дифуры

Ìàòåðèàë ïî êóðñó äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Îñíîâàíî íà:

À. Ô. Ôèëèïïîâ, "Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äèåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì", Ìîñêâà, "Íàóêà", ëàâíàÿ ðåäàêöèÿ èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 1985 Íàáîð òåêñòà:

Ñåðãåé Àíòîíþê, ansyui .nnov.ru Àëåêñàíäð ̼äîâ, honeymanui .nnov.ru

Îäèí àìåðèêàíñêèé òîðãîâåö îðóæèåì ïîâåñèë ó ñåáÿ â ìàãàçèíå ïëàêàò: "Íå ðóæüÿ óáèâàþò ëþäåé. Ëþäè óáèâàþò ëþäåé."

Ñåðãåé Áåëîâ

"Ïîäëèííûå öåííîñòè" Âíèìàíèå!

Äàííûé ìàòåðèàë ïðåäñòàâëåí òîëüêî äëÿ ïðåäâàðèòåëüíîãî ëè÷íîãî îçíàêîìëåíèÿ ñ îðèãèíàëüíûì òåêñòîì. Íè àâòîð, íè íàáîðùèêè òåêñòà íå íåñóò íèêàêîé îòâåòñòâåííîñòè çà ëþáîå ïðîòèâîïðàâíîå èëè ïðîòèâîðå÷àùåå íîðìàì ìîðàëè èñïîëüçîâàíèå äàííîãî ìàòåðèàëà. Ñîõðàíèâ ó ñåáÿ äàííóþ êîïèþ ìàòåðèàëà, Âû òåì ñàìûì ïðèçíà¼òå, ÷òî ñîãëàñíû âçÿòü íà ñåáÿ ëþáóþ îòâåòñòâåííîñòü, ñâÿçàííóþ ñ èñïîëüçîâàíèåì ýòîãî ìàòåðèàëà. Ëþáîå êîììåð÷åñêîå èñïîëüçîâàíèå äàííîãî ìàòåðèàëà çàïðåùåíî. Åñëè Âû íå ñîãëàñíû ñ äàííûìè óñëîâèÿìè  íåìåäëåííî óäàëèòå âñå èìåþùèåñÿ ó Âàñ êîïèè ýòîãî ìàòåðèàëà. 1

1 Ñì. "Îñíîâàíî íà:"

1

Óðàâíåíèå èçîêëèíû èìååò âèä f (x; y) = k, ãäå k  ïîñòîÿííàÿ. Óðàâíåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè

Óðàâíåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå y0 = f (x)g(y) (1), à òàêæå â âèäå M (x)N (y)dx + P (x)Q(y)dy = 0 (2). Äëÿ ðåøåíèÿ òàêîãî óðàâíåíèÿ íàäî îáå åãî ÷àñòè óìíîæèòü èëè ðàçäåëèòü íà òàêîå âûðàæåíèå, ÷òîáû â îäíó ÷àñòü óðàâíåíèÿ âõîäèëî òîëüêî x, â äðóãóþ  òîëüêî y, è çàòåì ïðîèíòåãðèðîâàòü îáå ÷àñòè. Ïðè äåëåíèè îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ íà âûðàæåíèå, ñîäåðæàùåå íåèçâåñòíûå x è y, ìîãóò áûòü ïîòåðÿíû ðåøåíèÿ, îáðàùàþùèå ýòî âûðàæåíèå â íóëü. 1.

Óðàâíåíèÿ âèäà y0 = f (ax + by) ïðèâîäÿòñÿ ê óðàâíåíèÿì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè çàìåíîé z = ax + by (èëè z = ax + by + x, ãäå  ëþáîå). 2.

Îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ.

Îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå y0 = f ( xy ), à òàêæå â âèäå M (x; y)dx + N (x; y)dy = 0, ãäå M (x; y) è N (x; y)  îäíîðîäíûå óíêöèè îäíîé è òîé æå ñòåïåíè. ×òîáû ðåøèòü îäíîðîäíîå óðàâíåíèå, ìîæíî ñäåëàòü çàìåíó y = tx, ïîñëå ÷åãî ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. 1.

Óðàâíåíèå âèäà y0 = f ( a axx bbyy

) ïðèâîäèòñÿ ê îäíîðîäíîìó ñ ïîìîùüþ ïåðåíîñà íà÷àëà êîîðäèíàò â òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ ax + by + = 0 è a x + b y + = 0. Åñëè æå ýòè ïðÿìûå íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî a x + b y = k(ax + by); ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå èìååò âèä y0 = F (ax + by) è ïðèâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè çàìåíîé z = ax + by (èëè z = ax + by + x). 1 + 1 + 1

2.

+

+

1

1

1

1

1

Íåêîòîðûå óðàâíåíèÿ ìîæíî ïðèâåñòè ê îäíîðîäíûì çàìåíîé y = zm. ×èñëî m îáû÷íî çàðàíåå íåèçâåñòíî. ×òîáû åãî íàéòè, íàäî â óðàâíåíèè ñäåëàòü çàìåíó y = zm. Òðåáóÿ, ÷òîáû óðàâíåíèå áûëî îäíîðîäíûì, íàéäåì ÷èñëî m, åñëè ýòî âîçìîæíî. Åñëè æå ýòîãî ñäåëàòü íåëüçÿ, òî óðàâíåíèå íå ïðèâîäèòñÿ ê îäíîðîäíîìó ýòèì ñïîñîáîì. 3.

Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà

Óðàâíåíèå y0 = a(x)y = b(x) (1) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì. ×òîáû åãî ðåøèòü, íàäî ñíà÷àëà ðåøèòü óðàâíåíèå y0 + a(x)y = 0 (2). Ýòî äåëàåòñÿ ïóòåì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ è â îáùåì ðåøåíèè ïîñëåäíåãî çàìåíèòü ïðîèçâîëüíóþ ïîñòîÿííóþ C íà íåèçâåñòíóþ óíêöèþ C (x). Çàòåì âûðàæåíèå, ïîëó÷åííîå äëÿ y, ïîäñòàâèòü â óðàâíåíèå (1) è íàéòè óíêöèþ C (x). 1.

2.

Íåêîòîðûå óðàâíåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ ëèíåéíûìè, åñëè ïîìåíÿòü ðîëÿìè èñêîìóþ óíêöèþ è íåçàâèñèìîå ïåðåìåííîå.

×òîáû ðåøèòü óðàâíåíèå Áåðíóëëè, ò.å. óðàâíåíèå y0 + a(x)y = b(x)yn (n 6= 1), íàäî îáå ÷àñòè ðàçäåëèòü íà yn è ñäåëàòü çàìåíó 1=yn = z, ïîñëå çàìåíû ïîëó÷àåòñÿ ëèíåéíîå óðàâíåíèå, êîòîðîå ìîæíî ðåøèòü èçëîæåííûì âûøå ñïîñîáîì. 3.

1

Óðàâíåíèå èêêàòè, ò.å. y0 + a(x)y + b(x)y = (x), â îáùåì ñëó÷àå íå ðåøàåòñÿ â êâàäðàòóðàõ. Åñëè æå èçâåñòíî îäíî ÷àñòíîå ðåøåíèå y (x), òî çàìåíîé y = y (x)+ z óðàâíåíèå èêêàòè ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ Áåðíóëëè è òàêèì îáðàçîì ìîæåò áûòü ðåøåíî â êâàäðàòóðàõ. Èíîãäà îáùåå ðåøåíèå óäàåòñÿ ïîäîáðàòü, èñõîäÿ èç âèäà ñâîáîäíîãî ÷ëåíà óðàâíåíèÿ (÷ëåíà, íå ñîäåðæàùåãî y). 2

4.

1

1

Óðàâíåíèÿ â ïîëíûõ äèåðåíöèàëàõ. Èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü

1.

Óðàâíåíèå M (x; y)dx + N (x; y)dy = 0

(1) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì â ïîëíûõ äèåðåíöèàëàõ, åñëè åãî ëåâàÿ ÷àñòü ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèåðåíöèàëîì íåêîòîðîé N . ×òîáû ðåøèòü óðàâíåíèå (1), íàäî íàéòè óíêöèþ F (x; y ), îò êîòîðîé óíêöèè f (x; y). Ýòî èìååò ìåñòî, åñëè M  y x ïîëíûé äèåðåíöèàë F (x; y) = Fx0 dx + Fy0 dy ðàâåí ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1). Òîãäà îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) ìîæíî íàïèñàòü â âèäå F (x; y) = C , ãäå C  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Èíòåãðèðóþùèì ìíîæèòåëåì äëÿ óðàâíåíèÿ M (x; y)dx + N (x; y)dy = 0 (2) íàçûâàåòñÿ òàêàÿ óíêöèÿ m(x; y) 6= 0, ïîñëå óìíîæåíèÿ íà êîòîðóþ óðàâíåíèå (2) ïðåâðàùàåòñÿ â óðàâíåíèå â ïîëíûõ äèåðåíöèàëàõ. Åñëè óíêöèè M è N â óðàâíåíèè (2) èìåþò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå è íå îáðàùàþòñÿ â íóëü îäíîâðåìåííî, òî èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü ñóùåñòâóåò. Îäíàêî íåò îáùåãî ìåòîäà äëÿ åãî îòûñêàíèÿ (êîãäà îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2) íåèçâåñòíî). 2.

2

Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ

Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ y0 = f (x; y) (1) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì y(x ) = y . Ïóñòü â çàìêíóòîé îáëàñòè R(jx x j  a; jy y j  b) óíêöèè f è fy0 íåïðåðûâíû. Òîãäà íà íåêîòîðîì îòðåçêå d  x  x + d ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ y(x ) = y . Ïðè ýòîì ìîæíî âçÿòü d = minfa; mb g, ãäå a è b óêàçàíû âûøå, à m  ëþáîå òàêîå, ÷òî jf j  m â R. Ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðèáëèæåíèÿ, îïðåäåëÿåìûå îðìóëàìè y(x ) = y ; ãäå 1.

0

0

x

0

0

0

0

0

0

yk (x) = y

0

+

0

Zx

x0

0

f (x; yk

1

(s))ds;

ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ ê ðåøåíèþ íà óêàçàííîì îòðåçêå. Çàìå÷àíèå. Äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî òîëüêî íåïðåðûâíîñòè f (x; y) â îáëàñòè R, íî ïðè ýòîì ðåøåíèå ìîæåò áûòü íå åäèíñòâåííûì. 2.

