διανύσματα
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View διανύσματα as PDF for free.
More details
- Words: 1,016
- Pages: 22
1. Διανύσματα
H έννοια. Πρόσθεση και αφαίρεση. Ανάλυση. Συνισταμένη. Συνιστώσες.
2. Η έννοια.
Η λέξη διάνυσμα έχει την ρίζα της στο ρήμα διανύω. Διανύω, διάνυσα, Δ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Προχωρώ, μετατοπίζομαι από μια θέση σε μια άλλη.
3. Η έννοια.
Κάθε διάνυσμα έχει αρχή και τέλος.
.
Όχι απλώς δύο άκρα, όπως το ευθύγραμμο τμήμα
Α
Β
4. Το μέτρο.
Μια μετατόπιση είναι «μικρή» ενώ μια άλλη «μεγάλη».
Κάθε διάνυσμα έχει μέγεθος, «μέτρο»
5. Το μήκος του «βέλους».
Το «Μέτρο» ενός διανύσματος δείχνει πόσες φορές πιο μεγάλο ή πιο μικρό είναι αυτή από την μονάδα. Σε ένα τετραγωνισμένο χαρτί, το μέτρο ενός διανύσματος αντιστοιχεί στο μήκος του «βέλους» με το οποίο το απεικονίζουμε.
1 2 5
Το μήκος της πλευράς του τετραγωνικού πλέγματος στο παράδειγμα του σχήματος κάτω, αντιστοιχεί σε μια μονάδα μήκους
6. Κατεύθυνση Το διάνυσμα δεν έχει μόνο μέγεθος, δηλαδή δεν έχει μόνο μέτρο.
Έχει αρχή και τέλος,δηλαδή κατεύθυνση. Η κατεύθυνση του διανύσματος συμπεριλαμβάνει δύο στοιχεία. Την διεύθυνση, την ευθεία δηλαδή πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα
(Η διεύθυνση λέγεται και φορέας του διανύσματος)
… και την φορά με την οποία «κινούμαστε» πάνω στην ευθεία αυτή. Το «βέλος» του διανύσματος δείχνει την κατεύθυνση του.
7. Ισα διανύσματα
Τρία ίσα διανύσματα. (ίσα μέτρα ίδια κατεύθυνση)
Τρία ίσα μεταξύ τους διανύσματα. (όχι όμως ίσα με τα πρώτα)
Ακόμα τρία ίσα μεταξύ τους διανύσματα. (όχι όμως ίσα με τα προηγούμενα)
Για να είναι ίσα δύο ή περισσότερα διανύσματα, δεν αρκεί να έχουν ίσα μέτρα αλλά και την ίδια κατεύθυνση.
8. Πάλι ίσα διανύσματα.
Ένα κανονικό εξάγωνο. Δύο ίσα διανύσματα. (ίσα μέτρα ίδια κατεύθυνση)
Άλλα δύο ίσα διανύσματα. Περισσότερα ίσα διανύσματα.
9. Αντίθετα.
Τρία ίσα διανύσματα. (ίσα μέτρα ίδια κατεύθυνση)
Τρία αντίθετα με τα προηγούμενα διανύσματα. (ίσα μέτρα και αντίθετη κατεύθυνση)
Για να είναι αντίθετα δύο ή περισσότερα διανύσματα, πρέπει να έχουν ίσα μέτρα αλλά αντίθετη κατεύθυνση.
10. Πάλι αντίθετα.
Αντίθετα διανύσματα. (ίσα μέτρα, αντίθετη κατεύθυνση)
Αντίθετα διανύσματα. (ίσα μέτρα, αντίθετη κατεύθυνση)
11. Πρόσθεση.
Θέλουμε να βοηθήσουμε το «φίλο μας» που έχει δέσει τα μάτια του με το μαύρο μαντήλι.
Πρέπει να βρει τον κρυμμένο θησαυρό που βρίσκεται στο σημείο Γ, κάνοντας δύο μετατοπίσεις.
Του λέμε λοιπόν.
Προχώρα 5 βήματα δεξιά. Τώρα προχώρα άλλα 4 βήματα δεξιά.
