Penerapan Matematika Pada Fisika

JUDUL MAKALAH PENERAPAN MATEMATIKA DALAM PELAJARAN FISIKA

Oleh Steven Day Dumanauw NIM: 09725045

JURUSAN PENDIDIKAN SAINS FAKULTAS PASCA SARJANA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA 2009 Steven day dumanauw S2 sains November 2009

1

BAB I PENDAHULUAN Fisika matematis adalah cabang ilmu yang mempelajari "penerapan matematika untuk menyelesaikan persoalan fisika dan pengembangan metode matematis yang cocok untuk penerapan tersebut, serta formulasi teori fisika". Ilmu ini dapat dianggap sebagai penunjang fisika teoritis dan fisika komputasi.

BAB II PENERAPAN MATEMATIKA DALAM FISIKA 1. Pendahuluan

Pelajaran Fisika salah satu ilmu yang membahas gejala dan prilaku alam, sepanjang dapat diamati oleh manusia. Cara mengungkapkannya tidak saja kualitatif tetapi juga kuantitatif. Dengan demikian ada empat cara memahami ilmu fisika tersebut. Pertama kita memerlukan kejelasan tentang matra atau wadah gejala dan prilaku alam itu berlangsung, kedua kejelasan tentang objek yang menjadi fokus bahasan. ketiga, kita perlu kenal alat dan media yang akan digunakan untuk menangkap gejala dan prilaku alam tersebut, dan keempat adalah bahasa yang digunakan untuk mengungkap prilaku alam tersebut. Bahasa yang digunakan untuk mengungkap peristiwa alam tersebut adalah bahasa matematika. Matematika memegang peranan penting dalam fisika. Matematika di dalam fisika dipelajari secara khusus yaitu dalam mata pelajaran fisika matematika. Fisika matematika membahas secara terpadu dan sistematis matematika yang dipakai dalam fisika. Ilmu ini erat sekali hubungannya dengan fisika teori yang berupaya membahas hukum-hukum fisika secara matematika melalui penelaah secara logis dan perhitungan serta penerapan secara kuantitatif berbagai hukum-hukum fisika secara empiris. Pada bab I , pembahasan matematika dibatasi pada penerapan operator nabla, persamaan diferensial, sistem koordinat dan penerapan integral dalam fisika Penerapan Operator Nabla Operator nabla atau disebut juga operator del dengan simbol ∇ , yang bukan merupakan suatu vektor dalam arti biasanya. Sebagai vektor operator nabla tidak berdiri sendiri, tetapi bekerja pada suatu fungsi tertentu. Misalkan terdapat fungsi dengan satu variabel f(x) . Misal turunan dari derivatif df/dx, ini artinya bahwa df = (df/dx)dx, yang maksudnya perubahan dari x, sebesar da akan menyebabkab perubahan harga f sebesar df, dimana df/dx addalah faktor pembandingnya. Interferensi geometris dari df/dx merupakan kemiringan dari lengkungan f(x). Misal suatu fungsi suhu dengan tiga variabel yaitu T(x,y,z) yang menunjukkan suhu pada suatu ruangan. Menurut teori derivatif parsial pernyattan ini dapat ditulis:  ∂T   ∂T   ∂T   dy +  dx +  dz dT =  (1.1)    ∂x   ∂z   ∂y  = ( ∇T ).( dl ) , dengan dl = i dx + j dy + kdz Steven day dumanauw S2 sains November 2009

2

 ∂T   ∂T   ∂T   j + i +  k , merupakan besaran vektor dengan maka gradien suhu T = ∇T =     ∂x   ∂y   ∂z  tiga konponennya yang masing-masing mempunyai arah sesuai dengan arah suatu vektor i, j dan k. Jadi interferensi geometri suatu gradien, seperti vektor yang mempunyai harga dan arah dan ditulis dalam bentuk abstrak, yaitu  T dl cos θ dT = ∇ (1.2) T .dl = ∇ Operator del dedifinisikan sebagai deferensial dari suatu fungsi yang oleh koordinat kartesius

definisiskan ∇= i

∂ ∂ ∂ +j +k . ∂x ∂y ∂z

Ada tiga cara dalam perkalian untuk opertor nabla, seperti dalam vektor: 1. Bekerja pada fungsi skalar yang disebut gradien.  ∂T   ∂T   ∂T  ∇T =  i +   j +  k  ∂x   ∂y   ∂z  2. Bekerja pada fungsi vektor yang disebut divergensi, melalui perkalian dot.   ∂V   ∂V   ∂V   +  ∇ .V =   +  ∂x   ∂y   ∂z  3. Bekerja pada fungsi vektor melalui perkalian silang yang disebut rotasi atau curl