Ñèñòåìà óðàâíåíèé

8 < :

â âåêòîðíûõ îáîçíà÷åíèÿõ çàïèñûâàåòñÿ òàê:

= f (x; y ; : : : ; yn);


(2) yn0 = fn (x; y ; : : : ; yn )

y0

1

1

1

1

y0 = f (x; y);

(3) ãäå y = (y ; : : : ; yn) è f = (f ; : : : ; fn)  âåêòîðû. Íåïðåðûâíîñòü âåêòîð-óíêöèè f îçíà÷àåò íåïðåðûâíîñòü âñåõ f ; i; k = 1; : : : ; n. óíêöèé f ; : : : ; fn, à âìåñòî f ðàññìàòðèâàåòñÿ ìàòðèöà èç ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ y y Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ è âñå óòâåðæäåíèÿ ï.1 îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è äëÿ ñèñòåìû, p çàïèñàííîé â âèäå (3). Ïðè ýòîì jyj îçíà÷àåò äëèíó âåêòîðà y: jyj = y + : : : + yn. 1

1

i

1

k

2 1

2

Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà yn = f (x; y; y0; : : : ; yn ): (4) Ïóñòü â îáëàñòè D óíêöèÿ f è åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî ïîðÿäêà ïî y; y0; : : : ; yn íåïðåðûâíû, è òî÷êà n 0 (x ; y ; y ; : : : ; y ) ëåæèò âíóòðè D. Òîãäà ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ y(x ) = y ; y0 (x ) = y0 ; : : : ; yn (x ) = y (n 1) óðàâíåíèå (4) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Óðàâíåíèå (4) ìîæíî ñâåñòè ê ñèñòåìå âèäà (2), åñëè ââåñòè íîâûå íåèçâåñòíûå óíêöèè ïî îðìóëàì y = y ; y0 = y ; y00 = y ; : : : ; yn = yn . Òîãäà óðàâíåíèå (4) ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå y0 = y ; y0 = y ; : : : ; yn0 = yn ; yn0 = f (x; y ; : : : ; yn); êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñèñòåìû (2) è ê êîòîðîé ïðèìåíèìû âñå óòâåðæäåíèÿ ï.2. 3.

1

1

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

2

3

1

1

2

2

3

2

1

4. Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèé. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) èëè ñèñòåìû (2) ñóùåñòâóåò íå òîëüêî íà îòðåçêå, óêàçàííîì â ï.1, íî è íà áîëüøåì îòðåçêå. Åñëè óðàâíåíèå (1) èëè ñèñòåìà (2) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ â çàìêíóòîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè, òî âñÿêîå ðåøåíèå ìîæíî ïðîäîëæèòü äî âûõîäà íà ãðàíèöó ýòî îáëàñòè. Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1) èëè ñèñòåìû (3) â îáëàñòè  < x < ; jyj < 1 ( è ìîãóò áûòü êîíå÷íûìè èëè áåñêîíå÷íûìè) íåïðåðûâíà è óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó jf (x; y)j  a(x)jyj + b(x); óíêöèè a(x) è b(x) íåïðåðûâíû, òî âñÿêîå ðåøåíèå ìîæíî ïðîäîëæèòü íà âåñü èíòåðâàë  < x < . Óðàâíåíèÿ, íå ðàçðåø¼ííûå îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíîé

3

Óðàâíåíèÿ âèäà F (x; y; y0) = 0 ìîæíî ðåøàòü ñëåäóþùèìè ìåòîäàìè. à) àçðåøèòü óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî y0, ò.å. èç óðàâíåíèÿ F (x; y; y0) = 0 âûðàçèòü y0 ÷åðåç x è y. Ïîëó÷èòñÿ îäíî èëè íåñêîëüêî óðàâíåíèé âèäà y0 = f (x; y). Êàæäîå èç íèõ íàäî ðåøèòü. á) Ìåòîäà ââåäåíèÿ ïàðàìåòðà. Ïóñòü óðàâíåíèå F (x; y; y0) = 0 ìîæíî ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî y, ò.å. çàïèñàòü â âèäå y = f (x; y0). Ââåäÿ ïàðàìåòð 1.

p=

ïîëó÷èì

dy dx

= y0; (1)

y = f (x; p):

(2) Âçÿâ ïîëíûé äèåðåíöèàëîò îáåèõ ÷àñòåé ðàâåíñòâà (2) è çàìåíèâ dy ÷åðåç pdx (â ñèëó (1)), ïîëó÷èì óðàâíåíèå âèäà M (x; p)dx + N (x; p)dp = 0: Åñëè ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ íàéäåíî â âèäå x = (p), òî âîñïîëüçîâàâøèñü ðàâåíñòâîì (2), ïîëó÷èì ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ â ïàðàìåòðè÷åñêîé çàïèñè: x = (p); y = f ((p); p). Óðàâíåíèÿ âèäà x = f (y; y0) ðåøàþòñÿ òåì æå ìåòîäîì. åøåíèå y = (x) óðàâíåíèÿ F (x; y; y0) = 0 íàçûâàåòñÿ îñîáûì, åñëè ÷åðåç êàæäóþ åãî òî÷êó, êðîìå ýòîãî ðåøåíèÿ, ïðîõîäèò è äðóãîå ðåøåíèå, èìåþùåå â ýòîé òî÷êå òó æå êàñàòåëüíóþ, ÷òî è ðåøåíèå y = (x), íî íå ñîâïàäàþùåå ñ íèì â ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè. dF Åñëè óíêöèÿ F (x; y; y0) è ïðîèçâîäíûå dF dy è dy0 íåïðåðûâíû, òî ëþáîå îñîáîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ F (x; y; y0 ) = 0 (8) óäîâëåòâîðÿåò òàêæå óðàâíåíèþ dF (x; y; y0 ) = 0: (9) 2.

dy0

Ïîýòîìó, ÷òîáû îòûñêàòü îñîáûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3), íàäî èñêëþ÷èòü y0 èç óðàâíåíé (8) è (9). Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå '(x; y) = 0 íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì äèñêðèìèíàíòíîé êðèâîé. Äëÿ êàæäîé âåòâè äèñêðèìèíàíòíîé êðèâîé íàäî ïðîâåðèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè ýòà âåòâü ðåøåíèåì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (8), è åñëè ÿâëÿåòñÿ, òî áóäåò ëè ýòî ðåøåíèå îñîáûì, ò.å. êàñàþòñÿ ëè åãî â êàæäîé òî÷êå äðóãèå ðåøåíèÿ. Åñëè ñåìåéñòâî êðèâûõ (x; y; C ) = 0, ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ F (x; y; y0 ) = 0, èìååò îãèáàþùóþ y = (x), òî ýòà îãèáàþùàÿ ÿâëÿåòñÿ îñîáûì ðåøåíèåì òîãî æå óðàâíåíèÿ. Åñëè óíêöèÿ  èìååò íåïðåðûâíûå ïåðâûå ïðîèçâîäíûå, òî äëÿ îòûñêàíèÿ îãèáàþùåé íàäî èñêëþ÷èòü C èç óðàâíåíèé (x; y; C ) = 0; d(x; y; C ) = 0 3.

dC

è ïðîâåðèòü, áóäåò ëè ïîëó÷åííàÿ êðèâàÿ îãèáàþùåé, ò.å. êàñàþòñÿ ëè åå â êàæäîé òî÷åå êðèâûå ñåìåéñòâà. Ýòó ïðîâåðêó ìîæíî ïðîâåñòè èçëîæåííûì â êîíöå ï.2 ìåòîäîì, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ êàñàíèÿ (13).

Óðàâíåíèÿ, äîïóñêàþùèå ïîíèæåíèå ïîðÿäêà

Åñëè â óðàâíåíèå íå âõîäèò èñêîìàÿ óíêöèÿ y, ò.å. îíî èìååò âèä F (x; y k ; y k ; : : : ; y n ) = 0, òî ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîíèçèòü, âçÿâ íîâóþ íåèçâåñòíóþ óíêöèþ íèçøóþ èç ïðîèçâîäíûõ, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèå, ò.å. ñäåëàâ çàìåíó y k = z. ( )

1.

( +1)

(

)

( )

Åñëè â óðàâíåíèå íå âõîäèò íåçàâèñèìîå ïåðåìåííîå x, ò.å. óðàâíåíèå èìååò âèä F (x; y0; y00; : : : ; y n ) = 0, òî ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîíèçèòü, âçÿâ çà íîâîå íåçàâèñèìîå ïåðåìåííîå y, à çà íåèçâåñòíóþ óíêöèþ y0 = p(y). (

2.

)

3. Åñëè óðàâíåíèå îäíîðîäíî îòíîñèòåëüíî y è åãî ïðîèçâîäíûå, ò.å. íå ìåíÿåòñÿ ïðè îäíîâðåìåííîé çàìåíå y, y0, 00 y , : : : íà ky; ky0; ky00 ; : : :, òî ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ ïîíèæàåòñÿ ïîäñòàíîâêîé y0 = yz , ãäå z  íîâàÿ íåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ. 4. Ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ ïîíèæàåòñÿ, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì îòíîñèòåëüíî x è y â îáîáùåííîì ñìûñëå, ò.å. íå ìåíÿåòñÿ îò çàìåíû x íà kx, y íà kmy (ïðè ýòîì y0 çàìåíÿåòñÿ íà km y0; y00  íà km y00 è ò.ä.). ×òîáû óçíàòü, áóäåò ëè óðàâíåíèå îäíîðîäíûì, è íàéòè ÷èñëî m, íàäî ïðèðàâíÿòü äðóã äðóãó ïîêàçàòåëè ñòåïåíåé, â êîòîðûõ ÷èñëî k áóäåò âõîäèòü â êàæäûé ÷ëåí óðàâíåíèÿ ïîñëå óêàçàííîé âûøå çàìåíû. Íàïðèìåð, â ïåðâûé ÷ëåí óðàâíåíèÿ 2x y00 3y = x ïîñëå ýòîé çàìåíû ÷èñëî k áóäåò âõîäèòü â ñòåïåíè 4 + (m 2), âî âòîðîé  â ñòåïåíè 2m, â òðåòèé  â ñòåïåíè 4. Ñëåäîâàòåëüíî, m äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèÿì 4 + (m 2) = 2m = 4: Îòñþäà m = 2. Åñëè æå ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ äëÿ m áóäóò íåñîâìåñòíûìè, òî äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íå ÿâëßåòñÿ îäíîðîäíûì â óêàçàííîì ñìûñëå. 1

2

4

4

2

4

Ïîñëå òîãî, êàê ÷èñëî m íàéäåíî, íàäî ñäåëàòü çàìåíó ïåðåìåííûõ x = et; y = zemt, ãäå z = z(t)  íîâàÿ íåèçâåñòíàÿ óíêöèÿ, à t  íîâîå íåçàâèñèìîå ïåðåìåííîå t. Ïîðÿäîê òàêîãî óðàâíåíèÿ ïîíèæàåòñÿ îäíèì èç ðàíåå ðàññìîòðåííûõ ñïîñîáîâ. 5. Ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ ëåãêî ïîíèæàåòñÿ, åñëè óäàñòñÿ ïðåîáðàçîâàòü óðàâíåíèå ê òàêîìó âèäó, ÷òîáû îáå åãî ÷àñòè ÿâëÿëèñü ïîëíûìè ïðîèçâîäíûìè ïî x îò êàêèõ-íèáóäü óíêöèé. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè

