Modélisation Des Options Asiatiques Sur Le Taux De Change. Auteur: Mariane Mouhammed, Ensae

Rapport de Groupe de Travail

Papa Gora Ndao Mouhammed Marianne Antoine de Milleville

30 mai 2007

LES OPTIONS ASIATIQUES

encadr´e par Georges Nemes (SGCIB)

2

Table des mati` eres Introduction

1

1 Pr´ esentation du march´ e du change 1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Principales caract´eristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Un march´e domin´e par quelques places financi`eres 1.2.2 Un march´e domin´e par quelques monnaies . . . . . 1.2.3 Un march´e domin´e par les op´erations `a terme . . .

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2 2 2 2 2 2

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3 3 3 3 4

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7 7 8 9 10 10 11 11 12 14

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16 16 16 18 18 20

2 Mod` ele de Garman et Kohlhagen 2.1 Quelques notations . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Mod´elisation financi`ere . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Hypoth`eses classiques . . . . . . . . 2.2.2 Absence d’opportunit´e d’arbitrage et

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . changement

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3 M´ ethode de Monte Carlo 3.1 Principe de la r´esolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Application au pricing d’une option asiatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Simulation de la partie stochastique du taux de change . . . . . . . . . . . 3.2.2 Simulation d’une loi uniforme U(0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Simulation de la loi normale N (0, 1) : M´ethode d’inversion . . . . . . . . . 3.3 Monte Carlo et Techniques de R´eduction de Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 utilisation de variables antith´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 R´esultats Num´eriques : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Reconstitution de la densit´e de la moyenne `a partir de simulations de Monte Carlo 4 Turnbull et Wakeman 4.1 le principe de l’algorithme de Turnbull et Wakeman 4.2 Approximation de la densit´e de S . . . . . . . . . . . 4.2.1 Calcul des deux premiers moments de S . . . 4.2.2 D´etermination de la loi de Y . . . . . . . . . 5 R´ esolution par ´ equations aux d´ eriv´ ees 5.1 EDP en dimension 2 . . . . . . . . . . 5.1.1 ´etablissement de l’´equation . . 5.1.2 commentaires . . . . . . . . . . 5.2 EDP en dimension 1 . . . . . . . . . . 5.3 Discr´etisation en temps . . . . . . . .

partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.4 5.5 5.6

Discr´etisation en espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . Algorithme de calcul de la fonction valeur . . . . . . . . Interpolation et interpr´etation des r´esultats num´eriques 5.6.1 Interpolation des resultats . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Interpr´etation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Introduction d’un mod` ele avec taux stochastiques 6.1 Mod´elisation financi`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Dynamiques des processus de prix en absence d’arbitrage . . . . . . . 6.1.2 Lien entre primes de risque λd et λf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Construction de la probabilit´e de Pricing : Probabilit´e Forward Neutre 6.1.4 Application au Pricing d’Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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21 21 22 22 22

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24 24 25 25 26 27

7 Analyse des r´ esultats

30

Conclusion

32

A ANNEXES A.1 Graphes de Prix . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Graphes de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Turnbull et Wakeman . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1 d´emonstration du cacul des deux premiers A.4 Evaluation par ´equations aux d´eriv´ees partielles A.4.1 Algorithme de calculde la fonction valeur

33 33 37 39 39 41 41

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . moments de S . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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INTRODUCTION

1

Introduction Avec la croissance des march´es financiers, des produits de plus en plus sophistiqu´es sont maintenant offerts. La complexit´e de ces instruments ne cesse de croˆıtre pour r´epondre aux besoins pressants des entreprises qui cherchent `a se couvrir contre des risques de plus en plus nombreux. Ces innovations financi`eres, connues sous le nom d’options exotiques, se caract´erisent par des paiements beaucoup plus ´ compliqu´es que les options standards. Echang´ ees sur le march´e hors bourse, ou de gr´e `a gr´e, elles sont faites sur mesure pour, d’une part, r´epondre aux besoins sp´ecifiques des investisseurs, d’autre part, fournir de nouveaux instruments de couverture. En utilisant ou en cr´eant de tels produits, les professionnels de la finance se voient confront´es au probl`eme de leur ´evaluation ou pricing. En effet la complexit´e des payoffs relatifs `a ces produits rend impossible l’utilisation de formules ferm´ees simples comme la formule de Black-Scholes pour les options vanille. Le but de ce projet est alors d’´etudier et de comparer diff´erentes m´ethodes de pricing pour un produit particulier : les options asiatiques. La particularit´e de ces options est que le paiement terminal d´epend d’une moyenne (arithm´etique le plus souvent, parfois pond´er´ee ou encore g´eom´etrique) calcul´ee sur les cours du sous-jacent des options, observ´es `a diff´erentes dates ´etablies `a la signature du contrat. Nous ´etudierons plus pr´ecis´ement ces produits financiers sur le march´e du change, et nous restreindrons aux options sur moyenne arithm´etique. Dans un premier temps, nous pr´esenterons les principales caract´eristiques du march´e du change avant de nous attarder sur le mod`ele de base utilis´e dans notre ´etude, `a savoir le mod`ele de Garman et Kohlhagen, application du mod`ele de Black et Scholes pour les options de change. Puis, nous insisterons sur les m´ethodes num´eriques d´evelopp´ees dans notre programme, impl´ement´e en JAVA, pour ´evaluer ces options, `a savoir la m´ethode de Monte Carlo, l’algorithme de Turnbull et Wakeman et la r´esolution d’´equations aux d´eriv´ees partielles. Enfin, nous proposerons une alternative au mod`ele de Garman et Kohlhagen en introduisant un mod`ele de taux stochastiques.

´ ´ DU CHANGE PRESENTATION DU MARCHE

1

2

Pr´ esentation du march´ e du change

1.1

D´ efinitions

Le change est l’acte par lequel on ´echange les monnaies des diff´erents pays. La majeure partie des actifs mon´etaires ´echang´es sur le march´e du change sont des d´epˆ ots `a vue dans les banques. Le taux de change est le prix de la monnaie d’un pays en terme de la monnaie d’un autre. Un taux de change peut ˆetre exprim´e de deux mani`eres : la cotation au ”certain” consiste `a donner le nombre d’unit´es mon´etaires ´etrang`eres ´equivalent `a une unit´e de monnaie locale ; la cotation `a ”l’incertain” indique le nombre d’unit´es mon´etaires locales correspondant `a une unit´e de monnaie ´etrang`ere. Ainsi, lorsque l’euro s’appr´ecie contre les autres devises, sa cotation au certain s’´el`eve tandis que sa cotation `a l’incertain diminue.

1.2 1.2.1

Principales caract´ eristiques Un march´ e domin´ e par quelques places financi` eres

Le march´e du change ne connaˆıt pas de fronti`ere : il y a un seul march´e du change dans le monde. Les transactions sur devises se font aussi bien `a Paris, Londres, Tokyo ou New York. Le march´e du change est donc une organisation ´economique sans v´eritable r´eglementation ; elle est auto-organis´ee par les instances publiques et priv´ees qui y interviennent. Il est g´eographiquement tr`es concentr´e sur les places financi`eres de quelques pays. En 1998, le Royaume-Uni repr´esentait 32% des op´erations, les Etats-Unis, 18%, le Japon, 8%, l’Allemagne, 5%, et la France 4%. 1.2.2

Un march´ e domin´ e par quelques monnaies

Les op´erations sur le march´e du change, repr´esentant plus de 3 milliards de dollars d ’´echange quotidien, sont concentr´ees sur un petit nombre de monnaies, et tr`es majoritairement sur le dollar. En 1998, le dollar am´ericain intervenait en moyenne dans 87% des transactions identifi´ees, soit du cˆot´e de l’offre, soit du cˆot´e de la demande. Aujourd’hui, les monnaies de la zone euro apparaissent dans 52% des transactions. Le yen et la livre sont plus en retrait puisqu’ils interviennent respectivement dans 21% et 11% des transactions. 1.2.3

Un march´ e domin´ e par les op´ erations ` a terme

Le risque de change est le risque de perte en capital li´e aux variations futures du taux de change. Depuis les ann´ees soixante-dix, ce risque s’est fortement accru avec le flottement g´en´eralis´e des monnaies et le d´eveloppement des transactions commerciales et financi`eres internationales. L’existence de variations des taux de change entraˆıne deux types d’attitude de la part des intervenants sur le march´e : certains groupes ne souhaitent pas ou n’ont pas le droit de parier sur ce que seront les taux de change dans le futur. Ils sont expos´es `a un risque de change dans le cours de leurs activit´es ordinaires et

` MODELE DE GARMAN ET KOHLHAGEN

3

recherchent une couverture `a leur position cr´editrice ou d´ebitrice. D’autres groupes estiment pouvoir prendre une position expos´ee `a un risque de change pour r´ealiser un gain. Il y a alors sp´eculation sur l’´evolution future des taux au moyen d’op´erations d’arbitrage. Le contrat de change `a terme est le principal moyen de se couvrir ou de sp´eculer sur le march´e du change. Ce qui explique pourquoi il domine le contrat de change au comptant . Il existe diff´erents contrats de change `a terme : les contrats fond´es sur les op´erations traditionnelles, terme bancaire et ”swap”cambiste, sont les plus r´epandus (57% des op´erations des march´es du change ) ; ceux fond´es sur les autres produits d´eriv´es, ”futures” et options sur devises restent encore marginaux (6% des op´erations ).

2

Mod` ele de Garman et Kohlhagen

2.1

Quelques notations

Nous avons ´etudi´e le mod`ele de Garman et Kohlhagen en nous inspirant de l’article ”Foreign Currency Option Values”.(cf Annexes) Puisque nous travaillons sur le march´e du change, nous allons consid´erer un univers compos´e de deux devises : la devise ´etrang`ere, indic´ee par f et la devise domestique, indic´ee par d. Dans chacune des deux ´economies (domestique (d) et ´etrang`ere (f)), la devise crrespondante constitue un actif sans risque, dont la dynamique entre t et t + dt d´epend du taux sans risque (rd pour l’´economie domestique et rf pour l’´economie ´etrang`ere). Par contre, vue de l’´economie domestique(d), la devise (f) est un actif risqu´e dont la valeur `a chaque instant est donn´ee par le taux de change Sf →d . Pour all´eger les ´equations, nous noterons Sf →d ≡ S. La premi`ere devise indiqu´ee en d´enommant l’option sera toujours la devise ´etrang`ere, et la seconde devise sera la devise domestique. Par exemple une option EuroDollar, repr´esentera une option sur le taux de change Euro (´etranger) vers Dollar (domestique) et son prix sera exprim´e en Dollar. De plus, on note rd le taux sans risque de l’´economie domestique, rf le taux sans risque de l’´economie ´etrang`ere.

2.2 2.2.1

Mod´ elisation financi` ere Hypoth` eses classiques

Avant de pricer les options asiatiques de change, il est imp´eratif de supposer quelques hypoth`eses sur les march´es financiers puis de mod´eliser l’´evolution des taux de change dans cet univers. La mod´elisation financi`ere couramment retenue pour ces actifs est celle de Garman et Kohlhagen, qui est analogue au mod`ele de Black et Scholes, utilis´e pour caract´eriser l’´evolution du cours des actions et ainsi pricer les options vanille sur ces derniers sous-jacents. Les hypoth`eses que nous avons retenues sont les suivantes : – Il est possible de vendre et d’acheter le sous-jacent `a tout moment sans coˆ ut de transaction. – Les ventes `a d´ecouvert sont autoris´ees.

