Teorie Matematică Bacalaureat 2014.doc

TEORIE MATEMATICĂ BACALAUREAT 2013-2014 TEHNOLOGIC RECAPITULARE ŞCOALA GENERALĂ Mulţimi de numere: N Z Q R C (naturale incluse în întregi incluse în raţionale incluse în reale incluse în complexe). N={0,1,2,3,4,…}; Z={… -3,-2,-1,0,1,2,3, …}; Q=Z+ fracţii; R=Q+radicali; C=R+numere complexe. Ordinea operaţiilor matematice elementare: 1 – parantezele (dacă sunt mai multe, din interior spre exterior sau de la cele rotunde la acolade); 2 – ridicarea la putere (,, o înmulţire repetată”); 3 – împărţirea sau înmulţirea (,,o adunare repetată”) 4 – adunarea sau scăderea. Adunarea sau scăderea numerelor reale: - adunarea a două numere pozitive dă rezultat pozitiv. Exemplu: 2+3=5; - adunarea a două numere negative dă rezultat negativ. Exemplu: (-2)+(-3)= -5; - adunarea unui număr negativ cu unul pozitiv dă semnul celui mai mare în valoare absolută(sau zero dacă valorile absolute ale celor două numere sunt egale), iar valoarea se află scăzând valorile absolute ale numerelor(cea mai mare din cea mai mică). Exemple: +2-3= 2-3= -(3-2)=-1; 12 – 3=9; 3-12=-(12-3)=-9; 12-12=0; -12 +12=-(12-12)=-0=0. Dacă se adună mai multe numere, se adună între ele cele cu plus, între ele cele ce minus şi apoi se realizează adunarea obişnuită a două numere reale. Exemplu: 2+3 +10 – 6 – 12=15-18=-(18-15)= - 3. La adunarea/scăderea literală, se adună sau se scad termenii cu litere de acelaşi fel, la aceiaşi putere, iar adunarea/scăderea se realizează între coeficienţii acestor termeni. Adunarea sau scăderea cu 0 nu modifica rezultatul. Exemple: 2x2-3x2y-4x2+3xy-5=-2x2-3x2y+3xy-5; 5+0 = 5-0 =5; 2x3-0=2x3+0=2x3. Adunarea/scăderea a două sau mai multe fracţii se poate face doar dacă au acelaşi numitor, lucru ce se realizează prin aducerea la acelaşi numitor. Numitorul comun este de obicei cel mai mic multiplu comun al tuturor numitorilor fracţiilor. O fracţie nu poate avea numitorul egal cu zero (împărţirea cu 0 nu este permisă!).

5/ 3/

Exemple:

2 7 2 7 5  2 3 7 10 21 10  21 31 ; 3 şi 5 sunt numere prime şi atunci cel mai mic multiplu comun al lor         3 5 3 5 5  3 3 5 15 15 15 15

este produsul dintre ele, adică 3•5=15.

5 y2 /

3x /

2 7 2 7 5 y  2 3x  7 10 y 21x 10 y  21x  2  2  2  2  2  2  2 3x 5 y 3x 5 y 5 y  3x 3x  5 y 15xy 15xy 15xy 2

2

2

Regula semnelor la înmulţire sau împărţire: + • + = +/+ = +; - • - = -/- = +; + • - = - • + = +/- = -/+ = - . Exemple: 2•3=6; (-2)•(-3)=6; (-2)•3=2•(-3)= -6; 12/3=4; (-12)/(-3)=4; -(12)/3=12/(-3)= -4. 12/3=12:3=4. La înmulţirea/împărţirea literală, literele se înmulţesc/ împart cu litere de acelaşi fel, iar cifrele cu cifre. Exemple: 2x2•3x2y=(2•3)(x2•x)•y=6x3y; 2x2y/3x2=(2/3)(x2/x)•y=(2/3)x•y. Înmulţirea a două (sau mai multe) fracţii se face numărător cu numărător şi numitor cu numitor. 2 7 27 14 2 7 11 2  7  11 196        Exemple: ; ; 2 2 3x 5 y 3x  5 y 15 xy 2 3 5 13 3  5  13 225 Împărţirea a două fracţii se face înmulţind prima cu a doua inversată; împărţirea unei fracţii cu un număr se face înmulţind fracţia cu numărul răsturnat. Înmulţirea sau împărţirea cu 1 nu modifica rezultatul. 2 2 2 2 2 7 2 5 2  5 10 3 x  2 : 7  2  5 y  2  5 y  10 y :     ; Exemple: ; 5∙1 = 5:1 =5 7 3x 5 y 2 3x 7 3x  7 21x 3 5 3 7 3  7 21 5y 2 2x3∙1=2x3:1=2x3. Orice număr real se poate scrie ca o fracţie cu numitorul 1. Înmulţirea cu zero are ca rezultat valoarea zero. 2 0 1  2x4 0 ; 1  ;  5   5 ;   ; 2x4  Exemple: 2  ; ; 1∙2∙3∙0∙(-1) ∙π∙5=0 1 1 1 1 1 1 Modulul unui număr real este o operaţie matematică prin care numărul devine nenegativ. 1

a, dacă(a)  0  a  0, dacă(a)  0 .  a, dacă(a)  0   x  2, daca( x  2)  0  x  2  x  2  0, daca( x  2)  0  x  2  ( x  2)   x  2, daca( x  2)  0  x  2 

Exemplu: |5|=5; |0|=0; |-5|=5;

La înmulţirea unui număr cu o paranteză, se înmulţeşte fiecare număr cu fiecare termen din paranteză. Exemple: 2(x-5)=2•x-2•5=2x-10; 3y2(x-5)=3y2•x-3y2•5=3xy2-15y2. Minusul în faţa unei paranteze schimbă semnul tuturor termenilor din paranteză. Exemple: -(x-5)=-x-(-5)=-x+5; -3y2(x-5)=-3y2•x-3y2•(-5)=-3xy2+15y2. Minusul în faţa unei fracţii schimbă doar semnul numărătorului sau semnul numitorului (nu la ambii!).  2  (2) 2  2 2 2 2 2 2 2 2 2     ;       ; Exemple:   ; 3 3 3 3x 3x  3x 3 3 3 3 3 3  2  (2) 2 2 2 2       3x 3x 3x  3x 3x 3x 2 2 2 2 Formule de calcul prescurtat: a(b  c )  ab  ac ; a  b  (a  b)(a  b)  a  b ; ( a  b )  ( a  b )  a  b ;

(a  b) 2  a 2  2ab  b 2 ; (a  b) 2  a 2  2ab  b 2 ; (a  b  c) 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc ; ( a  b)3  a 3  3a 2b  3ab 2  b

3

;

(a  b)  a  3a b  3ab  b ; a  b  (a  b)(a  ab  b ) ; a  b  (a  b)(a  ab  b ) ; Exemple: 2( x  y )  2 x  2 y ; ( x  2 y )( x  2 y )  x 2  (2 y ) 2  x 2  4 y 2 3

3

2

2

3

3

3

2

2

3

3

2

2

( x  2) 3  x 3  3x 2  2  3x  2 2  2 3  x 3  6 x 2  12 x 2  8 ;

Exemple:

( x  2)  x  3x  2  3x  2  2  x  6 x  12 x  8 Triunghiul este figura geometrică cu trei laturi şi suma unghiurilor de 1800. Poate fi:oarecare (unghiuri şi laturi neegale); echilateral (cu toate laturile egale şi unghiurile egale cu 60 0);isoscel (cu două laturi şi două unghiuri egale);dreptunghic (cu un unghi drept şi laturile numite catete – formează unghiul drept - şi ipotenuză). Patrulaterul este figura geometrică cu 4 laturi. Patrulaterul cu două laturi paralele şi două neparalele se numeşte trapez. Paralelogramul este o figură geometrică cu 4 laturi(patrulater), paralele şi egale două câte două. Paralelogramul cu un unghi drept se numeşte dreptunghi. Paralelogramul cu toate laturile egale se numeşte romb; dreptunghiul cu laturile egale se numeşte pătrat. Suma unghiurilor unui paralelogram sau trapez este 360 0. Aria unui paralelogram este: baza∙înălţimea. Perimetrul unui poligon (ex.: patrulater) este suma lungimilor laturilor sale. 3

3

2

2

3

3

2

2

CLASA A IX-a I. PUTERI ŞI RADICALI

a  a  ...  a PUTERI. Puteri cu exponent natural: a n unde a |R, n |N; a0=1; a1=a; an =     unde a=baza de n ori

puterii;n=exponentul puterii; Formulă (ab)n=anbn, a,b|R, n|N*; a0 = 1 pentru orice a ≠ 0 (am)n=amn,a|R, n|N*; a1=a pentru orice a |R; 0a = 0 pentru orice a |R* am  a m  n , a|R*, m,n|N*, aman=am+n, a|R, m,n|N*; an m>n. n

an a    n b b

Exemplu (2•3)4=2434; (√2•3)4=(√2)4•34=22•34 (23) 4=23•4=212; 21=2,(-1)1=-1,π1=π; 01=02= 0-1 =0-8 =08 =0; 11=12=1-1=1-8=18 =1 2324=23+4=27;

25  25  3  2 2 3 2

4

24 16 2 ;    4  3 81 3

, b0, a,b|R, n|N; 1a = 1 pentru orice a |R 1 1 n 1 Puteri cu exponent întreg negativ: a  n unde aR*,nN;restul proprietăţilor se păstrează. Ex: a  ; a a

23 

1 1  23 8 2

Puteri cu exponent raţional pozitiv: m



an  3 p ℚ +; Ex: 4 q 2

m

 ab  n

 2 4

3

;

3 4

5 7

2 2  a m an

m m m  a n  b n , a,b≥0, n ℚ+;  b   

3 5  4 7



a

37 5 4  4 7 7  4

a

21 20  28 28

n

p m p m m m  a m , a≥0, n ℚ+; a n  a q  a n q , a≥0 n ,

21 20 28

a

a

41 28 5

5

m an

m

5

5

5

, a≥0, b>0, n ℚ+; Ex:  2  3 7  2 7  3 7 ;

m bn

 2 7 27    5 3 37

1

; a 2  a; a  0 m

    a 



1 2

3

1 3 3 p 1 m p m 2  5 , q ℚ+, > q ;   2  2   2 2 5  2 10  10 2 3 ; 1 n n  

a>0,

p m q  n 

a



m p  n q

, a≥0,

m , n

an

p ℚ+; q

a 1 1  3

 22

p q

a

m p  n q

,

1

 26

23

Puteri cu exponent raţional negativ:

2

1  2



1 2

1 2



a



m n



1 m an



1 n

am

, a>0,

m Q+; n

3 4

5 7



1 2

5 7



1 7

25



1 7

32

;

2

( n a )m= n a m ,a≥0; Ex: a 



1

RADICALI. Proprietăţile radicalilor:  m, n, kN, m, n, k≥2 a a na n  n ,a≥0,b>0; Ex: 3  ab  n a  n b ,a,b≥0; Ex: 3 ab  3 a  3 b ; n b b b 3 4

Ex: 2

 a 3

4

= 3 a4 ;

n

nk a m = a mk ,a≥0;