×òîáû ðåøèòü ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè a y n + a y n + : : : + an y0 + an y = 0; íàäî ñîñòàâèòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå a n + a  n + : : : + a n 1) + an = 0 è íàéòè âñå åãî êîðíè  ; : : : ; n. Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) åñòü ñóììà, ñîñòîÿùàÿ èç ñëàãàåìûõ âèäà Ci e x äëÿ êàæäîãî ïðîñòîãî êîðíÿ i óðàâíåíèÿ (2) è ñëàãàåìûõ âèäà (Cm + Cm x + Cm x + : : : + Cm k xk )ex äëÿ êàæäîãî êðàòíîãî êîðíÿ  óðàâíåíèÿ (2), ãäå k  êðàòíîñòü êîðíÿ. Âñå Ci  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Êîýèöèåíòû óðàâíåíèÿ (1) è êîðíè  çäåñü ìîãóò áûòü âåùåñòâåííûìè èëè êîìïëåêñíûìè. Åñëè æå âñå êîýèöèåíòû óðàâíåíèÿ (1) âåùåñòâåííûå ðåøåíèÿ ìîæíî íàïèñàòü â âåùåñòâåííîé îðìå è â ñëó÷àå êîìïëåêñíûõ êîðíåé . Äëÿ êàæäîé ïàðû êîìïëåêñíûõ ñîïðÿæåííûõ êîðíåé  =   i â îðìóëó îáùåãî ðåøåíèÿ âêëþ÷àþòñÿ ñëàãàåìûå Cm ex os x + Cm exsin x; åñëè ýòè êîðíè ïðîñòûå, è ñëàãàåìûå Pk (x)ex os x + Qk (x)ex sin x; åñëè êàæäûé èç êîðíåé  + i è  i èìååò êðàòíîñòü k. Çäåñü Pk è Qk  ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè k 1, àíàëîãè÷íûå ìíîãî÷ëåíó â (3), èõ êîýèöèåíòû  ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. 1.

0

(

)

(

1

0

1

(

1)

1

1)

(

1

i

+1

+2

+3

+1

2

+

+2

1

1

1

1

1

2. Äëÿ ëèíåéíûõ íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè è ñ ïðàâîé ÷àñòüþ, ñîñòîÿùåé èç ñóì è ïðîèçâåäåíèé óíêöèé b + b x + : : : + bmxm; ex; os x; sin x, ÷àñòíîå ðåøåíèå ìîæíî èñêàòü ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýèöèåíòîâ. Äëÿ óðàâíåíèé ñ ïðàâîé ÷àñòüþ Pm (x)e , ãäå Pm(x) = b + b x + : : : + bmxm , ÷àñòíîå ðåøåíèå èìååò âèä y = xs Qm (x)e x ; (4) ãäå Qm(x)  ìíîãî÷ëåí òîé æå ñòåïåíè m. ×èñëî s = 0, åñëè  íå êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (2), à åñëè  êîðåíü, òî s ðàâíî êðàòíîñòè ýòîãî êîðíÿ. ×òîáû íàéòè êîýèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà Qm(x), íàäî ðåøåíèå (4) ïîäñòàâèòü â äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå è ïðèðàâíÿòü êîýèöèåíòû ïðè ïîäîáíûõ ÷ëåíàõ â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ óðàâíåíèÿ. Åñëè â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ âõîäÿò ñèíóñ è êîñèíóñ, òî èõ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïîêàçàòåëüíóþ óíêöèþ ïî îðìóëàì Ýéëåðà ei x e i x ei x + e i x ; sin x = (5)

os x = 2 2i è ñâåñòè çàäà÷ó ê óæå ðàññìîòðåííîìó ñëó÷àþ. Åñëè æå êîýèöèåíòû ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ âåùåñòâåííû, òî ìîæíî îáîéòèñü áåç ïåðåõîäà ê êîìïëåêñíûì óíêöèÿì (5). Äëÿ óðàâíåíèÿ ñ ïðàâîé ÷àñòüþ ex (P (x) os x + Q(x)sin x) (6) ìîæíî èñêàòü ÷àñòíîå ðåøåíèå â âèäå y = xs ex (Rm (x) os x + Tm (x)sin x); (7) ãäå s = 0, åñëè  + íå êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, è s ðàâíî êðàòíîñòè êîðíÿ  + i â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, à Rm è Tm  ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè m, ðàâíîé íàèáîëüøåé èç ñòåïåíåé ìíîãî÷ëåíîâ P è Q. ×òîáû íàéòè êîýèöèåíòû ìíîãî÷ëåíîâ Rm è Tm íàäî ïîäñòàâèòü ðåøåíèå (7) â óðàâíåíèå è ïðèðàâíÿòü êîýèöèåíòû ïðè ïîäîáíûõ ÷ëåíàõ. 0

1

0

1

1

5

1

Åùå îäèí ìåòîä îòûñêàíèÿ ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñ âåùåñòâåííûìè êîýèöèåíòàìè è ïðàâîé ÷àñòüþ âèäà (6) ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ñíà÷àëà ðåøàþò óðàâíåíèÿ ñ ïðàâîé ÷àñòüþ P (x)e  i x. Âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü ýòîãî ðåøåíèÿ áóäåò ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ñ ïðàâîé ÷àñòüþ P (x)ex os x, à ìíèìàÿ  ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ñ ïðàâîé ÷àñòüþ P (x)ex sin x. Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ ðàâíà ñóììå íåñêîëüêèõ óíêöèé âèäà P (x)e x è âèäà (6), òî ÷àñòíîå ðåøåíèå îòûñêèâàåòñÿ ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó. ×àñòíîå ðåøåíèå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïðàâîé ÷àñòüþ f + : : : + fp ðàâíî ñóììå ÷àñòíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé ñ òîé æå ëåâîé ÷àñòüþ è ïðàâûìè ÷àñòÿìè f ; : : : ; fp. Îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ âî âñåõ ñëó÷àÿõ ðàâíî ñóììå ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ è îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ òîé æå ëåâîé ÷àñòüþ. (

+

)

1

1

3.

Ëèíåéíîå íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå

+  y(n 1) + : : : + n y = f (x) (11) ñ ëþáîé ïðàâîé ÷àñòüþ f (x) ðåøàåòñÿ ìåòîäîì âàðèàöèè ïîñòîÿííûõ. Ïóñòü íàéäåíî ðåøåíèå y = C y + : : : + Cnyn, ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ ñ òîé æå ëåâîé ÷àñòüþ. Òîãäà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (11) èùåòñÿ â âèäå y = C (x)y + : : : + Cn (x)yn : Ôóíêöèè Ci ( ) îïðåäåëÿþòñÿ èç ñèñòåìû 8 0 C y + : : : + Ñ0n yn = 0 > > 0 0 0 0 > > < C y + : : : + Ñn yn = 0 yn 0

(

)

1

1

1

1

1






1

1

1

1

C0 y n (C 0 y n

> > > > :

(

(

1

4.

2)

1

1

1

+ : : : + Ñ0nynn = 0 + : : : + Ñ0nynn ) = f (x) (

1)

2)

(

:

1)

Óðàâíåíèå Ýéëåðà

+  x n y n + : : : + n xy0 + n y = f (x) (12) ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó óðàâíåíèþ ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè çàìåíîé íåçàâèñèìîãî ïåðåìåííîãî x = et ïðè x > 0 (èëè x = et ïðè x < 0). Äëÿ ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä ( 1)( 2) : : : ( n + 1) + : : : + n ( 1) + n  + n = 0: Ïðè ñîñòàâëåíèè ýòîãî óðàâíåíèÿ êàæäîå ïðîèçâåäåíèå xk y k) â (12) çàìåíÿåòñÿ íà ïðîèçâåäåíèå k óáûâàþùèõ íà 1 ÷èñåë: ( 1)( 2) : : : ( k + 1):  xn y n 0

(

)

(

1

1)

(

1)

1

2

1

(

Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè êîýèöèåíòàìè 1. Åñëè èçâåñòíî ÷àñòíîå ðåøåíèå y ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà, òî ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîíèçèòü, ñîõðàíÿÿ ëèíåéíîñòü óðàâíåíèÿ. Äëÿ ýòîãî â óðàâíåíèå íàäî ïîäñòàâèòü y = y z è çàòåì ïîíèçèòü ïîðÿäîê çàìåíîé z0 = u. ×òîáû íàéòè îáùåå ðåøåíèå ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà  (x)y00 +  (x)y0 +  (x)y = 0, ó êîòîðîãî èçâåñòíî îäíî ÷àñòíîå ðåøåíèå y , ìîæíî ïîíèçèòü ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ óêàçàííûì âûøå ñïîñîáîì. Îäíàêî, óäîáíåå âîñïîëüçîâàòüñÿ îðìóëîé Îñòðîãðàäñêîãî-Ëèóâèëëÿ: y y = Ce R p x dx; p(x) = a (x) ; y0 y0 a (x) ãäå y è y  ëþáûå äâà ðåøåíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ. 1

1

0

1

2

1

1

1

2

1

2

(

1

)

0

2

2. Îáùåãî ìåòîäà äëÿ îòûñêàíèÿ ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà íå ñóùåñòâóåò.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ðåøåíèå óäàåòñÿ íàéòè ïóòåì ïîäáîðà. Êðàåâûå çàäà÷è

1.

Äëÿ îòûñêàíèÿ ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è a (x)y00 + a (x)y0 + a (x)y = f (x); x  x  x (1); 0

1

y0 (x

2

0

1

) + y(x ) = 0; y0(x ) + Æy(x ) = 0 (2) íàäî ïîäñòàâèòü îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) â êðàåâûå óñëîâèÿ (2) è èç ýòèõ óñëîâèé îïðåäåëèòü (åñëè ýòî âîçìîæíî) çíà÷åíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ, âõîäÿùèõ â îðìóëó îáùåãî ðåøåíèÿ.  îòëè÷èå îò çàäà÷è ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (çàäà÷è Êîøè), êðàåâàÿ çàäà÷à íå âñåãäà èìååò ðåøåíèå. 0

0

1

6

1

2. Ôóíêöèåé ðèíà êðàåâîé çàäà÷è (1), (2) íàçûâàåòñÿ óíêöèÿ G(x; s), îïðåäåëåííàÿ ïðè x  x  x ; x  x  x è ïðè êàæäîì èêñèðîâàííîì s èç èíòåðâàëà (x ; x ) îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâàìè (êàê óíêöèÿ îò x): 1) ïðè x 6= s îíà óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ a (x)y00 + a (x)y0 + a (x)y = 0 (3); 2) ïðè x = x è x = x îíà óäîâëåòâîðÿåò çàäàííûì êðàåâûì óñëîâèÿì (2); 3) ïðè x = s îíà íåïðåðûâíà ïî x, à åå ïðîèçâîäíàÿ ïî x èìååò ñêà÷îê, ðàâíûé 1=a (s), ò.å. G(s + 0; s) = G(s 0; s); G0xjx s = G0xjx s + a s (4). ×òîáû íàéòè óíêöèþ ðèíà êðàåâîé çàäà÷è (1), (2) íàäî íàéòè äâà ðåøåíèÿ y (x) è y (x) (îòëè÷íûå îò y(x)  0) óðàâíåíèÿ (3), óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòâåòñòâåííî ïåðâîìó è âòîðîìó èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (2). Åñëè y (x) íå óäîâëåòâîðÿåò ñðàçó îáîèì êðàåâûì óñëîâèÿì, òî óíêöèÿ ðèíà ñóùåñòâóåò, è å¼ ìîæíî èñêàòü â âèäå  y (x) (x  x  s) G(x; s) = : (5) y (x) (s  x  x ) Ôóíêöèè  è çàâèñÿò îò s è îïðåäåëÿþòñÿ èç òðåáîâàíèé, ÷òîáû óíêöèÿ (5) óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèÿì (4), ò.å. 1 : y (s) = y (s); y0 (s) = y0 (s) + a (s) 0

0

0

0

1

0

1

1

1

2

1

0

= +0

=

0

1

0( )

1

2

1

1

0

2

2

3.

