Pef2602-2015 - P1 - Gabarito-q1-q2-q3

FACULDADE

DE ARQUITETURA E URBANISMO DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO PEF2602 - Estruturas na Arquitetura II PRIMEIRA AVALIAÇÃO 2015

Gabarito

Nome:

No USP:

1a Questão (3,0) O cabo esquematizado abaixo está sujeito a cargas verticais P   50  n  em kN, sendo n o último algarismo não-nulo de seu número USP. Determine as reações de apoio, a altura yC e as forças normais nos trechos do cabo. Dimensione o diâmetro da seção transversal do cabo (  ), sabendo que a tensão de ruptura do material é  r  800MPa e o sistema deve trabalhar com um coeficiente de segurança s  2 em relação às cargas de ruptura. Note que, sendo os apoios desnivelados, o empuxo resultante em um ponto de apoio provoca momentos em relação ao outro ponto de apoio! A

1

yc

3m

C

Grandeza

Valor

HA HB VB

5P 3P/2 5P P/2

Unida de kN kN kN kN

N1

5.2202P

kN

N2

5.0249P

kN

N2

5.0249P

kN

yc

3

m

d

0,01289 P (P em Newtons)

cm

VA

4m

B 3

2 D

P

P 10m

10m

10m

1. Reações de apoio:

  H

A

 HB  0  H A  HB  H

;

FX

 V

B

 30  H  3  P  10  P  20  0

A

FY direita

;



 VB  2P  0  VA  VB  2P

 VB  10  H  1  0  H  10VB

M ( D)

M ( A)

 V

 V

B

 30  10VB   3  P  10  P  20  0  VB 

M ( A)

P 3P  VA   H  5P 2 2

2. Ordenada yC: esquerda



M (C )

 VA  10  H  yC  

3P  10  5P  yC  0  2

yC  3

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Gabarito

No USP:

3. Esforços nos trechos:

 x    y 

cos i  x i

Ni 

H 5P  cos  i cos  i

i

x

y

1

10

3

10,440

0,95783

5,2202P

2

10

1

10,050

0,99504

5,0249P

3

10

1

10,050

0,99504

5,0249P

i



2

2

4. Diâmetro do cabo:  max 

N max N   12  r  d A s 4

 d

 

4sN1

 r



4  2  5.2202  P 4  2  5.2202  P  1, 289  104 P 6 6   800  10   800  10 (P em Newtons, d em metros).

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P (kN) 51 52 53 54 55 56 57 58 59

HA=HB 255 260 265 270 275 280 285 290 295

VA 76.5 78.0 79.5 81.0 82.5 84.0 85.5 87.0 88.5

VB 25.5 26.0 26.5 27.0 27.5 28.0 28.5 29.0 29.5

N1 266.2 271.5 276.7 281.9 287.1 292.3 297.6 302.8 308.0

N2=N3 256.3 261.3 266.3 271.3 276.4 281.4 286.4 291.4 296.5

d (m) 0.02911 0.02939 0.02968 0.02995 0.03023 0.03050 0.03077 0.03104 0.03131

d (cm) 2.91 2.94 2.97 3.00 3.02 3.05 3.08 3.10 3.13

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Gabarito

No USP:

2a Questão (3,5): Determine as reações de apoio e as forças normais nas barras da treliça esquematizada na figura abaixo. Considere F1  50  5n e F2  100  10n , em kN, sendo n o último algarismo não-nulo de seu número USP. Esforço VA HB VB N1 N2 N3 N4 N5 N6 N7 N8 N9

Reações de apoios ∑ Fx = 0 → HB = 0 ∑ Fy = 0 → F1 + F2 – VA – VB VA + VB = F1 + F2 ∑ MB = 0 → 3F2 – 6VA + 9F1 = 0 VA =

[kN]

Substituição do VA, acha-se o VB VA + VB = F1 + F2 + VB = F1 + F2

VB = F1 + F2 –

[kN]

Valor [kN]

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Gabarito

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Forças normais das barras Nó C