` MODELE DE GARMAN ET KOHLHAGEN

4

– On supposera enfin que les taux de change sont des variables al´eatoires suivant une loi lognormale et leur ´evolution est donc mod´elis´ee par l’´equation de diffusion suivante : dS = µSdt + σSdW P o` u W P est un mouvement brownien, sous la probabilit´e historique propre `a l’agent, µ est un param`etre de drift, ou rendement moyen et σ repr´esente la volatilit´e de l’actif sous-jacent. On notera (Ft )(t≥0) la filtration engendr´ee par le mouvement brownien et Ω l’ensemble des ´etats possibles du monde. Pour mod´eliser les taux d’int´erˆet, on utilise une courbe de taux z´ero-coupon, `a partir de laquelle on calcule les facteurs d’actualisation B(t, T ) selon l’´equation suivante : µ Z B(t, T ) = exp − t

T

¶ r(s)ds =

1 (1 + R(t, T ))T −t

o` u R(t, T ) d´esigne le taux z´ero-coupon entre t et T, r´ecup´er´e `a partir des donn´ees de march´e. 2.2.2

Absence d’opportunit´ e d’arbitrage et changement de probabilit´ e

Le principe de non arbitrage est une hypoth`ese fondamentale sur le march´e. Nous allons donner ci-dessous sa traduction math´ematique dans deux situations : d’abord dans le cas d’un actif ne versant pas de dividendes, puis dans le cas d’un actif versant une r´emun´eration avec un taux de dividende continu not´e c(t). Notons que si c(t) est le dividende continu, cela traduit qu’entre t et t+dt, l’actif verse un montant c(t)S(t)dt. Sous la probabilit´e historique P, le processus de prix de l’actif suit la dynamique suivante : dS(t) = µ(t)dt + σ(t)dW P (t) S(t) o` u W P (t) est un P-mouvement brownien. En l’absence d’opportunit´e d’arbitrage, il existe un vecteur λ(t), d´enomm´e prime de risque tel que µ(t) = r(t) + σ(t)λ(t). Dans le cas o` u l’actif verse un dividende avec un taux continu c(t), il existe un vecteur de prime de risque λ(t) tel que µ(t)+c(t) = r(t)+σ(t)λ(t) Remarque : D’un point de vue financier, ce r´esultat exprime le fait que le rendement instantan´e de n’importe quel portefeuille sans risque ( σ(t) = 0) est exactement ´egal au taux sans risque. Dans le cas ou l’actif verse un dividende, le rendement instantan´e global est λ(t) + c(t). Applications : Nous nous pla¸cons maintenant dans l’´economie domestique, dans laquelle la devise domestique (d) constitue l’actif sans risque avec une dynamique : dSd (t) = Sd (t)rd (t)dt La devise ´etrang`ere est un actif risqu´e , qui, avec les notations adopt´ees a une dynamique qui s’´ecrit : dS(t) = µ(t)S(t)dt + σ(t)S(t)dW P

` MODELE DE GARMAN ET KOHLHAGEN

5

D’autre part il est clair que la devise ´etrang`ere peut ˆetre vue comme un titre versant un dividende continu rf (t), rf (t) ´etant le taux sans risque ´etranger. En effet, la possession d’une unit´e de devise ´etrang`ere entre t et t+dt donne droit `a une r´emun´eration ´egale `a rf (t)dt. On peut donc en se pla¸cant dans l’´economie (d) appliquer la deuxi`eme assertion du th´eor`eme pr´ec´edent et ainsi conclure en l’existence d’une prime de risque not´ee λd (t) telle que µ(t) + rf (t) = rd (t) + σ(t)λd (t) L’´equation (1) de la diffusion du taux de change peut donc se r´e´ecrire sous la forme (2) suivante : dS(t) = (rd − rf )S(t)dt + σ(t)S(t)(dW P + λd (t)dt) D’apr`es le th´eor`eme de Girsanov, il existe une probabilit´e Qd ´equivalente a P sous laquelle W P (t)+ λd (t)t reste un mouvement brownien. Cette mesure Qd est la probabilit´e risque neutre de la devise domestique. On peut `a pr´esent r´e´ecrire la dynamique du taux de change sous la probabilit´e Qd . En exprimant dans l’´equation (2) le fait que sous Qd , WdQ (t) = W P (t) + λd (t)t est un mouvement brownien, on en d´eduit que sous Qd la diffusion du taux de change satisfait l’´equation (3) suivante : dS(t) = (rd (t) − rf (t))dt + σ(t)(dWdQ (t)) S(t) Nous savons de plus que sous la mesure Qd , la valeur actualis´ee de toute strat´egie autofinanc´ee est martingale. Pour pricer notre option de change, il suffit alors de calculer l’esp´erance du payoff actualis´e de notre actif. Application au Pricing d’options de Change : Nous avons donc d’apr`es ce qui pr´ec`ede une mesure Qd qui rend martingale toute strat´egie autofinanc´ee actualis´ee, et par cons´equent le processus de prix actualis´e de n’importe quelle option sur le taux de change. Consid´erons une option de change livrant un payoff quelconque Φ `a la date T. On en d´eduit une formule g´en´erale donnant son prix a la date t : · Pt =

EtQd

µ Z Φ exp − t

T

¶¸ rd (s)ds

. Quelques Exemples :

³ R ´ T – Pour un Call de strike K : Pt = exp − t rd (s)ds EtQd [max(ST − K, 0)] – Pour une option asiatique sur moyenne discr`ete avec constatations aux dates (t1 , t2 , ..., tN ), on N X 1 d´efinit la moyenne discr`ete S = N Sti , alors i=1

µ Z Pt = exp −

t

T

¶ £ ¤ rd (s)ds E Qd max(S − K, 0)

` MODELE DE GARMAN ET KOHLHAGEN

6

Pour les calls, une formule ferm´ee d’´evaluation existe et le pricing ne pose aucune difficult´e particuli`ere. La formule d’´evaluation repose sur le r´esultat suivant, connu sous le nom de formule de Black-Scholes. Si X est une variable al´eatoire suivant une loi lognormale, telle que ln(X) a une variance σ 2 . Alors E [max(X − K), 0] = E(X)N (d1 ) − KN (d2 ) avec

N ³

la ´

fonction

E(X) K

de

r´epartition

de

la

loi

normale

centr´ee

r´eduite.

1 2 2σ

ln + d1 = et d2 = d1 − σ. σ Cas d’un Call de Change : L’´equation de diffusion sous la probabilit´e risque neutre est dSt = [rd (t) − rf (t)]dt + σt dWdQ (t) St et donne par int´egration · Z ST = St exp −

T

t

1 rd (s) − rf (s)ds + 2

Z

T

Z 2

σ (s)ds + t

t

¸

T

σ(s)dWs

La formule de Black-Scholes donne alors le prix par formule ferm´ee d’un call de change : µ Z Ct = exp −

t

Avec d1 =

ln SKt +

RT t

T

¶ µ Z rd (s)ds St N (d1) − K exp −

rd (s) − rf (s)ds + qR T 2 t σ (s)ds

t

RT t

T

¶ rf (s)ds N (d2)

σ 2 (s)ds

et s

Z

T

σ 2 (s)ds

d2 = d1 − t

Conclusion : Le mod`ele de Garman et Kohlhagen donne donc dans le cas d’un call et d’un put vanilles, une formule ferm´ee, tout comme celui de Black-Scholes. Par contre, on voit que pour une option asiatique, on ne peut pas effectuer un calcul analogue `a celui que l’on vient de faire. En effet, la moyenne du taux de change apparaˆıt comme une somme de variables al´eatoires lognormales corr´el´ees, et sa distribution n’est donc pas lognormale. Ainsi, les sections suivantes vont traiter de m´ethodes de r´esolution du mod`ele

´ METHODE DE MONTE CARLO

7

de Garman et Kohlhagen dans le cas d’une option asiatique (M´ethode de Monte-Carlo, Algorithme de Turnbull et Wakeman, approche par EDP).

3

M´ ethode de Monte Carlo

3.1

Principe de la r´ esolution

Nous commen¸cons par rappeler bri`evement les arguments th´eoriques qui justifient la m´ethode de Monte-Carlo ainsi que les moyens d’´evaluer num´eriquement sa pr´ecision. Th´ eor` eme1 : Loi Forte des Grands Nombres Soit X1 , .., Xn , une suite de variables al´eatoires iid (ind´ependantes, identiquement distribu´ees de moyenne m et de variance σ 2 ), telles que ∀i, E(|Xi |) < ∞, et d´efinies sur un mˆeme espace de probabilit´e. N X Alors la suite N1 Xi converge presque sˆ urement vers la valeur m = E(Xi ). i=1

ˆ = Ce th´eor`eme assure la convergence presque-sˆ ure vers la valeur E(Xi ). L’estimateur X

1 N

N X i=1

Xi

est donc convergent. D’autre part, il est facile de voir qu’il est sans biais, par lin´earit´e et ind´ependance des Xi . Le contrˆole de l’erreur est donn´e par le th´eor`eme suivant. Th´ eor` eme2 : Th´ eor` eme Central Limite Sous les mˆemes hypoth`eses que le th´eor`eme pr´ec´edent, on peut conclure que : " n # √ 1X Xi − m à N (0, σ 2 ) n n i=1

la convergence ´etant une convergence en loi. Commentaires : On peut d´eduire de cette convergence en loi que pour tout couple de r´eels a et b "

# ¶ µ Z b n X a b Xi 1 1 2 lim P σ √ < − m < σ√ =√ exp − x dx n→∞ n 2 n n 2Π a i=1

´ METHODE DE MONTE CARLO

8

h D’autre part, si X suiti une loi normale N (0, 1), on sait que P (| X |< 1.96) = 95%. On en d´eduit que P | Xni − m |) < 1.96 √σn → 95%. Ainsi, on obtient `a l’aide de ce th´eor`eme, un intervalle de confiance `a 95%. Mais on voit qu’il reste `a pouvoir estimer le param`etre inconnu, pour pouvoir achever l’´evaluation de l’erreur effectu´ee dans la m´ethode de MonteCarlo. Le dernier r´esultat rappel´e ci-dessous donne un estimateur du param`etre, `a partir de la variance empirique de l’´echantillon iid. Th´ eor` eme3 : Estimation du param` etre : Sous les mˆemes hypoth`eses que les deux th´eor`emes pr´ec´edents, la variance empirique " n µ Pn ¶2 # X 1 2 i=1 Xi σn = Xi − n−1 n i=1

est un estimateur sans biais et convergent de σ 2 (convergence presque sˆ ure). Commentaires : Ce dernier r´esultat permet donc de calculer l’erreur MonteCarlo. En pratique, on σn consid`erera que l’erreur `a 95% est 1.96 √ . n

3.2

Application au pricing d’une option asiatique

Nous consid´erons une option asiatique sur taux de change qui livre `a la date T le payoff : "

N

1X Φ= Sti − K N

#+

i=1

Le prix de non arbitrage de cette option `a la date t s’´ecrit : · µ Z T ¶ ¸ Pt (Φ) = E exp − rd (s)ds Φ t

L’application de la m´ethode de MonteCarlo va consister d’abord `a simuler N variables al´eatoires Φ1 , ..., ΦN de mˆeme loi que Φ. En vertu de la loi forte des grands nombres, on pourra utiliser comme estimateur du prix : µ Z Pt (φ) = exp −

t

T

¶ X N 1 Φh rd (s)ds N h=1

Ensuite, on estime l’erreur en utilisant les deux derniers r´esultats de la section pr´ec´edente. On commence par estimer la volatilit´e de l’estimateur du prix `a l’aide de l’´echantillon tir´e. On a : Ã µ Z T ¶ ¶ ! N N µ X 1 X Gh 2 2 σ (Pt (Φ)) = exp −2 rd (s)ds Gh − N −1 N t h=1

h=1

´ METHODE DE MONTE CARLO

9

Le r´esultat pr´ec´edent permet de conclure que l’erreur MonteCarlo avec une probabilit´e de 95% est la suivante : ¶ µ Z T 1.96 rd (s)ds σ (Pt (Φ)) ErreurM C = √ exp − n t Chaque variable al´eatoire Φh `a simuler s’´ecrit : Ã Φh =

N 1 X h Sti − K N

!

i=1

.

