Boulos P. & Camargo I. O. - Geometria Analítica Um Tratamento Vetorial (1987).pdf

um tratamento vetorial

Paulo Boulos Ivan de Camargo

l\'arson Education -

Sao Paulo Brasil Argentina Colombia Costa Rica Chile Espanha Guatemala Mexico Porto Rico Venezuela

© 1986, 1987 by Pearson Education do Brasil Ltda. Todos os direitos reservados Editor: Alberto da Silveira Nogueira Junior Coordenadora de Revisao: Daisy Pereira Daniel Capa Layout: Cyro Giordano l/ustra<;oes: Lara Lassui Usu lmpressao: Sao Paulo - SP

Dados lnternacionais de Cataloga�ao na Publica�ao (CIP) (Camara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Boulos, Paulo, 1941. 047g

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

2. ed.

Paulo Boulos, Ivan de Camargo Sao Paulo : Pearson Education do Brasil, 1986, 1987.

1. Algebra vetorial 2. Geometria analitica I. Camargo, Ivan de, 1945. - II Titulo 86-0258

CDD-516.3 -512.5

indice para catalogo sistematico 1. Algebra vetorial 512.5 2. Geometria analitica 516.3 3. Vetores: Algebra 512.5

Proibida a reproduc;ao total ou parcial. Os infratores serao punidos na forma da lei. Direitos exclusivos para a lingua portuguesa cedidos a Pearson Education do Brasil Ltda.,

uma empresa do grupo Pearson Education Rua Emilio Goeldi, 747- Lapa CEP: 05065-11O, Sao Paulo - SP, Brasil Tel: (11)3613-1222 - Fax: (11)3611-0851 e-mail: [email protected]

PARA MARCIA PARA ISMfiNIA

SUMARIO

PREFAcm AO ES TUD A NTE

PARTE 1

-

XI

VETORES

INTRO DU<;AO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

. CAP . 1.

VETORES

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

CAP . 2.

A D I<;AO DE VETORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

CAP . 3.

MULTIPLICA <;AO DE NUMERO REA L POR VETOR . . . . . . . . . . . . .

12

CAP . 4.

SOM A DEPO NTO COM VETOR

CAP . 5.

DEPEND:f.NCIA E INDEPEND:f.NCIA LINEAR

.. ..... . . .. .. .. . .. . . ... .. ..

16

. . . . . . . . . . . . . . . . .

27

CAP . 6.

BA SE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

CAP. 7.

MUD A N<;A DE BA SE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

CAP . 8.

ANGULO ENTRE VETORES . PRO DUTO ES CA LAR

. . . . . . . . . . . . .

57 VII

VIII

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

CAP.9.

3 ORIENTA<;AO DE V

CAP.10.

PRODUfO VETORIAL ..... . ... ........... ... ...........

86

CAP.11.

DUPLO PRODUfO VETORIAL .........: ........... .... ...

99

CAP.12.

PRODUTO MISTO ........ . ...... .............. ... .....

106

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77

·

PARTE 2- GEOMETRIA ANAUTICA

CAP.13.

SISTEMA DE COORDENADAS ............................

119

CAP.14.

ESTUDO DA RETA ............................... .....

126

CAP.15.

ESTUOO DO PLANO ..... .. ...... . ..... . ... . ........ . . .

139

CAP.16.

§1 - Equayao Vetorial e EquayOes Parametricas de urn Plano .........

139

§2 - Equayao Geral .................. . .. ....... . .... ...

146

§3 - Vetor Normal a um Plano ........ ................ .. ...

160

§4 - Feixe de Planos ............. . .................. ...

166

POSI<;AO RELATIVA DE RETAS E PLANOS

.

170

............. .... .....................

170

§1 - Reta e reta

§2 - Reta e plano .

CAP.17.

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.·

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... ........ . . .. ........... ......

175

§3 - Plano e plano .... .............................. ...

181

§4 - Miscelanea de Exercicios ......... ..... .... . ..........

186

PERPENDICULARISMO E ORTOGONALIDADE ... . ... . .... .. . .

196

§1 - Reta e reta

196

.................. ...... ..... ..... ....

§2 - Reta e plano .

CAP.18.

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201

§3 - Plano e plano ........ ......... . . . . . ... ....... ... ..

205

ANGULOS ... -. . .............. . . ... . . . . ... . . . ... . . .. ..

207

§1

.... ....... ............ ..... .....

207

§2 - Angulo entre reta e plano ... ........ .... ... . . .........

210

-

Angulo entre retas '·

§3 - Angulo entre planos .... ..... . . . . .... . ......... ... ..

212

§4 - Serni-espayo ... ............... . ....... ...... . .. ...

214

Sumdrio

CAP.19.

CAP.20.

DISTANCIAS .......................................

CAP. 22.

219

§1

-

Distancia de ponto a ponto ............................

219

§2

-

Distancia de ponto a reta ............................ .

221

§3

-

Distancia de ponto a piano ...........................

.

223

§4

-

Distancia entre duas retas

.

226

§5

-

Distancia entre reta e piano

.

230

§6

-

Distancia entre dois pianos ............................

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..........................

MUDAN<;A DE COORDENADAS ..........................

§1

-

§2

-

§3

-

Mudanya de coordenadas em E 3 Mudanya de coordenadas em E2

230

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237

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237

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242

Aplicayao das translayOes e rotay�es de E2 ao estudo da equayao

Ax.2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F CAP.21.

.

IX

CONICAS

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248

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258

§1

-

Elipse, hiperbole, parabola (forma reduzida) ...............

§2

-

Conicas (caso geral) ................................

.

271

§3

-

ClassificaylIO das conicas

.

280

SUPERFICIES

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Superficie esferica

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258

292 .

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§1

-

§2

-

Generalidades sobre curvas e superficies ..................

.

§3

-

Superficie cilindrica ...............................

.

§4

-

Superficie conica .................................

.

§5 §6

-

-

Superficie de rotayao

..............................

292 311 313 319 323

.

Quadricas (forma reduzida) .......................... .

329

RESPOSTAS DOS EXERC(CIOS PROPOSTOS Parte 1

.

Parte 2

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343

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

353

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. . ·

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PREFACIO AO ES TU DANTE

Geometria: Intui�o e Rigor Geometria ... nove letras que assustam! Pelo menos essa e a impressao que nos tern deixado anos seguidos de magisterio e contacto com estudantes como voce, recem-ingressos no Curso Supe­ rior. Pois um dos nossos objetivos e alterar essa estado de coisas. Pode ser que as circunstancias que cercaram a sua passagem pelo curso secundario - e a de ·

milhares de colegas seus - na:o tenham sido favoraveis ao aprendizado da Geometria; pode ser ate que voce tenha tido muito pouco contacto com Ela; isso nao o impede de usar com sucesso duas armas importantes nesta batalha pelo aprendizado da Geometria Analitica: sua inteligencia e sua

intui�o. Em outras palavras: ignorancia(*) cura-se! A primeira arma, poderosfssima, tern sua eficacia progressivamente aumentada a medida que voce se dedica ao estudo, a resolu9ao de exercicios, ao aprimoramento de seus conhecimentos. Uma inteligencia modesta aliada a muito trabalho, freqiientemente pode mais que uma inteligencia, brilhante e vadia. Quanto a segunda arma, e uma faca de dois gumes. Na:o se concebe o estudo da Matematica - e particularmente o da Geometria - sem o auxilio da intuiyao. lsso levaria antes a memoriza9lio que ao entendimento.

(*)

Ignorancia

=

falta de conhecimentol XI

XII

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Nern sempre, porem, a confiabilidade da intui9llo e satisfat6ria (principalmente entre inician­ tes) e isso pode ter conseqiiencias desastrosas. Fa9a voce mesmo um teste: imagine uma moeda de

10 centavos, com um barbante amarrado

a sua volta, bem ajustado. Imagine tambem um barbante amarrado e bem ajustado em volta da Ter­ ra, a altura do equador (haja imagina9llo!). Se aumentarmos de

1

m o comprimento de cada um

1dos dois barbantes, eles deixarao de estar bem ajustados; havera entllo uma "folga" entre a moeda e "seu" barbante, assim como entre a Terra e "seu" barbante. Pergunta-se: qual e a "folga" maior? _Se voce ja esta desconfiado e nao quer dar a resposta "6bvia" com medo de errar, responda a esta outra pergunta: a "folga" entre a Terra e seu barbante e suficiente para deixar passar um gato? E a "folga" entre a moeda e seu barbante? Respostas no fim desta Introduy!o. Mas, voltando ao que diziamos a respeito da intui9llo: e preciso tambem saber a hora - e ate que ponto - ela deve ser usada. Pela sua pr6pria natureza subjetiva, as ideias intuitivas exigem uma "confirma9llo" formal, precisa, rigorosa, nllo fosse a Matematica a Ciencia Exata por excelencia. E e nesse momento que devemos adotar uma atitude cetica, como verdadeiros "advogados do diabo", em rela9ao a nossa intui9lro. Mesmo que estejamos prontos a apostar que um determinado fato e verdadeiro, so devemos aceita-lo como tal ap6s uma demonstra9llo rigorosa. A intui9lro seria, pois, como o garimpeiro que com sua bateia descobre pedras em bruto - as ideias - cuja ganga pode ou niro ocultar valiosos diamantes; o Raciocinio L6gico faria por seu tur­ no o papel do perito, do ourives, que seleciona as gemas preciosas e rejeita aquelas que nllo tern valor.

METOOOLOGIA Como toda ciencia, a Geometria tern seus metodos - varios - de estudo. Em outras palavras, pode-se estudar a Geometria adotando diferentes pontos de vista, diversos enfoques. Conforme o metodo utilizado, encontra-se maior ou menor dificuldade em abordar este ou aquele t6pico, e por esse motivo e de interesse conhecer varios
Geometria Axiomdtica (OU Euclides ( cerca de

300

Geometria de Posi9lro ): e

0

estudo da Geometria sistematizado por

A.C.), em seus "Elementos'; atraves do encadeamento 16gico de axiomas,

defini9oes e teoremas. 2.

Geometria Descritiva: e o estudo da Geometria pelo metodo mongeano (Gaspard Monge, (1746-1818), que consiste em considerar n!fo os entes geometricos propriamente ditos, mas suas proje9oes sobre dois pianos previamente fixados, e atraves do estudo dessas proje9oes (atraves do estudo da

epura) tirar conclus0es sobre aqueles entes geometricos.

Prefizcio ao Estudante

XIII

3. Geometria Analitica: e o estudo da Geometria pelo metodo cartesiano (Rene Descanes, 1596-

1650), que em ultima analise consiste em associar equayoes aos entes geometricos, e atraves do

estudo dessas equa9�es (com o auxilio da .Algebra, portanto) tirar conclus�s a respeito daque­ les entes geometricos. Ve-se do exposto acima que se a ferramenta basica para o estudo da Geometria Axiomatica e a I..Ogica, a Geometria Descritiva por sua vez utiliza fundamentalmente o Desenho, enquanto que a Geometria Analitica encontra na Algebra seu aliado mais importante. Nao apenas a Algebra ele­ mentar, como tambem - e talvez esta seja a grande novidade para voce - a Algebra Vetorial. Os vetores desempenham portanto um papel especial neste curso, como logo ficara evidente. Observe tambem - prosseguindo nessa rapida compara9ao entre OS metodos - que, se do ponto de vista da Geometria Descritiva, conhecer ou determinar um piano, por exemplo, e conhecer ou de­ terminar sua epura, do ponto de vista da Geometria Analitica trata-se de conhecer OU determinar sua equa9ao. Agora, uma observa9ao final: nao temos a pretensa-o de que esta exposi9ll'o tenha ficado ab­ solutamente clara para voce; e necessario - e insistimos nisso - que periodicamente voce volte a le-la, tentando, a cada estagio do seu aprendizado, entende-la melhor.

OSAUTORES

·oiuawµdwo::> ap JL Z sa�!un 9I'O aiuawepern!xo1de' )) lOJl!A nas a·� ap apuadap o_gu � - 1� e�uaJ:lJ!P e '11fas no I JL Z, '.,l!8{0J · e anb ensow oss1 · � - 1� apuop 1� JLZ: =I+ �JLZ: o_giua · 1� O!lll a I+ �JLZ: � I =

oiuaw!Jdwo::i ap epu�1a1un::i1p ewn 'J 11fas ·�JLZ: ap ? oiuawµdrno::i nas !� OJl!l ap 11pu�1a1 -un::iip 11wn J efas :11Ane::imisnf jap11pm::ie1 11wsaw 11 wo::i aiUl!qieq nas a epaow e aiiua a aiueqrnq nas a euai e aiiua oiueµod 'l!Ssl!d ore8 Wfl ·(w::i 9I ap e::i1a::i) sewsaw se o_gs .. se810J,, se :v1sodsaN

PARTE I

VETO RES

INTRODU�AO Nesta ll! parte, apresentamos os Vetores, que constituem uma importante ferramenta para o estudo da Geometria Anal{tica, da Fisica, do Calculo etc. Voce encontrara aqui respostas as perguntas: "O que e?", "Como funciona?" e "Para que serve?". 0 nosso ambiente sera o con­ junto dos pontos do espa� tridimensional, isto e, o conjunto dos pontos da Geometria Euclidia­ na. Esse conjunto sera indicado por E3, e muitas vezes citado simplesmente como o "espa90". Voce deve sempre imaginar, co�� modelo intuitivo de E3, o espayo fisico que nos cerca. Os pontos de E3 serao indicados por letras latinas maiusculas

(A, B,

P, Q etc.); as retas,

por letras latinas rninilsculas {r, s, t etc.) e os pianos por letras gregas rninusculas_ (7r,

a,

(3 etc.).

Se uma reta r contem os pontos P e Q, falaremos em "reta PQ"; o segmento geometrico de extremidades P e Q sera indi.cado por PQ. Quando um piano contem os pontos P, Q e R {nlJo colineares), falaremos em "piano PQR". Serao pressupostos os resultados da Geometria Euclidiana, alguns dos quais serao utilizados livremente.

CAPITUW 1

VETORES

No�o Intuitiva Existem grandezas, chamadas escalares, que sao caracterizadas por um nfunero (e a unidade correspondente): 50 dm2 de area, 4 m de comprimento, 7 kg de massa. Outras, no entanto, re­ querem mais do que isso. Por exemplo, para caracterizarmos uma for¥a ou uma velocidade, preci­ samos dar a dire¥iio, a intensidade ( ou modulo) e o sentido:

-1 I I I I

l3

_I Uma for¥a de 4 N

4

I _f!l

Uma velocidade de 5 m/s

Tais grandezas sao chamadas vetoriais. Nos exemplos acima as flechas nos dao ideia exata das grandezas mencionadas. No entanto, vamos adotar o seguinte ponto de vista: duas flechas de mesmo comprimento, mesma dire¥iio, (isto e, paralelas) e mesmo sentido (veja a fig ura adiante) definem a mesma grandeza vetorial. Tais flechas sao ditas equipolentes. 3

4

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

-------

Um caso da pratica que corresponde a esse ponto de vista e o de um s6lido em transla9ao. Nesse caso, a grandeza velocidade de cada ponto, em cada instante, e a mesma. Entao, qual das flechas (equipolentes) que dao a ve­ locidade dos pontos do s6lido seria escolhida como sendo a velocidade

do s6/ido num certo instante? Como nenhuma tern preferencia, que tal todas, ou melhor, o conjunto de todas elas para ser chamado velocidade do s6lido?

escolher

Aqui esta o germe da no9ao de vetor. Nesse caso, tal conjunto seria o vetor velocidade do s6lido, no instante considerado.

Formaliza¢o do conceito de vetor Primeiramente, a defini9ao de flecha. Flecha e, intuitivamente, um segmento no qual se fixou uma orienta9ao. E fixar uma orienta9ao e escolher um sentido. No caso da figura, o segmen­ to orientado representado tern orienta9!0 de A para B. Na verdade n!o .

�B

precisarnos da flecha toda para os nossos objetivos. Bastarn os pontos A e

A

B, e a ordem: primeiro A e depois B. Eis a defini9ao:

Defini�o 1 Un, segmento orientado e um par ordenado {A, B) de pontos do espayo.

A e dito

origem, B extremidade do segmento orientado. Os segmentos orientados da forma (A, A) sao ditos nulos. Observe que se A -=/= B, (A, B) e diferente de (B, A).

Defini¢o

2

Dizernos que os segmentos orientados (A, B) e (C, D) tern o mesmo comprimento se

•

os segrnentos geornetricos AB e CD tern o mesmo comprimento. Suponha (A, B) e {C, D) nao nulos. Entao dizemos que {A, B) e (C, D) tern mesma dire•

•

�o se AB II en<*). Nesse caso dizernos que {A, B) e (C, D) S[O paralelos. Suponha que {A, B) e (C, D) tern mesrna dire9ao.

•

a) Se as retas AB e CD sao distintas, dizemos que (A, B) e (C, D) tern mesmo sentido caso os

segmentos AC

e

AB n CD-=/= I/>,

BD tenham interse¢o vazia. Caso

dizemos que

(A, B) e (C, D) tern sentido contrario.

;

B

B

--

A

--

0 A

'-

c

rnesmo sentido

(*)

AB

II CD inclui o caso em que as retas suportes coincidem.

/

__....,

'-- -- --- -\ I \ D

sentido contnirio

c

-------

5

Vetores

b) Se as retas AB e CD coincidem, tome (A', B') tal que A' nao pertenya a reta AB e (A', B') tenha mesma direyao, e mesmo sentido que (A, B) (como em a ) ). Entao dizemos que (A, B) e (C, D) tern mesmo sentido se (A', B') e (C, D) tern mesmo sentido. Se nao, dize­ mos que (A, B) e (C, D) tern sentido contrario.

B -

e'

B

A----

sentido contrario

mesmo sentido Verifique que sendo

(A, B)

e

(B, A)

tern mesmo comprimento, mesrna dire�o e sentido contrcirio,

A=foB.

Defmi¢o

3'

Os segmentos orientados

(A, B)

e (C, D) sao equipolentes, e indica-se

(A, B) -

(C, D),

se um dos casos seguintes ocorrer: a) ambos sao nulos; b) nenhum e nulo, e tern mesmo comprimento, mesma direyao e mesmo sentido. Decorre da defini9ao que "equipolente a um segmento nulo, s6 outro segmento nulo".

Proposi�o a) b) c)

1:

A relayao de equipolencia goza das seguintes propriedades:

(A, B) - (A, B) (A, B) - (C, D) (A, B) - (C, D)

(reflexiva) =>

(C, D)

e

(C, D)

- (A, B) - (E, F)

(simetrica)

(A, B) -

(E,

F)

�ransmva)<*>

Omitimos a demonstrayao. No entanto, sera born que voce se convenya da validade das asseryoes. Considere agora um segrnento orientado

(A, B)

fix.ado. C hama-se classe de equipolencia de

ao conjunto de todos os segmentos orientados que sao equipolentes a lentes entre si, pela propriedade transitiva). 0 pr6prio va. de

(A, B)

(A, B)

(e portanto equipo­

(A, B) e um deles, pela

propriedade reflexi·

(A, B) se diz um representante da classe. Note que se (C, D) pertence a classe de equipolencia (A, B) entao (A, B) pertence a classe de equipolencia de (C, D) (devido a propriedade simetrica)

(*) Uma rela¢'o quegoza das propriedades a), b) e c) se chama relapio de equivalincia.

6

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

e na verdade essas duas classes coincidem, pois quern for equipolente a (C, D) o sera a

(A, B) e

vice-versa (propriedade transitiva). Em outras palavras, qualquer segmento orientado pertencente a uma classe de equipolencia pode ser considerado seu representante, e cada segmento orientado

e representante de uma (mica classe de equipolencia. Def'mi\30 4 e uma classe de equipolencia de segmentos orientados de E3. Se (A, B) e o vetor correspondente ( ou seja, o vetor cujo representante e (A, B))

• Um vetor

um segmento orientado, -

sera indicado por -+-+-+

(a, b, x

AB .

Usam-se. tambem letras latinas minusculas encimadas. por uma seta •

etc.), nao se fazendo desse modo referencia ao representante. E claro que para citarmos

um vetor basta citar((ou desenhar)�um qualquer de seus representantes, e pronto: o vetor estara ·

bem determinado. 0 conjunto de todos os vetores sera indicado por V3• Chamaremos

•

vetor nu/,o

ao vetor cujo representante e um segmento orientado nulo. Ja.

comentamos que equipolente a um segmento nulo, s6 outro segmento nulo; segue-se que

todos

os representantes do vetor nulo s!o segmentos com origem e extremidade coincidentes. Jndica-se -+

o vetor nulo por 0. • Os vetores

de

-+

x

-+.

x

e

-+

y

nao-nulos sao

e paralelo a um representante de

mesmo sentido

(resp.

sentido contrdrio)

parale/.os

-+

y

x

11 y)

(e portanto a todos). Se -+

se um representante de x

tern mesmo sentido (resp. sentido contrario).

-+

-+

(indica-se

se um representante· -+

x

e um

-+

-+

x e

11 y,

-+

y tern -+ representante de y

Consideraremos o vetor nulo paralelo a qualquer

vetor. • Chamaremos

norma

(ou

madu/.o, ou comprimento) de um .

quer um de seus representantes; indica-se a norma de

-+

x

vetor ao comprimento de qual-+

por II x II.

Se

-+

II x II

=

1, dizemos

-+

que 0 vetor x e unitario. Observa�o De um modo geral, conceitos geometricos como paralelismo, perpendicularismo, compri­ mento, iingulos etc., envolvendo vetores, sao definidos "pondo-se a culpa nos representantes", como foi feito acima. Veja por exemplo a Defini�o 2 do C apitulo 6. • 0 vetor

tido (se

-

comprimento e

e chamado

vetor oposto

do vetor

-

-

-

AB. AB e. BA s6 diferem no senque seus representantes (A, B) e (B, A) tern mesma dire�o, mesmo sentido contrano. 0 vetor oposto do vetor AB e indicado tambem por -AB ;

BA. A =I= B), ja

-+

-+

0 vetor oposto de um vetor x e indicado por -x .

Um fato que estaremos usando sempre e que voce podera intuir facilmente e o seguinte: dados um ponto

origem

A

A

-+

-+

e um vetor ' ·v , existe um Unico segmento orientado representante de v

com

( tente. provar isso). '

Fin alizamos este paragrafo com uma recomendayao: nunca use o termo "vetores equipolentes", ja que a equipolencia e uma relayao entre segmentos orientados e nao entre vetores. Se os segmen.

tos orientados (A, B)

e (C, D) sao

os segmentos orientados

(A, B) e

equipolentes,

entao os vetores

-

AB

-

e CD

sao

(C, D) pertencem a mesma classe de equipolencia).

iguais

(isto e,

CAPITUW2

ADI<;AO DE VETORES

Vamos definir em V3 wna operay1io de adiylro, que a cada par de vetores ti e-; fara corres­ ponder o vetor soma ti + t Para isso, procedemos do seguinte modo: consideramos um represen­ tante qualquer (A, B) do vetor ti e o representante do vetor-; que tern origem B. Seja C a extremi­ dade deste ultimo. Fica assim determinado o segmento orientado (A, C). Por definiyao, o � � � vetor AC , cujo represeiltante e o segmento orientado (A, C), e o vetor soma de u com v . -

.

u

ObservafOes 1.

�

�

A definifiio nos diz que para determinar o vetor soma u + v, basta "fechar o triangulo", tomando o cuidado de escolher a origem do segundo coincidindo com a extremidade do primeiro (representante). Pode-se tambem adotar a "regra do paralelogramo", que consiste � � em tomar representantes de u e v com a mesma origem A ((A, B) e (A, C) na figura 7

8

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

ao lado) e construir

u

'v..

orientado

o paralelogramo ABCD.

(A, D) (diagonal que contem o ponto A) e um -+

representante do vetor u +

A� ' "

0 segmento

-

-+

-+

ja que ela "fecha o triiingulo"

v,

ABD e BD = v.

"�c - � D 2.

A escolha do representante mina
-+

-+

u +v.

conseqiientemente

-+

(A, B) do vetor . u

e arbitraria, mas isso nao influi na deterI

De fato, se escolhermos outro representante outro

represe �tante

(B1, C1)

para

-;

I

(A , B )

teremos

para

-+

u

e

(A1, B')- (A, B),

(B', C') - (B, C) e dai segue que (A', C') - (A, C) (conven9a-se disso; por exemplo, na situa9ao ilustrada na penultirna figura, os triiingulos ABC e A1B1C1 sao congruentes - por que?) S!Io muito importantes as propriedades que enunciamos a seguir; elas constituem as pri­ meiras "regras" do calculo com vetores. Nao faremos demonstra9oes, mas as figuras seguintes sao elucidativas. Al)

PROPRIEDADE ASSOCIATIVA

A2)

PROPRIEDADE COMUfATIVA -+

-+

-+

-+

u + v = v +u A3)

-+ -+

V u , v E V3

ELEMENI'O NEUfRO -+

-+

-+

u +0

= u,

(lembre-se que todo representante do vetor nulo tern origem e extremidade coincidentes). Assim, -+

-+

-

--

u + 0 = AB +BB= AB

A4)

-+

u.

ELEMENTO OPOSTO -+

Dado um vetor u

-+

qualquer, existe um vetor que somado a u

o vetor nulo: trata-se do vetor oposto de -+

-+

--

u + (-u ) = AB +BA

=

* AA = u

it, que se indica por

-

it.

da como resultado

------

Adi�iio de Vetores

9

•

u

•

-u

..

Esta propriedade nos permite definir subtra�ao -+

-+

de vetores:

-+

-+

u -v

e por defini�ao a

soma do vetor u com o vetor oposto do vetor v. -+

-+

-+

-+

-+ -+

V u,v EV3

u - v = u +(-v),

Observa�o Escolhidos os representantes (A,B) e (A,C) AB CD -

CD

=

(figura)

-+

--+

u, DB

-+

o vetor -+

=

-+

u -v

-+

e construido o paralelogramo

tera como representante o segmento orientado (C , 8), pois

---

-v, e CD + DB =CB. -+

-+

de u e v,

A ssim, as diagonais do paralelogramo representam a

-+

soma e a diferen� entre u e v. ..

C

D

u

:r::?!J · v

-v

A

B

u

Exercicio resoMdo Prove as "leis do cancelamento" da adi�o: -+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

u + v=u + w -+

x +z =y+z

=*

-+

-+

v=w

-+

-+

=*x =y

Resolu�o. Provaremos a primeira; a segunda se reduz a primeira devido a propriedade comutativa A2. Somando aos dois membros da igualdade obtemos: -+

-+

-+

-+

(-u)+(u+ v)

=

-+

-+

(-u)+(u +w);

pela associativa (Al) temos -+

-+

-+

-+

-+

-+

(-u+u)+v =(-u+u)+w; pela propriedade A4 resulta -+

-+

-+

-+

O+ v =O+w

-+

-+

-+

-+

u + v =u + w

o vetor oposto do vetor

-+

u,

10

Geometrla Analitica: um tratamento vetorial

ou, pela comutativa, �

�

v +o

�

-+-

=w+O;

e, finalmente, pela propriedade A3, �

�

v =w.

EXERCICIOSPROPOSTOS

I.

Prove que �

�

�

u +v =w

2.

=>

�

�

�

u =w-v

-+-

�

�

Dados representantes dos vetores u e v conforme a figura, ache um representante de x tal que -+-

�

�

-+­

u + v +x = O

v

3.

�

�

-+-

-+-

Justifique a seguinte regra . Para calcular x =u +v +w, tome um representante (A, B) de

-+-

u,

um representante (B, C) de

�

v,

�

um representante (C, D) de w.

-+-

Entao x

tern

como representante (A, D). (Intuitivamente falando, "fecha-se o poligono" .) Raciocinando por indu�ao finita, pode-se generalizar essa regra para n parcelas.

4.

Ache a soma dos vetores indicados na figura, nos casos:

D

D

(a),

(b) c

c

A

________________ ___.__ . _

A�ilo de Vetores

11

{d}

(CUBOSI

(e)

B

A

(PARALELEPl�EDOI .

F

E

(HEXAGONOS REGULARES)

(g)

I

I A

A

\ \ E

D

CAPfrul.O 3

MULTIPLICA�AO DE N0MERO REAL POR VETOR

-+

Vamos definir uma opera�o "externa" em V3, que a cada numero real a e a cada vetor v -+

associa um vetor indicado por av -+

tal que:

-+

-+

-+

•

Se a = 0 ou v = 0, entao av = 0 (por defmi�o)

•

Se a =I= 0 e v =I= 0 ,

-+

-+

-+

-+ a

v 6 caracterizado por

-+

a) av//-v

-+

-+

b) av e v tern mesmo sentido se c)

11 av II

a

> 0 e sentido contrario se a < 0.

-+

-+

=

I a I II v II.

Vejamos quais sao as propriedades da multiplica�o de nfunero por vetor; aqui, como nas propriedades da adiirao, omitiremos as demonstrairQes (isso na:o o isenta da obrigair1ro de entender e intuir as propriedades; faira figuras!).

Ml)

-+

-+

-+

-+

.

-+-+

a(u +v ) =au +av, V aER, Vu,v EV3

(observe a semelhanira dos trilingulos da figura seguinte ). 12

------- MultiplicQf60 de Numero Real por Vetor

-+

13

-+

u +v

(a>O) (a
M4)

-+

(a +fj)v

-+

=

-+

-+

1 .v

=

-+

=

Va,fjER,

-+

Vv EV3

-+ V v EV3

v,

-+

a (fjv)

-+

av +fjv,

(a fj) v

-+

=

fj (av),

Va, fjER,

-+

Vv

E V3

Obsena�oes

1. As quatro propriedades da adi�ao e. as quatro propriedades da multiplica�a:o de nfunero por vetor conferem a V3 o que se Chama uma estrutura de "espa� vetorial". 0 nome "esp�o vetorial" se inspira, naturalmente, nosvetores, e pode ser entendido como ''espa�o cujo cont­ portamento algebrico e identico ao do espa�o V3 ", ou seja, espa�o ondevalem as propriedades Al, A2, A3, A4, Ml, M2, M3, M4.

2.

Os espa�s vetoriais slo estudados

na Algebra linear.

E comum usar-se o termo escalar para designar numero real, em contraposi�a:o a vetor. A opera­ �ao definida neste par.igrafo e, pois, a multiplictlfiio de vetor por escalar (nlo confunda com produto escalar, que ser.i definido mais adiante).

3. Como as pito propriedades Al, A2, A3, A4, Ml, M2, M3, M4 sa:ovilidas tambem para a adi�a:o

e para a multiplica�a:o de numeros reais, o ca.J.culo .com vetores (pelo menos no que tange is duas opera�oes definidas ate agora) segue os mesmos principios - as mesmas regras - que o -+

caJ.culo algebrico elementar. Por exemplo, somando aos dois membros da igualdade a ovetor oposto dovetor -+

b

-+ =

�

+b

-+

=

c

1, e aplicando as propriedades Al, A4, A2, e A3, chegamos a

-+

c - a

logo, vale para OSvetores a conhecida regra "pode-se transpor um termo de um membro para outro de uma igualdade, desde que se lhe troque o sinal". -+

-+

4. Se a E IR e v

1 -+ v -1- · (), - S1gn1 . "fi1ca - v. E y3 , com a ..,.. Q

Q

14

(jeometria AnaUtica: um tratamento vetorial

EXERcfaos RESOLVIDOS I.

Prove s a RegrasdeSina s i: -+

-+

v

aER

V

-; E V3

v

aEIR,

V

-; E V3

v

aEIR,

V

-; E V3

a ) (-a) v =- (av) , -+

-+

b) a(-v) =- (av) , -+

-+

c) (-a) (-v) =-av,

Resolu�o

a)

-+

-+

M2

-+

(-o:) v +av = (-a +a) v b)

-+

-+

Devemosprovar que (-a) v e o vetor oposto do vetor av ; para s iso , pela defini�ao de -+ -+ vetor oposto , e suficiente mosra t r que a so ma (-a) v +av e o vetor nulo. Veja mos:

=

0

def.

-+

v = -+

-+

-+

co mo queria mos.

0

-+

-+

Devemos mosra t r que a(-v) + a v= 0 para concluir que a(-v)

e

Mas: -+

-+

Ml

-+

-+

-+

a(-v) +av = a(-v +v) =o: O c)

def.

=

-+

0

Usaremos aspartes a ) e b) : -+

a)

-+

b)

-+

-+

(-a) (-v) =-[a(-v}] =-[ - (av) ]=o:v ( expliquevo ce mesmo a ultima passagem; lembres - eda defini¢o devetor oposto ) .

2.

-+

-+

-+

-+

Prove quese av =f3 v es,e __ v* 0 ,

entao a= {3.

Resolu\!io def. -+

-+

av ={3v

-+

-+

av-{3v= 0

=>

av +(-/3) v =0

Co mo porhip6tese-; *

(*)

-+

=>

-+

-+

-+

M2

O, temos( ex r e cicio

Exercicio Resolvido la).

-+

-+

-+

o:v +(- (/3v) ) =O

=>

1

-+

-+

(a- /3) v =0

adia nte) queo: f3 -

=

O

-+

o oposto de av.

o u seja a= (i.

------

Multiplic(lfiio de Numero Real por Vetor

15

EXERcfOOSPROPOSfOS �

�

�

�

1.

Prove que a: v = 0

2.

Prove que se a: u = a: v e se a:* 0, entao u = v.

3.

Prove que

4.

Prove que 2v

5.

Se (A,

�

B)

�

( 1) v -

e

ou

v = 0.

�

�

�

�

�

= -v. �

�

�

a: = 0

v + v.

=

um

representante de

�

�

u * 0, e (C,

D)

�

�

um representante de v * 0, prove

que:

AB// CD

�

=

�

existe A.EIR tal que u =Xv.

(Este resultado e importantissimo e sera muito util; trata-se de uma "tradu�o" a]gebrica muito simples,

�

u

�

=.

A. v ,

de

fato ge ometrico muito importante, o paralelismo. E exa-

um

tamente isto que se pretende na Geometria Analitica)

�

�

�

�

�

6.

Reselva a equa�o na inc6gnita x: 2x - 3u = 10 (x + v)

7.

Resolva o sistema nas inc6gnitas x e y:

�

{4

�

x + 2y

3-; -

8.

�

�

Seja vi= 0. Mostre que

� •

�

y = �

v

11111

�

u

�

�

2u + v

�

e um vetor unitario (chamado versor: de v).

CAPITUL04

SOMA DE PONTO COM VETOR

Como ja comentamos no final do Capitulo

1,

�

dados um ponto P e um vetor v, existe �

um Uni.co segmento orientado (P, Q) representante de v. Isso nos permite definir uma ope­ � 3 ra9ao que a cada ponto PE E3 e a cada vetor v E V3 associa um imico ponto Q de E , indi�

�

cado por P+ v, e chamado soma de P com v. Assim,

p+

don de

---+

PQ

Q

I

Q

(1)

p �

�

Usaremos a nota9ao P - v para indicar a soma do ponto P com o vetor oposto do vetor v : �

�

P-v=P+(-v) �

Intuitivamente, podemos encarar P+ v �

como o resultado de uma transla9ao do ponto P, trans­

la9ifo essa determinada pelo vetor v. Vejamos algumas propriedades dessa opera9ao: PI.

P+

0

=

P

V P E E3 ---+

�

E uma conseqiiencia imediata da defini9lfo, pois PP = O P2. 16

�

�

.�

p+ u = p+ v

�

�

u = v

�

�

P + O = P.

----

Soma de Ponto com Vetor

-+

-

-+

-+

--+

17

-+

De fato: seja Q =P+ u = P+v . Entao, da definiyao decorre que PQ = u e PQ =v. Logo

-+

-+

-+

u =v.

Note que esta pro priedade permite um "cancelamento" de

-+

P

na igualdade

P+u =P+v.

P3.

-+

-+

-+

-+

'

-+-+

(P+u)+v=P+(u + v), 'Vu ,vEV3

VPEE3

Demonstra�o

-+

-+

P4.

A+v=B +v

�

A= B -+

-+

-+

(Agora se trata de um "cancelamento" de v ). De fato, A+v =B +v -+ -+ -+ -+ -+ -+ Pl -+ -+ P3 � A B. � A+0 = B + 0 (B +v) -v � A+(v - v)=B +(v - v)

-+

�

-+

(A+v) - v

=

-+

PS.

-+

(P - v )+v =P

Decorre diretamente de P3 e de P l: . -+ Pl -+ -+ -+ -+ P3 -+ -+ l> (P - v )+v = [P+(- v)] +v = P+ [ -v +v ]= P+ 0 =

Observa�o Se o segmento orientado (A, B) e um representante do vetor

-+-. x,

-

e usual representar esse vetor

por AB, OU tambem por B -A. Esta ultima e chamada notayaO de Grassmann (nao se trata, a rigor, de subtrair pontos, mas sim de uma notayao sugestiva: ja que o ponto B e a soma do ponto A com o vetor

-+

x

--+

(pois AB

-+ = x), o

vetor

-+

x

seria a "diferenya" entre B e A).

EXERCICIOS RESOLVIDOS

1.

Mostre que AB - AC = CB

Resolu�o - Lembrando que por definiy:fo de adiyao de vetores CA + AB= CB -

-

e que CA= -AC

obtemos o resultado

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorial

18

2.

Na figura,

-

M, N, P

sa:o pontos medios de

.;....+-

-

--+

AB, BC

e

CA respectivamente. Exprima

BP , AN, CM em funyao de AB e AC.

c

Resolu�o

•

-

----+

A

BP=AP+ BA

~

�·�

M

----+

Precisamos fazer aparecer AC. Ai usamos o fato de P ser ponto medio: 2AP =AC

Entao, levando na primeira relayao acima, vem:

l--+--+ BP =-AC -AB 2

--+

•

----+

AN :

Quanto a ----+

(a)

-

-;-:7 AN =BN +AB ----+

-

2BN =BC -

.•

1--

-

1-

AN=2 (AC + BA)+ AB=2 AC -

.. AN =_

1

2

•

- AC + BA

=

-

1-AB+ AB

2

1 AC + 2 AB

(13)

Fica a seu cargo provar que

1---+ CM =-AC +-AB 2

----+

('Y)

Na figura ao lado, damos uma ilustrayll'o de ({3). Faya voce uma de

(a)

e uma de (-y).

c

�

l/2AC

A

,

l./2 AB

M

B

-------

Soma de Ponto com Vetor

19

(a) Eis um outro modo de resolver o problema: - - Parta de 2AP =AC e faya aparecer B: 2(BP +AB )=AC

--- . -1-Dai 2BP + 2AB = AC :. BP =2 AC - AB ·

(b)

Nao va concluir de AC! Sendo A, B,

((3)

que a medida de AN e a semi-soma das medidas de AB e

-1 -- 1 C. vertices de um triangulo, vale II AN II < 2 II AB II + 2 II AC II

(por que?) (c) 3.

Verifique que

e

(a), ((3)

valem, mesmo que A, B e C sejam colineares.

('Y)

Na figura, a medida de AX e metade da medida de e CB .

-

�

XB. Exprima CX em funyao de CA c

Resolu�o

x

Podemos escrever

AX

1=

2 XB

(Cuidado:

enganar-se escrevendo por exemplo

AX

- AX e XB tern o mesmo sentido I E comum

1-

=

2 BX ,

o que esta errado, pois os vetores do1Qe

2Qmembros tern sentido contrano.) Fazendo "aparecer .. C resulta:

- -1 -

ex

--

cx

-

- CA = 2 (CB - ex)

--1- 1-­

- CA =- CB - 2 2

ex

- 1-1--­

cx

+ - ex =- CB + CA 2 2

3-

-ex 2

1- -

=-CB +CA 2

20

Geometria Analftica: um tratamento vetorial -------'--

4.

Prove que as diagonais de um pani.lelogramo tern o mesmo ponto media.

Resolu�iio D

Considere o paralelogramo ABCD, de diagonais DB. Seja M o ponto medio de AC. Vamos pro­ var que M e tambem ponto medio de BD. Ora, - ----+--+ BM =BC +CM =AD + MA = MD. Logo, Me ponto

AC

e

medio de

A

BD.

-------...1

5. Prove que o segmento que une os pontos medios de dois lados de um triangulo e paralelo ao

terceiro lado e tern poi" medida a metade da medida deste lado.

Resolu�o Seja

0

triangulo ABC, e sejam

M e NOS pontos medios de AC e BC, respectivamente.

c

A

A

afirma9ao feita equivale

�

a seguinte rela9ao: MN =

a provar.

Podemos escrever

Somando membro a membro, resulta

�

1 --+

T

-

2MC AC 2CN = CB -

-

-

-

2(MC +CN) =AC +CB 2M"N =Aft 1--+

--+

MN =-AB .

2

AB

(por que?) a qua! passaremos

Soma de Ponto com Vetor

------

6.

Prove que se

21

pontos medios dos !ados de um quadrilatero sao vertices de um segundo

OS

quadrilatero, este e um paralelogramo.

Resolu�iio

Seja

ABCD

D

o quadrilatero, e, M, N, P, Q os qua­

tro pontos'medios de seus lados. Para provarmos a asser-

--+

�o, basta provarmos que

MN

=

PQ

(pois se um

quadrilatero tern dois !ados opostos paralelos e con­ gruentes, ele e um paralelogramo).

--+ podemos escrever MN

Pelo exercicio anterior, considerando o b,. ADC, mesmo modo, considerando o b,. ACB,

7.

I---+

=

2 AC.

2 AC .

Do

Dessas duas expressoes resulta

-

--+

MN

PQ

1 -

=

=

PQ , como queriamos.

Prove que num triangulo as retas suportes de duas medianas se encontram num (mico ponto.

Resolu�iio Com a nota�ao do Exercicio Resolvido 2, vamos provar a afirma<;ao. provando que AN e

BPnao sao paralelos. Se fossem, haveria XE IR Usando as express5es (a) e

1--+ -

2

-+

AC - AB

({3)

X-+ = -

2

AC +

tal que

BP

=

X

AN.

do Exercicio Resolvido n
X-+ AB 2

-

donde

X

1-X---+ 2

Nao pode suceder 1 +-12--+ AC =�AB; 2

---+

AC =(I+-) AB

--

2

X

=

logo

1, senao seria -

-

AC e AB

.

