Pd_simultan Sebenarnya Kelompok 3.docx

PERSAMAAN DIFERENSIAL SIMULTAN Kelompok 3: 1. Carlos Demelo Simangunsong (17101103067) 2. Sintia Rondonuwu

(17101103065)

3. Salma Domili

(17101103021)

4. Deybrati Powa

(17101103045)

5. Harvey Lumenta

(17101103017)

6. Devidson Mananggung

(17101103025)

7. Debora E.A Manuputty

(17101103051)

8. Agnesyera Veren Lengkong

(17101103057)

9. Ester Tindi

(17101103035)

10. Adelina Putri

(17101103001)

11.Nelly Mambrassar

(17101103073)

Jika satu di antara variabel-variabel itu bebas, persamaannya adalah persamaan diferensial biasa, jika lebih banyak variabel yang bebas, persamannya disebut persamaan diferensial parsial. Pada bab ini akan diperhatikan sistem persamaan diferensial linier biasa dengan koefisien-koefisien konstan, seperti: 𝑑𝑥

𝑑𝑦

A) 3 𝑑𝑡 + 2 𝑑𝑡 − 3𝑥 − 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

atau

(𝐷 + 5)𝑥 +

+ 5𝑥 + 𝑦 = 0

𝑑𝑡

1

𝐴′) 3(𝐷 − 1)𝑥 + 2 (𝐷 − 2) 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑦

dan B) 2

𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑑𝑥 𝑑𝑡

𝑒𝑥

𝑑𝑦

+ 3 𝑑𝑡 + 9𝑦 = 1 𝑑𝑧

− 𝑑𝑡 + 5𝑥 + 3𝑧 = 1 𝑑𝑦 𝑑𝑡

𝑑𝑧

+ 𝑑𝑡 + 3𝑒 𝑥 𝑦 + 2𝑧 = 0

atau

B’)

2 𝐷𝑥

𝑑

= 0 , di mana 𝐷 = 𝑑𝑡

+ 3(𝐷 + 3)𝑦 = 1

(𝐷 + 5)𝑥 − (𝐷 − 3)𝑧 = 1 𝑒 𝑥 (𝐷 + 3)𝑦 + (𝐷 + 2)𝑧 = 0

di mana banyaknya persamaan serentak sama dengan banyaknya variabel tak bebas.

PROSEDUR DASAR untuk menyelesaikan suatu sistem n persamaan diferensial biasa dalam n variabel terikat, terdiri dari cara mendapatkan himpunan di mana semua variabel terikatnya, kecuali sau misalnya x, dapat dieliminasikan, dan cara mendapatkannya dengan menurunkan persamaan yang diketahui. Persamaan yang dihasilkan dengan eliminasi, selanjutnya diselesaikan untuk variabel x ini. Setiap variabel terikat diselesaikan dengan cara yang sama. 𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑦

1) 3 𝑑𝑡 + 2 𝑑𝑡 − 3𝑥 − 𝑦 = 𝑒 𝑥 , 2) 2 𝑑𝑥 + 3𝑥 + 9𝑦 = 0

CONTOH. Perhatikan sistem A) Penyelesaian I.

Pertama kali, catatlah bahwa penyelesaian umunya x = x(t) dan y = y(t) dari sistem, akan juga memenuhi 𝑑2 𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑦

2 𝑑𝑡 2 + 3 𝑑𝑡 + 9 𝑑𝑡 = 0

3)

Diperoleh dengan menurunkan 2), lebih lanjut, kalikan 1) dengan −1, 3) dengan 1, dan jumlahkan, diperoleh 4)

𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

− 8𝑥 = −𝑒 𝑥

yang juga dipenuhi x = x(t), y = y(t). Persamaan diferensial yang terakhir ini, bebas dari y dan turunannya, dapatlah diselesaikan dengan mudah; jadi, 1

1

𝑥 = 𝐶1 cos 𝑡 + 𝐶2 sin 𝑡 − 𝐷2 +1 𝑒 𝑡 = 𝐶1 cos 𝑡 + 𝐶2 sin 𝑡 − 2 𝑒 𝑡 . Untuk mendapatkan y dengan cara yang sama, 1) diturunkan diperoleh 3

5)

