Pengenalan.docx

MTES3083-KALKULUS (MUHAMMAD ALIF BIN KHAIRUDDIN MT2)

1.0 Pengenalan Kini, kalkulus merupakan satu cabang Matematik yang mempunyai aplikasi yang luas dalam pelbagai bidang terutama dalam proses penyelesaian masalah. Kalkulus merupakan salah satu cabang dari ilmu Matematik yang mempelajari tentang hal-hal yang berhubung dengan pencarian kadar perubahan dan pencarian luas yang terletak di bawah lengkung (Beni Asyhar, 2014). Kursus kalkulus ini diperkenalkan adalah untuk mengaplikasi pengetahuan berkaitan had dan keselanjaran, terbitan separa, fungsi eksponen dan fungsi logaritma serta persamaan dalam penyelesaian masalah seharian. Oleh itu, satu permasalahan yang berbentuk fungsi dua pemboleh ubah perlu dicari dan dihuraikan dalam kehidupan seharian yang dapat diselesaikan dengan menggunakan kalkulus.

1

MTES3083-KALKULUS (MUHAMMAD ALIF BIN KHAIRUDDIN MT2)

2.0 Aplikasi Kalkulus dalam Kehidupan Seharian Kalkulus dapat diaplikasi dalam pelbagai bidang yang melibatkan penyelesaian masalah. Aplikasi kalkulus terbahagi kepada dua zaman iaitu zaman kuno dan zaman moden (Martha Yunanda, t.t.). Pada zaman kuno, ilmu kalkulus hanya digunakan untuk menghitung sahaja yang menyebabkan zaman Yunani, India dan Mesir Purba menggunakan prinsip-prinsip serta teorem kalkulus. Contohnya, pada zaman Mesir Purba, kalkulus telah digunakan untuk menghitung isipadu sesuatu objek. Pada zaman India, kalkulus berperanan dalam penyelesaian masalah aritmetik seperti dalam bidang astronomi. Pada zaman moden pula, kalkulus telah disusun secara sistematik oleh dua orang penemu kalkulus iaitu Leibniz dan Newton. Penggunaan kalkulus lebih meluas dan berkembang dalam menyelesaikan masalah kehidupan seharian. Buktinya, kalkulus menjadi pemangkin penyelesaian masalah untuk mencari nilai maksimum dan nilai minimum bagi suatu fungsi. Kaedah terbitan dan kamiran menjadi lebih bermakna dan diperlukan pada zaman moden. Contohnya, kaedah terbitan digunakan untuk mencari kecerunan suatu garis, permasalahan luas dan isipadu maksimum serta menghitung pertambahan kelajuan sesuatu terhadap sesuatu. Bagi kaedah kamiran pula digunakan untuk menghitung panjang lengkung, luas kawasan yang dibatasi oleh lengkungan tertentu dan isipadu. Oleh yang demikian, pelbagai bidang telah menggunakan kalkulus untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan kehidupan seharian. Menurut John Marsh (2014), kalkulus digunakan dalam bidang ekonomi, juruteknik dan biologi. Bagi bidang ekonomi, kalkulus diguna untuk menghitung masa untuk membeli dan menjual barangan serta menghitung kadar pertumbuhan ekonomi dalam suatu perniagaan. Dalam bidang juruteknik pula, kalkulus kerap digunakan semasa ingin menentukan saiz dan bentuk bagi suatu lengkungan seperti jalan raya, jambatan dan terowong. Bagi bidang biologi pula, kalkulus diguna pakai semasa ingin menentukan kadar pertumbuhan bakteria dan model pertumbuhan populasi.

2

MTES3083-KALKULUS (MUHAMMAD ALIF BIN KHAIRUDDIN MT2)

3.0 Permasalahan dalam Kehidupan Seharian Syarikat Air Soya jenama Keluarga ingin menghantar air soya ke pasar borong Tesco Balik Pulau. Air soya itu disimpan ke dalam kotak seperti Rajah 1 yang mempunyai isipadu 64 𝑐𝑚3 . Satu bekas air soya segi empat tepat diperbuat daripada kadbod yang mempunyai sebuah tapak yang berbentuk segi empat tepat yang berukuran 𝑥 𝑐𝑚 dan 2𝑥 𝑐𝑚 manakala tinggi kotak air soya ialah 𝑦 𝑐𝑚. Apakah nilai 𝑥 dan 𝑦 untuk menjadikan jumlah luas permukaan kotak itu minimum dan dapat disimpan susu soya di dalam ruang yang secukupnya.