3

a

3

b

;

n

a mn  a m ,a≥0; Ex: 3 a 43  a 4

Ex: 3 a 4 = 35 a 45 ;

n m

a 

nm

a ,a≥0

Ex:

a  12 a

II. FORMULE TRIGONOMETRICE Formula fundamentală: cos2x + sin2x=1 x  R . Funcţiile sinus şi cosinus sunt periodice cu perioada 2π, iar tangentă şi cotangentă sunt periodice cu perioada π. Avem: cos(x+2kπ)=cos x; sin(x+2kπ)=sin x; tg(x+kπ)=tg x şi ctg(x+kπ)=ctg x. Exemple: cos(50º+2kπ)=cos 50º; sin(50º+2kπ)=sin 50º; tg(50º+kπ)=tg 50º. Funcţia cosinus este pară=>cos(-x)=cos x; funcţia sinus este impară=>sin(-x)= - sin x. Reducere la primul cadran se aplică atunci când valoarea de calculat nu este din Cadranul I (se consideră cunoscute doar valorile remarcabile din primul cadran: 0 0;300;450;600 şi multiplii de π/2). CII-CI: Fie y  (90 0 ;180 0 ) şi y = π-x=1800-x, unde x este o valoare din Cadranul I. Avem: sin(π-x) = sin x sin(1800-x)=sin x; cos(π-x) = - cos xcos(1800-x)=-cos x; tg(π-x) = -tg xtg(1800-x)=tgx; Exemple: y=1200 => sin 120º = sin(1800-60º)=sin 60º; cos 120º = cos(1800-60º)= - cos 60º; CIII-CI: Fie y  (1800 ;2700 ) şi y = π+x = 1800+x, unde x este o valoare din Cadranul I. Avem: sin(π+x) = - sin x sin(1800+x) = - sin x; cos(π+x) = - cos x cos(1800+x) = - cos x; tg(π+x) = tg x; Exemple: y=2100 => sin 210º = sin(1800+30º)= -sin 30º; cos 210º = cos(1800 + 30º)= - cos 30º; CIV-CI: Fie y  (270 0 ;360 0 ) şi y = 2π-x=3600-x, unde x este o valoare din Cadranul I. Avem: sin(2π-x) = - sin x sin(00-x)=sin(3600-x)=- sinx; cos(2π-x) = cos x cos(3600-x)=cosx; tg(2π-x -tg x. Exemple: y=3000 => sin 300º = sin(3600-60º)= -sin 60º; cos 300º = cos(3600-60º)=- cos 60º; Formule trigonometrice pentru sumă şi diferenţă: cos(a+b) = cos a•cos b – sin a•sin b; cos(π/2+x) = - sin x cos(a-b) = cos a•cos b + sin a•sin b; sin(a+b) = sin a•cos b + cos a•sin b; sin(π/2+x) = cos x sin(a-b) = sin a•cos b - cos a•sin b; tg ( a  b) 

tga  tgb 1  tga  tgb

tg ( a  b) 

tga  tgb 1  tga  tgb

3

Funcţii trigonometrice pentru unghiuri complementare:

    cos  a   sin a ; sin   a   cos a ; 2 2    

    tg   a   ctga ; ctg   a   tga 2  2  0 0 cos(90 -x)=sin x; sin(90 -x)=cos x; tg(900-x)=ctg x; ctg(900-x)=tg x; Exemplu: cos(900-60º)=sin 60º; sin (900-60º)= cos 60º; 2tgx Unghiul dublu: cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  1  2 sin 2 x  2 cos 2 x  1 ; sin 2 x  2 sin x  cos x ; tg 2 x  1  tg 2 x ; Valori particulare pentru sin, cos, tg (trebuie ştiute valorile remarcabile pentru cadranul I şi multiplii de π/2) : x – radiani; 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 7π/6 3π/2 5π/3 11π/6 2π grade 00◦ 300◦ 450◦ 600◦ 900 1200 1350◦ 1500◦ 1800◦ 2100 2700◦ 3000◦ 3300◦ 3600 sin x 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -1 - √3/2 -1/2 0 cos x 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 -√3/2 0 ½ √3/2 1 0 0 0 0 0 0 0◦ 0 x -π/2=-90 -π/3=-60 -π/4=-45 -π/6=-30 0=0 π/6=30 π/4=45 π/3=60 π/2=900 tg x=1/ctgx -∞=1/0- -√3=1/(-√3/3) -1=1/(-1) -√3/3=1/(0 √3/3=1/√3 1=1/ √3 +∞=1/0+ √3) 1 CLASA A X-a III. COMBINATORICĂ Permutări: Notăm n!=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!. (n! se citeşte ,,n factorial”). Exemple: 2!=1•2=2; 5!=1•2•3•4•5=120. Convenţie: 0!=1 ; 1!=1; numărul de permutări Pn: Pn= n!=1•2•3•…•n , nN; Aranjamente: Sistemele ordonate (submulţimile ordonate) cu k elemente care se pot forma cu elementele unei k mulţimi cu n elemente (nk), se numesc aranjamente de n elemente luate cate k, notate An . n! Ank   n  ( n  1)  (n  2)  ...(n  k  1) cu condiţia ca nk ; convenţie: n=k  Ann =Pn= n! = ( n  k )! 0 1•2•3•…•n. An  1 k Combinări: Cn 

n! = numărul de submulţimi cu k elemente al unei mulţimi de n elemente cu condiţia k!(n  k )!

n k. 0 n 1 n 1 k nk Convenţie: C n = C n =1; C n = C n = n, n>0. Formula pentru combinări complementare: C n = C n 5! 5! 1  2  3  4  5 4  5 20      10 . 2! (5  2)! 2!3! 1  2  1  2  3 1  2 2 Binomul lui Newton: Dacă a, bR, nN, atunci: (a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnkan-kbk+…+Cnn-1abn-1+Cnnbn 2 Exemplu: C5 

n

n

k 0

k 0 n

(a  b) n   Cnk a n  k  b k   Tk 1 unde Tk 1  Cnk a n  k  b k unde Tk+1=termen general; k = rangul termenului k al dezvoltării;

 a  b n

n

(a  b) n  (1) k  Cnk a n  k  b k   Tk 1 unde Tk 1  ( 1) k Cnk a n  k  b k sau k 0

k 0

 C n0 a n  C n1 a n1b1  C n2 a n  2 b 2  ...  (1) n  k C nk a n  k b k  ...  (1) n1 C nn 1 a1b n 1  ...  (1) n C nn b n

Obs: 1) în dezvoltarea (a+b)n, după formula binomului lui Newton, sunt n+1 termeni; 2) Cn0, Cn1, Cn2,…,Cnn se numesc coeficienţi binomiali; 3) Să se facă distincţie între coeficientul unui termen al dezvoltării şi coeficientul binomial al aceluiaşi termen; 4) In dezvoltarea (a+b) n si (a-b)n, dacă a=b atunci Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n = numărul tuturor submulţimilor unei mulţimi cu n elemente; Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1

Probabilităţi: probabilitatea p ca un eveniment să se întâmple (sau o relaţie să fie adevărată) este un număr raţionalnr.cazuri. favorabile nr.elemente.din.multime.ce.indeplinesc.conditia  fracţie-egală cu: p = , cuprins în nr.cazuri.totale nr.total.de.elemente.din.multime intervalul [0;1]. Pentru a calcula probabilitatea în cazul mulţimilor, trebuie stabilit clar cine este mulţimea, câte elemente are (card = cardinalul mulţimii), care este condiţia şi câte elemente din mulţime satisfac condiţia. Exemplu: Să se stabilească probabilitatea ca alegând un număr natural de două cifre, acesta să aibă cifrele egale.  A={10,11,12,…..,99} şi card A=90 (sunt 90 de numere scrise cu două cifre);  Condiţie: n  A, cifrele lui n să fie egale; condiţia este îndeplinită de:11,22,33,44,55,66,77,88,99, adică 9 numere. 4

 Probabilitatea va fi 9/90=1/10=0,1 TVA= 24%;TVA din preţ=Preţ•24%=Preţ•0,24. Rata dobânzii=(dobândă simplă)/suma iniţială=(suma finală-suma iniţială)/suma iniţială. Dobânda=rata dobânzii●suma iniţială; Suma finală = suma iniţială + dobânda. Exemplu: La o bancă s-au depus 900 lei, iar după un an, în cont erau 1008 lei. Să se calculeze rata dobânzii. suma _ finală  suma _ initială 1008  900 108 Rata _ dobânzii     0,12  12% . Dobânda=1008-900=108 lei. suma _ initială 900 900 IV. ŞIRURI ŞI PROGRESII Şirurile sunt funcţii de forma: an:N->M unde M este o mulţime oarecare (de obicei de numere).Valorile şirului se numesc termeni ai şirului. Şirul este caracterizat de valoarea spre care tind termenii săi când n->∞, numită limita şirului şi notată

l  lim an , n 

unde an este formula termenului general al şirului (limita apare şi la funcţii, locul lui n fiind luat de x (care poate tinde spre orice valoare numerică, inclusiv +∞ sau - ∞)).

Progresii aritmetice: sunt şiruri de numere în care fiecare termen, cu excepţia primului, se obţine din precedentul prin adunarea aceluiaşi număr r numit raţie. O progresie aritmetică este total definită de primul termen a1 şi raţia r, adică putem afla orice termen al progresiei aritmetice dacă ştim valoarea primului termen şi raţia. Avem: a2=a1+r; a3=a2+r= a1+2r; … an=an-1+r = a1+(n-1)r; an-1 + an+1 = 2•an; a1 + a3 = 2a2 (condiţia ca oricare trei termeni consecutivi să fie ai unei progresii aritmetice). Suma primilor n termeni ai progresiei aritmetice este:

Sn = a1 + a2 + … + an =

a1  a n 2a  (n  1)  r n 1 n 2 2

Exemplu: a1 =2 şi raţia r=3: => şirul 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20,...,a101=a100+r = a1 + 99r = 2 + 99•3=2+197=199, … an+1 = an + 3=2+(n-1)•3, …. S100= a1+a2+…+a100 = 2  199 2  2  (100  1)  3 201  100  100   100   201  50  10050. 2 2 2 Progresii geometrice: sunt şiruri de numere în care fiecare termen, cu excepţia primului, se obţine din precedentul prin înmulţirea cu acelaşi număr q numit raţie. O progresie geometrică este total definită de primul termen b1 şi raţia q, adică putem afla orice termen al progresiei geometrice dacă ştim valoarea primului termen şi raţia. Avem: b2=b1•q; b3=b2•q= b1•q2; … bn=bn-1•q = b1•qn-1; bn-1•bn+1 = b2n; b1 •b3 = b22. (condiţia ca oricare trei termeni consecutivi să fie ai unei progresii geometrice). Suma primilor n termeni ai progresiei geometrice:Sn=b1+b2+…+bn=b1+b1•q…+b1•qn-1=b1(1+q+… qn-1) = b1

qn 1 . q 1

Exemplu: b1 =2 şi raţia q=3: => şirul: 2; 6=2•3; 18=6•3=2•32; 54=18•3=2•33; …. bn+1 = bn•3 = 2•3n-1; … 34  1 81  1 80 160 S4=b1+b2+…+b4=2+2•3…+2•34-1=2(1+3+… 34-1) = 2   2  2   80 . 3 1 2 2 2 V. GEOMETRIE VECTORIALĂ 1) Reper cartezian în plan. Se numeşte reper cartezian (în plan) cuplul de axe (x x’,O,i), (yy’,O,j), unde dreptele x x’, y y’ sunt perpendiculare (în planul P),O punctul de intersecţie, iar i şi j sunt versorii celor două axe şi definesc sensul de pe fiecare axă; semiaxele Ox;Oy sunt pozitive, iar semiaxele Ox’;Oy’ sunt negative (Ox se numeşte axa absciselor, Oy se numeşte axa ordonatelor). Reperul cartezian în plan se notează (O,i,j) cu O originea reperului. Planul în care s-a definit reperul îl numim planul xOy. 2)Coordonate carteziene. Fiecărui punct M din planul xOy, îi asociem perechea de numere reale (x,y) numite coordonatele carteziene ale punctului M. Reciproc fiecărei perechi de numere reale (x,y), îi corespunde un punct bine determinat, în plan, de coordonate (x,y), notat M(x,y); x se numeşte abscisă, y se numeşte ordonată.