..i....j....k  ∇x V =

∂ ∂ ∂ . . ∂x ∂y ∂z Vx .V y ..Vz

 ∂V z ∂VVy   ∂V y ∂VVx   ∂V x ∂V z    −  + k = i  ∂y − ∂z  + j   ∂x − ∂y  ∂x   ∂z     beberapa aturan dalam perkalian operator nabla 1. ∇( fg ) = f ( ∇g ) + g ( ∇f )          2. ∇( A.B ) = A x ( ∇x B ) + B x ( ∇x A ) + ( A.∇ ) B + ( B.∇ )A    ( f A) = f (∇ . A) + A(∇ f ) 3. ∇      ) ∇ . ( A 4. x = B ( ∇x A ) - A .( ∇x B ).  B   .( fA ) = f( ∇x A ) - A .( ∇ 5. ∇ f).       ( ) ( ) 6. ∇x ( A x B ) = B.∇ A − A.∇ B Perkalian tripel          1. A.( B x C ) = C .( A x B ) = B.( C x A )        2. A x ( B x C ) = B ( A.C ) −C ( A.B ) Turunan kedua  1. ∇ . ( ∇x A ) = 0. f ) =0 2. ∇x (∇    (∇x A) - ∇2 A 3. ∇x ( ∇x A ) = ∇

Steven day dumanauw S2 sains November 2009

3

Gradien, Divergensi dan Rotasi/Curl 3.1 Gradien Anggap medan skalar φ(x,y,z) sebagai fungsi skalar pada setiap titik ruang (x,y,z) dalam koordinat kartesius. Seebagai fungsi skalar ia harus mempunyai nilai sama pada titik ruang dan tidak bergantung pada rotasi sistem koordinat. φ' ( x1' , x2' , x3' ) = φ( x1 , x2, x3 ).

(

∂φ ' x1' , x2' , x3' ∂xi'

) = ∂φ ( x1, x2 , x3 ) = ∂xi

∂φ∂x j

∑j ∂x

j ∂xi

∂φ = ∑aij ∂x j j

Jadi gradien itu merupakan suatu vektor dengan konponen ∂φ ∂x j yang disebut gradien φ, dalam koordinat kartesius ditulis ∂φ ∂φ ∂φ ∇ φ= i +j +k

∂x ∂y ∂z  d r = idx + jdy + kdz Bila , maka ∂φ ∂φ ∂φ  ∇ φ.dr = ( i +j +k ).( dr = idx + jdy + kdz ) ∂x ∂y ∂z ∇ φ.dr = dφ (1.3) φ.dr = dφ merupakan perubahan fungsi skalar φ terhadap perubahan posisi dr. Jadi ∇ misalkan titik P dan Q adalah 2 buah titik yang terletak pada permukaan φ( x, y, z ) = c adalah

konstan dan jarak P dan Q adalah dr, sehingga  dφ = (∇φ).dr ∇ φ.dr cosθ = 0, dengan θ = 90 o φ ⊥dr . Bila diambil dr dari suatu permukaan φ = C 1 ke permukaan Hal ini berarti ∇ berikutnya φ= C2, maka

dφ = C 2 − C1 = ∇C  dφ = (∇φ).dr = ∇ φ.dr cosθ

(1.4)

∇ φ

dr

dr

Gambar 1.1 Arah gradien dalam sistem koordinat kartesius. Agar dφ = ∆C mempunyai nilai tertentu, maka dr haruslah minimum. Bila dipilih φ dr sejajar dengan ∆C , berarti θ = 0 , sehingga cos θ = 1 . Jadi gradien φ atau ∇   adalah suatu vektor yang berarah pada dr , dengan ketentuan bahwa pada arah dr perubahan φmaksimum. Gradien suatu skalar merupakan konsep yang penting dalam fisika, yang menyatakan hubungan  antara medan listrik E dengan medan potensial V. hubungan tersebut ditulis Steven day dumanauw S2 sains November 2009