𝑑2 𝑧 𝑑𝑡 2

+2

𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

−3

𝑑𝑥 𝑑𝑡

−

𝑑𝑦 𝑑𝑡

= 𝑒𝑥

dan di antara persamaan ini dan persamaan 1), 2), 3) dieliminasikan x dan turunannya. Akan tetapi, cara berikut lebih mudah. Dari 2) diperoleh 𝑑𝑥

1

1

𝑦 = − 𝑑𝑡 − 3𝑥 = −(−𝐶1 sin 𝑡 + 𝐶2 cos 𝑡 − 2 𝑒 𝑥 ) − 3(𝐶1 cos 𝑡 + 𝐶2 sin 𝑡 − 2 𝑒 𝑥 ) = (𝐶1 − 3𝐶2 ) sin 𝑡 − (3𝐶1 + 𝐶2 ) cos 𝑡 + 2𝑒 𝑥 . 1

Jadi, 𝑥 = 𝐶1 cos 𝑡 + 𝐶2 sin 𝑡 − 2 𝑒 𝑥 , 𝑦 = (𝐶1 − 3𝐶2 ) sin 𝑡 − (3𝐶1 + 𝐶2 ) cos 𝑡 + 2𝑒 𝑥

BANYAKNYA KONSTANTA SEBARANG YANG BEBAS muncul pada penyelesaian umum system F1 (D)x + g1 (D)y = h1 (t) F2 (D)x = g2 (D)y = h2 (t) 𝑓 (𝐷) ∆ = |1 𝑓2 (𝐷)

Sama dengan derajat D determinan

𝑔1 (𝐷) | 𝑔2 (𝐷)

Asalkan ∆ tidak lenyap sama-sama. Jika ∆ = 0,sistemnya terikat; sistem yang demikian tidak dperhatikan disini. Untuk sistem A’),

2(𝐷 − 2) ∆=| 𝐷+3

𝐷−1 | = - (D2 + 1) . 1

Derajat D (2) sesuai dengan banyaknya konstantasebarang yang muncul pada penyelesaian umum.Teorema dapat diperluas dengan mudah untuk keadaan n persamaan dengan n variabel tersebut.

Soal dan Penyelesaian: 1) (𝐷 − 1)𝑥 + 2𝐷𝑦 = 4𝑡 + 2

1. Selesaikan sistem :

2) (2𝐷 + 2)𝑥 + 4𝐷𝑦 = 2𝑡 Solusi: 3

2) dikurangi 2 kali 1), diperoleh 4𝑥 = −6𝑡 − 4. Substitusikan 𝑥 = − 2 𝑡 − 1 pada 1), diperoleh, 5

5

dan 𝑦 = 4 𝑡 2 + 𝑡 + 𝐶1 .

2𝐷𝑦 = 4𝑡 + 2 − (𝐷 − 1)𝑥 = 2 𝑡 + 1 3

5

Penyelesaian lengkapnya 𝑥 = − 2 𝑡 − 1, 𝑦 = 4 𝑡 2 + 𝑡 + 𝐶1. Catatlah bahwa sebarang.

𝐷 − 1 2𝐷 berderajat 1 dalam D dan terdapatlah sebuah konstanta 2𝐷 + 2 4𝐷

2. Selesaikan sistem : 1) (𝐷 + 2)𝑥 + 3𝑦 = 0 2) 3𝑥 + (𝐷 + 2)𝑌 = 2𝑒 2𝑡. Solusi: Kenakanlah operator 𝐷 + 2 pada 1), kalikanlah 2) dengan -3 dan jumlahkan, diperoleh 6

(𝐷2 + 4𝐷 − 5)𝑥 = −6𝑒 2𝑡 . 𝑀𝑎𝑘𝑎 𝑥 = 𝐶1 𝑒 𝑡 + 𝐶2 𝑒 −5𝑡 − 7 𝑒 2𝑡. 1

8

Dari 1), 𝑦 = − 3 (𝐷 + 2)𝑥 = −𝐶1 𝑒 𝑡 + 𝐶2 𝑒 −5𝑡 + 7 𝑒 2𝑡 .