On voit donc que la simulation d’une variable al´eatoire Φi n´ecessite donc de savoir tirer une trajectoire de N points du taux de change. La diffusion du taux de change sous la probabilit´e risque neutre a d´ej`a ´et´e ´etablie dans les sections pr´ec´edentes et s’´ecrit de la mani`ere suivante : dSt = (rd (t) − rf (t)) dt + σdWtQ St En notant S0 , la valeur initiale du taux de change, on montre en utilisant le lemme d’Itˆo que la solution de cette ´equation stochastique est : ·Z St = S0 exp

0

t

1 rd (s) − rf (s)ds − 2

Z

t

Z 2

σ (s)ds + 0

t

¸ σ(s)dW s

0

Tout d’abord, on peut·Zconstater que St s’´ecrit d’un facteur d´eterministe que nous ¸ Z comme produit t 1 t 2 noterons Ft = S0 exp rd (s) − rf (s)ds − σ (s)ds et d’un facteur stochastique not´e exp(Yt ) 2 0 0 Rt avec Yt = 0 σ(s)dW s. Le facteur Ft se calcule ais´ement avec les donn´ees de march´e. Nous pr´esentons Rt ci-dessous la m´ethode de simulation d’une trajectoire du processus Gt = exp(Yt ) avec Yt = 0 σ(s)dW s. 3.2.1

Simulation de la partie stochastique du taux de change Rt Le processus Yt = 0 σ(s)dW s est une int´egrale de Wiener dans la mesure o` u on suppose que σ(s) est d´eterministe. On a donc les ³ deuxR propri´et´es´suivantes qui serviront `a effectuer la simulation de Yt . t – Yt suit une loi normale N (0, 0 σ 2 (s)ds) – Le processus est `a accroissements ind´ependants (si t > s, alors Yt − Ys est ind´ependant de Fs o` u Fs d´esigne la filtration engendr´ee jusqu’`a la date s par le processus Y). En subdivisant l’intervalle [0, T] avec un pas de temps h, on peut donc ´ecrire que : – Y0 = 0 ³ R ´ (k+1)h 2 – Y(k+1)h − Ykh suit une loi N 0, kh σ (s)ds . Ainsi la r´ecurrence ci-dessous permet de simuler une trajectoire du processus Yt . – Y0 = 0 qR (k+1)h 2 – Y(k+1)h = Ykh + σ (s)dsZk kh

´ METHODE DE MONTE CARLO

10

o` u les Zk sont des tirages ind´ependants suivant une loi normale N (0, 1). La simulation de Gt = exp(Yt ) en d´ecoule en prenant `a chaque date kh, Gkh = exp(Ykh ). Remarque : La simulation de trajectoires n´ecessite donc d’effectuer des tirages ind´ependants selon une loi normale N (0, 1). Ceci est un point crucial dans la simulation de Monte Carlo ; il est donc n´ecessaire d’obtenir un g´en´erateur de nombres al´eatoires performant (avec de bonnes propri´et´es statistiques) et disposant d’une p´eriode suffisante pour les calculs que l’on souhaite mener. Nous pr´esentons ci-dessous la d´emarche que nous avons adopt´ee dans le cadre de notre projet qui consiste `a commencer par simuler une loi uniforme sur [0,1], puis utiliser la m´ethode d’inversion de la fonction de r´epartition. 3.2.2

Simulation d’une loi uniforme U(0,1)

Des g´en´erateurs de nombres quasi-al´eatoires sont disponibles dans la plupart des syst`emes. D’une mani`ere g´en´erale, ces g´en´erateurs sont des g´en´erateurs congruentiels, c’est-`a-dire qu’ils forunissent une suite d’entiers (xn )n≥0 donn´es par la relation de r´ecurrence suivante : xn+1 = axn + b (modulo m). La valeur x0 est appel´ee la graine, a est le multiplicateur et la p´eriode maximale d’une telle s´equence est de m. Des exemples de g´en´erateurs int´egr´es aux syst`emes sont par exemple les fonctions RANDOM de Pascal et Java, ou encore le RAND (´ecrit par les auteurs du syst`eme Unix). La qualit´e de ces g´en´erateurs est ´evalu´ee `a l’aide de tests statistiques d’uniformit´e, d’ind´ependance, mais aussi de l’´evaluation de leur p´eriode. On peut par exemple citer le test de Kolmogorov-Smirnov qui compare n X la fonction de r´epartition empirique calcul´ee `a la suite de nombres Fn (t) = n1 χ[U i
la fonction indicatrice), `a la vraie fonction de r´epartition F (t) = P (U < t) = t quelque soit t dans [0,1]. La plupart de ces g´en´erateurs pr´ed´efinis n’ont pas de tr`es bonnes propri´et´es statistiques. Nous nous sommes donc fond´es sur la litt´erature existant sur ce sujet et les conclusions des nombreux tests d´ej`a effectu´es dans ce domaine. L’un des meilleurs g´en´erateurs disponibles `a l’heure actuelle est celui de Mersenne Twister d´evelopp´e par Makoto Matsumoto et Takuji Nishimura en 1997 (enti`erement disponible sur le site Internet des auteurs : http ://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/). Notre projet utilise une impl´ementation de cet algorithme en JAVA. 3.2.3

Simulation de la loi normale N (0, 1) : M´ ethode d’inversion

Le r´esultat utilis´e est le suivant. On suppose que U suit une loi uniforme U[0,1]. Alors, si on pose Y = F −1 (U ), avec F −1 inverse de la fonction de r´epartition de la loi normale N (0, 1), la variable al´eatoire Y suit une loi normale N (0, 1). D´emonstration : La preuve vient du fait que P (Y < t) = P [F −1 (U ) < t] = P [U < F (t)] = F (t) avec F fonction r´epartition de la loi normale N (0, 1). On en d´eduit que Y suit une loi normale N (0, 1). D’un point de vue num´erique, nous avons impl´ement´e sous Java l’algorithme d’inversion de Moro d’une tr`es grande pr´ecision . (Ref Moro ” The Full Monte ” , Risk, Vol 8 No2, F´evrier 95-P57-58). Description de l’Algorithme d’inversion de Moro : En supposant connue la valeur de N(x), l’algorithme ci-dessous permet de retrouver x.

´ METHODE DE MONTE CARLO

11

L’approximation est faite en fonction de la valeur de N(x). Soit y = N (x) − 0, 5 Si|y| ≤ 0, 42, alors l’approximation faite est : 3 X

x = y i=0 4 X

ai y 2i bj y 2j

j=0

Si en revanche |y| > 0, 42, alors l’approximation est faite `a l’aide des polynˆomes de Tchebychev : x=ε

" 8 X

# ci Ti (t) − ε

i=0

c0 2

o` u ε est le signe de y et : · t = k1

µ ¶ ¸ 1 2ln −ln( − |y|) − k2 2

En r´esum´e, nous avons donc pr´esent´e les m´ethodes utilis´ees pour pouvoir g´en´erer une trajectoire à N !+ X h 1 du taux de change et ´evaluer le payoff associ´e `a chaque trajectoire (h) : Φh = N Sti − K . Les i=1

calculs de prix et d’erreurs s’en d´eduisent en utilisant les formules ´etablies un peu plus haut, `a savoir N ³ R ´ X T 1 Φh . L’erreur `a 95% s’´ecrit : que l’estimateur du prix est Pt (Φ) = exp − t rd (s)ds N h=1

µ ErreurM C =

3.3 3.3.1

µ Z T ¶ ¶ 1.96 √ exp − rd (s)ds σ(Pt (Φ)) N t

Monte Carlo et Techniques de R´ eduction de Variance utilisation de variables antith´ etiques

La pr´ecision de la m´ethode de MonteCarlo peut ˆetre am´elior´ee par des techniques de r´eduction de la variance de l’estimateur. Aussi, allons-nous utiliser ici la technique des variables antith´etiques. Rappelons cependant le th´eor`eme suivant, n´ecessaire `a la mise en oeuvre de cette technique : Th´ eor` eme : Soit X une variable al´eatoire, T une transformation d´ecroissante de < telle que T(X) a la mˆeme loi que X et Φ une fonction monotone. Alors COV (Φ(X), T (Φ(T (X)) ≤ 0 .

´ METHODE DE MONTE CARLO Ã Pour pricer l’option de payoff Φ = consist´e `a approximer E(Φ) par

1 N

N X

12 !+ Sthi

−K

, la m´ethode de Monte Carlo classique a

i=1 (Φ1 +Φ2 +...+ΦN ) . On N

va utiliser une propri´ ³Ret´e de sym´ ´etrie en loi dans l’exti pression de Φ. Comme indiqu´e dans la section pr´ec´edente Sti = Fti exp 0 σ(s)ds o` u Fti est le facteur ´ ³ R t d´eterministe vu `a la section pr´ec´edente (´evalu´e `a la date ti ). Posons St∗i = Fti ∗ exp − 0 i σ(s)dW s . Ã N !+ X Sti∗ − K , §∗ti est appel´ee Par sym´etrie, Sti * garde la mˆeme loi que Sti . Ainsi, si on pose Φ∗ = N1 i=1

la variable antith´etique associ´ee `a §ti . Dans la mesure o` u E(Φ) = E(Φ∗ ), on en d´eduit que pour calculer E(Φ), on peut effectuer N tirages ind´ependants de Φ et Φ∗ et utiliser l’estimateur suivant : E∗ =

1 (Φ1 + Φ∗1 + ... + ΦN + Φ∗N ) 2N

`a la place de l’estimateur classique E=

1 (Φ1 + ... + Φ2N ) 2N

. Ces deux estimateurs de l’esp´erance sont tous les deux convergents et sans biais, mais l’int´erˆet d’utiliser le premier r´esulte du fait que sa variance est plus faible. En effet , en utilisant l’hypoth`ese d’ind´ependance et de distribution identique des tirages, on montre que V ar(Φ∗ ) = V ar(Φ) + cov(Φ, Φ∗ ). Le gain de variance r´esulte du th´eor`eme pr´ec´edent qui permet d’´etablir que cov(Φ, Φ∗ ) ≤ 0. En effet, N X en l’appliquant `a la variable al´eatoire X = N1 Sti , et pour la fonction Φ(x) = (x − K)+ . i=1

3.3.2

R´ esultats Num´ eriques :

Les graphes ci-dessous permettent de comparer la convergence des prix et les erreurs Monte carlo obtenues avec et sans r´eduction de variance en faisant varier le nombre de trajectoires.

´ METHODE DE MONTE CARLO

13

Fig. 1 – Comparaison des erreurs Monte Carlo avec et sans r´eduction de variance

Fig. 2 – Convergence des prix Monte Carlo avec et sans r´eduction de variance Nous constatons que la variance obtenue avec la m´ethode antith´etique est plus faible. On remarque ´egalement que la courbe des prix de Monte Carlo antith´etique a moins de fluctuations que dans le cas d’un Monte Carlo sans r´eduction de variance, donc que le prix converge effectivement plus rapidement dans le premier cas.