(I +

I ---+ ) AB T

-+ =

0, logo

,

B = A.

senam paralelos, o que e absurdo.

Entao X* 1, e

dai

22

8.

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Na figura se representa um paralelepipedo -+

-

-

---

ABCDEFGH. -+ -+ -+

Sendo

-+

-

u =AB,

-+

v

-

=

AD,

w = AE, exprima AG, EC, HB, DF em fun�ao de u , v , w .

Resolu�iio -

•

AG

-=

-

-+

-+ v

CG + BC + AB·= w +

- -+

AG= u +

-+ v

-+

+ u

-+

+w

(interpreta�ao: em termos vetoriais, "a diagonal de um paralelepipedo e a soma de suas arestas"). --+--+--+ -+

-

•

-

•

-+

-+

EC = BC + AB + EA = v + u - w --

-+

-+

HB= AB + DA + HD = u - v

-+

-

w

Da mesma forma chega-se a - -+ •

DF

=

-+

-+

u - v + w

EXERCiCIOS PROPOSTOS 1.

Dados quatro pontos -

e CB (e m).

A, B, C e X tais que AX

-

=

-

-

J?XB , exprima CX em fun�o de C A

----- SomadePontocom Vetor

.23

c

-

--

Sugestio. Na relaylio AX =mXB faya aparecer C em ambos os membros.

-� dado um triangulo ABC e os pontos X, Y, Z tais que AX =mXB -- -- =--:7 ,,,_ -

2.

CZ =pZA .

-

Exprima CX,AY ,Bz emfun�o de CA e CB (e m,n,p).

.

.

-

Num triingulo ABC 6 dado X sobre AB talque II AX II

3.

--

BY =nYC

-

-

=

2 II XB II e e dado Y sobre BC

talque I BY II = 3 II YC I. Mostreque as retas CX e A Y se cortam. Sugestio: Use o exercicio anterior, achandoqual deve ser m equal deve ser n. Suponha

CX

=

X AY e chegue a um absurdo.

Num triingulo ABC, sejam X a interseyao do lado AB com a bissetriz intema do ingulo

4.

A

AC B, e, supondo

-

-+-

II CA II-:/= II CB II, Y a interseyao da reta AB com uma das bissetrizes

*) extemas do angulo A B( .

a)

Os vetores

-

e CY .

C

cs

Cl

C8

ct

--==;-- + � e -=:::::;- - --:=;- sao respectivamente paralelos a CX II CB II II CA II II CB II II CA II

De uma explicayao geometrica para isso. No Capitulo

8 (Exercicio 3) voce

dara uma prova analitica.

b)

II CA II II CB II 11 CA II II CB 11 Prove que ---==;- = -===+"" e � = -II AX II II BYf II A y II II BX II

c)

Exprima CX,CY,X e Y

--

-

em funyao de A,CA

-

e CB .

C, exprima CX e X em funyao de A, CA e CB. A

A

Sugestio. SeA e B nio sao retos, vale A

--.....+-

=

II AX II tg A

A-+

(tg A) AX

--+-

=

A

A

(tg B) XB, quer A e B sejam agudos,

quer um deles seja obtuso.

(*) Existe Y se

A

II BX II tg B. Conclua daf que

A-+

=

-+

-+

llCAll-:/= lies II.

/

/

/ / Y�---

5. Sendo CX a altura do MBC relativa ao vertice -

h

' /

A

x

24

6.

&eometria Analitica: um tratamento vetorial

Prove que as medianas de um triangulo se encontram num mesmo ponto, que divide cada uma na razao 2: 1 a partir do vertice correspondente.

Sugestio: Usando o Exercfcio Resolvido n9 7: seja G o ponto comum as retas AN e

BP,

e

H

o ponto comum as retas AN

G = A+ A AN= B + µ BP --·

7.

8.

--

e

e

CM.

H= C +a CM= A+ .

.

--

Existem

A, µ, a e (3 tais que

(3 AN. Calcule -

A, µ, a

e

(3.

Prove que as alturas de um triangulo se encontram num mesmo ponto. Idem para as bisse­

trizes intemas.

Demonstre que o segmento que une os pontos medios dos lados nao-paralelos de um trapezio e paralelo as bases, e sua medida e a semi-soma das medidas das bases. (Aten�o: niio e

9.

suficiente

provar que MN=

�

(AB+ OC), mas isso ajuda bastante.)

Demonstre que o segmento que une os pontos medios das diagonais de um trapezio e paralelo as bases, e sua medida e a semi-diferen�a das medidas das bases. (Aten�o: niio

1 e suficiente provar que MN = 2

10.

-

(AB

DC), mas isso ajuda bastante.)

-

Num trilingulo ABC, sejam M, N, P, os pontos medios dos lados AB, BC e AC, respecti­ vamente. Mostre que

AN + BP + CM = 0. ------

�

Sugestiio: Exercicio Resolvido n
Dado um trilingulo qualquer, mostre que existe outro com lados paralelos e congruentes as medianas do primeiro.

-----

SomadePontocom Vetor

25

Sugestio: Tome um ponto 0 qualquer e considere os pontos X=0+AN, Y=X +BP --+ e Z=Y+CM . Mostre que Z=0 e que 0, X,Y nio sao colineares. 12.

Sendo ABCDEF um hexagono regular de centro 0, prove que - -- AB + A C + AD + AE + AF =6 AO .

-

p.

Seja OABC um tetraedro, X o ponto da reta BC definido por BX=mBC. Exprima --+ --ox e AX emfun�o de OA ,OB, O C.

14.

Seja OABC um tetraedro, X o ponto de encontro das medianas do triingulo ABC (baricentro). Exprima OX em termos de OA , OB,O C.

---

--+

IS.

Sejam A, B, C, . ontos quaisquer, M o ponto medio de A C e No de BD. Exprima ... ... -- -- - x em fun�o de M , sendo x=AB +AD + CB + CD .

16.

Seja ABCD um quadrilatero, e 0 um ponto qualquer. Seja P o ponto medio do seg­

g

mento que une os pontos medios das diagonais A C e BD. Prove que 1- -p =0+4 (OA + OB +OC + OD)

17.

Dados 0, A, B, C, ache G tal que - GA +GB +G C= 0 - ... -... b=OB, c=O C.

18.

Sejam A,Be C tres pontos quaisquer, A =F B. Prove que:

----

...

em fun�ao de 0, a=OA,

x e um ponto da reta AB - CX=ex CA + (3 CB, com ex +(3 = -

-·

-

...

--+

1.

Sugestio: Exercicio 1.

19.

Nas condi�oes do Exercicio 18,prove que: x

e um ponto do segmento AB -

CX=ex CA +(3 CB, com ex .;;a. 0, (3

-

�

0, e

ex+(3= 1.

20.

Sejam A,B e C vertices de um 4iingulo. Prove que: X e um ponto interior ao triingulo -+ -ABC se e somente se CX=ex CA + (3 CB, com ex > 0, (3 > 0, e ex+(3 < 1 (um ponto e interior a um triingulo se for interior a alguma ceviana dele ).

26

21.

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

------

Na figura, a distancia de M a A e o dobro da distancia de M a

B, e a medida de AN e a

c

terya parte da medida de CN. Exprima -

-

funyao de A, AB e AC .

M 22.

-+

---

Considere o triangulo ABC, e sejam CA -

para que o ponto X = C + a

w

'

=

u, CB

pertenya a reta AB.

=

v, e

-+ w =

-+

u

-+ -

2v. C alcule a real

CAPITULO S

DEPEND£NCIA E INDEPEND£NCIA LINEAR

Um conceito fundamental para tudo o que vira a seguir e o �e dependencia linear de vetores. Veremos em primeiro lugar a conceitua�llo geometrica, para em seguida caracteriza-la algebrica­ mente. -+

I nicialmente, fixemos a seguinte linguagem: um vetor u diz-se paralelo a uma reta .

1T) 1T).

piano (em

se existir um representante

(A, B)

-+

de u

I

(a um

tal que o segmento AB esteja contido em r

Em particular, o vetor nulo e paralelo a qualquer reta e a qualquer piano._£ claro que

dois vetores paralelos a uma mesma reta sao paralelos; mas cuidado: dois vetores paralelos a um mesmo piano podem nllo ser paralelos!

A

conceitua�ao geometrica da dependencia linear sera feita por etapas, conforme a quanti­

dade de vetores envolvidos. Definifao 1

I - Uma -+

v

II -

=

sequencia

-+

0.

-+

-+

(v) -+

-+ 3 de um unico vetor v E V -+

Se v * 0, a seqiiencia (v) e

Uma seqiiencia

-+

.-+ ·:·

(u, v)

3

(LD) se

"-+

line.armente dependente (LD) se u -+-+ contrario, (u, v) e line.armente independen�e

de vetores de V

sao paralelos a uma mesma reta. Caso -+ -+

line.armente dependente line.armente independente (LI). e

-+

e

3 III - Uma seqiiencia (u, v , w) de vetores de V e forem paralelos a um mesmo piano'. Caso

-+

e v

(LI).

-+ -+

-+

line.armente dependente (LD) se u , v , w -+ "-+ -+ contrario, (u, v, w) e line.armente indepen-

dente (LI). 27

28

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

IV - Qualquer (LD)

seqiiencia de vetores com quatro ou mais elementos e

linearmente dependente

por defini9a:o.

Observa9oes Conforme ficou hem ex plicito

1.

qualidades inerentes a

de vetores, e nao aos pr6prios vetores; Apesar disso, e

sequencia -+

defini�o, dependencia e independencia linear sao

na

-+

comum dizer-se: ·�os vetores u e v

sao

que 0 significado e: "o par ordenado -+-+-+

nada (u , v , e o vetor

w)

-+

v

e

pois u

�

-+

(u: '

-+

ou "os vetores u, v e

v)

e LI"'

OU,

-+

w

sao

LD". E

-+

claro

respectivamente, "a tripla orde. -+

Evite, portanto, o seguinte erro de raciocinio: se o vetor u

LD".

-+

e

LI

e LI, entao os vetores u e v sa:o LI. lsso nem sempre e verdade, como por �

exemplo no caso da figura, onde (u) "+

-+-+

LI",

�

.

�

�

e LI,· ��

-+ -

*O, (v) e LI, pois v *O, mas (u , v)

r

e LD (por que?)

u

- - - - ----· -------+

s -

v

- - - ------

(r // s)

-+

-+ -+

Se uma seqiiencia (v1' V2' ... V n ) e LD [LI], qualquer permuta9ao dessa seqiiencia tambem e

2.

LD [LI]. Se um dos vetores da seqiiencia e nulo, essa seqiiencia e

3.

LD.

Verifique voce mesrno.

CARACTERIZA�AO ALGEBRICA DA DEPEND£NCIA E DA INDEPEND£NCIA LINEAR

Defm�o2 -+

-+

-+

Sejam V1, V2, ... vn vetores de V

combinariio linear

-+ -+

u

-+

u

(n ;;;.:

e a1, a2,

1)

•••

,

an numeros reais. Chama-se

dos vetores Vi. v2, ... vn (com coeficientes a1, a2, ... an) ao vetor -+

-+

Se

3

-+

-+

-+

a1 v1 +a2 v2 + ... +an vn

=

-+

-+

-+

-+

e combina9ao linear dos vetores V1' V2' ... vn•. diz-se tambem que u

-+

-+

e

gerado

pelos

vetores v1, ... vn.

Observe agora que o vetor nulo res. ·oe fato, sempre

e possivel escolher a1 -+

0

-+

-+

-+

...

an= 0, e teremos

e gerado por v1, v2, ... vn, quaisquer que sejam estes veto-

=

=

-+

a2

=

-+

=

0 V1 + 0 V2 + ... +

-+

Q Vn

( 1)

---- Dependencia e Independencia Linear

29

Ora, dira voce, assim nfo tern gra�a! E claro que escolhendo todos os coeficientes i guais a zero, a combina?o linear resultara no vetor nulo! Concordo. Sera que haveria, porem, outra combina-+ -+ . ... �o linear de v1, v2, , _vn (isto e, em que os coeficientes NAO sejam todos nulos) que seja -+ . tambem igual a 0? Conforme veremos mais adiante (Proposi?o 2), isso depende exclusivamente -+ -+ -+ ' de ser LI ouLD a sequencta - ( v1, v2, , vn). •••

•••

--·

Antes, veremos uma primeira rela?o entre dependencia linear e combina�es lineares. Proposi�ao 1

-+

-+ -+

Uma seqiiencia (v1, v2, , v n) (n ;;;i. 2) eLD se e somente se algum vetor da sequencia for gerado pelos demais. •••

Demonstra�o Analisaremos separadamente cada um dos casos (II), (III) e (N) da Defini?o

-+-+

Caso (II)

1.

a) Suponhamos (u , v)LD. Se um dos dois vetores e nulo, ele e gerado pelo outro; -+ -+ -+ -+ suponhamos entao u =I= 0 e v =I= 0. Da hip6tese, concluimos que existem representantes .

-+

-+

-+

(A, B) de u e (A, C) de v tais que A, B e C sao colineares, A =I= B e A =I= C. Seja

-+

-+

-+

-+

-+

Se u e v tern mesmo sentido, temos v = a u e se tern sentido contrario, v -+ *) -+ v e gerado por u ( . Compare com o Exercicio 5 do Capitulo 3.

=

a=

Uvll 11 t:'ll.

-+ (-a) u . Logo

b) Reciprocamente, suponha que -; =ati e que nenhum dos dois vetores e nulo (caso -+ em que nao haveria nada a demonstrar). Seja (A, B) um representante de u. Da defini?o de -+ multiplica�ao de vetor por escalar, concluimos que o representante de v com origem A tern sua extremidade C na reta que passa por A e B . Logo, A, B e C sao colineares e isso quer dizer que

-+ -+

(u ,v) eLD.

-+-+

-+-+ -+

. f01. proa) Suponhamos (u , v , w)LD. Se o par. (u , v) forLD, teremos pelo que Ja -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ vado (caso (II)) que u = ci. v (ou v = f3 u). Nesse caso, u = av+Ow (ou v = f3 u+Ow) -+ -+ e esta demonstrada a afirma�ao. Se, por outro lado, (u , v) eLI, fazemos a seguinte constru�ao -+-+ -+ . 3 geometrica: tomamos um ponto PE E e os representantes (P, A), (P, B) e (P,C) de u ,v e w -+-+ . sao colineares, pois (u , v) eLL Pelo ponto C tomamos retas respectivamente; P, B e A nao paralelas a PB e PA, determinando assim os pontos A -+ . M e N (figura). Entfo, (u , PM) eLD, e ·pelo que Jli

Caso (III)

-

·

-+

foi provado ( caso II) temos PM = a u . Da mesma -+ -+ -forma, PN = f3 v. Notando agora que w = PM+ PN, -+ -+ -+ temos w = a u+f3 v. . Observe que os argumentos -+ -+ acima valem tambem para os casos em que w // u ou ; /I -;; apenas a figura seria diferente. Pense nisso. ·

B

( •)

-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ u =I= 0 e v =I= 0 nao s6 u e gerado por v, mas tambem v e gerado por u, pois -+ -+ -+ 1-+ e portanto de v = Q u segue u = - v.

Note que Q

=I=

0

no caso

Q

. Geometrla Analitica: um tratamento vetorial

30

-+

-+

-+ -+

-+

-+

Reciprocamente, suponha que w, por exemplo, e �rado por u e v , w = o u +(3 v , e _ que nenhum dos tres vetores e nulo (pois nesse caso nao ha o que demonstrar). Sejam (P, A),

b)

(P, B)

e

(P, C)

-+

-+ -+

representantes de u , v e w, respectivamente. Se P,A e B sa:o colineares,e claro -+

-+

-+

que os quatro pontos estiio num mesmo plano e portanto ( u , v , w ) e -

P, A e B determinam um plano, sendo PM

-+

= o

u

-+

-

e PN = (3 v

LD.

Se, ao contrario,

(veja a figura) temos que M

pertence a reta PA, N pertence a reta PB, e portanto o parale­

N

��:__-----:�.,..

p""-

A

C

logramo PMCN esta contido no plano determinado por P, A e B. Concluimos que os pontos P,A,B e C sio coplanares e portanto -+-+-+

(u ,v ,w ) e LD.

- --

Ozso (IV) Neste caso, precisamos provar apenas que se n ;;;;.. 4, ent!o um dos vetores da seqtiencia -+ -+ (V1, V2, ..., Vn) e gerado pelos demais (a reciproca e automaticamente verdadeira, pois para

-+

n ;;;;.. 4 a seqii

(por exemplo,

-+ -+ -+

�cia e LD por defini�o).

Se (v,'

V2' V3) e LD, entiio,pelo que ja vimos,um deles

Vi) e gerado pelos OUtrOS dois: -+

Vi

=

-+

02V2

-+

+03V3.

Segue-se que -+

-+

Vi

e portanto

-+

Vi

=

-+

mente representantes

-+

-+

+... +0 vn

-+

-+

-+

-+

-+

V2' V3' ..., vn. Suponhamos agora que (vi' V2' V3) e LI constru�ao geometrica: sejam (P, A), (P, B), (P, C) e (P,D) respectiva-+ -+ -+ -+ de Vi, v2, v3 e v4• Pelo ponto D, tomamos uma reta paralela a PC, que

e gerado pelos vetores

e fa�amos a seguinte

-+

02 V2 + 02 V3 +0 V4

encontra o plano PAB no ponto M (por que essa reta nao pode ser paralela ao plano PAB?)'. Pelo ponto M, tomamos retas paralelas a PA e PB, de­ terminando assim os pontos N e Q (ver figura). Final­ mente, pelo ponto

D

tomamos um plano paralelo

ao plano PAB, que intercepta a reta PC num ponto

'"'\o----�::::m D R (por que esse plano nlro pode ser paralelo a PC? ) . - - -+ •

E claro que PN + PQ +PR= v4•

Por outro lado --

(PA ,PN ) e

-

-

-

=>PN = OiPA =

(PB,PQ) e LD

=>PQ = 02PB =

--

--

(PC ,PR) e

A

---+

LD

LD

-

=>PR=

·-

-+

01V1 -+

02V2 -+

03PC = 03V3

-------

-+-

Logo, V4

-+-

V4

-+-

-+-

-+-

-+-

O:iVi + 0:2V2.+ 0:3V3 e portanto, V4

=

31

Dependencia e Independencia LinetlT

-+-

-+-

-+-

-+-

-+-

= O:iVi + 0:2V2 + 0:3V3 + 0 V5 + ... + 0 Vn , isto e,

e gerado pelos demais vetores da seqiiencia. Note que OS argumentos acima valem tambem

para os casos em que D pertence a uma das retas PA,.PB,

PC, ou a um dos pianos PAB, PAC,

PBC. Pense nisso e fa�a novas figuras. Fica assim demonstrada a Proposi{!io 1.

CoroJario

-+-

-+-

-+-

(u , v)

1

Alem disso, se

e LD - e:xiste o: real tal que u

;;- e -;

u, v ) Coro.uano u...: 2 Se ( --+---+.

escalares o: e

.( c:

-+-

e:xistem ambos, o: =I=

0, (j =I= 0, e

o:

=

�.

. ' exi .stem u, -+-+ v, w ) e LD, enta:o -+ w e' com b'ma�lio linear de -+ u e-+ v, tsto e, LI e ( -+ '

-+-

-+-

(j tais que w

como se veni nos

0,

sao diferentes de

-+-

-+-

= o: v ou e:xiste (j real tal v = (j u .

o: u +

=

-+-

(j v (e o que foi demonstrado no Caso (III)). Na realidade,

exercicios resolvidos,

e:xiste um 6nico par de coeficientes

o: e

(j nessas

condi¢es.

-+-+� v, w) Color.irio 3 Se (u,

que w. Isso quer dizer . u, v e -+ x E V3 , e gerado por -+-+ e LI, enta:o todo vetor -+

para todo "itE V3, e:xistem a, (3, 'YE IR tais que

(veremos logo mais, nos Exercicios Resolvidos, que essa tripla ordenada (o:,

(j, -y) de escalares e

determinada de modo (mico). A proposi{!io seguinte responde a pergunta a respeito de ser ou nao ser possivel obter o vetor nulo como combina{!io linear dos vetores

-+-

,.+

-+-

sem lan�ar mlio do "golpe b' aixo"de

vi, v2, ..., vn

tomar todos os escalares iguais a zero.

Propo�o 2 escalares

-+-

-+-

-+-

Uma seqiiencia (vi, v2, ..., vn) de vetores de -

o:i, 0:2, ..., o:n

NAO TODOS NULOS

seja, se e somente se a equa�ao

-+-

.

-+

tais que

XiVi + x2 v2 + ... +

-+-

V3

e LD se, e somente se e:xistirem

�

�-+--

�

o:iVi + o:2 v2 + ... + o:n vn

�

=

0.

Ou

-+-

� vn = O nas inc6gnitas Xi, x2, ..., xn

admite soluyao nao-trivial.

-----

Exemplos

l)

Seja

�

um vetor qualquer; a seqiiencia ( �.

�) e

LD, pois 1.

-; +

1.

(� )

=

0 (os

escalares na:o sao todos nulos). -+- -+-

-+-

-+-

-+-

-+-

2) A seqiiencia ( u, v, 2 u - 3 v) e LD, pois (-2) u + 3 v 3)

Com o auxflio da Proposiyao pare�a o vetor nulo

+ 1.

(2

-+-

u

-+-

- 3 v)

-+=

0.

2, e hem facil ver que qualquer sequencia na qual com­

e LD. De fato, basta escolher coeficiente nao nulo para o vetor

Geometria Analftica: um tratamento vetorlal

32

nulo e coeficientes nulos para os demais; para a sequencia exemplo, temos: 1.

e portanto

�

��

{O' V2' ..., vn)

�

�

0 + 0. Vz

+ . + 0. Vn .

v2,

, vn),

•••

por

�

�

.

�

� �

(0,

=

0

e ill .

Demonst�ao da Proposi�o 2 0 caso n = I flea coma exerdcio. Demonstremos para n ;;;.,: 2. a)

�

Suponhamos que

�

'J•

�

(v1, ..., vn)

seja ill.

Nesse caso, pela Proposi�o I, algum dos

.

I � J � n, e gerado pelos demais:

.

�

e daf vem que (passando v

j

para o 29 membro)

o que mostra que existem escalares nlio todos nulos nas condiyeies do enunciado (basta tomar aj b)

=-1). �

�

�

Reciprocamente, suponhamos que a1 v1 + ... +a v + ... +an vn= j j mos dai concluir que:

�

0,

com a

j

=#= 0.

Pode-

an --- � vn a. J ou seja, que v e combina�o linear dos demais vetores da sequencia. Isso, pela Proposiylio I, i �

�

�

garante que (vi. ... , v n) e LD.

Observa�es I.

Uma forma equivalente de enunciar a Proposiylio 2 e:

Propo�ao 3 �

�

�

X1 Vi + Xz v2 + ... + xn vn = �

·�

� �

"Uma sequencia (v1, v2, ... vn) de vetores V3 e LI se e somente se a equa�o �

�

0

�

nas inc6gnitas x1, x2, ..., xn. SO adrnite a s oluyao trivial,

isto e, a1V1 +azVz + ... +an vn =

�

0

�

a1 = az = ... an=

O" .

. A implicayao significa que e impossivel obter o vetor nulo coma combina�o linear de

. (v1 , -:2,

, -;n)

•••

a nlio ser daquela maneira que voce achou "sem graya", escolhendo todos

os coeficientes nulos.

-------

33

/Jependincia e Independincia Linear

2. Tome cuidado, pois neste ponto e muito facil errar: na verificaylio de que uma seqiiencia

-+ -+ (v1, v2,

-+ , v ) e -+ � linear de v 1 , v2 , •••

LI, niio se trata de saber se e posslvel obter o vetor nulo como combinayao

-+ , v (pois sempre e possivel; na pior das hip6teses, escolhemos os escalares n nulos). Tampouco se trata de saber se os coeficientes o:1 , o:2, , o: podem ser ou sao nulos n (e claro que podem). Trata-se, isto sim, de verificar se e obrliatorio apelar para coeficientes •••

•••

nulos para que a combinayao linear resulte no vetor nulo. Se voce entendeu, responda a esta pergunta:

. -+ -+ -+ -+ -+ . 3 , v vetores de V e o:1, o:2, , o: escalares ta1s que 0:1 v1 + o:2v2 + ... + o: v 0. n n -+ -+ n n -+ Sabendo que o:1 o:2 .. o: 0, o que se pode afirmar da seqiiencia (v1 , v2, , v )? n n ELI ou LD? Veja a resposta no fim deste paragrafo, ap6s os exercicios resoIVidos.

-+ -+ . Se1am Vi. v2,

•••

•••

=

=

.

=

=

EXERC(CIOS RESOLVIDOS

1.

-+ -+ Seja (v1, v2,

-+ , v ) LI (I <;;; n n

•••

� 3).

(essa ea unicidade citada nos Corolarios

Resolu?o

Por hip6tese, sabemos que

Dai segue que

=

•. •

Prove que

2 e 3 da Proposiyao 1).

34

Geometria Analitica: um tratamento vetorlal

e portanto

-+ -+

-+

e como (v1,v2, ...,vn) e LI, concluimos pela Proposi�ao 3 que

donde

2.

-+

-+

Prove a reciproca da propriedade do exerc1c10 anterior: se (v1, v2, -+

-+

-+

-+

-+

-+

a1 v1 +a2v2 + ... +anvn =(31 v1 + (32v2+... +f3nvn -+ -+ -+ entao (v1' V2' ,vn) e LI.

so vale se

-+

, vn)

•••

e tal que

a1 =f3i. a2 =(32, ,an= f3n• .•.

•.•

Resolu�ao Sabemos que tais que

-+

-+

-+

-+

-+

-+

0 = 0 v1 + 0 v2 + ... + 0 -+

-+

vn.

Entlio, se

a1, a2,

,

..•

an

�o escalares

a1 v1 +a2v2 +... +anvn = 0

segue-se que

Mas por hip6tese, essa igualdade so vale se

a1 =-0, a2 = 0,

...

, an=

0 (troque os

"f3t

por 0 na hip6tese). -+

-+ -+

Entao,gra�as a Proposi�o 3,concluimos que (v1' V2'

, vn)

•••

e LI.

Observ�o Os exercicios 1 e 2 acima mostram que voce s6 podera "identificar os coeficientes" (algo se­ melhante ao Principio de Identidade de Polinomios) quando os vetores envolvidos forem LI. ·

-+

-+-+

-+ -+

-+

-+

..+•

·-

-+

Exemplo: se u=2v+w,tem-se u+v+w =Ou+3 v+2 w.

3.

...,jo..+

-+ -+ -+

-+

�

Prove que se (u ,v) e LI, entao (u + v , u .:. v ) tambem e LI.

-

-

Resolu� Sejam a e /j escalares tais que � �

� �

�

(a)

a(u+v)+ /j(u-v)= 0

Devemos demonstrar q\Je ae /j sao obrigatoriamente nWos. Aplicando �

as propriedades �

�

da

�

�

(a ) au+av+/ju-/jv= 0 , ��

adi�o donde

e da

multiplic�io

�

�

por escalar, obtemos de �

(a+ j3)u+(a-/j)v= 0.

Mas,

por hipotese,

(u, v) e LI; logo, a igualdade acima s6 e possivel se a+ j3 = 0 e a - /j= 0. Como a Unica sol�ao do sistema

{ a+j3=0

a-13=0

e a= /j= 0, provamos 0 que queriamos.

Aten?«>. Seria pessima estrategia tentar resolver este exercicio partindo de uma combina�ao linear de

� �.

�

�

�

�

u e v 1gualada a 0, au+/jv = 0.

.

. · 0 mot1vo 6 que, como a \U, � VJ 6 LI, ISSO acarreta a=/j=0,

e nao se conclui absolutamente nada a respeito da dependencia ou independencia linear dos � � � � . vetores u + .v e u - v, o que era o nosso propos1to sim, quan do se quer provar amdepen. . As. ,

dencia linear de uma sequencia de vetores, deve-se partir de uma combina¢'o linear dos ve� �

toresdessa sequencia, igual a 0 .

4.

Na figura, ABC 6 um triingulo e M 6 o ponto �dio de AB. Sabendo que MN 6 paralelo ·a BC, prove que N 6 o ponto medio de AC. A

Resolu�o Vamos transpor o problema para a linguagem vetorial.

36

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Se ABC e wn triangulo, temos (por exemplo) que

(AB, BC) Sendo

(a)

e u

M o ponto medio de AB, concluimos que 7';7 AM

A hipotese de ser

1-

-

=-AB =MB

(/3)

2

MN paralelo a BC se traduz por ('Y)

Finalmente, como

N pertence ao lado AC, podemos afumar que (6)

Agora, nosso.objetivo e provar que De

-:-:-7 AN =MN+ AM ----+-

�

segue por (/j)e

/3=

�

(-y): .

.AN=aoc+_l_Aft

(e)

2

Por o utro lado, por

(6 ), 777 AN

Comparando (e)e

(X),

-

-

-

-

� +AB) =/3 BC+/3 AB = /3 AC =/3 (Be

(X)

ob temos: -

1 -

-

-

a BC+ TAB= /jBC +./jAB Agora, por

(a) e pelo primeiro exercicio, concluimos que a= 13

e

� =/3,

como querfa­

mos. Obsel"Ve que flea tambem provado que o comprimento de MN e iguill a metade do com­ primento de

BC.

Agora a resposta a pergunta feita na Observa�o 2: da dependencia linear dos vetores.

nada se pode afmnar a respeito

'

-----

Dependencia e Independencia Linear

37

EXERC(CIOS PROPOSTOS

-+ -+ -+

Prove que se (u, v, w)

e

-+ -+ -+

LI, entao -+ -+

-+

(u +

-+

-+

v

+

-+ -+ -+ -+ W,, u - v, 3 v)

tambern e LI, o rnesrno

sucedendo corn (u + v , u + w , v + w). -+-+ -+

-+

Seja(u,v,w)LI.Dado t qualquer,sabernosque existern -+ -+-+ -+ -+ -+

( porque?). Proveque (u+t,

3.

-+-+

Prove que (u , v)

e LI

,

-+

-+

taisque t

=

-+

-+

au.+{jv+rw

v+t, w+t) eJ:.I� a:+ · {j + r+ i.#:0.

-+ -+ -+ -+

�

·

a,{3,r

( u + v,

u - v)

e LI. (A irnpl

icayao

=>

foi provada no Exer-

cicio Resolvido n
Dernonstre a Proposiyao 2 no caso

n

=

1. Pergunta: por que a demonstrayao feita no

texto n!o ser ve neste caso?

5.

-+

-+

-+

Prove que (u - 2v + w' -+ -+

-+

vetores u , v, w .

-+ -+

-+ -+

2u + v + 3w'

u+

-+

-+

8v + 3w)

e

LD quaisquer que sejam OS

CAPITUW 6

BASE

Defini?o 1 3 Charna-se base V a qualquer tripla ordenada E 3 vetores de V .

=

' ' ' (e1, e2, e3) lineannente independente de

'' ' 3 Conform.!' o Corolario 3 do capitulo anterior, se ( e1, e2,e3) e uma base de V , todo vetor de ' ' ' ' 3 3 e gerado por e1, e2 e e3, isto e para todo v E V , existem escalares a1, a2, a3, tais que V

'

v

'

=

.

'

'

a1e1 + a2e2 + a3e3.

Sabemos tarnbem que essa tripla ( aJ, a2, a3) de escalares e futica (veja o primeiro exercfcio resol­ 3 vido do capitulo anterior). A conclusao e que, escolhida uma base Ede V , fica associada univoca­ mente a cada vetor 1 uma tripla ordenada de escalares (a1, a2,a3). Essa tripla e denominada

trip/a.

de coordenadas do vetor t em relafiio a ba�e E. Observe que e importante a ordem dos escalares ai.a2,a3;

trata-se de uma tripla ordenada. Se, por abuso de linguagem, dissermos: '

sao as coordenadas de v na base E", fica subentendido que as coordenadas estao ' ' ' ' (v a1e1 + a2 e2 + a3e3). =

38

"a1,a2,e a3

nessa ordem

A nota?o utilizada para iildicar que a1,a;,a3 sao as coordenadas (nessa ordem!!) do vetor � em rela?o a base E

6 (1)

e se nao houver perigo de duvida quanto a base escolh.ida,oniite-se o fndice "E": ·

(2) Em outros termos,

e

(1)

(2)

sao simplesmente "abreviaturas" de

Daqui para a frente, o uso de coordenadas seni muito frequente;

... ... ... ... v = a1e1 + a2� + a3e3•

6

conveniente, portanto,

que as opera�es entre vetores sejam feitas diretamente em coordenadas, evitando perda de tempo.

Vejamos como se 'faz isso: a) De fato: ... u = (a1,a2 ,a3) E

=>

... ... ... ... u = a1e1 + a2e2 + a3e3

Logo,

ou seja,

Aten�o ... ... Para o procedimento acima e essencial que u e v estejam referidos a uma mesma base. b)

De fato: 4 u =

(a1, a2, a3)E

-+ =>

u=

-+

-+

-+

a1 e1 + a2e2 + a3e3

-+

=>

-+

...

-+

AU= A(a1e1 + a2e2 + a3e3)=

40

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Devido a Proposiyiio 3, e facil ver que -+-

u

-+-

-+-

=0

= u

= (0, 0, O)E

Vamos reexaminar em termos de coordenadas o conceito de dependencia e independencia linear. Proposi�o 1

-+-

Os vetores u

-+-

=

(x1,y1,zi)E, e v

=

(x2, y2,z2 )E sao LD se e somente se x1,y1,z1,

sao proporcionais a x2, y 2,z2. Demonstrafio

E uma conseqiiencia direta do Corolario 1 do Capitulo 5.

X2 Y2

Z2

=I=

0

Demonstra�o

·

Temos, pela Proposi�o 3 do Capitulo 5, que

-+- -+-

-+-

(u, v ,w) Ll

-+-

==>

(o: Ii

+ /3

:+

v

+

-+-

rw

=

-+-

0

=>

o: =

/3 = 'Y =

0).

isto e -+-

-+-

-+-

(u, v, w) LL = o:(x,,y,,z1) a soluyao nula o: =

==>

(*) ==>

I

/3 =

+ J3 Xz + 'Y X 3 =

o:Y 1

+ P Y z + 'Y Y 3 = 0

0: Z1

+ {3 Zz + 'Y Z3 = Xz

X3

Y1

Y2

y3

l3(x2,Y2,Zz)

r(x 3,y 3,Z 3)= 0

admite apenas

0 admite apenas a SOlUyliO nula

0

=fo 0

Basta observar agora que este ultimo determinante

(*)

+

r= 0

0: X1

X1

+

Devido a Regrade Cramer.

e igual ao que aparece no enunciado.

0 conceito de ortogonalidade de vetor com retas e pianos se define de modo natural, usando os mesmos conceitos para os segmentos orientados que representam o vetor. Mais claramente:

Def�o �

2

�

u t- 0 e ortogonal a reta r [ao plano 11'] se existe um representante(A,B) de

•

mertto AB e ortogonal a r [a

11]. 0 vetor nulo e

� u

.

talque o seg-

considerado ortogonal a toda reta r e a todo

plano 11'. •

�

·

�

Os vetores u e v sao ortogonais se um deles e nulo, ou, caso contrario, admitirem represenfantes perpendiculares.

Para ortogonalidade usaremos o simbolo l.

Proposi�o 3 Os vetores o e � sao ortogonais se e somente se II

'ir + -; 112

=

II

'ir 112

+

U-; U2•

Demonstra�ao Trata-se em essencia da aplica�ao do Teorema de Pitagoras e de sua reciproca. Deixando de lado os casos triviais em que um dos vetores e nulo (a verifica�ao e imediata), basta observar �

�

�

�

�

que, tomando um ponto 0 qualquer, u l v se e somente se os pontos 0, 0 + u , 0 + u + v , s!o vertices de um triingulo retingulo.

Defin�o 3 �

�

�

�

�

�

�

�

�

Uma base E= (e1, e2, e3) e ortonormal se e1, e2, e3 sao unitarios (II e1II= II e2II= II e3II= 1) e dois a dois ortogonais. -

83

....

92

42

Geometria Analftica: um trrztamento vetorlal

Demonstra�o Consiste na aplic�ao do Teorema de Pitagoras aos dois triingulos retingulos destacados na figura.

-+

-+

-+

-+

Como e3 l e1 e e3 l �

-+

-+

-+

resulta ze3 l x e1 +y e (por que?). Logo, pela- propo2 -+ -+ -+ -+ si�o anterior,como u = (x e1 +y e )+ze3, 2

Vejamos.

-+

,

-+

Como tambem xe 1 lye ,resulta,pela mesma proposiy!o, que esta relayao se escreve 2

(3) -+

-+

-+

e como e1, e , e3 sao uriitarios, 2

II X-;1 112

l xl2= x2

lly� 112

I y 1 2 = y2

II Z-;3 112

I z 1 2 = z2

de onde resulta,por substituiyao em (3), a tese.

EXERcfCIOS RESOLVIDOS Esta fixada urna base E 1.

-+

-+

.

Verifique se sio LI ou LD os vetores u

=

u

=

e

v

a)

-+

b)

-+

a)

E imediato que 1, 2, 3, e 2, 1, 1, nao sao proporcionais pois e

b)

(1, 2, 3)

-+ =

(2, 1, 1)

(1, 7, 1)

LI.

Nesse caso e claro que cionalidade 2

2.

(e 1 , e2 , � ) -+

=

Idem para u

:

u

1,

-+ =

=

t, � , � sio proporcionais, com fator de propor-

-+ -+

(1,-1, 2)E, v

-+

-+

7, 1 e

2 v. Logo (u, v ) e LD. -+

-+

=

(0, 1, 3)E, w

=

(4, -3, ll)E.

Resolu�o Como

3.

I

-1

2

0

I

3

4

-3

11

=

0

-} * f. Logo {;, -;)

resulta (u, v, w) LD. -+ -+

-+

Sejam

Mostre que (t ,f2, f3) e LI e portanto base de V3•

44

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Reaolu�o �

Tem-se

f1

�

.

=

(2, -1, O)E, 7t2

=

(1, -1, 2)E, f3

=

(1, 0, 2)E

e

4.

2

-

1

0

1

-1

2

1

0

2

'= -4:;t

� Calcule as coordenadas do vetor v

=

O;

logo

(I, 1, 1 )E

(f1,12,f3)

na base

e LI.

F do exercfcio anterior.

Resolu�o Sabemos que

�

f2

=

� � e1 - e2 +

�

2 e3

� � � Resolvendo as equa�es acima com rela?o a e1, e2, e e3, voce obtera:

� como v

=

(1, 1, l)E'

� temos v

=

� � � e1 + e2 + e3,

e portanto

' � donde v

=

1 5 7 . (4,-4, Lf)F, 1sto e, as coordenadas de

� v na base

5 1 7 F s�o 4 , -4 e 4 .

No pr6ximo capftulo, veremos uma forma de sistematizar os calculos acima, na resolu?o de problemas de "mudan?S de base" como este.

5.

Calcule

II ;II sendo

;=(2, 1,3)E

e E base ortonormal.

Resolu�o 11 ;112= 22 + 12 + 32= 14

EXERCICIOS PROPOSTOS Todos os vetores estao referidos a uma mesma base

y

. � � Sendo u=(l, -1, 3),v= � a) u + � b) u � c) u +

2.

I

�

q, .I, 3),w=(-1,-1,4),ache �s coordenadas de

� v � 2v � 2v

�

- 3w

� � � .:.+ � � Verifique se u e combina9ao linear de v e w, sendo u, v, w, como no exercicio anterior.

3.

� � � � Escreva t =(4, 0, 13) como combina9ao linear de u, v, w, estes vetores sendo dados no '( exercicio 1.

4.

;=(1,-1,3) pode ser e�c:�o �01:!10 combina9ao linear de -;=(-1, 1,0)

5.

� � (m-1, 1, m - 2) e v Ache m de modo que u =(1, 2,2) seja combina9ao linear de � �� � m para que (u ,v ,w ) seja LD. w =(m+ 1, m-1, 2). Em seg uida,determine

6.

Decida se sao LI ou LD:

e

-;=(2,3, t) ?

=

� u=(0,1,0), � b) u=(0,1,1), � u=(0,1,1), c) � d) u =(1,-3,14),

a)

g)

� u=(1,0,0) � u =(1,2,1) � � u= 0

h)

� u=(l ,1,1)

e)

f)

� v= (1,0,1) � v= (1,0,0) � v= (O, 3, 1) � -3 1 v = (14. 14· 1) � v= (200, 2,1), � v=(I,-1,-7),

� w= (300, 1,2) � w = (4,5, -4)

L[)

=

'l.

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

46

7.

Sendo E =

-+

-+

-+

(e1, �, e3) base, e

-+

-+

f 1 e' + 4 f2 = e + -+ 4 f 3 = e3 -+ -+ -+ decida se f = (f1' f2' f3) e base. -+

8.

Ache m para que sejam LD m,1) v = (1, .

u = (m;l,m),

b)

;= (1-ma, 1-m,O),

c) d)

9.

-+

-+

a)

-+

-+

v = (m,m,m)

-

u = (m, 1, m+ 1), . . '

-+

(°t1, 12 , �

)

v = 0 ,Z - ,Jll),

w= (1,1, 1)

-+

w= O,m,2m)

-+

v = (0,1, m),

u = (m, l ,m+l ),

Se E =

-+

-+

e

base, prove que F

=

(

o:

11, � t2, 'Y °t3) e

sejam nulos. 10. Seja OABC um tetraedro, e M o ponto medio de BC. --a) explique por que (OA , OB, OC) e uma base. b) dete1mine as coordenadas de AM nesta base. -+

-+

11. Calcule II u II, sen do E �

-+

-1'

=

-:)-

a) u = e1 + e2 + e3 -+

-+

=

-+

b) u = - e1 + e2 -+

-+

-+

-+

c) u = 3e1 d) u =-4e1

-+

+ 4� -+

-+

-+

(e 1, e2, e3) base ortononnal, nos casos

-+

+ 2e2 -e3

(1,1,l ) E

base, desde que

o:,

�. -ynao

<;APl'ruLo 7

MUDAN�A DE BASE

A escolha de wna base conveniente ajuda muita vezes a resolver wn problema, tomando-o mais simples. Acontece que os vetores dados podem ja estar referidos a wna certa base, digamos .