1) (𝐷 − 3)𝑥 + 2(𝐷 − 2)𝑦 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑡

3. Selesaikan sistem :

2) 2(D+1)x + (D-1)y = cos t. Solusi: Kenakanlah operator D-1 pada 1) dan 2(D+2) pada 2), diperoleh 3) (D-1) (D-3)x + 2(D-1)(D+2)y = (D-1)[2 sin t]

= 2 cos t - 2 sin t

4) 4(D+2)(D+1)x + 2(D+2) (D-1)y = 2(D+2) cos t

= 4 cos t - 2 sin t.

Kurangkan 3) dari 4) dan catatlah bahwa (D-1) (D+2) = (D+2) (D-1), karena operatoroperator itu mempunyai koefisien-koefisien konstan, [4 (𝐷2 + 3𝐷 + 2) − (𝐷2 − 4𝐷 + 3)]𝑥 = (3𝐷2 + 16𝐷 + 5)𝑥 = 2 cos 𝑡 Dan

x

= 𝐶1 𝑒 −3𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑡/3 +

2

1

3𝐷 2 +16𝐷+5

cos 𝑡 = 𝐶1 𝑒 −3𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑡/3 + 3𝐷+1 cos 𝑡

= 𝐶1 𝑒 −3𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑡/3 + (8 sin + cos 𝑡 )/65. Dari 2),

(D-1)y = cos t + 2(D+1)x 𝑡

4

= cos t + 8𝐶1 𝑒 −3𝑡 − 3 𝐶2 𝑒 −3 − (18 cos 𝑡 + 14 sin 𝑡 )/65. 𝑡

4

= 8𝐶1 𝑒 −3𝑡 − 3 𝐶2 𝑒 −3 + (47 cos 𝑡 − 14 sin 𝑡)/65. 𝑦𝑒 −𝑡

4

𝑡

= ∫(8𝐶1 𝑒 −3𝑡 − 3 𝐶2 𝑒 −3 + 4

= − 𝐶1 𝑒 −6𝑡 + 𝐶2 𝑒 − 3

−4𝑡 3

+

47 cos t – 14 sin t −𝑡 𝑒 )dt 65 61 sin t – 33 cos 𝑡 130

𝑒 −𝑡 + 𝐶3

−𝑡

4

y = − 𝐶1 𝑒 −3𝑡 + 𝐶2 𝑒 − 3 +

Dan

61 sin t – 33 cos 𝑡

3

130

+ 𝐶3 𝑒 𝑡 .

Karena derajat ∆ adalah 2, penyelesaian umumunya mempunyai dua konstanta sebarang. Dengan demikian, apabila pernyataan-pernyataan ini disubstitusikan untuk x dan y pada 1) diperoleh 𝐶3 = 0. Maka 𝐶1 𝑒 −3𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑡/3 +

(8 sin 𝑡 +cos 𝑡 ) 65

,

−𝑡

4

y = − 3 𝐶1 𝑒 −3𝑡 + 𝐶2 𝑒 − 3 +

61 sin t – 33 cos 𝑡 130

Adalah persamaan umumnya. 1) 𝐷2 𝑥 − 𝑥 2 𝑦 = 0, 2) 𝐷2 𝑦 + 𝑥 2 𝑥 = 0,

4. Selesaikan sistem : Solusi:

Kenakan operator 𝐷2 pada 1) dan substistusikan 𝐷2 𝑦 = −𝑚2 𝑥 dari 2), diperoleh 𝐷2 − 𝑚2 (−𝑚2 𝑥) = 𝐷2 + 𝑚4 𝑥 = (𝐷2 + 𝑚4 )𝑥 = 0, 𝑀𝑎𝑘𝑎 𝐷 = ± dan 𝑥 = 𝑒

−

𝑚𝑡 √2

(𝐶1 cos

𝑚𝑡 √2

+ 𝐶2 sin 𝑚𝑡/√2 ) + 𝑒 −𝑚𝑡/√2 (𝐶3 cos

𝑚𝑡 √2

𝑚 √2

(1 ± 𝑡)

+ 𝐶4 sin 𝑚𝑡/√2 ).