𝑦 𝑐𝑚

𝑥 𝑐𝑚 2𝑥 𝑐𝑚

Rajah 1

3

MTES3083-KALKULUS (MUHAMMAD ALIF BIN KHAIRUDDIN MT2)

4.0 Penyelesaian Masalah dengan Kaedah Terbitan Syarikat Air Soya jenama Keluarga ingin menghantar air soya ke pasar borong Tesco Balik Pulau. Air soya itu disimpan ke dalam kotak seperti Rajah 1 yang mempunyai isipadu 64 𝑐𝑚3 . Satu kotak air soya segi empat tepat diperbuat daripada kadbod yang mempunyai sebuah tapak yang berbentuk segi empat tepat yang berukuran 𝑥 𝑐𝑚 dan 2𝑥 𝑐𝑚 manakala tinggi kotak air soya ialah 𝑦 𝑐𝑚. Apakah nilai 𝑥 dan 𝑦 untuk menjadikan jumlah luas permukaan kotak itu minimum dan dapat disimpan susu soya di dalam ruang yang secukupnya.

Kaedah yang digunakan untuk menyelesaikan masalah ini ialah pertama dan kedua. Langkah pertama dalam menyelesaikan soalan adalah dengan memahami kehendak soalan seperti Jadual 1 di bawah. Bil. Maklumat yang diperoleh

Ayat Matematik

1.

Isipadu kotak air soya adalah 64 𝑐𝑚3

Isipadu, 𝑉 = 64 𝑐𝑚3

2.

Panjang tapak kotak air soya adalah 2𝑥 𝑐𝑚

Panjang, 𝑝 = 2𝑥 𝑐𝑚

3.

Lebar tapak kotak air soya adalah 𝑥 𝑐𝑚

Lebar, 𝑙 = 𝑥 𝑐𝑚

4.

Tinggi kotak air soya adalah 𝑦 𝑐𝑚

Tinggi, 𝑡 = 𝑦 𝑐𝑚

5.

Nilai 𝑥 belum diketahui

𝑥 =?

6.

Nilai 𝑦 belum diketahui

𝑦 =?

7.

Jumlah luas permukaan minimum kotak air soya

𝑑2𝐴 >0 𝑑𝑥 2

Jadual 1 Kemudian, terbitkan satu persamaan yang melibatkan pengiraan isipadu kotak air soya itu. Isipadu diwakili dengan simbol V sebagai pemalar. Rumus isipadu bagi kotak tersebut= panjang (𝑝) × lebar (𝑙) × tinggi (𝑡) 𝑉 =𝑝×𝑙×𝑡 𝑉 = 2𝑥 𝑐𝑚 × 𝑥 𝑐𝑚 × 𝑦 𝑐𝑚 𝑉 = 2𝑥 2 𝑐𝑚2 × 𝑦 𝑐𝑚 𝑉 = 2𝑥 2 𝑦𝑐𝑚3

4

MTES3083-KALKULUS (MUHAMMAD ALIF BIN KHAIRUDDIN MT2)

Kemudian, masukkan nilai isipadu dalam simbol V yang terdapat dalam rumus di atas dengan V= 64 𝑐𝑚3 . 𝑉 = 2𝑥 2 𝑦 𝑐𝑚3 64 𝑐𝑚3 = 2𝑥 2 𝑦 𝑐𝑚3 32 = 𝑥 2 𝑦 Jadikan persamaan tersebut dalam sebutan 𝑥 dan 𝑦 sebagai pemalar. 32 = 𝑥 2 𝑦 32 =𝑦 𝑥2 𝑦=

32 𝑥2

Oleh itu, persamaan bagi isipadu kotak air soya adalah: 𝑦=

32 𝑥2

Selepas itu, luas permukaan kotak air soya perlu dihitung dengan menggunakan nilai yang terdapat pada penyataan masalah. Luas permukaan kotak diwakili dengan simbol A sebagai pemalar. Rumus bagi luas permukaan kotak termasuklah: 𝐴 = 2(𝑝𝑙) + 2(𝑝𝑡) + 2(𝑙𝑡) 𝐴 𝑐𝑚2 = 2(2𝑥 𝑐𝑚 × 𝑥 𝑐𝑚) + 2(2𝑥 𝑐𝑚 × 𝑦 𝑐𝑚) + 2(𝑥 𝑐𝑚 × 𝑦 𝑐𝑚) 𝐴 𝑐𝑚2 = 4(𝑥 2 𝑐𝑚2 ) + 4(𝑥𝑦 𝑐𝑚2 ) + 2(𝑥𝑦 𝑐𝑚2 ) 𝐴 𝑐𝑚2 = (4𝑥 𝑐𝑚2 ) + (4𝑥𝑦 𝑐𝑚2 ) + (2𝑥𝑦 𝑐𝑚2 ) 𝐴 𝑐𝑚2 = (4𝑥 𝑐𝑚2 ) + (6𝑥𝑦 𝑐𝑚2 ) 𝐴 = 4𝑥 2 + 6𝑥𝑦 Oleh itu, persamaan bagi luas permukaan kotak air soya adalah: 𝐴 = 4𝑥 2 + 6𝑥𝑦