Θα μπορούσε φυσικά να βρει ον θησαυρό μετακινούμενος 9 βήματα δεξιά μια και έξω. Με άλλα λόγια ΑΒ+ΒΓ=ΑΓ
Α
Β
Γ
12. Πάλι πρόσθεση.
Θέλουμε να βοηθήσουμε το «φίλο μας» που έχει δέσει τα μάτια του με το μαύρο μαντήλι.
Πρέπει να βρει τον κρυμμένο θησαυρό που βρίσκεται στο σημείο Γ, κάνοντας δύο μετατοπίσεις.
Του λέμε λοιπόν.
Προχώρα 8 βήματα δεξιά. Τώρα προχώρα άλλα 6 βήματα προς τα πάνω.
Θα μπορούσε φυσικά να βρει ον θησαυρό μετακινούμενος10 βήματα * από το Α στο Γ μια και έξω. Με άλλα λόγια ΑΒ+ΒΓ=ΑΓ
*
10 βήματα γιατί η ΑΓ είναι υποτείνουσα του ΑΒΓ και 102=82+62
Γ
Α
Β
13. Συνολική μετατόπιση.
Αρχική θέση. Πρώτη μετατόπιση. Δεύτερη μετατόπιση. Συνολική μετατόπιση (άθροισμα – συνισταμένη)
14. Αρχική – τελική θέση.
Ένα διάνυσμα. Άλλο ένα διάνυσμα διαδοχικό. (αρχίζει στο τέλος του πρώτου)
Το άθροισμα τους.( αρχίζει από την αρχή του πρώτου και τελειώνει στο τέλος του δεύτερου)
15. Πολλά διανύσματα.
Πολλά διαδοχικά διανύσματα. (το κάθε ένα αρχίζει από το τέλος του πρώτου)
Το άθροισμα τους.( Αρχή τέλος)
16. Διαφορετικοί δρόμοι.
Από το Α στο Β υπάρχουν άπειρες διαδρομές. (από
Α
διαδοχικές μετατοπίσειςδιανύσματα)
Όλες όμως καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα. (έχουν το ίδιο άθροισμα)
Β
17. Αφαίρεση.
Θέλουμε πάλι να βοηθήσουμε το «φίλο μας» να βρει τον κρυμμένο θησαυρό που βρίσκεται στο σημείο Β
Κατά λάθος του λέμε:
Προχώρα 9 βήματα δεξιά. (διάνυσμα ΑΓ)
Για να διορθώσουμε την κατάσταση του λέμε:
Αφαίρεσε 4 βήματα (διάνυσμα ΒΓ)
Ο φίλος μας πηγαίνει από το Γ στο Β.
Προσθέτει στο ΑΓ την μετακίνηση ΓΒ που είναι αντίθετη από την ΒΓ,
Η αφαίρεση έγινε πρόσθεση του αντιθέτου:
ΑΓ-ΒΓ=ΑΓ+(-ΒΓ)=ΑΓ+ΓΒ=ΑΒ
Α
Β
Γ
18. Αφαίρεση.
Θέλουμε πάλι να βοηθήσουμε το «φίλο μας» να βρει τον κρυμμένο θησαυρό που βρίσκεται στο σημείο Β
Κατά λάθος τον οδηγήσαμε από το Α στο Γ: (διάνυσμα ΑΓ)
Για να διορθώσουμε την κατάσταση του λέμε:
Είσαι 3 βήματα πιο πάνω. Αφαίρεσε τα! (διάνυσμα ΒΓ)
Γ
Ο φίλος Προσθέτει στο ΑΓ την
μετακίνηση ΓΒ που είναι αντίθετη από την ΓΔ.
Η αφαίρεση έγινε πρόσθεση του αντιθέτου:
ΑΓ-ΓΔ=ΑΓ+(-ΓΔ)=ΑΓ+ΓΒ=ΑΒ
Α
Β
19. Πρόσθεση, 1ος τρόπος.