1

1

2

1

0

Åñëè óíêöèÿ ðèíà G(x; s) ñóùåñòâóåò, òî ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è (1), (2) âûðàæàåòñÿ îðìóëîé y(x) =

Zx1

x0

G(x; s)f (s)ds:

Ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì çàäà÷è a (x)y00 + a (x)y0 + a (x)y = y (6), y0 (x ) + y(x ) = 0; y0(x ) + Æy(x ) = 0 (7) íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî , ïðè êîòîðîì óðàâíåíèå (6) èìååò ðåøåíèå y(x) 6= 0, óäîâëåòâîðÿþùåå êðàåâûì óñëîâèÿì (7). Ýòî ðåøåíèå y(x) íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííîé óíêöèåé. 4.

0

1

2

0

0

1

1

Ëèíåéíûå ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè 1. Ïóò¼ì èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ ñèñòåìó, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæíî ñâåñòè ê óðàâíåíèþ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà ñ îäíîé èçâåñòíîé óíêöèåé. Ýòîò ñïîñîá óäîáåí äëÿ ðåøåíèÿ ëèøü íåñëîæíûõ ñèñòåì.

Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (ãäå x_ îçíà÷àåò dxdt ) 8 < x_ = a x + : : : + a n xn ; ::: : x_ n = an x + : : : + ann xn ; èëè, â âåêòîðíîé çàïèñè, x_ = Ax, ãäå x  âåêòîð, A  ìàòðèöà:

2.

1

0

x=

x

1

11

1

1

1

1

0

a

::: a n




A; A = 








1

xn

11

1

an

: : : ann

1

íàäî íàéòè êîðíè õàðàêòåðè÷òè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ

a



11

a

21






an

1

a

a

12

22






an

2

:::  :::






an an 1

2






: : : ann 



1 A;

= 0: (2)

Êàæäîìó ïðîñòîìó êîðíþ i õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèå Ci vi e t, ãäå Ci  ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, vi  ñîáñòâåííûé âåêòîð ìàòðèöû A, ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîìó i . Åñëè äëÿ êðàòíîãî êîðíÿ  èìååòñÿ òîëüêî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ v ; : : : ; vk , êàêîâà åãî êðàòíîñòü, òî åìó ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèå C v et + : : : + Ck vk et. Åñëè äëÿ êîðíÿ  êðàòíîñòè k èìååòñÿ òîëüêî m ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, è m < k, òî ðåøåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîìó , ìîæíî èñêàòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè k m íà et, ò.å. â âèäå * 8 < x = (a + bt + : : : + dtk m )et ;


(3) : xn = (p + qt + : : : + stk m )et : ×òîáû íàéòè êîýèöèåíòû a, b, : : :, s, íàäî ïîäñòàâèòü ðåøåíèå (3) â ñèñòåìó (1). Ïðèðàâíÿâ êîýèöèåíòû ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ óðàâíåíèé, ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî a, b, : : :, s. Íàäî íàéòè îáùåå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû. Êîýèöèåíòû a, b, : : :, s äîëæíû çàâèñåòü îò k ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ, ãäå k  êðàòíîñòü êîðíÿ . Íàéäÿ äëÿ êàæäîãî  ðåøåíèÿ óêàçàííîãî âèäà è ñëîæèâ èõ, ïîëó÷èì îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (1). i

1

1

1

1

7

3. Äðóãîé ñïîñîá ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1). Äëÿ ëþáîé ìàòðèöû ñóùåñòâóåò áàçèñ, â êîòîðîì ìàòðèöà èìååò æîðäàíîâó îðìó. Êàæäîé êëåòêå ïîðÿäêà p  1 æîðäàíîâîé îðìû ñîîòâåòñòâóåò ñåðèÿ h , h , : : :, hp âåêòîðîâ áàçèñà, óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèÿì Ah = h ; h 6= 0; Ah = h + h ; Ah = h + h ; (11)


Ahp = hp + hp : Âåêòîð h íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì, à h , h , : : :, hp  ïðèñîåäèí¼ííûìè. Êàæäîé ñåðèè h , h , : : :, hp ñîîòâåòñòâóåò p ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé x , x , : : :, xp ñèñòåìû x_ = Ax (âåðõíèé èíäåêñ óêàçûâàåò íîìåð ðåøåíèÿ): x = et h ;
x = et  t h + h ;  x = et t h + t h + h ; (12)


  xp = et pt h + pt h + : : : + t hp + hp : Îáùåå ÷èñëî âñåõ òàêèõ ðåøåíèé ðàâíî ñóììå ïîðÿäêîâ âñåõ êëåòîê æîðäàíîâîé îðìû, ò.å. ïîðÿäêó ìàòðèöû. Îíè ñîñòàâëÿþò óíäàìåíòàëüíóþ ñèñòåìó ðåøåíèé ñèñòåìû x_ = Ax. Ïðàâèëî äëÿ çàïîìèíàíèÿ îðìóë (12). Ñîáñòâåííîìó âåêòîðó h ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèå x = et h . Åñëè âåçäå îòáðîñèòü et, òî êàæäàÿ ñòðîêà ïðàâîé ÷àñòè (12) ïîëó÷èòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïî t ïðåäûäóùåé ñòðîêè, ïðè÷¼ì ïîñòîÿííóþ èíòåãðèðîâàíèÿ íàäî âÿòü ðàâíîé ñëåäóþùåìó ïî ïîðÿäêó âåêòîðó ñåðèè. 1

1

1

2

2

1

3

3

2

2

1

1

1

2

1

3

1

2

2

1

1

2

1

1!

2

2

3

1

2!

p

(

1!

2

3

p

1

1)!

1

(

2

2)!

2

1

1!

1

1

1

4.  ñëó÷àå, êîãäà èìåþòñÿ êîìïëåêñíûå êîðíè , èçëîæåííûå ñïîñîáû äàþò âûðàæåíèå ðåøåíèÿ ÷åðåç êîìïëåêñíûå óíêöèè. Åñëè ïðè ýòîì êîýèöèåíòû ñèñòåìû (1) âåùåñòâåííû, òî ìîæíî âûðàçèòü ðåøåíèå òîëüêî ÷åðåç âåùåñòâåííûå óíêöèè.Äëÿ ýòîãî íàäî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî âåùåñòâåííàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè êîìïëåêñíîãî ðåøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî êîðíþ  =  + i ( 6= 0), ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ðåøåíèÿìè. 5.

×òîáû ðåøèòü ñèñòåìó 

+ a x n + : : : + a nx + b y n + b y n + : : : + b ny = 0; + a x n + : : : + a nx + b y n + b y n + : : : + b ny = 0; íå ïðèâåä¼ííóþ ê íîðìàëüíîìó âèäó, íàäî ñîñòàâèòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå a n + a n + : : : + a n b n + b n + : : : + b n a n + a n + : : : + a n b n + b n + : : : + b n = 0 è íàéòè åãî êîðíè. Ïîñëå ýòîãî ðåøåíèå îòûñêèâàåòñÿ òåì æå ñïîñîáîì, êàê è â ï. 2. a xn a xn 10

20

(

)

(

)

11

21

10

(

1)

(

1)

1

21

10

2

1

11

20

1

20

(

)

(

)

11

21

1

10

11

2

20

21

(

1)

(

1)

1

1

1

2

1

2

×àñòíîå ðåøåíèå ëèíåéíîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè x_ i = ai x + : : : + ain xn + fi (t); i = 1; : : : ; n (13) ìîæíî èñêàòü ìåòîäîì íåîïðåäåë¼ííûõ êîýèöèåíòîâ â òîì ñëó÷àå, êîãäà óíêöèè fi(t) ñîñòîÿò èç ñóìì è ïðîèçâåäåíèé óíêöèé b + b t + : : : + bmtm, et, os t, sin t. Ýòî äåëàåòñÿ ïî òåì æå ïðàâèëàì, ÷òî äëÿ îäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè (ñì. óðàâíåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè ), ñî ñëåäóþùèì îãðàíè÷åíèåì. Åñëè fi(t) = Pm (t)e t, ãäå Pm (t)  ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè mi, òî ÷àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (13) èùåòñÿ íå â âèäå ts Qm (t)e t , à â âèäå xi = Qim s (t)e t ; i = 1; : : : ; n; (14) ãäå Qim s(t)  ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè m + s ñ íåèçâåñòíûìè êîýèöèåíòàìè, m = max mi , s = 0, åñëè  íå êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (2), à åñëè  êîðåíü, òî s ìîæíî âçÿòü ðàâíûì êðàòíîñòè ýòîãî êîðíÿ (èëè, òî÷íåå, s íà 1 áîëüøå íàèáîëüøåé èç ñòåïåíåé ìíîãî÷ëåíîâ, íà êîòîðûå óìíîæàåòñÿ e t â îáùåì ðåøåíèè îäíîðîäíîé ñèñòåìû). Íåèçâåñòíûå êîýèöèåíòû ìíîãî÷ëåíîâ îïðåäåëÿþòñÿ ìóò¼ì ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèé (14) â äàííóþ ñèñòåìó (13) è ñðàâíåíèÿ êîýèöèåíòîâ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíîâ è â ñëó÷àå, êîãäà fi(t) ñîäåðæàò et os t è et sin t, à ÷èñëî =  + i ÿâëÿåòñÿ êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. 6.