5

MTES3083-KALKULUS (MUHAMMAD ALIF BIN KHAIRUDDIN MT2)

Sebaik sahaja persamaan isipadu dan persamaan luas permukan kotak air soya diperoleh, persamaan serentak dilakukan. 𝑦=

32 𝑥2

𝐴 = 4𝑥 2 + 6𝑥𝑦 Nilai y digantikan ke dalam persamaan luas permukaan.

𝐴 = 4𝑥 2 + 6𝑥𝑦 32 𝐴 = 4𝑥 2 + 6𝑥 ( 2 ) 𝑥 𝐴 = 4𝑥 2 +

192 𝑥

𝐴 = 4𝑥 2 + 192𝑥 −1 Oleh itu, persamaan yang baharu bagi luas permukaan kotak air soya itu adalah 𝐴 = 4𝑥 2 + 192𝑥 −1 Kemudian, persamaan itu perlu dikenakan kaedah terbitan pertama terhadap 𝑥. 𝐴 = 4𝑥 2 + 192𝑥 −1 Terbitan pertama = 𝑑𝐴 𝑑𝑥

=

𝑑 𝑑𝑥

𝑑𝐴 𝑑𝑥

(4𝑥2 + 192𝑥−1 )

𝑑𝐴 = 8𝑥 − 192𝑥−2 𝑑𝑥 𝑑𝐴 192 = 8𝑥 − 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝐴 8𝑥3 − 192 = 𝑑𝑥 𝑥2 Oleh itu, hasil terbitan pertama ialah

𝑑𝐴 8𝑥3 − 192 = 𝑑𝑥 𝑥2

6

MTES3083-KALKULUS (MUHAMMAD ALIF BIN KHAIRUDDIN MT2)

Selepas itu, bagi memperoleh nilai 𝑥, 𝑑𝐴 𝑑𝑥

𝑑𝐴 𝑑𝑥

perlu bersamaan dengan sifar.

= 0 adalah untuk mencari kecerunan bagi memperoleh nilai 𝑥 dalam panjang atau

lebar kotak air soya.

𝑑𝐴 =0 𝑑𝑥 8𝑥 3 − 192 =0 𝑥2

8𝑥 3 − 192 = 0(𝑥 2 ) 8𝑥 3 − 192 = 0 Seterusnya, 𝑥 dijadikan sebagai pemalar dalam persamaan itu manakala nombor itu dipindahkan di sebelah kanan. 8𝑥 3 = 192 Kemudian, nilai 𝑥, diperoleh melalui penyelesaian di atas. 8𝑥 3 = 192 192 8

𝑥3 =

𝑥 3 = 24 1

1

(𝑥 3 )3 = (24)3 3

𝑥 = √24 𝑥 = 2.8845 cm 𝑥 ≈ 2.9 cm Oleh itu, nilai bagi 𝑥 ialah 2.9 cm. Sebaik sahaja nilai 𝑥

diperoleh, maka nilai 𝑦 boleh dihitung dengan

menggunakan nilai 𝑥. 𝑦=

32 𝑥2

7

MTES3083-KALKULUS (MUHAMMAD ALIF BIN KHAIRUDDIN MT2)

Apabila nilai 𝑥 adalah 2.9 cm, maka nilai 𝑦 ialah 𝑦=

32 𝑥2

𝑦=

32 (2.9)2

𝑦=

32 8.41

𝑦 = 3.8050 cm 𝑦 ≈ 3.8 cm Oleh itu, nilai y adalah 3.8 cm dengan menggunakan nilai 𝑥 bersamaan 2.9 cm 32

digantikan dalam persamaan 𝑦 = 𝑥 2. Jadi, nilai 𝑥 dan 𝑦 adalah 2.9 cm dan 3.8 cm atau dengan bentuk yang lebih mudah adalah seperti berikut:

(𝑥, 𝑦) = (2.9,3.8) (𝑥, 𝑦) = (3,4)

Oleh itu, nilai yang diperlukan akan dimasukkan ke dalam Jadual 2 berikut: Bil. Maklumat yang diperoleh

Ayat Matematik

1.