Substitusikan untuk x pada 1) dan selesaikan 1

𝑚𝑡

𝑦 = 𝑚2 𝐷2 𝑥 = 𝑒 √2 (𝐶2 cos

𝑚𝑡 √2

− 𝐶1 sin

𝑚𝑡 √2

) + 𝑒 −𝑚𝑡 (𝐶3 sin

𝑚𝑡 √2

− 𝐶4 cos

𝑚𝑡 √2

)

1). (𝐷 + 1)2 𝑥 + 2𝐷𝑦 + 3𝐷𝑧 = 1

5. Selesaikan sistem

2).

𝐷𝑥

3).

𝑥

+ 𝑧

=0

− 𝐷𝑦 − 𝐷𝑧 = 0.

Carilah penyelesaian khusus dimana 𝑥 = 𝑧 = 1, 𝑦 = 0 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑡 = 0. Solusi: Pertama, kenakanlah 𝐷 pada 2) diperoleh 4) 𝐷2 𝑥 + 𝑑𝑧 = 0. Selanjutnya, tambahkan dua kali 3) pada 1) dan kurangkan 4) diperoleh (2𝐷 + 3)𝑥 = 1; maka 𝑥𝑒 5𝑡/2 =

1

∫ 𝑒 5𝑡/2 𝑑𝑡 = 2

1

1

𝑒 5𝑡/2 + 𝐶1 dan 𝑥 = 3 + 𝐶1 𝑒 5𝑡/2 . 3 3

𝑧 = −𝐷𝑥 = 2 𝐶1 𝑒 −5𝑡/2 .

Dari 2). 1

9

Dari 3). 𝐷𝑦 = 𝑥 − 𝐷𝑧 = 3 + 𝐶1 𝑒 5𝑡/2 + 4 𝐶1 𝑒 −5𝑡/2 =

1 3

+

13 4

𝐶1 𝑒 −5𝑡/2 ; maka

1

𝑦 = 3𝑡 − (𝐷 + 1)2 Karena | 𝐷 1

2𝐷 0 −𝐷

13 6

𝐶1 𝑒 −5𝑡/2 𝐶2 .

3𝐷 2 1 | = 2𝐷 + 3𝐷 berderajat 2dalam D terdapatlah2 konstanta −𝐷 1

1

sebarang dan penyelesaian umumnya 𝑥 = 3 +𝐶1 𝑒 −5𝑡/2 , 𝑦 = 3 𝑡 − 3

𝐶𝑒 2 1

−5𝑡/2

13 6

𝐶1 𝑒 −5𝑡/2 𝐶2 , 𝑧 =

. 1

2

13

2

Jika 𝑡 = 0; 𝑥 = 3 + 𝐶1 = 1 𝑑𝑎𝑛 𝐶1 = 3 ; 𝑦 = (− 6 ) (3) + 𝐶2 = 0 dan 𝐶2 =

13 9

.

Dengan demikian penyelesaian khususnya 1

2

𝑥 = 3 + 3 𝑒 −5𝑡/2 ,

1

𝑦 = 3𝑡 −

13 9

𝑒 −5𝑡/2

13 9

, 𝑧 = 𝑒 −5𝑡/2 .

Catatan bahan penyelesaian khusus yang memenuhi himpunan syarat awal tidak selalu dapat diperoelh. Sebagai contoh, tak ada penyelesaian yang memenuhi syarat-syarat 𝑥 = 1, 𝑦 = 𝑧 = 0 jika t=0, karena𝑥 = 1, 𝑦 = 0 kontradiksi dengan 𝑥 = 1/3 + 2𝑧/3. Demikian juga 𝑦 = 0, 𝑧 = 1, 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = 1 jika t=0 kontradiksi dengan 𝑑𝑥/𝑑𝑡 = −𝑧.

6. Selesaikan sistem: 1). (𝐷2 − 2)𝑥 − 3𝑦 = 𝑒 2𝑡 2). (𝐷2 + 2)𝑦 + 𝑥 = 0. Carilah penyelesaian khusus yang memenuhi syarat 𝑥 = 𝑦 = 1, 𝐷𝑥 = 𝐷𝑦 = 0 jika 𝑡 = 0. Solusi: Dikenakan operator 𝐷2 pada 1) diperoleh 𝐷4 𝑥 − 2𝐷2 𝑥 − 3𝐷2 𝑦 = 4𝑒 2𝑡 dan 1) diganti 𝐷2 𝑥 = 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑒 2𝑡 dan dari 2) 𝐷2 𝑦 = −𝑥 − 2𝑦, diperoleh (𝐷4 − 1)𝑥 = 6𝑒 2𝑡 Maka = 𝐶1 𝑒 𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑡 + 𝐶3 cos 𝑡 + 𝐶4 sin 𝑡 + y=