1

0

1

1

i

i

+

+

åøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû x_ i = ai (t)x + : : : + ain (t)xn + fi (t); i = 1; : : : ; n ìîæíî íàéòè ìåòîäîì âàðèàöèè ïîñòîÿííûõ, åñëè èçâåñòíî îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîé ñèñòåìû ñ òåìè æå êîýèöèåíòàìè aik (t). Äëÿ ýòîãî â îðìóëå îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû íàäî çàìåíèòü ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå Ci íà íåèçâåñòíûå óíêöèè Ci (t). Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ xi íàäî ïîäñòàâèòü â äàííóþ íåîäíîðîäíóþ ñèñòåìó, è èç ýòîé ñèñòåìû íàéòè Ci (t). 7.

1

1

8

8.

Ïîêàçàòåëüíîé óíêöèåé eA ìàòðèöû A íàçûâàåòñÿ ñóììà ðÿäà

A A 1! + 2! + 3! + : : : ; (18) ãäå E  åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. ÿä ñõîäèòñÿ äëÿ ëþáîé ìàòðèöû. Ñâîéñòâà eA: à) åñëè A = CMC , òî eA = CeM C ; á) åñëè AB = BA, òî eA B = eA
eB = eB
eA; dX â) ìàòðèöà X (t) = etA óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ dt = AX ; X (0) = E . Ìåòîäû îòûñêàíèÿ eA: 1) Ïóò¼ì ðåøåíèÿ ñèñòåìû äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.  ñèëó ñâîéñòâà â) i-ûé ñòîëáåö ìàòðèöû etA åñòü ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (â âåêòîðíîé çàïèñè) x_ = Ax ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè xi (0) = 1, xk (0) = 0 ïðè k 6= i (xi  i-ÿ êîîðäèíàòà âåêòîðà x) 2) Ïóò¼ì ïðèâåäåíèÿ ìàòðèöû ê æîðäàíîâîé îðìå. Ïóñòü èçâåñòíà òàêàÿ ìàòðèöà C , ÷òî C AC = M èìååò æîðäàíîâó îðìó, ò.å. ñîñòîèò èç êëåòîê Ki. Êàæäàÿ æîðäàíîâà êëåòêà èìååò âèä K = E + F , ó ìàòðèöû F âñå ýëåìåíòû íóëè, êðîìå 1-ãî êîñîãî ðÿäà íàä äèàãîíàëüþ. Ïîýòîìó F m = 0, ãäå m  ïîðÿäîê ìàòðèöû F , å eF ëåãêî íàéòè ñ ïîìîùüþ ðÿäà (18). òàê êàê åù¼ eE = eE , òî eK = eE F = eE
eF = e E
eF = e eF : Ñîñòàâèâ èç êëåòîê eK ìàòðèöó eM , íàéä¼ì eA ñ ïîìîùüþ ñâîéñòâà à). eA = E +

1

A

2

3

1

+

1

+

i

Óñòîé÷èâîñòü

1.

àññìîòðè ñèñòåìó óðàâíåíèé dxi dt

èëè, â âåêòîðíîé çàïèñè

= fi(t; x ; : : : ; xn);

i = 1; : : : ; n;

1

(1)

dx = f (t; x); x = (1 ; : : : ; xn ): (2) dt fi íåïðåðûâíû ïðè t  t < 1. Ïóñòü âñå fi è x k åøåíèå x = '(t) ñèñòåìû (2) íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì ïî Ëÿïóíîâó, åñëè äëÿ ëþáîãî " > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå Æ > 0, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ðåøåíèÿ x(t) òîé æå ñèñòåìû, íà÷àëüíîå çíà÷åíèå êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó 1

0

ïðè âñåõ t  t âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî

jx(t ) '(t )j < Æ; (3) 0

0

0

jx(t) '(t)j < ": Åñëè æå äëÿ íåêîòîðîãî " > 0 òàêîãî Æ íå ñóùåñòâóåò, òî ðåøåíèå '(t) íàçûâàåòñÿ íåóñòîé÷èâûì. åøåíèå '(t) íàçûâàåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì, åñëè îíî óñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó è, êðîìå òîãî, âñå ðåøåíèÿ ñ äîñòàòî÷íî áëèçêèìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàþòñÿ ê '(t) ïðè t ! +1, ò.å. åñëè èç íåðàâåíñòâà (3) ñëåäóåò x(t) '(t) ! 0 (t ! 1). Íàëè÷èå èëè îòñóòñòâèå óñòîé÷èâîñòè íå çàâèñèò îò âûáîðà t . Âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè äàííîãî ðåøåíèÿ x = '(t) ñèñòåìû (2) ñâîäèòñÿ ê âîïðîñó îá óñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ y(t)  0 äðóãîé ñèñòåìû, ïîëó÷àåìîé èç (2) çàìåíîé èñêîìîé óíêöèè x '(t) = y. 0

2. Èññëåäîâàíèå íà óñòîé÷èâîñòü ïî ïåðâîìó ïðèáëèæåíèþ. Ïóñòü xi (t)  0 (i = 1; : : : ; n)  ðåøåíèå ñèñòåìû (1). ×òîáû åãî èññëåäîâàòü íà óñòîé÷èâîñòü, íàäî âûäåëèòü èç óíêöèé fi ëèíåéíóþ ÷àñòü âáëèçè òî÷êè x = : : : = xn = 0, íàïðèìåð, ïî îðìóëå Òåéëîðà. Ïîëó÷åííóþ ñèñòåìà ÷àñòî ìîæíî èññëåäîâàòü ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåé òåîðåìû. Òåîðåìà Ëÿïóíîâà. àññìîòðèì ñèñòåìó 1

dxi dt

= ai x + : : : + ainxn + i (t; x ; : : : ; xn); i = 1; : : : ; n; (4) ãäå aik  ïîñòîÿííûå, à i  áåñêîíå÷íî ìàëûå âûøå ïåðâîãî ïîðÿäêà, òî÷íåå, ïðè jxj < " j i j  (x)jxj; i = 1; : : : ; n; (x) ! 0 ïðè jxj ! 0; (5) p ãäå jxj = jx j + : : : + jxn j . Òîãäà åñëè âñå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû (aik ), i; k = 1; : : : ; n, èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè, òî íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (4) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî; åñëè æå õîòü îäíî ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå èìååò ïîëîæèòåëüíóþ âåùåñòâåííóþ ÷àñòü, òî íóëåâîå ðåøåíèå íåóñòîé÷èâî. 1

1

1

0

1

2

2

9

3. Èññëåäîâàíèå íà óñòîé÷èâîñòü ñ ïîìîùüþ óíêöèè Ëÿïóíîâà.

ñèëó ñèñòåìû (1) íàçûâàåòñÿ óíêöèÿ



dv dt

1

v = v fn ; + v f + : : : + x t x 1

(1)

Ïðîèçâîäíîé îò óíêöèè vt; x ; : : : ; xn â

n

1

ãäå f1; : : : ; fn  ïðàâûå ÷àñòè ñèñòåìû (1). Òåîðåìà Ëÿïóíîâà. Åñëè ñóùåñòâóåò äèåðåíöèðóåìàÿ

óñëîâèÿì

óíêöèÿ v(x ; : : : ; xn ), óäîâëåòâîðÿþùàÿ â îáëàñòè jxj < " 1

0

1) v > 0 ïðè x 6= 0; v(0) = 0; 2) dvdt  0 ïðè jxj < " ; t > t ; òî íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (1) óñòîé÷èâî ïî Ëÿïóíîâó. Åñëè âìåñòî óñëîâèÿ 2) âûïîëíåíî áîëåå ñèëüíîå óñëîâèå 3) dvdt  w(x) < 0 ïðè 0 < jxj < " ; t > t ; à óíêöèÿ w(x) íåïðåðûâíà ïðè jxj < " , òî íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (1) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî. Òåîðåìà ×åòàåâà. Ïóñòü ñèñòåìà (1) îáëàäàåò íóëåâûì ðåøåíèåì. Ïóñòü â íåêîòîðîé îáëàñòå V ïðîñòðàíñòâà x ; : : : ; xn ñóùåñòâóåò äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ v(x ; : : : ; xn), ïðè÷¼ì 1)òî÷êà x = 0 ïðèíàäëåæèò ãðàíèöå îáëàñòè V , 2)v = 0 íà ãðàíèöå îáëàñòè V ïðè jxj t èìååì v > 0, dt  w(x) > 0; óíêöèÿ w(x) íåïðåðûâíà. Òîãäà íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (1) íåóñòîé÷èâî. Íå ñóùåñòâóåò îáùåãî ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ óíêöèè Ëÿïóíîâà v (êîãäàPðåøåíèå ñèñòåìû (1) íåèçâåñòíî).  ðÿäå ñëó÷àå óíêöèþ Ëÿïóíîâà óäà¼òñÿ ïîñòðîèòü â âèäå êâàäðàòè÷íîé îðìû v = bij xi xj èëè â âèäå ñóììû êâàäðàòè÷íîé îðìû i;j è èíòåãðàëîâ îò íåëèíåéíûõ óíêöèé, âõîäÿùèõ â ïðàâóþ ÷àñòü äàííîé ñèñòåìû. 0

(1)

0

0

(1)

0

0

1

1

0

0

(1)

a n + a n óñëîâèå: âñå ai > 0.

+ : : : + a n  + an = 0; a > 0; (6) à) Íåîáõîäèìîå  ñëó÷àå n  2 ýòî óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ è äîñòàòî÷íûì. á) Óñëîâèÿ àóñà- óðâèöà: íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû áûëè ïîëîæèòåëüíûìè âñå ãëàâíûå äèàãîíàëüíûå ìèíîðû ìàòðèöû óðâèöà 8 9 a a 0 0 0 0 ::: 0 > > > > > > > a a a 0 0 ::: 0 > < a = a a a a a a ::: 0 : > > > >























> > > > : 0 0 0 0 0 0 : : : an ; Íà ãëàâíîé äèàãîíàëè ýòîé ìàòðèöû ñòîÿò ÷èñëà a ; a ; : : : ; an.  êàæäîé ñòðîêå èíäåêñ êàæäîãî ÷èñëà íà 1 ìåíüøå èíäåêñà ïðåäûäóùåãî ÷èñëà. ×èñëà ai ñ èíäåêñàìè i > n èëè i < 0 çàìåíÿþòñÿ íóëÿìè. ëàâíûå äèàãîíàëüíûå ìèíîðû ìàòðèöû óðâèöà: a a 0 a a
= a ;
= a a ;
= a a a ; : : : (7) 4. Óñëîâèÿ îòðèöàòåëüíîñòè âñåõ âåùåñòâåííûõ ÷àñòåé êîðíåé óðàâíåíèÿ 0

ñ âåùåñòâåííûìè êîýèöèåíòàìè.