E = fe1 , e2 , e3 ). Introduzindo-se a base conveniente que supostamente vai ajudar-nos, seja ela � � � �

�

�

F = (f 1 , f 2 , f 3 ), precisamos saber a rela�iio entre as duas, para que trabalhando com a solu�o em

termos de F, possamos no final passar para a base inicial E.

Podemos expressar de modo Unico cada elemento de F em termos da base E, conforme ja

sabemos. Escrevamos ent!o

t

t

i= �

�

a 11 e1 + -�

�

a z 1 ez + �

f 2=

a12 e 1 + a22 e z +

f3

a13 e1 +

�

=

�

�

az3 e z +

�

a31 � an

�

e3

�

(1)

a33 e3

onde os lljj s!o nfuneros reais.

0 pr6ximo passo agora e resolver o seguinte problema. E dado �

v

�

=

�

�

X 1 e 1 + X2 e2 + X3e3

=

(x1,Xz,X3)E

(2)

onde agora o indice E e necessario, pois podemos tambem escrever

(3) 47

48

.

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Queremos saber qual e a rela9ao entre as coordenadas x1, x 2, x 3. de -:em rela9!lo a base E, e as coordenadas y 1, y 2 , y3 do mesmo vetor resolver isto. Usando

� em rela9!lo a base F. A ideia e muito simples para

(1) em (3), teremos -; em fun9ao dos elementos de E. E m seguida e s6 compa­

rar com (2).

Substituindo

11,"t, 13

dados por

(y1 au + Y2a11

Comparando com

(2),

+

(1)

-+

y 3 a13 ) e1

na relayao

+ (y1 a21

(3)

+ Y2 a22

resulta

-+

+ Y3 a23) e1 + (y1 a31

-+

+ Y2 a31 + Y3 a33) e3

e usando o fato de que um vetor se expressa de modo Unico como combina­

yao linear dos elementos de uma base, vem

X1 X1 X3

=

=

=

a1 1 Y1 a11 Yi

+ +

a11Y1 a11Y1

a31Y1 + a32Yl

+ a13Y3 + a13Y3 + a33Y3

(4)

Agora basta resolver o sistema. Acontece que voce deve estar dizendo: puxa, mas como eu vou guardar essa rela9ao? Ainda mais com essa confuslo de indices! Pois bem, para facilitar a sua vida, vamos sistematizar de tal forma que voce, temos certeza,vai guardar a formula. Para esse fim vamos usar matiizes. Observe inicialmente que

(4) pode ser escrita assim:

'(5)

Vamos dar um nome a matriz

3 x 3 acima.

Def�o

773), podemos escrever

-+ e F= -+ (f1, Dadas asbases E= (e1 -+ ,e1,e3) -+

-+

-+

a11 e1 + a21 e1 + a31 e3 -+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

a12 ei + an e2 + a32 e3 a13 e1 + a 13e1 + a33e3

1,

-- MudanfadeBase

--

49

Amatriz M=

a22

821

da-se o nome de matriz de mudanfll da base E para a base F. lndica-se, para resumir, assim: M

E-F Aten�o Observe que os elementos a11 , a21 , a31 que aparecem na l!l igualdade,

devem ficar na 1!l coluna de M. Da mesma forma, os elementos da W igualdade, -+

-+

-+

-+

f2= a12e1 + a22e2 + a32e3 ,

devem ficar n a 2;t coluna de M. Os da 3;t igualdade n a 3;t coluna d e M. -+

-+

-+

f 2=er

13=-:.

- e2 + e3 --+

-+

-+

-+

+ e2 +

I I

---+

---+

�

1

"'

2

M=

e3

-e 2 + e3

l

En tao

-+

-+

-+

f I= 2e1

Assim, se

-:l

1

-1 1

Agora que voce ja sabe o que e matriz de m udan\:a de E para

M

F, E - F, veja como

(5) por ser escrita simbolicamente:

(6)

.onde M E

--+F

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

50

Observ�ao Se E e

M -

F,

entlio o determinante da matriz M e certamente diferente de zero. Isso

uma consequencia imediata da Proposicrlio 2, do capitulo anterior. Logo, existe M -t, e de

(6) obtemos

lL I

(7)

EXERCICIOS RESOLVIDOS 1.

Sendo E = (1'1 , � ,

e; ), F ("fi =

que

Ti r; £;

= = =

-+

e

t -+

, 12,

G ), ache M, matriz de mudanya de E para F, sabendo

--+ e2

� -+ e2 + �

-+

Resolu�o Escrevendo na forma r;

r; G

1.

+

=

0.

+

=

o.

+

=

0.

-+

es

-+

1. e3 -+ 1. e3

vemos que

0 0

1 2.

Sendo E e F como no exercicio anterior, e sendo -+

as coordenadas de v em relaylio a base E.

Resolu�o Como voce ja deve estar sabendo,

[]: (L M

-:

=

(1, -1, 3)F

=

11 - 12 + 313 , ache

-------

Mudanfa de Base

onde

M E

---..,.

F.

l :: l l-: : : l Ll 3.

A matriz de mudan�a de base da base E

=

-+ -+ -+ (e1, e2, e3) para a base F

0

M

0

0

0 -1

Exprima os elementos de F em termos da base E.

Resolu�o -+

Para f 1, leia a 1 � coluna: -+ f1

1

=

.

-+ -+ -+ e1 + 0. e2 + 1 . e3

=

-+ -+ e1 + e3

-+

Para f2, leia a 2� coluna: -+

f2

=

-+ 0. e1 + 1

.

-+ -+ e2 + 0 . e3

=

-+ e2

-+ Para f3 , leia a 3� coluna: -+ f3

=

1

-+ -+ e1 + 0. e2 + (-l)e3

-+ .

=

.:.+ -+ e1 - e3

A seguir vamos ver um resultado util.

M

MN

N

Entao, se E ---+ F, F----+G,

M

(*) 0

esquema E - F

�

N -

MN

G

/

tem-se

E ----+ G

(*)

ajuda a memorizar resultado.

=

-+ -+ -+ (f1, f2, f3) e

51

52

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorial

Demonstra�o Sendo M =

definiyiO

(llj� . N =(bi�·

� a matriz de mudanya de E para G, temos, por

e sendo P = (ci ··

(8)

-+

3

f. =. � J

-+

Substituindo fj dado em

(9)

i=1

(9) na rela�o (8):

(IO)

Como

resulta de (IO) e (I I) que c k = i

3 � a .. b.k j=l g J

ou

seja

P =

MN.

Observa�o Se voce

nao esta habituado a usar somat6ria como acima, o jeito e escrever tudo

por extenso; VOCe vera que 0 que se fez nao e complicado, e percebera a vantagem do USO de somat6ria.

Corohirio:

Se E

M

-

F, entao F

M'"l -

E.

Demonstra�io A matriz de mudan�a de E para E e a matriz identidade I (por que?). Sendo

de mudanya de F para E temos, pela proposiyio acima, que MN=

E

_M_._ F -1i_ E

� ./ ·

I, logo

N = M-1.

Na

matriz

EXERcfCIOS RESOLVIOOS (continua�o) 4.

Ache a matriz de mudan�a da base F para a base E no caso do Exercfcio Resolvido -+ ei, e2, e3 segundo a base F .

-+-+

1.

Exprima

Resolu�

Sendo E

M

---+

F, vimos no referido exercfcio que

[ l

M=

1

0 0

-1

0 1

0

1

1

1 M---+ entao F --""" E, e precisamos calcular M -i A matriz dos cofatores de M e:

Mc = Entao

[

-1

1 -l

0

I -1

1 M"

0 -1

0

:

i

l _ t det M Mc

__

-

onde M� indica a transposta de M c. No caso presente,

=

Esta

e

1 -1

[-� � -�] [ -: -� � 1 =

-1 -1

0

1

1

0

a resposta da primeira parte do exercicio. Quanto M-1 conhecimento de M -l , pois F - E. Entao

a

(v. 1 \1 coluna de M-1) (v. 2ll coluna de M-1) (v. 3ll coluna de M-1)

segunda, decorre facilmente do

54

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

ache

as

matrizes de mudan�a de Epara F

(ii) F para G

(iii) Epara G

(iv) F para E

(v) Gpara F

(vi) Gpara E

(i)

Resolu�o �1

M Sendo E

F, entao F

E. Das rela�es (I) resulta imediatamente

[

M-1 =

1

0

2

0

1

0

-1

1

1

]

(respOOa de (iv))

e daf,

M

=

[

(M-1)-1

N "Sendo F

-

-1

I

2 2

-1

-1

-

1 1

2

l

M

(resposta de (i))

MN

G, E

F,enta:o E

MN

0

[ � -1

1

-2

0

0

1

�

-1

1 r� =

0

G. De (II) vem imediatamente

]

(<esposta de (iii))

� �

-1

1

i r-� 0

logo

N=

[ � � �] -

1

-

-2

(resposta de (ii) )

� � -1

i

Mudanfa de Base

Como

F

N

�1

Sendo

�1

G

G, entao

----+

-5/3

1

-4/3

2/3

0

1/3

-4/3

1

-5/3

-1 (MN)

MN E ----+ G, entlio G

�l�l

E.

(resposta de

(v))

Mas

0

-4/3

1

1

1/3

2

0

1

-5/3

0

-1

1/3

-1/3

-1/3

2/3

1/3

1/3

2/3

1/3

-2/3

-5/3 1 (MN)-

F; calculando, resulta

1

2/3 -4/3

0

..

(MN)-1

6.

Sejam E

=

=

�� � (e1, e2, e3) e

F

=

�

f1

f2 f3 -+

Sendo u

-+

=

3e 1

+

-to

-+

4 e2 - e3,

=

=

=

(resposta de (vi))

� �� (f1, f2, f3) bases tais que

� e1 - 3 e2 � e2 + e3 � � e1 - 2 e 2 -+

Resolu�o

Sendo

E� F �I

temos, por

ul [ l [ I 0 I] 0I 0 "

Temos

M

=

..

ache as coordenadas de u em rela930 a base

-3 1 -2

(7), que

F

1 e daf M-

[

00 ]

-2-1 1 1 3 1-1

F.

55

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorial

56

!] [ ! ] [

Entao

M-1[!]=[-�-� --1 3 -1

-

--+-

:-t

-l

-

-1

!l J

14

Portan to, u= ll f 1 -f2 + 1413, ou u= (-ll,-l,14)p. --+-

--+-

-+-

EXERCiCIOS PROPOSTOS

--+-

--+-

--+-

--+-

--+-

f1 = -3e1 + e2

(a )

+

--+-

e3

--+-

(b)

--+-

f2=. e1 - 2e2 + e3

--+-

--+-

f3=

--+-

--+-

e1

--+-

--+-

--+-

--+-

--+-

--+-

--+-

e1 - e3

f2= 3e1

--+-

2e2

+

1; =

·

��

--+-

f3= 4e1 - 3e2

--+-

--+-

�

--+-

-+-

2-:

Sendo v= -4 f1 + f2 - f3 ache v em fun9ao de e1, e2, e3, nos casos do Exercic io

3.

Sendo E= (e1, e2, e3), F=(f1, f2, f3) bases, com

--+-

e

4.

--+-

--+-

= e1

w

--+-

--+-

+ e2 + --+-

--+-

--+-

--+-

--+-

--+-

-+-

-+-

e3, ache w em termos da base F. --+-

Sejam E=(e1, e2, e3), --+-

--+-

F=(f1,

--+-

--+-

f2, f3),

V3 --+-

e1 = -- f1 2

1

2

Ache todas as mat rizes de mudanya.

G

-+­

f3

--+-

--+-

-+-

= (g1, g2, g3) bases, com --+-

--+-

--+-

-+­

g I = e1 +_ e:v. + e3

1.

CAPITUW8

ANGUW ENTRE VETORES PRODUfO ESCALAR

�

�

Consideremos os vetores nfio nulos u e v. To memos um ponto 0 E £3, e sejam P,Q EE 3 tais �

-�

-

que u =OP, v = OQ. Seja

O :so; 8

:so;"

[O :so; 8

8

a medida em radianos [graus] do angulo POQ satisfazendo

:so; 180].

p

p'

o' L-....J.--------0' . v

Se tivessemos tornado outro ponto O' E E3 em Jugar de

0,

-

�

e P',Q' com u

=

-

�

O'P', v

=

O'Q'

"'

obterfamos que a medida em radianos [graus] de P'O'Q',ainda seria 8 (veja a figura). Defmi�o 1 0 .

numero

8

.

�

�

se chama medida em radianos fgraus] do angu/o entre u e v.

Procuraremos agora uma expressa-o que nos forne9a �� �

uma base ortonormal (i,j,k), e sejam

�

u

8

.

�

�

=

�

em termos de u e v. Para isso, fixemos

(x1, y1, z1) e v

=

(x2, y2, z2) (lembre-se de que, 57

58

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorial

sendo a base

a norma de qualquer vetor pode ser calculada como vimos no

ortonormal,

Capitulo 6, isto e,

Aplicando a lei dos co-senos ao triangulo POQ resulta p

:1:.

11 Ql' 11

2

-+ -+ -+ -+ 2 2 =11 u 11 + 11 v 11 - 211 u 11 11 v 11 cos 8

(1)

Mas -+ -+ -+ -+ -+ 2 2 2 2 ll(x1- X2, Y i-)'2, Z1 - z2)11 = IIQP 11 =IIOP-OQ 11 =IIu-v 11 =

Substituindo em (1), resulta -+

-+

IIu 11 11 v IIcos 8 =X1 X2 + Y1Y2 + Z1Z2 expressao esta que nos permite calcular cos 8, pois 11 ; 11 =

(2)

.Jx i + Y i

+ z� e

II; II=.Jx ; + y ; + z; .

Observemos (2). Ela nos mostra que a expressao x1x 2 + y1 y2 + z1z2 nao depende da base ortonor­ mal fixada , pois o primeiro membro nao depende. Em outras palavras, se voce tomasse outra base -+ -+ -+ ' ' ' , � � , - (x1, ortonormal (1, J , k) e escrevesse u y'1, zi), v = (x'2, '}2, z2), entao x1X2 + Y1 Y2 + i1z2 '

-+

-+

x1x2 + y 1 y2 + z1z 2( =II ull sao do

•

-+

'

'

'

-+

IIv IIcos 8 ). Observemos tambem que se u ou v sao nulos, a expres-

2� membro e nula.

Defini?o 2 -+

-+

-+

-+

Chama-se produto esca/ar dos vetores u e v ao numero u v •

-+

-+

-+

-+

11 u II11 v 11 cos 8 sendo

8 a medida

-+

-+

do angulo entre u e v.

(*) Usa�e tambem a nota.,:ao

-+ -+ u x v.

-+

-+

-+

*

-+

) dado por -+

se u =0 ou v =0

{o

u .v =

-+

(

-+

-+

se u =f 0 e v =t= 0,

(3)

------

Angulo entre Vetores. Produto Escalar

59

De acordo com o que vimos acima, podemos escrever

It:·-;=

X1X2 +Y1Y2 +z1z2

I

(4)

desde que;as coordenildas usadas se refrram a uma base ortonormaL �

-+

Resulta de (3) que se u-:/= 0 e v-:/= 0 entao -+

-+

u•v

-+

-+

cos8= -�-...,..11111 11�11

(5)

Observe que decorre da pr6pria defini�o que �� llu ll= V u•u -+

Proposi?o

(6)

1

Quaisquer que sejam it,� V: de V3 e qualquer que seja X real, tem-se 1.

2.

3. 4.

-+

-+

-+

-+ -+

-+ -+

u • (v + w) =u• v + u•w

u•(Xv )=(X u)•v=X(u•v)

-+

-+

-+-+ �

-+

�

-+ -+

-+

u • v=v •u

u • u ;;a.. O; u•u=0 -+ -+

-+�

-+ -+ �

u=0.

As demonstra�es sao extremamente simples. A n� 4, por exemplo, decorre de II i:t112 =ti· Ir;

as outras seguem da defini�o. Deixamo-las a seu cargo.

Proposi?o 2

Demonstra�iio Se

It ou �

e

nulo,

e

tr.�=0

(*) Lembre-se de que 0 � 8 �

1r.

imediato. Sena:o, decorre da' formula �

cos 8 =0

<;) 8=_!!__ 2

�

tr 1-;

(5), que nos diz que

60

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Observa�iio A Defini9ao

a f6rmula

2,

(6)

e a Proposi�ao

2

nos permitem caracterizar as bases orto­

normais do seguinte modo: �

�

�

"uma condi�ao necessaria e suficiente para que uma tripla (e1, e2, e3) de vetores de V

3

seja uma base ortonormal e que �

�

e1

e

e1

�

�

•

e. 1

{ 1,

=

0,

�

e1 =e2

�

�

Resumindo: ei e

•

•

e2

� •

=

�

� =

•

e3 • e3

�

e1 • e3

se i = j . ..J,,, . se 1 T J

�

�

e2

=

e2

De fato,

=

� •

e3

(7)

=

I

(7)

0

(8) �

�

�

garante que os vetores e1, e2 e e3 sao unitanos, �

�

�

garante que eles sao do is a dois ortogonais. Restaria apenas provar que (e1, e2, e3)

(8)

e LI.

Para isso, sejam a 1 , a 2, a 3 numeros reais tais que

�

Multiplicando escalarmente por e1, e aplicando a Proposi�ao l (partes I e

e por

(7)

e (8), chegamos a a1 .

1

+ 0!2

•

0 + a3 . 0

=

0 ou seja a1

Procedendo de modo amilogo, voce pode provar que a 2

=

e LI.

=

2),

obtemos:

0.

0 e a3

=

0. Segue-se que (t1, t2, t3)

Aten�iio �

�

Evite o erro seguinte: sendo u ·•v

� =·

�

�

�

u •w, cancelar u e concluir que v

-..

=

w . Isto e falso!

Veja um procedimento correto:

-+ -+

_...

-+

u·v= u·w

-+ �

-+

-+

-+

u•v-u·w=O

-+ �

-+

-+

u•(v-w)=O

-). �

-+

ul (v-w) .......

a ultima. equivalencia sendo garantida pela Proposi�ao 2. e a penultima, pela Proposi�o l (pa�es I e 2, com 'A=-I). Para obter concretamente um contra-exemplo, tome u

�

�

-+

w =(4,

.

1, 1), em

-+

-+

-+-+

rela�o a uma base ortonormal. En tao v =t-w. cu·

v =

4=

=

(I, 0, 0), v

-+ u

-+

• w.

=

(4,

2, l ),

------

Angulo entre Vetores. Produto Escalar

EXERCICIOS RESOLVIDOS � fixada uma base ortonormal

1.

Ache a medida em radianos do angulo entre os vetores

-+

u (2, 0, -3) =

-+

e= v

(1, 1, 1).

Resolu?o Temos -+

u

-+

•

v =

(2, 0, -3) (1, 1, 1) •.

·11l; l =11(2, 0,

-3)11

=

11-;ll=ll(l,l,l)ll= -+

cosO=

u.

=2. 1+0. 1+(-3).1 =

...; 22+02+(-3)2

-

1

= Vii

../12+12+12= ./3

-+

v

-1

-

11�11 11�11

1

- v'39

v'T3V3

-

1 39

.. 0 =arc cos(- �) v

2.

-+

Ache a medida em graus do angulo entre os vetores = u

(1, 10, 200)

Resolu�o Temos -+ -+

u

•

= v

(1, I 0, 200) (-10, •

-+

-+

Logo: u l v, e 3.

0

=

I, 0)

=1

. (-10)+ 10.1+ 200 . 0= 0

90 (em graus).

Mostre que ( a)

(b)

-+

-+

u • v=

I

-+

-+

2 (II + v 112 u

- 11

-+

u 112

-+

- 11 v 112)

-+

e v = (-10, 1, 0).

61

62

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Resolu?o ( a)

--+-

--+-

II u + v

,... -+, ,... -+, --+--+- -+, --+,... 3 2 11 = ( u+ v) • ( u+v) = u•(u+ v) +v•( u+ VJ =

--+-

--+-

--+-

�

--+-

--+-

--+-

--+-

= u•u+u·v+v•u+v·v= --+2 --+- --+- --+= 11 u 11 + u•v + u

--+•

--+-

v+ 11 v 11

2

--+- 2 --+--+--+= 11 u 11 + 2 u•v+ 11 v 112

(b )

I

--+-

I

=

4.

--+-

- (II u + v 11 2

2 -

--+-

II

2 (II u 112+2 u

2 --+(a) u 11 - 11v11 2

--+-

=

--+-

� 2 --+2 v + 11 v 11 - 11 u 11

--+•

-

--+- --+--+- 2 11 v 11 ) = u •v

Demonstre a desigualdade de Schwarz: �

1 u

� •

-+-

--+-

v I.;;;:; ll ull ll v ll

Resolu�o Se tr OU -:e nulo, e imediato, pois ambos OS membros se anulam.

Se� -:f= 0 e

-; -=I= 0, entao a desigualdade de Schwarz resulta imediatamente de --+-

cos8=

-+-

u•v

----

llliU

II-; 11

e I cos 8 I .;;;:; I .

Observe que a igualdade vale se e somente se um dos dois vetores e nulo ou, caso contrario, se I cos 8 I= I (veja o Exercicio 5.

26c).

--+--+--+-+3 Se (e1, e2, e3) e uma base ortonormal e u E V , entao

(veja a 1!1 observa�ao ap6s o Exercicio Resolvido n!J 7).

Resolu�ao Sabernos que exi.stern (Uni cos) o:1, o: 2, o:3 reais tais que --+-

--+-

--+-

-+-

u = 0:1 e1 + 0:2 e2 + 0:3 e3

( 0:)

Angulo entre Vetores. Produto Escalar

-------

63

�

Multiplicando escalarmente por e1ambos os membros, resulta 2 o:1 ll e1ll +0:2 e2 •e1+0:3e3 ·e1 �

��

u·e1

=

Como a base e ortonorrnal tem-se

�

�

II e1 II

=

1,

�

�

�

�

e2 • e,

=

0,

�

�

�

e3 • e1

=

0

.

Logo

un �

�

Analogamente,utilizando e2 e e3, respectiv amente,chega-se a (

'Y)

( c5 Substituindo

6.

)

( (3), ( 'Y ) ,( c5 ), em (a:), obtem-se a igualdade desejada.

Prove que as diagonais de um quadrado sao perpendiculares.

D

Resol�o Considere um quadr!tdo A B C D como na figura. �-

Entao, sendo u � �

��

(u +v) •(u-v)

�

�

= AB, v

�

=

BC , basta provar que

=O.

A

Mas ��

(u +v)

ja que

� �

•

(u - v)

�

�� �� �� ��

= u • u - u • v +v • u - v

•

v

=

�

II u 11

2

�

-

II v 11

2 =

0

�

II u II = II v II.

� �

Pergunta: Onde entrou o fato de ser u 1 v? Veja o Exercicio 22a.

7.

Seja �

�

�

�

�

�

�

�

v t= 0 fixado. Dado um vetor w, existe um unico par ordenado(w1 , w2) com w1//v,

�

�

�

�

�

�

�

�

w2 lv e w=·w1 +w2; w1 se cham aprojep:lodewnadirep:lodev(ousobrev),e se indica .�

por proJ w

i

64

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

-

w

-

W2

v

Prove que -+ -+ -+ w= W1 = (w. proj-+ v

-+ v

-+ v -+ � ) 11 v II 11v11

=

Resolu�o -+

w1

Como

-+

// v, temos

(a) -+ -+-+ -+2 -+ -+ -+ -+ -+ w = A. v + w2 . Multiplicando escalarmente por v, obtemos w. v =A. II v II + w2 v= -+ -+ w·v -+ -+ -+2 = A. II v II (pois w2 l v). Dai, A.= -2 Sub stituindo em (a) resulta a tese. donde

•

11"t11

•

Observa�oes -+

1.

Se v e un itario, II

-+ v

proj -;

0 Exercicio Resolvido n� "Se (e;,

II

=

--+

w =

5

1,

entao

-+

(w

---+- ...... •

v) v

pode, entao, ser re-enunciado como segue:

�, 't3) e uma base ortonormal e u E V

3 , entao

-+ -+ -+ u = proje u + proj t2 u + proj13 u 1

-+

-------

Angulo entre Vetores. Produto Escalar

65

(veja a figura), pois �

-+

projt u 1

OA

�

OB

-+

proje2 u

=

-

-+

proje3 u

oc

-

-+

-+

OA + OB + oc

2

Lembrando que II -+ w

A-; II

=

/

I A 1 11 ;II

-+

-+

=

u

( veja o Capitulo 3), temos que a norma da proje�o de

sobre v e dada por:

II proj-+Wll v

11�11

=

=

Outro modo de ver isso e observar na figura abaixo o triangulo retangulo ABC, onde -+

=

11 w 11

•

I cos 81

1\t ·�I

-+

=

I

-+ w

11 w 11

-+

-+

=

·vi

11�11

..

8.

II \t1 II

-+

-+

-+

..

-+

-+

-+

-+

-+

Dada a base (e1, e2, u), onde e1 e e2 sao unitarios e ortogonais, obtenha e3 tal que (e1, e2, e3) seja

uma

base ortonormal.

Resolu�o -+

.

Suponhamos obtido e3. Entao, pelo Exercicio Resolvido n9 5 devemos ter -+

u

-+

=

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

(u·ei)e1+(u•e2)e2+(u•e3) e3

66

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

-+ -+

-+

logo, chamando de t o vetor (u -+

t

=

•

-+

e3)e3, devemos ter

-+-+-+

-+

-+-+-+

u-(u·e1)e1 -(u·e2)e2

-+

LD) e t l

-+ -+

-:/= 0

-+

Considere agora o vetor t, definido por esta expressao. Entao t

-+

-+ -+-+

(senao (e1, e2, u) seria

-+ -+

e1, t le2, pois

-+ -+

u

=

•

e1

-+-+

u

•

e1

0

=

-+ -+ -+

e analogamente t

•

e2

t

-+

0. Assim e3

=

utu

resolve o problema.

Observa�o -+

E importante que voce tenha uma visao geometrica da constru�o de t , para escrever sua expressao sem decora-la. Veja na figura que -+

t

se obtem subtraindo de

it

suas proje�Oes

-+

ortogonais sobre e 1 e sobre e2 .

i',

(u.iz>iz

/

(ii. i'1 )i1

EXERCICIOS PROPOSfOS

Fixa-se uma base ortonormal.

1.

-+ -+

Ache a medida em radianos do angulo entre u e v nos casos a)

-+

u

=

(I, 0, I),

-+

v

=

(-2, 10, 2)

/

/

/

/

/

-------

2.

3.

u

(3,3,0),

v

u

(-1,1,1),

v

b)

�

c)

�

d)

�

e)

�

� =

� =

../3 1 (2·2 ,0),v

u

(300,300,0),v

�

=

(2,1,-2) ( 1,1,1)

v'3 1 ../3 (- ,- , 3) 2 2

�

,U

67

Angulo entre Vetores. Produto Escalar

=

(-2000,- 1000, 2000)

(procure vetores com coordenadas

mais simples taisque a medida do angulo formado seja a mesma).

Ache x de modoque u lv nos casos �

u

a)

�

b)

�

c)

�

d)

�

=

u

=

u

�

(x,0,3),

v

(x,x,4),

v

� =

� =

(x+l,1 ,2), v =

(x; -1,4),

v

(4,

x,1)

(x - 1,-1,-2)

�

u

(1,x,3)

� =

(x,-3,1) �

�

Sejam A, B e C tres pontos de E3, e sejam c=BA e a= BC. Mostre que o vetor �

'tr

=

�

�

I �I

+

t11 eparalelo

11

�

a bissetriz do angulo ABC. lnterprete este resultado, relacionan-

do-o com uma conhecida propriedade dos losangos. Sugestiio: Calcule os co-senos dos angulos entre u e c e entre u e a,e compare-os. �

4.

�

�

�

. r:: e ueortogonal av= (2,3,-1) e aw= (2,-4,6). Dos Ache u talquell uJl=3v3 �

�

�

�

u .. en-

�

�

..

contrados, qual oque forma angulo agudo com ovetor (1,0, O)?

5.

Ache u ortogonal av= (4, -1, 5) e aw =(I,-2, 3), e que satisfaz

6.

Ache�de norma

7.

Ache u talque

�

�

u l (1,1 ,0).

�

�

�

Vs,

u

� •

1,1)

=

-1.

�

ortogonal a (2,l,-1),talque (u ,(l, l ,l),(O, l ,-l )) sejaLD.

-�

II u II= v 2, a medida em graus do angulo entre u e �

(1,

�

(1, -1,

0) seja

45,

e

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

68

�

�

8.

Calcule AB ·DA sabendo que o tetraedro ABCD e regular, de aresta unitaria.

9.

Calcule �

II 2 ti+ 4�112, sabendo que II ti II = 1, II�II = 2, e a medida em radianos do angulo' en-

�-

tre u e v e

10.

211' 3

.

Se A, B, C sao vertices de um triangulo equiratero de lado unitano, calcule: �

�

AB

•

�

BC+BC

· � � � � � 3 11. Se u+v+w=o, llu ll= · 2

�

•

�

CA+CA

1

�

� •

AB

�

llv ll= 2·

llw ll

12. A medida em radianos do angulo entre ti e -;e �

2, calcule

:

��

u

•

. Sabendo que

�

�

�

�

�

�

w+ w u.

v+ v

•

11-;ll

=

•

./5,

e

II -:11=1,

�

ache a medida em radianos do angulo entre u+ v e u - v.

�. �

���

13. Fixada uma base ortonor mal (� j, k), e tornado v

relativamenre

a

�

:# 0, chamam-se co-senos diretores de v

base fixada os mlmeros cos a:, cos (j, cos 'Y , onde a:, (j, -y, sao as medidas dos

�

���

angulos que v forma, respectivamente, com i,j, k.

a)

�

Sendo v = (x, y, z) , prove que cos a:

b)

x =

../ x 2 +y2 + z2

'

cos (j

y

=

--""'.:=:::==== '

../ x 2 +y2 +z2

z

cos 'Y = --;===== ../ x 2 +y2+ z2

Prove que cos 2 a:+ cos2 (j+ cos2 'Y = 1.

�

c)

v Prove que os co-senos diretores de v sao as coordenadas do versor de v, isto e, de � . II v 11 �

�

-------

d)

Sendo

'

69

Angulo entre Vetores. Produto Escalar

'

8 a medidl! do angulo entre v1 e v2, de co-senos diretores cos a1, cos /31, cos 'Yi

e cos a2, cos /32, cos -y2, respectivamente, mostre que

e)

f)

' ' _ r:: Ache os co-senos diretores de v =(1, -3, v 6 ) e de -v. '' 7 '' ' Sendo E = ( e1, e2, e3) e F=(f1> f2, t3) bases ortonormais, mostre que a j-esima coluna ' da matriz de mudanya de E para F e formada pelos co-senos diretores de em relayao

G

aE.

' ' 14. Ache a projeyao do vetor w na direyao do v nos casos

a) b) c)

15.

' w= ' w

' w

'

(1,-1,2)

v = (3,

(-1,1,1) (1, 3,

5)

' Decomponha w =

(- 1,

'

' v =

(-2,1, 2)

' v

(

-3,

(O, 1, 3) e w2 ortogonal a

'

-1, 1)

2)

- 3,1, 0)

' ' ' como soma de dois vetores w1 e w2, com w1 paralelo ao vetor

este ultimo.

' (� / ..1, 1 2y �oomo soma de dois vetores w1 e w2, com "tu\ ,( 1 � · ('0 : 4

16. Decomponha w = (1, 0, 3

4

•.

_

linearmente dependentes e w2 ortogonal a estes dois filtimos.

4

4

4

17. (Processo de ortonormalizacao de Gram-Schmidt.) Dada a base (f1 , f2, f3) ache uma ,.+ 4 4 4 4 ' ;t base ortonormal (e1, e2, e3) tal que � ei//t1 e e2 seja combinayao linear de f1 e f2•

Aplica?o

Sugestao:

�

11=( 1,2 , 2),

4

e1 =

oExercicio Resolvido n?

4

4

f2=(1,0,l), f3=(1,l,l ).

4

; use oExercicio Resolvido n? 7 para escrever diretamente e2 ; use '

8 para escrever diretamente e3•

70

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

�

� �

�

� �

�

� �

19. Prove que se u l(v- w) e v l(w -u), entao w l(u - v).

1

� �

20. Mostre que u

•

v

4 ( 11

=

21. Mostre que as diagonais de

� �2

u + v

um

�

�2

��

11 - 11 u - v 11 ); e que u

•

v

=

o

��

�

11 u + v 11

� �

=

11 u - v 11

paralelogramo tern mesma medida se e somente se o paralelo­

gramo e um retangulo. Sugestao: Traduza para

��

� �

��

II u + v II= II u - v II

22. Mostre que as diagonais de

um

losango:

a) sao perpendiculares e reciprocamente, se culares, ele e

um

ulv .

�

um

paralelogramo tern as diagonais perpendi­

losango;

b) bissectam OS angulos internos.

23. a) Mostre que a mediana relativ a a base de

um

triangulo is6sceles e perpendicular a base e e

bissetriz do angulo do vertice. b) Mostre que se

um

triangulo e is6sceles, OS angulos da base sao congruentes (isto e, tern

a niesm a medida). c) (Rec1proca de (b)) Mostre que se um triangulo tern dois angulos congruentes, ele e is6sce­ les.

24. Mostre que as bissetrizes de angulos adjacentes suplementares sao perpendiculares. n

P

...___;:,--1.----- m 0

_____

r Sugestao: Exercicio 3

...L s

Angulo

--'-----

25.

entre Vetores. Produto Escalar

71

Mostre que a soma dos quadrados dos comprimentos das diagonais de um paralelogramo e igual a soma dos quadrados dos comprimentos dos quatro !ados. Sugestao: Mostre que -+ -+2

-+ -+ 2

-+ 2

llu+vll +llu-vll =2(llull +llvll ) � 2

A

26.

Mostre que -+

-+

-+

-+

a)

IIx+yII�IIxII +II yII (propriedade triangular)

b)

l llxll-llyll l�llx-yll

c)

I x yI = IIxII IIyII

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

•

-+-+

<->

x,y slfo lineares dependentes

Sugestao

a)

-+

-+

2

IIx+yII

-+ 2

-+-+

-+ 2

= 11xII +2x y+IIy11 •

.

Use

-+ -+

-+-+

-+

-+

x y�I x yI �IIxII IIy II •

•

(Desigualdade de Schwarz.)

b)

A desigualdade equivale a -+

-+

-+

-+

-+

-+

- llx-yll�llxll-llyll�llx-yll. -+

Escreva x=

27.

-+

-+

-+

-+

(x-y) +y.

-+ -+

-+ -+

Sendo u * 0 . v * 0 ,

,

w

-+

Use a parte a.

11-;11

=

-----

lllill+ll111

-+

congruentes com u e com v.

28. a)

Prove a rela�ao de Euler -..

-+

--+

-+

�

-+

BA DC+AC DB+CB DA= 0 •

•

•

11;11

-+

u+

--- ... -+

-

llull+llvll

-+

-+

v , prove que w forma angulos

72

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Prove que se um tetraedro tern dois pares de arestas opostas ortogonais, as duas arestas

b)

restantes slio tambem ortogonais. Prove que as alturas de um triangulo passam por um mesmo ponto ( este exercicio ja foi

c)

proposto no Capitulo 4; usando a rela�o de Euler, sua resoluyiio flea muito simplificada).

29. 0 objetivo deste exercicio e resolver a equaylio -+

x

•

-+ u= m

(a)

Vamos ten tar visualizar geometricamente o conjunto-soluyiio V da mesma. Como -+

proj

-+

;

x

=

-+

x·u -+ u (Exercicio Resolvido n9

M2

projeyliO Sohre

-+

U

e

m

7),

-+ temos que V e o conjunto dos x cuja

-+

u

liYii2

.

Esta observayiio ja nos da uma ideia de V. Tomando 0 E E3, e sendo -+ m .u P 0 = 0+--:::+:"" � ,vemos que se 11u1111u11 P pertence ao piano

7r

-+

0

que contem -+

..

m

u

nun· 11u11

-

p0 e e ortogonal a u, entlio x = OP -+

e soluylio, pois a projeylio de x na -+ m -+ , . . direrao .,. de u e � u e e fact! II u II

p

'lT

-+ se convencer que todo x soluylio de

(a) se obtem assim. Entiio � -+--+x=OP=P0P+OP0=P0P+

< » Caso

"Ii= O.

-+ m·u -+

-+

II u 1111u II

a cqua1;ao nao tern solui;ao sc

m

i= O, c qualqucr

x

E V3 e solu1;ao sc

m =

0.

------

Angulo entre Vetores. Produto Escalar

�

�

Tomando a e b vetores linearmente independentes e paralelos a --+

�

�

�

�

�

x=Xa+µb+

P0P = Xa+µb, logo

m

rr

,

73

podemos escrever

�

--2 u llu 11

( 'Y)

�

Quando Xeµ percorrem R, x percorre V, o conjunto soluyao de ( o: ). Para justificar rigorosamente as afirmayoes, indicamos os passos seguintes, deixados como exercicio. Considere a equayao homogenea �

�

�

�

(u-=F O)

x·u=O

un �

Vamos fixar uma soluyao particular de ( o: ), que denotaremos por x0• a)

�

�

Mostre que o conjunto-soluyao de ({3) e o conjunto dos vetores da forma Xa + µ b, onde X �

�

e µ percorrem R,e a e b sao dois vetores fixados, linearmente independentes e ortogonais �

a u. �

b) Mostre que se x �

tais que x =

�

Xo

e

�

�

soluyao de (o:) entao x - x0 �

�

e

soluyao de ({3) (isto �. existem X,µ E IR

�

+A a+µ b) e que todo x dessa forma e soluyaO de (o:). �

�

mu

2 11�11

Mostre que

d)

Conclusao: de (a), (b), (c) conclufmos que o conjunto-soluyao de (o:) e formado pelos x

Xo

=

soluyaO de (o:).

c)

e

�

dados por (-y), onde Xeµ percorrem R.

30.

Resolva o sistema

31.

Mostre que se

E

=

(;1, -;2,-;3)

mudanva de base de

E

para

F

e

F

= (ft ,12, G) sao bases ortonormais, entao a matriz M de

satisfaz M . Mt;,, Ml . M

=

I,

trizes com tal propriedade charnam-se matrizes ortogonais).

onde

I e

a matriz identidade (ma­

74

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Sugestlio: Sendo M

=

(aij), use as relayaes

l,sei=j

para concluir que I

e dai que Mt . M

=

I

Observa\i)es (verifique-as!) I.

M e ortogonal

2.

M e ortogonal

<>

<>

M-.1

=

Mt

o produto escalar de dois . "vetores-coluna"

(linha) e nulo se eles forem

distintos e igual a I no outro caso. 3.

Se Me ortogonal, entao detMe I

OU

-1.

32. Reconhe� as matrizes ortogonais:

a)

b)

1

0

0

0

0

2

I

.:.._ 1

0

I

I

I

0

I

2

1

0

I

75

Angulo entre Vetores. Produto Escalar

c)

v3

1

2

2

-

1

v3

2

2

0

0

1

2

2

3

3

1

e)

1

-1

0

--

V2 1

0

-

3

d)

0

--

v'2 1

0

VI

../2

0

t)

6

3

2

6

3

-2

6

7

2

-2

1

2

3

3

3

7

2

1

-2

3

3

3

3

7

-

0

33. Ache as inversas.das matrizes ortogonais do exerclcio anterior.

r

]

34. Mostre que uma matriz ortogonal

COSQ

-Sena

sen a

cosa

3

5.

OU

M= r: :J

Sugestio

[

]

2 x 2 deve ser de uma das formas

, detM

=

± 1.

COSQ

sena

sena

-COSQ

1 lguale: M-

=

1 M .

�A______ B

Na figura ao lado, temos um cubo de aresta unitaria. Considere os vetores -+ e1 -+

Dtt, e2 = �-+

--+

=

---+

u =CD + CB, v e

I

-

DC, e3 =DA,

I

-�

=DC + CB

Vl = cc. / H

/

j..E

__

F

_

G

76

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

-+ -+

.

-+

a)

Explique por que E= (e1, e2, e3) e uma base ortonormal.

b)

Calcule as coordenadas de u, v e w em rela�o a base E. Calcule II u II e II v II.

.

-+-+ -+

-+

-+

-+

u (C:, 12, i) e uma base ortonormal, sendo 11 = --

-+

v 12 = -- e

c)

Mostre que F

d)

Obtenha a matriz M de mudanya da _base E para a base F e a matriz N de mudanya de F

=

- 11�11 '

para E(veja o Exercicio

Exercicio Resolvido n?

36. Seja E = -+ w

31).

Calcule as coordenadas do vetor

e)

I

=

-+-+-+

(i,

5).

HB

j, k) uma base ortonormal.

-+ -+ -+

V6 (2i � j + k), -+

das do vetor a=

-+

-+

11-;11

em rela�o a base Ee em relayiio a base F (veja o

-+

Sendo u =

I

-+ -+ -+

VJ (i + j - k)

-+

v=

I

-+ -+

V2 (j + k)

-+-+ -+

e

prove que F= (u, v, w) e uma base ortonormal e calcule as coordena· -+

3i - 2j - k em relayao a base F (veja o Exercicio Resolvido n? 5).

CAPITUW9

ORIENTAf;A.o

•

DE

V3

Considera�oes intuitivas Provavelmente, voce vai achar muito estranho o objetivo deste capitulo: queremos "orientar

o espayo". A primeira vista, nao ha nada de intuitivo nessa ideia, mas antes que voce pense que se trata de "loucura de matematicos", vamos fazer algumas analogias. "Orientar uma reta r" voce sabe hem o que e. Trata-se de escolher um sentido para r. Como dizer isto de mo do preciso? Ora, fixando um vetor

-; * 0

paralelo a r, podemos considerar a classe

A de todos os vetores que tern mesmo sentido que-;, e a classe B dos que tern sentido contrario (isso foi definido no Capitulo que V1

�

-

{O}

=

1).