4

 (1.5) E =− ∇V . Tinjauan yang paling mudah mengenai gradien adalah mengenalkan gagasan turunan berarah dari suatu fungsi peubah banyak, yaitu laju perubahan fungsi pada arah tertentu. Turunan berarah fungsi skalar φ biasanya dinyatakan dengan dφ

dr

, dimana dr menyaatakan vektor

perpindahan yang sangat kecil pada arah yang ditinjau, maka :

dφ φ ( x + ∆x, y + ∆y, z + ∆z ) − φ ( x, y, z )  = lim  dr ∆r →0 ∆r ∂φdy ∂φdx ∂φdz + =

+ ∂ydr ∂xdr ∂zdr Untuk lebih jelasnya turunan berarah, mari kita tinjau fungsi skalar dua peubah. Jadi φ( x, y ) menyatakan medan skalar dua dimensi. φ dapat digambarkan sebagai suatu fungsi x dan y, seperti gambar 1.2 di bawah ini

Gambar 1.2. Fungsi φ( x, y ) Untuk fungsi φ( x, y ) = x + y 2 turunan berarah di titik xo, yo bergantung pada arahnya. Jika kita pilih arah yang bersesuaian dengan dx dy = − x o y o , maka akan diperoleh 2

 ∂φdy dφ ∂φdx = + =  2 xo − 2 y o ∂ydr dr ∂xdr 

x o  dx =0  y o  dr

untuk arah dy dx = y o x o diperoleh hasil sebagai berikut: y2  dφ  = 2 xo + 2 o   xo  dr  

besarnya harga dr =

( dx ) 2

x o2 x o2 + y o2

= 2 x o2 + y o2

+ ( dy ) 2

Gambar 1.3 di bawah ini menunjukkan fungsi φ = x 2 kontur.

Steven day dumanauw S2 sains November 2009

+ y2

yang dirajah kembali sebagai peta

5

Gambar 1.3. Fungsi φ( x, y ) dari gambar 1.2 Dengan demikian suatu fungsi gradien dapat didefinisikan sebagai berikut: Gradien suatu fungsi skalar φ adalah suatu vektor yang harganya merupakan turunan-turunan maksimum di titik yang sedang ditinjau, sedangkan arahnya merupakan arah turunan berarah maksimum di titik tersebut. Lambang gradien yang lazim digunakan adalah operator nabla ( ∇ ) dan grad ∂φ ∂φ ∂φ ∇φ = grad φ = i +j +k (1.6) ∂x

∂y

∂z

3.2 Divergensi Operator lain yang penting, yang pada dasarnya merupakan turunan, adalah operator divergensi, seperti divergensi vektor F, yang lazim ditulis dengan div F atau ∇ .F yang didefinisikan sebagai berikut: Divergensi suatu vektor adalah limit integral permukan persatuan volume yang melingkupi permukaan dan mendaki nol. 1   v .nda Div v = ∇ .v = Vlim (1.7) →o V ∫∫ Harga limitnya mudah dihitung, sehingga diperoleh divergensi pada koordinat tegak lurus sebagai berikut: ∂v y  ∂v  ∂v + z Div v = ∇.v = x + ∂x ∂y ∂z Divergensi dapat didefinisikan sebagai perkalian antara operator nabla dengan vektor melalui perkalian dot. Dalam pengertian fisika divergensi didefinisikan sebagai kecepatan suatu fluida   ∇ .(φv ) dengan v ( x, y , z ) yang mampat dengan rapat massa ρ( x, y , z ) pada titik ruang (x.y.z) dengan volume dxdydz.

Gambar 1.4 Proses aliran fluida ∂ ( ρv x ) dxdydz dan secara total melaui kotak volume Netto aliran fluida (dalam arah x) = ∂x dτ = dxdydz diperoleh netto aliran fluida keluar per detik ∂  ∂ ∂  ∇.( ρv ) dτ =  ( ρv x ) + ρv y + ( ρv z ) dxdydz ∂y ∂z ∂x 

(

Steven day dumanauw S2 sains November 2009

)

