Pemodelan Matematika Merupakan Bidang Matematika Yang Berusaha Untuk Mempresentasikan Dan Menjelaskan Sistem.docx

A. Model Matematika Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk mempresentasikan dan menjelaskan sistem-sistem fisika atau problem pada dunia real dalam pernyataan matematik, sehingga diperoleh pemahaman dari problem dunia real ini menjadi lebih tepat. Representasi matematika yang dihasilkan dari proses ini dikenal sebagai “Model Matematik”. Konstruksi, analisis dan penggunaan model matematik dipandang sebagai salah satu aplikasi matematika yang paling penting(Widowati, 2007). Model matematika digunakan dalam banyak disiplinn ilmu dan bidang studi yang berbeda. Kita dapat mencari aplikasi model matematika dalam bidang-bidang seperti fisika, ilmu biologi dan kedokteran, teknik ilmu sosial dan politik, ekonomi, bisnis dan keuangan, juga problem-problem jaringan computer. Tentunya bidang dan tipe aplikasi yang berbeda menghendaki bidang-bidang matematika yang berbeda. Terdapat beberapa jenis model matematika meliputi, model empiris, model simulasi, model stokastik dan deterministik(Widowati, 2007). 1. Model Empiris Pada model empiris, data yang berhubungan dengan problem menentukan peran yang penting. Dalam pendekatan ini, gagasan yang utama adalah mengkonstruksi formula matematika yang dapat menghasilkan grafik yang terbaik untuk mencocokan data. 2. Model Simulasi Program komputer dituliskan pada aturan-aturan untuk membentuk bagaimana suatu proses atau fenomena akan berjalan terhadap waktu sehingga implikasi interaksi dari berbagai variabel dan komponen yang dikaji dan diuji. 3. Model Deterministik dan Stokastik Model deterministik meliputi penggunaan persamaan atau himpunan persamaan untuk merepresentasikan hubungan antara berbagai komponen suatu sistem atau problem. Suatu contoh adalah persamaan diferensial biasa yang menjelaskan bagaimana suatu kuantitas tertentu berubah terhadap waktu. Persamaan ini menunjukkan hubungan antara kuantitas dan waktu sebagai variabel bebas. Diberikan syarat awal yang sesuai, persamaan diferensial dapat diselesaikan untuk memprediksi perilaku sistem model.

Dalam model deterministik, variasi random diabaikan. Dengan kata lain persamaan ini digunakan untuk menyatakan problem dunia nyata yang diformulasikan berdasarkan pada hubungan dasar faktor-faktor yang terlibat dalam problem ini (Widowati, 2007). Selanjutnya akan dibahas cara mendapatkan model matematik dari sistem fisik. Istilah model matematik diartikan sebagai hubungan matematik yang menghubungkan keluaran sistem ke masukannya. Pemahaman tentang sistem merupakan kebutuhan mendasar jika ingin melakukan pemodelan simulasi ataupun pengaplikasian metode analitis, karena pendekatan yang dipakai untuk memecahkan masalah adalah pendekatan sistem (system approach), yaitu suatu pendekatan holistik terhadap suatu persoalan (Ekoanindiyo, 2011). Mungkin salah satu model yang paling sederhana dari sistem fisik adalah hukum Ohm (lebih tepat dikatakan sebagal model Ohm) yang diterapkan pada fenomena resistansi elektrik. Model ini adalah: v(t) = i(t)R Pada persamaan ini, v(t) adalah tegangan dalam besaran volt, i(t) adalah arus dalam besaran ampere, dan R adalah resistensi dalam besaran Ohm. Dalam menganalisis dan merancang, kita selalu bekerja dengan model matematik dari sistem fisik yang terlibat. Model dapat atau tidak dapat mewakili dengan tepat karaktenistik sistem fisik yang sebenarnya. Model dapat dengan tepat mewakili sistem fisik untuk masukan spesifik yang pasti, tetapi dapat menjadi kurang tepat untuk masukan spesitik yang berbeda. Hal ini digambarkan dengan sebuah contoh. Contoh. Suatu resistor karbon biasa l-Ώ,2-W. Karena itu dianggap sebagai sistem fisik. Jika diberikan tegangan konstan (dc) scbesar 1 V ke dalam resistor, Model