Indicando por V1 o conjunto dos vetores paralelos a r, vemos

A U B e An B

.

=

<J>. Qualquer vetor de Ada a reta r a mesma onentayao, e qual-

quer vetor de B da a reta r a mesma orientayao, contrana a anterior. Podemos entao dizer que A e B siio as duas possiveis orientayoes de r ( ou de V1 ). Escolhida uma delas, r (ou V1) esta orien­ tada. Repare que, na pratica, tudo consiste em escolher um vetor LI (portanto nao-nulo) paralelo a r, e classificar os vetores nao-nulos paralelos a r pelo criterio do "sentido". E se quisennos orientar um plano 1T? Intuitivamente falando, trata-se de escolher um sentido para as rota�es desse plano: horario OU anti-horario (como voce sabe isto e muito util em Trigo­ nometria, por exemplo). Vamos dizer isso usando uma linguagem semelhante a utilizada no caso da reta. Inicialmente adotamos um criterio de comparayiio entre pares ordenados LI de vetores paralelos a 7r: diremos que (lt, �) e um par horario se a rotayiio que ti deve realizar para se super­ por a� pelo caminho mais curto (e claro que estamos falando dos representantes) for no sentido �. �

dos ponteiros do re16gio; caso contrario, dizemos que o par ordenado (u, v ) e anti-horario. 77

78

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Consideramos, enta:o, a classe A dos pares horanos e a classe B dos anti-horanos. Cada par ordena­ do LI de vetores paralelos a TT pertence a uma s6 dessas classes. Dizemos entiio que A e B siio as duas 2 possiveis orientayoes de 1r ( ou do conj unto V dos veto res paralelos a tr). Escolhida uma delas, 2 1r ( ou V ) esta orientado. Observe que na pratica tudo consiste em escolher um par ordenado LI de vetores paralelos a 1r e comparar os demais com ele pelo criteria descrito acima. Observe ainda que se dois pares sao da mesma orientayao, um deles pode ser deformado continuamente ate-se superpor ao outro, respeitada a ordem dos vetores, sem que se perca a independencia linear em nenhuma etapa do processo. Cremos que agora a ideia de orientar o espayo ja lhe parecera menos esdruxula. Intuitiva­

mente falando, as bases

E

=

(11, 12, 13) e F

=

(11, 12, 13) tern mesma orientayao se uma delas

pode ser deformada continuamente na outra, sendo que durante a deforma�o os tres vetores nunca deixam de formar base. Veja a figura.

'

'

-

.J�::::------·f2 I I

Ela ilustra o fato de que E e F tern mesma orientayao. A figura seguinte, por outro lado,

mostra que Ei

(e1, e2, -e3) nao tern mesma orientayao que F, pois voce consegue deformar -+

-+

=

continuamente E1

=

-+

le

i,

12, -13) em F, mas vai haver um instante da deformayiio em que os

tres vetores ficarn linearmente dependentes .

. 'I I ,;

-i3

·.I /

------- Orienta'iio de

Outro criteria que

SC:

v3

79

usa com freqiiencia, na Fisica, para comparar duas bases quanta a orien­

tayao e classifica-las em dextr6giras (as que obedecem a "regra do saca-rolhas", OU a "regra da mao direita") e lev6giras (as que desobedecem). Veja um livro de Fisica (

*

).

Como tudo isso envolve um forte apelo a intuiyao geometrica, surgem dificuldades na tenta­ tiva de formalizayao. E possfvel no entanto dar um tratamento rigoroso e provar que mesma orienta?o

<>

E e F tern

a matriz de mudanya de E para F tern determinante positivo.

Nessas condiyoes e para nos mais comodo usar esta caracterizayao coma definiyao de bases de mesma orientayao. A formulaylio matemiitica de deformayao continua nos levaria alem do ·objetivo deste livro. Enviamos o leitor interessado ao Capftulo II, § 10, do livro Introduction to

Modern Algebra and Matrix Theory, cujos autores sao 0. Schreier e E. Sperner. Confira agora a sua intuiyao do que sejam bases de mesma orientayao nos casos: •

f,

a)

•

fz

b)

(*)

T,

-------.

Por exemplo The Feynman Lectures on Physics, de autoria de R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands Editora Addison-Wesley, 1966, p. 204, vol. I.

80

-

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

c)

d)

(Respostas: E e F tern mesma orienta9lio nos casos a ) e c), e orienta9lio oposta e m b ) e d)).

Defini�iio 1 Sejam E, F bases de V 3• Dizemos que E tem mesma orientafao que F se a matriz

de mudan9a de E para 1

det

M

�

M

M -1

tern determinante positivo. Nesse caso, como F -=----+ E, e det (M-1)

=

, resulta que F tern mesma orienta9ao que E. Dizemos entao que E e F tern mesma

orientayao. Quando duas bases nlro tern mesma orienta9ao elas se dizem de orienta9lio oposta. Com isto, as bases de V3 ficam divididas em duas classes, que podem ser dadas assim: escolha uma base E de V3• Considere todas as bases cujas matrizes de mudan9a para E tenham determi­ nante positivo. Essas bases forrnam wna das classes, digamosA. As outras bases, isto 6, aquelas cujas matrizes de mudan9a para E tern determinante negativo, constituem a outra classe, B.

Observa9iio

I.

Pode-se provar que (faremos parte disso adiante).

Duas bases quaisquer de A tern mesma orienta9lio, o mesmo sucedendo com duas bases quaisquer de B

2.

Urna base qualquer de Ae uma base qualquer de B tern orientai;:lio contraria.

3.

As classes A e B nlio dependern da escolha da base inicial E.

Defmii;:io 2 Qualquer uma das classes A ou B, se charna uma orientarao de V3. Escolhida urna

delas, dizernos que V3 estd orientado e nesse caso as bases da classe escolhida slio charnadas positivas (e as da outra, negativas).

EXERCICIOS RESOLVIDOS 1.

Prove que se E tern rnesrna orientai;:ao que

F,

e

F

tern rnesrna orientai;:lio que G, entao E tern

rnesrna orientai;:lio que G. (Propriedade transitiva) Resolu\:30 M Sendo E �

logo

2.

F, F

N

�

G,

MN sabernos que E � G.

Por hipotese,

det M>O

(E e

det N>O

(F e G tern rnesma orientai;:lio)

det (MN)= det M . det N > 0,

F tern rnesma orientai;:ao)

isto e, E e G tern rnesrna orientai;:lio.

Prove a afinnai;:lio da Observai;:lio 1.

Tornernos duas bases

F

e G de A. Entiio, por construi;:ao deA, sendo

ternos que det M> 0 e det N > 0.

Mas sabernos que

F

1 MN-

F�E

e G

� E,

G. Entao,

o 1 -1 = det M det (MN- ) = (det M) (det N ) > det N

Logo F e G tern rnesrna orientai;:ao.

Quanto a 2� parte:

tornernos

H e J, bases de B.

Sendo

H--!+. E

e J

� E,

ternos que

82

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

det R < 0 1 det Rr-

3.

e

=

det T, < 0,

det R

. det r-1

Mostre que as bases E

=

pela pr6pria definiylio de B. det R =

>

det T

1 RTH --- J

e

o, concluimos que He J tern mesma orientayao.

e F

-+ -+ (-+ e1, el, e3 )

Entao, por ser

-

-+ -+ -+ el, e3 ) tern oposta. - onentayao . ( -e1,

=

Resolu�o Sen do

E

M

- F,

temos

-1

M

0

0

=

0

0

Logo

4.

r

X

=

A-+ w,

com

=

A> 0 (isto e, -+

=

0

det M =-I < 0, e a afirmaylio segue.

Mostre que se as bases E -+

0

-+-+ -+ v,

(u, -+

r e

w)

-+ w

e F

=

-+

-+

Resolu�o M -+ E----+- F, temos, pondo r

=

X -+ w, que

0 , M

=

0 0

-+

tern mesma orientaylio, e r// -+

-+

w,

entao

tern mesmo sentido). Em particular, se II r II= II w II, resulta

I e portanto r = w.

Sendo

-+-+ -+ v, r)

(u,

0 0

0

X

-------

Por hip6tese, det M > 0, logo det M= A> 0. -+

-+

OrientaftfO de V3

-+

-+

-+

I "'A I II w II= "'A 11 w II resulta "'A= 1. Faya wna figura para entender geometricamente este resultado.

EXERCICIOS PROPOSTOS

1.

Verifique se as bases tern mesma orientayiio, ou orientayiio oposta nos casos

.ez

..._

_____

a)

b)

c)

a)

--+

--+

--+

--+

f1=2e1-e2-e3

b)

-+

Caso II r II= II w II, de II r II= II Aw II=

--+

--+

--+

--+

--+

--+

--+

--+

--+

--+

f1=e1+e2+e3

f2=e1-e2+e3 --+

--+

f3 =e1+e2 -e3

c)

83

84

3.

Geometria A1111litica: um tratamento vetorilll

Prove que "ter rnesma orienta�ao" e uma rela�llo de equivalencia, isto e: a)

E tern rnesma orienta�ao que E (propriedade reflexiva);

b)

se E tern rnesma orienta�ao que F, entlio F tern rnesrna orienta�ao que E (propriedad·e simetrica);

c)

se E tern rnesrna orienta�lio que f_ e F tern rnesma orienta�lio que G, entao E tern rnesma orienta�lio que G (propriedade transitiva ).

4.

Prove a afirm�lio feita na Observa�o 2.

5.

Prove a afirma�ao feita na Observ�ao 3.

Sugestio SejamA' eB' as classes obtidas pela escolha de E'. 1? caso: Suponha E e E' de rnesma orienta�ao. Entao prove queA'=A eS'=B.

2� caso: Suponha E e E' de orienta�o oposta. Entlio prove que A'=•B,

6.

B'=A.

Dada a base E = (�, 't2, °l3), considere as classes A e B corno no texto. Decida se F EA ou -+

-+

-+

FEB, sendo F= (f1, f2, f3), nos casos -+

a)

-+

-+

-+

!.+

-+

-+

-+

-+

f1=

f2= -2e1 +e2

f3=

7.

-+

-e1+e2 - 2e3

b)

-+

-+

e1= -2f1

-:;= 1;-1;

e1+e3

-+

-+

-+

-+

-+

-+

Sendo E = (e1, e2, e3) uma base positiva e F= (cxei.J3e2, 'Ye3) tambern, qual a rela�o entre

'

os numeros ex,

J3, 'Y ?.

----

8.

Mostre que, sendo E -+

r

=

=

(ti,-;,�)

e F

=

(ti, 1, i)

Orientarao de V3

bases de orientairao oposta, e

85

111 "t, entao

• -+ -+ • ' . ' -+ -+ '\ -+ '\ < 0 (.isto. e, I\ w com I\ r e w tern sentl"do contrano) . E m part.icul ar, se r e w t em normas

-+

-+

iguais, resulta X = -1 e portanto r

=

-w.

CAPiTULO 10

PRODUfO VETORIAL

-+

-+

Dados os vetores u e v, vamos definir um vetor a partir deles, chamado de produto vetorial de -+

-+

-+

-+

u e v, o qual indicaremos por u " v. Para isso, deveremos orientar V3, como se veni. Defmi�ao Fixemos �

uma �

vetorial de u e v -+

,

orienta�ao

3

�

de V • Dados u

�

e v

de V

� 3 definimos � u "' v, produto

da seguinte maneira:

-+

(i)

se u e v forem linearmente dependentes,

(ii)

se u e v forem linearm.ente independentes, u " v sera o vetor com as seguintes caracte-

-+

-+

-+

-+

risticas: • v

a)

------7 I h=ll111sen8 I u

-+

II u

-+ A

v

II e igual a area de um pa-+

isto e, -+

-+

-+

-+

II u " v II II u II II II sen 8 =

86

-+

ralelogramo definido por u e v,

v

-----

--+

Produto Vetorial

87

--+

onde 0 e a medida do angulo entre u e v. b) c)

--+

--+

--+

--+

u " v e ortogonal a u e a v. --+ --+--+

--+

(u, v, u " v) e uma base positiva de V3. (Veja a figura.)

Atenf!o: JAMAIS cometa o -erro de

UAV

escrever --+

--+

--+

--+

u,..,v=llu l l llvll senO. Isso niio faz sentido, uma vez que

--+

--+

u " v e um vetor e o 2? membro

da igualdade acima e um nilmero real. --+

--+

0 nfunero II u 11 11 v II sen 0 e, isto sim, --+

--+

a norma do vetor u " v. Como, porem, vale para o produto escalar a igualdade --+

--+

--+

--+

u·v=llull llv ll cosO

(o produto escalar e um nfunero real!)

voce sera tentado muitas vezes a cometer aquele erro.

CUIDADO! Observa�o �

�

�

Da propria defini�iio resulta que u ,.. v =O �

particular, u

,..

-+

�

� �

�

u e v siio linearmente dependentes. Em

u = 0.

Proposif!o ���

Seja (i , j ,

k)

.

�

�

uma base ortonormal positiva. Entiio, sendo u =(x1 , y 1 , z1 ), v =(x2 ,y2, z2)

relativamente a essa base, tem-se �

�

�

X1

Y1

Z1

X2

Y2

Z2

i

--+

--+

u

,..y

=

k

onde o determinante formal deve ser interpretado como sendo

Y1

--+

i+

--+

j

+

Y1

--+

k.

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

88

Demonstra�ao

Seja

-+

Z1

YI

w=

-+

X1

X1

-+

Y1

� k

j+

i+ Z2

Z2

Y2

(i)

Z1

-+

X2

X2

( 1)

Y2

-+

-+

-+

se u ev forem linearmente dependentes, entlio ou u

=

-+

-+

A.v ou v = A. u;

logo,

logo todos os determinantes em (I) sao nulos. Dai

��

(ii) Vamos supor agora u e vlinearmente independentes.

a)

Y1

Y1

+

+

Y2

Y2

r

=

(2) Agora, � �2

II u,... v.II

�2

�2

=

�2

�2

�2

II u II IIv II sen 2 0 = II u II IIv II (1 - cos2 0)

�2

��

2 11 u 11 11v11 -(u · v)

=

Um calculo simples nos mostra que esta expressao 6 igual a (2), logo �

ll wll

·

2

�

=

�

ou seja �

�

�

llwll=llu"vll

b)

2

ll u" vll,

�

w. u

Z1

YI

�

Z1

=

Z2

X1

Y1

Z1

X1

Y1

Z1

X2

Y2

Z2

�

�

Assim,

�

·��

•

v

=

X1 Y1

Z2

Y2

Analogamente, w

X1

+

X1

=

(3)

(*O) Y1

+

X2

Z1 X2

=

Y2

0

0.

�

w l u, w l v, donde (4)

c)

Vamos mostrar que

(\i,-;, \;) e

uma base positiva, e portanto, pelo Exercfcio Resolvido n
do capitulo anterior,

�

�

�

w e u ,.. v tern mesmo sentido

�

� �

De (3), (4), (5) seguira que u,.. v

=

w, concluindo a demonstra�ao.

(5)

Geometria Analitica: um tratamento vetoria/

90

A matriz

M=

Yi

Zi

Y2

Z2

Zi

Xi

q

X2

Xi

Yi

X2

Y2

X2

Xi

Y2

Yi

Z2

Zi

e a matriz de mudancra de

{i,j, k)

para

{�,-;, ;)

(verifique

!).

Desenvolvendo det M pela

ter ceira coluna vem

Yi

Zi

Y1

Z1

Y2

Xi

Xi

X2

Xi

Yi

Xi

X2

X2

Y2

Y1

Y2

+

det M Y2

q

Yi

Zi

2

Zi

Z2

Zi

Xi

+ Y2

Logo a base

Z2

2

Z2

X2

x,

Yi

Zi

2

+ Z2

X2

Z2

� 2

llwll >o. X2

Y2

� �� �� � v, w) tern mesma orientacrao que a base i, j, k), sendo portanto positiva.

{u,

{

EXERCiCIOS RESOLVIDOS

1.

� � � Calcule u "'v, sendo u ���

(i,j, k)).

=

{I, 2, 3),

� v

=

(-1, 1,

2) {referidos a uma base ortonormal

positiva

-------

91

Produto Vetorial

Resolu�o �

�

i

�

�

UAV =

�

k 3

2 -1

=

�

i

2

�

- 5j

Prove que se

2.

7 ,... (2 . 2 - 1 . 3)7 I+ ((-1). 3 - 1 . 2) J + (1 . 1 - (-1). 2) k

+

�

3 k = (1, -5' 3)

�� �

( i, j, k)

.

e uma base ortonormal

\

I

positiva, entao o diagrama ao lado nos da todos os produtos vetoriais entre os elementos da base de acordo com a regra: o produto

vetorial de dois elementos e o outro ou seu oposto, conforme se siga ou nao a flecha. Assim

-+

-+

-+

-+

j Ai =-k

Resolu�o Por exemplo:

-+

-+

-+

0

0

0

1

0

-+

-+

-+

0

0

i

-+

i

-+

"j =

i -+

i

-+

..... k= 0

j

j

0

k

�

O.i

+

.

�

O.j

+

�

�

l.k = k

k �

�

O.i - l.j

+

�

O.k

�

-j

-+

kAj =

etc.

-+

-i

-+

-+

i A k=

-+

-j

=

92

3.

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Calcule a area do triangulo ABC, sabendo que, relativamente a uma base ortonormal positiva -+-+

(i,

�

j, k),

c

.�.

-

AC=(I,1,3) --+

1,0)

CB =(-1,

......

.......

......

......

............

Resolu�o

!

I

I I

D

Sabemos que a area procurada e metade da area do paralelogramo ADBC (ver figura), a saber 1

-+

211 AC

�

,.. CB II. Calculemos

-+-

i

--+

-+-

-+-

1

3

1

0

--+

AC ,..C B= -1

1 2

4.

-

1

--+

llA C,.. CB II=

-+-

k

j

-+-

211

=

(-3, -3, 2)

(-3,-3,2) II =

1

2 v' 9+9+4;:::

.../22

-. -

2

-+-

-+-

Mostre que u ,.. v = -v ,.. u.

-+-

-+-

-+-

-+-

Basta calcular u "' v e v ,.. u conforme a Proposi\:9'.0 1.

Vejamos agora propriedades do produto vetorial.

-+- -+-

.

-+-

-+- -+-

-+-

PropoSI�o 2 Para quaisquer u, u1, u2, v, v1, v2 de V 3 e X EIR tem-se

1.

-+-

-+-

-+-

-+-

-+-

-+-

-+-

u ,..(v1 +v2) = u ,..v 1+u r.v2 -+-

-+-

-+-

-+-

-+-

-+-

-+­

(u 1 +u2) .... v=u1 r.v+u2 "v

--

--

Produto Vetorial

93

2. 3.

� �

�(*)

�

u .... v = -v .... u

Demonstra�o Silo todas decorrentes facilmente da f6nnula dada na proposi�o anterior.

A titulo de

exemplo, mostraremos que

u .... (v1 +v2)

� �

� �

�

�

�

u .... v1 +u .... v2.

=

���

Tomada urna base ortononnal positiva (i, j,

� u

k),

escrevamos

(x,y,z)

=

Entao

x

y

y

z

z

� i

('

(*)

Yi

+ Y2

y

z

Z1

=

z

x

+

x

� j +

y

k =

+ Z2

y

z

+

Ja provado no Exerc{cio Resolvido n
4.

� ) 1 +(

z

z

x

+

�

x

)j +

94

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

x

x

y

+( X1

Y1

-+

y

z

Y1 y

z

x

-+

i

x

z

j+

+

-+

i x

y

X2

Y2

z

X1

Y1

Z1 -+

+

-+

-+

Y1

x

y

X2

k y

X1

-+

-+

k

X2

-+

-+

k +

X1

Z2

x

y

j +

+

Z2 -+

x -+

Z1

+ Y2

Y2

z -+

Z1

-+

) k X2

i

Aten�ao

y

+

Y2

"kl

:I

-+

-+

-+

-+

u AV1 +UA\Ji

z

-+

-+

Na expressao u "v + v "w, cuidado para n[o errar ao p6r v em evidencia, escre-

-+

-+

-+

vendo v "(u +w). 0 correto e: -+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

UAV +VAW= UAV

-+

-+

-+

-+

w "v = (u -w ) "v

ou entao -+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

UAV + VA W= -VA U +VA W = V A (-U +w).

EXERCICIOS RESOLVIDOS (Continua�ao) 5.

Mostre que

-+

0

produto vetorial nao e associativo, calculando G

Resolu�ao:

-+

6.

-+

-+

-+

Vale o cancelamento u "v = u "w

-+ �

-+

v = w?

-+

-+

-+

-+

-:t;

"j) " i e j "G "i).

-------

95

Produto Vetorial

Resolu�o Cuidado, aqui e facil errar. A resposta e nao. Eis um procedimento correto:

-+

-+

-+

u "'v =

-+

-+

u "'w

-+

u" v



-+

-+

u "'w -+

-+ =

0

Para obter um contra-exemplo, tome u = (1, -+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

u "(v - w) =

0, 0),

-+

v =(6,

-+

0

-+

-+

-+

u e v- w sao LD.

-+

0, O), w =(1, 0, 0).

-+

-+

Entao v =F w, mas

-+

u"'v=O=u"w..

7.

Mostre que o produto vetorial de dois vetores muda de sentido ao se trocar a orientayao de V3• Mais precisamente, sendo A e

8 as orienta¢es de V 3, e indicando por " e ;;::. os produtos

vetoriais relativamente a A e 8, respectivamente, entao

Resolu�o -+

-+

-+

-+

Se u e v forem linearmente dependentes, entao a igualdade acima se verifica (O -+

-+

-+

=

-0).

-+

Senao, temos que u "v e u;;:. v tern mesmo modulo, e mesma direyao, de acordo com a definiyao de produto vetorial. Entao

(Ct)

sendo € = I ou € -+

-+ -+

-+

=

-1. Para decidir isto, observemos que pela definiyao de produto vetorial, -+ -+ -+

-+

(u, v, u "'v) EA, e (u, v, u ;;:. v)EB. Entao, o determinante da matriz M de mudanya de base da primeira para a segunda base deve ser negativo. Mas

0 M

0

0 0

0

0

€

det M = €

96

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorial

e como deve ser det

M < 0, resulta

e < 0 donde e =-1. Substituindo em

tese.

(o:)

resulta a

EXERCICIOS PROPOSTOS -+-+-+

E fixada uma base ortonormal positiva (i,j, k).

1.

2.

-+ -+ -+ -+ Calcule u "'v e v "' u nos casos

a)

-+ u=

b)

-+ u=

c)

-+ u

d)

-+ u = (2,

-2,

-4),

(7,

0,

-5),

(1,

-3, 1,

-+ v = (:-1, -2, 1). -+ v= (

l, 2, -1).

-+ v = ( 1,

1),

1, 4).

-+

2, 4).

v = ( 4,

2),

Calcule o momento em relayao ao ponto que

3.

=

(6,

oP= (1, 1, I)

(este momentoe

0 da forya

oP "'1).

-+ -+ A medida em radianos do angulo entre u eve -+

11 u

-+ "'v

11

e

11

1-+ u

3

3-+

"'

4v II

1T

6

1= (

-

Sendo

I , 3, 4), aplicada ao ponto

-+ u

11

11 =

1,

-+

11 v 11 =

•

-+

-

4.

Sendo ABCD

5.

Calcule a area do paralelogramo ABCD, sendo AB= (1, 1, -1) e AD= (2, 1, 4)

6.

Calcule a area do triangulo ABC, sendo AC= (-1, 1,

j

-+ Ache umvetor unitano ortogonal a u

?J

um

tetraedro regular de lado unitano, calcule

II AB "AC II .

-+

-+

-+

=

0)

-+

e AB=

(O, 1, 3).

-+ (1, -3, 1) e a v = (-3, 3, 3).

7,

P tal

calcule

-------

4

4

Produto Vetorial

97

44 4

padosu=(I, I, I), v (O, I, 2), acheuma ba se r o to normal ps o i tv i a( a, b, c) tal que

8.

=

(i )

4 44

(i i )

4 4 4 b e co mbi na�l'o li near deu ev. es ua pri mei ra co o rdenada e p o si tv i a.

4 .

.

a //u, a tern rne srno senti do queu.

{

Re so v l a o ss i tema

9.

4

4

x •(

4 x

10. Ache

4

2i + 3j

+

4

4k)

9

4 4 4

( - i +j - k)

"

4 x

=

tal que

4

4

=

4 4

x"

4

2i+ 2k

-

4 4 4

(i+ k)= 2( i +j

-

4

k) , e II x II=

_ /":I v 6.

11. Sabe-se que� eorto g o nal a (I, I, O) e a (-1, 0, I), tern norma Re,sendo ()a medi da do .

4

4

angulo enr t e x e (O, 1, 0) , tem-se cos () > 0. Ache x. 44

4

4

4

4

12. Prove que Hu"v 112 +(u • v)2 = Uu 112 IIv 11 2•

13. Prove que 4 4-

4

44

4

4

a)

2 2 2 llu"vll �llull llvll

b)

ll u,.,.vll = llull llvll� ulv

44

4

4 4

4 4

44

14. Prv o e que(u+v) "(u -v)= 2(v"u)

15.

4 4 4

Prv o e queseu+.v+w=

� u

entao 4

4 4 4 4

4

4

4 4

. ( a ) u"v=v,.,.w= w ....u 4 4

4

4 4

. ....w+w . (b) u ....v+v ....u= . 3(u ....v) .

4 4

4 4 4 4 4 4

4 4

16. Prv o e que(u -v) "(v -w)=u"v +v"w+w"u

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

98

-+

-+

-+

17. Prove que (u -t) .... (v

-+

-+

18. Se u .... v

-+ =

w

-+

.... t

-+

e u

-+

-:t

-+

-w

)

+ (v - t)

-+

-+

-+

.... w v .... =

-+

.... (w

-+

-+

-+

-+

- u) + (w -t) .... (u

-+

-+

-+

-+

- v)

-+

=

-+

-+

-+

-+

-+

t entao u - t e v -w s:ro linearmente dependentes. Prove

isso.

-+

-+

19. Prove que se u e v sao linearmente independentes, e

-+ w

-+

"u

-+ =

w

-+

"'v

-+ =

0 enta:o

-+ w

-+ =

0. Inter-

prete geometricamente.

-+

20. Prove que se u

-+ •

v

-+

=

-+

0 e u ..... v

-+ =

0

-+

entio

u

-+ =

-+

0 ou v

21. Prove que a altura do 6.ABC relativa ao ladoAB mede h

-+ =

0. Interprete geometricamente.

- llAB ....ACll =

-

IIAB II

22. Calcule a distancia do ponto Ca reta r que passa por dois pontos distintosA e B.

23. Exprima a distancia entre duas arestas opostas AB e CD de um tetraedroABCD em fun�ao de -- AB, DC, AD.

-+

2 (u "v + v .... w + w"' u)

CAPITULO 11

DUPLO PRODUTO VETORIAL

�

�

Queremos neste capitulo achar uma expressao para (u ;.,, v) ;.,,

� w.

� �

� �

-yamos supor inicialmente que u e v sejam linearmente independentes. Como u "'v e ortogonal �

a u e a

�

�

,!!1

gonal a u " v �

�

( u "' v )

�

�

e

"'

"' w

e orto-

entao resulta que

� � �

"' w '

�

v)

u' v

U"V

sao paralelos

a um mesmo plano, isto e, sao linearmente

dependentes

��

(veja

a

figura). Logo, sendo (u, v) LI, existern A e µ reais tais que

�

�

(u "'v)

� � "'w =A. u +

�

µv

( veja o Corolario 2 do Capitulo

5).

�� �

Para determinarmos A e µ, escolhamos uma base conveniente. Seja (i , j , �

��

� �

k)

base orto-

normal positiva, com i paralelo a u, j coplanar com u e v.

99

100

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

-------

Entao, podemos escrever

U -+

=

(X1, .0, 0) (2)

u

Dai

-+

-+

-+

k -+

-+

UAV =

X1

0

0

X2

Y2

0

-+

-+

Portanto -+

k -+

-+

-+

(u "'v) "'w =

0

0

X1Y2

X3

Y3

Z3

=

(-X1Y2Y3, X1 Y2X3, O)

Comparando com

{

-X1Y2Y3 X1Y2X3

=

Xx1 +µx2

=

µy2

Mas Y2 =I= 0 (por que? J. Logo, a segunda equa¥ao fomece

------

DuploProduto Vetorial

101

Substituindo na primeira equayao vem

e dai por ser x1

=f:. 0 (por que?) resulta (4)

Observando (2) vemos que

-+

e (4) ficam

(3) -+

-+

-+ -+

-+ -+

µ= u • w, A.= - v • w. -+ -+ -+

-+

Substituindo em

-+-+

(u "v)"w = -(v • w) u + (u • w) v

Fica a seu cargo a demonstra�ao de -+

U=

-+ Q

-+

V OU V

(1) resulta

( 5)

-+-+

no caso em que (u, v) e LD; lembre-se que nesse caso,

(5)

-+

= {J U.

Pode-se provar facilmente (exercicio) que

-+

-+

-+

-+

-+ -+

-+

� -+

u "(v"w) = (u • w) v -(u • VJ w

(6)

Observa�aes

1.

Podem-se memorizar estas duas f6mulas lembrando:

a)

que o resultado

e combina�ao linear dos vetores entre parenteses; coloque-os na ordem

em que aparecem entre parenteses. -+ -

(U

b)

A

-+ � VJ "W = (

-+

)U

-+

(

)v

(

)w

-+

o nfunero que multiplica um deles e o produto escalar dos outros dois, a menos de sinal. No primeiro caso, OS parenteses estao mais

a esquerda, logo,

0

sinal - e na primeira

parcela: -+

-+

-+

-+ -+

-+

-+

-+ -+

(u" v)"w = - (v • w) u + (u • w) v

No segundo caso, OS parenteses estao mais -+

-+

-+

-+

-+ -+

-+

-+-+

u "'(v "'w) = (u • w) v -(u • v)w

a direita; logo, 0 sinal - e na segunda parcela:

· Geometria Analftica: um tratamento vetorial

102

2.

----

Ja sabemos que para definir produto vetorial ha necessidade de escolher uma orienta�a:o de V3• Ora, existem duas escolhas poss1veis; na figura, optamos por adotar a orienta�ao dextr6-+

-+

gira (observe o sentido de u "'v), como usualmente se faz em F1sica.

EXERCiCIO

RESOLVIOO

Prove a identidade de Jacobi:

Resolu�o: -+

-+

(u"'v) -+

-+

(w"'u) -+

-+

(v"'w)

-+

-+ "'w

-+

"'v

- (v

=

-

-+ -+

•

-+

(u

-+ -+ •

-+

-+ "'u

-+

u + (u

w) v)

-+

+

w

(w

-+ -+

- (w

•

-+ -+

w)

•

•

-+

u) v + (v

v

-+ -+ v) u -+ -+

•

u) w

Somando membro a membro as tres igualdades resulta a tese.

EXERCICIOS PROPOSTOS

1.

-+

-+

-+

-+

-+

-+

Calcule ( u "' v) "'w e u"' (v "'w) diretamente, e depois usando as formulas desenvolvidas no texto

capitulo,

deste

sendo

u= -+

( l,

3 1 -+_ -+_ 1 2 3 -2,2 ) , v - (6, -2, - 4), w - (7, 7, 7), em

rela�ao a uma base ortonormal positiva.

2.

3.

Prove a f6rmula -+

-+

(u "' v )

-+

u

"'

-+

-+

-+

-+

(v "'w ) = (u

-+ -+

•

w)

-+

-+

v - (u

•

v)

usando a f6rmula deduzida para

"'w.

-+

-+

-+

a)

Suponhaque v

b)

Suponha agora que v

lw

-+

-+

-+

e v lu. Entao vale (u"'v) -+

-+

-+

-+

-+

"'w= -+

-+ -+

Proveque (u, w)

LD

-+

-+

u "'(v

-+

-+

-+

"'w). -+

-+

-+·


nearmente dependentes. c)

-+

w

=>

-+

-+

(u "'v)

-+

"'w=

-+

-+

u"'(v

-+

"'w)

=>

-+

-+

u e w li-

------ DuploProduto Vetorlal 4.

103

Mostre que -+ -+

(u"v)

-+

7'.

"(w"t}

5.

-+ -+ -+ -+ -+ -+ � -+,41-+ Se u l v, prove que u "(u "(u "(u" VJ)) = II uh v

6.

Prove que u "(v

7.

0 objetivo deste exercicio e resolver a equa�lo

-+

-+

-+

7'.

"(w"tJ)

-+ -+

-+ -!> -+

(v

=

•

t) u

-+

"w

-+ -+ -+ -+

(v • w) u"t

-

-+ -+

= (u

-:t -+

-+ -+-+

• w"t} v -(u

•

v) w

-+

,...

t

-+

x,..u =v

-+

-+

-+

-+

-+ -+

onde u e v sao dados. Observemos que se u = 0, enta:o deve ser v = 0 (senao nlo existe solu-+

,

-+ -+

�io ), e dat qualquer x e solu�o. Vamos supor, pois, u * 0 . -+ -+ -+ -+ -+ XAU = V, u*-0

a)

(a) -+

-+

-+ -+

Estudemos a equa�ao homogenea x ,... u =0 (u

-+

-+

-+

Nesse caso x =Xu (XER) da o

#=< O).

conjunto de todas as solu�es. b)

-+

Observemos que se Xo e uma solu�o de -+ -+

-+

-+

(a),

entio x tambem e se e somente se existe

-+

-+

-+ -+

-+

-+ -+

XEllR tal que x=Xo +Xu. De fato, se x e solu�o de x "u = v, como x0 "u = v, resul-+

-+

-+

ta, por subtra�io, que (x - Xo) " u -+ -+

=

-+ -+ -+ -+ 0. Logo existe X,EIR tal que x -Xo=Xu. Reci-

--+

-+

procamente, se x=x0+>..u e facil verificar que x e solu�o de c)

-+

Vamos determinar uma solu�o Xo de

-+ -+

u

•

-+

-+ -+

-+

(a).

Para que -+

(a).

(a) tenha solu�o e

-+ -+

necessario que

v = 0, pois x,... u l u. Agora observe que se Xo" u=v multiplicando vetorialmente

-+

-+

-+

-+ -+ -+

-+ -+ -+

por u, vem (Xo" u),... u = v,... u donde -(u

•

-+

u) Xo +(Xo

-+ -+ -+

•

-+

u) u = v,... u

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

104

-------+

-+

-+

Como estamos procurando uma solu�lro particular "o, vamos supor "o l u, -+

-+

-:t

logo

X0 • U= U. Daf -+

"o =

-+

E facil verificar que "o

d)

-+

---+

-+

-+

(suposto u • v=

-+

U AV

(a) see

(a).

somente se existe XEIR tal que

-+

UAV

x=

-+

assim dado e solu�ao de

Conclus!ro: x e solu�o de

-+

-+

v .... u

-+

11lr112

-+

+Xu

.

O). -+

3

-+

Geometricamente, fixando 0 E E , e fazendo P= 0 +x, se x percorre o conjunto das so-+

-+

lu�es de (a), P percorre a reta r, paralela a u, e que passa por P0= 0 +"o·

.. v

•

u

P=O+t

Po

81. I

!

Resolva o sistema

-+

-+

-+

x AU = v

-+

x •

-+ w

=

m -+

-+

-+

utilizando o exercicio anterior. Suponha u • v = 0, u =F 0,

-+ w

-+

-+

=F 0, u

-+

• w

*

0.

------

9.

{

DuploProduto Vetorlal

10.5

Resolva o sistema

-+

-+-+

-+-+

x ,,, (i +j) = -i +j

-+ -+ -+

x. (i + j)=2 -+-+-+

utilizando o exercicio anterior, e depois utilizando coordenadas. A base (i, j, k) e ortonormal positiva.

10. Resolva o sistema

{

-+

-+

-+

x,,,u=O

-+ -+

x

11.

{

•

u= 1

Resolva o sistema

-+

-+ -+

-+ -+

-+

(u v= 0, u

x ,,,u=v

•

=F

-+

0)

-+ .-+ x u=m. •

12. Resolva o sistema

{

-+ -+ -+ x "Y = u -+-+

-+

-+ -+

-+

-+

(v =FO, u ·v = O)

-+

x+y=v

13.

-+

Ache x tal que

{

-+ -+

x

•

-+-+

((u,v)LI)

u=m

-+ -+

x·v=n -+

Sugestao Considere mv

-+

-

nu para obter um duplo produto vetorial.

-+

14. Ache x tal que

r4

x. u = m

-+

-+

x. v = n

-+

I

-+-+ -+

((u, v w) LI)

-+

x. w = p

15.

Seja ABC um triangulo de altura - -:-%

AH.

-

-

-

:-:t Prove que AH e paralelo a (AB ,,, AL:) "' BC.

-

-

Sugestao Calcule [(AB ,.. Ac) ,.. BC],_Aff

CAPITULO 12

PRODUfO MISTO

Suponha que queiramos achar o volume

V de

um paralelepipedo como o da figura:

H

.. .. U/IV

_/_,--����G I h

I

.. .,,,

:;...--­

I

�-------

A

.. u

B

Sabemos que este volume e igual ao produto da area de uma base pela altura correspondente.

-+

--+

--+

Sendo u = AB, v = AD

w

-+ -+ -+

-

=

AE, ()a medida do angulo entre u "v e

w,

h a altura relativa

a

base

ABCD, e Sa area da base ABCD, temos v

( *) 106

-+

=

s

-+ -+

h = 11 u

"

(*)-+ -+

= llw 11 lcosOI resulta da observal;3o de que o mangulo necessano, pois poderia ser rr/2 < 8 :i;;;; 1T.

h

-+

v 11 h = 11 u " v II II w 11 I cos 0 I

AME e

retangulo em

M. O m6dulo

em lcos Ole

ou seja

-+-+ -+

Defm�o 1

Chama-se produto misto dos vetores u, v, w ao niunero -+-+ -+

. -+

-+

-+

[u,v,w) = u AV·w

Observa�oes .

I.

'

-+

como o produto escalar de u -+

-+

torial de u ( vetor) por v -+

assim: (u

2.

-+

Nao ha necessidade de parenteses na expressao u

-+ A.

v)

-+ A.

-+ A.

v

-+ •

•

w,pois a UNICA forma de entende-la e

-+

v (vetor) por w (vetor);nao faz sentido pensar em produto ve-

-+ •

w (numero real). Mas, se voce quiser colocar parenteses, deve ser

-+

w.

•

Do mesmo modo que no cap{tulo anterior foi necessario,na Defini¢o I, escolher uma orienta­ 3

�ao de V • Na figura anterior foi adotada a orienta�iio d'extr6gira.

Proposi�o 1

-+-+-+

Sendo (i,

-+

-+

v= (x2, Y2. z2 ), w

=

j, k)

uma

(x3, y3, z3 ),

base ortonormal positiva relativamente

entao

-+-+-+

[u, v, w] =

Demonstra�o

-+ -+

-+

u A.V =

-+

-+

X1

Y1

Z1

X2

Y2

Z2

i

j

k

Y1

ZJ -+

=

Z1

X1

i +

Y2

Z2

-+

j

Z2

X2

X1

Y1

-+

k

+ X2

Y2

-+

a qual u

=

(x,' Y1' Z1 ),

108

Geometria Analitica: um tratamento vetorlal

UAV0W

X1

Z1

Y1

·-+ -+ -+

-------

Y1

Z1

I

x2 Y2 . z2

=

X3 Y3

Z3

onde a ultima igualdade se baseia no desenvolvimento do deterrninante pela terceira linha.

CoroJalio

1

,.+ -+ -+

-+-+-+

Se (i,j,k) e wna base ortononnal positiva, e (u, v,w) e wna base qualquer,ent!o o

.

deterrninante da matriz de mudan� da primeira base para a segunda e

Demonstra�o

-+-+ -+

[u, v, wi

Basta obser\tar que,pondo -+

u =

-+

v

=

-+

w

=

(x1,yi,z1)

=

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

X2 i + Y2 j + z2

(x 2,Y2,z2) (x 3,y3,z3)

-+

x1 i + yij + z1 k,

=

X3 i + y3 j + z 3

k, k,

a referida matriz e

M

=

Y1

Y2 Y3

e dai

det M

=

X3

X1

X2

Y1

Y2 Y3

=

y2

z2

X3 Y3

Z3

x2

-+-+-+

=

[u, v, w],

onde a penultima igualdade traduz wna conhecida propriedade dos deterrninantes,e a Ultima vale pela proposi�o anterior.

109

----- Produto Misto

EXERclCIOS RESOLVIDOS 1.

Calcule o volume V do paralelepfpedo mostrado na figura anterior, sendo dados, relativamente a uma base ortonormal positiva,

-

-

-:-:t

AB=(l,0,1), BE=(l, 1, 1), ALJ=(0,3,3).

Resolu�e Com a nota�o da figura, temos �

u

-

�

-

�

-- -

=AB= (1,0, 1), v=AD=(0, 3,3), w=AE=BE+ AB= (1,1, 1) +(1, 0, 1)

=

(2,

1,

2).

En tao

0 �� �

[u, v,

donde V= I

2.

w] =

0

3

3

2

1

2

= -3,

-3 I = 3.

Calcule o volume do tetraedro A

B C D, conhecendo 0

A

B

relativamente a uma base ortonormal positiva.

Resolu�o Sabe-se da Geometria, que o volume em questao e u m sexto do volume do paralelepf­ _ B E C D F G H mostrado na figura:

pedo A

110

Geometria Analfttca: um tratamento vetorial

-------

0

Entao ,por ser

-+ -+-+

[u, v, w] =

x2 Yz

Zz

X3

Z3

Y3

I

resulta que o volume procurado e 6" do valor absoluto desse deterrninante.