TURNBULL ET WAKEMAN

14

3.4 Reconstitution de la densit´ e de la moyenne ` a partir de simulations de Monte Carlo Notons qT (x) la densit´e de la moyenne arithm´etique sur l’horizon T. Le prix d’un Call asiatique sur moyenne (de strike K) calcul´e `a l’aide de la simulation de Monte Carlo s’exprime aussi par l’int´egrale suivante : µ Z C0 (K) = exp −

T

0

¶Z rd (s)ds

∞

K

qT (x)(x − K)dx

On d´eduit de cette relation que µ Z T ¶ ∂ 2 C0 (K) = exp − rd (s)ds qT (K) ∂K 2 0 Ainsi qT (K) est li´e `a la d´eriv´ee seconde du prix par rapport au strike. µZ qT (K) = exp

0

T

¶ 2 ∂ C(K) rd (s)ds ∂K 2

Cette relation est connue sous le nom de formule de Breeden Litzenberger. L’approximation num´erique que nous avons effectu´ee consiste `a ´evaluer le prix du call pour une s´erie de valeurs discr`etes de strike K1 , K2 , ..., KN . (On suppose que Ki −Ki−1 = δ constant). La d´eriv´ee seconde de C est alors approxim´ee par µ 2 ¶ ∂ C(K) C(Ki−1 )C(Ki+1 ) − 2C(Ki ) = 2 ∂K δ2 K=Ki On pourra se reporter aux annexes pour les graphes de densit´e obtenue `a l’aide de cette m´ethode. qui sont par ailleurs comment´es dans la section 7 ”Analyse des r´esultats”. Conclusion : Finalement le pricing des options par les simulations de Monte Carlo donne des r´esultats relativement pr´ecis. On peut de plus am´eliorer la performance de cette m´ethode par une technique de r´eduction de variance. N´eanmoins, cette technique de pricing est coˆ uteuse en temps de calcul puisque pour obtenir des r´esultats de densit´e satisfaisants, il est n´ecessaire de simuler au moins un million de trajectoires de prix. Nous allons donc dans la partie suivante ´etudier un proc´ed´e beaucoup plus rapide :l’algorithme de Turnbull et Wakeman.

4 4.1

Turnbull et Wakeman le principe de l’algorithme de Turnbull et Wakeman

Pour d´evelopper cette partie, nous avons ´etudi´e l’article de Turnbull et Wakeman, ”A Quick Algorithm for pricing european Asian Options”, dont les r´ef´erences sont not´ees en annexes. Soit Ct le prix du call europ´een consid´er´e, o` u K est le prix d’exercice de l’option et n le nombre d’observations du prix de l’actif sous-jacent.

TURNBULL ET WAKEMAN

15

· Z Ct = Et exp(−

¸

T

0

rd dt)S − K/S ≥ K

o` u E t est l’esp´erance conditionnelle sachant le prix de l’actif en t et S =

1 N

N X

Sti

i=1

Pour ´evaluer cette option, il faut donc connaˆıtre la fonction de densit´e de la moyenne S. Or S ´etant une somme de lognormales corr´el´ees, il est en g´en´eral difficile d’´evaluer sa densit´e ; n´eanmoins, on peut plus facilement calculer ses moments. L’algorithme de Turnbull et Wakeman repose alors sur une approximation de la distribution de S par une distribution lognormale dont les deux premiers moments sont cal´es sur ceux de S. Cette approche nous permet par la suite d’´evaluer notre option par la formule ferm´ee de Black-Scholes.

4.2

Approximation de la densit´ e de S

³ On suppose que S est ´egale en loi `a une variable al´eatoire lognormale qu’on notera Y = µ exp σX −

o` uX Ã N (0, 1). De cette condition d’´egalit´e en loi, les deux premiers moments de S sont ´egaux `a ceux de Y. Nous sommes donc amen´es `a calculer les deux premiers moments de S pour d´eterminer les param`etres µ et σ. En utilisant la transform´ee de Laplace,on trouve les deux premiers moments de Y et on a :

E(Y ) = µ 2

2

(1) 2

2

2

E(Y ) = µ exp(−σ )E[exp(2σX)] = µ exp(σ )

(2)

car E [exp(2σX)] = exp(2σ 2 ) 4.2.1

Calcul des deux premiers moments de S

On se r´ef´erera aux annexes pour la d´emonstration de ces r´esultats. On a, apr`es calcul :

E(S) = 2

E(S ) =

·Z ti ¸ N −1 S0 X exp (rd (s) − rf (s))ds N 0 i=0 µZ ti ¸ Z tj Z ti ∧tj n−1 n−1 S02 X X 2 exp (rd (s) − rf (s))ds + (rd (s) − rf (s))ds σ (s)ds n 0 0 0 i=0 j=0

4.2.2

D´ etermination de la loi de Y 2

Nous avons choisi d’approcher la densit´e de S par une loi lognormale de la forme Y = µ exp(σX− σ2 ) o` u X Ã N (0, 1) (cf ci-dessus). Les param`etres µ et σ 2 , qui caract`erisent ainsi exactement la loi de

σ2 2

´ ,

´ ´ ´ ´ RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIV EES PARTIELLES

16

Y, sont alors d´etermin´es de telle sorte que les deux premiers moments de Y co¨ıncident avec les deux moments que nous venons de calculer. Nous devons donc avoir :

E(Y ) = µ = E(S)

(3)

V (Y ) = E(Y 2 ) − E(Y )2 = µ2 exp(σ 2 ) − µ2 = V (S)

(4)

2

ce qui nous donne µ2 exp(σ 2 ) = E(S ) soit à σ

2

= ln

2

E(S ) µ2

!

µ = E(S)

La loi de Y est alors compl`etement caract´eris´ee, ce qui va nous permettre de pricer notre call en calculant l’esp´erance de son payoff actualis´e ; on obtient ainsi : µ Z Ct = exp −

0

T

¶ rd (s)ds [µN (d1) − KN (d2)]

ln( µ )+ 1 σ 2

K 2 avec d1 = et d2 = d1 − σ σ Conclusion : L’avantage de cette m´ethode par rapport `a la m´ethode probabiliste de Monte Carlo est qu’elle est beaucoup plus rapide car ne suppose que deux calculs, `a savoir les deux premiers moments de S. En contrepartie, elle repose sur une approximation fausse consid´erant la densit´e de S lognormale. En effet, mˆeme si on constate pour certains couples, par exemple dans le cas du couple EUR/USD, que ne tenir compte que des deux premiers moments de la loi de S conduit `a des r´esultats tr`es satisfaisants, nous obtenons parfois (comme dans le cas du couple EUR/JPY) des prix diff´erents de ceux donn´es par la premi`ere m´ethode. (L’analyse de ces r´esultats est pr´esent´ee dans la section 7.) Dans la partie suivante, nous allons alors envisager une nouvelle approche qui assimile la moyenne discr`ete `a une moyenne continue. Cette technique consiste `a ´evaluer les options par r´esolution d’´equations aux d´eriv´ees partielles.

5

R´ esolution par ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles

5.1 5.1.1

EDP en dimension 2 ´ etablissement de l’´ equation

En conservant les mˆemes notations que pr´ec´edemment, rappelons les dynamiques des actifs sans risque Sd (actif domestique), Sf (actif ´etranger) et de l’actif risqu´e S.

´ ´ ´ ´ RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIV EES PARTIELLES

dSd Sd dSf Sf dS S

17

= rd dt = rf dt = (rd − rf )dt + σdWtQ

o` u (WtQ )(t≥0) est un mouvement brownien sous la probabilit´e risque neutre Q, probabilit´e sous laquelle les actifs actualis´es sont martingales. Soient ρ0t et ρt , les quantit´es respectives de l’actif sans risque domestique et de l’actif risqu´e, d´etenus par un investisseur sur le march´e. Notons par ailleurs Φ[(St )0≤t≤T ] le payoff d’un call asiatique sur l’actif St , ´evalu´e sur la moyenne de la p´eriode [0, T ] : !+ ÃR T S du u 0 −K Φ[(St )0≤t≤T ] = T En absence d’opportunit´e d’arbitrage, le prix de ce call s’´ecrit : "Ã R T Pt = exp(−rd (T −

t))EtQ

0

Su du −K T

!+ #

En supposant que notre march´e est complet, on peut r´epliquer tout actif contingent par une strat´egie d’investissement autofinanc´ee fond´ee sur les actifs risqu´e et sans risque : ∃(ρ0t , ρt ) ∈ <2 \Pt = ρ0t St0 + ρt St Mais ´etant donn´e que le payoff n’est pas markovien(il d´epend de la moyenne sur la p´eriode), on Rt introduit la variable It = 0 Su du qui va permettre de le rendre markovien. Par application du lemme d’Itˆo, on trouve : ·

¸ · ¸ ∂P ∂P 1 ∂ 2 P 2 2 ∂P ∂P dPt = + S(rd − rf ) + S σ + s dt + Sσ dWtQ ∂t ∂S 2 ∂S 2 ∂I ∂S Par ailleurs, en utilisant le caract`ere autofinanc´e de la strat´egie de r´eplication, on trouve : dPt = (ρ0t St0 rd dt + ρt St rf + ρt St rf )dt + ρt σSt dWtQ et en identifiant les termes des ´equations pr´ec´edentes, on tire l’´equation d´eterministe de Pt qui s’´ecrit sous la forme du probl`eme suivant de Cauchy sur ([0, T ] ∗ <2 ) :

∂t Pt + =S,I P

= rd Π, 0 ≤ t < T

P (T, S, I) = Φ(I)

(5) (6)

´ ´ ´ ´ RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIV EES PARTIELLES

avec

5.1.2

18

1 =S,I = σ 2 S 2 ∂S2 2 + (rd − rf )S∂S + S∂I 2 commentaires

– On constate que l’EDP de dimension 2 satisfaite par le prix du call asiatique fait apparaˆıtre un terme suppl´ementaire qui traduit la d´ependance du payoff en la valeur moyenne de l’actif. – Notons que la pr´esence de ce terme suppl´ementaire fait sortir l’approximation du prix de l’option asiatique du cadre standard de r´esolution des EDP, ce qui n´ecessite un cadre de traitement sp´ecifique comme celui propos´e par ”Zvan et Al” et qui permet de tenir compte de la nature d´eg´en´er´ee de I dans l’op´erateur =S,I .