matematik memperlihatkan bahwa arus 1 A akan mengalir. Jika secara fisik kita menghubungkan resistor melalui catu daya dc 1-V. arus 1 A akan mengalir melalui resistor bergantung dan resistansi murni dari resistor, karakteristik catu daya dan lainnya. Jika daya yang dibuang di dalam resistansi adalah:

v 2 (t ) p(t )  R

(2)

maka ada daya sebesar 1 W yang dibuang di dalam resistor. Sekarang anggaplah bahwa kita memiliki percobaan yang sama dengan sumber tegangan 10 V. Model matematik akan menyatakan bahwa arus 10 A akan mengalir melalui resistansi, dan daya sebesar 100 W akan dibuang di dalam resistansi. Tetapi, karena resistor fisik hanya dapat menerima daya 2 W, resistor akan gagal jika dihubungkan dengan catu daya 10 V, yang menyebabkan tidak ada arus, atau bergantung dari karakteriistik catu daya, sekering mungkin terbakar. Pada banyak kejadian, besamya arus tidak akan tepat 10 A seperti yang diduga oleh model. Jadi karakteristik resistor 1-W dapat berubah. bergantung dari sinyal masukan (tegangan) yang diberikan pada peralatan. Disebut model fisik karena secara fisik model tersebut dapat dilihat dan diraba, bentuknya mirip dengan yang sebenarnya. Perbedaannya hanya dalam skala ukuran maupun kebutuhan fungsionalnya. Sebagai contoh misalnya (Kerami, 2006): a. Sistem Linear. Sistem dinamakan linear jika berlaku prinsip-prinsip superposisi. Prinsip superposisi menyatakan bahwa tanggapan yang dihasilkan dengan mengaplikasi dua fungsi gaya berbeda secara bersamaan adalah jumlah dari dua tanggapan terhadap aplikasi fungsi tadi secara sendiri-sendiri. Jadi untuk

sistem linear, tanggapan terhadap beberapa masukan dapat dihitung dengan mengerjakan masukan satu per satu dan menjumlahkan hasilnya. Prinsip inilah yang memungkinkan membangun penyelesaian yang rumit untuk persamaan differensial linear dan penyelesaian sederhana. b. Sistem waktu tidak berubah linear dan sistem ber ubah linear Persamaan diferensial adalah linear jika koefisien tetap atau hanya fungsi dari variabel bebas. Sistem dinamik yang terdiri dari komponen parameter bulat (“lumped”), waktu tidak berubah linear mungkin dijelaskan dengan persamaan differensial waktu tidak berubah linear (koefisien tetap). Sistem demikian dinamakan sistem waktu tidak berubah linear (atau koefisien tetap linear). Sistem yang digambarkan dengan persamaan diferensial yang koefisiennya merupakan fungsi waktu dinamakan sistem waktu berubah linear. Contoh sistem kontrol waktu berubah adalah sistem kontrol pesawat ruang angkasa. (Massa pesawat angkasa berubah karena pemakaian bahan bakar). 1) Sistem tak linear. Suatu sistem dikatakan tak linear jika prinsip superposisi tidak dapat diterapkan. Jadi, untuk sitem tak linear, tanggapan terhadap dua masukan tidak dapat dihitung dengan mengukur satu masukan pada suatu waktu tertentu dan menambahkan hasilnya. Contoh persamaan diferensial tak linear adalah :

(3) Walaupun beberapa hubungan sistem fisik biasanya diwakili persamaan linear, dalam kebanyakan kasus sebenarnya hubungan tersebut

tidak benar benar linear, pada kenyataannya, pengamatan yang teliti dari sistem fisik, sistem linear akan benar-benar linear hanya apabila berada pada daerah operasi yang terbatas. Dalam praktek, banyak sistem elektromekanika,

hidrolika,

pneumatika

dan

sebagainya

meliputi

hubungan tak linear antar variabel-variabel. Sebagai contoh, keluaran dari suatu komponen mungkin bercampur untuk sinyal masukan yang besar. (Daerah mati untuk suatu komponen adalah daerah dengan variasi masukan dengan komponen tidak peka). Hukum kuadrat ketaklinearan mungkin terjadi untuk beberapa komponen. Sebagai contoh, peredam yang digunakan pada sistem fisik mungkin linear untuk operasi kecepatan rendah tetapi menjadi tak linear pada kecepatan tinggi, dan gaya redaman mungkin menjadi sebanding dengan kuadrat dari kecepatan kerja. Beberapa contoh kurva karakteristik ketidaklinearan ditunjukkan pada Gambar 4.1.