Exemplu: Fie M(2;3). Abscisa lui M, notată xM, este egală cu 2, iar ordonata lui M, notată yM, este egală cu 3. 



3)Vectori Fiecărui punct M(xM;yyM)) din planul xOy, îi asociem vectorul de poziţie OM  xM  i  yM  j . 









Exemplu: Fie M(2;3) => OM  2  i  3  j  2 i  3 j Adunarea (sau scăderea) vectorilor se face pe componente (ce este cu i cu ce este cu i şi ce este cu j cu ce este cu      j). Suma vectorilor ce formează un contur închis este nulă. AB   BA ; AB  BA  0 sau, în cazul unui poligon     închis (de exemplu la un triunghi avem AB  BC  CA  0 ) suma vectoriala a laturilor este zero. Înmulţirea unui vector cu un număr se face înmulţind fiecare componentă     a vectorului cu acel număr.   u  2  i  3  j v   3  i  4  j Exemplu: Fie şi . Să se calculeze 2u  3v . Avem:               

  2u  3v  2( 2i  3 j )  3( 3i  4 j )  2  2i  2  3 j  3  ( 3i )  3  4 j  4i  6 j  9i  12 j  4i  9i  6 j  12 





Vectorul format de punctele AB este: AB  ( xB  x A )  i  ( yB  y A )  j ; 5



















Exemplu: Fie A(2;3) şi B(5;6)=> AB  ( xB  x A )  i  ( y B  y A )  j  (5  2)  i  (6  3)  j  3  i  3  j  3 i  3 j v     vx1    y1 şi perpendiculari Doi vectori v1  vx1  i  v y1  j şi v2  vx 2  i  v y 2  j sunt coliniari sau paraleli dacă vx 2 vy2 dacă vx1•vx2+ vy1•vy2=0. Doi vectori se înmulţesc scalar element cu element şi se ţine cont că i·i=j·j=1, i·j=j·i=0 sau că       v1  v2  v1  v2  cos v1 , v2  . 4) Distanţa dintre două puncte A(xA;yA)B(xB;yB) sau lungimea segmentului AB este: AB  ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2 Exemplu: Fie A(2;3) B(5;6) => AB  (5  2)2  (6  3)2  (3)2  (3) 2  9  9  18  9  2  9  2  3 2

x1  x2 x A  xB y  y2 y A  y B  yM  1  2 2 2 2 x  xB 2  5 7 y  yB 3  6 9 7 9   ; yM  A    M  ;  . Exemplu: Fie A(2;3) B(5;6) => x M  A 2 2 2 2 2 2 2 2 5) Coordonatele mijlocului M(xM;yM) ale segmentului AB: xM 

Simetricul punctului A faţă de punctul B este un punct C aflat pe dreapta AB şi egal depărtat de B ca şi A, adică AB=BC sau B este mijlocul segmentului AC. 6)Drepte în plan. Orice dreaptă este definită şi de o ecuaţie de gradul I, în x şi y, de forma; ax + by +c =0, a,b,c  R, a şi b nu simultan nule (  a2 + b2 > 0), numită ecuaţia carteziană generală a dreptei. Exemplu: 2x+3y-5=0; a=2; b=3; c=-5. y = m•x+n – ecuaţia prin tăieturi a dreptei. Exemplu: y = -3x+7; m = -3; n = 7. Ecuaţia dreptei determinată de două puncte distincte: A(x 1,y1), B(x2,y2), (x1  x2) este:

x  x1 y  y1  x2  x1 y2  y1

. Dacă x1= x2, atunci ecuaţia dreptei este x = x1(|| cu Oy). Dacă y1=y2, atunci ecuaţia dreptei este y = y1. (|| cu Ox). Exemplu: A(2;3) B(5;6) => x 2 y 3 x 2 y 3     3( x  3)  3( y  3)  x  3  y  3  x  3  y  3  0  AB : x  y  0. 52 63 3 3 yB  y A Panta dreptei care trece prin două puncte: A(xA;yA)B(xB;yB), xA  xB este: mAB = . xB  x A 63 3   1 =>mAB=1. Exemplu: A(2;3) B(5;6) => m AB  52 3 a b c  Două drepte de ecuaţii a·x +b·y + c = 0, a’·x + b’·y + c’ = 0, coincid dacă '  . Dacă a2=0, b' c ' a atunci şi a1 = 0, sau dacă b2 = 0, atunci şi b1 = 0. Dacă a=0, atunci şi a’=0;dacă b=0, atunci şi b’=0;dacă c=0, atunci şi c’=0. Două drepte de ecuaţii y = mx+n, y=m’x+n’ coincid dacă m = m’ şi n=n’. Exemplu: Fie d1: x+2y-3=0; d2: 2x+4y-6=0; d3: 2x+4y-1=0. d1 şi d2 coincid, iar d1 şi d3 sunt paralele.

 a1 x  b1 y  c1  0  y  m1 x  n1  sistemul format de ecuaţiile a două drepte (d1) şi (d2 ). Punctul a 2 x  b2 y  c 2  0  y  m2 x  n2

Fie 

de intersecţie al dreptelor (d1) şi (d2) se găseşte rezolvând sistemul format de ecuaţiile dreptelor.  x  2y  3  0 Exemplu: Fie  Adunăm cele două ecuaţii, x se reduce şi avem: 2y+2y+3+5=4y+8=0=>4y=-8=>y= x  2 y  5  0 8:4= -2. Din prima ecuaţie aflăm pe x: x+2•(-2)+3=0 =>x+(-4)+3=0 =>x-4+3=0 =>x-1=0 =>x = 1. =>d1  d2=M(1;2).  y  2x  4 Fie  Înlocuim pe y din prima ecuaţie în a doua ecuaţie şi avem: 2x+4=x+3=>2x-x=3-4 =>x= -1. Din a  y  x3 doua ecuaţie aflăm pe y: y = -1+3 = 2. =>d1  d2=M(-1; 2). Ecuaţia dreptei de pantă m şi având ordonata la origine egală cu n este: y = m·x +n (ecuaţia explicită a dreptei, deoarece y se scrie explicit în funcţie de x, unde coeficientul m al lui x este panta dreptei). Ecuaţia dreptei d, care trece prin A (x1,y1) şi are panta m este: y – y1 = m(x – x1).  dacă m = 1, n = 0  y = x - ecuaţia primei bisectoare; 6

 dacă m = - 1, n = 0  y = - x - ecuaţia celei de doua bisectoare;  dacă n = 0  y = m·x - ecuaţia unei drepte care trece prin origine.  ecuaţia y = 0 este ecuaţia axei Ox;  ecuaţia x = 0 este ecuaţia axei Oy;  ecuaţia y = k ≠0 este ecuaţia unei drepte paralele cu axa Ox;  ecuaţia: x =k ≠0 este ecuaţia unei drepte paralele cu axa Oy. Un punct se află pe o dreaptă dacă coordonatele lui verifică ecuaţia dreptei, adică pentru x = xA, y = yA avem egalitatea: yA=m·xA + n . A afla ecuaţia unei drepte înseamnă a găsi pe m şi n, a,b şi c, NU pe x şi y! Exemplu:Fie A(1;2) şi d:x+y-3=0 y=-x+3 => xA+yA -3=1+2-3=3-3=0=>A  d sau yA=-xA+3 2=-1+3 2=2=>A  d Trei puncte A(xA;yA), B(xB;yB), C(xc,yc) sunt coliniare dacă

xC  x A yC  y A  . xB  x A y B  y A

3 1 6  2 2 4     2  2 => A,B,C sunt coliniare. 2 1 4  2 1 2 a1 b1 c1 Dreptele (d1): a1·x + b1·y + c1 = 0, (d2): a2·x + b2·y +c2 = 0 sunt paralele, dacă = a2,b2  0 .  a 2 b2 c2 Două drepte d1 şi d2 sunt paralele (d1||d2) dacă pantele lor m1 şi m2 satisfac relaţia m1=m2 (pantele sunt egale). Exemplu: Fie d1: x+2y-3=0; d2: -2x+y-8=0; a1=1,b1=2, a2= -2,b2=1, d1 şi d2 coincid, iar d1 şi d3 sunt paralele. Exemplu: Fie d1: y=x-5; d2: y=x+9; m1=1, m2=1,n1≠n2, =>d1 şi d2 sunt paralele. Două drepte d1 şi d2 sunt perpendiculare ( d1  d 2 ) dacă pantele lor m1 şi m2 satisfac relaţia m1·m2= -1. Exemplu: Fie d1: y=x-5; d2: y=-x+9; m1=1, m2=-1, m1·m2=1·(-1)= -1 =>d1 şi d2 sunt perpendiculare. Dacă m1  m2, cele două drepte sunt concurente (sistemul format de ecuaţiile dreptelor având soluţie unică). Exemplu: Fie d1: y=x-5; d2: y=2x-5; m1=1≠ m2=1,n1=n2, =>d1 şi d2 sunt concurente. Distanţa de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei duse din acest punct pe dreapta dată. a  xM  b  y M  c Fie dreapta d: ax+by+c=0 şi punctul M(xm,yM) . Distanţa de la d la M este d ( M ( xM , yM ), d )  a 2  b2 Exemplu: Fie d: x+2y-3=0 şi M(2;3)=>a=1,b=2,c=-3,xM=2,yM=3=> 1  2  2  3  (3) 263 5 5 d ( M (2,3), d )      5 1 4 5 5 12  2 2 Perimetrul unui triunghi este suma lungimilor laturilor sale, adică: P=AB+BC+CA=c+a+b = = P abc perimetrul triunghiului ABC, iar p   =semiperimetrul. 2 2 bază  inaltime Aria triunghiului= . 2 BC  AD BC  AB  sin B AABC    p ( p  a )( p  b)( p  c) (pot fi oricare alte două laturi 2 2 şi unghiul dintre ele). Dacă se cunosc coordonatele vârfurilor A(xA;yA), B(xB;yB), C(xc,yc), Exemplu: Fie A(1;2), B(2;4), C(3;6) . Avem:

AABC

utilizăm formula:

1  2

xA xB xC

yA 1 yB 1 yC 1

(dacă AΔABC=0, punctele A,B şi C sunt coliniare). Aria

Aechilateral 

Triunghiul ABC poate fi: - echilateral – toate unghiurile egale(600) şi laturile egale - isoscel – două laturi egale şi două unghiuri egale - dreptunghic – un unghi drept (900) - oarecare

r= raza cercului înscris în triunghi; r=S/p Centrul cercului înscris în triunghi este punctul de întâlnire al

l2 3 4

unui Δ echilateral de latură l: , iar a unui triunghi dreptunghic este egală cu jumătate din produsul catetelor. Teorema lui Pitagora generalizată=teorema cosinusului: AB2+ AC2 – 2AB∙AC∙ cos A = BC2 a b c BC AC AB    2 R unde    2R  Teorema sinusurilor: sin A sin B sin C sin A sin B sin C R=raza cercului circumscris triunghiului (la triunghiul dreptunghic această rază R este egală cu jumătate din ipotenuză şi cu mediana din unghiul drept) . Mediană = segment ce uneşte un vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse; punctul de întâlnire al medianelor (la o treime de bază) se numeşte centru de greutate (notat de obicei cu G); Mediatoare= dreaptă perpendiculară pe mijlocul laturii opuse (sau a unui segment); punctul de întâlnire al mediatoarelor se numeşte ortocentru (notat de obicei cu H); Înălţime=segment ce pleacă dintr-un vârf şi este perpendicular pe latura opusă; Bisectoare=semidreaptă ce pleacă dintr-un vârf şi împarte unghiul în două părţi egale Centrul cercului circumscris triunghiului este punctul de întâlnire al mediatoarelor.