1

2

1

0

5

4

3

2

1

1

1

1

1

0

3

1

1

0

2

1

0

2

0

3

1

0

3

2

1

5

4

3

a a â) Óñëîâèÿ Ëüåíàðà-Øèïàðà. Íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âñå ai > 0 è ÷òîáû
n 3

2



a

> 0,
n > 0,
n > 0, : : :, ãäå
i òå æå, ÷òî è â (7). Ýòè óñëîâèÿ ðàâíîñèëüíû óñëîâèÿì àóñà- óðâèöà, íî óäîáíåå, òàê êàê ñîäåðæàò ìåíüøå äåòåðìèíàíòîâ. Ïðèìåð. Ïðè êàêèõ a è b êîðíè óðàâíåíèÿ  + 2 + a + 3 + b = 0 èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè? Ïèøåì óñëîâèÿ Ëüåíàðà-Øèïàðà: 2 1 0 a > 0; b > 0;
= 3 a 2 = 6a 4b 9 > 0;
= 2 > 0: 0 b 3 Îòñþäà ïîëó÷àåì óñëîâèÿ b > 0, 6a > 4b + 9. ã) Êðèòåðèé Ìèõàéëîâà. Íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè òî÷êà f (i!), ãäå f ()  ëåâàÿ ÷àñòü (6), ïðè èçìåíåíèè ! îò 0 äî +1 íå ïðîõîäèëà ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è ñäåëàëà ïîâîðîò âîêðóã íåãî íà óãîë n â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè. Äðóãàÿ (ýêâèâàëåíòíàÿ) îðìóëèðîâêà êðèòåðèÿ Ìèõàéëîâà: Íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû anan > 0 è ÷òîáû êîðíè ìíîãî÷ëåíîâ p( ) = an an  + an  : : : ; q() = an an  + an  : : : áûëè âñå ïîëîæèòåëüíûìè, ðàçëè÷íûìè è ÷åðåäóþùèìèñÿ, íà÷èíàÿ ñ êîðíÿ  , ò.å. 4

3

1

3

5

2

1

3

2

1

2

1

4

3

2

5

2

1

10

0 <  <  <  <  < ::: (Çàìåòèì, ÷òî ìíîãî÷ëåí (6) ïðè  = i! ðàâåí p(! ) + i!q(! ).) Ïðèìåð. f () =  + 2 + 7 + 8 + 10 + 6. Çäåñü an = 6 > 0, an = 10 > 0, à ìíîãî÷ëåíû p( ) = 6 8 + 2 , q() = 10 7 +  èìåþò êîðíè  = 1,  = 3,  = 2,  = 5. Çíà÷èò, 0 <  <  <  <  . Ïî êðèòåðèþ Ìèõàéëîâà âñå êîðíè ìíîãî÷ëåíà f èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè. 1

1

2

2

5

4

2

3

1

2

2

2

2

1

2

1

2

1

1

2

2

Îñîáûå òî÷êè

1.

Îñîáîé òî÷êîé ñèñòåìû

èëè óðàâíåíèÿ

dx dt

= P (x; y);

dy dt

= Q(x; y) (1)

= PQ((x;x; yy)) ; (2) ãäå óíêöèè P è Q íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìû, íàçûâàåòñÿ òàêàÿ òî÷êà, â êîòîðîé P (x; y) = 0, Q(x; y) = 0. dy dx

2.

Äëÿ èññëåäîâàíèÿ îñîáîé òî÷êè ñèñòåìû dx dt

= ax + by;

dy dt

= x + dy (3)

x + dy = ax + by íàäî íàéòè êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ

dx dy

+ by (4) = ax

x + dy

èëè óðàâíåíèÿ

dy dx



a  b

d 



= 0: (5)

èñ. 6. Åñëè êîðíè âåùåñòâåííûå, ðàçëè÷íûå è îäíîãî çíàêà, òî îñîáàÿ òî÷êà  óçåë (ðèñ. 6à), åñëè ðàçíûõ çíàêîâ  ñåäëî (ðèñ. 6á), åñëè êîðíè êîìïëåêñíûå ñ âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ, îòëè÷íîé îò íóëÿ, òî îñîáàÿ òî÷êà  îêóñ (ðèñ. 6â), åñëè ÷èñòî ìíèìûå  öåíòð (ðèñ. 6ã); åñëè êîðíè ðàâíûå è íåíóëåâûå (ò.å.  =  6= 0), òî îñîáàÿ òî÷êà ìîæåò áûòü âûðîæäåííûì óçëîì (ðèñ.dy6ä) èëè äèêðèòè÷åñêèì óçëîì (ðèñ. 6å), ïðè÷¼ì äèêðèòè÷åñêèé óçåë èìååò ìåñòî òîëüêî â ñëó÷àå ñèñòåìû dy = y ), à âî âñåõ îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ ïðè  =  6= 0 îñîáàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ dx = ax, = ay (èëè óðàâíåíèÿ dt dt dx x âûðîæäåííûì óçëîì. Åñëè æå îäèí èëè îáà êîðíÿ óðàâíåíèÿ (5) ðàâíû íóëþ, òî a db = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, äðîáü â ïðàâîé ÷àñòè dy = k , è ðåøåíèÿ íà ïëîñêîñòè x; y èçîáðàæàþòñÿ ïàðàëëåëüíûìè óðàâíåíèÿ (4) ñîêðàùàåòñÿ. Óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä dx ïðÿìûìè. ×òîáû íà÷åðòèòü èíòåãðàëüíûå êðèâûå óðàâíåíèé (4) íà ïëîñêîñòè (x; y) (ò.å. òðàåêòîðèè ñèñòåìû (3)) â ñëó÷àå óçëà, ñåäëà è âûðîæäåííîãî óçëà, íàäî ïðåæäå âñåãî íàéòè òå ðåøåíèÿ, êîòîðûå èçîáðàæàþòñÿ ïðîõîäÿùèìè  ïðÿìûìè,  a b ÷åðåç îñîáóþ òî÷êó. Ýòè ïðÿìûå âñåãäà íàïðàâëåíû âäîëü ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû d , ñîñòàâëåííîé èç êîýèöèåíòîâ äàííîé ñèñòåìû (3).  ñëó÷àå óçëà êðèâûå êàñàþòñÿ òîé ïðÿìîé, êîòîðàÿ íàïðàâëåíà âäîëü ñîáñòâåííîãî âåêòîðà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ìåíüøåìó ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå çíà÷åíèþ .  ñëó÷àå îñîáîé òî÷êè òèïà îêóñ íàäî îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå çàêðó÷èâàíèÿ òðàåêòîðèé. Äëÿ ýòîãî íàäî, âî-ïåðâûõ, èññëåäîâàòü óñòîé÷èâîñòü ýòîé òî÷êè ïî çíàêó Re, è, âî-âòîðûõ, îïðåäåëèòü, â êàêîì íàïðàâëåíèè âîêðóã îñîáîé òî÷êè ïðîèñõîäèò äâèæåíèå ïî òðàåêòîðèÿì. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü â êàêîé-íèáóäü òî÷êå (x; y) âåêòîð ñêîðîñòè   dx ; dy , îïðåäåëÿåìûé ïî îðìóëàì (3). dt dt Àíàëîãè÷íî èññëåäóåòñÿ íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ â ñëó÷àå âûðîæäåííîãî óçëà. Ïðèìåð 1. Èññëåäîâàòü îñîáóþ òî÷êó x = 0, y = 0 ñèñòåìû x_ = 2x; y_ = x + y: (6) Ñîñòàâëÿåì è ðåøàåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå 1

2

1

11

2



2



0



1 1  = 0; (2 )(1 ) = 0;  = 1;  = 2: Êîðíè âåùåñòâåííûå, ðàçëè÷íûå è îäíîãî çíàêà. Ñëåäîâàòåëüíî, îñîáàÿ òî÷êà  óçåë (òîãî æå òèïà, ÷òî è íà ðèñ. 6à). Äëÿ  = 1 íàõîäèì ñîáñòâåííûé âåêòîð (0; 1), à äëÿ  = 2  âåêòîð (1; 1). Íà ïëîñêîñòè x; y ñòðîèì ïðÿìûå, íàïðàâëåííûå âäîëü ýòèõ âåêòîðîâ, à çàòåì êðèâûå, êàñàþùèåñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò ïåðâîé èç ýòèõ ïðÿìûõ, òàê êàê j j < j j, ñì. ðèñ. 7. Äðóãîé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ èíòåãðàëüíûõ êðèâûõ. àçäåëèâ îäíî èç óðàâíåíèé (6) íà äðóãîå, ïîëó÷èì óðàâíåíèå âèäà (4) dx 2x ): dy x + y = ( èëè = dx 2x dy x + y Ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îñîáóþ òî÷êó, èùåì â âèäå y = kx (à òàêæå x = 0). Ïîäñòàâëÿÿ â íàïèñàííûå óðàâíåíèÿ, íàõîäèì k = 1. Çíà÷èò, y = x è x = 0  èñêîìûå ïðÿìûå. Îñòàëüíûå èíòåãðàëüíûå êðèâûå ñòðîÿòñÿ ñ ïîìîùüþ èçîêëèí (ðèñ. 7). èñ. 7. 1

1

1

2

2

2

Ïðèìåð 2.

Èññëåäîâàòü îñîáóþ òî÷êó óðàâíåíèÿ dy dx

= 4xx 23yy : (7)

Íàõîäèì êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ 1  2 = 0;  + 2 + 5 = 0; 4 3  Îñîáàÿ òî÷êà  îêóñ. Ïåðåõîäèì îò óðàâíåíèÿ (7) ê ñèñòåìå

=

2

dx dt

dy dt

= x 2y;

1  2i:

= 4x 3y: (8) 



Ñòðîèì â òî÷êå (1; 0) âåêòîð ñêîðîñòè dxdt ; dydt .  ñèëó (8) îí ðàâåí (x 2y; 4x 3y).  òî÷êå x = 1, y = 0 ïîëó÷àåì âåêòîð (1; 4) (ðèñ. 8à). Ñëåäîâàòåëüíî, âîçðàñòàíèþ t ñîîòâåòñòâóåò äâèæåíèå ïî òðàåêòîðèÿì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Òàê êàê âåùåñòâåííàÿ ÷àñòü êîðíåé  ðàâíà 1 < 0, òî îñîáàÿ òî÷êà àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè âîçðàñòàíèè t ðåøåíèÿ íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàþòñÿ ê îñîáîé òî÷êå. Èòàê, ïðè äâèæåíèè ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè òðàåêòîðèè ïðèáëèæàþòñÿ ê íà÷àëó êîîðäèíàò (ðèñ. 8á). èñ. 8. 3. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ îñîáîé òî÷êè áîëåå îáùåé ñèñòåìû (1) èëè óðàâíåíèÿ (2) íàäî ïåðåíåñòè íà÷àëî êîîðäèíàò â èññëåäóåìóþ îñîáóþ òî÷êó è ðàçëîæèòü óíêöèè P è Q â îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè ïî îðìóëå Òåéëîðà, îãðàíè÷èâàÿñü ÷ëåíàìè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Òîãäà ñèñòåìà (1) ïðèìåò âèä