Proposi�o 2 0 produto misto: 1.

e trilinear' isto e,

-+ -+ -+

-+

-+

-+ -+

-+

-+ -+

[au1+(3u2,v,wj=a[u1,v,w] + (3[u2,v,w]

-+ -+

-+

-+

-+-+ -+

-+ -+ -+

[u,v,a w1 +(3 w2] =a [u, v, wi] + (3 [u, v, w2]

2.

e alternado ,isto e, perrnutando dois vetores entre si, ele m uda de sinal: -+ -+ -+

-+-+ -+

-+ -+ -+

-+ -+ -+

-+ -+-+

-+ -+ -+

[u, v, w] = - [v, u, w] = [v, w,u] = - [u, w, v] = [w,u,v] = - [w,v, u]

----- hodutoMuto

Obse�

A propriedade

2 acirna flea facil de memorizar observando-se o diagrama

111

ao lado. Se

voe� fizer o produto misto seguindo as fle­ chas, obtera os colchetes com sinal + . Se o fizer em sentido contrano ao das flechas, obtera os colchetes com sinal

-

. E qual­

quer produto "num mesmo sentido" e o oposto do produto "em sentido contrano". -+-+ -+

-+ -+ -+:

Por exemplo, [v, w, u] = - [u, w, v].

Demonst�o

•

-+

-+

-+

"Sendo u = (x1, y1, z1), v= (x2, y2, z2), w =(x3, y3, z3), relativamente a uma base ortonormal positiva, a Proposi�iio I nos da

-+ -+ -+

X1 Y1

[u, v, w]

z1

=

-+-+-+

- [v, u, w]

-+-+ -+

-+ -+-+

[v, w, u]

[u, v, w] =

e assirn por diante.

Deixamos como exercicio as restantes partes a demonstrar. Corollirio 2 -+

-+ -+

-+

-+

-+

u"v·w = u•v"w

(isto e, "e• podem ser permutados sem alterar o resultado).

112

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Demonstra�o

Basta lembrarque -+ -+

-+

u•v"w

-+ =

-+

-+

v"w·u

-+-+ -+ =

[v,w,u]

e usar a parte 2 da Proposi�ao 2: -+ -+ -+

-+-+-+

[v, w,u]

=

[u,v,w]

Proposi�o 3 1.

2.

-+ -+ -+

[u,v,wj

=

-+-+ -+

[u, v, w]

0

-+-+ -+ �

u, v,w sao linearmente dependentes.

nao se altera se a um fator se adiciona uma combina�ao linear dos outros dois (por -+-+ -+

exemplo [u,v,w]

-+-+ =

-+

-+ -+

[u,v+a:: u +{j w, w]).

Demonstra�o

Com a nota�ao da Proposi�ao

1,

-+-+ -+

[u,v,w]

e vale 0

=

x2 y2 z2

-+ -+-+ �

u,v,w silo linearmente dependentes, como ja sabemos.

Quanto

a

outra parte, basta lembrar que o determinante acima nao se altera se a uma linha se

adiciona uma combina�ao linear das outras duas.

EXERC(CIOS RESOLVIDOS (Continua�o) 3.

-+ -+ -+

-+ -+

-+

Proveque [u+v, v+w, u+w]

=

2

-+-+ -+

[u,v,w].

Resolu�o

Existem vanas maneiras de resolver o exercicio. Uma delas a formula da Proposi�ao

1. Ai e

sucessivamente a parte

da Proposi�ao

1

e

tomar uma base e aplicar

s6 usar propriedades dos determinantes. Uma outra rnlllleira e usar 2.

------- Produto Misto

-+

-+ -+

-+ -+ -+·

-+

-+ -+ -+ -+

[u+v,v+w,u+w]

=

-+ -+

-+-+

+

[u,v+w,u+w]

�

=

-+

-+

-+-+-+

[v,w, u) + [v,w,w]

0

=

0

-+-+-+

-+-+ -+

-+ -+-+

-+

-+-+-+

+

=

4.

-+

[v,v +w, u+w]

�

[u,v ,w ] + [u, v,w]

=

113

=

2 [u,v,w ]

-+

Prove que (u "v) • (w "t)

=

Resolu�o

� -+ -+ -+ (u "v)• (w "t)

-+ -+ =

-+

-+

u• v "(w "t)

-+ -+ -+

-+ =

-+

-+ -+ -+

-+

-+-+

u• ((v • t)w - (v • w )t )

-+· -+

-+ -+

(v• t)(u•w) - (v • w)(u • t)

=

-+ -+

v•w

-+

. -+ -+

Na primeira igualdade usamos a propriedade u " v • w sao obtida no Capitulo 11.

5.

(*)

-+

-+

-+

-+

=

-+ -+

v•t

( *) -+ -+ -+ u • v "w, e na segunda, a expres=

Sejam r e s retas, u =I= 0 paralelo a r, v -:/:- 0 paralelo a s. Sejam P € r, Q € s.

Veja o CoroJario

2.

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorial

114

-----

-+-+ -

Entlio r e s slio coplanares se e somente se [u,v, QP]

=

0. Prove isto.

Resolu�o -+-+

-

Isto· e imediato, pois r e s sao coplanares se e somente se u, v, QP slio paralelos a um mesmo piano, isto e, linearmente dependentes. E isto ocorre ,pela Proposi9lio 3,se e somente -+-+ -

se [u,v, QP]

= 0.

EXERCiCIOS PROPOSTOS E fixada uma base ortonormal positiva.

It

/

2.

-+

-+-+-+

-+

-+

Calcule [u,v,w] sendo u=(-1,-3,1), v=(l,O,1), w =(2,1 , 1).

-+

Calcule o volume de u m paralelepipedo definido pelos vetores u =(2, -2,0),

-+

v = (O, 1, 0),

-+

w =(-2, -1, -1).

-

-

-

3.

Calcule o volume do tetraedro ABCD dados AB=(1,1,0), AC=(0,1,1), AD=

4.

Verifique: �

�

-+

-+-

-+-

[u 1 +u2,v,w]

-+-+

-+-+

[u1,v,w]

-+ -+

-+-+ -+

[u,v1 +v2,w) = [u,v1,w)

-+ -+ -+

-+

[u,v,w1 +w2] = -+ -+

-+

>.. [ u, v, w]

=

-+ -+ -+

[u,v,wi] -+

+ +

+

-+ -+

[Au, v, w]

-+ -+ -+

[u2, v,w]

-+ -+

-+

[u,v2,w) -+-+ -+

[u,v,w2] =

-+

-+-+

[u ,Av,w]

-+-+

-+

[u,v,>..w].

(-4, 0, O).

-+

-+

-+-+

-+ -+

-+-+ -+

5.

Prove: [u+av+l}w,v+1w,w] = [u,v,w].

6.

Calcule [u, v, w) sabendo que II u II= 1, II v II= 2, II w II= 3, e que (u,v,w) e uma base nega-

-+ -+ -+

-+

-+-+-+

-+

-+

,+ -+ -+

.

tiva, sendo u,v,w dois a dois ortogonais.

7.

-+

II v II=

8.

'fr

-+ -+

-+

-+

-+

-+

-+ -+ -+

-+ -+ -+

II w II= 4, e (u, v,w) base positiva,ache (u,v,wj.

1,

Prove que -+-+ -+

-+

-+

-+

a)

l(u,v,w] I..;11 u11 11 v1111 w11

b)

A igualdade ocorrera se e somente se algum dos vetores for nulo, ou, sendo todos nao­ nulos, forem dois a dois ortogonais.

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+ -+ -+

9.

Prove que se u .... v + v .... w + w Au= 0, entio u, v,w sao linearmente dependentes.

10.

Prove:

11.

-+

A medida em radianos do angulo entre u e v6 6, e w e ortogonal a u e a v. Sendo II u II= l ,

-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+ -+-+

2

a)

(u Av) A(v Aw) (w Au) = [u,v,w]

b)

Se(u,v,w)6base, entao(u AV, VAW, w AU) ebase positiva.

•

-+ -+ -+

-+

-+ -+ -+ -+

-+

Prove que a altura do tetraedro ABCQ. relativa a base ABC6

�- - -

h=

Sugestao Volume =

1 [AB,AC, ADJ I

+ (area

6.

ABC) h.

116

Geometrla Analftica: um tratamento vetorial

12. Ache a distancia de urn ponto D a urn piano 7f que passa pelos pontos na:o-alinhados A,B, C, ·-

--

conhecendo AB,AC,AD.

13. a)

-+ ... ... ... 3 Prove que se (e1,e2,e3) e base,e x EV entao ,

,... ... ... . [x,e2,e3 ]

... x=

b)

,...

-+

-+

[e1' e2,e3]

.,. e1 +

... e2 + .,. -,... -- .,.-[e1,e2,e3]

=+-+

...

[x,e1,e2] =+

-+

-+

[e1,e2,e3]

.,. e3

... ... ... ... Apliqueisto no caso e1=(1,1,1), e2 =( 2,0 ,1), e3=(0,1,0), x=(4,3,3). .

14. Prove que

...

... ...

u. y

... ... u. z

... ...

... ... v •y

... ... v•z

... ... w•x

...

... ... w. z

... u•x

...... ... ...... ... [u,v,w] [x,y,z] =

Sugestao

v •x

...

w•y

Se MN= P,entao det M. det N = det P:

= *

•

*

•

*

•

*

15. Calcule o volume do tetraedro OABC, sabendo que OA, OB, OC medem respectivamente 2, 3, 4 e que A6B, B6C, C6A medem respectivamente 30, 45 e 60 graus.

Sugestiio

Use o resultado do Exercicio 14.

16. Prove analiticamente a afirma�ao feita na resolu�ao do Exercicio Resolvido 2.

PARTE 2

GEOMETRIA ANALfTICA

CAPITULO 13

SISTEMA DE COORDENADAS

Para Iocalizar urn ponto P no espa90 lan9aremos mao da no9iio de sistema de coordenadas, cuja defini9iio e a seguinte.

Def�o •

Sejam

0

um ponto de E

3

e B

=

... ... ...

(e1, e2, e3) uma base de V

... ...

3.

...

Ao par (O, B) , que por abuso de

nota9iio se indica tambem por (0, e1, e2, e3) chama-se sistema de coordenadas em E •

0 ponto 0 se diz origem do

•

Sejam A

=

0 + ;"

B

=

sistema.

0 + "tz, C

=

3•

·

0 + 't3• As retas OA, OB, oc<*> sao chamadas eixos coorde­

nados, respectivamente eixo dos x, eixo dos y, eixo dos z, ou ainda eixo das abscissas, eixo das ordenadas, eixo das cotas; silo indicadas respectivamente por Ox, Oy, Oz. Os pianos determi­

nados por

0,

A, B, por

0, A,

C, e por

0, B, C sao referidos

como pianos coordenados, e cha­

mados respectivamente piano Oxy, pla� Oxz e piano Oyz. •

0

...

... ...

sistema se diz ortogonal se (e1, e2, e3) e uma base ortonormal (preste aten9ao nas palavras

grifadas), que suporemos sempre positiva. •

(*)

3 Dado P E E , podemos escrever

...... ... Orientadas,respectiwmente,por ei.e2 e e3. 119

Sistema de Coordenadas

120

----

( 1) onde os numeros x, y, z est:ro univocamente determinados (pelo sistema e pelo ponto P).

p ano y

z

piano xy

Esses nUineros sao chamados de coordenadas de P relativamente ao sistema (0,-+ e1,-+ e2,-+ e3) Portanto, dado P e fixado

(*)

•

.

.

-+ -+ (0,-+ e1, e2, e3) determinamos uma tripla ordenada de nfuneros reais

(x, y, z). Observe que, reciprocamente, dada a tripla ordenada de nfuneros reais (x, y, z), fica univocamente determinado umponto PEE

(** ).

por (I)

3

-+-+

-+

(insistimos: fixado (0, e., e2, e3)), o qual e dado

Portanto, existe uma bije\:ao de E

3

sobre

R� que e o conjunto das triplas orde­

nadas de nfuneros reais. Este fato nos permite identificar P com a tripla (x, y, z) e justifica a indica�o P

=

(x, y, z)

( ***)

Observa�o

Nao confunda coordenadas de um ponto com coordenadas de um vetor em situa�es como a seguinte, que surgem na Estatica.

-

( )

Logo as coordenadas de P s!o coordenadas do vetor OP relativarnente a -+-+-+ (e1, e2, e3).

( )

Dada (x, y, z), seja

*

**

-+ v

-+ .. xe1 +

-+

ye2

+

-+

ze3• Existe um (unico) representante de -+ v com origem o. p e

a extremidade desse representante.

(

)

** *

Muitas pessoas evitam essa identifica�o escrevendo P

=

(x, y, z), ou entao p (x, y, z).

------

121

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

�

A figura mostra uma placa homogenea de peso p mantida em equihbrio, cujas dimensoes

.

a

e b

sao conhecidas. Entao as coor�

denadas do vetor p em relayao � ��

a base(i ,j

,k ) sa:o (0, o,

�

-

lip

II).

Agora, as coordenadas do bari­ centro G da placa em rela�a:o ao sistema

(0,

definiyao nadas

��

i, j,

sao

do

b

a

b

que por

as

vetor

(2 cos a:, 2, 2

�

k),

coorde­

--+

OG,

sao

sen a:).

A proposiyiio seguinte mostra quiio comodo e trabalhar com coordenadas de pontos e de ve­ tores.

Proposi�io

Se A=(x1, y1, z;),

�

B=(x2, y2, �). v=(a, b, c), >..ER, entao

( *) A+>..-;=(x1 +>.. a, Y1+>.. b,z1 +>..c )

(ii)

Demonst�o

(Recorde no Capitulo 6 como se opera com vetores dados em coordenadas).

�

--+

�

Seja D = A + >.. v. Entiio, por defini�iio, temos AD= Av. Pondo D=(x, y, z), segue da parte

(ii)

(i) que (x - x1, y -y1, z - zi )= A(a, b, c)=(A a, Ab, Ac)

(*)

.

As coordenadas de A, Be A

�

+

���

�-���

Av sao relativas a (0, e., e2, e3), e as de v e BA a (e., e2, e3).

122

OU

Geometrill A""1ftica: um tratamento v.etorial

seja, x -

X1

= A a, y "'"'Yi =Ab

------

z - Z1 =Ac, devido a unicidade da tripla de coordenadas

de um vetor em relay!o a uma base. Dai x = x1+Xa, y = y1 +Xb, z = z1 +Xc, ou seja, D =(x,y,z)=(x1 +X a, Y1 +Xb, z1 +Xe)

AVISO Doravante, nos exercicios resolvidos e propostos, estani subentendido sempre que necessano que se fixou 0

um

sistema de coordenadas (0, 't1,�, °t3). Se for o caso, deixaremos explicito qu� -+-+ -+

Sistema e ortogonal,e 0 indicaremos por (0, i ,j ,k ).

EXEROCIOS RESOLVIDOS I.

-+

Dados P= (1, 3,-3), Q = (0,-1,4), v = (-1, 4,0) ache (em coordenadas) -

a) QP -+

b) P +v

-

c) Q +2 PQ

Resolu�o -

a) QP = (1- 0, 3+1, - 3 - 4) = (l,4,-7) -+

b)

P + v = (1,3,-3) +(-l,4,0)=(l - l,3 +4,-3 +0)\=(0,7,-3)

c)

Q + 2 PQ = (0, -1, 4) -2 QP = (0, -1, 4) - 2 (1,4,-7)= (0,-1,4) - (2 , 8, -14)=

-

-+

"

= (0 - 2 ,- 1- 8,4 +14) = (-2 ,-9,18)

2.

Ache as coordenadas do ponto m6dio M do segmento de extremidades P = (-1, 4, 7) e Q = (O, 1� 1)

---- Sistema de Coordenadas

Resolu�o

l/2

Temos (ver figura) M=P+

1 -

2

Observ�o

PQ

1 1, , ) )+ = (-l , 4,7 2{ -3 -6

Se P = (x1, Yi, z1 ) , Q

=

=

123

PQ

p

M

1 5 (-2, 2,

) 4 .

Q

(x2, y2 z2), enta:o o ponto medio M do segmento de •.

extremidades P e Q e dado por

Pro ve isto, partindo de

3.

M=P+

� PQ .

Quais sao as coordenadas do ponto P',simetrico do ponto P = (1, 0,3) em relayiio ao ponto M=(l ,2,-1)?

Resolu�o

p'

Temos (ver figura) MP'= PM.

4

.

M

p

Logo P'=M+PM=(1, 2,-1) +(0, 2,-4) = (1, ,-5). 4

Mostre que os pontos A =(1,0,1), B= (-1,0, 2) e C= (1,1,1) sao vertices de um triangu­

lo retangulo (sistema ortogonal).

Resolu�o Temos AB = (-2,0,1), AC= (O,1, O), CB= (-2,-1, 1), e daf vemos que A,B,C na:o sa:o - colineares,pois (AB, AC) e LI. Alem disso, AB AC = (-2) . 0+ 0 . I + 1 . 0 = 0, o que "' mostra que BAC e reto. •

Pergunta

5

.

Se

0

Valeria essa resoluyiio se o sistema nllo fosse ortogonal? Por que?

Sistema de coordenadas e ortogonal, mostre que

A=(l,2,-1), B=(O, l, l ) e C=(2,0,0).

0

triangulo ABC e equilatero,sendo

124

Geometrla Analftica: um tratamento vetorial

------

Resolu?o Temos

AB=(-1,-1,2), AC=(l,-2,1), BC=(2,-l,-l).

Logo, como a base eortonormal, obtemos II AB II

= v'(-1)2 +(-1)2 +22 = V6

II AC II

= v' 12 + (-2)2 + 12

118C11

=

V6

v'22 +c-02 +c-1>2 = V6

=

o que mostra que os tres lados do triangulo tern mesrno comprimento. Obse� Se o sistema de coordenadas e ortogonal, e .IV neste

caso,

a distancia entre os

pontos A = (x1, y1, z1) e B =( x2, y , z ) se calcula pela f6rmula

2 2

1

.d (A, B)

I

(2)

= (-1, 0, 0), Q = ( 2, -1, -1), R (O, 3, 1)

e S= (4, 5, 1) sao

=

v'(x1 -X2)2 +(Y1 -Y2)2 +(z1 -z2)2

pois d(A,B) = II BA II. --+

EXERCfCIOS PROPOSTOS

1.

a) Mostre que os pontos

P

=

vertices de um quadrilatero piano, convexo. Em seguida, especifique quais sao seus lados e quais sao suas diagonais (um quadrilatero e convexo se e s6 se nenhum de seus vertices e interior ao triangulo determinado pelos outros tres; veja o Exercfcio 20 do Capitulo 4). b) Verifique se os pontos A

=

(2, 6, -5), B = (6, 9, 7),

C= (5, 5, 0) e

D

=

(3, 10, 2) sao

vertices de um paralelogramo. c) Mostre que os pontos E = (3, 0, -1), F = (O, 3, 0), G = (5, 1,

-2),

H = (-4,

1, 2), sao

vertices de um trapezia. 2. Como se reconhece, atraves de suas coordenadas, um ponto do eixo das abscissas? e do eixo das ordenadas? e do eixo das cotas? E como se reconhecem pontos de cada um dos tres pia­ nos coordenados?

Sistema de Coordenadas

3.

Seja

-+

-+

-+

(O,e1'e2,e3)

um sistemaortogona/de coordenadas em E

3

125

e seja P=(a,b,c). Deter-

mine os pontos P 1, P 2, P 3, P 4, P 5 e P 6, respectivamente, proje�es ortogonais de P sob re Oxy, Oxz, Oyz, Ox, Oy e Oz

4.


Na figura ao lado, ABCDEFGH e um paralelepipedo retil.ngulo. Sejam:

-+

-+

-+

-+

-+

-+

H

e1 =AB

E:.

ez = AC

e3

a)

AF

c

/ A

I ()�

Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G, H, em rela9ao ao sistema -+ -+

-+

(A, e1, e2, e3). -+ -+ -+

b)

Idem, em rela9ao ao sistema (H,e1, e2, e3).

c)

Idem, em rela9ao ao sistema (G,-e3,2 e1, 2 ez).

d)

Idem,em rela9ao ao sistema (A,e2, e3, e1).

-+

1-+

-+ -+ -+

-+

CAPfrULO

14

ESTUDO DA RETA

Considere uma reta colha

�

�

um

v =I= 0

que

um

A

ponto

r C

E r,

paralelo a r.

Es

-

e um vetor

Entiio e facil ver

ponto X E E3 ---+

E 3.

'

pertence a r

se e somente se AX e v sao linearmente dependentes (ver figura), isto e, se e so--+ "\ E IR tal que AX mente se existe I\ .

"\� I\ v

=

ou seja

(1) Em outras palavras, dado A. real, que (I) se verifica.

A equa�iio (1)

(1)

nos da um ponto X de r, e dado XEr, existe

A reta re, pois, o lugar geometrico dos pontos X de E 3

se chama equariio vetorial da reta r.

Escreve-se

I 126

r: X

=

A+

X-:,

(A. E IR)

tais que vale

XEIR tal

(1 )

.

----

127

EstudodaReta

Observ�oes

1.

Observe que (1) nao e a imica equaylio vetorial de r, pois se tomannos outro ponto A' Er, teremos que

?

�

A' + Av tambem e uma equaylio vetorial de r, porquanto XE r

=

-

;\ER tal que A'X

�

=

X v. Poderfamos tambem ter tornado

-+ w

-+

*>-

existe

�� � w =I=

=I= O paralalelo a v,

v, e

�

terfamos outra equaylio vetorial de r, a saber X =A'+ Aw.

2.

E importante que voce sinta intuitivamente que se A percorre o conjunto dos nfuneros reais, X, dado por (1), percorre toda a reta r. Para isso, veja a figura a seguir.

A

y

M= A+

N

A

M

...

..

.. y

1/2 v

N= A+

p

A

y

V

P= A+

2 v

A

Q

y

Q: A-

3.

�

�

A e B sao pontos distintos de r, entao v = AB e nao-nulo e paralelo a r, de modo que

Se

X

v

--+

=

A+ 'A AB e uma equayao vetorial de r. E claro que X

�

=

.

�

B + AAB e X = B +}.. BA sao

tambem equayOes vetoriais de r.

�

4.

Usando uma linguagem mais livre, podemos dizer que o vetor v de (1) serve para fixar a direylio da refa r, ao passo que o ponto A serve para fixar sua posiylio no espayo (urna reta fica �

determinada por um de seus pontos e sua direylio ). Chamaremos frequentemente v de vetor diretor ou simplesmente diretor de r. Pelas observayoes ja feitas, vemos que uma reta admite

muitos diret-0res, todos paralelos entre si (dois a dois LD). Um vetor diretor de r nao pode ser nulo!

128

5.

Geometria Analltica: um tratamento vetorlal

Outro modo de interpretar a equaylio

(1)

--------,--

e encara-la como se ela descrevesse o movimento de

um ponto sobre a reta r, com velocidade (vetorial) constante igual a

1', 'A indicando o tempo,

e A a posiylio no instante inicial A= 0. Valores negativos de 'A indicariam.o "passado" do mo­ vimento, em relaylio ao instante inicial. A cada valor de

A,

terfamos uma posiya:o bem deter­

minapa do ponto m6vel, e fazendo ·A percorrer todo o conjunto IR, a reta r seria percorrida integralmente pelo ponto (r seria a trajet6ria do.movimento). Como ha muitos movimentos retilineos uniformes com a mesma trajet6ria,fica facil entender por que existem muitas equa­ y5es vetoriais para a mesma reta.

6.

�·

\

--+-'

Por tudo o que ficou dito acima, ve-se claramente que se X = A +'A u e X = B t �slio _

equayaes

vetoriais de uma reta r, o valor de X correspondente a ·um ponto Q Er -

.

niio t� _ D1- porque ser o mesmo nas duas: 0 mesmo se diga,por maior raziio,se elas forem equayOOS de retas distintas. Concluslio: se voce for "misturar" as equayOeS em seus calculos, deve-+

-+

mudar a nota�o escrevendo por exemplo X=B +µ v em vez de X=B +Av .

Tomemos agora um sistema de coordenadas (O, -+

X=(x,y,z), A=(Xc,, y0,Zo) e v = (a,b,c).

i°ti ,12, 1;),

·

em relaylio ao qual sejam

Substituindo em (1) resulta

(x,y,z) = (Xe, +A.a,y0 +'Ab,z0 +'Ac) Logo

x = Xo + Xa y

Yo + 'Ab

(

('AEIR)

2)

z = z0 +'Ac

-+

2

-+

Observe que a, b, c nao slio todos nulos, pois v =/:: 0, isto e, a2 +b2 +c =/:: 0. As equayoes

(2) siio

chamadas

equa96es parametricas

de r. X e chamado

Suponha agora que seja dado um sistema linear como

fixado um sistema de coordenadas,

parametro.

(2),

com a2 +b2 +c2 =/:: 0. Entiio,

existe uma reta da qual as equayoes

(2)

rametricas: e a reta que passa por (Xe,,Yo' Zo ) e e paralela ao vetor (a,b,c).

sa:o equ�pa­

Observe que se voce fixar outro sistema de coordenadas, mantendo o mesmo sistema de equa­ �es, as retas em geral sao distintas.

Por exemplo, se o sistema de equayoes e

x = 0 y

(A

0

=

(0, 0, 0), � = (O, 0, 1) = 13)

z = O+A

entao, a reta r passa pela origem e e paralela a13• Veja agora a figura:

r

r

-

83

0

.

e2

.

e1

O btivemos retas distintas! Observayoes As ObservayCSes 1 a 6 anteriores se adaptam naturalmente as equayoes na

forma para­

metrica; em especial destacamos: 1.

Se a reta passa pelos pontos distintos A= tomar

-+

--+

(x1, y1, z1) e B= (x2, y2, z2), entao podetnos

v= BA= (x1 - x.2• y1 -y2, z1 - z2) e teremos para equayoes parametricas de r

(AEIR)

130

2.

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorlal

-------

Assim como a equa?o vetorial (1), as equayoes parametricas (2) (que provem dela) nllo sao determinadas de modo unico. Dependem da escollia de A e de i, e' do sistema de coordenadas.

3.

Releia a Observayao 6.

Se,em (2) tivermos a =I= 0, b =I= 0 e c =I= 0 , entllo podemos eliminar X e obter

---

a

=

(3)

=

c

b

que sao as chamadas equ(lfoes de r na forma simetrica.

EXERCiCIOS RESOLVIDOS 1.

Ache as equayoes nas formas vetorial, parametrica e simetrica da reta que passa pelos pontos A=(l,0,1) e B=(0,1,0).

-+

Escolhendo AB= ( -1, 1,-1) como vetor diretor,e o ponto A , temos: equayao vetorial:

(A.EIR)

X=(l,0,1) + X(-1,1,-1 )

,-,

x =(I J + } ( I I I I ' I

equayoes parametricas:

xr{...:i)l I I

I I I

:

+ Y =;o; ',

Ait

z =; 1: +

A.l(-1): L- _J

I

I

'

"

\.I I I

,-- -------- - •.

II

I I I I

I I-� I ',

-

I J----------

( coordenadas de um'\

(ponto da reta --.. --.. _

equayoes na forma simetrica:

x-1 -1

____......

,/

y-0

',,

' ' I I I

,-- -- - ----- -, "'-

-

-

-

--

: coordenadas de um vetor : I 1 I L..- -

diretor da reta.

z-1

-1

- - ---

-

I

: I

----- __ ..

______

2.

EstudodaReta

131

Escreva uma equa9ao vetorial da reta r,que passa pelo ponto medio M do segmento AB,e que

tern vetor diretor �

v=(

../3 4

3..f3 9 ,�

,

-V3 7 )

-

.

Sao dados: A=(1,1, 3) e B= (3,1,0).

Resolu�o Sendo M o ponto medio de AB, temos:

1+3 l +l 3+0 3 M=( , , ) = (2,1 ) '2 -2- -2- -2�

.

�

�

../3,

�

.

Como v e paralelo a u = (2, 3,-14), p01s v= u, podemos tomar u como vetor diretor °98

de r. Assirn,uma equa9ao vetorial de r e

3 x = (2, 1,2) + A.(2, 3,-14)

3.

(A.EIR)

De dois vetores diretores distintos e quatro pontos distintos da reta r que tern equa9ao vetorial x = (1, 2,0) + A.(1, 1,1)

(A.ER)

Resolu�ao

1= (1,1,1) e um vetor diretor de r. Para obtermos outro,basta escolher um vetor \t que seja multiplo de 1; por exemplo: �= (2, 2, 2). Sabemos que

Quanto aos pontos,basta atribuir valores a A.; por exemplo: A.=

0

=>

X=(l ,2,0)

A.=

2

=>

x = (1,2,0) + (2,2,2) = (3,4,2)

A.= -1

=>

x = (1,2,0) + (-1,-1,-1) =

=>

X = (1 2 ''

A.=

5

2

5

O) + (-

5

5

(0,1,-1) 7

9

5

- -) = ( - - - ) 2'2'2 2'2'2

132

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

-------

Logo,os pontos A=(l,2,0), 8=(3,4,2),C=(O,l,-1) e D=( de r.

4.

7

9

5

, , ) 2 2 2

sao pontos

Dado o sistema

x

=

y

2

z

2 A.

(A.E IR)

esboce a representa9ao geometrica da reta r que tern essas equa9oes como equa9oes parametri­ cas nos casos:

O'------

>o----•92

...

...

...

11ti11=11"ti11

lle111=11e2ll=lle311=1

Resolu�o Escrevemos o sistema assim:

x

y

z

r--, I I

I I I I I

I I I I

1 I

r--,

+

I

I

I I

+

A. . :o:

+

A.

I

I I I I = 0 I L--�

. :o: I

I

2 II

A.

I I I I I I I :' '2 L--..J

.. e2

II e3 II =1 ...

----- Estudo da Reta e vemos imediatamente que a reta passa por A =

213.

=

(1, 2, 0)

e e paralela ao vetor

Entao

(i)

2 -r-

/

/

/

/

(ii)

/

A

/

O

/

/

-

,. e 2.

,

_____

,/

5.

/

l / e'i

/

\

-----,\/' ------/A

\

/

Dadas equacroes parametricas

x =l+3X y

2X

(XER)

z =6-5X

de uma reta r, achar uma equacrao vetorial de r.

/

/

133

""t= (0, 0, 2)

=

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

134

-------

Resolu�o Dispomos o sistema assim:

x

y

z

r

,

I I I

I

=II

I I I

r----,

+

I =1 0 II + I I I I I =IL 6 JI +

3

I I I I

;\ . : 2 I

I I I I I

;\ . : I I

I I

I

;\ . i.::(-5)J1 ___

e imediatamente reconhecemos que r passa por

A= (1, 0, 6)

e e paralela a

�=(3,2, -5).

Entao uma equayaO vetorial de r e

x= (1,0, 6)

6.

+ :\(3, 2, -5)

Verifique se o ponto P= (4, 1,

-1)

pertence a reta r: X

=

(1, 0,1) + :\(2, 1, 1) (:\ER).

Resolu�o Para que PE r e necessario e suficiente que exista p = (1,0,1)

:\ER

tal que

+ :\(2, 1, 1)

Ora, essa igualdade e equivalente a

(4,1,-1) =(1+2A, :\ , 1+:\) OU

4= 1+2:\

-1

1+:\

Como o sistema e incomp ativel (nao existe um valor de :\ que satisfaya simultaneamente as tres equayoes), concluimos que per.

7.

Sao dadas as equayCies

2x -1 = 1 -y = 2 3

z+l

a)

Mostre que elas representam uma reta r.

b)

Elas sao equayoes na forma simetrica de r? Caso niio sejam, passe-as para a forma sime­ trica.

c)

Exiba um ponto e um vetor diretor de r.

Resoludo Sendo

2x -1 3

x

-1/2 3/2

1 -y = y-1 -2 2 z+l = ---

z+l

as equayoes dadas podem ser escritas

x

-1/2 3/2

y-1 -2

z+l

(ex)

que sao equayoes na forma simetrica de uma reta que passa pelo ponto �

v=

3 (2, -2, 1) por vetor diretor.

1 (2, 1, -1)

e tern

Entao,

(ex), representam uma reta r;

a)

as equayoes dadas, por serem equivalentes a

b)

elas nao sao equayOeS na forma simetrica de r, pois niio atendem a definiyaO anterior. Todavia podemos passa-las para a forma simetrica: e o que fizemos acima, obtendo

c)

1

A=(2, 1,-1)

e

� v=

3 (2 , -2,1).

(ex).

136

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorial

-------

EXERCICIOS PROPOSTOS Nos Exercicios 2, 4, 8, 9,

1.

10 e 13 o sistema de coordenadas e suposto ortogonal.

Sao dados os pontos A= (3, 6,-7), B= a)

(-5, 2, 3)

e

C= (4,-7, -6 ).

Escreva equayoes vetorial e parametricas para a reta determinada pelos pontos B e C, e obtenha.sua forma simetrica (se existir). 0 ponto D =

2.

(3, 1, 4)

pertence a essa reta?

b)

Veriflque que OS pontos A, Be c sao vertices de um triangulo.

c)

Escreva equayoes parametricas da mediana relativa ao vertice C do triiingulo.

Dados os pontos A =

(0, 0, 1),

B=

(1, 2, 1)

e

C= (1,

0, 1),

obtenha equayoes parametJ;icas

das bissetrizes intema e externa do triangulo ABC, relativas ao vertice C (veja o Exercicio 4 a), do Capitulo 4).

3.

4.

Obtenha equayoes parametricas para os tres eixos coordenados.

Dados os pontos A=

(1, 2, 5)

e B=

(O, 1, 0),

determine P sobre a reta que passa por A e B

tal que o comprimento de PBseja o triplo do comprimento de PA.

5.

Escreva equayoes parametricas para a reta r, que passa pelo ponto A= (2, a)

e paralela a reta

s·.

b)

I -x --

5

=

3y

z+3 = -6

--

4

e paralela a reta que passa pelos pontos B= ( 1,

0, 4)

e

C= (2, 1, 3)

x =I-2 X c)

' e paralela a re ta s :

y

=

4+ X

z =-I -X

(XEIR)

0, -3)

e:

----.,..---- Estudo da Reta

137

6.

Passe para a forma sirnetrica, quando for possivel, as equayoes obtidas no exercicio anterior.

7.

Verifique se r=s nos casos:

1 x = 1--µ 2

x = 1 -X a)

r:

(XEIR)

y=2+2X

z

s:

= 1+ X

z

1 x =- -;\ 3 b)

r:

c)

8.

1

(XER)

s:

2 = --X 3

X = (1,1,0) +

s:

X = (0, 1,

1),

1

X(l,0,-2)

1 2 ) + µ(

2

-

,

2

v'll, e

x = 1+ X

z

=4

= 2-µ

X (l, �l,2), ache os pontos de r que distam VJ ponto A a reta r e maior, menor, ou igual a ../3, e

Idem para A=(l, 1, 1), a distlincia sendo

y = 1 -X

(µER)

(µER)

r: X =(0,2, -2) +

de A. Em seguida, diga se a distlincia do

r:

1

(XER)

0 , 1)

por que.

9.

IR)

1 +-µ

y= -1+µ

z

r:

Dados A= (0,2,

=

(µE

x = 1-µ

y = --+X 3 z

y= 2+µ

(XER)

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

138

------

10. Dada a reta r: X= (1,0,0) + A. (1,1,l) e ospontos A=(l,1,1),B=(0,0,1), ache o ponto de r equidistante de A e B.

11. Ache equa9oes parametricas da reta quepassapor A= (3, 3,3) e eparalela a retaBC, sendo B=(l,1,0) e C=(-1,0,-1).

12. Doispontos efetuam movirnentos descritospelas equa9oes x

= (0,0,0) + A.(1,2,4)

X = (1,0,-2)+A.(-l,-l,-1)

(A.ER) (A.ER)

Pergunta-se se as trajet6rias sao concorrentes e se havera colisao.

13. Sejam P = (1, 0,1) e Q (0,1,1). Em cada um dos casos a seguir ache umponto C da reta 1 PQ tal que a area do triangulo ABC seja 2. =

a)

A= (1,2,1), B

b)

A =(l,3,2), B=(2,2,2)

c)

A= (3,0,2), B = (2, 1,2)

d)

A = (3,-2,1), B = (0,0,1)

=

(1, 2,3)_

CAPITULO 15

ESTUDO DO PLANO

§ I Equayao Vetorial e Equa�oes Parametricas de um Plano Seja 1T C E3 um piano. Escolha um ponto AE 1T e dois vetores tie� linearmente independentes e parale­ los a 1r. Entao e facii ver que X E 1T se e somente se �

AX,

�V

paraielos a

sao linearmente dependentes (os tres sao

e isto ocorre se e somente se existem � � � X, µ EIR tais que AX =X u +µv. Logo

7r),

'\ �

�

I X= A+l\u +µ v Em outras palavras, dados tais que

(X' µEIR)

I

A, µEIR, (1) nos da um ponto X de rr,

(I) e dado XE1T, existem

(I) se verifica. 0 piano 1T e, pois, o iugar geometrico dos pontos de E 3 (I) se chama equariio vetorial de 1T.

A,µER que obedecem ( 1 ).

A equacyao

Observayoes

I.

Se A, B, C sao pontos distintos e nao colineares de

rr,

podemos tomar ti=

AB, 1'= AC

(por 139

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

140

-----

c

A

y � -

B

outra equayao vetorial de

2.

-

-

exemplo) e ent!Io X =A+ A AB+µAC e uma equayao vetorial de 1T; X

=

-

C +A AB+µCB e

1T.

Os vetores tie� sao chamados vetores diretores do piano 1T.

-+

-+

-+

Tomemos agora um sistema de coordenadas (O,e1,e2,e3). -+

Escrevendo

X

=

(x, y,z),

-+

A=(Xo,Y0,Zo), u=(a,b,c) e v=(m,n,p), resulta de (l) que

(x,y, z)

=

(Xo, y0, z0)+X(a,b, c) + µ(m,n,p)

OU

Logo,

x = x0+Xa + µm y=

Yo +Xb+ µn

(X,µER)

(2)

z =z0+Xc+µp

As equayoes (2) sao chamadas equaroes parametricas de

·

Suponha agora que seja dado um sistema linear como

1T.

(i), em que (a, b, c), (m, n, p)

sejam linearmente independentes. Entao, fixado um sistema de coordenadas, existe um piano tendo as equayoes (2) como equayoes param�tricas. E o piano que passa por (x0, y0, Zo) e e paralelo a (a, b, c) e (m,n,p). E claro que fixado outro sistema de coordenadas, as mesmas equayoes podem representar um outro piano.

______

EstudodoPlano

141

Observayao Se

7T

A= (x1' Y1 ,zi ) , B=(x2,y2,Z2), c (X3,y3,Z3) n ao-colineares, ____, ____, � � vetores diretores u =AB=(x2 -x 1, y2 - y 1, z2 -z1 ), v =AC

passa pelos pontos

entao podemos tomar como

(x3 -x1, y3 -y1, z3

=

=

-zi)e dai

sao equay6es parametricas de

rr .

EXERCICIOS RESOLVIOOS

I.

Ache duas equay6es vetoriais do piano que passa por -*

res

u=(l,

1, 1)

-*

c

A= (-3, -7, 1),

e

e paralelo aos veto-

v=(--1, 1,0).

Resoluyao Temos

X= A +

Xli+µ � = ( -3, -7, I )

+

A. ( 1 , 1 , 1)

+

µ ( -1 , 1,0)

(A., µEIR)

Esta e uma equaylio vetorial do piano. Uma outra seria, por exemplo,

X=A+A.(-ti}+µ�=

2.

(-3,-7,1) + A. ( - 1 , -1 , - 1 )

+

µ(-1,1,0)

Ache uma equaylio vetorial do piano que con tern os pontos A =

(0, I. 0), B = (I, 0, I) e

c = (0, 0,1).

Resoluyao Temos �

�

AB= (1, -1,1), AC= (0,-1, 1),

(A., µEIR)

que sao linearmente independentes; logo

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

142

-------

�

�

X = A+XAB+µAC

OU

X = (0, 10 , ) + X(l,-1, 1) + µ(O, -1, 1)

(X, µ

E

IR.)

e uma equayao vetorial do piano.

3.

A= (7, 7, 1) e e paralelo aos

De equayoes parametricas do piano 1r que passa pelo ponto �

�

vetores u=(l, 1, 1) e v=(-1,0, 1). Resoluyao Temos imediatamente

.

·

r··---.

x =1 7 1+ I

I I

I

I

I y =I 7 I z

=1 1 L

___

t

X

r-

·

-

: 1 1

:+

X

I I+

X

-1 I + I

µ

+

µ

1+

µ

I I

J

coordenadas de um ponto de

1T

. I

1

I I I I

r- -, -

L ___ J

i

coordenadas

1(-1)1

I I I I I I I I I 0 I I I I I I I I I L---.J

de

de

�

�

u

v

OU

x =7+ X- µ y

z

4.

7+ X

(A., µER)

= I + X+ µ

Esboce o piano que tern por equay<>es parametricas

x =X y = µ

z

=1

i

coordenadas

(A., µEIR)

nos casos {i)

(ii)

Resolu�o �revendo as equayoes na seguinte disposiyiio

x

-

y = z =

,.-,

:o

+

A

:o I

+

A

I I I

I I

:I

+

,.--, I I I I

A

.

+

µ

:o I I I :0

+

µ

L--

r--1 I I I I I

0

: I I I

+

µ

I0

l

'

I I

J

v

u

0, I)

__

I

�

�

A

vemos que Tr passa por A={O,

I

�

e e paralelo a u={I,

0, 0)

�

Assim, temos

(i)

�

= e1, e a v=(O, 1,

(ii)

�

0)= e2.

Geometria Analftica:um tratamento vetorial ------

144

5.

De uma equayao vetorial do piano 1T que tern por equayoes parametricas x=- 6+ A

-JJ..

y=- 1 + 7 A-14µ Z=

4-5A +2µ

Resolu�o Dispondo as equayoes assim:

.

.

---· ·- -·-..

x =: -6 ;+ . A. . .

-1

y z

.

I..--

x

'

4

-·

vemos que 1T passa por

!+

..

:' +

----

..J

A. A.

,... - ·-···-

:

. : '' . . ' ..

1

+ 1'

µ

7

;+ '

µ

(-5) + :

µ

'·- -·--- ........

(-6, -1, 4)

(-14)

�

'

:

2

e e paralelo aos vetores

(1, 7, -5)

e

(-1, -14, 2), logo

= (-6,-1,4)+ A.(1,7,-5)+ µ(-1,-14,2) •

e uma equayao vetorial de 7T.