Ketaklinearan Jenuh

Ketaklinearan daerah mat

Hukum kuadrat

ketaklinearan Gambar 4.1. Kurva karakteristik untk berbagai ketaklinearan Beberapa sistem kontrol yang penting adalah nonlinear untuk setiap ukuran sinyal. Sebagai contoh, pada sistem kontrol dua posi (on-

off). aksi pengontrolan adalah “on” atau “off” dan tidak terdapat huhungan yang linear antara masukan dan keluaran kontroler. Prosedur untuk menemukan penyelesaian masalah yang melibatkan sistem nonlinier umumnya sangat rumit. Karena kesulitan matematika yang ada pada sistem nonlinear, seringkali dirasakan perlu membuat sistem linear yang ekivalen yang berlaku untuk jangka operasi yang terbatas. Sekali sistem nonlinear didekati dengan model matematika linear, maka sejumlah alat bantu nonlinear dapat diterapkan untuk tujuan analisis dan desain. 2) Linearisasi sistem nonlinear. Pada rekayasa kontrol operasi normal dan sistem dapat di sekitar titik keseimbangan, dan sinyal dapat dianggap sebagai sinyal kecil di sekitar titik keseimbangan tersebut (perlu diketahui bahwa terdapat banyak kekecualian dalam kasus seperti ini). Namun

jika sistem beroperasi

di sekitar titik

keseimbangan dan jika sinyal yang terlibat adalah sinyal kecil, maka mungkin untuk mendekati sistem nonlinear tersebut dengan sistem linear. Sistem linear yang demikian adalah ekivalen dengan sistem nonlinier tersebut di dalam batas jangka operasi tertentu. Model yang dilinearisasi demikian (model waktu tidak berubah linear) sangat penting dalam rekayasa kontrol. c. Sistem Listrik Sistem listrik terdiri dari komponen-komponen yang bersifat resistif, kapa.sitif, dan induktif. Komponen-komponen dasar tersebut adalah tahanan [R] kapasitor [C] dan induktor [L]. Sebuah rangkaian listrik diberikan pada Gambar 4.2

Gambar 4.2. Rangkaian seri R-L Menurut Hukum Kirchoff, persamaan rangkaian adalah:

dan ini adalah persamaan differensial linear yang tidak homogen orde1 dengan variabel bebas t dan variabel tidak bebas i; sedang v adalah fungsi masukan. Bentuk persamaan tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

Solusi persamaan homogen adalah solusi untuk V[t] = 0, sehngga

jika V/L = konstan, maka solusi khusus adalah:

, sehingga solusi umum menjadi :

Jika pada t = 0, i = 0 [ saat saklar S belum dihubungkan] , maka :

0C

V V atau C   R R

atau

(8)

Dalam persamaan ini

τ =

L disebut konstanta waktu [time constant], R

dimana L adalah Henry dan satuan R adalah Ohm. d. Sistem Mekanis Sebuah sistem mekanis yang terdiri dari sebuah massa [m], sebuah pegas [dinyatakan oleh konstanta elastisitas k] dan peredam [dashpot] yang menyatakan gesekan mekanis terhadap massa. Gambar 4.3

Gambar 4.3 : Massa, pegas dan redaman Gesekan mekanis ini dapat dinyatakan sebagai fungsi kecepatan dengan B adalah koefisien gesekan. Dengan demikian gaya gesekan adalah Fg = Bv

Jika benda massa m ditarik oleh gaya F dengan arah seperti pada gambar 4.3 maka persamaan gerak untuk sistem menurut hukum Newton II dapat dituliskan sebagai berikut: F = ma di mana F adalah resultante dan semua gaya yang bekerja pada m. dapat juga dituliskan sebagai Fa – Fp – Fg = ma atau Fa – kx – Bv = ma atau ma + Bv + kx = Fa di mana x adalah perpindahan massa m setiap saat. Selanjutnya karena v 

dx dv d 2 x , maka persamaan (10) dapat dan a   dt dt dt 2

juga dituliskan:

m

d 2x dx  B  kx  Fa 2 dt dt

Persamaan tersebut adalah persamaan differensial linear orde dua yang tidak homogen dengan t sebagai variabel bebas, x sebagai variabel tidak bebas dan Fa sebagai fungsi masukan. Solusi umum persamaan (9) ini bergantung pada bentuk Fa. Bentuk Fa yang paling umum adalah fungsi tangga (step function), konstanta atau fungsi sinus.