= ax + by + '(x ; y ); dydt = x + dy + (x ; y ); (9) ãäå x , y  íîâûå êîîðäèíàòû (ïîñëå ïåðåíîñà), a, b, , f  ïîñòîÿííûå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî " > 0 '(x ; y ) ! 0; (x ; y ) ! 0 ïðè x ! 0; y ! 0; dx dt

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

x e

1

1

r e

1+

p

1

1

1+

1

ãäå r = x + y . Î÷åâèäíî, ýòî óñëîâèå âûïîëíÿåòñÿ (ïðè ëþáîì " < 1), åñëè óíêöèè P è Q â èññëåäóåìîé òî÷êå äâàæäû äèåðåíöèðóåìû. Ïðåäïîëîæèì åù¼, ÷òî âåùåñòâåííûå ÷àñòè âñåõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (5) îòëè÷íû îò íóëÿ. Òîãäà îñîáàÿ òî÷êà x = 0, y = 0 ñèñòåìû (9) áóäåò òîãî æå òèïà, ÷òî è îñîáàÿ òî÷êà ñèñòåìû (3), ïîëó÷àåìîé îòáðàñûâàíèåì óíêöèé ' è . Äàëåå, óãëîâûå êîýèöèåíòû íàïðàâëåíèé, ïî êîòîðûì òðàåêòîðèè âõîäÿò â îñîáóþ òî÷êó, äëÿ ñèñòåì (3) è (9) îäíè è òå æå (îäíàêî ïðÿìûì y = kx äëÿ ñèñòåìû (3) ìîãóò ñîîòâåòñòâîâàòü êðèâûå äëÿ ñèñòåìû (9)), à â ñëó÷àå îêóñà  íàïðàâëåíèå çàêðó÷èâàíèÿ îäíî è òî æå.  òîì ñëó÷àå, êîãäà äëÿ ñèñòåìû (3) îñîáàÿ òî÷êà  öåíòð, äëÿ ñèñòåìû (9) îíà ìîæåò áûòü îêóñîì èëè öåíòðîì. Äëÿ íàëè÷èÿ öåíòðà äîñòàòî÷íî (íî íå íåîáõîäèìî), ÷òîáû òðàåêòîðèè ñèñòåìû (9) èìåëè îñü ñèììåòðèè, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç èññëåäóåìóþ òî÷êó. Îñü ñèììåòðèè, î÷åâèäíî, ñóùåñòâóåò, åñëè óðàâíåíèå âèäà (2), ê êîòîðîìó ìîæíî ïðèâåñòè ñèñòåìó (9), íå ìåíÿåòñÿ îò çàìåíû x íà x (èëè y íà y). Äëÿ íàëè÷èÿ îêóñà íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåìû (9) áûëî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî ïðè t ! +1 èëè ïðè t ! 1. Èññëåäîâàíèå íà óñòîé÷èâîñòü ìîæíî 2 1

2 1

1

1

12

ïðîâåñòè ñ ïîìîùüþ óíêöèè Ëÿïóíîâà. Ýòî ñäåëàòü íåëåãêî, òàê êàê â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå óíêöèþ Ëÿïóíîâà ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ áðàòü â âèäå ñóììû ÷ëåíîâ âòîðîé, òðåòüåé è ÷åòâ¼ðòîé ñòåïåíåé îòíîñèòåëüíî x, y. Ôàçîâàÿ ïëîñêîñòü 1. ×òîáû ïîñòðîèòü òðàåêòîðèè ñèñòåìû x_ = f (x; y); y_ = f (x; y) (1) íà àçîâîé ïëîñêîñòè x; y, ìîæíî èëè èññëåäîâàòü íåïîñðåäñòâåííî ýòó ñèñòåìó, èëè, ðàçäåëèâ îäíî óðàâíåíèå íà äðóãîå, ñâåñòè å¼ ê óðàâíåíèþ ïåðâîãî ïîðÿäêà f x;y dy dx = f x;y (2). Òðàåêòîðèè ñèñòåìû (1) áóäóò èíòåãðàëüíûìè êðèâûìè óðàâíåíèÿ (2). Èõ ìîæíî ïîñòðîèòü èëè ðåøèâ óðàâíåíèå (2) (÷àñòî îíî ðåøàåòñÿ ïðîùå, ÷åì ñèñòåìà (1)), èëè ñ ïîìîùüþ ìåòîäà èçîêëèí, ïðè ýòîì íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü îñîáûå òî÷êè ñèñòåìû. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òðàåêòîðèé óðàâíåíèÿ x = f (x; x_ ) íà àçîâîé ïëîñêîñòè íàäî îò ýòîãî óðàâíåíèÿ ïåðåéòè ê ñèñòåìå x_ = y ; y_ = f (x; y), êîòîðàÿ èññëåäóåòñÿ òàê æå, êàê ñèñòåìà (1). 1

2(

)

1(

)

2

1

3. Ïðåäåëüíûì öèêëîì íàçûâàåòñÿ çàìêíóòàÿ òðàåêòîðèÿ, ó êîòîðîé ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü, öåëèêîì çàïîëíåííàÿ òðàåêòîðèÿìè, íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàþùèìèñÿ ê ýòîé çàìêíóòîé òðàåêòîðèè ïðè t ! +1 èëè ïðè t ! 1. Ïðåäåëüíûé öèêë íàçûâàåòñÿ óñòîé÷èâûì, åñëè òðàåêòîðèè ïðèáëèæàþòñÿ ê íåìó òîëüêî ïðè t ! +1, íåóñòîé÷èâûì  åñëè òîëüêî ïðè t ! 1, ïîëóóñòîé÷èâûì  åñëè ñ îäíîé ñòîðîíû öèêëà òðàåêòîðèè ïðèáëèæàþòñÿ ê íåìó ïðè t ! +1, à ñ äðóãîé ñòîðîíû ïðè t ! 1. Çàâèñèìîñòü ðåøåíèÿ îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé è ïàðàìåòðîâ. Ïðèáëèæ¼ííîå ðåøåíèå äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.

1.

àññìîòðèì ñèñòåìó â âåêòîðíîé çàïèñè: dx dt

= f (t; x); (1) ãäå x = (x ; : : : ; xn), f = (f ; : : : ; fn). Ïóñòü â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè âåêòîð-óíêöèÿ f íåïðåðûâíà ïî t, x è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà2 ïî x jjf (t; y) f (t; x)jj  kjjy xjj: (2) ×åðåç jj jj îáîçíà÷àåòñÿ ëþáàÿ èç îáû÷íî ïðèìåíÿåìûõ íîðì âåêòîðà: p jjxjj = jx j + : : : + jxn j ; jjxjj = jx j + : : : + jxn j èëè jjxjj = i max jx j: ;:::;n i Ïóñòü x(t)  ðåøåíèå ñèñòåìû (1), à y(t)  âåêòîð-óíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ íåðàâåíñòâàì dy dx f (t; y )  ; jjy (0) x(0)jj  Æ: Òîãäà èìååò ìåñòî îöåíêà jjx(t) y(t)jj  Æekjtj + k (ekjtj 1): (3) Ýòî íåðàâåíñòâî ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ ãðóáîé îöåíêè îøèáêè ïðèáëèæ¼ííîãî ðåøåíèÿ y(t) ñèñòåìû (1), à òàêæå äëÿ îöåíêè ñâåðõó ðàçíîñòè ðåøåíèÿ x(t) ñèñòåìû (1) è ðåøåíèÿ y(t) ñèñòåìû dydt = g(t; y), åñëè jjg(t; y) f (t; y)jj  . 1

1

1

2

2

1

=1

2.

Åñëè â ñèñòåìå óðàâíåíèé dxi dt

ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè

= fi(t; x ; : : : ; xn ; ) i = 1; : : : ; n (4) 1

xi (0) = ai (); i = 1; : : : ; n (5)  ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì, óíêöèè fi è ai (i = 1; : : : ; n) íåïðåðûâíû è èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ïî x ; : : : ; xn ; , òî ðåøåíèå èìååò íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî ïàðàìåòðó . Ïðîèçâîäíûå xi = ui, i = 1; : : : ; n óäîâëåòâîðÿþò ëèíåéíîé 1

ñèñòåìå óðàâíåíèé

dui dt 2 Åñëè â âûïóêëîé ïî





x

fi îáëàñòè èìååè x a j

=

n X j =1

fi f u + i ; i = 1; : : : ; n; xj j 

(i; j = 1; : : : ; n),

(6)

òî â ýòîé îáëàñòè âûïîëíåíî óñëîâèå Ëèïøèöà ñ

13

k

=

.

na

f è f â îðìóëå (6) áåðóòñÿ ïðè x = è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ui (0) = a0i(), i = 1; : : : ; n. Çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ x  x (t); : : : ; xn = xn (t), ãäå x (t); : : : ; xn (t)  ðåøåíèå ñèñòåìû (4) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (5).  ÷àñòíîñòè, åñëè ïîëîæèòü ak () = , ai () = onst ïðè l 6= k è ñ÷èòàòü, ÷òî âñå óíêöèè f ; : : : ; fn íå çàâèñÿò îò , òî èç ïðåäûäóùåãî óòâåðæäåíèÿ x = u (i = 1; : : : ; n) áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî äëÿ ñèñòåìû (4) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâÿìè xi (0) = ai, i = 1; : : : ; n ïðîèçâîäíûå a i îò êîìïîíåíò ðåøåíèÿ x ; : : : ; xn ïî íà÷àëüíîìó óñëîâèþ ak ñóùåñòâóþò è óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé i