Αν τα διανύσματα δεν είναι διαδοχικά τα κάνω εγώ! Με παράλληλη μεταφορά. Το άθροισμα είναι το διάνυσμα που ενώνει ΑΡΧΗ και ΤΕΛΟΣ. Το μέτρο του αθροίσματος υπολογίζεται με τις γεωμετρικές ιδιότητες του σχήματος. Στο παράδειγμά μας, με το πυθαγόρειο θεώρημα. ΑΓ2=ΑΒ2+ΒΓ2
Γ
Α
Β
20. Αφαίρεση, 2 τρόποι. Ας κάνω την αφαίρεση α-β Αφού τα διανύσματα δεν έχουν κοινή αρχή, τα κάνω να έχουν! Με παράλληλη μεταφορά. Προσθέτω το αντίθετο!
Δηλαδή η διαφορά του α-β είναι το διάνυσμα γ. Το οποίο όμως μεταφέρεται παράλληλα … … έτσι που να ενώνει το ΤΕΛΟΣ του β με το ΤΕΛΟΣ του α.
γ β α
γ -β
γ = α-β
21. Πρόσθεση-Αφαίρεση.
Δύο διανύσματα που έχουν κοινή αρχή, και σχηματίζω το παραλληλόγραμμο που ορίζουν.
Αν δεν είναι τα κάνω , όπως είδαμε με παράλληλη μεταφορά.
Το άθροισμα τους είναι η ενδιάμεση διαγώνιος του παραλληλογράμμου.
Η διαφορά τους είναι η διαγώνιος που ενώνει το τέλος αφαιρετέου με το τέλος του μειωτέου.
α-β
α
β
α+β
Ι.Μιχαλόπουλος
Επίλογος.
Έφτασες στο τέλος αυτής της παρουσίασης. Ελπίζω να σε βοήθησε!
Γύρισε πάλι στο σχολικό σου βιβλίο, ίσως δεν το θεωρείς ότι καλύτερο… …αλλά βρίσκεται πάντα εκεί όταν θέλεις να το συμβουλευτείς. Προσπάθησε να λύσεις τις ασκήσεις του, μην εγκαταλείπεις την προσπάθεια όταν δυσκολεύεσαι. Συνέχισε να προσπαθείς.
H έννοια. Πρόσθεση και αφαίρεση. Ανάλυση. Συνισταμένη. Συνιστώσες.
2. Η έννοια.
Η λέξη διάνυσμα έχει την ρίζα της στο ρήμα διανύω. Διανύω, διάνυσα, Δ Ι Α Ν Υ Σ Μ Α Προχωρώ, μετατοπίζομαι από μια θέση σε μια άλλη.
3. Η έννοια.
Κάθε διάνυσμα έχει αρχή και τέλος.
.
Όχι απλώς δύο άκρα, όπως το ευθύγραμμο τμήμα
Α
Β
4. Το μέτρο.
Μια μετατόπιση είναι «μικρή» ενώ μια άλλη «μεγάλη».
Κάθε διάνυσμα έχει μέγεθος, «μέτρο»
5. Το μήκος του «βέλους».
Το «Μέτρο» ενός διανύσματος δείχνει πόσες φορές πιο μεγάλο ή πιο μικρό είναι αυτή από την μονάδα. Σε ένα τετραγωνισμένο χαρτί, το μέτρο ενός διανύσματος αντιστοιχεί στο μήκος του «βέλους» με το οποίο το απεικονίζουμε.
1 2 5
Το μήκος της πλευράς του τετραγωνικού πλέγματος στο παράδειγμα του σχήματος κάτω, αντιστοιχεί σε μια μονάδα μήκους
6. Κατεύθυνση Το διάνυσμα δεν έχει μόνο μέγεθος, δηλαδή δεν έχει μόνο μέτρο.
Έχει αρχή και τέλος,δηλαδή κατεύθυνση. Η κατεύθυνση του διανύσματος συμπεριλαμβάνει δύο στοιχεία. Την διεύθυνση, την ευθεία δηλαδή πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα
(Η διεύθυνση λέγεται και φορέας του διανύσματος)
… και την φορά με την οποία «κινούμαστε» πάνω στην ευθεία αυτή. Το «βέλος» του διανύσματος δείχνει την κατεύθυνση του.