6

Karena netto aliran fluida mampat (compressible fluid) keluar dari elemen volume per satuan  volume per detik adalah ∇.( ρv ) dan disebut divergensi. Mengingat adanya persamaan kontinuitas, dimana rumus ∂ρ  + ∇.( ρv ) = 0 ∂t dalam hal ini, ρ merupakan fungsi terhadap waktu maupun ruang, ditulis ρ( x, y , z , t ) . Persoalan divergensi muncul pada berbagai hal dalam fisika, seperti pada medan elektromagnet, kebocoran neutron dalam reaktor, dan tentang peluang rapat arus dalam mekanika kuantum.   .( fv ) dimana f = fungsi skalar dan v adalah fungsi vektor, secara matematika Gabungan ∇ dapat ditulis ∂  ( fv x ) + ∂ ( fv y ) + ∂ ( fv z ) ∇ .( fv ) = ∂x ∂y ∂z   ( ) .v = ∇f .v + f∇   Dalam hal khusus ∇B vektor B dikatakan homogen, seperti dijumpai dalam . =0 , maka pembahasan tentang medan magnet B . Teorema divergensi. Integral dari divergensi suatu vektor pada volume V sama dengan integral permukaan komponen normal vektor itu pada permukaan yang dilingkupi V, yaitu   (1.8) ∫∫∫∇.v dV = ∫∫v .nda 3.3 Rotasi atau Curl Rotasi adalah perkalian operator nabla dengan vektor melalui perkalian silang. Perumusan rotasi ditulis sebagai: ∂VVy   ∂V  ∂V y ∂VVx  ∂V ∂V z    + j   x −  + k ∇x v = i z −   ∂x − ∂y  ∂ y ∂ z ∂ z ∂ x      

..i....j....k ∂ ∂ ∂ = . . ∂x ∂y ∂z Vx .V y ..Vz (

)

∂ ( fv z ) − ∂ fv y  ∂z ∂y  ∂v y ∂f  ∂v z ∂f + vz − f − vy  ∂y ∂y ∂z ∂z 

 ∇x ( fv )

x =

 = f  Interpretasi fisika dari rotasi adalah sebagai sirkulasi fluida pada suatu loop. Ambil sebagai loop tersebut terletak di bidang x – y. Sirkulasi tidak lain yaitu mencari integral  ∫v .dl . Perhatikan gambar di bawah ini : (xo,yo+dy) (xo+dy,yo+dy)

Steven day dumanauw S2 sains November 2009

7

(xo,yo)

(xo+dx,yo)

Gambar 1.5 Sirkulasi fluida pada suatu loop Hasil integrasi loop 1234 = sirkulasi 1234 v ( x, y )dl x + ∫v y ( x, y )dl y + ∫v x ( x, y )dl x + ∫v y ( x, y )dl y = ∫ x 1

2

3

4

= ∂v y    ∂v  v x ( xo , yo ) dx + v y ( xo , yo ) + dx dy + v x ( xo , yo ) + x dx ( − dx ) + v y ( xo , yo )( − dy ) ∂x ∂y     ∂v y ∂v x   − = dxdy = ∇x v z dxdy ∂ x ∂ y  

Sistem Koordinat 4.1 Koordinat kartesius Koordinat kartesius dapat dinyatakan dalam fungsi f(x,y,z), dan dr = idx + jdy + kdz dτ = dxdydz ∂t ∂t ∂t +j +k 1. Gradien ∇t = i ∂x ∂y ∂z ∂v y ∂v  ∂v + z 2. Divergensi ∇ .v = x + ∂x ∂y ∂z

3. Rotasional



∇x v

..i....j....k ∂ ∂ ∂ = . . ∂x ∂y ∂z Vx .V y ..Vz

 ∂V z ∂VVy = i  ∂y − ∂z 

  ∂V y ∂VVx ∂V ∂V z   + j  x −  + k   ∂x − ∂y ∂x   ∂z  

   

4.2 Sistem Koordinat Bola Dalam beberpa hal kita dapat memakai pengetahuan kita mengenai sistem bujur dan lintang yang dipakai untuk menetukan tempat pada permukaan bumi, tetapi dalam hal tersebut kita hanya titik pada permukaan bumi, sedangkan titik di atas dan di bawah permukan bumi tidak ditinjau. Sistem koordinat bola dpat dibangun berdasarkan ketiga sumbu cartesian, seperti pada gmbar 1.6. Sistem koordinat bola merupakan fungsi dari f ( r ,θ,φ) .