1 3

[(𝐷2 − 2)𝑥 − 𝑒 2𝑡 ]

2 2𝑡 𝑒 5

dan, gunakan 1)

1

1

= − 3 (𝐶1 𝑒 𝑡 + 𝐶2 𝑒 −𝑡 ) − (𝐶3 cos 𝑡 + 𝐶4 sin 𝑡) − 15 𝑒 2𝑡 .

Catatlah bahwa 𝑥 dapat juga diperoleh dengan penggunaan determinan. Jadi, 2 −3 | 𝑥 = |𝑒 2𝑡 |𝐷 − 2 1 𝐷2 + 2 0

Jika 𝑡 = 0,

3 | 𝐷 +2 2

2

𝑥 = 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 + 3 = 1

atau

(𝐷2 − 1)𝑥 = 6𝑒 2𝑡 , dan lain-lain. 4

dan 𝐷𝑥 = 𝐶1 − 𝐶2 + 𝐶4 + 5 = 0.

1

1

𝑦 = − 3 (𝐶1 + 𝐶2 ) − 𝐶3 − 15 = 1

1

2

dan 𝐷𝑦 = − 3 (𝐶1 − 𝐶2 ) − 𝐶4 − 15 = 0.

Maka 𝐶1 = 3/4 , 𝐶2 = 7/4 , 𝐶3 = −19/10 , 𝐶4 = 1/5 , dan penyelesaian khusus yang diminta adalah 1

1

2

𝑥 = 4 (3𝑒 𝑡 + 7𝑒 −𝑡 ) − 10 (19 cos 𝑡 − 2 sin 𝑡) + 5 𝑒 2𝑡 1

1

1

𝑦 = − 12 (3𝑒 𝑡 + 7𝑒 −𝑡 ) + 10 (19 cos 𝑡 − 2 sin 𝑡) − 15 𝑒 2𝑡 7. Selesaikan sistem

1) (𝐷 + 3)𝑥 + 5𝑦 = 2𝑡 2) (𝐷 + 1)𝑥 + (𝐷 + 2)𝑦 = 𝑡 2 − 1

Solusi: Dengan menggunakan deter minan dari sistem di atas, diperoleh: 𝐷+3 5 2𝑡 | |𝑥 = | 2 𝐷+1 𝐷+2 𝑡 −1

5 | 𝐷+2

[(𝐷2 + 5𝐷 + 6) − 5𝐷 − 5]𝑥 = 2𝐷𝑡 + 4𝑡 − 5𝑡 2 + 5 (𝐷2 + 1)𝑥 = −5𝑡 2 + 4𝑡 + 7 atau 𝑥 = 𝐶1 cos 𝑡 + 𝐶2 sin 𝑡 − 5𝑡 2 + 4𝑡 + 7 𝐷+3 2𝑡 𝐷+3 5 | |𝑦 = | | 𝐷 + 1 𝑡2 − 1 𝐷+1 𝐷+2 [(𝐷2 + 5𝐷 + 6) − 5𝐷 − 5]𝑦 = 𝐷𝑡 2 + 3𝑡 2 − 𝐷 − 3 − 2𝐷𝑡 − 2𝑡 (𝐷2 + 1)𝑦 = 3𝑡 2 − 5 atau 𝑦 = 𝐶1 cos 𝑡 + 𝐶2 sin 𝑡 + 3𝑡 2 − 5 Jadi, 𝑥 = 𝐶1 cos 𝑡 + 𝐶2 sin 𝑡 − 5𝑡 2 + 4𝑡 + 7 dan 𝑦 = 𝐶1 cos 𝑡 + 𝐶2 sin 𝑡 + 3𝑡 2 − 5 adalah penyelesaiannya.