7. Ισα διανύσματα
Τρία ίσα διανύσματα. (ίσα μέτρα ίδια κατεύθυνση)
Τρία ίσα μεταξύ τους διανύσματα. (όχι όμως ίσα με τα πρώτα)
Ακόμα τρία ίσα μεταξύ τους διανύσματα. (όχι όμως ίσα με τα προηγούμενα)
Για να είναι ίσα δύο ή περισσότερα διανύσματα, δεν αρκεί να έχουν ίσα μέτρα αλλά και την ίδια κατεύθυνση.
8. Πάλι ίσα διανύσματα.
Ένα κανονικό εξάγωνο. Δύο ίσα διανύσματα. (ίσα μέτρα ίδια κατεύθυνση)
Άλλα δύο ίσα διανύσματα. Περισσότερα ίσα διανύσματα.
9. Αντίθετα.
Τρία ίσα διανύσματα. (ίσα μέτρα ίδια κατεύθυνση)
Τρία αντίθετα με τα προηγούμενα διανύσματα. (ίσα μέτρα και αντίθετη κατεύθυνση)
Για να είναι αντίθετα δύο ή περισσότερα διανύσματα, πρέπει να έχουν ίσα μέτρα αλλά αντίθετη κατεύθυνση.
10. Πάλι αντίθετα.
Αντίθετα διανύσματα. (ίσα μέτρα, αντίθετη κατεύθυνση)
Αντίθετα διανύσματα. (ίσα μέτρα, αντίθετη κατεύθυνση)
11. Πρόσθεση.
Θέλουμε να βοηθήσουμε το «φίλο μας» που έχει δέσει τα μάτια του με το μαύρο μαντήλι.
Πρέπει να βρει τον κρυμμένο θησαυρό που βρίσκεται στο σημείο Γ, κάνοντας δύο μετατοπίσεις.
Του λέμε λοιπόν.
Προχώρα 5 βήματα δεξιά. Τώρα προχώρα άλλα 4 βήματα δεξιά.
Θα μπορούσε φυσικά να βρει ον θησαυρό μετακινούμενος 9 βήματα δεξιά μια και έξω. Με άλλα λόγια ΑΒ+ΒΓ=ΑΓ
Α
Β
Γ
12. Πάλι πρόσθεση.
Θέλουμε να βοηθήσουμε το «φίλο μας» που έχει δέσει τα μάτια του με το μαύρο μαντήλι.
Πρέπει να βρει τον κρυμμένο θησαυρό που βρίσκεται στο σημείο Γ, κάνοντας δύο μετατοπίσεις.
Του λέμε λοιπόν.
Προχώρα 8 βήματα δεξιά. Τώρα προχώρα άλλα 6 βήματα προς τα πάνω.
Θα μπορούσε φυσικά να βρει ον θησαυρό μετακινούμενος10 βήματα * από το Α στο Γ μια και έξω. Με άλλα λόγια ΑΒ+ΒΓ=ΑΓ
*
10 βήματα γιατί η ΑΓ είναι υποτείνουσα του ΑΒΓ και 102=82+62
Γ
Α
Β
13. Συνολική μετατόπιση.
Αρχική θέση. Πρώτη μετατόπιση. Δεύτερη μετατόπιση. Συνολική μετατόπιση (άθροισμα – συνισταμένη)
14. Αρχική – τελική θέση.
Ένα διάνυσμα. Άλλο ένα διάνυσμα διαδοχικό. (αρχίζει στο τέλος του πρώτου)
Το άθροισμα τους.( αρχίζει από την αρχή του πρώτου και τελειώνει στο τέλος του δεύτερου)
15. Πολλά διανύσματα.
Πολλά διαδοχικά διανύσματα. (το κάθε ένα αρχίζει από το τέλος του πρώτου)
Το άθροισμα τους.( Αρχή τέλος)
16. Διαφορετικοί δρόμοι.
Από το Α στο Β υπάρχουν άπειρες διαδρομές. (από
Α
διαδοχικές μετατοπίσειςδιανύσματα)
Όλες όμως καταλήγουν στο ίδιο αποτέλεσμα. (έχουν το ίδιο άθροισμα)
Β
17. Αφαίρεση.