5.2

EDP en dimension 1

En op´erant le changement de variables suivant : Z I0T

T

= 0

xt = −

Su du − KT

ItT T St

(7) (8)

et par application du lemme d’Itˆo, on trouve que dxt =

−xt σdWtQ

¸ · 1 σ2 dt − (rd − rf − )xt + 2 T

On peut donc montrer que : Pt = St u(t, xt ) exp(−rf t) o` u u est solution de l’´equation diff´erentielle suivante : µ ¶ ∂u 1 ∂u 1 2 2 ∂ 2 u + (rd − rf )x + − σ x = 0, x > 0, t > 0 ∂t T ∂x 2 ∂x2 u(0, x) = 0, x ≥ 0 1 u(t, 0) = (1 − exp(−(rd − rf )T )), t ≥ 0 (rd − rf )T

(9) (10) (11)

Comme le montre le travail de Leli`evre, le probl`eme (9, 10, 11) donne des r´esultats instables lorsque la diffusion (la volatilit´e) est petite. Une m´ethode pour contourner ce probl`eme consiste `a transformer l’´equation d’advection-diffusion en une pure diffusion, c’est `a dire de faire disparaˆıtre le terme convectif

´ ´ ´ ´ RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIV EES PARTIELLES

19

li´e `a la premi`ere d´eriv´ee grˆace `a un changement de variable appropri´e. Pour cela on doit simplement int´egrer l’´equation suivante : (rd − rf )x +

1 y = exp((rd − rf )t), y > 0 T T

(12)

On constate que : – lorsque t = 0, la relation (12)s’´ecrit pour x > 0 et y > 1 : 1 (y − 1) T – lorsque x = 0, on a simplement pour t > 0 et y < 1 : (rd − rf )x =

y = exp(−(rd − rf )T ) Ces consid´erations conduisent aux changements de variable suivants : (t, x) 7→ (Θ ≡ t, y ≡ ((rd − rf )T x + 1) exp(−(rd − rf )t)) avec la condition suppl´ementaire Θ>

1 1 log( ) (rd − rf ) y

ainsi que le changement de la fonction inconnue u(.,.) : u(t, x) ≡ v(τ, y) Suite `a ces transformations, les d´eriv´ees partielles dans l’´equation (9) deviennent : ∂u ∂t ∂u ∂x ∂2u ∂x2

=

∂v ∂v − (rd − rf )y ∂τ ∂y

= (rd − rf )T exp(−(rd − rf )τ )

∂v ∂y

= ((rd − rf )T )2 exp(−2(rd − rf )τ )

∂2v ∂y 2

compte tenu de la relation (9), on a 2 2 1 2 1 2 1 2 2 ∂2u 2∂ v 2∂ v σ x = σ ((r − r )xT exp(−(r − r )τ )) = σ (y − exp(−(r − r )τ )) , d f d f d f 2 ∂x2 2 ∂y 2 2 ∂y 2

et l’´equation d’´evolution de la nouvelle fonction inconnue s’´ecrit : ∂v 1 2 ∂2v 1 1 − σ (y − exp(−rτ ))2 2 = 0, τ > 0, y > 0, τ > log( ) ∂τ 2 ∂y (rd − rf ) y Dans cette nouvelle ´equation, les conditions au bord deviennent :

(13)

´ ´ ´ ´ RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIV EES PARTIELLES

20

– pour τ = 0 et y > 1, la condition initiale prend maintenant 10 la forme v(0, y) = 0 – pour y < 1 et τ =

1 (rd −rf )

µ v

log( y1 ), la condition `a la limite devient :

1 1 log( ), y (rd − rf ) y

¶ = g(y) =

1 (1 − y), 0 < y ≤ 1 (rd − rf )T

. On constate alors que le probl`eme aux limites (9, 10, 11) est pos´e sur un domaine non rectangulaire : ½ ΩT = (τ, y), 0 ≤ τ ≤ T, τ ≥

¾ 1 1 log( ) (rd − rf ) y

dont la fronti`ere contient la courbe d´efinie par : ½µ Γ= τ=

¶ ¾ 1 1 log( ), y , 0 < y ≤ 1 (rd − rf ) y

La discr´etisation de ce probl`eme demande de r´efl´echir sur un maillage en espace-temps qui contient explicitement la courbe de fronti`ere. On sugg`ere le sch´ema de pr´ecision d’ordre deux obtenu grˆace `a un θ-sch´ema en temps `a pas constant et `a pas non uniforme pour la variable y.

5.3

Discr´ etisation en temps

Nous ´ecrivons l’´equation (13) sous la forme ∂v = A(τ ) · (v(τ )) ∂τ avec τ qui varie au cours du temps et y ≥ exp(−rτ ). L’op´erateur A(τ ) est donn´e par : A(τ ) = µ(τ, y)

2 ∂2 σ2 2 ∂ ≡ (y − exp(−rτ )) ∂y 2 2 ∂y 2

(14)

(15)

A pr´esent, on introduit un pas de temps subdivisant notre intervalle [0 ;T] en N intervalles ´egaux [τk ; τk+1 [ associ´es aux instants interm´ediaires τk : T , τk ≡ k∆t , 0 ≤ k ≤ N N Pour trouver des solutions approch´ees, nous utilisons des θ-sch´emas : ∆t =

¤ 1£ 1 (vk+1 − vk ) = A(τk+1 ) · (vk ) ∆t 2

(16)

(17)

qu’on peut ´ecrire autrement sous la forme suivante : (1 − (1 − θ)∆t Ak+1 ) · (vk+1 ) = (1 + θ∆t Ak )v k , O ≤ θ ≤ 1

(18)

´ ´ ´ ´ RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIV EES PARTIELLES

21

et la condition initiale (10) peut s’´ecrire sous la forme suivante : v0 = 0

5.4

Discr´ etisation en espace

Les temps interm´ediaires θk d´efinissent naturellement pour 0 ≤ k ≤ N , des points yN −k sur la courbe limite et l’on pose : yj ≡ exp(−rτN −j ), 0 ≤ j ≤ N. On remarque ´egalement que y0 = exp(−rT ) et yN = 1. On ´etablit par ailleurs la relation suivante :

yj+1 = exp (r∆t ) yj

(19)

Les donn´ees g´eom´etriques introduites ci-dessus conduisent `a une grille cart´esienne (τk , yj ) `a pas constant en temps et `a pas g´eom´etrique en espace, en suivant la relation 19. La condition pour un point discret d’appartenir au domaine s’exprime, compte tenu de la relation pr´ec´edente, sous la forme :

(τk , yj ) ∈ ΩT ⇔ j ≥ N − k

(20)

Les conditions aux limites sur la grille discr`ete sont : – d’une part `a l’instant initial : vj0 = 0, j ≥ 0 – d’autre part sur la courbe limite : k vN −k =

5.5

1 (1 − yN −k ), 0 ≤ k ≤ N (rd − rf )T

Algorithme de calcul de la fonction valeur

On doit dans un premier temps borner l’ensemble des valeurs ponctuelles en espace, de mani`ere `a d´efinir un ensemble fini de variables. On le fait en fixant un entier J qui indique le nombre de points de discr´etisation `a l’instant initial. L’ensemble des points admissibles en espace au pas de temps num´ero k est param´etr´e par des entiers j qui v´erifient la condition : N −k ≤j ≤N +J Par ailleurs, dans un souci de simplicit´e de la mise en oeuvre, on garde ici une progression g´eom´etrique pour l’ensemble des points de la suite (yj ), qui v´erifient donc la relation (19) pour tous les indices j tels que 0 ≤ j ≤ N + J.

´ ´ ´ ´ RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIV EES PARTIELLES

22

Par cons´equent, l’ordre du syst`eme lin´eaire `a r´esoudre est variable en fonction de l’indice du pas de temps. Au fur et `a mesure que le temps discret avance, l’ordre du syst`eme lin´eaire `a r´esoudre passe progressivement de J(`a l’instant initial), `a N + J (` a l’instant final) ; `a l’instant k, on a un syst`eme lin´eaire d’ordre J + k `a r´esoudre. Compte tenu de la relation (14) valable dans le cas d’un espace continu, l’op´erateur discret Ak agit sur les fonctions valeur `a l’aide d’un op´erateur aux diff´erences finies : (

∂2ω k ) ' ∂y 2 j

NX −k+J

ωm ∆kj,m

m=N −k

qui doit ˆetre compatible avec les points existants sur la grille `a l’instant k. En pratique, pour un indice j, on choisit un op´erateur aux diff´erence finies centr´e `a cinq points(voir Annexes ”Evaluation par ´equations aux d´eriv´ees partielles” pour le calcul des coefficiants ∆j,m ).

5.6 5.6.1

Interpolation et interpr´ etation des r´ esultats num´ eriques Interpolation des resultats

Cherchons par exemple `a calculer le prix d’un call asiatique `a la monnaie (x = 1) `a maturit´e T. Une premi`ere difficult´e consiste `a situer la position x = 1 entre deux points yj de la grille. En vertu de la relation (15), nous proc´edons de la mani`ere suivante : nous pla¸cons d’abord le point x = 1 entre deux points xj et xj+1 tels que : 1 1 (yj exp(rT ) − 1) ≤ x = 1 ≤ xj+1 = (yj+1 exp(rT ) − 1) rT rT Puis nous ´evaluons la valeur de u(T, x = 1) `a partir des valeurs calcul´ees uj avec la m´ethode des diff´erences finies. Dans le cas d’interpolation affine, nous utilisons les valeurs uj et uj+1 ainsi que le coefficient d’interpolation naturel associ´e `a la relation pr´ec´edente. Dans le cas d’une interpolation parabolique, nous utilisons le triplet (j-1, j, j+1) ou le triplet (j, j+1, j+2). La derni`ere approximation que nous avons employ´ee prend la forme d’un polynˆome de degr´e 3 ; trois quadruplets sont donc utilis´es : ”`a gauche”, (j − 2, j − 1, j, j + 1), au ”centre”, (j − 1, j, j + 1, j + 2), et ”`a droite” (j, j + 1, j + 2, j + 3). Pour ´evaluer UN (T, x = 1), nous disposons donc de six m´ethodes d’approximation sur la grille qu’on peut combiner par les trois θ-sch´emas les plus utilis´es dans la discr´etisation des EDP (implicite, Crank-Nicholson, explicite). xj =

5.6.2

Interpr´ etation

Dans le cas particulier d’une option asiatique sur le taux de change EUR/USD (reuro = 3.151%, rdollar = 5.531%, σ = 6.850%) en utilisant un maillage de points compos´e de N=250 pas de temps et J=250 points de discr´etisation `a la date initiale, les prix obtenus par les diff´erentes approximations sont expos´es dans le tableau suivant.

´ ´ ´ ´ RESOLUTION PAR EQUATIONS AUX DERIV EES PARTIELLES

23

Fig. 3 – Comparaison des prix pour diff´erentes m´ethodes d’interpolation Dans ce cas, on constate l’apparition d’une incertitude sur les r´esultats num´eriques qui s’accentue particuli`erement en utilisant l’approximation lin´eaire des prix. En effet, pour un θ-sch´ema donn´e, le calcul pr´edit une valeur du prix avec 4 chiffres significatifs qui correspondent au nombre de chiffres identiques pour les 6 m´ethodes d’approximation. Si on ne prend pas en compte l’interpolation affine, (qui utilise peu d’informations pour approximer le prix), les valeurs pr´edites ont une significativit´e qui s’´el`eve au sixi`eme chiffre apr`es la virgule. Cette remarque ´etant faite, nous avons choisi l’approximation cubique centr´ee pour comparer les r´esultats donn´es par les EDP avec ceux obtenus par d’autres approches. Pour choisir le θ-sch´ema `a utiliser dans l’approximation des prix, nous avons trac´e le graphe de convergence des prix dans les trois situations. --E.D.P-Convergence vers le prix de l'option par raffinement du maillage de points

0,0274

Prix

0,0269 0,0264

Explicite

0,0259

Crank-Nicholson

Implicite

0,0254 0,0249

25

50

75

100

150

200

250

300

350

400 450 500 600 Nombre de discrétisations

Fig. 4 – Convergence vers le prix de l’option

` INTRODUCTION D’UN MODELE AVEC TAUX STOCHASTIQUES

24

On observe que la m´ethode de r´esolution par un sch´ema implicite donne des r´esultats moins satisfaisants puisque la convergence vers le prix de l’option est plus lente que dans le cas du sch´ema de Crank-Nicholson ou dans le cas du sch´ema explicite, qui donne les r´esultats les plus performants. D’ailleurs, le graphe ci-dessous confirme ce constat : --E.D.P-Gain de précision par raffinement du maillage de points

Précision

5,00E-03 4,00E-03 3,00E-03

Explicite

2,00E-03

Crank-Nicholson

Implicite

1,00E-03

0,00E+00

75 --> 100

100 --> 150

150 --> 200

200 --> 250

250 --> 300

300 --> 350

350 --> 400

400 --> 450

450 --> 500

550 --> 600

Explicite

1,64E-03 7,90E-04 9,73E-05 4,07E-05 6,31E-05 6,65E-05 5,98E-05 5,31E-05 4,66E-05 8,43E-10

Implicite

4,12E-03 3,24E-03 1,32E-03 6,91E-04 4,75E-04 2,73E-04 1,96E-04 1,24E-04 3,45E-05 2,74E-07

Crank-Nicholson 2,88E-03 2,01E-03 7,06E-04 3,24E-04 1,80E-04 1,07E-04 7,04E-05 4,82E-05 3,45E-05 1,04E-08

Fig. 5 – Gain de pr´ecision par raffinement du maillage de points Nous avons repr´esent´e le gain de pr´ecision apport´e par une augmentation du nombre de points de discr´etisation. Par exemple, dans le cas du sch´ema explicite, lorsque l’on passe de 75 `a 100 points de discr´etisation, nous am´eliorons la pr´ecision de notre prix de 1, 64.10−3 . Cela signifie que si pour deux points cons´ecutifs d’une des courbes, l’am´elioration de la pr´ecision ´evolue peu, nous sommes d´ej` a proches du prix de convergence. Nous remarquons alors que c’est effectivement le sch´ema explicite qui converge le plus rapidement.