∑ FV = 0 → N4 senα – F1 = 0 N4

→ N4 =

∑ FH = 0 → N1 + N4 cosα = 0 N1 +

x 0,6 = 0

→ N1 = –

x 0,6

Nó A

∑ FV = 0 → N5 + N6 cosβ + VA = 0 N5 = – VA – N6 cosβ → N5 = – Substituir o N6 para achar N5 ∑ FH = 0 → N2 – N1 – N6 cosβ = 0 N6 = Substituir o N2 para achar N6 Nó B

∑ FV = 0 → VB + N9 senβ = 0 F1 + F2 –

+ N9 0,55 = 0

– N6 0,55

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Gabarito

No USP:

N9 = – ∑ FH = 0 → – N9 cosβ – N3 = 0 N3 = – { –

x 0,83}

Nó F

∑ FV = 0 → N7 = 0 ∑ FH = 0 → N2 = N3 = 0 N2 = – { – Nó D

∑ FH = 0 → – N4 cos α + N8 cos β = 0 – N8 = Gabarito

0,6 + N8 0,83 = 0

x 0,83}

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Gabarito

No USP:

3ª Questão (3,5) A treliça mostrada na figura abaixo está sujeita a uma carga horizontal de 20 kN. Dimensione as barras 3 e 5, ambas com a mesma seção transversal, escolhendo, entre os perfis dados na tabela em anexo, aquele que permita a máxima economia. Adote um coeficiente de segurança s=1,5. O material tem tensão de escoamento  e  250MPa , e módulo de elasticidade E  210GPa .

Provas A e C N3 (kN) N5 (kN) Perfil escolhido

-8,0 -40,0 90 x 50 x 4,5 mm

Provas B e D N3 (kN) N5 (kN) Perfil escolhido

31,25 31,25 60 x 40 x 4,5 mm

1. Reações de apoio  Fx  0  H A  20kN 

F  0  V V  M  0  20  3  V y

A

A

VB  12,5kN  VA  12,5kN 

B

B

 4,8  0

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Gabarito

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2. Cálculo das forças normais nas barras da treliça por equilíbrio dos nós 3,0 m

1,8 m

3,84 m

3m

b

2,4 m

 2,4 m

2, 4  0,8 3, 0 1,8 sin b   0, 6 3, 0 cos b 

N3  A

20 kN

b

N1

F

x

0

-20  N 3  cos +N1  cos b  0 N1 

20  N 3  0, 625  25  0, 78125 N 3 0,8

F

0

y

12,5 kN

2, 4  0, 625 3,84 3 sin    0, 78125 3,84 cos  

-12,5  N 3  sin  +N1  sin b  0 -12,5  N 3  0, 78125+(25  0, 78125 N 3 )  0, 6  0 N1  31, 25kN (Tração) N 3  8kN

N2 b

(Compressão)

N5

F



N 5  cos +N 2  cos b  0

x

B

N2 

 N5  0, 625  0, 78125 N 5 0,8

F

0

y

12,5 kN

0

12,5  N 5  sin  +N 2  sin b  0 12,5  N 5  0, 78125+(0, 78125 N 5 )  0, 6  0 N1  31, 25kN (Tração) N 3  40kN

(Compressão)

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Gabarito

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3. Dimensionamento Barras 3 e 5 N 5  N max  40kN compressão! Critério 1: Tensão normal máxima



e s



250  166, 67 MPa 1,5

 max   A

N max



A



 A

N max



40  10 166, 67 106 3

A  2,399 10 4 m 2 A  2,399cm 2 Critério 2: Estabilidade P 1  2 EI N max  cr  N max  s s l2 1,5  40 103  (3,84) 2 I  2  210 109 I  4, 26 10 7 m 4



I

I  42, 6cm 4 Perfil escolhido: 90 x 50 x 4,5 mm peso=9,37 kg/m

Barras 1 e 2 N1  N 2  N max  31, 25kN tração!

Critério 1: Tensão normal máxima



e s



250  166, 67 MPa 1,5

 max    A

N max A



 A

N max



31, 25 10 166, 67 106 3

A  1,87 104 m 2 A  1,87cm 2 Perfil escolhido: 60 x 40 x 4 mm

peso=5,55 kg/m

s N max l 2

 2E

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