rumus, barisan, dan deret dari aritmatika. Barisan Aritmatika Baris aritmatika => a a+b a + 2b … a + ( n – 1 ) b Beda => +b +b Pengertian dari barisan artimatika sendiri iyalah sebuah barisan dengan selisih antara 2 suku yang berurutan selalu tetap. Dan selisih antara 2 suku yang berurutan pada barisan aritmatika ini di sebut dengan beda ( b ). Dan rumus untuk menentukan beda pada suatu barisan di aritmatika yaitu seperti contoh di bawah ini. b = Un – Un-1 beda nya adalah ( b ), suku ke – n nya adalah ( Un dan Un-1 ) lalu suku ke – n suatu barisan di aritmatika dapat di tentukan dengan sebuah rumus. Dan rumus nya di gambarkan seperti contoh di bawah ini.

Rumus Ke – n Un = a + ( n – 1 ) b Keterangan : • a = suku pertama • b = beda • Un = suku ke – n • n = bilangan bulat Ternyata ada juga rumus yang bisa kita gunakan untuk menentukan suku tengah nya dari sebuah barisan aritmatika. Dan rumus ini di gambar kan seperti contoh di bawah ini : Rumus Aritmatika Suku Tengah Ut = 1/2 ( U1 + Un ) Keterangan : • a ( U1 ) = suku pertama • Ut = suku tengah • Un = suku ke – n • n = bilangan bulat Deret Aritmatika Barisan aritmatika menyatakan bahwa susunan bilangan nya berurutan u1 , u2 , … , un dengan urutan tertentu. Sedangkan pada deret aritmatika, untuk pembahasannya adalah mengenai jumlah suku – suku berurutan tersebut. Untuk contoh bentuk umum dari deret aritmetika adalah seperti di bawah ini. U1 + U2 + U3 + … + Un Dengan u1 , u2 , … , un merupakan barisan dari aritmetika. Untuk rumus nya bisa kalian lihat di bawah ini : Rumus Penting Deret Aritmatika Un = Sn – Sn – 1 Sn = n/2 ( a + Un ) Sn = n/2 ( 2a + ( n – 1 ) b ) Contoh Soal Aritmatika 1. Di ketahui suatu barisan 5, -2, -9, -16,…., maka tentukanlah rumus suku ke – n nya? Jawab : Selisih 2 suku berurutan pada barisan 5, -2, -9, -16,… adalah tetap, yakni b = -7 sehingga barisan bilangan nya di sebut dengan barisan aritmatika. Rumus suku ke – n barisan aritmatika tersebut ialah : Un = a + ( n – 1 ) b Un = 5 + ( n – 1 ) ( -7 ) Un = 5 – 7n + 7 Un = 12 – 7n

Pengertian Logaritma Logaritma adalah kebalikan dari suatu perpangkatan. Jika sebuah perpangkatan ac = b, maka dapat dinyatakan dalam logaritma sebagai: alog b = c Punya PR yang gak ngerti? Yuk tanya di Forum StudioBelajar.com dengan syarat a > 0 dan a \ne 1 Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya: Permutasi dan Kombinasi Program Linear sifat logaritma Pada penulisan logaritma alog b = c, a disebut bilangan pokok dan b disebut bilangan numerus atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0) dan c merupakan hasil logaritma. Jika nilai a sama dengan 10, biasanya 10 tidak dituliskan sehingga menjadi log b = c. Jika nilai bilangan pokoknya merupakan bilangan e (bilangan eurel) dengan e = 2,718281828 maka logaritmanya ditulis dengan logaritma natural dan penulisannya dapat disingkat menjadi ln, misalnya elog b = c menjadi: Mau latihan soal? Yuk jawab pertanyaan di Forum StudioBelajar.com ln b = c Berikut ini sejumlah contoh logaritma: Perpangkatan Contoh Logaritma 21 = 2 2log 2 = 1 20 = 1 2log 1 = 0 23 = 8 2log 8 = 3 2-3 = 8 2log = – 3 9^{\frac{3}{4}} = 3 \sqrt{3}9log 3 \sqrt{3} = \frac{3}{4} 103 = 1000 log 1000 = 3 Sifat-sifat Logaritma 1. Sifat Logaritma dari perkalian Suatu logaritma merupakan hasil penjumlahan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan faktor dari nilai numerus awal. Berikut modelnya: alog p.q = alog p + alog q dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0. 2. Perkalian Logaritma Suatu logaritma a dapat dikalikan dengan logaritma b jika nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b. Hasil perkalian tersebut merupakan logaritma baru dengan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma a, dan nilai numerus sama dengan logaritma b. Berikut model sifat logaritma nya:

alog b x blog c = alog c dengan syarat a > 0, a \ne 1. 3. Sifat Logaritma dari pembagian Suatu logaritma merupakan hasil pengurangan dari dua logaritma lain yang nilai kedua numerus-nya merupakan pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya: alog \frac{p}{q} = alog p – alog q dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0. 4. Sifat Logaritma berbanding terbalik Suatu logaritma berbanding terbalik dengan logaritma lain yang memiliki nilai bilangan pokok dan numerus-nya saling bertukaran. Berikut modelnya: alog b = \frac{1}{^b log a} dengan syarat a > 0, a \ne 1. 5. Logaritma berlawanan tanda Suatu logaritma berlawanan tanda dengan logaritma yang memiliki numerus-nya merupakan pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal. Berikut modelnya: alog \frac{p}{q} = – alog \frac{q}{p} dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0. 6. Sifat Logaritma dari perpangkatan Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali. Berikut modelnya : alog bp = p. alog b dengan syarat a > 0, a \ne 1, b > 0 7. Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma Suatu logaritma dengan nilai bilangan pokoknya merupakan suatu eksponen (pangkat) dapat dijadikan logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi. Berikut modelnya: ^{a^p} log b = \frac{1}{p} ^a log b Masih bingung? Yuk diskusi di Forum StudioBelajar.com

dengan syarat a > 0, a \ne 1. 8. Bilangan pokok logaritma sebanding dengan perpangkatan numerus Suatu logaritma dengan nilai numerus-nya merupakan suatu eksponen (pangkat) dari nilai bilangan pokoknya memiliki hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut. Berikut model sifat logaritma nya: alog ap = p dengan syarat a > 0 dan a \ne 1. 9. Perpangkatan logaritma Suatu bilangan yang memiliki pangkat berbentuk logaritma, hasil pangkatnya adalah nilai numerus dari logaritma tersebut. Berikut modelnya: a^{^a log m} = m dengan syarat a > 0, a \ne 1, m > 0. 10. Mengubah basis logaritma Suatu logaritma dapat dipecah menjadi perbandingan dua logaritma sebagai berikut: ^p log q = \frac{^a log p}{^a log q} dengan syarat a > 0, a \ne 1, p > 0, q > 0 Contoh Soal Logaritma dan Pembahasan Contoh Soal Logaritma 1 Diketahui 3log 5 = x dan 3log 7 = y. maka, nilai dari 3log 245 1/2 adalah … ? (EBTANAS ’98) Pembahasan 1 3log 245 ½ = 3log (5 x 49) ½ 3log 245 ½ = 3log ((5) ½ x (49) ½) 3log 245 ½ = 3log (5) ½ + 3log (72) ½ 3log 245 ½ = \frac{1}{2} ( 3log 5 + 3log 7) 3log 245 ½ = \frac{1}{2} (x + y) Jadi, nilai dari 3log 245 1/2 adalah \frac{1}{2} (x + y).

Contoh Soal Logaritma 2 Jika b = a4, nilai a dan b positif, maka nilai alog b – blog a adalah …? Pembahasan 2 Diketahui bahwa b = a4, maka dapat disubstitusi kedalam perhitungan:

(UMPTN ’97)

alog b – blog a = alog a4 – ^{a^4} log a Mau latihan soal? Yuk jawab pertanyaan di Forum StudioBelajar.com alog b – blog a = 4 (alog a) – \frac{1}{4}( alog a) alog b – blog a = 4 – \frac{1}{4} alog b – blog a = 3 \frac{3}{4} Jadi, nilai dari alog b – blog a pada soal tersebut adalah 3 \frac{3}{4}. Contoh Soal Logaritma 3 Jika alog (1- 3log \frac{1}{27}) = 2, maka tentukanlah nilai a. (UMPTN ’97) Pembahsan 3 Jika kita buat nilai 2 menjadi sebuah logaritma dengan bilangan pokok logaritmanya adalah a menjadi alog a2= 2, maka didapat : alog (1- 3log \frac{1}{27}) = 2 alog (1- 3log \frac{1}{27}) = alog a2 Nilai numerus kedua logaritma tersebut bisa menjadi sebuah persamaan: 1- 3log \frac{1}{27} = a2 3log 3 – 3log \frac{1}{27} = a2 3log 3 – 3log 3(-3) = a2 3log \frac{3}{3^{(-3)}} = a2 3log 34 = a2 4 = a2 Sehingga diperoleh nilai a = 2 4). √5 -3 per √5 +3 = … Jawab : (√5 – 3)/(√5 + 3) = (√5 – 3)/(√5 + 3) x (√5 – 3)/(√5 – 3) <– kali akar sekawan = (√5 – 3)²/(5 – 9) = -1/4 (5 – 6√5 + 9) = -1/4 (14 – 6√5) = -7/2 + 3/2√5 = (3√5 – 7)/2 5). Jika a log 3 = -0,3 tunjukkan bahwa a = 1/81 3√9 Jawab : ª log 3 = -0,3 log 3/log a = -0.3 log a = -(10/3)log 3 log a = log [3^(-10/3)] a = 3^(-10/3) = 3^(-4) (3²)^(⅓ ) a= 1/81 3√9