6

Introduction d’un mod` ele avec taux stochastiques

L’objectif de cette section est de proposer une alternative au mod`ele de Garman et Kohlhagen qu’on a ´etudi´e jusque-l`a. Il s’agit notamment d’introduire des taux stochastiques, et d’observer l’impact de cette mod´elisation sur les prix . De fa¸con empirique, on constate que sur le march´e, on peut avoir des mouvements de translation, pivotement de la courbe des taux. Le prix d’un z´ero-coupon peut donc varier suite `a un mouvement de la courbe des taux et doit donc en r´ealit´e ˆetre mod´elis´e par un processus stochastique. Ce ” risque de taux ” ne peut `a priori pas ˆetre n´eglig´e, surtout sur des maturit´es longues. Nous allons pr´esenter la mod´elisation utilis´ee pour prendre en compte ce ph´enom`ene et analyser les r´esultats num´eriques en comparaison avec ceux des sections pr´ec´edentes. Pour d´evelopper cette section, nous nous sommes inspir´es des articles ref 8 et ref 9 de la bibliographie)

6.1

Mod´ elisation financi` ere

Diff´erentes approches ont ´et´e d´evelopp´ees. Par exemple, le mod`ele de Vasicek consiste `a consid´erer la courbe des taux comme fonction d’une variable d’´etat qui est le taux court et `a le mod´eliser par un

` INTRODUCTION D’UN MODELE AVEC TAUX STOCHASTIQUES

25

processus de retour `a la moyenne. D’autres approches comme celle pr´esent´ee dans l’aricle de Geman Elkaraoui, (Rochet 95) consistent `a partir des processus de prix des z´ero-coupon B(t,T) et `a les mod´eliser par des processus d’Itˆo avec un drif µ(t, T ) et un vecteur de risque ou de volatilit´e σ(t, T ). Nous allons nous placer dans ce cadre et mod´eliser respectivement les deux processus de prix de z´ero-coupon dans les deux ´economies. Les prix `a la date t des z´ero-coupon de maturit´e T dans les deux ´economies sont not´es respectivement Bd (t, T ) et Bf (t, T ). Les taux courts instantan´es sont not´es rd (t) et rf (t), et le taux de change de (f) vers (d) est not´e S(t) . On suppose que dans les deux ´economies, n sources de bruits ind´ependantes(n ≥ 3) expliquent les perturbations al´eatoires de tous les produits financiers. On notera W P (t) ce brownien multidimensionnel sous la probabilit´e historique P propre `a l’agent et (Ft )(t≥0) , la filtration qu’il engendre. 6.1.1

Dynamiques des processus de prix en absence d’arbitrage

On note : λd (t) et λf (t), les primes de risque dans chaque ´economie,σd (t, T ) et σf (t, T ) les vecteurs de volatilit´e des deux z´ero-coupon. En l’absence d’opportunit´e d’arbitrage, dans chacune des deux ´economies, on peut ´ecrire les relations suivantes. dBd (t, T ) Bd (t, T ) dBf (t, T ) Bf (t, T ) dS(t) S(t)

= rd (t)dt+ < σd (t, T ), dW p (t) + λd dt > = rf (t)dt+ < σf (t, T ), dW p (t) + λf dt > = (rd − rf )dt+ < σs (t, T ), dW p (t) + λd dt >

Le lien entre les deux primes de risques λd et λf s’obtient en traduisant le non arbitrage entre les deux ´economies (d) et (f). 6.1.2

Lien entre primes de risque λd et λf

Bf (t, T ) est le prix du z´ero coupon ´etranger exprim´e en monnaie ´etrang`ere. On exprime que la dynamique du processus Zt = Bf (t, T )S(t) qui correspond au prix exprim´e en devise (d) satisfait au principe de non arbitrage ´enonc´e dans l’´economie (d). Sa dynamique est donc de la forme : rd (t)dt+ < σZ , dW P (t) + λd dt > . Par application du lemme d’Itˆo, on a dZ dS dBf dS dBf = + +< , > Z S Bf S Bf

` INTRODUCTION D’UN MODELE AVEC TAUX STOCHASTIQUES

26

dB

f es calcul nous donne le lien entre les deux primes avec < dS S , Bf >=< σs (t), σf (t, T ) > dt ce qui apr` de risque suivant : λf = λd − σs dt D’autre part, comme on l’a d´ej`a effectu´e pr´ec´edemment, on peut d´efinir une probabilit´e Qd , RT ´equivalente `a P sous laquelle W Qd = W P + 0 λd (s)ds est un mouvement brownien. Sous la probabilit´e Qd (risque neutre domestique), les dynamiques des trois processus s’´ecrivent donc de la fa¸con suivante :

dBd (t) Bd (t) dBf (t, T ) Bf (t, T ) dS(t) S(t)

= rd (t)dt+ < σd (t, T ), W Qd (t) > = [rf (t)− < σf (t), σs (t) >]dt+ < σf (t, T ), W Qd (t) > = (rd − rf )dt+ < σs (t), W Qd (t) >

Sous la probabilit´e Qd (domestique), on a d´ej` a vu que le prix en t d’un actif contingent versant Φ a` la date T s’´ecrit : · µ Z T ¶¸ Qd Pt = E Φ exp − rd (s)ds t

Il est clair que dans le cas de taux stochastiques, le facteur d’actualisation ne peut ˆetre sorti de l’esp´erance permettant de calculer le prix d’un actif contingent comme dans les section pr´ec´edentes et il n’est plus tr`es commode de se placer sous la probabilit´e Qd . Nous allons donc effectuer un changement de num´eraire. 6.1.3

Construction de la probabilit´ e de Pricing : Probabilit´ e Forward Neutre

La technique du changement de num´eraire que nous allons utiliser ici est d´evelopp´ee dans l’article d’El Karaoui, Geman et Rochet (95). On note Ft , le prix `a la date t du forward de change d’´ech´eance T : B (t,T ) Ft = St Bfd (t,T ) . En utilisant les ´equations de diffusion du paragraphe pr´ec´edent, ainsi que les formules d’Itˆo, on montre que, dFt =< σs (t) + σf (t) − σd (t, T ), dW Qd (t) − σd (t, T )dt > Ft . Nous voyons donc que si on arrive `a d´efinir une probabilit´e QT telle que dW Qd (t) − σd (t, T )dt est un QT mouvement brownien, le forward sera martingale sous QT . Une telle probabilit´e QT existe d’apr`es le th´eor`eme de Girsanov, et on a µ Z T ¶ Z T dQT 2 ( ) = ZT = exp − σd (s, T )ds + σd (s, T )dW s dQd \FT 0 0 La probabilit´e ainsi d´efinie est la probabilit´e forward neutre, qui rend martingale les processus de prix forward de n’importe quel actif contingent. Ainsi, si on note Pt , le prix `a la date t d’un actif contingent versant Φ `a la date T dans l’´economie domestique (d), la formule de pricing devient Pt = Bd (t, T )E QT (Φ)

` INTRODUCTION D’UN MODELE AVEC TAUX STOCHASTIQUES

27

. 6.1.4

Application au Pricing d’Options

Application au Pricing d’Options Nous allons d’abord (pour des objectifs de calibration du mod`ele), calculer le prix d’un Call de Change. Prix d’un call de change On a d´ej`a ´etabli dFt =< σs (t) + σf (t, T ) − σd (t, T ), dWQT > Ft et on note le vecteur des volatilit´es du forward d’´ech´eance T : σGK (t, T ) = σs (t) + σf (t, T ) − σd (t, T ) . En int´egrant cette ´equation entre les dates t et T , on obtient : · ¸ Z Z T Bf (t, T ) 1 T 2 ST = St exp − σGK (s, T )ds − σGK (s, T )dW s Bd (t, T ) 2 t t . En supposant la volatilit´e du forward d´eterministe, on conclut que XT suit une loi lognormale et on peut calculer le prix d’un Call de Change dans ce mod`ele, en utilisant la formule de Black Scholes. Ct = St Bf (t, T )N (d1) − KBd (t, T )N (d2) avec

RT 2 St Bf (t,T ) (s, T )ds ln KB + 21 t σGK d (t,T ) qR d1 = T 2 t σGK (s, T )ds

et

s Z d2 = d1 − t

T

2 (s, T )ds σGK

Remarques sur la calibration du mod` ele : On note de fa¸con g´en´erale ρxy , le coefficient de X ,σY > corr´elation instantan´e entre les prix de deux processus de prix X et Y (ρxy = <σ kσX kkσY ). Le prix de march´e `a la date 0 d’un Call de change de maturit´e T permet donc de calibrer le mod`ele. La volatilit´e moyenne implicite qui en est d´eduite est la quantit´e : Z t Z t 2 σGK (u, t)du = σs2 (u, t) + σf2 (u, t) + σd2 (u, t) 0

0

+ 2ρsf kσs (u))kk(σf (u, t))k − 2ρsd k(σs (u))kk(σd (u, t))k + 2ρf d k(σf (u, t))kk(σd (u, t))kdu

` INTRODUCTION D’UN MODELE AVEC TAUX STOCHASTIQUES

28

Cette ´equation donne le lien entre la volatilit´e implicite(observ´ee) et la volatilit´e du spot qui servira notamment dans le calcul du prix de l’option asiatique par la m´ethode de MonteCarlo. Il est `a noter que la volatilit´e implicite inclut la volatilit´e des trois processus de prix ainsi que leur corr´elation. Prix de l’Option Asiatique Il reste donc `a pr´eciser la dynamique de St sous la probabilit´e Forward neutre, pour pouvoir appliquer la m´ethode de MonteCarlo. En partant de la relation dFt =< σGK (t, T )dW QT >=< σs (t) + σf (t, T ) − σd (t, T )dW QT , Ft on d´eduit que

· ¸ Z Z T Bf (0, T ) Bd (t, T ) 1 T 2 St = S0 exp − σGK (s, T )ds − σGK (s, T )dW s Bf (t, T ) Bd (0, T ) 2 t t B (t,T )

