Peluang.pdf

Pengantar Peluang • Eksperimen dan Ruang Sampel

Pengantar Peluang

• Aturan Menghitung • Permutasi

Bab IV

• Kombinasi • Peluang • Peluang Bersyarat

Eksperimen (Percobaan) ●

Eksperimen

●

Keluaran Eks perimen

●

M elempar koin

●

Kepala, Ekor

●

M emilih item un tuk inspeksi

●

Cacat, sempurna

●

M elakukan promosi

●

Pembelian, tidak ada pemb elian

Peluang adalah pengukuran numerik kemungkinan suatu kejadian terjadi

0

0.5

Peluang: ●

M elempar sebuah dadu

●

●

Pertandin gan bola

●

1, 2 , 3, 4, 5, 6 Terjadi atau tidak terjadi? Menang, kalah, seri

1.0

Ruang Sampel Ruang Sampel untuk sebuah eksperimen (percobaan) adalah himpunan semua keluaran yang mungkin terjadi dari percobaan Untuk melempar koin: S={kepala, ekor}

Menghitung Keluaran Percobaan Untuk mendapatkan peluang, maka kita harus mengetahui berapa banyak keluaran yang mungkin dari sebuah percobaan. Tiga cara yang biasa digunakan adalah:

Inspeksi sebuah item: S={rusak, tidak rusak} Melempar sebuah dadu: S={1,2,3,4,5,6}

1.Aturan Menghitung untuk percobaan multi langkah 2.Aturan Menghitung untuk Permutasi 3. Aturan Menghitung untuk Kombinasi

Aturan Menghitung untuk Percobaan Multi Langkah Jika sebuah percobaan dapat dijabarkan sebagai barisan dari k-langkah dengan kemungkinan keluaran sebanyak n1 untuk langkah pertama, n2 untuk langkah kedua, ….., dan nk untuk langkah ke k, maka banyaknya keluaran percobaan adalah:

( n1 )( n 2 ). ..( n k )

Contoh: Investasi tambang Adam telah berinvestasi pada dua saham, Markley Oil dan Collins Mining. Adam ingin mengetahui kemungkinan hasil saham setelah tiga bulan berinvestasi, kemungkinan keluarannya adalah: Investasi Investasi untung untung atau atau rugi rugi dalam 3 bulan (dlm $000) Markley Oil Collins Mining 10 10 8 8 5 2 2 0 20

Aturan Menghitung untuk Percobaan Multi Langkah Investasi yang dilakukan Adam bisa dipandang sebagai percobaan dua langkah karena melibatkan dua saham dengan n1 = 4 dan n2 = 2 Markley n 11 = Markley Oil: Oil: =4 4 Collins Mining: n = 2 Collins Mining: 22 = 2 Banyaknya Banyaknya keluaran yg mungkin mungkin adl: adl: n 11n22 = = (4)(2) (4)(2) = =8 8

Tree Diagram Markley Oil Oil Collins Collins Mining Mining (Langkah 1) 1) (Langkah (Langkah 2) 2)

(10, 8) 8) Unt Untung ung $18 $18,0 ,000 00 Untu ng 8 (10, Untu ng 10

(10 (10,, -2) -2) Untu Untung ng $8,00 $8,000 0 Rug i 2 Untu ng 8 ((5, 5, 8 8)) U Untun ntung g $1 $13,0 3,000 00

(5 (5,, -2) -2) Un Untung tung $ $3,000 3,000 Rugi 2 Un tun g 5 Rugi Untu ng 8 ((0, 0, 8) 8) Un Untun tung g $8 $8,0 ,000 00 Im pas ((0, $2,00 0, -2) -2) Ru Rugi gi $2,000 0 Ru gi 2 Ru Rugi gi 20 Unt ung 8 (-2 (-20, 0, 8 8)) Rugi Rugi $1 $12,000 2,000 Ru Rugi gi 2

Aturan Menghitung Untuk Kombinasi

Aturan untuk menghitung keluaran percobaan disaat n obyek diambil dari sebuah himpunan yg beranggota N (N≥n)

Keluaran Percobaan Percobaan

(-2 (-20, 0, -2 -2 Ru Rugi gi $ $22,00 22,000 0

Contoh: Quality Control Dua item dari 5 item diambil secara acak untuk diinspeksi. Ada berapa banyak cara mengambil 2 dari 5 item tersebut?

Rumus Kombinasi N! C = N = n n! ( N −n) ! N n

dimana dan

( )

N !=N ( N −1)( N−2). ..( 2)(1 ) n!=n( n−1)( n−2) ...( 2)(1)

0!=1

5! C 52= 5 = = 10 2 2 !(5 −2 ) !