Steven day dumanauw S2 sains November 2009

8

Gambar 1.6 Sistem koordinat bola dA = p.l = r sin dφ . rd θ = r 2 sin θdθdφ

dτ = p.l.t

= r sin dφ . rd θ . dr = r 2 sin θdθdφdr    dr = ro dr + θo rd θ + φo r sin θdφ  1 ∂t   1 ∂t  ∂t + θo    + φo  1. Gradiennya : ∇t = ro   ∂r  r ∂θ   r sin θ ∂φ  1 ∂ 1 ∂vφ  1 ∂ 2  r vr  + ( vθ sin θ ) + 2. Divergensinya : ∇.v =  r sin θ ∂φ  r sin θ ∂θ r2  ∂r 3. Rotasionalnya : ∇x v =

(

)

( )

∂v   1  1 ∂vr  1 ∂ ∂ sin θvφ − θ r +  − rvφ θ +  r sin θ  ∂θ ∂φ  r  sin θ ∂φ ∂r 

 1 ∂ ( rvθ ) − ∂vr φ  r  ∂r ∂θ 

4.3 Koordinat Silinder Koordinat silinder merupakan fungsi dari f( r ,φ, z )     dr = ro dr + φo rd φ + zo dz dτ = rdrd φdz  1 ∂t    ∂t   ∂t   1. Gradiennya: ∇t = ro   + φ   r ∂φ   + z o  ∂z   ∂r      ∂v  1 ∂ ( rv r ) + 1 φ + ∂v z 2. Divergensi : ∇.v = r ∂r r ∂φ ∂z  3. Rotasionalnya : ∇x v =

( )

 1 ∂v z ∂vφ    ∂vr ∂v z   1  ∂ ∂v    − r +  − rvφ − r  z φ +  ∂z  ∂r  r  ∂r ∂φ   ∂z  r ∂φ

Steven day dumanauw S2 sains November 2009

9

Gambar 1.7 Sistem koordinat silinder 5. Fungsi Delta Dirac banyak usaha yang dilakukan oleh para ahli fisika untuk menyatakan suatu peristiwa alam dengan menggunakan bahasa matematika, seperti dalam menyatakan muatan titik sebagai suatu  ρ (r ) hal yang khusus dari fungsi rapatan muatan yang umum, yaitu merupakan cara matematika yang berguna dalam banyak perhitungan. Selanjutnya muatan titik dapat dituliskan dalam bentuk   ρ( r ) = qδ ( r )  δ ( r ) = 0 untuk r ≠ 0  ∫∫∫δ( r ′) dv ′ =1 Sangat jelas bagi kita bahwa fungsi delta memberikan ungkapan matematika pada gagasan fisika  untuk suatu muatan titik pada r = 0 . Bentuk lain fungsi delta dapat juga digunakan untuk  menyatakan rapat muatan permukaan σ(r ) , yaitu sebaran muatan yang berharga nol di setiap tempat, kecuali pada permukaan tertentu. Dengan perluasan ini integral tunggal yang mencakup  ρ(r ) . Penerapan selanjutnya dapat menjelaskan fungsi berikut:  ∫ F (r )δ (r ′)dv ′ = F (0)

F adalah sebarang fungsi skalar atau vektor, karena fungsi yang diintegralkan berharga nol kecuali di r ′ = 0 . Selanjutnya



∫ F (r )δ (r ′ − ro )dv ′ = F (ro )

Jika

    ρ (r ′) = qi δ (r ′ − ri ) , maka untuk muatan titik qi di ri   q i δ (r ′ − ro ) qi 1 1  ϕ (r ) = dv ′ = ∫ 4π εo r − ri 4π εo r − ri

Fungsi delta untuk hukum Gauss dalam bentuk diferensial  1 ∇.E = ρ

εo

untuk muatan titik q di r = 0, maka  q r 1  ∇. = qδ ( r ) 3 4π εo r εo ∇.

 r 3

 = 4πδ( r )

r   1 r d 1  r   = − 3 , maka karena ∇. = r r dr  r  r 1    ∇2   = −4π δ(r ) r    1  1 r   ∇. = ∇ .r + ∇.r Selanjutnya   r3  r3 r3 Steven day dumanauw S2 sains November 2009

10

 3 r  3 .r + =0 r4 r r3 Teorema divergensi yang diterapkan pada suatu bola kecil berjejari R yang berpusat dititik asal, menghasilkan   r r .n 1 ∇ . dv = da = ∫ da = 4π ∫ ∫ s R s r3 r3 v =−