7

Ecuaţia cercului cu centrul în C(xC;yC) şi rază r este : ( x  xC )  ( y  yC )  r . Orice ecuaţie de cerc de altă formă se aduce la această formă (pentru a se afla raza şi coordonatele centrului). VI. FUNCŢII ELEMENTARE NUMERICE Sunt funcţii definite pe mulţimi de numere (N,Z,Q,R,C, intervale sau reuniuni de intervale ale acestora) şi cu valori tot în mulţimi de numere . Forma generală este: f: A->B, f(x)=y unde y este o suită de operaţii matematice cu x(expresia funcţiei) . Valoarea unei funcţii într-un punct x=x 0 este f(x0); la fel verificăm şi dacă graficul funcţiei trece printr-un punct A(xA;yA) (sau punctul A(xA;yA) se află pe graficul funcţiei): dacă f(xA)=yA atunci graficul funcţiei trece prin A(xA;yA). Exemplu: f:R->R, f(x) = x2 – 1; f(0)=02-1=0-1=-1, deci A(0;-1) este pe graficul lui f. Dacă unul din factorii unei înmulţiri (produs) este zero, atunci rezultatul înmulţirii este zero . Acest lucru este util la calculul produsului valorilor unei funcţii în diferite puncte când valoarea în unul din aceste puncte este egală cu zero. 1.Funcţia de gradul I: f: R->R; f(x)=a•x+b, a≠0. Graficul unei funcţii de gradul I este o dreaptă (crescătoare dacă a>0 sau descrescătoare dacă a<0). Această funcţie este bijectivă(evident dacă a≠0). Funcţia este crescătoare dacă a>0 şi descrescătoare dacă a<0. Exemplu: f(x)=x-6, a=1≠0; b= -6. 2.Funcţia de gradul II: f: R->R; f(x)= a•x2+b•x+c; a≠0. Graficul unei funcţii de gradul II f(x)=a∙x 2+b∙x+c este o parabolă (cu vârful în sus dacă a<0 şi cu vârful în jos dacă b  ; yV   a>0). Coordonatele vârfului V(xV;yV) al parabolei asociate funcţiei sunt: xV   , adică 2a 4a b  V ( ; ) şi yv constituie minimul (dacă a>0) sau maximul (dacă a<0) funcţiei. Funcţia este crescătoare 2a 4a pentru x<xV şi descrescătoare pentru x>xV dacă a<0 şi invers. Dacă Δ<0, parabola nu intersectează axa Ox; dacă Δ=0, parabola (graficul funcţiei) este tangentă axei Ox în vârf; dacă Δ>0 parabola intersectează Ox în două puncte: (x1;0) şi (x2;0). Exemplu: f(x)= -x2 +3x-5; a= -1≠0; b=3; c = -5. 3. Funcţia polinom: f: R->R; f(x)= an·xn + an-1·xn-1+ …. + a1·x + a0 Exemplu: f(x)= =x3 - 4·x2+2x -6; a3=1; a2=-4; a1=2; a0 = -6; P( x) 4. Funcţia raţională C ( x )  unde P(x) şi Q(x) sunt polinoame. Domeniul de definiţie este R – {rădăcinile Q( x) numitorului Q(x).} 5. Funcţia putere: f: R->R; f(x)= a·xn. Semnul funcţiei putere depinde de semnul lui a şi dacă n este par sau impar. Exemplu: f(x)= -4x5; a=-4; n=5. 2

2

2

f ( x)  n x

6. Funcţia radical: f:D->R; .Dacă n este par, atunci ce-i sub radical nu trebuie să fie negativ şi valoarea lui f este pozitivă sau zero;dacă n este impar, atunci x  R şi semnul lui f este la fel cu semnul expresiei de sub radical. Exemplu: f ( x)  5 x , n =5. 7. Funcţia exponenţială: f: R->(0;+∞);f(x) = ax; a>0, a ≠1;



1 2x ;

Funcţia exponenţială este numai pozitivă şi f(0)=a0=1.Exemple: f1(x) = ex; f2(x) = 2x; f3(x) = 2-x=(2-1)x=(1∕2)x 8. Funcţia logaritm: f: (0;+∞->R; f(x)=logax unde a>0, a ≠1 şi x >0. Logaritmii apar ca soluţii ale ecuaţiilor ax=N unde baza a>0, a≠1 şi argumentul N>0.Proprietăţi: loga N1 + loga N2=loga N1·N2 ; loga N1 - loga N2 = loga N1/N2; loga N k = k loga N; loga a=1; loga 1=0; 1

Exemplu: log2 5 + log2 7=log2 5●7= loga 35; log2 5 - log2 7=log2 5/7; log2 3 5 = 5 log2 3; log 2 3 5  log 2 5 3 

log 2 5 3

Funcţia logaritm este pozitivă dacă a>1 şi x>1 sau 01 şi x<1 sau 01; f(1)=loga1=0. Exemple: f1(x)=log3x; f2(x)=log10x=lgx; f3(x)=logex=lnx. 9. Funcţii trigonometrice directe: a. sinus: f: R->[-1;+1]; f(x)= sin x. Funcţia sinus este periodică de perioadă 2π. b. cosinus: f: R->[-1;+1]; f(x)= cos x. Funcţia cosinus este periodică de perioadă 2π. c. tangentă: f:R-{kπ}->R; f(x)= tg x. Funcţia tangentă este periodică de perioadă π şi nedefinită în multiplii de π. d. cotangentă: f:R-{kπ/2}->R;f(x)=ctg x. Cotangenta este periodică de perioadă π şi nedefinită în multiplii de π/2. 10. Funcţii trigonometrice inverse: a. arcsinus: f: [-1;+1] -> R; f(x) = arcsin x; b. arccosinus: f: [-1;+1] -> R; f(x) = arccos x; c. arctangentă: f: R->R; f(x) = arctg x; d. arccotangentă: f: R->R; f(x) = arcctg x. Punctele de intersecţie ale graficului unei funcţii f:R->R cu axele de coordonate sunt: 8

- cu axa Oy: (0;f(0)) – cel mult un singur punct (trebuie calculat f(0)) - intersecţia cu axa Oy există numai dacă funcţia este definită în x = 0; - cu axa Ox: (f(x)=0; 0) – unul sau mai multe puncte (trebuie rezolvată ecuaţia f(x) = 0 şi aflata valoarea rădăcinilor); intersecţia cu axa Ox există numai dacă ecuaţia f(x) = 0 are soluţii. Exemplu: Fie f(x)= -x2 +3x-5; a= -1≠0; b=3; c = -5. - Gf∩OY: f(0)=-02+3·0-5=0+0-5=-5 => Gf∩OY=A(0;-5) - Gf∩OX: f(x)=0-x2 +3x-5=0; Δ=b2-4·a·c=32-4·(-1)·(-5)=9-20=-11<0 =>Gf nu intersectează axa OX. Un punct A(xA,yA) aparţine graficului unei funcţii f(x) dacă coordonatele punctului verifică relaţia prin care este dată funcţia, adică f(xA)=yA. De exemplu, un punct un punct A(xA,yA) aparţine graficului unei drepte (adică se află pe dreapta) de ecuaţie ax+by+c=0 (sau y=mx+n) dacă este verificată ecuaţia a·xA+b·yA+c=0 (sau yA=m·xA+n). Exemplu: f(x)=3x; A(0;1); xA=0, yA=1; f(xA)=f(0)=30=1=yA =>A  Gf. La calculul punctelor de intersecţie a graficului a două funcţii f(x) şi g(x) se rezolvă ecuaţia f(x)=g(x) f(x)-g(x)=0h(x)=0, se găsesc rădăcinile x 1,x2,…,xn ale lui h(x) apoi se calculează f(x 1)=g(x1),..,f(xn)=g(xn), punctele de intersecţie fiind A1(x1,f(x1)),…, An(xn,f(xn)). Exemplu: Dacă avem de calculat intersecţia dintre graficul unei funcţii de gradul I(o dreaptă) şi al unei funcţii de gradul II (o parabolă), vom avea maxim 2 puncte de intersecţie (dar putem avea un punct sau niciunul). Exemplu: Fie f(x)= -x2 +3x-5 şi g(x)= -3x; f(x)=g(x) -x2 +3x-5=-3x =>-x2 +3x-5+3x=0 =>-x2 +6x-5=0; a=-1;b=6;c=-5; Δ=b2-4·a·c=62-4·(-1)·(-5)=36-20=16=42; x1, 2 

 b    6  16  6  4 64 2  6  4  10    x1    1  0; x2   50 2a 2  (1) 2 2 2 2 2

f(x1)=g(x1)=g(1)=-3·1=-3; f(x2)=g(x2)=g(5)=-3·5=-15=> Gf∩Gg= M1(1;-3) şi M2(5;-15). VII. ECUAŢII ŞI INECUAŢII Ecuaţia de gradul I: o ecuaţie de gradul I are forma: ax+b=0. Soluţia acestei ecuaţii este x=-b/a, cu a ≠0. Exemple: 2x+4=0, a=2, b=4 =>x=(-4)∕2=-2; 2x+3=5 => 2x=5-3=2; =>x=2:2=1 =>x=1 Ecuaţia de gradul al II-lea: forma canonică a unei ecuaţii de gradul al II-lea este: a•x2+b•x+c=0, iar soluţiile ei sunt: x1, 2 

b  , unde Δ=b2 – 4ac; de asemenea, avem: s = x1+x2;p = x1•x2. Ecuaţiile de gradul II de altă formă se 2a

aduc la forma canonică (cu zero în dreapta egalului). Ecuaţia de gradul II care are rădăcinile x 1 şi x2 este: a•(x-x1)•(x-x2)=0 sau, dacă a=1, x2–(x1+x2)•x+x1•x2 = 0. Rădăcinile sunt reale dacă Δ>0,(reale şi egale dacă Δ=0) şi complex conjugate dacă Δ<0. Exemplu: x2 +3x-4=0; a=1≠0;b=3; c = -4; Δ = b2-4●a●c=32-4·1·(-4)=9+16=25=52. x1, 2 

 b    3  25  3  5 35 2  3  5  10    x1    1  0; x 2    5  0 2a 2 1 2 2 2 2 2

Ecuaţii iraţionale(cu radicali). Condiţie: ce este sub radicalii de ordin par sau egal cu ei să fie >0; se scapă de radicali prin ridicare la putere egală cu ordinul radicalilor(uneori succesivă), prin amplificare cu conjugata etc. Exemplu: x 2  4  4 . Rezolvare: Se pune condiţia:x2-4>0; se ridică la puterea a 2-a (deoarece avem radical de ordinul 2) ambii membri şi obţinem:



x2  4



2

 2 2  x 2  4  4  x 2  4  4  8  x1, 2  2 2

Ecuaţii exponenţiale: ecuaţii ce conţine variabila necunoscută la exponentul puterii . Cea mai simplă ecuaţie exponenţială este de forma ax = b,(sau af(x)=b) unde a>0, a ≠1.Încercăm să-l scriem pe b c o putere a lui a, adică b  a x1 şi în acest caz x=x1 sau f(x)=x1. Dacă nu putem să-l scriem pe b ca o putere a lui a, atunci pentru b<0 ecuaţia nu are soluţii, iar pentru b>0 ecuaţia dată are o soluţie unică x=logab sau f(x) =logab. Exemple: Să se rezolve ecuaţiile: a) 2x = -4, b) 2x = 8, c) 2x = 5. Rezolvare. a)cum membrul din stânga ecuaţiei este pozitiv  x  R, iar membrul din dreapta este negativ, ecuaţia nu are soluţii; b) Se obţine x=log28, adică x=3 sau 2x=23 şi rezultă că x=3; c) similar exemplului precedent se obţine x=log25. Rezultă că ecuaţia exponenţială de tipul af(x)=b, unde a>0, a≠1 şi b>0 este echivalentă cu ecuaţia f(x)=logab. O altă variantă este să se transforme ecuaţia exponenţială într-o ecuaţie polinomială (de obicei de grad I,II,III). Exemplu: Să se rezolve ecuaţia 4x – 2x -2 =0; Rezolvare: Încercăm să obţinem puteri cu aceiaşi bază, de preferat baza mai mică, adică baza 2 în acest caz. 4 x–2x-2=0=> (2 2 ) x  2 x  2  0 => 2 2 x  2 x  2  0 => 2 x 2  2 x  2  0 => ( 2 x ) 2  2 x  2  0 . Notăm 2x=y>0, înlocuim şi obţinem y2-y-2=0, adică o ecuaţie de gradul II în y. Avem: a=1, b=1, c=-2=> Δ=b2-4·a·c =(-1)2-4·1·(-2)=1+8=9=32.=>  b    (1)  9  1  3 1 3 4 1 3  2 x1, 2     x1    2  0; x2    1  0 Doar y = y1 verifică 2a 2 1 2 2 2 2 2 condiţia să fie mai mare ca zero, deci 2x=y1  2x=1=20 =>x=0 (egalitate de puteri, egalitate de baze =>egalitate de exponenţi). 9

Ecuaţii logaritmice: ecuaţia ce conţine necunoscuta sub semnul logaritmului sau (şi) în baza lui. Cea mai simpla ecuaţie logaritmica este ecuaţia de tipul logax = N. Dacă a>0, a ≠1, ecuaţia, pentru orice număr real N>0, are o soluţie unică, x = aN. Înainte de a rezolva ecuaţia se pun condiţiile: a > 0, a ≠1, N>0. Se va ţine cont că: ,, logaritmul este exponentul la care se ridică baza ca să ne dea argumentul” adică în cazul loga x = b => ab = x. O altă variantă este să se transforme ecuaţia logaritmică într-o ecuaţie polinomială (de obicei de grad I,II sau III.) log 1 x  0 Exemplu: Să se rezolve ecuaţiile a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c) Rezolvare. Se utilizează logax = N şi 3

x=aN si se obţine a) x = 23 sau x = 8; b) x = 3-1 sau x = 1/3; c)x=(1/3)0 = 1 sau x = 1. Inecuaţiile se rezolvă rezolvând mai întâi ecuaţia ce se formează din inecuaţie şi stabilind semnul expresiei (funcţiei) ce formează inecuaţia - se trece totul în partea stângă (în dreapta rămâne 0) şi se stabileşte semnul expresiei din partea stângă (rezultatul rezolvării unei inecuaţii este de obicei o mulţime sau un interval). Exemplu: 2x-7<0; Rezolvăm întâi ecuaţia 2x-7=0 => x=[-(-7)]∕2=7/2 =>x  (-∞;7/2). Semnul funcţiei de gradul I: funcţia are semn contrar lui a pentru x<-b/a şi semnul lui a pentru x>-b/a. Un caz particular de inecuaţie de gradul I este |a·x+b|<m (sau |a·x+b|>m). Această ecuaţie devine –m
–m rel="nofollow">a·x+b>m) adică un sistem de două ecuaţii de gradul I:

a xb  m a x  mb   a  x  b  m a  x  m  b

şi obţinem două intervale de valori pentru

x (câte unul pentru fiecare ecuaţie), iar x va fi în intersecţia celor două intervale.

Exemplu: |2x+3|<5=>-5<2x+3<5=>

 8 x 2x35 2x53 2x8  2 x4 x[4;)       x[4;1] 2x5 2x53 2x x2 x1 x(;1]  2

Semnul funcţiei de gradul II: dacă Δ<0, peste tot avem semnul lui a (dacă Δ=0 peste tot avem semnul lui a cu excepţia punctului x=x1=x2=-b/a); dacă Δ>0, între rădăcinile x1 şi x2 avem semn contrar lui a, iar în afara rădăcinilor avem semnul lui a. Exemplu: x2-4·x+3>0;a=1>0;b=-4;c=3;Δ=b2-4·a·c=(-4)2-4·1·3=16-12=4=22;  b    (4)  4 4  2 42 6 42 2 x1, 2     x1    3; x 2    1  x  (;1]  [3; ) 2a 2 1 2 2 2 2 2 Alte semne de funcţii: trigonometrice, polinoamele, radicalul de ordin impar, logaritm pot fi pozitive sau negative. VIII. POLINOAME CU COEFICIENŢI REALI n n-1 Fie f=anX +an-1X +…+a1X+a0 un polinom cu coeficienţi reali (an, an-1, … , a1, a0 sunt numere reale, an≠0);grad f=n. O rădăcină a polinomului f este acel număr cu care, dacă înlocuim pe x, obţinem valoarea zero. 10

Exemplu: f(x) = 2x3 -3x2 + 8x -7; f(1)=2·13-3·12+8·1-7=2·1-3·1+8-7=2-3+8-7=-1+1=0=> x=1 - rădăcină a lui f. Un polinom de gradul n cu coeficienţi reali are n rădăcini: x 1, x2, x3, … , xn-1, xn care pot fi numere complexe, reale, raţionale sau întregi. Un polinom cu coeficienţi reali de grad impar are cel puţin o rădăcină reală. Dacă x1 = a + i•b este o rădăcină complexă a lui f, atunci şi conjugata sa x2 = a – b·i este rădăcină a lui f. Dacă x1 = A + √B este o rădăcină reală a lui f, atunci şi x2 = A – √B este rădăcină a lui f. Dacă xi=(p/q) este o rădăcină raţională a lui f, atunci p divide termenul liber a 0 şi q divide coeficientul termenului de rang maxim, an, adică rădăcinile raţionale ale unui polinom se caută făcând raportul divizorilor celor doi coeficienţi. Două polinoame sunt egale dacă au acelaşi grad şi coeficienţii corespunzători puterilor de acelaşi grad sunt egali. Restul împărţirii lui f la X-a este f(a). Dacă a este rădăcină a lui f, atunci f(a)=0, f se divide (împarte exact) cu X-a şi reciproc. Dacă x1,x2 sunt rădăcini ale lui f, atunci f(x1)=f(x2)=0, f se divide cu (X-x1)•(X-x2) şi reciproc. Exemplu: f(x) = 2x3 -3x2 + 8x -9; f(1)=2·13-3·12+8·1-9=2·1-3·1+8-9=2-3+8-9=-1-1=-2=> x=1 nu este rădăcină a lui f. Teorema împărţirii cu rest: f =c·g+r unde: f – deîmpărţit; g – împărţitor; c – cât; r – rest. Grad f = grad c+grad g. Împărţirea a două polinoame se face asemănător cu împărţirea numerelor (se împart termenii de grad maxim de la deîmpărţit – f (x3 în acest caz) şi împărţitor – g (x2 în acest caz) coeficient cu coeficient şi necunoscută cu necunoscută), doar că rezultatele intermediare se scriu cu minus şi se adună (nu se scriu cu plus şi se scad). Exemplu: împărţirea a două polinoame: f(x) = x3 + 2·x2 + 3·x +1; g(x) = x2 – 1; f(x) :g(x) = (x3 + 2·x2 + 3·x +1) :( x2 - 1)= x+2 rest 4x+3; f =deîmpărţit; g=împărţitor; c=x+2=cât; r=4x+3=rest. GRAD(F:G) = GRAD F - GRAD G; GRAD R adunăm -> trecem cu semn schimbat -> adunăm ->

x3 + 2·x2 + 3·x +1 -x3 + x / 2x2 + 4x -2x2 +2 / 4x + 3

x2 - 1 x+2 -> cât

-> rest

Înmulţirea a două polinoame – se înmulţeşte fiecare termen de la primul polinom cu fiecare termen de la al doilea polinom;( dacă primul polinom are 4 termeni, iar al doilea are 2 termeni, rezultatul va avea 2∙4=8 termeni).grad(f•g) = grad f + grad g; un polinom cu gradul ZERO este o constantă, de obicei nenulă.Exemplu: înmulţirea a două polinoame: f(x)•g(x)=(x3+2·x2+3·x+1)·(x2-1)=(x3+2·x2+3·x+1)·x2-(x3+2·x2+3·x+1)·1= =x3+2·x4+3·x3+x2- x3-2·x -3·x -1=x5 +2·x +2·x3+x2-2x2 -3x-1= x +2·x +2·x3 - x2 -3x-1; IX. RELAŢIILE LUI VIETE Sunt relaţii între rădăcinile şi coeficienţii unei ecuaţii polinomiale de diferite grade. Pentru polinoame de gradul I - f(x) = a1·x + a0 = 0; x1 = (-a0)/a1 Exemplu: f (x)= -4·x+3=0; a1=-4; a0=3; x1=(-3)/(-4)=3/4 a a b c x1  x 2   1   x1  x 2  0  Pentru polinoame de gradul II - f(x) = a2·x2 + a1·x + a0 = 0; a2 a a2 a 4 4 3   4 ; x1  x2   3 Exemplu: f (x)=x2-4·x+3=0; a=a2=1;b=a1=-4;c=a0=3; x1  x2   1 1 1 Pentru polinoame de gradul III - f(x) = a3·x3 + a2·x2 + a1·x + a0 = 0

x1  x2  x3  

a2 a1 a0 ; x1  x2  x1  x3  x2  x3  ; x1  x2  x3   a3 a3 a3

Exemplu: f(x) = 2x3 -3x2 + 5x -7 = 0; a3=2; a2=-3; a1=5; a0=-7; 3 3 5 7 7 x1  x2  x3    ; x1  x2  x1  x3  x2  x3  ; x1  x2  x3    2 2 2 2 2 Pentru polinoame de gradul IV - f(x) = a4 ·x4 +a3·x3 + a2·x2 + a1·x + a0 = 0

a3 a2 ; x1  x2  x1  x3  x1  x4  x2  x3  x2  x4  x3  x4  ; a4 a4 a a x1  x2  x3  x1  x2  x4  x1  x3  x4  x2  x3  x4   1 ; x1  x2  x3  x4  0 a4 a4 CLASA A XI-a

x1  x2  x3  x4  

X. MATRICE ŞI DETERMINANŢI Matricele sunt tablouri de numere cu m linii şi n coloane, iar la intersecţia fiecărei linii cu o coloană se găseşte un număr. A  ( aij )i 1...m; j 1...n  M m , n (C ) înseamnă o matrice cu m linii, n coloane şi formată cu numere complexe. Două matrice se pot aduna numai dacă au acelaşi număr de linii şi de coloane. Două matrice sunt egale numai dacă au acelaşi număr de linii şi de coloane şi sunt egale element cu element. O matrice se înmulţeşte cu un număr (constantă) înmulţind toate elementele matricei cu acel număr. 11