EXERCICIOS PROPOSTOS

1.

Escreva equayoes vetorial e parametricas para os pianos descritos abaixo: 'a) b)

/�

V

d)

.

rrpassa por

A=(I,1,0)

e

B=(l,-1,-1)

rr passa por A=(1,0, 1) e B =(0,1,-1) C=(l,2,1) e D=(0,1,0).

e e paralelo ao vetor

v=(2,l,O).

....

e e paralelo ao segmento

rrpassa pelos pontos

A=(1,0, 1), B = (2,1, -1)

e

C=(1, -1,O).

rrpassa pelos pontos

A=(l,0,2), B=(-1,1,3)

e

C=(3,-1,1)

CD,

onde

2.

Verifique (e explique por que) se 71'1 =71'2 nos seguintes casos: a)

b)

c)

d)

3.

4.

11'1:

l 2 x =(1, 2,1) + A.(1, -1,2) + µ( -2· 3' -1)

11'2:

x =(1,2,1) +

11'1:

x = (1,1,1) + A.(2,3,-1) + µ(-1,1,1)

1r2:

X={l,6,2) + A.(-1,1,l) + µ(2,3,-1)

11'1:

X=(O, 0,0) + A.(l,1, O) + µ(O,1,O)

71'2 :

X=(l,1,0) + A.(1,2,1) + µ(0,-1,1)

Q'. (-1,1, -2)

+ fj(-3,4, -6)

11'1 .•

x = (2,1,3) + A.(1,1, -1) + µ(1, 0,1)

71'2:

X=(O,1, 1) + a(l,3, -5) + /j(l, -1, 3) �

(1, 2, 4) A.( I X= (1, I, 0)+ l , 0, )+ µ(0, I, -1) Decomponha o vetor v

=

em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao piano e outra paralela a reta

Ache dois pontos A e B da intersec9ao dos pianos

tr 1

e 1T2,

X= (0,0,O)+

v

(2,1,0).

e escreva uma equa9ao vetorial

para a reta que passa por A e B. Dados:

5.

6.

71'1:

X=(l,0,0) + A.(0,1,l) + µ(1,2,1)

11'2:

X= (0,0, 0) + A.(O ,3, 0) + µ(-2, -1,-1) .

Escreva equa9oes parametricas para os tres pianos coordenados.

Escreva equa9oes vetoriais para os pianos bissetores dos diedros determinados pelos pianos coordenados (sao

7.

6

bissetores!). Suponha que

0

Sistema e ortogonal.

Obtenha equa9oes parametricas do piano 11' que passa pelo pontO' A = ao piano

11'1:

X=(l,0,0)

+

A.(1,2,-1) + µ(2,1,0)

(1, 1, 2)

e e paralelo

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

J 46

---

--

§ 2 Equ�o Geral .... .... ....

Seja

(O, e1, e2, e3) A= ("o, y0, z0), paralelo Entlio, X

=

(x, y, z)

3

um sistema de coordenadas, e fr CE

um plano que passa por .... .... aos vetores linearmente independentes u (r, s, t) e v (m, n, p). =

pertence a

7T se e somente se os vetores ....

=

-

AX,

....

u, v, slio linearmente dependentes,

isto e, se e somente se

z-z0 r

s

t

m

n

p

=

0

(3)

ou seja, desenvolvendo por Laplace esse determinante relativamente a primeira linha, se e somente se

e dai, equivalentemente,

ou seja, pondo

temos

I

ax + by + cz + d

=

'O

j

(4)

Observe que a2 + b2 + c2 * 0, isto e, que a, b, c nao sao simultaneamente nulos, pois se assim fosse, os· nfuneros r, s, t seriam proporcionais a m, n, p (verifique por que) e os vetores

lt e1

seriam linearmente dependentes. A equa�o (4) se diz uma equafiio geral do piano Tr.

Suponha agora que seja dada a equa�io

\

'

+by+cz+d=O,

Entlio, fixado um sistema de coordenadas

com �

"

'

(5)

a2 +b2 +c2'*0 �

�

(0, e1, e2, e3),

existe um piano Tr que tern

(5)

por

equa�io geral. Vamos mostrar isto. Como

a, b, c

na:o sio simultaneamente nulos, um deles, digamos a,

e diferente de zero.

Neste caso, (5) e equivalente a c b x = --y --z a a

d

(6)

a

Fazendo: y = z = 0,

vem

d x =-­ a

y = 0, z = I,

vem

x =

y = I, z = 0,

vem

x =

Considere os pontos

c

d

a

a

b

d

a

a

148

.

Geometria Analftica: um tratamento.vetorial

c Como AB = (-- , a

b e AC= (--, a

0, 1)

1, 0),

-------

ve-se claramente que AB e AC.sao linearmente in·

dependentesj e portanto A, B, C nao sao colineares, determinando, pois, um piano rr. Para obter uma equa�o geral de 1T esci:evemos (veja (3))

x - ( -d/a) y

- c/a

-

z-0

0

1

0

=

0

0

- b/a

Desenvolvendo esse determinante obtemos ax + by + cz + d =

0,

o que prova a afirma\:ao feita.

Observ�oes

1.

As

um subconjunto. Entao 1T e um piano 1T =

2.

3 fixo, e 1T c E 2 2 2 existem a, b, cER, com a + b + c =I= 0, tais que

considera\:oes acima nos permitem dizer o seguinte. Seja

{X = (x, y, z) I

�

(O,e1, t2, e3)

ax+ by+ cz+ d = O}.

Se o piano 1T passa por A= (x1, y1, zi), B= (x2, y2 , z2 ), C = (x3, y3, z3), pontos estes nao colineares, entao uma equa\:ao geral de 1T pode ser obtida a partir de

X1 -X2

Y1 -Y2

Z 1 -Z 2

'�

X1 -X3

0

Y 1 -y3

Z1 - Z3

que e equivalente (tente provar) a

x

y

z

X1

Y1

Z1

Y2

Z2

X3 Y3

Z3

Xz

0

0

EXERCiCIOS RESOLVIDOS

1.

Ache uma equa�o geral do piano 1T que passa por A= (9, -1, 0) e �

e

paralelo aos vetores

�

u=(0,1,0) e v=(l,1,1). Resolu�o E born verificar que

ti e � sao linearmente independentes, 0 que e facil. Enta:o AX, ti, "t sao linearmente dependentes, ou

X= ( x, y, z) e um ponto de 1T se e somente se

seja, x -9

y+l

z

0

0

=0

Desenvolvendo o determinante, vem x - z - 9 = 0.

2.

Idem,1Tpassando por A=(l,0,1), B=(-1,0,1), C=(2,l,2). Resolu�o

(

*

) �

AB = (-2,0, O) �

AC= (1,1,1)

Esses vetores sao linearmente independentes. Entao, uma equaylio geral sera obtida a par­ tir de x-1

y-0

z-1

-2

0

0

= 0'

que fomece y- z + 1 = 0 .

(*)

Poderiamos usar a formula di Observa�ll'o 2, mas preferimos a resolu�ll'o acima.

150

3.

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

------

Dadas equay6es parametricas de um piano 1T ,

x = -1+2A-3 µ 1+ A+ µ

y

(A,µ ER)

z = A

obtenha uma equayiio geral de rr .

Primeira Resolu�o (eliminando A e µ). Substituindo

z =A (que e a terceira equayao) nas

duas primeiras, vem

-1+2z -3µ 1+ z + µ

Da segunda equayliO vem

µ =y

-

1

-z

que levada

a primeira fornece

x+3y - Sz - 2 = 0

Segunda

Resolu�o (achando um ponto de rr e dois vetores linearmente independentes para­

lelos arr). ------

As equayoes podem ser dispostas assim:

.---.., I

x =•I -1 I

y =•

I I I

+

A

I I

2

I

+

I

A

I

I

+

µ

O• + L- - J

A

I I I I I L--- -

+

µ

z =·

_

I I I I I

-,

,(-3)• I

+

1

1- -

µ

1

.•

I 0 .,I L----

Dai, imediatamente se escreve

y - 1

x -(-1)

z

-

0 - 0

2

0

-3

De onde resulta

x + 3y

4.

-2

Sz

-

=

0

Um piano tern por equayao geral x +2y

1

- z -

0.

Obtenha equayoes parametricas de 1T.

Primeira Resolu�o

Um modo de resolver e obter tres soluyoes da equayao dada, de forma que os pontos correspondentes nao sejam colineares.

Por exemplo,

x

=

x

=

y

=

y

0

=>

z

z

0

=>

z

0

=>

Como

--+

CB

=

=

-1

y

=

-

x

=

(-1,

1 2

(O, 0, -I)

B

(0,2, 0)

pertence a rr.

(I, 0, O)

pertence a rr.

1

c

1

2, O)

e

1

=

--+

AC

=

( 1,

l-2A.-µ

x

A.

y

z

A

=

-µ

siio equay6es parametricas de

1T.

0, I)

pertence a rr.

sao LI, A, B e C nao sao colineares. Segue que

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

152

Segunda Resolu�iio Escreva y x= I -2 A+µ .

-------

(melhor)

=A

e z =µ

.

Substituindo na equa�ao dada vem x+2 A - µ -I =, 0

Portanto temos x =I'-2A+µ =A

y

z = µ

Pode-se justificar esse proc edimento em geral (veja o Exerc!cfo 14). Se ax+ by + cz+ d

5.

=

0, a1+ b1+c1,,;:.0, e urna equa�o geral de urn piano, entfo o u a,,;:. 0, ou b,,;:. 0 ou c,,;:. . 0

b

Se a,,;:. , 0

fa�

y = A, z = µ

e daf x =--A a

Se b,,;:. , 0

fa�a

x =A, z = µ

e dai y =-

Se c,,;:. , 0

fa�a

x =A, y = µ

a e dai z = --A c

{

:

A

d

c --µ a

a

�

:

-

µ -

b - -µ c

.

d c

Uma reta r e dada como intersec�ll'o de dois pianos:

r:

x+y +z x+ y

I =0

- z

=0

De equa�es parametricas de r.

Primeira resolu�o A ideia e chamar uma das variaveis

{

Fazendo x = A, chegamos a

y +z = -A +l y-z =-A

x, y, z de

A,

e achar as outras em fun�a:o de A .

1 Resolvendo o sistema acima, obtemos y =2- A,

z

1 =

T

,

e portanto

x =A

. 1 . y =--A 2 1 z =2

sao equa�es parametricas de r.

Note que todos os pontos de r tern cota parametro, isto e, nao podemos fazer z

=

z

i

=

(constante). Logo z nao serve como

X. E quanto a y = X?

Segunda resolu�o

Se acharmos dois pontos distintos de r,

saberemos escrever equayOes parametricas de

r. Basta entao achar duas solu�es distintas do sistema

{:

-f:y+z-1 =0

+y-z =O

I I Por exemplo, os pontos A =( 2, 0 , 2) e B = (

-

1

2,

1 1 , 2), obtidos fazendo respectiva-

mente y = 0 e y=1 no sistema acima, sao pontos da reta r. Entiio AB= ( 1, 1, 0) e portanto

Geometria Analitica: um tratamento vetorial ------

154

x

=

y

=

z

=

1

T

>.

>.

1

2

sao equayoes parametricas de r.

Observa�o E bastante frequente descrever-se uma reta r por um par de equayoes da forma

(6)

com

a

i

+b

i

+c

pianos Tr1 e Tr2 .

i

=I= 0 e a � +b � +c � =I= 0, isto e, encarar a reta r como interseyao de dois

E claro que nesse caso esses dois pianos nao devem ser paralelos, e uma con­

diyao necessaria e suficiente para isso, como veremos no C,apitulo 16, e que os coeficientes a1, b1, c1 n4o

sejam proporcionais a a2, b2, c2.

0 exercicio anterior mostra como se obtem,

nesse caso, equayoes parametricas da reta.

Por outro lado, dadas equayoes parametricas de uma reta r, podemos obter equayoes de r sob a fonna (6) eliminando o parfimetro - por substituiylio, por exemplo. Caso o para­ metro nao compareya em uma das tres equayoes parametricas, esta que contem r. Vejamos exemplos.

I�)

x·

r:

=

I

-

A

y=2+2A. z

=

3 +A.

(>..ER)

ja e equayao de um piano

-------

Estudo do Plano

155

\Temos, da terceira equa�o,

X=z-3 Substituindo nas outras duas, vem

x=I-(z - 3)

e

y=2+2 (z - 3),

ou

[x+z - 4=0 r :

y

- 2z + 4 = 0

isto e, r ea interseyao dos pianos 1T1:

2�)

e 1T2: y

-2z+4=0.

x= 2 r:

Como

x+z-4=0

x= 2

y

+X

z

I+ X

(XER)

e equayao de um piano 1T 1 e todo ponto de r obedece a essa equayao, temos

que r C 1T 1 . Para obter outro piano, 1T2, que contenha r, basta eliminar A nas outras duas equayOes; obtemos

y =z.

Assim,

! x-2=0 r:

y

3?)

- z= 0

x=l- 3X r:

(AER)

y =0 1

z=3

Essa reta esta contida nos pianos 1T 1 essas duas equayoes. Logo,

:

y= 0

e 1T2 :

1

z =3,

pois todo ponto de r satisfaz a

{

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

156

------

y=O z -+= 0

sao equa�oes de r na forma

(6).

Finalmente, repare que o procedimento de "eliminar o parametro"

ja

foi utilizado no

capitulo anterior, para se obter equa�oes de uma reta na forma simetrica, que nada mais e do que um caso particular da forma r:

(6).

Assim, se

y+2 x-l z ---=--=-2 3 -2

podemos escrever x-l r :

3

y+2

=

z

-2 z

---

2

-2

OU

r :{2x+3z- 2=0 y+z+2=0

6.

Fa�a um esbo�o do piano de

equa�o geral

-

x + y- 2 = 0,

•3

relativamente ao sistema ortogonal de coordenadas ilustrado na figura.

,>----••2 0

Resolu�o Os pontos do piano devem obedecer a equa�ao x+ y= 2, de modo que sua coordenada \ ("o, y 0, Zo) pertence ao piano,

" z" pode tomar qualquer valor real. Entao, se um ponto P

qualquer ponto

Q

=

("o,

=

y0, z) tambem pertence. 0 piano contem entao todas as retas "ver­

ticais" que furam o piano Oxyao longo da reta r, indicada na figura seguinte.

Observa�iio Na Geometrl� Analitica Pla­

na, a equa�iio x+y=2 represen­ tava a reta r.

Cuidado, que

agora se trata de um piano ; aquela reta tern equayoes

{

x+y = 2 z=0

EXERCICIOS PROPOSTOS

) Faya

�

1

um esboyo dos pianos com equayoes gerais dadas abaixo, relativamente aos sistemas

de coordenadas ilustrados nas figuras.

0 (I )

(� x-2=0

(Il)

CU BOS

b)

y + 1=0

Q

y-z-2=0:�

c)

z+ 4 = 0

d)

x+y-1=0

'�,'

e)j

x-z=O

x+y+z-1=0

\....

i

Passe para a forma parametrica as equayoes gerais dos pianos do exercicio anterior.

3.

Obtenha equayoes gerais dos pianos coordenados e dos pianos bissetores dos diedros determi­ nados por eles (suponha o sistema ortogonal).

158

4.

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

------

Verifique se 1T 1 =1T2 nos seguintes casos (ex pliquepor que): ,

'j·'

a)

1T1 :x- 3 y+2z+1 = 0, 1T2: 2x - 6y+4z+1 = 0

b)

1T1:x-

f +2z- 1=0, 1T2: -2x+y-4z+2=0

Obtenha equa�oes geraispara ospianos 1T descritos abaix o: a)

1Tpassapor A=(l,1,0) e B=(l,-1,-1) eeparalelo aovetor°1=(2,l,O).

b)

1T passa por C =(I,2,1) e

6.

A= (1, 0, 1) D

=

e

B

=

(0, 1, -1)

eeparalelo ao segmento CD, onde

( O ,1, O).

c)

1Tpassapelospontos A=(l,0,1), B=(2,l,-�) e C=(I,-1,0).

d)

7rpassapelospontos A=(1,0,2), B=(-1,1,3) e C=(3,-l,l).

Dadas as retas r:

x-1

L

2

2

= z

e

s : x-l= y=z

obtenha uma equa�ao geral para opiano determinadopor r e s.

7.

Idem,sendo

r· .

8.

x- 1 --

2

=

y-3 ---

3

z 4

e

x y s :- =- = 2 3

Obtenha uma equa�o geral dopiano

x =l+}..-µ

z= 3 -µ

z -4 4

------

9.

Estudo do Plano

159

Idem,

x = 1+X

11':

y= 2 z = 3 - X+µ

10. Seja

71'1

o piano que passapelospontos A= (1, 0, 0 ), B= (0,1,0 ) e C= (0, 0,1). Seja 71'2

opiano quepassapor Q= (-1,-1,O) e eparalelo aos vetores

1"= (0,1,

Seja 71'3 oplano de equayao vetorial X=(l,1,1) + A(-2,1,0 ) + µ

-1 ) e

"t=(1,

0,1 ).

(1,0, 1 ).

a)

Escreva equayoes gerais de 11" 1, 11' 2 e 11'3

b)

Mostre que a interseyao 71'1 n71'2 n 71'3 se reduz a um (mico ponto; determine-o.

1 1. Verifique se a reta r esta contida nopiano 11' nos seguintes casos: a)

r: X=(l,O,O)+A(2,-l,0 ), 71':x+2y+3z=1

b)

11': X=

(1,

4,1)+;\.(l,-1, 1 )+µ(-1,2,

-1) e rpassapelospontos

A=(2,3,2) e B=(0,0,1) c)

r: x-1=2y=4-z e 71':x+2y-2z+l=O

1 2. Sejam P=(4,l,-l) e r:X= (2,4,l )+X

(l;-l, 2 )

a)

Mostre que P�r.

b)

Obtenha uma equayao geral dopiano determinado por r e P.

13. Verifique,em cada um dos casos seguintes,se as retas r e s sao concorrentes. Em caso afirma­ tivo, dete�e o ponto P comum a elas e escreva uma equayao geral do piano determinado por elas.

Geometria Analftica: um tratamento ve�orial

160

------

x= X y = -X

r :

a)

z

x-1

s :

r :

s :

4+X

y

2 +z

3

5

1 +4X

=

x = 2-2X b)

y-5

---=

3

z = -3X

14. Seja ax + by + cz + d

x

l+X

y

-2X

z = 2X

=

x

uma equa�ao geral de um piano

0

b

c

d

a

a

a

--X --µ

1T.

Suponhamos a =I= 0. Prove que

y = X

z = µ sao equai;oes parametricas de

Verifique se elas silo equai;oes parametricas de algum piano 1T 1. Mostre que

Sugestiio donde

'IT.

1T 1

C 'IT,

1T 1 = 'TT.

§ 3 Vetor Nonnal a um Plano Aten�o Neste panigrafo, o sistema de coordenadas adotado e obrigatoriamente ortogonal. Consideremos um piano gonal a 'TT.

-

E claro, pois, que

quer vetor paralelo a geral de

1T

1T

11' C �

3 E . Chama-se vetor normal a 1T a qualquer vetor -+

�

nao nulo orto-

n i= 0 e um vetor normal a 1T se e somente se n e ortogonal a qual-

(ou: a qualquer vetor diretor de

conhecendo um ponto

A=

1T<*>).

(Xo, y0, z0) de 1T e

Vejamos como obter uma equa�ao �

um vetor n= (a, b, c) normal a

1T

(:. a2 +b2 +c2 i=O):pondo X=(x,y,z), temos que -+

�

X E1T <* AX ln

(*)

Assim,

SC

-:

vetor normal

C

-:

a 1T.

saO doiS vetOfCS diretOfCS de

1T,

linearmente independentes,

0

vetor

-: A-: tl

Um

..

n

logo �

�

XEn*>AX·n =O OU .

XE 1T *> (x - Xo) a + (y - y0) b + (z - z 0) c = 0 e pondo d

(7)

- ax0 - by0 - cz0

conclufmos que xE 1T *> ax+ by+ CZ+ d =

0

Entao, esta idtima equa�o e uma equa�lio geral de 11'; a particularidade importante e que OS coe­ ficientes de x, y e z nessa eqUOft10 sii'o as coordenadas de um vetor normal, na ordem adequada, e d e dado por (7). Reciprocamente, se ax+ by+ cz + d = 0 e uma equa�ao geral do piano 1T, mostraremos que rt= (a, b, c) e um vetor normal a 11'. Para isso, basta mostrar que ri·"1= 0, para todo o vetor "1paralelo a11', ou seja, que ri·AB =0, para quaisquer pontos A e B de 11'.

e

donde se obtem, subtraindo membro a membro, a (x2 - x1) + b (y2 -y1) + c (z2 - z1) = 0, �

que e justamen te o que querfamos, ja que a expressao do primeiro membro e igual a rt·AB.

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

162

Conclusao

-----

Relativamente a um sistema ortogonal de coordenadas, os coeficientes de x,y e z

de uma equayiio geral de um piano 1T sao coordenadas de um vetor normal a 'Tr. Veremos nos pr6xi� mos exercicios resolvidos, aplicayoes desse fato.

EXERCICIOS RESOLVIDOS Esta fix.ado um sistema ortogonal de coordenadas.

I.

Obtenha uma equayao geral do piano 'Tr, que passa pelo ponto A= (1, 0,2) e tern vetor nor­ mal 1= (1, -1, 4).

Resolu�o Temos

X E7T

�

-+

-+-

AX·n

0

Entao, pondo X =(x,y, z), vem

XE7T

Logo

X

y +4z

-

-

9

=

�

(x- l ,y-0,z-2)·(1,-1,4)=0

�

x- 1-y +4z

-

8=0

0 e uma equayllO geral de 'Tr.

Outro modo de resolver este exercicio e o seguinte: se ft= (1,-1, 4) e um vetor normal a 1T, entao uma equa9ao geral de 1T e da forma

x -y +4z +d = 0 Para determinarmos d, basta lembrar que A E 1T e portanto suas coordenadas devem satisfa­ zer a equa9iio de 1T :

1-0+ 4.2

e daf d=

-

9.

+d=O,

2.

Obtenha uma equa9ao geral do piano rr que passa por A = (0, 1, 2) e tern vetores diretores

�

�

u=(4,l,2) e v=(2,l,-2).

Resolu�iio Ja vimos ( 1? exercicio resolvido do paragrafo anterior) como resolver este exercicio mesmo que o sistema de coordenadas nao seja ortogonal. Uma alternativa para quando o sis­ tema e ortogonal e a seguinte . Sen do

�

�

i

�

�

UAV =

temos que

XErr

�

�

ri

=

�

k

4

2

2

-2

�

� =

�

0

�

�

(x,y -l,z-2)·(-2,6,1) = 0

2x+6y - 6 + z - 2

0

Logo, uma equa9ao derr e 2x - 6y - z+ 8

3.

�

= - 4i+ 12 j + 2k

(-2, 6, 1) e um vetor normal arr (por que?). Entiio

AX·n

-

j

Escreva equa9oes parametricas

para a reta

0.

r = rr 1 nrr2,

onde rr 1 : 2x - y - 3 = 0

rr2:3x+y+2z-l=O.

Resolu�o

.. n1 �

�

Os vetores n1 = (2, -1, 0)

e n2 =

(3,

1, 2) sao normais, res-

pectivamente, a rr1 e rr2 . Entao, como r esta contida em rr i e em rr2

,

segue-se que

sao ortogonais a que de

r.

-+

n1

__,.

"'

n2

r.

�

�

n 1 e n2

Concluimos

e um vetor diretor

e

164

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

�

�

�

2

-1

0

i

�

nl

�

n2

A

-------

j

3

k �

�

�

-2i- 4j + 5 k

2

Determinemos agora um ponto de r: fazendo

=0 na equa9ao de

x

rr 1,

obtemos y=-3

e substituindo na equa9ao de rr2, vem z=2. A ssim, oponto P=(0, -3, 2) pertence a rr 1 e a

.

rr2,

4

e portanto a r. Conclusao: r passa por P = ( 0 , -3, 2) e tern vetor diretor v =(-2, -4, 5).

Dai,

x

= -2 X

y=-3-4X

("AEIR)

z =2+5X

sao equa9oesparametricas de r.

EXERCiCIOS PROPOSTOS Esta fixado um sistemaortogonal de coordenadas.

(9

2.

Obtenha um vetor normal aopiano 11' nos seguintes casos:

a)

11'passapelospontos A=(I,1,1), B=(l,0,1) e C=(I,2,3)

c)

11' tern equa9ao geral

x

-2y+4z+I=0

Obtenha uma equa9ao geral do piano rr que passa pelo ponto rr 1 : x- y+2z+ 1=0.

·

P

=

( 1, I, 2) e e paralelo a

__ __

3.

EstudodoPlano

165

De uma equa�o geral do piano 'Ir que passa pela origem e e perpendicular a reta que passa

por A=(l, 1, 1) e B=(2, 1, -1).

4.

D� uma equa�o geral do piano que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e e perpendicular a reta r:

X:= (O, 0, 1) + X(l, 2, -1).

5.

Decomponha o vetor "t= -

'Ir:

{

3f+ 4f-

Sk

paralela e ortogonalmente ao piano

x= 1-X

y= -2 z = X-µ

6.

Escreva uma equa�iio vetorial da reta que passa por A=(1, 2,

3)

e e perpendicular ao piano

'lr:2x+y-z=2.

7.

{

x= l +X

11'1: y= -2

e

z = -X-µ

8.

{

Escreva equa�es parametricas da reta interse�ilo dos pianos

{

x - 1+X-µ

11'2: y= 2X+µ

z = 3 -µ

Escreva equa�es parametricas da reta que passa pela origem e e perpendicular ao piano

'Ir:

x= 1-X-µ

y=X+µ z =X

9.

Prove que o lugar geometrico dos pontos de E3 que silo eqilidistantes de A= B=

(4, 3, 1)

(I,

-1, 2) e

e um piano. Mostre em seguida que esse piano passa pelo ponto medio de AB

e e perpendicular ao segmento AB.

10. (Gener�ao do Exercfcio 9). Prove que o lugar geometrico dos pontos de E3 que equidis­ tam de dois pontos distintos A = (x1,y13

z1)

e B=( x2,y2,z 2) e um piano que passa pelo

ponto medio do segmento AB e e perpendicular a ele. Esse piano e chamado piano mediador do segmento AB.

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorial

J 66

1L

-------

Mostre que o lugar geometrico dos pontos de E3 que equidistam dos pontos B

=

(-1,

0,

1)

e C

=

(O,

A= (2, 1, 1),

e uma reta, perpendicular ao piano que passa por

2, 1)

A, Be C.

De equa9oes parametricas dessa reta.

§ 4 Feixe de Pianos A no9ao que veremos agora e muito util na resolu9:ro de problemas. Considere uma reta r interse9a:o dos pianos 1r1 e 1r : r 2

=

1r1 n 1r . Suponha que 2 (a2+b2+c2::;f:0) 1 1 1

(8)

(a2+b2+c2::;f:O) 2 2 2

(9)

\ \

r /

/

)

---""' - - - - - - - ..._/'

0 que representara a equa9ao

(IO)

onde

a

e (j sao numeros nao ambos nulos (a2+(j2 * O)?

· Se voce escrever a equay:ro acima na forma

(11) e verificar que os coeficientes de x, y,

2) entao concluira que (IO) representa

z

nlro podem ser simultaneamente nulos (veja o Exercicio

um piano 1r.

Qual a rela9ao entre ?r, 1r1 e 1r ? Ora, todo ponto de r 2 (11). Conclusao: r c 1r.

tisfaz tambem (IO), e portanto

=

1T1 n 1T satisfaz 2

(8) e (9),

logo sa­

______

Agora, se um piano contem r, sera que existem

a e

EstudodoPlano

167

{3 (na:o simultaneamente nuios) tais que a

equayli'o desse piano e (10)? A resposta e afirmativa. Veja o Exercicio 3. Enta:o concluimos que dados os pianos (a21+b21+c21 #:0) e (a2+b2+c2 #:0) 2 2 2 tais que 1f1 n 1f =t, 0 conjunto de todOS OS pianos que contem r e 2

Tal conjunto e chamado de feixe de pianos por r.

EXERCfCIOS RESOLVIDOS 1.

De uma equa�o do feixe de pianos que contem a reta r: X

=

(1, -1, 0)+ X (2, -3, 4)

Resol�o Precisamos achar dois pianos 1f1 e 1f parametricas de r:

2

cuja interseyllo e r. Para isto, achamos equayOes

x =1+ 2X y = -1 -3X z = 4X

Agora, eliminando A das duas primeiras vem 3x+ 2y - 1 =0. Da mesma forma, eliminando X das duas ultunas vem 4y+3z+ 4 = o. Enta:o.

r:

{

3x+2y-1 = 0 4y+3z+4 = 0

168

Geometrla ANllltica: um tratamento vetorial

-------

Logo, um piano qualquer do febce sera dado por Ck(3x+2y-:-l)+/j (4y+3z+4)= 0

2.

Ache o piano que contem o ponto P =(I, 1, -3) e a reta

r:

{

x-y+2= _0 x + y+z=O

Resolu�o 0 feixe de planos por r e dado por Ck(x-y+2) + (j(x+y+z)= 0

(Ck2 +/j 2 =FO)

Irnpondo que P perten�a a esse piano generico do feixe, vem

Q

Logo 2 Q

-

(1 -1+2) + /j (1+1+(-3)

)= 0

/j = 0, donde /j= 2 Q (:. Q :;C 0 e /j :;C 0). Substituindo na equa�!o do feixe,

veni Ck(x - y+2)+ 2Ck(x+y+ z)=0 oua(3x+y+2z+2)=0. Como Q :;C 0, 3 x+ y+ 2z+2=0, e uma equa�o do plano procurado.

3.

Ache o plano

11

que contem a reta

r do primeiro exercicio e e perpendicular ao vetor

ti=(l, 2, 1) (suponha que 0 sistema de coordenadas e ortogonal).

Resol�o Segue do primeiro e xercicio que um plano que contem r tera equa�fo da forma ·11:3 Ck x + (2a + 4 /j )y +13 /j z + (- Ck+4 /j)= 0

______

Sendo

� u

�

111, devemos ter portanto u II

.

Estudo do Plano

169

isto e,

(3a, 2a + 4 p, 3 fj),

3a=X 2a + 4(j=2X 3 (j=X

para algumX E JR. Sendo

Do sistema acima obtemos a =(j e portanto 1T : 3ax + 6ay + 3az + 3a = o.

a =l=_O, dividimos 1T :

por

3a :

x + 2y + z + 1

=

0

EXERcfCIOS PROPOSI'OS

1.

Obtenha uma equa�o geral do plano

1T

que passa pelo ponto P

=

(1, -1, 1)

e contem a

reta

r:

X=(O, 2, 2) +X (l, 1, -1)

2.

Prove que na equa�o

3.

Prove que se r

=

1T1

(11),

n

1T2

os coeficientes nao podem ser simultaneamente nulos. e se r c

1T,

existem a e

P reais, nao ambos nulos, tais que (10)

e uma equa�o de 1T. Sugestao:

0 Sistema formado pelas equa�es de

1T1' 1T2

e

1T

e indeterminado. Como as duas

primeiras sao independentes, a terceira e combina�o linear delas.

4.

Obtenha uma equa�o geral do plano r:

5.

X= (0, 1, 1) + X (0, 2, 1) (sistema

Ache uma equayao geral do plano dicular a s:

1T,

que contem o eixo dos

x

e e perpendicular

a reta

ortogonal).

1T, que contem r: X (1, 1, 0) + A.(2, 1, J) X=(1, 0, O) +X(l, 1, O)(sistema ortogonal). =

e e perpen­

CAPITULO 16

rosu;.Ao RELATIVA DE RETAS E PLANOS

Advertencia

Muito rnais do que da rnern6ria voce vai necessitar, neste·capitulo, do seu born

senso

§1

Reta e Reta

Querernos neste par3grafo resolver o seguinte problerna: dadas duas retas r e s, descobrir se elas sao paralelas, concorrentes ou reversas; se forern paialelas, verificar ainda se sio co�� dentes ou distintas. // Para isso, fixernos urn sisterna de coordenadas (O, �, �. "t.,), e designernos por1=(a, b, c) urn vetor diretor de r, por 1 (rn, n, p) urn vetor diretor de s, por A= (x., y., zi) urn ponto qualquer de r e por B =(x2, y2, z2) urn ponto qualquer de s. Observernos entao que: =

•

-+ -

a

b

c

rn

n

p

Y2 -Yi 170

.

rr s, AB ) e LI, ou seja, se e sornente se r e s �o reversas se e sornente se '-"

¢0

(1)

---

--

•

/ t:-e'/s sao paralelas se e somente se

Posifao Relativa de Retas e Pianos

171

(J, 1) e LD, isto e, se e somente se existe XE R talque (2)

•

r e s sao concorrentes se e somente se slio coplanares e nlio sao paralelas, ouseja, se e somente

se a

b

c

m

n

p

=

0

-+-+

e (r , s) LI

(3)

A partir des�s considera�es, podemos estabelecer o seguinte roteiropara estudar a posi�o relativ� das retas r e s:

Roteiro

Escolher

um

'vetor 1 paralelo a r e um vetor1 paralelo a s. Temos duas possibilidades:

(J, 1) LI ou(J, 1) LD.

1)

.

Se (J, 1) e LI, escolher um ponto A E r e um ponto B E s, e verificar se (J, 1, AB) e LI (condi�o (1)). Em caso afrrmativo, r e s slio reversas. Se, por outro lado, (t, 1,·AB) e LD; estlio obedecidas as condi�es (3) e r e s slio concorrentes.

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

172

2)

Se

{t, 1)

e LD ( condi?o

(2)), r

-------

e s sao paralelas. �esta saber se coincidem ou nao. Para

isso, basta escolher um ponto qualquer P de r e verificar se P pertence a s: se sirn, temos r = s (pois r // s e r e s tern um ponto em comum); se nao, r e s sao paralelas distintas (rn s=q,e r /Is).

Observa�o Se r e s sao concorrentes, o Unico ponto P comum a elas pode ser determinado resolven­ do-se o sistema S constituido das equayOes de r e s . Alias, o estudo da posiya:o relativa pode *> tambem ser feito resolvendo-se esse sistema< . Se S tiver uma Unica soluya:o, r e s sa:o concor­ rentes; se S for indeterminado (infinitas soluyaes) enta:o

r

=

s; se S for incompativel, dois

casos podem ocorrer: as retas sa:o reversas ou paralelas distintas (isso pode ser decidido tomando-se um vetor diretor de cada uma e verificando se sa:o LI ou LD).

L

Estude a posi?o relativa das retas r :X =

(l,2,3)+)..(0,1,3) ()..ER)

e

s :X=(0 ,1,0) +

)..(1,1,1) ()..ER)

Resolu�o Temos 1=(0,1, 3),1 = (1, 1, 1). Como se ve facilmente, {t, 1) e Ll Tomemos entao um

A =(1, 2, 3) Er

e

0

1

3

1

1

1

-1

-1

-3

ponto em cada reta, por exemplo

B =(O,1, O)Es.

-

Entao AB =(

f

1, -1, -3)

-

e como

concluimos que

(*)

=2=#=0

-

(1, 1, AB) e LI e portanto r e s sao reversas.

C uidado! Nio use a mesma letra para indicar os panimetros; veja o Exercfcio 12 ea Observ�o 6 do Cap{tulo 14.

------- Posifiio Relativa de Retas e Pianos

2.

173

Estude a posi�o relativa das retas r: X = (1,

2, 3)

+ X

(0, 1, 3)

(XE IR) e

s:X =

(1, 3,

6) + µ

(0,

(µE IR)

2, 6)

Resolu?o Temos1 = (0, 1, 3) e 1=(0, r

II

2,

6). Logo, 1 =

21 e

portanto

{t, s) e LD. Segue-se dai que

s. Vejamos se r e s sao distintas ou coincidentes. Para i�o, tomamos um ponto qualquer de

2,

r, por exe�plo, A = (1, obtemos:

3), e verificamos se AE s. Ora, fazendo

µ

=

-+ na equ�ao de s,

'-,,��

X=(l, 3, 6)

1

-

-y(O, 2, 6) = (I, 2, 3)

=A

e portanto AEs. Concluimos que r= s.

3.

Estude a posi�o relativa das retas r : X=(I,

2,

3) + X

(0, 1, 3)

e

s:

·{

x

+ y + z =6

x-y-z

-4

Resolu�o 0 vetor1=(0, 1, 3) e paralelo a r. Para determinar um vetor 1 paralelo a s, tomemos dois pontos de s: fazendo z = 0 nas equa�es de s, obtemos x=1 e y

=

5; fazendo z -+

==

-+

1, obtemos

x = 1 e y=4; logo, B=(I, 5, 0) e C=(I, 4, 1) sao pontos de s e portanto s =BC =(0,-1, 1)

e um vetor diretor de s<*)_

(*)

Seo sistema de coordenadas fosse ortogo nal, poder{amosobter1 deoutro modo:

-+ I 1

(por que?)

1

1

-1

-1

= (0, 2, -2)

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

174

----

Como (i-+, s) e LI, as retas nao sao paralelas. Tomemos entao o ponto temos

-

AB

concluimos que (t, 1, serem concorrentes.

AB) e

0

1

3

0

-1

1

0

3

-3

LD. Logo r e s sao coplanares; como nao sao paralelas, concluimos '

Estude a posi�o relativa das retas r e s nos seguintes casos: a)

r:X=(1,-1, 1 )+X (-2, 1 ,-1)

b) r:

C) r..

2, 3) Er;

=O

EXERcfCIOS PROPOSTOS

1.

A = (1,

= (0, 3, -3) le sendo

{

x- y-z=2

s:

s:

x+y-z=O

x+ 1 l'.'.. � = = 2 3 2

{

{

y+z=3 x+y-z=6 2x-3y+z=S x+y-2z=O

s:X=(0, 0, 0)+X (1, 2, 0)

!

2x-y+7=O

x+3 y- 1 d) r:- -=- -= z 4 2

s·

e) r:X=(8, 1, 9)+;\ (2,-1, 3)

s:X=(3,-4, 4)+X( l , -2, 2)

. x- 1 _ .I...=.l_ _ z+2 f)r. 5 3 3 -

z- 1 s:x=-y=- 4

'

x+l g) r:- -= y =-z 2

h) r:x+3

2y- 4 - z- 1 --34

s:

l

x+y-6z+2=0

x+ y-3z=1 2x-y- 2z=O

s: X=(0, 2, 2)

+A.

(1, I, -I)

-------

2)

Posifao Relativa de Retas e Pianos

175

Calcule m E IR para que a) r e s sejam paralelas; b) r,s e t sejam paralelas a um mesmo piano; c) r e t sejam concorrentes; d) s e t sejam coplanares; e) r e s sej am reversas.

sao dadas

r:

3.

{

x=my-1 z=y- 1

s: x= L = z m

t: -x + z

=

y=-z - I

No Exercicio l, obtenha, quando for o caso, uma equa9ao geral para o piano determinado pelas retas r e s.

4.

Nos itens do Exercicio 1 em que r e s sao reversas,obtenha uma equa9ao geral para o piano que contem r e e paralelo a s.

5.

Determine m para que as retas r: X=(I,0, 2)+A(2, l,

3)

e s: X=(O,1,-1) +A(I, m, 2m)

sejam coplanares, e nesse caso estude su a posiyao relativa

6.

Determine

a

e {3 reais para que as retas e

r: X=(l,a,O)+A(l,2, 1)

s:

{

x=z-2 y={3z - 1

sejam coplanares e obtenha nesse caso uma equayao geral para o piano delas.

§2

Reta e Plano

0 problema que queremos resolver agora

e: dados uma reta r e um plano

esta contida em 1T ou se re paralela arr ou se re transversal a Neste Ultimo caso,usamos o s{mbolo r iT\

1T.

'IT,

isto e, se r fura

1T, 1T

decidir se r

num ponto P.

176

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

-------

Lembrando que

•

r c 'Tr

<===> r n 'Tr contem infinitos pontos

•

r m 'Tr

<===>

r n 'Tr contem um (mico ponto

devemos, para resolver o problema, estudar a interse�o r n

7r.

-+

-+

-+

Fixemos entao um sistema de coordenadas (0, e1, e2, e3) e sejam, em relacrao a ele,

r: X=(x0, y0, z0)+ A.(m, n, p) e 'Tr : ax+by + cz +d = 0

{

Vamos discutir o sistema de quatro equacroes lineares nas inc6gnitas x, y, z e A.;

x =x0+ mA. Y =yo+ nA. z =z0+pA. ax+by+ CZ+d =

0

ou equivalentemente: 1.x+Oy+Oz - mA.

-

Xo =0

Ox+ l.y+Oz - nA. - Yo =0 Ox+Oy+ I.z - pA.- z0 =0 ax+by + cz + OX + d =0

Pela Regra de Cramer, sabemos que este sistema tern solucrao unica see so.mente se 1

0

0

-m

0

1

0

-n

0

0

a

b

=;to -p c

0

______

Posifiio Relativa de Retas e Pianos

177

e calculando o determinante, isso nos da ma+ nb+ pc =I= 0. Concluimos que

I dfhr .- ma+ nb + pc =I= 0 I

(4a)

ou, em outros termos,

I ma+ nb + pc = 0 .- r C tr

ou

r

//tr

I

(4b)

Podemos assim estabelecer o seguinte roteiro para estudar a posi�o relativa de uma reta r e um plano 'If. Roteiro

1)-

Achar

um vetor-; = (m, n, p) paralelo a reta r e uma equ�o geral ax + by + cz + d = 0

para o plano tr. Se am + bn + cp =I= 0, a reta e transversal ao plano e para obter o ponto comum a eles, basta

2)

resolver o sistema formado por suas equayOes. Se am + bn + cp

3)

=

um ponto qualquer r

1.

0, podemos ter r c

A

tr

ou r

//tr.

Para decidir isso, e suficiente escolher

de r e verificar se ele pertence a tr. Se sim, r c tr; se nao, temos

// rr.