Bd (t,T ) et Bff (0,T ) , autrement dit les dynamiques des Il faut maintenant pouvoir exprimer les ratio B d (0,T ) z´ero-coupon sous la probabilit´e QT . Pour ´etablir ces ´equations, on utilise Bd (t, T ) et Bf (t, T ) comme num´eraires et on montre par application du lemme d’Itˆo qu’`a t’ fix´e, les z´ero-coupon domestique et ´etranger d’´ech´eance t’ ont pour dynamique dans ces num´eraires :

dBd (t, t0 ) Bd (t, T ) dBf (t, t0 ) Bf (t, T )

=

Bd (t, t0 ) < σd (t, t0 ) − σd (t, T ), dW QT > Bd (t, T )

= < σf (t, T ) − σf (t, t0 ), σGK (t, T ) > dt+ < σf (t, T ) − σf (t, t0 ), dW QT >

On int`egre ensuite ces ´equations entre les dates 0 et t , puis on pose t’=t, ce qui permet d’exprimer Bd (t, T ) et Bf (t, T ) en fonction de Bf (0, t) et Bd (0, t). L’avantage est que ces quantit´es sont connues `a partir de la courbe des taux initiale. La dynamique du spot sous la probabilit´e forward neutre s’´ecrit finalement : · ¸ Z Bf (0, t) 1 t exp − (σs (u) + σf (u, T ) − σd (u, T ))2 du Bd (0, t) 2 0 · ¸ Z t 1 exp − < (σs (u) + σf (u, T ) − σd (u, T )), σd (u, t) − σd (u, T ) > du 2 0 ·Z t ¸ Qt exp < (σs (u) + σf (u, T ) − σd (u, T )), dW (u) > du

St = S0

0

Remarque : Cette ´equation de diffuson du spot permettra d’effectuer l epricing par simulations Monte Carlo. Notons ´egalement que lorsque σd (u, t) = 0 et σf (u, t) = 0, on retrouve la dynamique ´etablie dans le cadre du mod`ele de Garman Kohlhagen avec taux d´eterministes. Simulation de MonteCarlo : La simulation n´ecessite de pouvoir g´en´erer de nouvelles trajectoires de spot avec taux stochastiques, l’´equation de diffusion du spot ´etant celle obtenue ci-dessus. La structure de volatilit´e prise pour les z´ero-coupon est la suivante : σd (t, T ) = [1 − exp(−αd (T − t))] Ud

` INTRODUCTION D’UN MODELE AVEC TAUX STOCHASTIQUES

29

o` u Ud est un vecteur de <3 σf (t, T ) = [1 − exp(−αf (T − t))] Uf o` u Uf est un vecteur de <3 . Les normes de Ud et Uf , ainsi que les valeurs de αd et αf sont interpr´et´ees comme des facteurs permettant de mod´eliser les d´eformations de la courbe de taux en niveau et en pente. D’autre part, les produits scalaires entre vecteurs de volatilit´e intervenant dans la dynamique de St , sont interpr´et´es `a l’aide de la corr´elation. Les corr´elations entre les diff´erents processus ρf d , ρf s , ρsd , ainsi que les normes des vecteurs Ud et Uf sont donc les param`etres variables de la simulation. Enfin, σS (t) qui est la derni`ere grandeur non encore sp´ecifi´ee, est calcul´ee en utilisant l’´equation ´etablie dans la section pr´ec´edente donnant le lien entre volatilit´e implicite σGK (t, T ) observable sur le march´e (celle du forward de change) , les autres volatilit´es σd (t, T ), σf (t, T ), et les termes de corr´elation. Les simulations ont ´et´e effectu´ees pour certains jeux de param`etres et sont pr´esent´es dans la section suivante.

Analyse des r´esultats

7

30

Analyse des r´ esultats

Nous nou ssomes d’abord plac´es dans le cadre du mod`ele de Garman et Kohlhagen et avons impl´ement´e trois m´ethodes de pricing (pricing par formule ferm´ee d´erivant de l’algorithme de Turnbull et Wakeman, m´ethode de Monte Carlo et r´esolution par ´equations aux d´eriv´ees partielles). Ensuite nous avons prolong´e notre ´etude en ajoutant un un mod`ele de taux stochastiques. Notre objectif ´etait alors de comparer l’efficacit´e et le temps de calcul de ces diff´erentes m´ethodes. Ainsi, pour rendre compte de leur performance , nous avons trac´e les graphes de densit´e et de prix obtenus. On se r´ef`erera aux annexes pour l’observation de ces graphes. Leur ´etude nous permet de comparer d’une part, les r´esultats d’une m´ethode selon les param`etres choisis (comme le nombre de trajectoires pour les simulations Monte Carlo, le nombre de dates servant `a calculer la moyenne des cours de change ou encore le nombre de points de discr´etisation pour la r´esolution par EDP), d’autre part, l’efficience des unes par rapport aux autres, compte tenu de leurs contraintes (hypoth`eses de base ou temps de calcul). Int´eressons-nous dans un premier temps aux graphes de prix (figures 6, 7, 8, 9 en annexes). – Les graphes 6 et 7 comparent les prix obtenus par EDP et par simulations de Monte Carlo pour des nombres de dates (pour le calcul de la moyenne) diff´erents ( respectivement 12 dates et 50 dates) : on constate que plus le nombre de dates augmente, plus les prix Monte Carlo se rapprochent des prix EDP. Cette remarque va dans le sens de l’hypoth`ese de r´esolution par EDP qui consiste `a assimiler moyenne discr`ete te moyenne continue. D’ailleurs, nous pouvons constater qu’avec seulement 50 dates l’´ecart de prix entre les deux m´ethodes est de l’ordre de 10−4 . – En r´ealisant les graphes 8 et 9, nous avons tent´e de comparer l’approche de Monte Carlo avec 50 dates, aux deux autres approches. On remarque alors qu’`a l’instar de la m´ethode par EDP, l’´evaluation d’options par le mod`ele de Turnbull et Wakeman donne les mˆemes prix (ou du moins des ´ecarts du mˆeme ordre de grandeur) que la m´ethode de Monte Carlo pour le couple de devises EURO/USD. Cette observation aurait pu nous amener `a retenir la m´ethode d’´evaluation par formule ferm´ee de Turnbull et Wakeman qui est beaucoup plus rapide que les deux autres (elle est presque instantan´ee alors que les autres demandent plusieurs heures de temps de calcul, `a savoir `a peu pr`es 6 heures pour des simulations Monte Carlo `a un million de trajectoires antith´etiques et 3h30 pour la r´esolution par EDP avec 600 points de discr´etisation du temps et de l’espace). Cependant, on a par ailleurs constat´e que pour certains couples de devises (comme le couple EURO/JPY cf figure 10 en annexes), les prix donn´es par cette approximation n’´etaient pas exacts. D’autre part, dans la mesure o` u c’est la densit´e de notre moyenne qui est `a la base de tout calcul de prix d’options, nous avons ´etudi´e les diff´erenes fonctions de densit´e obtenues par chaque approche. La figure 11 des annexes donne trois courbes de densit´es Monte Carlo (12 dates, 24 dates et 50 dates) et une courbe de densit´e EDP. Comme on avait pu le constater pour les prix, on observe qu’avec

Analyse des r´esultats

31

l’accroissement du nombre de dates servant `a calculer la moyenne du cours de change, la densit´e Monte Carlo se rapproche de la densit´e EDP. Cette remarque tend donc `a l´egitimer les r´esultats obtenus puisque la r´esolution par EDP utilise une moyenne continue. Sur le graphe de la figure 14, on constate aussi que les densit´es Monte Carlo 50 dates et EDP sont relativement proches. De mˆeme (cf FIG 15), les densit´es obtenues par l’algorithme de Turnbull et Wakeman et Monte Carlo avec taux stochastiques sont tr`es proches. Enfin, nous avons ´egalement ´etudi´e l’impact de la volatilite des taux d’int´erˆet sur les prix en comparant les prix Monte Carlo ou Turnbull et Wakman avec taux d´eterministes et les prix Monte Carlo avec taux stochastiques. Pour cette ´etude, nous avons consid´er´e deux maturit´es : une maturit´e courte de 6 mois et une maturit´e longue de 6 ans. On constate alors (cf figures 11 et12 ) que pour des options de maturit´e courte, l’introduction d’al´eas sur les taux d’int´erˆet influence peu les prix d’options. A l’inverse, dans le cas des maturit´es longues, les prix sont beaucoup plus ´elev´es. Ce r´esultat nous semble coh´erent dans la mesure o` u on introduit un al´ea suppl´ementaire li´e aux taux qui peut aussi bien faire augmenter le cours de l’actif sous-jacent, que le faire fortement diminuer. Mais alors que dans le premier cas, le gain peut ˆetre tr`es ´elev´e dans le cas d’un call), dans le second cas, la perte se limite `a la prime. Par ailleurs, cet al´ea sur les taux a beaucoup plus de chances d’influer sur le cours des actifs, donc sur le prix des options, si la maturit´e de l’option est ´elev´ee.

CONCLUSION

32

Conclusion En conclusion, nous avons impl´ement´e trois m´ethodes de pricing des options asitiques de change en nous fondant sur le mod`ele de Garman et Kohlhagen. La premi`ere approche, l’algorithme de Turnbull et Wakeman, a l’avantage d’ˆetre extrˆemement rapide, mais repose sur une hypoth`ese fausse puisque ce mod`ele suppose lognormale la densit´e d’une moyenne de varibles lognormales corr´el´ees. Mˆeme si elle nous a fourni des r´esultats satisfaisants pour certains prix d’options, elle donne parfois des r´esultats peu fiables. Nous avons alors impl´ement´e une technique plus robuste mais beaucoup plus longue en temps de calcul, `a savoir la technique des simulations de Monte Carlo. Ce proc´ed´e apporte effectivement des r´esultats coh´erents mais pour cela, il suppose la simulation d’un million de trajectoires de cours du spot, soit pr`es de 6 heures de temps de calcul. Enfin, la derni`ere approche est une m´ethode de pricing de r´esolution par ´equations aux d´eriv´ees partielles ; elle est fond´ee sur une hypoth`ese moins contraignante que le mod`ele de Turnbull et Wakeman : elle consiste `a assimiler la moyenne discr`ete pour le calcul du payoff `a une moyenne continue. Dans une derni`ere partie, nous avons finalement introduit un mod`ele de taux stochastiques pour tenir compte du risque de taux et nous avons alors mis en ´evidence l’impact de cet al´ea sur les taux pour les options `a maturit´e longue uniquement.