Soal dan Pembahasan  1. Unit vekor r = iˆx + ˆjy +kˆz

(

 ∂r ∂ x 2 + y 2 + z 2 = ∂x ∂x

)

1 ( 2x) x2 + y2 + z2 − 2 x = r df ( r ) ∂r df ( r ) ∂r df ( r ) ∂r ∇ f (r ) = iˆ + ˆj + kˆ dr ∂y dr ∂x dr ∂z  x   y   z   df ( r ) =  iˆ +   ˆj +  kˆ   r   dr  r   r  df ( r ) = rˆo dr n ( ) f r f (r ) = anr n −1 rˆo Jika = ar , maka ∇ 1 1 ∇( ) = ( − ) rˆo r r =

4

(

)

1 2

1 2

∇r . =3

∂ ∂  [ xf (r )] + ∂ [ yf (r )] + ∂ [ zf (r )] ∇.r f ( r ) = y ∂x ∂ z

= 3 f (r ) + (

df y 2 df x 2 df z 2 df + + ) = 3 f (r ) + r dr r dr r dr r dr

Soal Latihan (bahan Tutorial) 1. Jelaskan struktur atom pada kain wol, pipa plastik, dan ebonit 2. Kenapa pipa plastik yang digosok-gosok ke kain wol, pipa plastik menjadi muatan positip? 3. Sobekan-sobekan kertas yang tadinya netral, bila didekatkan dengan pipa plastik yang sudah termuati, sobekan-sobekan kertas yang netral tadi dapa ditarik oleh pipa plastik tersebut. 4. Jelaskan konsep induksi di bawah ini a. elektroskop, jika pada kepala elektroskop didekatkan dengan benda yang bermuatan positip, apa yang terjadi, jika kepala elektroskop tersebut dihubungakan dengan bumi, sementara benda bermuatan positif masih tetap berada ditempat, bagamana daun-daun elektroskop tersebut. Selanjutnya hubungan ke tanah dilepas, sementara benda bermuatan masih tetap berada ditempat, apa yang terjadi pada daun elektroskop, dan apa yang terjadi, jika benda bermuatan dijauhkan dari kepala elektroskop tersebut! b. Jelaskan konsep penangkal petir ! 5. hitung laplace dari fungsi a. T = x 2 + 2 xy +3 z + 4 b. T = sin x sin y sin z Steven day dumanauw S2 sains November 2009

11

T = e −5 x sin 4 y cos 3 z 6. tentukan vektor satuan yang tegak lurus pada permukaan x 2 + y 2 + z 2 = 3 , di titik (1,2,1). 7. Diketahui fungsi skalar s(x,y,z) = (x2 + y2 + z2)-3/2 Hitung gradien s di titik (1,2,3). 8. Tunjukkan bahwa: c.

a.

1   r .dA =V , dimana V adalah volume per mukaan tertutup. ∫ ∫ 3

    B =∇ x A , tunjukkan bahwa ∫ ∫B.dA = 0, untuk setiap permukaan tertutup.  9. Suatu partikel bergerak dalam lintasan lingkaran r =iˆr cos ωt + ˆjr sin ωt  r a. Hitung r x o b.

. .

Tunjukkan bahwa r x ω2 r = 0 Hitung harga rotasional berikut ini   ∇ xr f (r ) .  10. Bila f ( r ) = ar n dan r = ix + jy + kz hitung   f (r ) , b. ∇2 f ( r ) , c. ∇ xr f (r ) a. ∇ .r , d. ∇  12. Diketahui suatu medan E1 = xyi + 2 yzj + 3 xzk b.

(

)

dan E 2 = y 2 i + 2 xy + z 2 j + 2 yzk , tentukan mana diantara kedua medan diatas merupakan medan  elektrostatika ? Syarat medan elektrostatika adalah  dan ∇xE =0 ∇E . ≠0

BAB III PENUTUP

Ilmu ini (Matematika) dapat dianggap sebagai penunjang fisika teoritis dan fisika komputasi. Bahasa yang digunakan untuk mengungkap peristiwa alam tersebut adalah bahasa matematika. Matematika memegang peranan penting dalam fisika. Matematika di dalam fisika dipelajari secara khusus yaitu dalam mata pelajaran fisika matematika.

Steven day dumanauw S2 sains November 2009

12

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Steven day dumanauw S2 sains November 2009

13