Pembuktian Alternatif Teorema Keterbatasan.docx

Pembuktian Alternatif dari Teorema 5.3.2: Teorema Keterbatasan ”Misal I = [a, b] 󠇬 R interval tutup di R, f : I  R kontinu, maka f (I) terbatas.” Bukti: Karena f kontinu di I , maka t E I,  δ(t) > 0  jika x  I dan x - t  δ(t), maka  f (x) = f (t)  I. Dengan demikian, δ adalah gauge pada I. n Misal {(Ii, ti)}i=1

adalah partisi δ-fine dari I, dan K := maks { |f (ti )| : i = 1, ..., n }. Berdasarkan Lemma, diberikan x  I  i dengan  x - ti

  δ(ti), maka

berlaku: f (x) ≤ | f (x) − f (ti )| + |f (ti ) | ≤ 1 + K. Karena x ∈ I sebarang, maka f terbatas oleh 1 + K pada I. Terbukti.