i j

1

1

1

1

i k

1

dui dt

=

n X j =1

fi u ; i = 1; : : : ; n; xj j

è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ui (0) = 0 ïðè i 6= k, uk (0) = 1. 3. Åñëè â (4) è (5) óíêöèè fi è ai èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ïî x ; : : : ; xn ;  (âáëèçè çíà÷åíèÿ  = 0) äî ïîðÿäêà m âêëþ÷èòåëüíî, òî ðåøåíèå òîæå èìååò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ïî  äî ïîðÿäêà m è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàçëàãàåòñÿ ïî ñòåïåíÿì ïàðàìåòðà  ïî îðìóëå Òåéëîðà: x(t) = v (t) + v (t) +  v (t) + : : : + m vm (t) + o(m ): (7) Çäåñü x è vi  n-ìåðíûå âåêòîð-óíêöèè. ×òîáû íàéòè óíêöèè vi (t), ìîæíî ðàçëîæèòü ïðàâûå ÷àñòè â (4) è (5) ïî ñòåïåíÿì , ïîäñòàâèòü òóäà ðàçëîæåíèå (7) è ïðèðàâíÿòü êîýèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ . Ïîëó÷èì ñèñòåìó äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, èç êîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëÿþòñÿ v (t); v (t; : : :).  ñëó÷àå, êîãäà fi è ai  àíàëèòè÷åñêèå óíêöèè îò x ; : : : ; xn ; , ðåøåíèå x(t) ðàçëàãàåòñÿ â ñõîäÿùèéñÿ ïðè ìàëûõ  ñòåïåííîé ðÿä ïî  (â ñèëó òåîðåìû îá àíàëèòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ îò ïàðàìåòðà). Êîýèöèåíòû ýòîãî ðÿäà ñîâïàäàþò ñ êîýèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ (7). Èçëîæåííûé ìåòîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îòûñêàíèÿ ðåøåíèÿ äèåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïðè ìàëûõ  â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ïðè  = 0 óðàâíåíèå ðåøàåòñÿ èçâåñòíûìè ìåòîäàìè. Àíàëîãè÷íûì ìåòîäîì ìîæíî ïîëó÷àòü ðàçëîæåíèÿ ïî ñòåïåíÿì ïàðàìåòðà ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé, â ÷àñòíîñòè, óðàâíåíèé âèäà x + a x = f (t; x; x; _ ); (9) ãäå óíêöèÿ f ïåðèîäè÷åñêàÿ ïî t. Ïåðåõîäèòü îò óðàâíåíèÿ 2-ãî ïîðÿäêà ê ñèñòìå ïðè ýòîì íå íóæíî. Ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, âîçíèêàþùèå ïðè îòûñêàíèè v (t); v (t); : : :, îïðåäåëÿþòñÿ óæå íå èç íà÷àëüíûõ óñëîâèé, à èç óñëîâèé ïåðèîäè÷íîñòè.  ñëó÷àå, êîãäà ïðàâàÿ ÷àñòü (9) íå çàâèñèò îò t, ïåðèîä ðåøåíèÿ x(t) çàðàíåå íå èçâåñòåí. Òîãäà â óðàâíåíèè (9) íàäî ïåðåéòè îò t ê íîâîìó íåçàâèñèìîìó ïåðåìåííîìó  = t(1 + b  + b  + : : :) è èñêàòü ðåøåíèÿ x( ) ïåðèîäà a . Êîýèöèåíò b îáû÷íî îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ äëÿ v ( ), è ò.ä. 1

0

2

1

2

0

1

1

2

0

1

1

2

2

2

1

1

Åñëè óíêöèÿ f (x; y) â îêðåñòíîñòè òî÷êè (x ; y ) àíàëèòè÷åñêàÿ, ò.å. ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì (x x ) è (y y ), òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ y0 = f (x; y) ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì y(x ) = y òîæå ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé óíêöèåé, ò.å. ðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé ðÿä â îêðåñòíîñòè òî÷êè x . Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî äëÿ óðàâíåíèÿ y n = f (x; y; y0 ; : : : ; y n ) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè y(x ) = y ; y0(x ) = y0 ; : : : ; y n x y . 4.

0

0

0

0

0

0

(

0

(

5.

1)

0

0

(

0

0

(n 1)( 0 )= 0

)

1)

Äëÿ óðàâíåíèÿ p (x)y n

+ p (x)y n + : : : + pn(x)y = 0; (11) ó êîòîðîãî âñå pi(x) àíàëèòè÷åñêèå â îêðåñòíîñòè òî÷êè x è p (x ) = 0, ò.å. êîýèöèåíò ïðè ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êå x , ðåøåíèé â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà ìîæåò íå ñóùåñòâîâàòü.  ýòîì ñëó÷àå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü ðåøåíèÿ â âèäå îáîáù¼ííûõ ñòåïåííûõ ðÿäîâ a (x x )r + a (x x )r + a (x x )r + : : : ; (12) ãäå ÷èñëî r íå îáÿçàòåëüíî öåëîå. ×òîáû èõ íàéòè, íàäî ïîäñòàâèòü ðÿä (12) â óðàâíåíèå (11) è, ïðèðàâíÿâ êîýèöèåíòû ïðè íàèìåíüøåé ñòåïåíè (x x ), íàéòè âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ïîêàçàòåëÿ r, à çàòåì äëÿ êàæäîãî èç ýòèõ çíà÷åíèé r îïðåäåëèòü êîýèöèåíòû ai . (

0

)

1

(

1)

0

0

0

0

0

0

1

0

+1

2

0

+2

0

Íåëèíåéíûå ñèñòåìû 1. Ñèñòåìó äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìîæíî ñâåñòè ïóò¼ì èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ ê îäíîìó óðàâíåíèþ (èíîãäà ê íåñêîëüêèì óðàâíåíèÿì ñ îäíîé íåèçâåñòíîé óíêöèåé â êàæäîì). Ïðèìåð 1. åøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé z (y z) + xz : (1) y0 = ; z 0 = 2

x

x

2

Èñêëþ÷àåì z èç äàííûõ óðàâíåíèé. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ èìååì z = xy0. Ïîäñòàâëÿÿ âî âòîðîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì ïîñëå óïðîùåíèé åøåíèå.

14

x y00 = (y xy0 ) : 3

2

Äàííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (1) ïðèâåäåíà ê îäíîìó óðàâíåíèþ âòîðîãî ïîðÿäêà. Ýòî óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ðåøåíî ìåòîäàìè, èçëîæåííûìè ⠟103 (ïóò¼ì ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà). Ïîñëå òîãî êàê èç ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåò íàéäåíî y, ñëåäóåò íàéòè z, ïîëüçóÿñü ðàâåíñòâîì z = xy0 . 2. Ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû óðàâíåíèé ìóò¼ì èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ îáû÷íî ïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, ïîýòîìó âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ óäîáíåå ðåøàòü ñèñòåìó ïóò¼ì îòûñêàíèÿ èíòåãðèðóåìûõ êîìáèíàöèé. Ïðèìåð 2. åøèòü ñèñòåìó4

dx xz

dy = yz =

dz : xy

(2)

dy Ïåðâûå äâå äðîáè îáðàçóþò èíòåãðèðóåìóþ êîìáèíàöè. Ñîêðàùàÿ ðàâåíñòâî dx xz = yz íà z è èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì ïåðâûé èíòåãðàë x = C 1: (3) y ×òîáûa íàéòè âòîðóþ èíòåãðèðóåìóþ êîìáèíàöèþ, âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì ðàâíûõ äðîáåé: åñëè b = ab = : : : = ab = t, òî ïðè ëþáûõ k ; k ; : : : ; kn èìååì k a + k a + : : : k n an = t: k b + k b + : : : kn b n Ïîëüçóÿñü ýòèì ñâîéñòâîì, ïîëó÷àåì èç (2) xy) y
dx + x
dy = dzxy ; d2(xyz = dzxy ; d(xy) = 2z dz: y
xz + x
yz Ñëåäîâàòåëüíî, xy + z = C : (4) Î÷åâèäíî, ïåðâûé èíòåãðàë (3) è ïåðâûé èíòåãðàë (4) íåçàâèñèìû. Ñèñòåìà ðåøåíà. Âìåñòî òîãî, ÷òîáû èñêàòü âòîðóþ èíòåãðèðóåìóþ êîìáèíàöèþ, ìîæíî, âîñïîëüçîâàâøèñü çíàíèåì ïåðâîãî èíòåãðàëà (3), èñêëþ÷èòüdyèç ñèñòåìû (2) îäíî èç íåèçâåñòíûõ, íàïðèìåð, x. Èç (3) èìååì x = C y. Ïîäñòàâëÿÿ âî âòîðîå èç óðàâíåíèé (2), ïîëó÷èì yz = Cdzy . Îòñþäà C y dy = d dz; z = C 1y + C . Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà âûðàæåíèå äëÿ C èç îðìóëû (3), íàéä¼ì åù¼ îäèí ïåðâûé èíòåãðàë: z + xy = C . 1

1 1

2 2

n n

1

2

1

1

1

2

2

1

2

2

2

2

1

1

2

2

1

2

2

2

1

2

Óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà

1.

×òîáû ðåøèòü óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ z x

z + : : : + an x = b; (1) n ãäå a ; : : : ; an; b çàâèñÿò îò x ; : : : ; xn ; z, íàäî íàïèñàòü ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé a

1

1

1

1

= : : : = dxa n = dzb (2) n è íàéòè n íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ ýòîé ñèñòåìó 9 ' (x ; : : : ; xn ; z ) = C ; =


(3) 'n (x ; : : : ; xn ; z ) = Cn : ; Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) â íåÿâíîì âèäå çàïèñûâàåòñÿ òàê: F (' ; : : : ; 'n ) = 0; (4) ãäå F  ïðîèçâîëüíàÿ äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ.  ÷àñòíîñòè, åñëè z âõîäèò òîëüêî â îäèí èç ïåðâûõ èíòåãðàëîâ (3), íàïðèìåð, â ïîñëåäíèé, òî îáùåå ðåøåíèå ìîæíî íàïèñàòü è òàê: 'n (x ; : : : ; xn ; z ) = f (' ; : : : ; 'n ); (5) ãäå f  ïðîèçâîëüíàÿ äèåðåíöèðóåìàÿ óíêöèÿ. àçðåøèâ ðàâåíñòâî (5) îòíîñèòåëüíî z, ïîëó÷èì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) â ÿâíîì âèäå. dx a

1

1

1

1

1

1

1

1

1

3 Óðàâíåíèÿ, äîïóñêàþùèå ïîíèæåíèå ïîðÿäêà 4 Ñèñòåìà (2) çàïèñàíà â ñèììåòðè÷åñêîé îðìå.

15

1

2.

×òîáû íàéòè ïîâåðõíîñòü z = z(x; y), óäîâëåòâîðÿþùóþ äèåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ a (x; y; z ) 1

è ïðîõîäÿùóóþ ÷åðåç äàííóþ ëèíèþ

z z + a (x; y; z) y x 2

= b(x; y; z) (6)

x = u(t); y = v(t); z = w(t);

(7)

íàäî íàéòè äâà íåçàâèñèìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëà ñèñòåìû dx a 1

 ýòè ïåðâûå èíòåãðàëû

= dy = dzb : (8) a 2

' (x; y; z ) = C ; ' (x; y; z ) = C ; (9) íàäî ïîäñòàâèòü âìåñòî x, y, z èõ âûðàæåíèÿ (7) ÷åðåç ïàðàìåòð t. Ïîëó÷àòñÿ äâà óðàâíåíèÿ âèäà 1

1

2

2

 (t) = C ;  (t) = C : (10) Èñêëþ÷èâ èç íèõ t, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå F (C ; C ) = 0. Ïîäñòàâèâ ñþäà âìåñòî C è C ëåâûå ÷àñòè ïåðâûõ èíòåãðàëîâ (9), ïîëó÷èì èñêîìîå ðåøåíèå  òîì ñëó÷àå, êîãäà â îáà óðàâíåíèÿ (10) íå âõîäèò t, òîãäà ëèíèÿ (7) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíîé êðèâîé ñèñòåìû (8), ò.å. õàðàêòåðèñòèêîé óðàâíåíèÿ (6), è çàäà÷à Êîøè èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. 1

1

1

2

2

2

1

16

2