Se

o sistema

(0, t1, t2, 't3)

for ortogol'Jlll, o vetor ii= (a, b, c) e normal ao plano tr e o

numero am + bn+ cp e o produto escalar -;.

ri. A condi�o

am+ bn + cp = 0 significa, pois,

que ii 1-;. Temos assim uma interpreta�o geometrica para (4a) e ( 4b): ri!irr r

2.

Se

Ctr

.--;,rrt OU

r//tr

-

11 rt

forem conhecidos dois vetores

'it =

(d, e,

f) e \t

= (g,

h, i) linearmente

independentes

paralelos a tr,. e sendo, como antes,-;= (m, n, p) um vetor diretor da reta r, uma condi�o ·

necessaria e suficiente para que r seja transversal arr e que

Faya uma figura para entender isso.

(it,-;, v;) seja LI, isto e,

d

e

f

m

n

p

g

h

=I= 0

178

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

------

EXERdCIOS RESOLVIDOS 1.

Dados o plan? 1T : X = (I,1,

3)+ X (I,-1, 1) + µ (O, 1, 3)

e a reta r: X

=

(I,l,l)+a(3,2,l)

estude a posiylio relativa de r e 'IT.

Primeira Resolu?o (veja a Observayao 2)

Observemos os vetores V

=

(3, 2, 1), it

=

(I, -1, 1), V:

=

(O, 1, 3), o primeiro para­

lelo a r' OS dois ultimos paralelos a 1T (e linearmente independentes). Como

3

2

1

-1

1

1

3

0

\J':?'-+-+ v,u,w)· e LI; logo,re transversal a

=

-

1 7 =F= O

'IT.

SeglDlda Resolu?o (Veja o Roteiro) Obtemos uma equ�ao geral de 1T: x

-

y- 1

1

-1

l 0

3 y-

z

-4

-

1 3

donde 1T: 4x +

z

=

0

3

=

O

______

�

Sendo v =(3, 2, e transversal a

2.

I)

Posifiio Relativa de Retas e Pianos

um diretor de r, e como 4.3 + 3.2 +

(-1).I

=

17 =I=

179

0 vemos que r

1T.

Idem para

X =(I,

7T:

0, I)+X

(I, I, I)+µ (O,

0,3),

r:X= (2,2, l )+a(3,3,0).

Resolu�o Os veto res

1 = (3, 3, 0), Ii = (1, I, I)

e

w = (0, 0, 3), o

.. outros dois paralelos a 7T (e linearmente independentes) sao

3

3

LD, pois

-

0

v

j

=O

I 0

0

3

Entao, devemos ter r C

primeiro paralelo a r, os

1T

ou r

//

1T.

Para decidir isso, tomamos um p onto qualquer de r

e verificamos se ele pertence ou nao a 7T. Fazendo a= 0 na equ�ao vetorial de r,obtemos o ponto (2,2,I). Substituindo na equa{:ao de 7T:

(2,2,I)

ou seja

{

= (I,

0, I) +X

(1, I, I)+µ (0, 0,3)

2=I+X 2=X I=I+X+ 3µ

que e claramente incompativel. Logo, r

// 1T.

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

180

3.

----

Idem para.

r:

{

x=l+;\. 11': x+y-z+2=0

e

y=l- ;\. z=;\.

Vemos pelas equa�es de r que Como 1.1+1.(-1)+(-1).l

4.

=

V=(1,-1,1) e um vetor

dire tor de r.

-1 i=O,concluimos que re transversal a 11' .

Idem para r: X=(1,1,0)+ A (1, -1,1) e

' 11': x+y- 2=0

Sendo

V

=

-1, 1) um vetor diretor de r, e sendo 1.1 + 1.( -1) + 0.1 = 0,temos (1,

// 11'

ou r C: 11'. Tomemos um ponto de r, por ex emplo,P = (1, 1, 0). Subs­ "tituindo na equa�o de 11',vemos que PE 11'. Logo,r c 11'. por (4b) que r

EXERQ-CIOS PROPOSfOS 1.

Estude a posi�o relativa da reta r e do piano 11' nos seguintes casos: a) r: X=(l, l,O)+X(O, 1,I), 11' : x- y-z=2 b) r:

x- 1 - = y =z, 2

-

11':X=(3,0,l)+;\.(l,0,1)+µ(2,2,0)

______

c) r:

d) r: ·

.·.· ·

6

-y +z=O

x+y -z-:--1=0

x- y=1

0)+µ( O,1,I)

X=(O,O,O )+X(l,4,1 ) X=(l,-1,l )+X(O,1,2)+µ(1,-1,0)

x+2 -

3

z +3· = y - 1=- -· 3

1T: 3x - 6y -z=0

Calcule m para que a reta r: X =(I, 7r :

3.

1

-2.-,

181

7r:x+y=2

x-2y=O

t) r : -

2.

. 1 + , _7r: X = (0,2,0) X(I,

{

e) r: 7r:

Posifiio Relativa de Retas e Pianos

1, I)+X(2,m,

I) seja paralela ao piano

X =(0,0,0) +a (1,2 ,0)+t3 (I, 0,1 ).

Calcule m, n

E

R para que a reta r: X = (n, 2, 0) + A (2, rn, m) esteja contida no piano

1T : x - 3y +z = 1.

4.

Calcule m para que a reta r:

5.

Ache o ponto P onde r fura

§3

Plano e Plano

x- 1

m

--

7r

z y =- =m 2

. se.ia transversal ao pIano

nos casos dos Exercicios Resolvidos

1

7r: x + my +z=0.

e 3.

0 problema que se CO}Oca agora e: dados OS pianos 1T1 e 1T2, decidir Se 1T1 1T2, OU se 7r1 e 7r2 sao paralelos distintos , ou se 7r1 e 7r2 sao transversais (ou seja, concorrentes). Neste uitimo caso, usaremos a nota¢o 1T1 m 1T 2' e a interse¢o 1T1 n 1T2 e uma reta. =

'�

�

�

Fixado um sistema de coordenadas (0, e1, e2, e3), sejam a1x a2x + b2y +c2z +d2 0 equa�Oes gerais de 1T1 e 7r2, respectivamente. =

+

b1y

+

c1z

+

d1

=

O,

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

182

a)

-------

b1, Ci.di forem proporcionais a a2, b2, C2, d2, isto e, se existir A* 0 tai que

Se ai.

e

teremos a2x +

tri: Aa2X + :\b2y + :\c2z + :\d2

b2Y + C2Z + d2

=

0

=

0

e dividindo por :\,

concluimos que

e tambem uma equa�o gerai para tri. Conclusa:o: tri

=

tr2

(todo ponto de tr1 satisfaz a equa�a:o de tr2 e reciprocamente).

b)

Suponhamos agora que ai.bi.Ci .sao proporcionais a a2, b2, c2, mas que d1 e d2 nlio seguem essa proporcionalidade, isto e, que existe :\ -:/= 0 tal que a1 c1

=

=

:\a2, b1

=

M>2,

;\c2 e d1 =*· :\d2. Neste caso podemos escrever tr1: :\a2x + ;\b2y + ;\c2z + d1

e portanto todo ponto X

=

=

0

(x, y, z) de tr1 satisfaz

(5)

Como todo ponto X

=

(x, y, z) de tr2 satisfaz

(6)

e

�d

=F d2,

vemos claramente que nenhum ponto pode pertencer simultaneamente aos

dois pianos (o Sistema das equ�oes (5) e (6) e incompativel). Conclusao: tr1 n tr2

=

ifJ e

tr 1 etr2 sa:o paraleios distintos. c)

Se a1, b1, c1, nao sao proporcionais a a2, b2, c2 (e aqui nao interessa analisar d1 e d2), conciuimos, por exciusao, que tr1 m tr2 e que tr1 n tr2 e uma reta r. Ja foi visto, no Exerdcio Resoivido n9 5 do § 2 do capituio anterior, como obter equa�oes paramet ricas parar.

Resumindo, temos o seguinte roteiro para estudar a posi�ao reiativa dos pianos tr1 e tr2, conhecidas suas equa�0es gerais

_______

Pori�iio Relattva de Retar e Planor

183

Roteiro 1)

Se a,' b,' c,' d, sao proporcionais a a2, b2. C2, d2 (isto e, se.uma das equ�c:les e "multipla" da outra), temos11'1 =11'2.

'2)

Se a1, b1; c1 sao proporcionais a a2, b2, c2 mas d1 e d2 nao

seguem essa

propor�o, entao

11' 1 e 11'2 sao paralelos distin tos.

1.

Poderfamos tratar de modo aruOogo o caso em que 11'1, ou 11'2 (ou ambos) sao dados por equ�oes parametricas ou vetoriais. A diferen�a e que ao inves de um sistema de

2 equ�oes

a 3 inc6gnitas, poderiamos ter que analisar um sistema de 3 equ�Oes a 4 inc6gnitas. Sempre temos, no en tan to, o recurso de passar inicialmente as equa�es para a forma geral. Exem­ plificaremos isso nos Exercicios Resolvidos.

2.

Se o sistema de coordenadas e ortogonal temos uma forma geometrica de tirar as mesmas conclusc:les: os vetores rt1 =(a., bi. c1) e rt2 =(a2, b2, c2) sao normais, respectivamente, a 11'1 e 11'2; logo

•

Se

lni. rt2) e ID,

entao

11' 1

// 11' 2• Para decidir se sao distintos ou coincidentes, basta

escolher um ponto P qualquer de 11'1 e verificar se P pertence a 11'z.

f

Geometria Analftica: um tratamento vetoria/

184

-------

EXERciCIOS RESOLVIDOS

1.

Estude a posi�o relativa dos pianos 7T1: X=(I,O, l)+A.(I,l, l)+µ(O,l,O) e

7T2: X=(O,O,O)+a(l, 0,1)+{3(-1,0 ,3).

Resolu�o

hlicialrnente, obtemos equa\:oes gerais para

1T 1

e

1T2

(isso voce ja sabe fazer):

7T1 :x-z=O

OU

7T1: Lx+O.y+ ( -1).z=O

7T2 :O.x + l.y+O.z=O

Como 1, 0 , -1 nao sao proporcionais a 0, 1, 0, temos que 7T1 e transversal a 7T2, e por­ tanto

1T I

n

1T 2

e Uma reta.

Se quisermos obter equ�Ges parametricas para a reta r = 1T 1 n

r:

{

1T 2

x-z=O y=O

basta, como ja v imos no Capftulo 15, fazer (por exemplo) z =A. e teremos

x=A.

r:

y=O

z=A.

(A.E IR)

______

2.

Posifiio Relativa de Retas e Pianos

185

Estude a posi�o relativa dos pianos

1T1 : 2x-y+z -1=0

e

e

Resolu�o Cada coeficiente da equa�ao de

1T 1

e o dobro do seu correspondente na equa�o de

1T2,e:xceto o termo independente. Logo, 1T1 e 1T2 sao paralelos distin tos.

este caso encaixa�e no item

2

do Roteiro e por­

tanto

3.

Idem para

1T1: x+10y-z=4,1T2: 4x+40y-4z=16.

Resolu�o Multiplicando por

1T2.

Logo,

4

ambos os membros da equ�ao de

1T1 = 1T2.

EXERciCTOSPROPOSTOS

1.

Estude a posi�ao relativa de

a)

1T1 e 1T2

nos seguintes casos:

1T1 : X= (l,l,l) +A(O,l,1) +µ(-1,2,1) 1T2: X=(1,0,0) +A(1, -1,0) +µ (-1, -1, -2)

b) 1T1: 2x-y+2z - 1= O 1T2: 4x- 2y+ 4z=0 c)

1T1: x -y+2z -2=0 1T2: X=(O,0,1) +A(l,0,3) +µ(-1,1,1)

2.

Calcule m para que os pianos

1T1:X=(l,l,O) +A(m, 1,1) +µ(1,l,m) e

1T2: 2x +3y+2z +n

=

0

1T1

obtem-se a equ�ao de

186

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

sejam paralelos distintos, nos casos: a) 3.

b)

n=-5

n= 1

Mostre que os pianos 7T1:X=(O,O,O)+X(-1, m, 1)+µ(2,0, 1) 7T2:X = (1, 2, 3)+a ( m, 1, 0)+ (j (1,0, m) sao transversais, para todo m E IR.

4.

�

7T2: X

�

=

�

B + A.t + µw, sem passar suas equayoes para a forma geral.

Sugestao: Discuta a dependencia linear das triplas

§4

�

Desenvolva um metodo para estudar a posi¢o relativa dos pianos 7T1: X =A+ Xu + µv e

(ti,-;,t) e (ti,-;, -; ) .

Miscetanea de Exercicios

EXERa·aos RESOLVIDOS 1.

Sejam r e s as retas reversas, passando por A e B e por C e D respectivamente. Obtenha uma equa¢o vetorial da reta t, concorrente com r e s, e paralela ao vetor Dados�A =(O,1,0), B =(1, 1,0), C =(-3,1, -4) e D =(-1, 2,

-

7)

1 = (1, -5, -1).

.

Primeira Resolu�o (geometrica) Pode-se demonstrar {faya isso) que a reta procurada e a interseyaO dos pianos 7T1 e 7T2 , sendo 7T1 0 piano que contem r e e paralelo a piano que contem s e e paralelo a

1.

1e

7T2 0

Caso esses

pianos nao sejam transversais, nao ex.iste a reta procurada (prove). Como 7T1 passa por A e tern vetores diretores de 7T1

e:

�

v

-

'

........

c

e AB , uma equayao geral

D t

s

_______

x

y- 1

I

-5

Posifiio Relativa de Retas e Pianos

187

z =O

-1

0

0

OU

7T1:y- 5z=l Por outro lado,

-+

7T2

�

passa por C e tern . vetores diretores v e CD. Logo,

x+3

y-

1

-5

z+ 4 -I

=

0

-3

2 OU

7T2: 16x+y+ 1 lz+91 = 0 Ve-se facilmente que

t· ·

7T1

{

e

7T2

sao transversais, e portanto a reta procurada e

y- 5z= 1 16 x+y+ llz+91 =O

que tern

23 X= (-4, l,O)+A.(1,-5,-1) por equayao vetorial.

SegWlda Resolu�o (algebric a) Sejam M e N, respectivamente, os pontos onde a reta procurada concorre com r e s. A partir das equayOeS parametricas (ou vetoriais) de r e s, podemos escrever as coordenadas de M em funyao de um parametro A. e as de N em funyiio de um parametro µ (cuidado! nao use

a mesma letra!). Como M e N pertencem a reta t, devemos ter existir

a

E R tal que

MN =a-:.

(MN, v)

ID,

OU

seja,deve

Geometrill Analitica: um tratamento 11etorlal

188

Essa igualdade fomece

urn sistema de tres equa9CJes nas inc6gnitas

mite determinar urn ponto de t (M ou N). Com urn ponto e urn diretor

� µ, a, o que per­

lv) de t, esc revemos

suas equa9CJes. Seo sistema for incompativel, Ofo existe a reta t. Vejamos:

Equ�Oes vetoriais: r: X=(O, 1,0)+). (l,O,O) s: x = (-3, l,-4) +µ ( 2, 1, -3) MEr

�

M = ().,1,0)

N Es

�

N=(-3+2µ,1+µ, -4- 3µ)

-

�

Impondo que MN =a v chegarnos ao sistema -3 + 2µ- ).= a =-5a

µ

=-a

-4 - 3µ

2

que resolvido fomece ). = t: x=

2.

23

:

,1,0)+(3 (1, -5,

(-4

, ,µ =-

!

, a=

+·

Logo, M = (- 2

:

-1).

Obtenha uma equ�o vetorial da reta t, que passa pelo ponto P = (2, com as retas reversas

r·

{

y+z=5

s:

+2z=9

x

Primeira Resolu�o (Geometrica) Verifique inicialmente que P ft r e P ft s (o

que aconteceria se PE R ou PE s?). Sejarn piano deterrninado por r e P e

1T 2,

1T1,

a reta t procurada e

1T1

n

1T1>

o

o piano deter­

rninado por s e P. Se r nao for paralela a s a

1T2

1T2,

nem

(isso pode

ser demonstrado). Enta"o: fazendo z =). nas equa9oes de r e

x

= µ nas de s, obtemos:

, 1, 0). Entio

·

+ 1 =O

{ 2x-z 2z =I y-

-1, I) e e

concorrente

____

x=9-2A r:

Posifiio Relativa de Retas e Pianos

x=µ

y=S- A

s:

y=4µ+ 3

z=A

z=2µ+1

e portanto: A=(9,5,0)Er, B= (O, 3, 1)Es,

-+

u=(-2,-1,1)// r -+ v= (1, 4, 2)// s

Dai segue que 7T1 passa por P=(2, -1, 1)e e para lelo a

x-2

y+l

z- 1

-2

-1

1

7

6

-1

it

ea PA= (7,

6, -1).

Logo:

=0

OU /

Vemos enta-o que s e transversal a 7T1, ja que 1 .1+(-1).4 +1.2 =-14:0. Quanto a -+ -+ -+ 7T2, este passa por Pe e paralelo a v e a w = (-1, 2, O)(note que w

x- 2

7T2:

-1

OU

7T2: 2x+ y- 3z= 0

y+l

z- 1

4

2

2

0

=O

1--+ PB). Logo,

=1

189

190

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Vemos entao que

r

e trans versal a

A solw;:ao e portanto, a reta

t:

11'1

n

11'2,

uma vez que

2.(-2) + I .(-I) + ( 3 ) l -

.

=

-8 =I= 0.

11'2:

{x-y+z-4=0

2x + y- 3 z= O

que tern equar;;ao vetorial X

=

(O, -6, -2) + A.(2, 5, 3).

Segunda Resolu�o (algebrica) Sejam A e B, respectivamente, os pontos onde a reta procurada concorre com r e s. A partir de equ ar;;oes parametricas ou vetoriais de r e s, podemos escrever as coordenadas de A em funr;;ao de um parametro

A.

pertencem a reta t, deve existir

e

as de B em fWir;;ao de um parametro ,......+

=-=+

r e s ,ja obtidas na Primeira Resolur;;ao, obtemos:

A= (9

- 2A, 5 - X,X)

B =(µ,

3 + 4 µ, I + 2µ)

Substituindo na relar;;a o acima, vem

(7 - 2A. 6 - A.,A. - I) = a(µ - 2, 4 + 4µ, 2µ)

Obtemos assim o sistema

7 - 2A =aµ- 2 a 6-

µ. Como A, B e P

a E IR ta! que PA =a PB. Das equ ar;;oes parametricas de

A.=40'. + 40'.µ

A.- 1 =2aµ

que, resolvido, fornece

µ =-6,

5

a=-32

______

.

-

Posi�iio Re/ativa de Retas e Pianos

�

Logo, B = (-6. -21. - I I) e PB= (-8, -20. -12). Entao v

191

1- 4 PB= ( 2, S,3 ) e um vetor diretor

=

da reta procurada e t: x

=

(2, -1, 1) + /3 (2, s, 3)

Observa�o Final 0 metodo aigebrico utilizado para resolver os Exercicios I e

2

e uma 6tima ilustra�ao

daquilo quc foi dito no Prefacio a respeito do metodo analitico de estudo da Geometria. Cremos entao

ser a

hara de convida-lo a reler com atern;:a:o aquele Prefacio.

EXERCiCIOS PROPOSfOS Esta fixado

um

25, 27 e 28. I.

sistema ortogonaJ de coordenadas nos E xercicios 10, II, 12, 14, 17,

Obtenha uma equa�ao vetoriaJ para a reta t, que passa por P e e concorrente com r e s,nos seguintes casos ( interprete geometricamente os resuitados):

a) P= (I, I. I )

r:x

d)P=(l,-2,-1)

e) P={l,0,3)

s:X=(-2, 0,4)+X(I. I,-1)

r: X= (-1, I,3)+X(-2, -2, 2)

b) P=(-2,2, -4)

c) P= ( I, 0,6)

y-2 z- 1 +3 =-- = - 2 3

r:

{

x-y-z+S=O

2x- z+4=0

r:

{

z=x-2

y =I- x

s:

s: X=(-2, 4, 4)+�..(I,2,3)

x-3 y- 2 z -2- = 3 =3 -

{

z =x-1 s· · y=l+2x

r:X={l,0,0)+>..(3,-1,2)

s: X= (-S,2, -4)+X{l, 5,-1)

Geometria Ana/itica: um tratamento vetorial

J 92

2.

Obtenha uma equayao vetorial para a reta t, concorrente com r e s, nos seguintes c asos (interprete geometric amente os resultados):

a) r: X=(I,I. -1)+

X (2, 1,-1)

s:

{

x + y- 3z=I 2x- y- 2z=O

e t e paralela a reta determinada por M =(I, -1,4)e N

x+ I b) r: -- =y= -z 2

s:X =

e t e paralela ao vetor

1

=

(0. -3, -I).

2

(3 ,3 , 0) + ;>.. (5, 4,3)

v =(I,0,1) s:X=(0, I. -3)+

c) r: X=(l,2,3)+;\(2,-1,0)

X (I, -1, - 2)

e t e paralela a reta h:X=(O,0, 0)

3.

43

86

-43

X(--' n ' 27 ) 9

Obtenha uma equa9ao vetorial para a reta que passa pelo ponto P, e paralela ou contida no piano rr,

e

concorrente com a reta r nos seguintes casos (interprete geometricamente ):

a) P =( I, 1 ,0)

b)

P

=

r:X=(I,0,0) +

2x + y- z- 3 = 0

rr:

rr: x- 3y--z = I

( I. 0. I )

.:) P=( l .2.1) 4.

+

rr:

x

r:X=(0,0,0) +A.(2,1,-1) r:X

y= 0

=

( I 0,0)+ A(2,2,1) ,

Obtenha uma equayao vetorial para a reta t, c ontida no piano rr: x - y + z = 0, e que e

{

concorrente com as retas

r:

x + y+ 2z= 2 e

s:

{

x=y

5.

X ( -1,0,I)

z =x + 2 y=O

Obtenha uma equa9ao vetorial da reta t, paralela aos pianos a e retas r e s, sendo r: x-2y=z- x=y+ I

a:x +2y+z- l =O

s·

e

{

x + 2y- z=3 x- 2y + z+ 1 =0

{3: x + 4y + 2z= 0.

{3, e concorrente com as

____

6.

8.

x

;

I=

y = z + 3.

Obtenha uma equ�ao geral para o piano que passa pelo ponto P=(1, 3,4) e e paralelo ao piano 'IT : x + y + z + 1= 0. De uma equa9ao vetorial da reta h, paralela ao piano 'IT: x + y + z = 0, concorrente com s: X =(2, 0,-5) + 13(0,1 , 1) e

as retas r: X =(O, 0, 2)+o: (I, 1, 1), t:x=(-3,-3, 3)+'Y (I, 0, 2).

9.

10.

193

Obtenha uma equa¢o geral para o piano que contem a reta r: X = (1, 1, 0) + A (2, 1, 2) e e paralelo a reta s:

7.

Posifiio Relativa de Retas e Pianos

Existe alguma reta paralela a reta r: X

'IT: x - 2y + 3z -1

=

=

(O, 1, 1) + A.(l, -1, -1), contida no piano

O? Por que? E paralela ao eixo das abscissas?

Considere os pianos 7T1: 2x =y, 7T2: x = 0, 7T3: z = 0, e seja 7T4 o piano determinado pelas retas

r: X=(l, 2, 0) + A.(l, 2, -1)

s·

e

{

x =O z+y=l

Verifique se esses pianos determinam um tetraedro e calcule o seu volume.

11.

Calcule o volume do tetraedro determinado pelas retas r, s, e t e pelo piano 'IT. sao dados'IT:x+y+z-5=0, r:x=z=O, s:x=y=O e t:x-2y=z=O.

1 2.

Verifique se as retas r, s, t e o piano 'IT determinam um tetraedro e calcule seu volume.

s:

13.

{

r: x+y=O z+ l=O

x=y x=z+ l x+y -z= 1 x=O

Um paralelogramo de vertices A. B, C, D, tern !ados AB e CD paralelos a reta de equa9ao X

r:

=

(0, 0, 0) + A.(3, 4, 5) e os outros dois paralelos ao piano

Conhecendo OS vertices D

14.

t:

{ {

=

Ae

D.

1T:

x + y + 3z

=

0.

determine OS vertices B e c. Dados : A= (0, o. 0) e

(I, I. I).

Considere as retas

r:

X =(1,

1, 0) +A (0,

l,

1) e s:

x

2

-

1

= y =z. Seja Ao ponto onde s

-

fura o piano 'IT, e B e C respectivamente os ponfos onde rfura os pianos Oxz e Oxy. Calcule

a area do triangulo ABC nos seguintes casos:

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

194

a)

:

1T

x - y+ z= 2

b) 7r :x - y- z=2 c) 15.

: x - 4y+ 2z =I

'Ti

Projete o ponto P = (I, 4, 0) sobre o piano 7r: x + y - 2z +I = 0, paralelamente

a

reta

r: X=(0,0,0) +;>..(I,4,I). 16.

Sendo 7r: X = (O, 0, 0) + X( l ,-1,-1) + µ (3, 0,-1), r: X = (I, 0, 0) + r (2, I, 0), e P = (2, 2, I ) existe uma reta concorrente com r, passando por P e paralela arr? Por que?

17.

Dados 7r1

h

OS

rr2

planos n

1T

1 : x - y= 0,

11" 2

: x +z = 0 e

1T 3

: x - y+ 3z + 3 = o�-rrio-str� que

7r3 se reduz a um ponto A (determine-o). Em seguida, c alcule o volume do

paralelepfpedo que tern diagonal AH (H = (2, I, 3)) e tres faces contidas nos planos dados. 18.

Dadas as retas r e s e o ponto P,verifique em cada um dos c asos seguintes se existe uma reta t passando por P e concorrente com r e s nos pontos A e B de tal modo que os segmen­ tos

AP

e BP sejam congruentes; se for o caso, obtenha uma equa9ao vetorial para t. lnter­

prete geometricamente os resultados.

19.

a) P=(I,-1,-9)

r:X=(0,-4,I)+X(2,I, 0)

s:X=(0,-3, -3)+ µ(1, 0,2)

b)

r:X=(O,0,0)+X(I,0,1)

s:X=(I,1,1)+µ(2,I,I)

p =(I, 2,3)

Obtenha equa<;:Oes do lugar geometrico dos pontos medios dos segmentos que se apoiam nas retas r e s e interprete geometricamente,nos seguintes casos: a) r:X=(I, 2, 2)+X(O,1,1)

s:X=(0,0,0)+µ(1, 0, 1)

b) r: X=(I, 2, 3)+;>..(I,2, 3)

s:

{

x+y-z+l =O 2x- y =4

c) r:X=(I,O,O)+X(-1,0,1) s: X=(O,0,I)+µ(2,1,1)

20.

Obtenha nos casos do exerclcio anterior, equa9oes do lugar geometrico dos pontos medios dos segmentos paralelos ao segmento AB, que

se

apoiam nas retas r e s. sao dados:

A =(I,2,7) e B =(1, 1 , 4). Interprete geometricamente.

-------�-

21.

Posifao Relativa de Retas e Pianos

195

Obtenha equayOeS do lugar geometrico dos pontos medios dos segmentos que se apoiam nos pianos rr 1 e rr 2 e interprete geometricamente, nos seguintes casos: a) 7T1: 2x - 3y b)

22.

1' I :

+ 3z - 4=0

X - y + 3z=0

7T2:x-y+3z - 1=0

Obtenha, nos c asos do exercicio anterior, equayCies do lugar geometrico dos pontos medios dos segmentos paralelos ao segmento AB, que se apoiam nos pianos 7T1 e rr2• Interprete geometricamente. sao dados: A=(1, 4, 0) e B =(O, 1, -2).

23.

Obtenha equ�oes do lugar geometrico dos pontos medios dos segmentos que se apoiam na reta r e no piano 7T, e interprete geometricamente, nos seguintes casos:

24.

a) 7T:x - 2y - z=1

r:X=(l, 0, 2) +

b) 7T:x+y+z=O

r:X=(0, 0, 0)

+ X (1, 1, 1)

c) rr: x - 2y - z=0

r:X=(1, 0, 1)

+ X (1, 0, 1)

X (2,-l, 4)

Nos casos do exercfcio anterior, ob tenha equayoes do lugar geometrico dos pontos medios dos segmentos paralelos ao segmento AB e que se apoiam em r e 7T. lnterprete geometrica­ mente. Dados: A=(l, 0 , 1 ) e B=(l,2,3).

25.

Sejam A=(2,1,1), B=(- 1, 0, 1), C=(O, 2, 1 ) e rr: X=(2,4,0)

+a (-1,1,1) + {3 ( -2,-1,0).

Mostre que o lugar geometrico dos pontos X do piano rr, tais que o tetraedro ABCX tenha volume 1, e a reuni!Io de duas retas paralelas, contidas em 7T; obtenha equayeies vetoriais para elas.

2().

Dadas as retas r: X

=

(I

,

0, 0)

+ o:(O, I, 1), s:X

'seja h a reta concorrente com r, s

e

t

=

(O,2,0) + /3(1,0, 1), t:X

nos pontos

A, B e C

=

(0,0,3) + 1(1, 1,0),

respectivamente, de

tal modo que B seja o ponto medio de AC. Determine os pontos A, B e C e uma equayao vetorial de h. 27.

Dada a reta r: x - y =x + z - I

=

0, seja 7T um piano que contem r e determina com os

tres pianos coordenados um tetraedro de volume tetraedro e uma equayao geral de 28.

v=

.1

2

.

Determine OS vertices do

7T.

Dados os pontos A = (1, 0, 0), B = (0, 2, 0), C = (0, 0, 3) e as retas que passam respectivamente por

0

=

(0, 0, O), sejam r, s e t

0 e A, 0 e B, 0 e C. Obtenha uma equayao geral

' ' ' do piano 7T, paralelo ao piano que passa por A, B e C, de modo que o triangulo A B C

tenha area

7

' sendo

S

I

I

I

A , B e C os pontos onde as retas r, s e t furam 7T.

CAPITULO 17

PERPENDICULAIUSMO E ORTOGONALIDADE

Nos capitulos anteriores, a nao ser em raras ocasioes, nao foi necessario supor que o sistema de coordenadas fosse ortogonal. Neste capitulo e nos seguintes, porem, isso e essencial. Entao, salvo men¢o em contrtirio, estaremos sempre utilizando um sistema ortogonal de coordenodas --+ --+

--+

(0, i, j. k ). Preste atencyllo para descobrir onde surge a necessidade disso. §I

Reta e Reta Para decidir se duas retas sao ou nao ortogonais, tomamos vetores paralelos a elas e verifi­

camos se estes sao ou nao ortogonais.

Atencyao Ha diferencya entre os termos retas ortogonais e retas perpendiculares! Retas ortogonais

podem ser concorrentes ou reversas, enquanto que retas perpendiculares sao obrigatoriamente concorrentes.

EXERciOOSRESOLVIDOS I.

Verifique se as retas

r:X=(I, I,I)+A.(2, 1,-3)

(A.ER)

s: X = (O, 1,

(a ER)

0)+A. (-1, 2, 0)

sao ortogonais. Verifique tambem se sao perpendiculares. 196

---- Perpendicularismo e Ortogonalidade

. 197

Resolu�o Temos (2,1,-3). (-1,2, 0) =2(-1)+ 1.2+

(-3).

0 = 0

logo, r e s sao ortogonais. Para verificar se sao perpendiculares,basta verificar agora se sao concorrentes. Para isso, segundo o que vimos no Cap1tulo 16, §1, e suficiente resolver o sistema das equa�es de r e s. Um outro ·modo e verificar se r e s sao coplanares (e se forem, serao perpendiculares). Vejamos:

p

= (1,1, I)

E

Q

(0,1, 0)

E

--+

... u

r

_.....---:

s

(1,0,1)

QP �

-3) e um diretor de r

u

(2, 1,

�

(-1,2,O)

v

e um diretor de s.

s

Como

2

1

-3

-1

2

0

1

0

1

"

= 11

=I= 0,

'·

-�

--+

� �

os vetores u ,v

2.

e QP

Idem para

r:

{

sao LI e portanto r e s sao reversas; logo nao sao perpendiculares.

x-y+2z = 1 x+y- 2z =2

s:

{

2x -y+ z = 1 x-y=O

Resolu�o

1 e 1, diretores de 3, §3 do Cap1tulo 15,

Devemos achar vetores c{cio Resolvido n9

r e s,respectivamente. Conforme o Exer­

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

198

-+

-+ 1

�

r=

�

s=

Como

3.

J

It

-1

2

1

rl 1

-+

J

�

2

-1

1

1

-1

0

1 1= 0 +4 ·

-

2=2

=I=-

(O, 4, 2)

2

1

-

=

= (1, 1, -1)

0, as retas r e s nao sao ortogonais.

Ache equa�es parametricas da reta r que passa por P s:

x� 1

=

�

=

(-1, 3, 1) e e perpendicular a reta

= z.

Resolu�o Vamos procurar o ponto

Q, comum a r e a s (o pe da perpendicular). Obtenhamos

inicialmente equa9()es parametricas para s. De

x-1 2

=

..L.=....!_ 3

=

z = A. s

vem:

x = 1+2A. s:

y = 1+3A. z=A.

Como

Q pertence a s, temos Q = (1 + 2A., I + 3A., A.) para algum A.ER e portanto ---+-

PQ = (2 + 2A., - 2 + 3A., A.- I)

(a)

Sendo

1 =(2, 0

donde X

=

3, 1) um vetor diretor de s , devemos ter

=

PQ

·

1 = (2+ 2 X, -2+3X,

3 . Levando a 14

.

-

(o:), vem PQ

=

(

X - 1) 34 14

•

-19

PQ 11.

Entao

(2 , 3, 1) = 4+4 X - 6+9A+ X � 1 -11

•14, 14 )

.

Entao r e dada por

x=-1+34µ y =

3- 19µ

=

1 - 11µ

z

Aten�o -+

Evite o erro seguinte: tomar um vetor qualquer ortogonal a v para ser vetor diretor de r.

E preciso ter muito boa pontaria para. acertar a reta s , "chutando" -+

vetores ortogonais a v

um

dentre os infinitos

!

s

EXERCiCIOS PROPOSTOS l.

Verifique se as retas r e s sao ortogonais; em caso afirmativo,se sao tambem perpendiculares.

a)

r:X=(l,2,3)+X(l,2,l)

s:X=(2,4,4)+X(-l,l,-l)

Geometria Anal{tica: um tratamento vetorlal

200

b)

c)

d)

r:X = (O,

r:

1, O) +A(3, 1,4)

-l �2

� 3 = 5

s: X

s: X =

7

z r:x+ 3=y=3

e) r:

{

(-1, 1, 0) +A(l,0, 1)

.

'

- z -

=

s:

(1, 3, 0)+A(0, -7, 5)

x -4 --

2

4-y

=

--

-1

=

-z

\

x=2 + 3A x -4 s: -2-

y=-5 - 2 A.

y-2 z +4 = -3-:s

=

z=l-A

2.

De equa\:Oes parametricas da reta que passa por Pe e perpendicular a r nos casos

x= -3 +A a)

P=(2, 6, 1) .

r:

z=3A

b)

3.

p=(1, 0,

1)

r passa por A=

(O, 0, - 1) e B = (1, 0, 0)

Ache 'equa96es sob forma simetrica da reta perpendicular comum as retas reversas

x=2 +A e

r:

s:

{

x+y=2 z=O

z =-1+A

4.

De uma equa�o vetorial da reta paralela ao piano

a reta s, sendo

1T:

7r,

perpendicular a reta AB, e que intercepta

2x- y+ 3 z- 1=0, A=(1, 0, 1), B=(0, 1, 2), s: X=(4 , 5,O)+A(3, 6, 1).

------

§2

Perpendicu/arismo e Onogona/idade

201

Reta e Plano Para decidir se uma reta r e um piano 1T sao perpen­

diculares, podemos proceder assim: sendo lelo a r,

ti e �

1T, entao r

V: ;;/= 0

-

w

para­

linearmente independentes e paralelos a

l 1T se e somente se ti A � e paralelo a V:.

Caso o piano seja dado por uma equa�o geral

7r:

ax + by + cz + d = 0

.

entao, como (a, b, c)

e normal a 1T, basta verificarmos se este vetor 'e paralelo a

� w.

EXERciCIOS RESOLVIDOS

I.

Verificar se r e 1T sao perpendicular es, sendo r : X =(0, 1,

0) + A (1,

I, 3 )

(A,µ ER)

1T : X = (3, 4 , 5 ) + A (6,7,8) + µ (9,I0, II)

Resolu�o

\

n=(6,7,8)A(9,I0,IJ)=

e normal a 1T. 0 vetor W

=

(1,

I,

� 1

�

6

7

8

9

10

II

J

3), paralelo a r, nao

r...!1T.

Idem para 1T : x + 2z = 14

e

r:

{

2x- y- z 2x + y- z

=

=

O

2

= (-3,6,-3)

e paralelo a rt, como e

facil ver. Logo

202

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Resolu�o Um vetor paralelo a r e -+

-+

2

-1

1

-+ -+ -+ w =n1 "n2=(2,-1,-1)" (2,1,-1)=

J

2

-1

= (2,0,4)

-1

-+ w -+ n

+� -+ Um vetor normal a 1T e n

3.

=

-+ (1,0,2). Como w

=

-+ 2n, vemos que r 17r.

Ache equa�es na forma simetrica da reta r que passa por P= (-1, 3,5) e e perpendicular ao piano 1T: x

-

y + 2z - 1= 0.

Resolu�o

·

Um vetor diretor de r e o vetor

� r:

l l

it=(I,-1,2),normal a

-3 = y = -1

7r. Entao

z-5 --

2

EXERO-CIOS PROPOSTOS

1.

Verifique se r e perpendicular a

a) r:

.b)

r:

1T

nos casos

X=(3, 1,4)+>..(I,-1,1)

7r:X=(l,1,l)+X(O,1,0)+µ(1,1,1)

X=(3,1,4)+ X(-1,0,1)

7r:X=(l,1,1)+X(O, 2,0)+µ(I,1,1)

-----

Perpendicularismo e Ortogonalidade

203

x= 1 +3 A.

y =1 -3;\

c)r:

7T: 6x-6y+ 2z- 1 =0

z=A. {x+y+z=l d)r:

e)r:

{

?T:

x-y+z =1

1T:

2x -2y+4z

2x+ y-z=O

x-y-z=O =

1

x+y=O

2.

Ache equac;:oes paramet r icas da reta que passa por P e e perpendicular

ao

piano rr

nos

casos:

3.

a) P=(I,-1,0)

rr: X = (I, -1,I) + A. (I.

b)p =(I'

?T: 2x-y +z=6

3, 7)

Ache um a equac;:ao geral do piano

1T

0. I )

+ µ (I,

I , I)

que passa por Pee perpendicular a reta r nos seguintes

casos:

a) P ={O,1, -1)

r:X=(O,O,O)+ A.(I,-1,1) {x-2y+ z=O

b)p =(I,l>·l)

r: 2x- 3y +z- 1 =0

c) P=(0, 0, 0)

4.

r pas sa por A =(I,-1, 1)e B =(-1,1 , -1).

Ache o simetrico de P em rela¢o ao piano

1T

nos casos seguintes:

a) P=(I, 4, 2)

7T: x -y+ z- 2 =0

b)P=(I,1,1)

7T: 4y -2z +3 =0

204

5.

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Ache o simetrico de P em rela9ao a reta r nos seguintes casos:

a)

P =(0, 2,

l)

r:

b)

P=(l,

-1)

r:

c)

l,

X =(l,

r·

P=(O, 0, -1)

0, 0) +X (0, I, -1)

x+2

-- = y =z 3

{

x-y-z=O 2x+ 3y- l= 0

6.

Determine aproje¢o ortogonal a) doponto P

=

(4, 0, 1)

b) da re ta r: x+ l = y+ 2

·

sobre opiano 7T:

= 3z - 3

3x- 4y+ 2 =0

sobre opiano 7T: x-y+ 2z =0

c) da origem sobre a reta interse¢o dospianos 7T 1 : x +y+z=

1

e

x=l+X y=1 + µ

7T2:

z=l+X+µ

7.

8.

' Ache equa96es parametricas da reta r , simetrica da reta r em rela9ao ao piano 7T, sendo r determinadapor A=

(1, 0, O)

Dados osplanos1f1:

x-y+z+l=O

contem

9.

1T 1

n

1T 2

e e ortogonal ao vetor

Ache o vertice B de

(i) A= (I,

e B = (0,

um

-1, -1)

e

1T

dadopor

x+ y- z= 3

e 1f2: x+y-z-1=0, (1, 1, -1 ).

determine oplanoque

trllingulo retangulo ABC sabendo que

I, I) e a cota de

Ce m aior doque a de A;

(ii) a hipotenusa ACe ortogonal aopiano

(iii) o !ado AB e ortogonal aopiano

x+ y- z- 10 = 0,

2x -y-z=0

e mede

yJ;

Perpendicularismo e Ortogonalidade

205

-------

10

.

.

Ache equa¢es na forma simetrica da reta perpendicular as retas

x=O

x=l+A. y=A.

r:

y=µ

s:

z=l+µ

z=O e que passa pela intersecrao de

11.

e s.

r

0 vertice de uma piramide regular e P = (y'2, 2, 0) e sua base e um quadrado ABCD con­ tido no piano 1T:

x

z =

-

0.

Sendo A

= (0, 2, 0),determine

OS

outros tres vertices e 0

volume da piramide.

§3

r

Plano e Plano Se

piano

..

rt!

rr2,

e normal ao piano 1TI

entao,

rr1 l rr2

'

rt2

se e somente se

'lf1

e normal ao

rt1

•

rt2 = 0, /

comae claro.

/

/

,,.-

- 7""---

EXERCiCIO RESO LVIDO Verificar se sao perpendiculares os pianos

1TI

:

x

=

(0, 0,1) + A {l, 0,1) +µ (-1, -1,1)

rr2 : 2x - 7y+l 6z =40 Resolu�o Um vetor normal a

rr1

e -t l

-?

J

rt!= (1,0,1) A(-1,-1,l)=

0 -1

Um vetor normal a resulta que

rr 1 l rr 2•

·

rr2

e

rt2 = (2, -7, 16).