Θέλουμε πάλι να βοηθήσουμε το «φίλο μας» να βρει τον κρυμμένο θησαυρό που βρίσκεται στο σημείο Β
Κατά λάθος του λέμε:
Προχώρα 9 βήματα δεξιά. (διάνυσμα ΑΓ)
Για να διορθώσουμε την κατάσταση του λέμε:
Αφαίρεσε 4 βήματα (διάνυσμα ΒΓ)
Ο φίλος μας πηγαίνει από το Γ στο Β.
Προσθέτει στο ΑΓ την μετακίνηση ΓΒ που είναι αντίθετη από την ΒΓ,
Η αφαίρεση έγινε πρόσθεση του αντιθέτου:
ΑΓ-ΒΓ=ΑΓ+(-ΒΓ)=ΑΓ+ΓΒ=ΑΒ
Α
Β
Γ
18. Αφαίρεση.
Θέλουμε πάλι να βοηθήσουμε το «φίλο μας» να βρει τον κρυμμένο θησαυρό που βρίσκεται στο σημείο Β
Κατά λάθος τον οδηγήσαμε από το Α στο Γ: (διάνυσμα ΑΓ)
Για να διορθώσουμε την κατάσταση του λέμε:
Είσαι 3 βήματα πιο πάνω. Αφαίρεσε τα! (διάνυσμα ΒΓ)
Γ
Ο φίλος Προσθέτει στο ΑΓ την
μετακίνηση ΓΒ που είναι αντίθετη από την ΓΔ.
Η αφαίρεση έγινε πρόσθεση του αντιθέτου:
ΑΓ-ΓΔ=ΑΓ+(-ΓΔ)=ΑΓ+ΓΒ=ΑΒ
Α
Β
19. Πρόσθεση, 1ος τρόπος.
Αν τα διανύσματα δεν είναι διαδοχικά τα κάνω εγώ! Με παράλληλη μεταφορά. Το άθροισμα είναι το διάνυσμα που ενώνει ΑΡΧΗ και ΤΕΛΟΣ. Το μέτρο του αθροίσματος υπολογίζεται με τις γεωμετρικές ιδιότητες του σχήματος. Στο παράδειγμά μας, με το πυθαγόρειο θεώρημα. ΑΓ2=ΑΒ2+ΒΓ2
Γ
Α
Β
20. Αφαίρεση, 2 τρόποι. Ας κάνω την αφαίρεση α-β Αφού τα διανύσματα δεν έχουν κοινή αρχή, τα κάνω να έχουν! Με παράλληλη μεταφορά. Προσθέτω το αντίθετο!
Δηλαδή η διαφορά του α-β είναι το διάνυσμα γ. Το οποίο όμως μεταφέρεται παράλληλα … … έτσι που να ενώνει το ΤΕΛΟΣ του β με το ΤΕΛΟΣ του α.
γ β α
γ -β
γ = α-β
21. Πρόσθεση-Αφαίρεση.
Δύο διανύσματα που έχουν κοινή αρχή, και σχηματίζω το παραλληλόγραμμο που ορίζουν.
Αν δεν είναι τα κάνω , όπως είδαμε με παράλληλη μεταφορά.
Το άθροισμα τους είναι η ενδιάμεση διαγώνιος του παραλληλογράμμου.
Η διαφορά τους είναι η διαγώνιος που ενώνει το τέλος αφαιρετέου με το τέλος του μειωτέου.
α-β
α
β
α+β
Ι.Μιχαλόπουλος
Επίλογος.
Έφτασες στο τέλος αυτής της παρουσίασης. Ελπίζω να σε βοήθησε!
Γύρισε πάλι στο σχολικό σου βιβλίο, ίσως δεν το θεωρείς ότι καλύτερο… …αλλά βρίσκεται πάντα εκεί όταν θέλεις να το συμβουλευτείς. Προσπάθησε να λύσεις τις ασκήσεις του, μην εγκαταλείπεις την προσπάθεια όταν δυσκολεύεσαι. Συνέχισε να προσπαθείς.