Transpusa unei matrice A, notată At, se obţine inversând liniile cu coloanele. Matricele pătratice au acelaşi număr de linii şi coloane., Matricea nulă (cu toate elementele egale cu zero) este element neutru la adunarea matricelor (A + O = O + A = A), iar In (matricea cu toate elementele de pe diagonala egale cu 1 şi restul nule) este element neutru la înmulţirea matricelor pătratice de ordinul n (A • In = In •A = A). Exemplu: 3  3 3  (2)   3 9  6  3  2  1 3  2  3 1  1         3 1 3 1    6 3 3  Fie a =3 şi A   2 1 1  => a  A  3   2 1 1    3  2 1 3   1 3 2   3  (1) 3  3 2  3  2    3 9 6      Două matrice se pot înmulţi(linie cu coloană) numai dacă numărul de coloane al primei matrice este egal cu numărul de coloane al celei de a doua matrice. Prima matrice dă numărul de linii al rezultatului, iar ce-a de-a doua dă numărul de coloane. Înmulţirea matricelor nu este comutativă. Înmulţirea matricelor se realizează linie (de la prima matrice) cu coloană (de la a doua matrice). Exemplu de înmulţire a două matrice (înmulţirea se realizează ,,fiecare linie din prima matrice cu fiecare coloană din a doua matrice’’) :  1  A 2 1 

3 1 3

 2  1   1 ; B  2 1 2  

0 1 1

 1  1   2  ;A•B=  2 1 2  

3 1 3

 2  1   1  ● 2 2    1

0 1 1

 1  2 = 2 

 1  1  3  2  (2)  (1) 1  0  3  1  (2)  1 1  (1)  3  2  (2)  2    2  0  11  11 2  (1)  1  2  1  2  =  2  1  1  2  1  (1)  (1)  1  3  2  2  (1) (1)  0  3  1  2  1 (1)  (1)  3  2  2  2     1 6  2  =  2  2 1 1 6  2 

032

 1  6  4  9    2  2  2   3 1  6  4   3

0 11 03 2

 1  Exemplu: Fie A   2 1 

3 1 3

1  2 2 5 11 

1

 2  1   t 1  => A   3  2 2  

2 1 1

 1  3 ; 2 

0  O3   0 0 

0 0 0

0  0 ; 0 

1  I3   0 0 

0 1 0

0  0 1 

Fie A= A=(aij)  Mn(C) o matrice pătratică. Vom asocia acestei matrice un număr notat det(A) numit determinantul matricei A. Dacă A=(a11)  Mn(C) este o matrice pătratică de ordinul întâi, atunci det(A) =.|a 11| = a11. Exemplu: Fie A=(-5) =>det(A) =.|-5| = -5.  a11 a12   A    a 21 a 22  este numărul Determinantul matricei

det  A  a11 a 22  a12 a 21



a11 a12 a 21 a 22

şi se numeşte determinant de ordin 2. Termenii a11•a22, a21•a12 se numesc termenii dezvoltării determinantului de ordin 2. 1 2  =>det(A) =1·4-2·3=4-6=-2. Exemplu: Fie A   3 4  a11 a12 a13    A   a 21 a 22 a 23  a a a   31 32 33 

Determinantul matricei este det( A)  a11 a 22 a33  a13 a 21 a32  a12 a 23 a31  a13 a 22 a31  a12 a 21 a33  a11 a 23 a32 şi se numeşte determinant de ordin 3. Termenii care apar în formulă se numesc termenii dezvoltării determinantului. Regula lui Sarrus: Fie un determinant de ordin 3. Pentru a calcula un astfel de determinant se utilizează procedeul de mai jos (exemplu-am scris sub determinant primele două linii): se face produsul elementelor de pe diagonalele care conţin 3 termeni. Produsul elementelor de pe o diagonală descendentă (stânga sus – dreapta jos) este cu semnul plus. Avem trei astfel de produse: a11 a 22 a33 , a13 a 21a32 , a12 a 23 a31 . Produsul elementelor de pe o diagonală ascendentă

(stânga jos – dreapta sus) este cu semnul minus. Avem trei astfel de produse:  a13 a 22 a31 ,  a12 a 21 a33 ,  a11 a 23 a32 .Suma celor şase produse dă valoarea determinantului de ordin 3.

12

Determinantul este nul dacă: - aşa rezultă din calcul; - are o linie sau o coloană cu toate elementele egale cu zero: - are două linii sau două coloane egale sau elementele de pe două linii sau coloane sunt proporţionale. Matricele şi determinanţii se pot utiliza la rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare cu mai multe necunoscute (fiecare necunoscută este de gradul I sau zero (lipseşte)) folosind regula lui Cramer: se formează matricea A, Aextins a sistemului şi matricea X a termenilor liberi; se stabileşte dacă sistemul este compatibil (rang A = rang A extins) sau nu; - se calculează det A; se calculează dx, dy, dz …. unde dX se obţine din det A înlocuind coloana coeficienţilor lui x cu coloana termenilor dy dX dz liberi; - se calculează x  , y , z etc. det A det A det A x

y

1

Ecuaţia unei drepte A(xA,yA)B(xB,yB) se poate afla rezolvând determinantul: AB : x A

yA

1  0.

xB

.y B

1

x y 1 x•1•2+y•1•3+1•4•1-3•2•1-1•4•x-1•y•1=02x+3y+4-6-4x-y=0 :(-2) x-y+1=0 =>AB: x-y+1=0. AB : 1 2 1  -2x+2y-2=0 0 Inversa unei matrice A: A -1 –3 are.4sens numai pentru matrice pătratice şi numai dacă determinantul matricei este 1

Exemplu: A(1,2)B(3,4)

nenul. Atunci: A

1



 A11.... 1  A unde A   det A  A1n ...

An1   se numeşte matrice adjunctă ce are ca elemente Ann 

determinanţi care se obţin din elementele matricei A prin eliminarea liniilor şi coloanelor corespunzătoare ( Aij  (1)

i j

a11

...

a1n

...

...

a n1

...

... , adică din elementele lui A s-au scos linia i şi coloana j). a nn

1 Exemplu: pentru o matrice pătratică de ordinul doi, avem A 

A 1 1  A    11 det A det A  A12

 A11  1 1  A    A12 Pentru o matrice pătratică de ordinul trei, avem A  det A det A   A13  A11 A21 1 0 0    1 1   A  1   A12 A22 Exemplu: Fie A   2 1 1  =>detA=-1;=> A  1  0 3 2 A    13 A23 1

A11  ( 1)11 

1

1

3

2

zero); A31  ( 1) -1

3 1

 ( 1) 2 (1  2  3  1)   ( 2  3)  1 ; A21  ( 1) 2  1 



0

0

1

1

 0 ş.a.m.d. => A

1

 1   4  6 

0 2 3

A21 A22 A23

A21  . A22 

A31   A32  . A33 

A31   A11   A32    A12 A A33   13

0

0

3

2

A21 A22 A23

A31   A32  ; A33 

 0 (o linie din determinant este

0   1   1

-1

A·A =A·A =In - proprietatea inversei unei matrice. A-A=O n – proprietatea opusei unei matrice. XI. LIMITE DE ŞIRURI ŞI FUNCŢII.

13

an  an () ) sau limite de funcţie ( lim La calculul unei limite de şir ( nlim  xx 0

0

f  x   f  x0  ) se înlocuieşte n (la şiruri)

şi x (la funcţii) cu valoarea spre care tinde (limitele se folosesc şi pentru a verifica continuitatea funcţiilor în puncte x 0 ale domeniului de definiţie: ls(x0)=f(x0)=ld(x0)

f  x   lim e Exemplu: f(x)=ex-2; lim x 3 x 3 Operaţii cu ∞:

x2

a  0;     ; 

l im f ( x)  f ( x0 )  l im f ( x) x   x0 x  x0

x   x0 x  x0

).

 e3 2  e1  e  f  3 . lim a  a , unde a  R este o constantă. x x 0

a•∞=- ∞ dacă a<0 sau +∞ dacă a>0;

   a

dacă a>0;

   a

dacă a



< 0.    . Rezultatul calculului unei limite poate 0   0 0  ; ;0 ;0 ;  ;1 ;   ;   0; etc. 0  Dacă rezultă o nedeterminare, aceasta se elimină;

fi

şi

o

nedeterminare.

0  sau 0 



0/0 şi ∞/∞ se elimină prin simplificare sau regula lui l’Hospital: lim f ( x)  x  x0 g ( x)



∞-∞ prin înmulţire cu conjugata sau prin factor forţat; ∞•0 prin aducere la 0/0 sau ∞/∞;









0 ,0 ,  ,1 0

Exemplu

0

de

lim

x  x0

Nedeterminări:

f ' ( x) ; g ' ( x)

 1  1   se elimină prin logaritmare sau folosind limita remarcabilă xlim   n xn  

eliminare

a

nedeterminării

xn

 e.

∞/∞: f ( x) 

x3 ; x 1

x3 3  ( x  3)' 1    lim  lim  lim 1  1 x  x  x 1  1  ( x  1)' 1 x XII. ASIMPTOTE Asimptotele sunt drepte spre care tinde graficul funcţiei f la capetele intervalului de definiţie Pot fi: verticale, oblice sau orizontale. Dacă graficul are asimptotă orizontală, atunci el nu mai poate avea asimptotă oblică la  şi reciproc. În cazul lim f  x   lim x 

x 

funcţiilor periodice, un grafic poate avea o infinitate de asimptote verticale;

1.verticale. Asimptotele verticale se definesc pentru funcţii nemărginite, chiar dacă sunt definite pe mulţimi mărginite. Ele trebuie căutate la capetele intervalului de definiţie al funcţiei, altele decât - ∞ sau + ∞ . Ecuaţia unei asimptote verticale este de forma x=x0, iar această asimptotă este paralelă cu axa Oy. Dacă dreapta x = x0 este ecuaţia asimptotei verticale la graficul funcţiei f, atunci limitele laterale în stânga şi dreapta lui x 0 sunt infinite şi distanţa dintre grafic şi asimptotă, măsurată pe orizontală, descreşte când punctul de pe grafic se apropie de capătul de interval la care se calculează asimptota verticală. Asimptotele verticale se calculează utilizând limitele laterale.

Exemplu: Fie f(0;+∞)->R, f(x)=x+lnx. La x=0 putem căuta asimptotă verticală (la dreapta).

lim f  x   lim ( x  ln x)  0  ln 0  0  ()  0     => x=0 – asimptotă verticală (la dreapta). x 0 , x 0

x 0 , x 0

f ( x)  a , atunci dreapta y = a este asimptotă la  , paralelă cu axa 2.orizontale. Dacă există şi este finită xlim   Ox. Dacă dreapta y = a este asimptotă orizontală la graficul funcţiei f, atunci distanţa dintre grafic şi asimptotă, măsurată pe verticală, descreşte când punctul de pe grafic se depărtează de originea axelor spre +∞.

