Pekan10.pdf

PE2205 - Teknik Persamaan Diferensial Parsial (TPDP) Teknik Perminyakan Tahun Akademik 2018/2019 Universitas Pertamina

Pertemuan Pekan Ke-Sepuluh Sturm - Liouville Problem

Deret Fourier

ODE

Masalah Nilai Eigen Transformasi Laplace

PDE

- Pers. Panas - Pers. Laplace - Pers. Gelombang

Masalah Nilai Eigen (Sturm-Liouville problem)

Bentuk Persamaan Differensial PDB linear orde dua:

d  dy  px    qx   r x y  0, a  x  b  dx  dx 

dengan kondisi batas: y a   y ' a   0, dan y b   y ' b   0

(1) (2)

dimana p(x), q(x), dan r(x) adalah merupakan fungsi real dari x, dan λ adalah suatu parameter. Jika p(x) dan r(x) adalah fungsi kontinu dan positif pada a ≤ x ≤ b maka (1) dan (2) disebut masalah Sturm- Liouville regular (MSL reg), sedangkan jika pada p(x) dan r(x) bernilai nol pada salah satu titik ujung selang atau jika selangnya tak hingga maka (1) dan (2) disebut masalah Sturm- Liouville singular (MSL sig).

Nilai dan Fungsi Eigen

d  dy  px    qx   r x y  0, a  x  b  dx  dx 

dengan kondisi batas reguler y a   y ' a   0, dan y b   y ' b   0 kondisi batas periodik y a   y b , dan y ' a   y ' b  Fungsi y(x) = 0 adalah solusi untuk setiap λ. Solusi ini disebut solusi trivial. Sedangkan solusi tak trivial akan ada hanya untuk λ tertentu saja. Fungsi yang berkaitan dengan solusi tak trivial ini disebut fungsi eigen/fungsi karakteristik, dan λ yang bersesuaian disebut nilai eigen/nilai karakteristik. Penyelesaian Persamaan Diferensial Parsial dengan memperbesar fungsi menjadi fungsi sepotong-sepotong yang kontinu, yang merupakan fungsi eigen linear dan kita menggunakan sinus dan kosinus untuk menuliskan kembali fungsi dalam bentuk Deret Fourier

Sifat-Sifat MSL Reg • Untuk MSL reg dengan r(x) > 0 jika p(x), q(x), dan r(x) merupakan fungsi real dan fungsi eigennya terdiferensialkan dan kontinu, maka semua nilai Eigen adalah real. • Jika setiap nilai eigen berpasangan dengan hanya ada satu fungsi eigen, maka nilai eigen dikatakan sederhana. Jika lebih dari satu fungsi eigen yang berpasangan dengan satu nilai eigen, maka MSL dikatakan degenerate. • MSL reg memiliki tak berhingga banyaknya nilai eigen sederhana yang dapat n   diurutkan sebagai barisan monoton naik, λ0 < λ1 < ...., sehingga lim n  • Setiap fungsi eigen yn(x) yang berpasangan dengan nilai eigen λn mempunyai tepat n akar pada selang (a,b)

Contoh 1. Cari fungsi eigen dan nilai eigen dari MSL y ' 'y  0, y (0)  y ( L)  0

Ada 3 kasus λ yaitu negatif, sama dengan nol, dan positif. Dengan solusi umum persamaan tersebut dibawah ini:

 A cosh mx   B sinh mx  ,  y x   C  Dx ,  E coskx   F sin kx  , 

jika   0;   m jika   0 jika   0;   k 2

Contoh 1.

y ' 'y  0, y (0)  y ( L)  0

Dari perhitungan dengan menggunakan syarat awal y(0)=0 , didapatkan A, C, E = 0  A cosh m  0   B sinh m  0   0  y x   C  D  0  0  E cosk  0   F sin k  0  0 

Dari perhitungan dengan menggunakan syarat batas y(L)=0, λ<0 bukan solusi, serta D = 0 sehingga λ=0 juga bukanlah solusi karena tidak ditemukan fungsi eigen.

F sin( kL)  0

 B sinh m  L   0  y x   D  L  0  F sin k  L   0 

sin( kL)  0, kL  n ,   0,   k 2 y ( x)  E cos(kx)  F sin( kx)  n  y ( x)  F sin  x  dengan n>0 dan F konstanta sembarang  L 

misal F  1, maka  nx  y ( x)  sin    L 

Fungsi Eigen

 n      L 

2

Nilai Eigen

Contoh 2.

y ' 'y  0, y (0)  0, y '    0  A cosh mx   B sinh mx  ,  y x   C  Dx ,  E coskx   F sin kx  , 

jika   0;   m 2 jika   0 jika   0;   k 2

Contoh 3.

y ' 'y  0, y (0)  0, y    y '    0  A cosh mx   B sinh mx  ,  y x   C  Dx ,  E coskx   F sin kx  , 

jika   0;   m 2 jika   0 jika   0;   k 2

Contoh 4.

y ' 'y  0, y (0)  y ' 0  0, y    y '    0  A cosh mx   B sinh mx  ,  y x   C  Dx ,  E coskx   F sin kx  , 

jika   0;   m 2 jika   0 jika   0;   k 2

Keorthogonalan Fungsi Eigen d  dy  px    qx   r x y  0, a  x  b  dx  dx  dengan kondisi batas y a   y ' a   0, dan y b   y ' b   0

Jika masing-masing fungsi eigen terdiferensial secara kontinu yang berkaitan dengan nilai eigen berbeda, maka fungsi eigen memenuhi kondisi keorthogonalan: b

 r  x y  x  y  x dx m

a

n

 0 , dengan ym x , yn  fungsi eigen