()

J ik a item-item tersebut dinamakan A, B, C, D, E. Maka k ombinasi item-item yang bisa dipilih adalah:

AB AC AD AE BC BD BE CD CE dan DE

Aturan Menghitung untuk Permutasi

Lottery

Terkadang, urutan dari pemilihan merupakan hal yang harus diperhatikan. Permutasi adalah cara menghitung banyakny a keluaran y ang mungkin jik a n obyek diambil dari N obyek dengan urutan tertentu

Aturan dari sebuah lottery adalah mengambil secara acak 6 bilangan bulat dari 47 bilangan bulat. Berapa banyak kemungkinan keluaran yang mungkin? Berapa peluang anda menang jika anda membeli satu buah tiket? 47

C6 =

N! PnN =n! N = ( N −n ) ! n

( )

( 47 )( 46 ) ( 45) ( 44 ) (43 )( 42 ) 47 ! = =10,737,537 6! ( 47−6 )! (6 ) (5 ) ( 4 )( 3 ) ( 2 )( 1 )

Contoh: Quality Control Jika 2 item diambil satu terlebih dahulu dan diperiksa, baru setelah itu diambil satu lagi, ada berapa kemungkinan keluaran yang mungkin?

5! 5! P52 == = (5−2)! 3!

( 5)( 4)(3)(2)(1) 120 = =20 (3)( 2)(1) 6

Cara mengambilny a adalah:

AB BA AC CA AD DA AE EA BC CB BD DB BE EB CD DC CE EC DE dan ED

Peluang, syarat dan aturan 

Jika E i adl keluaran ke-i dari sebuah percobaan, dan P(E i) adl peluang terjadinya, maka:

0≤P ( E i )≤1 for all i



Jumlahan peluang dari semua kemungkinan yang mungkin terjadi adalah 1. Untuk percobaan dgn keluaran sebanyak n:

P( E 1 ) +P( E 2 )+.. .+P( E n )= 1

Contoh: Melempar Dadu

Metode Klasik Peluang didefinisikan sama karena keluaranny a mempunyai kemungkinan yang sama

1 P( E i )= n

1

1/6 = .1667

2

1/6 = .1667

3

1/6 = .1667

4

1/6 = .1667

5

1/6 = .1667

6

1/6 = .1667 ΣP(E i)

Metode Frekuensi Relatif Metode ini mengindikasikan bahwa data yang tersedia merupakan perkirakan proporsi keluaran percobaan yang mungkin terjadi jika dilakukan berulang-ulang sebanyak tak hingga percobaan Metode ini merupakan penyelesaian dari metode k lasik jik a diketahui bahwa keluaran yang mungk in terjadi tidak mempuny ai k emungkinan terjadi y ang sama.

1.00

Contoh: Persewaan Mobil Metode Frekuensi Relatif Sebuah persewaan mobil, mencatat banyaknya mobil dan banyaknya hari tiap mobil tersewa selama 40 hari seperti tabel dibawah. Bagaimana cara mendapatkan peluangnya? 

Banyak Banyak mobil mobil disewa disewa 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4

Banyak Banyak hari 4 4 6 6 18 10 2 2

Metode Frekuensi Relatif

Metode Subyektif  Berdasarkan Berdasarkan data data yang yang lalu lalu

Banyak Banyak mobil mobil disewa disewa 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4

Banyak hari hari 4 4 6 6 18 10 2 2 40

Peluang .10 .15 4/40 .45 .25 .05 1.00

Peluang Bersyarat Conditional Probability contoh: Lemb ar sebuah da du dan catat keluara nnya. Diberikan kejadian E adl ang ka 1 yang muncul. Diberikan F adl ke jadian b ahwa angka yang muncul ada lah bila ngan g anjil. – Berapa P(E)? – Berapa Peluang kejadian E jika kita telah diberi tahu bahwa yang muncul adl bil ganjil (kita tahu bahwa kejadian F terjadi?)

 Berdasarkan Berdasarkan percobaan-percobaan percobaan-percobaan sebelumnya sebelumnya

 ???, ???, berdasarkan berdasarkan pengalaman pengalaman

Peluang Bersyarat Ide Ku nci: R uang sampel awal ti dak be rlaku lagi. Ruang sampe l yang terambil adala h S={1, 3, 5} Perhatikan bahwa ruang sampel yang baru hanya terdiri dari keluaran F. P(E terjadi diberikan bah wa F te rjadi) = 1/3 Ditulis: P(E|F) = 1/3

Peluang Bersyarat

Peluang Bersyarat

Defin isi: Peluang Bersyarat d ari kejadian E diberikan F adalah peluang b ahwa kejadia n E akan terjad i jika d iketahu i F tela h terjadi

P( E∣F )=

P ( E∩ F) P( F )

if

P( A B) 

P ( A B) P (B )