1) 𝑥

8. Selesaikan sistem:

+ (𝐷 + 3)𝑦

= 𝑒𝑡

2) (𝐷 − 1)𝑥 + 2(𝐷 − 2)𝑦 = 0 Solusi: Dengan menggunakan determinan dari sistem di atas, diperoleh: 1 𝐷+3 𝑒𝑡 | |𝑥 = | 𝐷 − 1 2(𝐷 − 2) 0

(𝐷 + 3) | 2(𝐷 − 2)

[𝐷2 + 1]𝑥 = 2𝐷𝑒 𝑡 − 4𝑒 𝑡 𝑥 = 𝐶1 cos 𝑡 + 𝐶2 sin 𝑡 − 2𝑒 𝑡 1 𝐷+3 | |𝑦 = | 1 𝐷 − 1 2(𝐷 − 2) 𝐷−1

𝑒𝑡| 0

[𝐷2 + 1]𝑦 = −𝐷𝑒 𝑡 + 𝑒 𝑡 𝑦 = 𝐶1 cos 𝑡 + 𝐶2 sin 𝑡 Jadi, 𝑥 = 𝐶1 cos 𝑡 + 𝐶2 sin 𝑡 − 2𝑒 𝑡 dan 𝑦 = 𝐶1 cos 𝑡 + 𝐶2 sin 𝑡 adalah penyelesaiannya.

9. Selesaikan sistem: 1) (D + 1)x + (D - 1)y = et 2) (D2 + D + 1)x + (D2 – D + 1)y = t2 . Solusi: Kenakan operator D2 + D + 1 pada 1) dan D + 1 pada 2),dan kurangkan, diperoleh: 1

2y = t2 + 2t – 3et dan y =2 t2 + t -

3 t e 2

.

Kenakan operator D2 – D + 1 pada 1) dan D-1 pada 2), dan dikurangkan,diperoleh

1

1

2x = t2 – 2t + et dan x = 2 t2 – t + 2 et . 𝐷+1 𝐷−1 Catatlah | 2 | = 2 adalah derajat 0 pada D; dengan demikian taka da 𝐷 + 𝐷 + 1 𝐷2 − 𝐷 + 1 konstanta sebarang pada penyelesaiannya.

10. Selesaikan sistem

1) (𝐷2 + 𝐷 + 1)𝑥 + (𝐷2 + 1)𝑦 = 𝑒 𝑡 2) (𝐷2 + 𝐷)𝑥

+ 𝐷2 𝑦

= 𝑒 −𝑡

Solusi: Dengan menggunakan determinan dari sistem di atas, diperoleh: 2 𝐷2 + 𝐷 | 𝑥 = | 𝑒 𝑡 | 2𝐷 𝐷 + 1 𝐷2 + 𝐷 + 1 𝑒 −𝑡

𝐷2 + 𝐷 | 𝐷2 + 𝐷 + 1

[𝐷2 (𝐷2 + 𝐷 + 1) − (𝐷2 + 1)(𝐷2 + 𝐷)]𝑥 = 𝐷2 𝑒 𝑡 + 𝐷𝑒 𝑡 + 𝑒 𝑡 − 𝐷2 𝑒 −𝑡 − 𝐷𝑒 −𝑡 −𝐷𝑥 = 3𝑒 𝑡 atau 𝑥 = −3𝑒 𝑡 − 𝐶1 2 𝐷2 + 𝐷 | 𝑦 = | 𝐷2 𝑒𝑡 | | 2𝐷 𝐷 + 1 𝐷2 + 𝐷 + 1 𝐷2 + 1 𝑒 −𝑡

[𝐷2 (𝐷2 + 𝐷 + 1) − (𝐷2 + 1)(𝐷2 + 𝐷)]𝑦 = 𝐷2 𝑒 −𝑡 − 𝐷2 𝑒 𝑡 − 𝑒 𝑡 −𝐷𝑦 = 𝑒 −𝑡 − 2𝑒 𝑡 = −𝑒 −𝑡 + 2𝑒 𝑡 atau 𝑦 = −𝑒 −𝑡 + 2𝑒 𝑡 + 𝐶1 Jadi, 𝑥 = −3𝑒 𝑡 − 𝐶1 dan 𝑦 = −𝑒 −𝑡 + 2𝑒 𝑡 + 𝐶1 adalah penyelesaiannya.