Isipadu kotak air soya adalah 64 𝑐𝑚3

Isipadu, 𝑉 = 64 𝑐𝑚3

2.

Panjang tapak kotak air soya adalah 2𝑥 𝑐𝑚

Panjang, 𝑝 = 5.8 𝑐𝑚

3.

Lebar tapak kotak air soya adalah 𝑥 𝑐𝑚

Lebar, 𝑙 = 2.9 𝑐𝑚

4.

Tinggi kotak air soya adalah 𝑦 𝑐𝑚

Tinggi, 𝑡 = 3.8 𝑐𝑚

5.

Nilai 𝑥 belum diketahui

𝑥 = 2.9 𝑐𝑚

6.

Nilai 𝑦 belum diketahui

𝑦 = 3.8 𝑐𝑚

7.

Jumlah luas permukaan minimum kotak air soya

𝑑2𝐴 >0 𝑑𝑥 2

Jadual 2 Selepas itu, terbitan kedua dilakukan ke atas persamaan pada terbitan pertama bagi menentukan nilai yang diperoleh merupakan nilai maksimum, nilai minimum atau pelana. 8

MTES3083-KALKULUS (MUHAMMAD ALIF BIN KHAIRUDDIN MT2)

𝑑𝐴 = 8𝑥 − 192𝑥−2 𝑑𝑥 𝑑2𝐴 = 8 + 192(2)𝑥−3 𝑑𝑥 2 𝑑2𝐴 = 8 + 384 𝑥−3 𝑑𝑥 2 𝑑2𝐴 384 =8+ 3 2 𝑑𝑥 𝑥 Selepas itu, nilai yang diperoleh bagi 𝑥 = 2.9 𝑐𝑚 dan 𝑦 = 3.8 𝑐𝑚 digantikan ke dalam persamaan yang diperoleh daripada terbitan kedua tersebut.

𝑑2𝐴 384 = 8 + 𝑑𝑥 2 𝑥3 𝑑2𝐴 384 = 8 + 𝑑𝑥 2 (2.9)3 𝑑2𝐴 384 =8+ 2 𝑑𝑥 24.389 𝑑2𝐴 = 4 + 15.7448 𝑑𝑥 2 𝑑2𝐴 = 19.7448 𝑑𝑥 2 𝑑2𝐴 ≈ 20 𝑑𝑥 2

Nilai yang terdapat dalam persaman terbitan kedua adalah 20 yang mana nilai itu melebihi angka sifar. 20 > 0 Apabila nilai yang diperoleh itu melebihi daripada sifar, maka nilai 20 tersebut adalah minimum. Oleh itu, jumlah luas permukaan adalah minimum apabila 𝑥 = 2.9 cm manakala 𝑦 = 3.8 cm.

9

MTES3083-KALKULUS (MUHAMMAD ALIF BIN KHAIRUDDIN MT2)

Kemudian, dua nilai itu disemak dengan menggunakan rumus isipadu untuk menyemak kesahan. 𝑉 = 2𝑥 2 𝑦 𝑐𝑚3 𝑉 = 2(2.9)2 (3.8)𝑐𝑚3 𝑉 = 16.82(3.8)𝑐𝑚3 𝑉 = 63.916 𝑐𝑚3 𝑉 ≈ 64 𝑐𝑚3

Oleh itu, nilai 𝑥 = 2.9 𝑐𝑚 manakala nilai 𝑦 = 3.8 𝑐𝑚 seperti Rajah 2.

3.8 𝑐𝑚

2.9 𝑐𝑚 5.8 𝑐𝑚

Rajah 2

10

MTES3083-KALKULUS (MUHAMMAD ALIF BIN KHAIRUDDIN MT2)

5.0 Rumusan Konklusinya, kalkulus merupakan cabang Matematik yang dapat membantu dalam menyelesaikan permasalahan kehidupan seharian. Kalkulus merupakan cabang ilmu Matematik yang mempelajari perubahan (Ardini Yuniarta Rizki, 2014). Menurut Tri Deka Sari (2016), kalkulus terbahagi kepada dua iaitu kalkulus dan kalkulus kamiran yang saling berkait melalui teorem dasar kalkulus. Persamaan digunakan sebagai asas bagi pemodelan matematik pelbagai masalah fizikal (Ahmad Izani Md. Ismail, Hazman Seli, Zainal Arifin Ahmad & Yazariah Mohd Yatim, 2015). Oleh yang demikian, pengetahuan tentang kalkulus sangat diperlukan oleh setiap lapisan masyarakat kerana kalkulus dapat membantu dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan seharian.

11