A

B

P( F)≠0 S

Jika keluara n dari sebuah percob aan mempunyai peluang yang sama, maka P ( E∣F ) =

b anyaknyakelu ar anpad akejadianE  F ba nyakn yakeluara npada keja dianF

Contoh: Penerima gela r akademik di US pa da tahun terakhir Female Male Total

P (Male∣B )=

P (Male )=

B 616 529 1145

M 194 171 365

529 ≃0 . 4620 1145

770 ≃0 . 4735 1626

P 30 44 74

D 16 26 42

Total 856 770 1626

P ( E∩F ) P( E∣F )= P(F)

contoh: E: penurunan nilai rupiah thd dollar F: permintaan dollar

P(E )=0.40 P(F∣E)=0 .8

Peluang Bersyarat bisa dituliskan sbg

P ( E ∩F ) =P( E∣F )∗P ( F )

Kejadian Saling Bebas Independent Events Jika peluang terjadinya kejadian A adl sama tanpa memperhatikan apakah kejadian B terjadi atau tidak, maka kejadian A dan B dikatakan saling bebas (independent) satu sama lain.

P( A∣B )=P( A ) maka A dan B adalah kejadian yang saling bebas.

dapatkan P( E ∩F )

P( E∩F )=0 . 8∗0 . 4=0 . 32

Kejadian Saling Bebas Independent Events P( A∩B )=P ( A∣B) P (B ) maka h ubung an beri kut juga bisa disebut sebaga i kejadian saling beb as:

P( A∩B )=P( A ) P( B)

jika dan hanya jika A dan B ada lah sa ling bebas.

Contoh Sebu ah koin dan sebuah dadu dilempar. Dapatkan pe luang mendapatkan kepala pada koin d an ang ka 3 pada dad u. Peluang: P(head) = 1/2 P(3) = 1/6 P(head dan 3) = 1/2 * 1/6 = 1/12

Aturan kebebasan juga berlaku pada peluang bersyarat Jika E, F, dan G a dalah saling bebas diberikan bahwa kejadian H terjadi, ma ka P ( E∩ F ∩G∣H ) =P ( E∣H )∗P ( F ∣H )∗P( G∣H )

Aturan Kebebasan –3 kejadian Contoh: Jika E, F, dan G adalah saling bebas, maka

P ( E∩F ∩G ) =P( E )∗P ( F )∗P (G )

Penting Ke jadian Saling Bebas vs. Ke jadian Saling Asing (Disjoint Events) Jika dua kejadian saling beba s,

P( A∣B )=P ( A ) P( A∩B )=P( A ) P( B) Jika dua kejadian saling asing , tidak terjadi iri san kel uaran antara kedua kejadian

Teorema Perkalian pada Peluang Bersyarat P( A∩B )=P ( A ) P( B∣A )

Diagram Pohon Diagram pohon yang menunjukkan peluang hari ini clear (cerah) atau berawan (cloudy) dan peluang hari ini hujan diketahui cerah atau berawan.

Aturan tersebut bisa diperluas menjadi: P( A 1∩A 2∩ A 3 ...∩ A n) ..=P ( A1 ) P ( A 2∣A 1) P ( A 3∣A 1∩ A 2) ... P ( A n∣A 1∩A 2 ∩A 3 ∩...∩ A n−1)

a. Dapatkan peluang bahwa hari ini adalah cerah dan kemudian terjadi hujan Pilih dahan yang menunjukkan cerah kemudian terjadi hujan. P(cerah dan hujan) = P(hujan | cerah) • P(cerah) = 0.04 • 0.28 = 0.011 Maka peluang bahwa hari ini adalah cerah dan kemudian terjadi hujan adl sekitar 1%.

Diagram Pohon

Diagram Pohon

b. Dapatkan peluang hari tidak hujan

b. Dapatkan peluang hari tidak hujan

Dahan yang memuat tidak hujan ada pada hari cerah dan hari berawan. Dapatkan peluang pada kedua dahan dan tambahkan.

Dahan yang memuat tidak hujan ada pada hari cerah dan hari berawan. Dapatkan peluang pada kedua dahan dan tambahkan.

P(cerah dan tdk hujan) + P(berawan dan tdk hujan) = P(cerah) • P(tdk hujan | cerah) + P(berawan) • P(tdk hujan | berawan) = 0.28(.96) + .72(.69) = 0.7656

P(cerah dan tdk hujan) + P(berawan dan tdk hujan) = P(cerah) • P(tdk hujan | cerah) + P(berawan) • P(tdk hujan | berawan) = 0.28(.96) + .72(.69) = 0.7656

Maka, peluang hari tidak hujan adl sekitar 77%.

Maka, peluang hari tidak hujan adl sekitar 77%.