Exemplu: Fie f(0;+∞)->R, f(x)=x+lnx. La+ ∞ putem căuta asimptotă orizontală (sau oblică, dar nu verticală!).

lim f  x   lim( x  ln x)    ln        => Gf nu are asimptotă orizontală spre +∞. x  x 

3. oblice. Se caută spre +∞ sau - ∞ pentru funcţii definite pe mulţimi nemărginite. Dacă există si sunt finite limitele:

m  lim

x  

f ( x) [ f ( x)  mx] spunem că dreapta y = m●x+n este asimptotă oblică la   a , m≠0, n  xlim   x

graficului. Observaţii: dacă m există, este finit şi nenul, dar n nu există sau e infinit, graficul funcţiei nu are asimptotă oblică la   ; dacă nu există m, este nul sau este infinit, graficul funcţiei nu are asimptotă oblică la   . Exemplu: Fie f(0;+∞)->R, f(x)=x+lnx. La +∞ putem căuta asimptotă oblică. 1   f  x x  ln x ln x  ln x ln  (ln x)'  x ln x   m  lim  lim  lim   1 1  lim  1  lim x  1    lim 1    1  lim x   x   x   x   x   x    x   1 x x x  x  x  x' x  ;≠0,finit. 14

n  lim [ f ( x)  m  x]  lim [ x  ln x  1  x]  lim ( x  ln x  x)  lim (ln x)  ln    =>n nefinit => Gf nu x x x x are asimptotă oblică spre +∞. XIII. DERIVATE Calculul derivatei presupune aplicarea regulilor de derivare şi apoi a formulelor de derivare. Reguli generale de derivare:

 

 c  f  '  c  f ' - constanta iese în faţa derivatei;

(f+g)’=f’+g’; (f-g)’=f’-g’ – suma sau diferenţa derivatei este sumă sau diferenţă de derivate; ,



(f•g)’=f’•g+f•g’;

f f ,  g  f  g,    g2 g

;

f ( x)  f ( x0 )  f ' ( x0 ) - definiţia derivatei în punctul x0 x  x0 x  x0 f ( x )  f ( 1) f ( x)  f (4) f ( x )  f ( 0)  f ' ( 1)  f ' (4) ; lim  f ' (0) ; lim Exemple: lim x    1 x  4 x   0 x4 x x 1 lim

Tabloul de derivare al funcţiilor elementare

c’=0 x’=1 (xn)’=n•xn-1 (xa)’=a•xa-1

2’=0’=π’=√2’=100’=0’=(-1)’=0 (x2)’=2x2-1=2x; (x3)’=3x3-1 = 3x2 (x-3)’=-3x-3-1=-3x-4

 x   2 1x '



1 x

(ex)’=ex (ax)’=ax•ln a (sin x)’=cos x (cos x)’=- sin x

u’=u’ (u )’=n•un-1•u’ (ur)’=r•xr-1•r’ n

(x2-1)’=(x2)’-1’=2x-0=2x (x2+1)’=(x2)’+1’=2x+0=2x (3x)’=3·x’=3·1=3 [(x2-1)3]’=3(x2-1)3-1•(x2-1)’= =3(x2-1)2•2x=6x•(x2-1)2



'

(ln x)

Tabloul de derivare al funcţiilor compuse

(2x)’=2x·ln2; (3x)’=3x·ln3



(2 x)' 2 1   2 2x 2 2x 2x 2 x ' 2x 2 ln x 2 '  2  2  x x x 3x 3x 3x e '  e   3 x  '  e  3 x '  e3 x  3  1  '

2x 

     2 '  2 3x

3x

  3x  ' ln 3  3  23 x  ln 3

 sin 3x  '  cos 3 x  (3x)'  3 cos 3x  cos 3x  '   sin 3x  (3x)'  3 sin 3x 1 3  (3x)'  2 cos 3 x cos 2 3 x  ctg 3x  '   12  (3x)'  23 sin 3 x sin 3x

 tg 3x  ' 

 arcsin 3 x  ' 

1

 (3 x)' 

3

1  (3 x ) 1 1  arccos 3 x  '    (3 x )'  1  (3 x ) 2 1 2

1 3  (3 x)'  3 1  (3 x) 1  9x 2 Tangenta la graficul funcţiei f în punctul M(x0, y0 = f(x0)) este dreapta de ecuaţie : y = f’(x0) •(x – x0) + f(x0) Ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă x0 este: y – f(x0) = f’(x0)●(x-x0), cu panta f’(x0). Semnul derivatei întâi f’(x) stabileşte dacă o funcţie este crescătoare sau descrescătoare; dacă f’(x) >0, f(x) este crescătoare; dacă f’(x)<0, f(x) este descrescătoare. Punctele de extrem ale funcţiei (minim sau maxim) sunt acele puncte unde derivata întâi se anulează şi îşi schimbă semnul (în exemplul de mai jos M(x0;f(x0)) este un maxim). Min Ddef(ex.-∞) x0 Max Ddef(ex +∞) f’(x) +++++++++++++++++++ 0 -- -------------------------------f(x) f (x0)

 arctg 3x  ' 

Intervalele pe care funcţia este crescătoare sau descrescătoare se numesc intervale de monotonie. 15

Semnul derivatei a doua (adică derivata derivatei I) stabileşte dacă o funcţie este convexă (,,ţine apă” f’’(x)>0) sau concavă (,,nu ţine apă”f’’(x)<0).Punctele de inflexiune ale funcţiei sunt acele puncte unde

derivata a doua se anulează şi îşi schimbă semnul. Exemplu: f:R->R, f(x)=x2-2, f’(x)=(x2-1)’=x2’-1’=2x-0=2x. f’(x)=0 2x=0 =>x=0; f(0)=02-2=0-2= -2; f’’(x)=(2x)’=2x’=2·1=2>0. -∞ 0 f’(x) ------- ------------------- 0 + + + + f’’(x) + + + + f(x)

+∞ +

+ +

+

+ +

-2 Grafice de funcţii: Reprezintă totalitatea punctelor M(x,f(x)), unde x este din domeniul de definiţie al funcţiei f.

CLASA A XII-A XIV. LEGI DE COMPOZIŢIE O relaţie ,,*’’ (sau orice alt simbol: o,Δ,┴, ┬) definită între două elemente ale unei mulţimi nevide M se numeşte lege de compoziţie internă dacă:  x,y  M, x*y  M. Exemplu: Considerăm următoarea lege de compoziţie: x*y = x∙y +2·x+2·y+2, definită pe mulţimea M=(-2;∞), adică la compunerea a două elemente din mulţimea M, înmulţim primul cu al doilea, adunăm produsul dintre 2 şi primul element, adunăm produsul dintre 2 şi al doilea element şi adunăm 6. Fie M o mulţime nevidă cu cel puţin 2 elemente şi legile de compoziţie ,,*” şi ,,o” definite pe această mulţime: Monoidul Dubletul (M,*) este monoid dacă: 1 – legea ,,* ’’ este asociativă, adică  x,y,z  M, avem: (x * y) * z = x * (y * z); Pentru legea din exemplu, avem: (x*y)*z = (xy + 2x + 2y + 2)*z=(xy+2x+2y+ 2)z+2(xy+2x+2y+2)+2z+2= xyz+2xz+2yz+2z+2xy+4x+4y+4+2z+2=xyz+2xz+2yz+2xy+4x+4y+4z+6 x*(y*z)=x*(yz+2y+2z+2)=x(yz+2y+2z+2)+2x+2(yz+2y+2z+2)+2 = xyz+2xy+2xz+2x+2x+2yz+4y+4z+4+2 = xyz+2xy+2xz+2yz+4x+4y+4z+6 = (x*y)*z 2 – legea ,,* ’’ are element neutru, adică  x  M  e  M a.î. : x * e = e * x = x; Pentru legea din exemplu, avem: x* e = x  xe + 2x + 2e + 2=x xe+ 2x+2e+ 2- x=0  xe + x + e + 2= 0  x(e+ 1) + 2e+ 2 = 0  x(e+ 1) + 2(e+ 1) = 0  (e+1)(x+2)=0 =>e + 1 =0 =>e = - 1. Grupul Dubletul (M,*) este grup dacă: 1 – legea ,,* ’’ este asociativă, adică  x,y,z  M, avem: (x * y) * z = x * (y * z); 2 – legea ,,* ’’ admite element neutru, adică  x  M  e  M a.î. : x * e = e * x = x; 3 – legea ,,* ’’ admite element simetrizabil, adică  x  M  x’  M a.î. : x * x’ = x’ * x = e; Pentru legea din exemplu, avem: x * x’ =exx’ + 2x + 2x’ + 2= -1; xx’ + 2x + 2x’ +2 +1 = 0;  xx’ + 2x+2x’+3=0; => x’(x+2) + 2x+3=0; =>  2 x  3  2 x  4  1  2( x  2)  1  2( x  2) 1 1 x'       2  x2 x2 x2 x2 x2 x2 Dacă grupul admite şi: 4 –  x,y  M avem x * y = y * x – comutativitatea , atunci grupul se numeşte comutativ sau abelian. Inelul Tripletul (M,*, ○) este inel dacă: 1. (M, * ) este grup abelian, adică: a – legea ,,* ’’ este asociativă, adică  x,y,z  M, avem: (x * y) * z = x * (y * z); b – legea ,,* ’’ admite element neutru, adică  x  M  e1  M a.î. : x * e1 = e1 * x = x; c – legea ,,* ’’ admite element simetrizabil, adică  x  M  x’  M a.î. : x * x’ = x’ * x = e1; d – legea ,,* ’’ este comutativă, adică  x,y  M avem x * y = y * x; 2. (M, ○) este monoid, adică a – legea ,,○ ’’ este asociativă, adică  x,y,z  M, avem: (x ○ y) ○ z = x ○ (y ○ z); b – legea ,,○ ’’ admite element neutru, adică  x  M  e2  M a.î. : x ○ e2 = e2 ○ x = x; e1≠e2; 3. distributivitatea la stânga şi la dreapta, adică: a –  x,y,z  M avem x○(y*z) = (x○y)*(x○z) – distributivitatea la stânga 16

b –  x,y,z  M avem (x*y)○z = (x○z)*(y○z) – distributivitatea la dreapta Dacă se admite şi 2.c – legea ,,○ ’’ este comutativă, adică:  x,y  M avem x ○ y = y ○ x; inelul se numeşte comutativ. Corpul Tripletul (M,*, ○) este corp dacă: 1. (M, * ) este grup abelian, adică: a – legea ,,* ’’ este asociativă, adică  x,y,z  M, avem: (x * y) * z = x * (y * z); b – legea ,,* ’’ admite element neutru, adică  x  M  e1  M a.î. : x * e1 = e1 * x = x; c – legea ,,* ’’ admite element simetrizabil, adică  x  M  x’  M a.î. : x * x’ = x’ * x = e1; d – legea ,,* ’’ este comutativă, adică  x,y  M avem x * y = y * x; 2. (M, ○) este corp, adică a – legea ,,○ ’’ este asociativă, adică  x,y,z  M, avem: (x ○ y) ○ z = x ○ (y ○ z); b – legea ,,○ ’’ admite element neutru, adică  x  M  e2  M a.î. : x ○ e2 = e2 ○ x = x; e1≠e2; c – legea ,,○ ’’ admite element simetrizabil, adică  x  M, x  e1,  x’  M a.î. x○x’=x’○x = e2. 3. distributivitatea la stânga şi la dreapta, adică: a –  x,y,z  M avem x○(y*z) = (x○y)*(x○z) – distributivitatea la stânga b –  x,y,z  M avem (x*y)○z = (x○z)*(y○z) – distributivitatea la dreapta Dacă se admite şi: 2.d – legea ,,○ ’’ este comutativă, adică  x,y  M avem x ○ y = y ○ x, corpul se numeşte comutativ. Uneori există un element a ce are proprietatea: x○a=a○x=a (de exemplu, zero la înmulţire: x•0=0•x=0) Fie (G1,*) un grup şi (G2,o) un alt grup. Funcţia f:G1->G2 cu proprietatea f(x*y)=f(x) o f(y) se numeşte morfism de la grupul G1 la grupul G2 (izomorfism dacă f este şi bijectivă). XV. INTEGRALE Fie f:[a,b]->R. Notăm ,,integrală din f(x)”: F ( x )   f ( x)dx unde F(x) este primitiva lui f(x) sau F’(x)=f(x). O funcţie admite primitive pe un interval unde este definită dacă este continuă pe acel interval. Orice funcţie elementară sau combinaţii de funcţii elementare sunt derivabile pe domeniul de definiţie. ,  f ( x)  f ( x)  C - integrala din derivata unei funcţii este chiar funcţia(+ o constantă);

 a  f ( x)dx  a   f ( x)dx - constanta iese în faţa integralei;  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx - integrală din

sumă sau diferenţă este sumă sau diferenţă de

integrale. La integrarea directă (cu tabelul de integrale) se aplică regulile de integrare, apoi se compară integralele obţinute cu integralele din tabel, se face asocierea cu formula de integrare potrivită şi se aplică formula. 1