ANNEXES

A A.1

ANNEXES Graphes de Prix

Fig. 6 – Comparaison des prix Monte Carlo avec 12 dates et prix EDP

Fig. 7 – Comparaison des prix Monte Carlo avec 50 dates et prix EDP

33

ANNEXES

34

Fig. 8 – Comparaison des prix Monte Carlo et des prix par EDP

Fig. 9 – Comparaison des prix Monte Carlo et des prix Turnbull et Wakeman

ANNEXES

35

Fig. 10 – Comparaison des prix Monte Carlo et des prix Turnbull et Wakeman pour le couple EURO/JPY

ANNEXES

36

Fig. 11 – Comparaison des prix Monte Carlo avec taux d´eterministes et taux stochastiques `a maturit´e courte

Fig. 12 – Comparaison des prix Monte Carlo avec taux d´eterministes et taux stochastiques `a maturit´e longue

ANNEXES

A.2

Graphes de densit´ e

Fig. 13 – Comparaison des densit´es EDP et Monte Carlo

37

ANNEXES

Fig. 14 – Comparaison des densit´es Monte Carlo 50 dates et EDP

38

ANNEXES

39

Fig. 15 – Comparaison des densit´es Turnbull et Wakeman et Monte Carlo avec taux stochastiques `a maturit´e courte

A.3 A.3.1

Turnbull et Wakeman d´ emonstration du cacul des deux premiers moments de S

On rappelle l’´equation de St ´etablie pr´ec´edemment : ¸ ·Z t Z t Z 1 t 2 σ(s)dW s (rd (s) − rf (s))ds − σ (s)ds + St = S0 exp 2 0 0 0 Posons : ·Z Ft = exp

0

t

1 (rd (s) − rf (s))ds − 2

Z

t

¸ σ (s)ds 2

0

Alors on a : ·Z St = S0 Ft exp On sait de plus que :

Z

t

t

¸ σ(s)dW s

0

µ Z t ¶ 2 σ(s)dW s à N 0, σ (s)ds

0

0

N (0, v 2 ),

Or si X Ã la transform´ee de Laplace nous permet de d´eterminer les moments d’ordre k de Y = exp(X) ; en effet, on a : · ¸ k2 v2 E(Y ) = exp km + 2 k

ANNEXES

40

Donc

·

µZ

¶¸ · Z t ¸ 1 2 σ(s)dW s = exp σ (s)ds 2 0

t

E exp 0

et finalement ·Z E(St ) = S0 exp

0

t

¸ (rd (s) − rf (s))ds)

Nous pouvons d´esormais calculer l’esp´erance de la moyenne du prix de notre sous-jacent. En effet, puisque N −1 1 X S= Sti N i=0

on a

N −1 1 X E(S) = E(Sti ) N i=0

soit E(S) =

·Z ti ¸ N −1 S0 X exp (rd (s) − rf (s))ds N 0 i=0

2

Nous devons `a pr´esent calculer le moment d’ordre 2 de S, E[S ] 2

N −1 X

1 N

En d´eveloppant S , sachant que S =  2

S =

N −1 X

1  N2

Sti , on obtient :

i=0

i=0

St2i + 2

N −1 j≤N X X−1 i=0

 Sti Stj 

j>i

On a d’apr`es les calculs pr´ec´edents :

E(St2i ) soit

=

S02 exp

· Z 2

ti

0

¸ · Z rd (s) − rf (s)ds exp −

ti

¸ µ · Z θ (s)ds E exp 2

0

· Z E(St2i ) = S02 exp 2

0

ti

0

ti

¸ · Z θ2 (s)ds exp 2

0

ti

¸¶ θ(s)dW s

ti

¸ θ2 (s)ds

0

¸ · Z rd (s) − rf (s)ds exp −

· Z 2 2 E(Sti ) = S0 exp 2

ti

2

¸ ·Z rd (s) − rf (s)ds exp

0

ti

¸ 2 θ (s)ds

0

De plus, E(Sti Stj ) =

S02 exp

· Z 2 0

ti

¸ · Z r2 (d) − rf (s)ds exp 2

0

tj

¸ rd (s) − rf (s)ds

ANNEXES

41 ¸ · ¸ Z Z 1 ti 2 1 tj 2 exp − θ (s)ds exp − θ (s)ds 2 0 2 0 · · Z ti ¸¸ Z tj E exp 2 θ(s)dW s + θ(s)dW s ·

0

Z

ti

Z

tj

ti

Or les variables al´eatoires θ(s)dW s et θ(s)dW s sont ind´ependantes, donc la variable 0 Z tj Z ttii al´eatoire Y = θ(s)dW s + 2 θ(s)dW s est normale. ti

0

Ses deux premiers moments sont : – E(Y ) = 0

Z

– V (Y ) = 4

Z

ti

2

tj

θ (s)ds + 0

θ2 (s)ds

ti

Par la transform´ee de Laplace, on en d´eduit · Z E(exp(Y )) = exp 2 0

ti

1 θ (s)ds + 2 2

Z

tj

¸ θ (s)ds 2

ti

d’o` u l’on tire, apr`es calcul : ·Z E(Sti Stj ) =

S02 exp

0

ti

¸ ·Z rd (s) − rf (s)ds exp

0

tj

¸ ·Z rd (s) − rf (s)ds exp

ti

¸ θ (s)ds 2

0

Donc : ·Z ti ¸ N −1 S0 X exp (rd (s) − rf (s))ds E(S) = N 0 i=0 µZ ti ¸ Z tj Z ti ∧tj n−1 n−1 S02 X X 2 2 E(S ) = exp (rd (s) − rf (s))ds + (rd (s) − rf (s))ds σ (s)ds n 0 0 0 i=0 j=0

A.4

Evaluation par ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles

A.4.1

Algorithme de calculde la fonction valeur

On d´esigne par j le num´ero du point courant et on suppose que les points yn utilis´es pour l’approximation de la d´eriv´ee seconde sont bien d´efinis, ainsi que les valeurs un du champ U. On pose yk,l = yl − yk L’approximation centr´ee `a cinq points se pr´esente sous la forme d’un sch´ema num´erique du type :

ANNEXES

42

j+2 X ∂2u (yj ) ≈ ∆j,m um ∂y 2 m=j−2

Apr`es un calcul ´el´ementaire, on obtient : ∆j,j−2 = 2

yj,j+1 yj,j+2 + yj,j+2 yj,j−1 + yj,j−1 yj,j+1 yj−2,j−1 yj−2,j yj−2,j+1 yj−2,j+2

∆j,j−1 = −2 ∆j,j = 2

yj,j+1 yj,j+2 + yj,j+2 yj,j−2 + yj,j−2 yj,j+1 yj−2,j−1 yj−1,j yj−1,j+1 yj−1,j+2

yj,j−2 yj,j−1 + yj,j+1 yj,j+2 + (yj,j−2 + yj,j−1 )(yj,j+1 + yj,j+2 ) yj−2,j yj−1,j yj,j+1 yj,j+2

∆j,j+1 = −2 ∆j,j+2 = 2

yj,j−1 yj,j+2 + yj,j+2 yj,j−2 + yj,j−2 yj,j−1 (yj−2,j+1 yj−1,j+1 )yj,j+1 yj+1,j+2

yj,j−1 yj,j+1 + yj,j+1 yj,j−2 + (yj,j−2 yj,j−1 ) (yj−2,j+2 yj−1,j+2 )yj,j+2 yj+1,j+2

L’approximation d´ecentr´ee `a droite `a cinq points que nous avons utilis´ee s’´ecrit : j+3 X ∂2u (y ) ≈ ∆j,m um j ∂y 2 m=j−1

Le calcul des coefficiants ∆ conduit aux valeurs suivantes : ∆j,j−1 = 2 ∆j,j = −2

yj,j+1 yj,j+2 + yj,j+2 yj,j+3 + yj,j+3 yj,j+1 yj−1,j yj−1,j+1 yj−1,j+2 yj−1,j+3

yj,j−1 yj,j+3 + yj,j+3 yj,j+1 + (yj,j−1 + yj,j+3 )(yj,j+3 + yj,j+2 ) yj−1,j yj,j+1 yj,j+2 yj,j+3

∆j,j+1 = 2 ∆j,j+2 = −2 ∆j,j+3 = 2

yj,j−1 yj,j+2 + yj,j+2 yj,j+3 + yj,j+3 yj,j−1 (yj−1,j+2 yj,j+2 )yj+1,j+2 yj+2,j+3 yj,j−1 yj,j+1 + yj,j+1 yj,j+3 + (yj,j+3 yj,j−1 ) (yj−1,j+2 yj,j+2 )yj+1,j+2 yj+2,j+3

yj,j−1 yj,j+1 + yj,j+1 yj,j+2 + (yj,j+2 yj,j−1 ) (yj−1,j+3 yj,j+3 )yj+1,j+3 yj+2,j+3

L’approximation des points `a droite du domaine d’´etude utilis´ee se fonde sur une approximation `a quatre points et s’´ecrit sous la forme : j X ∂2u ∆j,m um (yj ) ≈ ∂y 2 m=j−3

ANNEXES

43

avec ∆j,j−3 = 2

yj−2,j yj−1,j yj−3,j−2 yj−3,j−1 (yj−3,j )2

∆j,j−2 = −2 ∆j,j−1 = 2

∆j,j = −2

yj−3,j yj−1,j yj−3,j−2 yj−2,j−1 (yj−3,j )2

yj−3,j yj−2,j yj−3,j−1 yj−2,j−1 (yj−1,j )2

2 2 2 2 2 2 + yj−3,j yj−2,j yj−1,j (yj−3,j + yj−2,j + yj−1,j ) yj−3,j + yj−1,j yj−1,j + yj−2,j yj−2,j yj−3,j 2 2 2 yj−2,j yj−3,j yj−1,j

La derni`ere d´eriver `a approximer concerne les avant-derniers points du domaine d’´etude. l`a aussi, on utilise une approximation `a quatre points : j+1 X ∂2u (yj ) ≈ ∆j,m um ∂y 2 m=j−2

avec

∆j,j = −2

∆j,j−2 = −2

yj,j+1 (3yj+1,j − 2yj+1,j−1 ) yj−2,j−1 yj−2,j (yj−2,j+1 )2

∆j,j−1 = −2

yj,j+1 (3yj+1,j − 2yj+1,j−2 ) yj−2,j−1 yj−1,j (yj,j+1 )2

2 6yj+1,j − 3(yj+1,j−2 + yj+1,j−1 )yj+1,j + yj+1,j−2 yj+1,j−1 2 yj−2,j yj−1,j yj,j+1

∆j,j+1 = −2 + −

3 3(yj+1,j−2 + yj+1,j−1 )yj+1,j + (yj+1,j−2 yj+1,j−1 )2 2 2 2 yj−2,j+1 yj−1,j+1 yj,j+1

2 2 2 yj+1,j−2 yj+1,j−1 − 2(yj+1,j−2 + yj+1,j )(yj+1,j ) 2 2 2 yj−2,j+1 yj−1,j+1 yj,j+1

2yj+1,j−2 yj+1,j−1 yj+1,j (yj+1,j−2 + yj+1,j−1 ) 2 2 2 yj−2,j+1 yj−1,j+1 yj,j+1

´ ERENCES ´ REF

44

R´ ef´ erences [1] John HULL : Options, futures et autres actifs d´eriv´es, Pearson, 2004 [2] Bruno BOUCHARD : Polycopi´e Cours ENSAE 3´eme ann´ee : Evaluation d’actifs financiers par absence d’opportunit´e d ’ arbitrage [3] GARMAN et KOHLHAGEN : Foreign Currency Option Values. J. International Money and Finance 2, 231-237,1983 [4] Makoto MATSUMOTO et Takuji NISHIRUMA : http ://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/, 1997 [5] TURNBULL et WAKEMAN : A Quick Algorithm for pricing european Asian Options. Journal of Financial and Quantitative Analysis 26, 1992 (P377-389) [6] Bruno BOUCHARD : Polycopi´e Cours ENSAE 2`eme ann´ee : Methodes de MonteCarlo [7] Lionel MARTELLINI, Philippe PRIAULET : Produits de taux d’int´erˆet, Economica, 2004 [8] EL KARAOUI, GEMAN et ROCHET :Changes of numeraire,changes of probability measures and options pricing, 1995 [9] Klaus SANDMAN : Pricing of Asian Exchange Rate Options under stochastic Rates as a sum of Options. Finance and Stochastic Manuscripts, 1997 [10] Julien GAUBERT et David RUSO : Pricing et Couverture des Options Asitiques, 2004 [11] Tony LELIEVRE et Fran¸cois DUBOIS :Calcul d”terministe du prix des options asiatiques, 2004 [12] ROGERS et Z.SHI : The value of an asian option [13] S.CREPEY : Computational finance, 2007