e. Sistem Hidrolik

Proses pengisian tangki melalui pipa-pipa/saluran air adalah salah satu contoh dari sistem ini, dimana pengaturan-pengaturan aliran ke dalam tangki dapat dilakukan melalui keran, lobang-lobang yang dapat diatur dan sebagainya. Dalam menganalisis sistem cairan ini dapat diberikan anggapan-anggapan sebagai berikut: - tangki dianggap mengandung cairan yang permukaannya bebas. - pipa penghubung dipenuhi seluruhnya oleh cairan. - percepatan cairan diabaikan. Keadaan ini ditunjukkan pada Gambar 4.4

. Gambar 4.4. Sistem hidrolik dengan, qi = debit cairan masuk ke dalam tangki qo = debit cairan keluar h = tinggi permukaan cairan di dalam tangki (“head” cairan)

Tinggi cairan (head) menghasilkan suatu tekanan yang menimbulkan aliran cairan dari tangki dan keadaan ini merupakan kebalikan daripada sifat pipa hambatan-hambatan lain terhadap aliran. Untuk suatu tangki yang mengeluarkan cairan karena tekanan “head”-nya, tahanan hidraulik didefinisikan sebagai peubahan “head” yang diperlukan agar menyebabkan perubahan aliran. Secara matematis dituliskan sebagai berikut: R

dh dq 0

di mana, R = tahanan hidraulik  sek 

2  ft 

h = head (ft) 3 q = laju aliran  ft  sek





Resistansi dan kapasitansi sistem permukaan zat cair. Tinjau aliran dalam pipa pendek yang dihubungkan pada dua tangki. Resistansi untuk aliran zat cair dalam pipa atau hambatan didefinisikan sebagai perubahan dalam perbedaan tinggi (perbedaan permukaan zat cair dalam dua tangki) yang diperlukan untuk membuat satu satuan perubahan laju aliran, yaitu: R

perubahan perbedaan permukaan, m perubahan laju aliran , m 3 / sec

Karena hubungan antara laju aliran dan perbedaan tinggi terjadi untuk aliran laminar dan aliran turbulen, maka akan ditinjau kedua kasus sebagai berikut.

Tinjau sistem permukaan zat cair pada Gambar.4.5(a). Bila aliran pada hambatan adalah laminar, maka hubungan antara laju aliran keadaan tunak dan tinggi permukaan (kepala) pada keadaan tunak diberikan oleh: Q = KH dengan Q = laju aliran zat cair, m3/sec K = koefisien, m2/sec H = permukaan zat cair pada keadaan tunak, m

Kecepatan aliran

Kemiringan = a

2H h  Q q

b

Gambar (a) Sistem permukaan zat cair, (b) kurva laju aliran versus permukaan zat cair

Perhatikan bahwa hukum untuk aliran laminar ini analog dengan hukum Coulomb yang menyatakan bahwa arus berbanding lurus dengan beda potensial. Untuk aliran laminar, resistansi R diperoleh:

Resistansi aliran laminar adalah konstan dan analog dengan resistansi listrik. Bila aliran yang melalui penghambat turbulen, maka laju aliran keadaan tunak diberikan oleh

dengan Q = laju aliran zat cair, m3/sec K = koefisien, m2,5/sec H = permukaan zat cair pada keadaan tunak, m Resistansi Rt aliran turbulen diperoleh

Dengan bentuk persamaan diperoleh

sehingga

Jadi,

Nilai resistansi Rt aliran turbulen tergantung pada laju aliran dan permukaan zat cair. Nilai Rt kecil, mungkiri dapat dikatakan konstan bila perubahan permukaan zat cair dan laju aliran kecil. Dengan menggunakan resistansi aliran turbulen, huhungan antara Q dan H diberikan oleh

Linearisasi akan sahih bila perubahan tinggi permukaan zat cair dan laju aliran pada keadaan tunak cukup kecil.