 Exemplu:

1

1

3

x2 x2 x x x dx   x dx    C 1 3 3 1 2 2 2

x n 1

 x dx n1 C x 31 x 4 3  x dx n3 3  1  4  C n

La integrarea prin părţi se cere să se pună in evidenţă o funcţie f’ şi o funcţie g pentru a se putea aplica formula integrării prin părţi :  f ( x) g ' ( x)dx  f ( x) g ( x)   f ' ( x) g ( x) dx (de obicei se ia lnx=f(x,) xn=f(x), ex=g’(x)). f 2 ( x) , , , f ( x )  f ( x ) dx  f ( x )  f ( x )  f ( x )  f ( x ) dx  C  f ( x )  f ( x ) dx  C    2 Exemple:  x sin xdx   x  sin xdx . Considerăm f(x)=x şi g’(x)=sinx =>f’(x)=x’=1 şi g(x)=∫sinxdx=cosx şi obţinem:

 x sin xdx   x  sin xdx  x  cos x   1  cos xdx x  cos x   cos xdx x cos x  ( sin x)  x cos x  sin x  C  x ln xdx 

 x  ln xdx . Considerăm f(x)=lnx şi g’(x)==x =>f’(x)=lnx’=1/x şi

g ( x )   xdx 

x2  C şi 2

obţinem:

 x ln xdx   x  ln xdx 

x2 x2 1 x2 x x 2 ln x 1 x 2 ln x 1 x 2 x 2 ln x x 2  ln x    dx   ln x   dx    xdx      C 2 2 x 2 2 2 2 2 2 2 2 4

17

La integrarea prin schimbare de variabilă se înlocuieşte o parte din funcţia care se integrează cu t, se calculează dx în funcţie de f’(x) şi dt, se înlocuiesc şi se obţine o integrală în t care trebuie să fie integrală de tabel, dar în t. După calculul integralei în t, rezultatul se transformă din nou în x. 2 Exemplu: Să se calculeze  x cos x dx . Se observă că integrala nu este de tabel. Notăm x2=t. Diferenţiem şi obţinem: dx2=dt=>2x•dx=dt=>dx=dt/2x.Înlocuim şi obţinem: dt dt 1 1 1 2 2 2  x cos x dx   x cos x 2 x   cos t 2  2  cos tdt  2 sin t  2 sin x  C ; Fie f:[a,b]  R o funcţie care admite primitive pe [a,b] şi F o primitivă a lui f (adică F`(x) = f(x)). b

 f ( x)dx = F ( x)

Numim integrala definită de la a la b a lui f expresia

b a

=F(b) – F(a) - formula lui Leibniz-

a

Newton (la integrala definită de obicei NU apare constanta C). 2

3 Exemplu: F ( x)   x dx  1

x 31 3 1

2 1

x4 4



2 1

 F ( x) 12  F (4)  F (1) 

2 4 14 16 1 16  1 15      4 4 4 4 4 4

TABEL DE INTEGRALE NEDEFINITE (PRIMITIVE) x n 1 n  x dx  n  1  C a  x dx 

1

x 

n

x a 1 C a 1

dx   x  n dx 

n

 xdx 

x  n 1  C; n  1  n 1 m

ax C ln a ;

1

x x  e dx  e  C

1

 x dx  ln x  C

1

1

1

 a  x  b dx  a ln(a  x  b)  C ;  x  a dx  ln x  a  C ;  x  3 dx  ln x  3  C

1

xn x dx   x dx   C; n  1 m 1 n

x  a dx 

2 (a  x  b) m 1  C , m  1 (2  x  3)dx  2 xdx  3dx  3 xdx  2 1dx  3 x  2 x  C      a(m  1) 2 ;

m  (a  x  b) dx 

m n

m

x11 x2 x 0 1 x1 x 21 x3  C   C  1dx   x 0 dx   C   C x  C  x 2 dx  C  C 11 2 0 1 1 2 1 3 ; ;



4

2 ; 

4

4 3

4 3 

1

7

7

1

1  x3 x3 3 x3 3x 3 1 x2 x dx   x dx  C  C  C  C  dx   x 2 dx   C  2 x  C 4 4 1 7 1 7 x 1  3 3 3 3 2 ;

3

x

dx 

2x C ln 2 ;

e

x

f ' ( x) dx  ln f ( x)  C f ( x) ;





dx    e  x ' dx  e  x  C

x





2x x2  1 ' f ' ( x)  2  dx  ln ( x 2  1)  C  ln( x 2  1)  C 1 x  f ( x)

2

 sin xdx   cos x  C ;  cos xdx  sin x  C  tgxdx   ln cos x  C ;  ctgxdx  ln sin x  C 1

1

;  sin

 cos

2

x

1 1 xa dx  ln C 2a xa  a2





 

2

x

 tgx  C

2

x

 ctgx  C

1 1 x dx  arctg  C a a x2  a2

1

dx  ln( x 

x2  a2

1 x a 1

2

a x

2

2

2

x2  a2 )  C

dx  ln x  x 2  a 2  C dx  arcsin

x C a

( x  a ) n 1  ( x  a) dx  n  1  C ; n

x



  

2

1 2

1

1

3

x2 x 2 2x x x dx   x dx    C 1 3 3 1 2 2



1 1 1 x2 dx   2 dx  ln C 4 x  22 22 x  2

;

1 1 1 x dx   2 dx  arctg  C x2  4 x  22 2 2 ;

1 x2  7 1 x2  7 1 12  x 2

dx  ln( x 

x2  7)  C

dx  ln x 

x2 7 C

dx 





1 12



2

 arcsin  x2

x 12

C

b

AGf 

 f ( x)dx  F (b)  F (a) - aria cuprinsă între graficul funcţiei f, axa Ox şi dreptele de ecuaţie x=a; x=b ( ll a

cu axa Oy). 2

3 Exemplu: Fie f:[1,2]->R, f(x)=x3 => AGf   x dx  1

x 31 3 1

2 1



x4 4

2 1



2 4 14 16 1 16  1 15      4 4 4 4 4 4

Volumul corpului de rotaţie obţinut prin rotirea graficului funcţiei f:[a,b]->R în jurul axei Ox este b

VCf    f 2 ( x )dx . a

18

Fie

f:[1,2]->R, 2

2

VCf    ( x ) 2 dx    xdx   1

1

11

x 11

2 1



f(x)= 2

x 2

2 1



=>

x

2 1 4 1 4  1 3        2 2 2 2 2 4 2

2

XVI. POLINOAME 1.cu coeficienti reali. Fie f = anXn + an-1Xn-1 + … + a1X + a0 un polinom cu coeficienţi reali (a n, an-1, … , a1, a0 sunt numere reale). Valoarea unui polinom într-un punct al domeniului de definiţie se află înlocuind pe X cu valoarea acelui punct. O rădăcină a polinomului f este acel număr cu care, dacă înlocuim pe x, obţinem valoarea zero. Un polinom cu coeficienţi reali are n rădăcini: x1, x2, x3, … , xn-1, xn care pot fi numere complexe, reale, raţionale sau întregi. Rădăcinile unui polinom cu coeficienţi reali pot fi toate complexe, unele complexe, celelalte reale, toate reale. Dacă un polinom nu are rădăcini reale, atunci este ireductibil peste R, iar dacă are rădăcini reale, atunci se descompune în factori ireductibili peste R. Un polinom se descompune în factori ireductibili scriindu-l ca un produs de polinoame de grade mai mici; cele de gradul 1 sau de gradul 1 la diferite puteri mai mari ca 1 au rădăcini reale, iar cele de grad mai mare ca 1 NU au rădăcini reale. Descompunerea în factori ireductibili depinde de numărul şi ordinul rădăcinilor reale ale polinomului. Dacă x1 = a + i•b este o rădăcină complexă a lui f, atunci şi conjugata sa x2 = a – i•b este rădăcină a lui f. Dacă x1 = A + √B este o rădăcină reală a lui f, atunci şi x2 = A – √B este rădăcină a lui f. Dacă x1 

p este o rădăcină raţională a lui f, atunci p divide termenul liber a 0 şi q divide coeficientul termenului de q

rang maxim, an, adică rădăcinile raţionale ale unui polinom se caută făcând raportul divizorilor celor doi coeficienţi. Exemplu: f(x) = 2x3 -3x2 + 8x -9; a3=2 şi a0=-9. Divizorii întregi ai lui a0=-9 sunt {+1; +3; +9}, iar divizorii întregi ai lui a3=2 sunt {+1; +2}, deci rădăcinile raţionale ale lui f pot fi: {+1; +(1/2); +3; +(3/2); +9; +(9/2)} ; Un polinom cu coeficienţi reali de grad impar are cel puţin o rădăcină reală. Dacă x1 este rădăcină a lui f, atunci f(x1) = 0 ; f se divide (împarte exact) cu X-x1 şi reciproc. Dacă x1, x2 sunt rădăcini ale lui f, atunci f(x1) = f(x2) = 0; f se divide cu (X-x1)•(X-x2) şi reciproc ş.a.m.d. Dacă suma coeficienţilor unui polinom cu coeficienţi reali este zero, atunci x=1 este rădăcină a sa (polinomul se divide cu X-1). Dacă un polinom nu are termen liber, atunci x=0 este rădăcină a sa (se divide cu X). Teorema împărţirii cu rest: f = c·g + r unde:f – deîmpărţit; g – împărţitor; c – cât; r – rest. Restul împărţirii lui f la X - a este f(a), deci se poate verifica simplu dacă un polinom se divide cu X–a (diviziune = împărţire fără rest, exactă):  se calculează f(a);  dacă f(a) = 0 atunci a este rădăcină a lui f(x), adică (X-a) divide pe f(x). 2. cu coeficienţi în clasele de resturi Z n Zn este mulţimea resturilor împărţirii unui număr natural la n; de exemplu,       Z 2  0, 1 ; Z 3  0, 1, 2  ;    

     Z 4  0, 1, 2, 3 ş.a.m.d.  

Operaţiile sunt asemănătoare cu cele de la polinoamele

normale, însă trebuie ţinut cont de înmulţirea şi adunarea modulo n în care sunt definiţi coeficienţii polinomului şi că în mulţimea claselor de resturi modulo n Zn se definesc doar două operaţii: adunarea şi înmulţirea (restul operaţiilor reducându-se la acestea). De exemplu, dacă x  Z n , atunci şi opusul său  x  Z n şi x+(-x)=0, adică –x este acea 1 valoare din Zn astfel încât x+(-x)=n; Dacă x  Z n , atunci şi inversul său x  Z n şi x· x-1=1, lucru ce trebuie calculat. Exemplu: Fie 



       1  Z 4  0, 1, 2, 3   1  3  









deoarece 1 3  4  0 Fie

1

      1  Z 4  0, 1, 2, 3  1  



1

deoarece



1 1  1 Toate elementele lui Zn au opus, dar NU toate elementele lui Zn au invers.

19