Como

=

(1,-2, -1)

-1 rt1

•

rt2

=

(1,-2, -1)

•

(2, -7, 16)

=

0,

Geometria Analltica: um tratamento vetorial

206

EXERciCK>SPROPOSTOS

1.

Verifique se os planos dados sa-o perpendiculares nos casos:

a)

X = (1,-3,4)+ X(1,0,3)+µ(0,1,3) X=(O,0,0)+X(l,1,6)+ µ(1,-1,0)

b)

X=(l,l,l)+X( -l,0,-1)+µ(4,1,1) X=(3,1, 1) +X(l,-3,-1)+µ(3,1,0) ------

2.

c)

X=(4,3,l)+X(-1,0,-1)+µ(3,l,0

d)

x+y - z - 2 =0

Ache

wna

equa?o

x+2y- 3z+4=0

3.

Dados os pianos

71' 1

do

piano

( 2, 1, 0 ) que

por

: x - y + z + 1 = 0,

e

perpendicular aos planos

71' 2 :

71' 1

x + y - z - 1 = 0 e 71' 3: x + y + 2z - 2=0,

n

71'2

e e perpendicular a 71' 3.

Um cubo tern diagonal AB e uma de suas faces esta contida no piano mine seus vertices, dados

5.

y- 3z= 10

8x- 4y+16z.- 1=0.

ache wna equa�o do piano que con tern

4.

··

4x- 2y+ 2z=O

geral e

__ ...--·

71':

x - y=0. Deter�

A=(1,1,0 ) e B=(1,3 ,..Ji.).

Um hexagono regular ABCDEF esta contido no piano 71': x + y + z - 1 = 0. l

2

-- -A = (1 0 , 0 ) e D = ( , . ,

outros quatro.

3

3

Sendo

2 . . vertices ' . d"rametr aimente opostos, deterrrune os ) d.01s 3

CAPITULO 18

ANGULOS

Neste capftukJ, todos os sistemas de coordenadas siio ortogonais. ,.

§1

Angulo entre Retas

-----L.._ . (a)

Dadas as retas r e s (nlio ortogonais), queremos achar a medida 8 do angulo agudo entre elas. Para isso, tomemos 'it =I= 0 e -; =I= 0, respectivamente paralelos a r e a s. Sendo a: a medida do angulo entre 'it e 1', temos cos a:

II if

11 111' II

'

O �a: �

---

1r

(b)

Analisemos o sinal de 'it 1. •

•

Se

'it

•

1 > 0, entao cos a:> 0, donde cos 8 =

11it11 11": 11

ii

0

·

� a: < �, e 8 =a: (veja a Figura (a)). Logo

1I

=

207

208

•

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Se ti ·1
;
8 +a=7T (veja Figura (b )).

Logo cos8=cos (7T- a)=-cos a=-

-+

u

-+ •

v

11\rn 11�11

1lt·1I 11\r1111�11

=

Em qualquer caso,

lti 1I ...,._ .. lilt 11 11111

cos8= _....,,

•

___

7T

0 �8 < 2

Observa�o Salvo menyao em contrario, o angulo entre duas retas sera considerado sempre como sendo o agudo.

EXERcfCIOS RESOLVIDOS 1.

Ache a medida em radianos do angulo entre as retas r:

s:

{

X =(1, 1,

9) + X (O, 1, -1) e

x-l=y z=4

Temos ti=(0,1,-1), 1=(1,1,0), logo cos8 =

, 1) ·(1,l,O)I lti 11 l(O,1= ll ( O , l , -1)11 11(1,1,0)11 nrin n�n •

1

1

-0-=--0-=i- = 2

7T

8 = 3 (em radianos). 2.

Obtenha os vertices B'e C do triangulo equilatero ABC, sendo A=(1,10) , e sabendo que o lado BC esta contido na reta r de equa¢o vetorial X=(O,0,0)+ X(0,l, -1 ).

---- Angulos

209

Resolu�o Seja P um dos vertices (Bou C). Entao, como

PE r, temos

= (0, A., -A.)

p

(a)

Mas o angulo entre r e a reta que passa por A e P mede �

e um vetor diretor de r e AP

cos

= (-1, A. -1, -A.),

60°. Assim, como Ii= (0,

1, -1)

devemos ter:

60° =

OU

.l. IA.-l+ A.I = 2 y'2y'l+(A.-1)2+A.2 Simplificando, ap6s elevar ambos os membros ao quadrado, chega-se a tanto

'A.= 0 ou 'A. = 1.

Portanto, segue de

os dois vertices Be C sao 3.

(O'.) que P

=

(O, 0, 0) ou P= (0,

'A.2

-

A.= 0, e por­ )

1, -1 . Conclusao:

(0, 0, 0) e (0, 1, -1) .

Obtenha uma equa�o do lugar geometrico dos ponto·s X E E3 tais que a medida em radianos do angulo entre o eixo dos

z e a reta que passa por Xe P= (0, 0, 2) seja

�.

Resolu�o Pondo X =

�

(x, y, z), temos PX = (x,

y,

z

i rel="nofollow">X·it1

xen <=�

II nitn

llP

-

_

2).

Assim, chamando no lugar geometrico.

v'2

-

2

logo. xen =

=

( z - 2 )2 I x2+y2+(z-2)2 = 2

{

('z

21'

�x2+y 2

=I= 2

Segue-se que

(z-2)2=x2+y2

(z =I= 21

210

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

e uma equa�o para

n. Note que, da forma como foi enunciado o problema, o ponto P

nao pertence a n, dai a ressalva z =F

2.

Use a sua intui�o geometrica para perceber que

n e uma superficie oonical*I tendo o eixo dos z como eixo de simetria (veja o Exercicio 10,

§6 do

§2

Capitulo

22).

Angulo entre Reta e Plano ..

Para achar a medida (J do angulo entre a reta r e

n

o piano rr, basta achar a medida a do angulo entre r

;.

Sejam

it um vetor normal arr.

Entao,

e uma reta normal arr, uma vez que (J +a=

lt

um vetor diretor de r e

co mo

-- ,., // I I

/

cos a

(veja o

ntn 11 trn

§ 1), temos

sen (J

(por serem

11rr 11

nil 11

a e (J complementares,sabemos que cos a= sen 0).

Observa�o O angulo entre uma reta r e um piano rr e definido como sendo proje�ao ortogonal sabre

rr,

salvo se

r 1

rr.

rr

tcmos nccessariamente 0.;;;;; (J .;;;;; ...,-

.

EXERCiCIOS RESOLVIDOS

1.

Ache

a

medida em radianos do angulo entre

r: X= (O, l,O)+X(-l ,-1,0)

1 •I

Sem o seu vertice.

o

angulo entre

r

e sua

Assim, se (J e a medida em radianos desse angulo.

e

rr: y+z-10=0

------- Angulos

211

Resolu?o Como rt= (0, 1, 1) e normal a 'IT, e It = ( -1, -1, 0) e paralelo a r, temos 1

sen 8

donde 8

2.

2

11 ftll 11 'itll

'IT

=

7

.

Obtenha equa\X)es parametricas da reta r, que passa pelo ponto P ao piano 7T1: x +

2y -

z = 0, e forma com o piano 7T2:

Tudo que precisamos e obter um vetor diretor

x

-

y + 2z

=

=

(I

,

1, 1), e paralela

1 um angulo de

;

rd.

It

da reta r. Como ha uma infinidade * de vetores paralelos a r, esse problema e obviamente indeterminadol I. Seja ti= (a, b, c).

Como

rt1

=(l ,2,-l) e normal a 7T1, temos: r //

'IT

1

�=>

It rt, ·

=

0

=

a+

Poroutro lado,sendo n, =(l,-l. 2)normal a

-

·�

.y'1

1T

sen 3

=

II -;T II

De (a), obtemos c

II

,

=> --

n� II

=a+

=

1T2•

=

0

(o:)

vem

I a - b + 2c I

( 13)

= y'a2 + b2 + c2 y'6

2b. Substituin
e simplificando (fa�a!), obtemus h

2b- c

(/3). elevando membro a membro ao quadrado

0 e portanto (por (o:) novamente) a

=

Isso quer

<:.

dizer que o conjunto sol u�ao do sistema das equa96es (o:) e (/3) e constituido de todos os vetores da forma (a , 0. a). Observe que todos eles sao paralelos e portanto qualquer um deles (nao nulo) e um diretor de r. Escolhendo, por exemplo, a = I. teremos u e

entao

x=J+,\

r:

y = I

z =

(*)

Com um grau de liberdade.

I + t.

=

(I. 0. I)

Geometria Ana/itica: um tratamento vetorial

212

Observa�o Uma outra maneira de resolver e determinando o ponto Q r com

=

(x,. y,

z) interse�o de

Tente fazer assirn. Vale a pena observar, que nesse caso, havendo um unico ponto

rr2•

Q para cada reta r, somos obrigados a procurar tres equa�es independentes nas inc6gnitas x, y, z e obter assirn um sistema determinado.

§3

Angulo entre pianos A medida (J do angulo entre

OS

pianos 1T1 e 1T2 e a medida do angulo entre duas retas r1 mente

e r2, respectiva­

perpendiculares

a

rr1

e

rr2•

EXERciCJOS RESOLVIDOS

I.

Ache a medida (J do angulo entre 1T1: x - y + z = 20

OS

pianos

e

Resolu�o

n1

=

(I, -1, I)e

norm al a rr1 ; logo paralelo a r1•

le lo a r2. Entao. como vimos no §

cos (J

donde

(J

=

rt2

i(l,-1,I)•(I,l,l)I

II n1 II llrt2 II

ll(I,-1,1)1111(1,1,I)ll

cos

I

�.

e normal a rr 2; logo para­

I,

1It1 • It2 1

arc

(I, I, I)

=

I = ----

vf3y'3

I 3

------

2.

Angulos

213

Obtenha uma equa\:ao geral do plapo 1T, que contem a reta

{x- 2y+ 2z=O r·

3x- Sy+ 7z=O e forma com o plano

11' 1

:

x+ z = 0 um angulo de 60 graus.

Resolu�o Se

11'

contem a reta r, sua equa�o e a da forma

(G'.2 + 132 * 0)

a (x - 2y + 2z) + 13 (3x - Sy+ 7z) = 0 (veja o Ca pltulo 15,

11':

§4), ou seja,

(a+ 313) x - (2a+ 513)y + (2a + 713)z

e portanto

n =(ex+ 313, - 2a - 5 13, 2a + 713)

normal a

1, devemos ter

11'

e

=

um

0



vetor normal a

11'.

Sendo n1=(I,0. I)

o que nos leva a

I 3a + I 013 I 2

.J2 .J9a2 + S4a:{3 + 83132

Quadrando membro a membro e simplificando, obtemos

3a2 + 22 al3 + 39 132 = 0 Resolvendo esta equa\:ao de Substituindo 11' :

em (8),

4x- l ly + Sz = 0.

29 grau em a, vore obtera a= - 313 e a= -

obtemos duas solw;:oes p ara

o problema:

1i 13. 11':

y + z

0 e

214

§4

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Semi-esp� Seja

'Tr

: ax + by + cz + d

=

0 um piano. Queremos caracterizar algebricamente .os semi­

espa�os S1 e S2 (abertos) determinados por

'Tr.

Para isso, t1xemos um ponto P E

'Tr

e observemos

que (veja a figura)

x

p

x

-

PX

onde

n

PX

n >

e

nor mal a

e

n e

= (a, b' c)

angulo entre

.... •

O}

'Tr.

e

Isso se deve ao fato de que para OS pontos de um semi-espa�o,

agudo, e para OS do outro, obtuso

(e

claro que para x E

'Tr,

0

tem-se

P5t 1 rt). Sejam agora P

=

(x0, y0, z0) e X =(x, y, z). De PE 'Tr, sabemos que ax0 + by0 + cz0 + d

=

0

(I )

Assim, -

....

PX ·n =(x-x0)a+(y-y0)b+( z-z0)c =ax + by+ cz-(ax0 + by0 + cz0)

(1)

=ax + by + cz + d

Conclulmos que os semi-espa�s abertos S 1 e S2 se caracterizam pelas inequa
sI

:

ax + by + CZ+ d > 0

S2 : ax + by + cz + d < 0

(I)

e os semi-espa�s fechados<·rS'i e S2 se caracterizam pelas inequa�es S1-: ax+ by+ cz+ d � 0

S 2 : ax+ by+ cz+ d � 0

EXERciaos RESOLVIDOS 1.

Verifique se os pontos A =(1, 2,4) e B = (2, -1, -3) pertencem ao mesmo semi-espa� ou a semi-espa�s opostos relativamente ao plano rr: 2x -3y - z= 0.

Resolu� Basta substituir as coordenadas de A e B no primeiro membro da equa�o de rr:

A: 2.1-3.2-4=-8 0 Logo, A e B pertencem a semi-espayos opostos. 2.

Os pianos rr1: 2x -3y+ z

=

0 e rr2: x -3y - z -2

=

0 determinam quatro diedros. Chame­

mos I o diedro que contem P = (1, 0, 0) e II o diedro que contem Q

=

3 ( ,2, -1). Quais

pontos de r: X= (1, 2, - 2)+ (-1, >.. l,1) pertencem a I e quais pertencem a II?

Seja X um ponto generico de r. Entao, X =(1 - A, 2 + A, -2 + A). Substituindo as coordenadas de P no prirneiro membro da equa�o de rr1, obtemos 21 . -3.0+ 0 = 2 >o. Substi tuindo no prirneiro membro da equayao rr2, obtemos 1 -3.0 - 0 - 2 = -1 <0. Entio, XE I se e somente se 2(1-X)-3(2+>..)+(-2+>.. ) > o e 1-A.-3(2+>..)-(-2+>..)- 2
(*)

Isto e, incluindo o piano Tr.

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorial

216

isto e, 3 XEl��x<--eX>-1

2

Como nao ex.iste

X

nas condi�es acima, nenhum ponto de r pertence a I.

Quanto a II: substituindo as coordenadas de Q nos primeiros membros das equa�es de 1T1e1T2, obtemos, respectivamente, 2.3 -3.2 - 1 =-1
Ent ao XE II se e somente se

2(1- X )- 3(2 +X) + (-2 + X) <0 e 1 - X-3(2+X)- (-2 +X)- 2 <0

isto e,

XEII=

X>-

;

e

X>-1=

X>-1

OU

rn II=

{X=(l-X,2+X, -2+X)IX>-1}

que e uma serni-reta.

EXERcfCIOS PROPOSTOS

1.

Ache o co-seno do angulo entre as retas:

a)

1 5 X=(-2,2,0)+X(y,1,1) { x=

b)

3+X

y=-2- X z=..jf X

{

{

3x - 2y+16 = 0 3x-

z=O

x=-2+X y=

3+X

z=-5 + ..j2 X

{

c)

x

{ {

; 2 =3-z

y=O

d) x = l-y =.!. 2

2.

{

3

x

; l = z+3

y=O 3x+y-5z=O 2x+3y- 8z= 1

Ache a medida em radianos do §ngulo entre a reta e o piano dados:

a)

x=O z=O y=z

b) x=y=z

z=O

c)

3x+ 4y=O

d)

X=(O,O ,l)+X(-1,1,0)

{

x=l+A y=A

x+y - z -1= 0

z=-2A

e) ·

3.

{

x+y=2 x=1+2z

r45 v �-7- x+y+2z- 10= 0

Ache a medida em radianos do angulo entre os pianos: a)

2x+y - z -1= 0

b)

X=(l,O, O)+ A(l,0,1)+µ(-l,O,O)

c)

X=( O, 0, 0) +A(l, 0, 0) +µ(l,1, 1)

x- y + 3z - 1 0= 0 x+y+z=O X=(l, 0, 0) +A(-�,2,0) +µ(O,1, 0)

218

4.

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Ache a reta que intercepta as retas

r:

x- 1 3

.. = .1'...=. ..l - ...!. 3 2

s:

{

x=-1+5). y= 1 +3). z=).

e forma angulos congruentes com os eixos coordenados_._ 5.

{

{

Ache a reta que passa pelo ponto retas

r:

x=). s:

y=2).

x= l y

=

t:

2 +3A

x= 1 y=2 z=3;\.

z=3

z=2). 6.

{

P = (O, 2, 1) e que forma angulos congruentes com as

Ache a reta que passa pelo ponto (1, -2, 3) e que forma angulos de 45° e 60° respectiva­ mente com o eixo dos x e dos y.

7.

Ache uma reta que passa por P= (1, l , 1 ), intercepta a reta r: ela um angulo

8.

1

x

2 = y= z

e forma com

(J com cos (J= yr ·

Ache um vetor diretor de uma reta paralela ao piano

1T:

x + y + z= 0 e que forma 45 graus

com o piano 1T 1 : x -y = 0. 9. 10.

Calcule a medida dos angulos entre a diagonal de um cubo e suas faces. Ache uma equa?o geral de um piano que contem a reta r: de

11.

3

rd com o piano x +2y - 3z +2 = 0.

Obtenha uma equa?o geral do piano que oonrem a reta s:

12.

1T

r:

x=z+ l y= z

{

_

1

e que forma angulo

3z - x = 1 y - 1= 1

e forma com

X = (1, 1, O) +A (3, 1, I) um angulo cuja medida em radianos e (J = arc cos

2

"{'F

Resolva novamente (!!Sando angulos agora) os exercicios: a) n9 11 do §2.do Capitulo 17

13.

{

b) n9 5 do §3 do Capitulo 17.

Releia o Exercicio 28, Capitulo 16 §4. Qual dos dois pianos encontrados intercepta o tetraedro OABC?

14.

A diagonal BC de um quadrado ABCD esta contida na reta r: ' Conhecendo A = (1, 1, 0), determine OS outros tres vertices.

X = (1, 0, 0) +A (0, 1, 1).

CAPITULO 19

DISTANCIAS

''�

Neste capitu'/o esta rrxtxio um sistema ortogonal (0, i, j, k ) de coordenadas.

§I

Distancia de ponto a ponto Fix.ado um Sistema ortogonal de coordenadas, sejam A=

(x1, y1, z1) e B

=

(x2, Y2. z2).

Entao como ja vimos no Capitulo 13, a distancia entre A e B e

donde

(O)

EXERC(CIO RESOLVIDO Prove (analiticamente) que o lugar geometrico dos pontos de E3 que equidistam de dois pontos A e B e um plano perpendicutar"ao segmento plano e chamado

AB que passa pelo seu ponto medio (esse

piano rrft!diador do segmento AB). 219

220

Geometrill Analftica:um tratamento vetorial

Resolu�o Sejam A

X

=

=

(x1, y 1, zi)

(x, y, z) E Il

e B

(x2, y2, z2)

=

� d(X,A)

=

e chamemos n o lugar geometrico. En tao

d(X,B)

Logo, uma equayao de Il e

Ora, sendo A e B distintos, pelo menos uma das tres diferenyaS

X2 - X1' Y2 - Y1

e

Z2 - Z1 e

nao

nula, e portanto trata-se da equayiio geral de um piano. Alem disso, vemos tambem que o vetor �

n

=

. . . (x2 - X1' Y2 - Y1' � - Z1) e

�

normal a esse plano. Como n

�

=

AB, concluimos que

0

piano e

perpendicular ao segmento AB. Resta ainda provar que Il passa pelo ponto medio de AB. Seja entiio

M

=

( X1 + X2 2

Y1 + Y2 '

2

Z1 + z 2 '

2

)

o ponto medio. Substituindo suas coordenadas no primeiro membro da equayao de n, obtemos

o que prova que ME Il.

§2

Distincia de ponto a reta

1P I I I I I

Dados o ponto P e a reta r, para calcular a dis­ tancia d(P,r) de P a r podemos achar M, proje�o ortogo· nal de p sobre r' e calcular n

PM I,

que e a distancia

procurada. No entanto, o processo seguinte prescinde do conhecimento de

M. . Sejam

A e B dois pontos quaisquer

M

de r, A-::/= B. A area do triangulo ABP, como sabemos, 6

1 S=-UAP 2

-

...

AB I -+

Por outro lado (veja a figura)

B

A

Comparando, obtemos

:-;t I Al'

-+

"'

AB U

d(P,r) = h =

=

I ABU h, -

donde

UAP ... ABU 1Aif U

Como A e B slio pontos arbitranos de r, podemos ver

AB como um vetor diretor arbitrario de r. -

Entiio

d(P,r) =

IAP ... � I ut u

(1)

EXERCfaos RESOLVIDO S I.

{

Calcule a distancia do ponto p = (1,

r:

1, -1)

x-y = l x+y-z=O

areta

222

Geometria Analitica: um tratamento vetorlal

Reaol�o Como A = ( -1, -2,

-3) E

-+

r, v =

(1,

1,

2) e

-

paralelo a r, e AP = (2,

3,

2), resulta

imediatamente que 1(2,

d(P,r) =

2.

2)"

3,

11(1, l,

(1, 1, 2) I

2) u

=

1(4,-2, -1) I

Vb

=

y'"14

2-

Obtenha uma equa�o vetorial da reta r, paralela ireta s: X= (l, l, 0) + ;\ (2, l, 2), contida no plano 11': x-4y+z=

e que dista

0

v-;o

do ponto P=

(1, 0, 1 ).

Seja X= (x, y, z) um ponto gencfrico de r. Como r C

'II',

temos XE 'II' e portanto X

satisfaz a equ�o de 11': x-4y+z=O

(a}

v'W·

0 vetor � = (2, l, 2), que e paralelo a s, e um diretor de r. Ent!o, �ndo d(P,r) =--, 3

temos, por (1), que

-

-

D XP " (2, 1, 2) U n(2,

1,

y'20

2) n

3

Se voce efetuar OS calculos, obtera 5x2 +8y2 +5z2 - 4xy-8xz-4yz- 2x + 8y- 2z- 18 =

Assim, X E r se e somente se Xe solu�A'o do sistema das equa�Oes segue que x = 4y - z. Substituindo em

(f3)

1

2y-z=-1

OU

Obtivemos assim duas solu�s:

r:

{

x = 4y-z 2y- z= 1

e

(a) e (p).

Mas, de

(a),

e simplificando, vem que 4y2-4yz+z2 = 1,

isto e, (2y - z)2 = 1, donde 2y-z =

(f3)

0

r:

{

x= 4y-z 2y-z=-l

---

Distancias

223

Passando para a forma vetorial,obtemos finalrnente e

r:X=(l,O,-l)+X(2,l ,2)

r:X='(-l,0,l)+X(2,l ,2)

As retas obtidas sao as interse�es do piano

'Tr

com uma superflcie cilindrica,cuja equa�o

e

·

Retos

obtidos

s

§3

Distincia de ponto a piano Dados um ponto P e um piano Tr, para achar a distancia . d(P,Tr) de P a Tr,podemos achar

a proje�o ortogonal M de P em Tr,e dal d(P,Tr)= I PM I. Eis um processo que evita achar M. Escolha um ponto A de vetor

rt

'Tr

e projete ortogonalmente

normal a

'Tr.

-

AP sobre um

A norma dessa proje�o e a dis­

tancia d(P, Tr). Como

-

At· rt

I projitAP U = I I rt U 2

it U =

IAP ·rt1

1it1

2 l'if H

A

resulta que

IAP ·n I -

d(P,'Tr)

-+

1ifl

(2)

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

224

Vejamos agora esta f6rmula em coordenadas. Sejam P Entlio, �

AP

rt

=(a, b, c) e normal a 11'. Seja ainda A

=(Xo - x.,

=

=

(x0, y0, z0) e 11': ax+ by+ cz + d

= 0.

(x1, y1, zi)o ponto escolhido em 11'. Entao

Yo -y1, z0 - zi ), donde -+

AP

n

� •

=

a(x0 -xi)+ b(y0 - yi)+ c(z0 - zi)

onde a ultima igualdade se deve a que A E 11', e portanto ax1 + by1 + cz1 + d em (2) (e lembrando que

II rt II

=

.Ja

2

0.

Sub stituindo

+ b2 + c ), obtemos 2

·

d(P, 11')

=

=

I

aXo + byo + cz0 + d

.Ja

2

+b

2

I

(3)

+c

2

Note que o numerador se obtem substituindo, no primeiro membro da equ�o geral de 11', x, y e i por x0, y0, z0 (coordenadas de P), respectivamente.

Observ�o Outro procedimento simples

para

calcular d(P,11'), independente de memorizaylio de

f6rmulas: escolha tres pontos nao colineares A, B e C de 11', calcule o volume do tetraedro ABCP, e a area de sua base ABC. A partir dai, calcule a altura, que e a distancia procurada.

EXERCfCTOSRESOLVIDOS 1.

Calcule a distancia do ponto P =(1, 2, -1)ao piano 11':

3x - 4y- 5z + 1

Resolu?o Temos imediatamente

d(P 11')

,

2.

I 3.1 -4.2 - 5(-1)+ 1 I =

�-y-;::;:9=+:::;: 16::;:+ =::;: 25�-

Calcule a distan cia de P 11':

=

(1,

1

=

y'50

3, 4) ao piano

X=(l, 0, 0) + X(l, 0,0) +µ(-1, 0, 3)

=

O.

Distancias

225

Resolu�o •

Um vetor normal a

rr

e

if=(l,0,0)" (-l,0,3)=(0,-3,0) •

Um ponto A E 7r e (I, 0 ,0)

•

Assim, AP =(0,3, 4) e por (2) -

I (O, 3, 4) (O, -3, O) I 11(0, -3, O) II

d (P' rr ) =

3.

•

l-9 I ----'---'- = 3 3

Sejam P = (1, 0, 2) e r: x - y = x + 2z = x + z. Obtenha uma equa(:ao geral do piano que contem r e dista 2 do ponto P.

7r

Resolu�o

{

Se r C rr, entao

r:

7r

pertence ao feixe de pianos por r. Como

x-y =x+2z =>

x + 2z=x + z

r:

{

y + 2z =O z=O

temos que uma equa�o geralde 7r ser.i da form a a (y+ 2z) + j3z=0, ou ay +(2a+13) z = 0

Mas

(r)

d (P, rr)= 2 ; logo, po r (3), Ia

.

o +(2a+13)

. 2I

Ja2 +(2a+13)2

=2

donde I 2a + 13 I = ..j a2 + (2a + 13)2. Quadrando membro a membro e simplificando, obtemos a=0 (.".13 :;C 0), que em (r) fornece rr: 13z = 0,ou seja, 7r: z =0

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

226

§4

Distancia entre duas retas Dadas as retas r e s, sua distancia d(r, s) e igual a distancia entre os pontos A e B em que

uma reta perpendicular comum a r e s as intercepta.

s

Ocorre que se r e s sao concorrentes, os pontos A e B coincidem; logo, d(r, s) caso. Por outro !ado, se

r

=

0 nesse

e s sao paralelas, existem infinitas perpendiculares comuns e d{r, s)

e igual a distancia de qualquer ponto de wna das retas a outra. Vamos dedicar agora at en�ao

especial ao caso em que r e s sao reversas.

Distancia entre duas retas reversas Sejam r e s duas retas reversas, paralelas respectivamente a

ti

e a

v

(logo,

ti

e

v

sao

LI).

-

t"

/

/

r

/

s

-

Escolha um ponto P qualquer em r e um ponto Q qualquer em s. Projete o vetor QP sobre o vetor

rt =ti

"

V,

que e ortogonal a r e a s. A norrna dessa proje�ao e a distancia entre r e s.

----

Disttincias

:!:!7

Assim, coma -

QP

-

proJjfQP

·ti

II ti 112

�

n

temos -

d(r, s)

IQP =

� •

n

I

(4)

llti 11

OU -

d(r, s)

IQP =

� •

�

u "'v I

(5)

llti "'111

Note que o segundo membro de

(5) e o quociente entre o volume de um paralelepipedo

e a area de sua base. Fa9a uma figura!

Observa�es I.

0 processo acima aplica-se tambem · quando r e s sao concorrentes (pense

mas nao quando r e s sao paralelas, pois neste caso ti "'1 quaisquer,

2.

0

modo mais pratico de proceder e

•

Verificar se ti e

1 sao

•

Se tie1 sao

•

Se tie1 sao LI, utilizar o processo acima.

LD (r

0

�

=

respeito disso),

0. Dadas entao duas retas

seguinte.

LI ou LD, c alculando ti "'1.

11 s), tomar um ponto P qualquer de r e calcular d(P, s).

Outro procedimento bas tante simples para se calcular d(r, s) que nao exige memoriza9ao das f6rmulas

(4) e (5): determine o piano

1r

que conrem r e e paralelo a s. Escolha um

ponto Q qualquer de s e c alcule d(Q, 07r) . Novamente, falha se

r

l( s (par que?).

EXERa·aos RESOLVIDOS 1.

a

Calcule a distancia entre as retas r:

X=(-l, 2,0)+A.(I,3,1)

e

s:

{

3x - 2z- 3

=O

y-z-2=0

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

228

Resolu�o a) vetor diretor de r:

ti = (1, 3,1) �

�

k

i

vetor diretor de s:

1=

3

0

-2

0

1

-1

=

(2, 3, 3)

Como �

�

k

i

�

3 2 ti b)

e

1

Tomamos

(6,-1,-3) * 0

3

�o LI.

P

=

Entao

3

=

QP

=

(-1, 2, 0)

( 2 0, 0) -

,

Er e

Q = (I, 2, 0) E s.

e

I (-2,o, o) (6,-1, -3) I 11 (6, -l,-3) 11

= ��������•

Logo, d(r, s)

2.

Dados o ponto

l-12 I

12

y'46

P = (1, 3, -1), o piano 11': x + z = 2 e a reta s: x - z = y+ 2 = z - x+4,

. obtenha equa<;:aes param�tricas da reta r que passa por

P,

e paralela a 11' e dista

3

da reta s.

Resolu�o Devemos achar um vetor u =(a, b, c) paralelo a r (*) . Sendo n =(I, �

e r

// 11',

temos

ti . rt=0,

�

0, 1)

a+c=O

(*)

Existe uma infinidade; obteremos liberdade.

normal a

11'

isto e,

(a)

um

sistema indeterminado nas inc6gnitas a, b e

c,

com um grau de

Vamos agora calcular d(r, s) usando (5). Para isso devemos supor que r nao e paralela a s (veja observa�o no final do exercicio). • Fazendo z=A. nas equa�es de s, obtemos x

=

2 +A. e y=0. Logo,

x=2+A. s:

y=O z=O+A.

donde Q= (2,0,0)Es e 1=(1,0, 1) e paralelo a s.

• P=(l,3,-l)E r. Como QP=(-1,3,-1), temos:

3

-1

a

b

c

1

0

-1 QP. u Av =

---+

-+-

-+-

= 3c- 3a

-+-

-+-

i

k

a

b

c

= (b, c - a, - b)

0 Entao

llli"' 111 = ..j 2b2+(c- a)2.

• Como d(r, s)=3, aplicando

(5) obtemos

I 3c-'3 a I

.j 2b2+ (c - a)2 • De

=

3

(o:), temos a=-c. Substituindo em@) vem que

I 6c I

./2b2 + 4c2

3

(13)

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

230

Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos 2c2 = b2 + 2c2 donde b = 0. Logo, todo vetor nao nulo da forma

ti =(-c, 0,

c) e paralelo a r. Por exemplo

ti=(-1, 0, 1).

Assim, a reta r tern equa�0es parametricas

l

x=l-X y=3 z=-1+>..

Observa�o Resta saber se existe uma solu�o r paralela a s. Tai reta teria equa�ao vetorial

X =(I, 3, -1)+>..(I, 0, 1). Verifique que esta reta nao satisfaz as condi�Oes do problema.

§5

Distincia entre reta e piano Consideremos uma reta r e um piano Tr. Sendo 1 um vetor diretor de r e rt um vetor normal

a Tr, sua distancia d(r, Tr) e calculada da seguinte forma:

•

•

se r

ifi Tr, ou seja, se rt 1=I=0, entao d(r, Tr)= O;

se r

//

·

Tr ou r c Tr, ou seja, se

d(r, Tr) e a distancia r a Tr. (Cuidado! Nao

rt 1=0, ·

r

entao

de um ponto qualquer de

va calcular a distancia de

um ponto qualquer de Tr a r! T odos os pontos de r estao a igual distancia de Tr, mas os pontos de Tr niio estao todos

§6

a mesma distancia de r).

Distincia entre dois pianos Dados dois pianos, Tr1 e Tr2, com vetores normais

rt1

e

rt2,

sua distancia d(Tr 1 , Tr 2) pode

ser calculada da seguinte maneira:

•

se Tr1

// Tr2,

ou seja, se rt1 e rt2 sao

LD, enta:o d(Tri. Tr2) e a distancia entre Tr2 e um ponto

qualquer de Tr1 (ou a distancia entre Tr 1 e um ponto qualquer de Tr 2 ) .

-------

EXERC(CIOS PROPOSfOS 1.

Cat€Ul.e a distancia entre os pontos P e Q nos casos a)

Q =(-1,1,0)

P= (O, -1,0)

Q =(1,2, -8)

b) P=(- 1,-3,4) 2.

{

Calcule a distancia do ponto Pa reta r nos casos

a)

P= (O, -1,0)

r:

x=2z-1 . y=z+l x=X

b) P=(l,0,1)

X y =2

r:

X z=3

c)

P= (l, -1,4)

x -2 4

r:

_ y

_ z- 1

- --=3 - --=2

x = 3X + 1

d)

P =(-2,0,1)

y=2X -2

r:

z =X

3.

Calcule a distancia entre as retas paralelas dadas.

a) �=-1'....= z -2

1

1 X=(0,0,2)+X(-2, 1) 2,

2

v -3

b) x = �= z-2

4.

x-3=

Calcule a distancia do ponto Pao plano a)

P=(O,0,-6)

Tr:

1r

� = z-2

nos casos

x - 2y - 2z- 6 = 0

Distdncias

231

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

232

5.

b)

P=(l, 1 ,

c)

d)

15

rr :

4x - 6y+12z+21= 0

P=(9, 2, -2)

rr:

X= (0,-5, 0)+X (0,

P=(O, 0, O)

rr :

2x - y+2z- 3=0

6)

5 1 ) +µ (1, 0, 0) ----U-,-

Calcule a distancia entre os pianos paralelos:

4x - 2y+4z - 21=0

a) 2x-y+2z+9=0

r

=2-A- µ

b)

5 x+y+z=2

y=µ z=X

x+y+z+2=0

c) x +y+z =0

6.

{

Calcule a distancia entre as retas

r

= -1

a)

3x - 2.+ 3=0 y-z-2=0

y=, 3z - 2

x=21+6 X

b)

x+4 3

y=-5-4X

=_L=� -2 4

{

x=2-X

c)

y=l+X

z=2 - X

x+y+.=0 2x-y - 1=O

z=�"A

{

x +y=2

que distam 3 do ponto

A=(0, 2, 1 ).

7.

Ache os pontos de

8.

Ache os pontos de r: x -1 =2y=z que equidistam dos pontos A=( 1, 1, 0 ) e B=(0, 1, 1 ).

r

:

x=y+z

Interprete geometricamente o resultado.

------

9.

Disttincias

233

Determine o ponto de rr: 2x - y + z - 2=0 tal que a soma de suas distancias a P e Q seja minima nos seguintes casos:

10.

a) P=(2,1,0)

e

Q=(l,-1,-1)

b) p =(2,1,0)

e

Q=(l,-1,2)

c) P �{2,1,0)

e

Q=(O,1,1)

Ache o ponto de rr : x

-

3y + 2z 'ii 0

tal que o modulo da diferenya entre suas distancias a

P e Q seja maximo nos seguintes casos:

(3, 0,2)

e

Q =(1,-1,

(3, 0,2)

e

Q=(-1,0,-1)

(3, 0,2)

e

Q=(l,1,1)

a) P=

b) p=

c) P =

{

x +y

11.

Ache os pontos de r :

12.

Ache os pontos de r: x - 1

S1 :

{

2 =

x=y+z

=

3)

/14 3 v�

que distam

de s : x=y =z+ l.

2y =z que equidistam de

x=2 e z=O

13.

Obtenha uma equayao vetorial da reta

r paralela a s :

{

2x - z = y =2

3,

concorrente com

t: X=(-l,l,l)+X(0,-1,2), e que dista l doponto P=(l;2,l).

14.

Um quadrado ABCD tern a diagonal

BD

contida na reta r :

{; = �

.

Sabendo que

A=(0,0, 0), determine os vertices B,C e D.

15.

Obtenha equa�es do lugar geometrico dos pontos de

E3

que equidistam de

Interprete geometricamente. Dados: r :x=y=z

s :x - y=z=x+y

A=(l,0,1)

r, s e A.

234

16.

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Obtenha equayoes do lugar geometrico dos pontos de

{x+y=l z=O

r:

e

s:

E3

que equidistam das retas

{x+z=l y=O

Descreva o lugar geometrico. 17.

Obtenha equayoes do lugar geometrico dos pontos de

E3

que equidistam das tres retas

{3x+y+z=O r2 : x-y-z=O x-y=x+z= +z +y= {xx=y+z rr:x- y -z= x-l = y z 4x-3y-2z+3 = rr 2x-3y-4z-3 = =(I, + l, =(I, l, rI

:

{ x= 4 y+z=3

1

r3:

Descreva o lugar geometrico. Ache os pontos da reta r

19.

Ache os pontos da reta r: 1

20.

De

2

do ponto P

e

rr

rr.

de

rr2 :

2

1.

que contem a reta r: X

0.

0, 1)

X (1,

-1) e

-1).

As retas r, s e t determinam com o piano situada no piano

.j6

que equidistam dos pianos

=

0

:

y'2

que distam

.

wna equayao geral do piano

dista 21.

2

·

18.

rr

wn tetraedro. Calcule a altura relativa a face

Dados: 0

y=z+l s:x-y z+l rr:x+y-z+l = {x-y-z=l x= = = l, l =(I, + (I, 0

r:x

t:

0

22.

De

uma equayao geral do piano que passa pelos pontos P

que dista 23.

da reta r

:X

0, 2)

X

( 1, 1, -1) e Q

(2,

1) e

0, 2).

Prove que todo piano que passa pelo ponto medio de um segmento PQ e equidistante de P e Q. Verifique

se

vale a reciproca.

235

------- Distti1tcias

24.

De wna equa�o geral do plano que contem os pontos

equidista dos pontos C=(2,

25.

3, O)

e D=(0,

A = (l,

1, 1)

e B=(0,

: z = 0,

que dista

2, 1)

e

1, 2).

Obtenha wna equa�o vetorial da reta t, paralela ao piano rr

3

dele,

e e concorrente com as retas r: x

s:

{

=

(1,-1, -1) + A (l, 2, 4) x

- y

3y-

=

I

2z+ 6

=

0

',\

26.

Obtenha equa�es do lugar geometrico dos pontos de rr1: x+ y-z

27.

= 0, rr2 : x - y - z - 2 = 0

Dados os pontos: A= (-2, E

=

( I 2, 2), ,

B = (0,

+ y+z

0, -1),

E3 =

que equidistam dos pianos

I. Descreva-o geometricamente.

C=(I, I,

1),

D=( -2,

-1, -2)

e

mostre que eles sao vertices de wna pirim.ide de base quadrangular, convexa

(veja o Exercicio

28.

0, 1),

e rr3: x

le do Capitulo 13), e calcule o volwne

dessa pirim.ide.

Obtenha equa�es do lugar geometrico dos pontos de rr1 : 2x - y+ 2z - 6

=

0

E3

cujas distancias ao piano

sao os dobros de suas distancias ao piano rr 2 : x+ 2y-2z+3=0.

Descreva-o geometricamen te.

29.

De equa�es gerais dos pianos paralelos ao plano rr determinado pelas retas r e s, e que distam

2 de rr. r:

{

Dados: x+z

s:X

y= 30.

= 5 = (4, 1, 1) + A (4, 2, -3)

I

Nwn tetraedro OABC, as arestas OA, OB e OC medem, respectivamente, 2, 3, e 4; e os " " " angulos AOB, BOC e COA medem respectivamente 30, 45 e 60 graus. Calcule o volume do tetraedro.

Sugestio

31.

Adote um sistema de coordenadas conveniente.

Considere os planosrr1

:x-2y+2z-1 =O

e rr2

:4x+3y=O.

a) Obtenha equa�es gerais dos do is bissetores dos diedros determinados por rr1 e rr2 (lembrete: os blssetores constituem o lugar geometrico dos pontos equidistantes de 7r1 e rr 2 ).

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorial

236

b) Confira o resultado obtido, mostrando que cada um dos pianos encontrados eontem a reta 1T1 ti 1T2 e forma angulos congruentes com 1T1

e 1T 2.

c) Verifique que OS bissetores sao perpendiculares. 32.

Um dos angulos diedros formados pelos pianos

1T1

equa�o geral do seu bissetor, dados 1T1 : x + 2y - 2z

Sugestio

33.

Escreva

uma

equa�o =

contem a origem. De uma

0 e 1T2 : 2x + y + 2z + 2

=

0.

0

geral e

do

bissetor

1T2 :2x+y-3z

do =

diedro

agudo

a

:y-z

=

1

e dista

1

formado

pelos

pianos

0.

=

0, que forma um angulo

do eixo dos x.

Calcule a distancia entre os pianos paralelos 1T1:

36.

=

De uma equa�o vetorial da reta r, contida no piano 1T : x + y de 30° com o piano

35.

-1

1T2

Localize a origem em rela�o a 1T1 e 1T 2 .

1T1 :x-2y+3z 34.

e

ax+by+cz+d1

=

0

e

Considere o tetraedro OABC onde 0

1T2 :

=

ax+by+ CZ+ d2

(0, 0, 0), A

=

(1,

0, 0), B

=

=

0.

(0, 2, 0) e C

=

(0, 0, 3).

Ache uma equa�o geral do piano 1T paralelo a base ABC, distando 3/7 dela, e que inter­ cepta o tetraedro.

CAPITUW 20

MUDAN�A DE COORDENAl>AS

Freqiientemente, em problemas de Geometria Analitica, somos levados a passar de sistema de coordenadas (0,

-:1, -:2, -;3)

adotado inicialmente para outro,

(O', 11, 12, 13),

wn

mais

conveniente . Essa maior conveniencia pode ser devida a varios fatores; por exemplo, se o primeiro sistema nao for ortogonal pode surgir a necessidade de mudar para ve:zes,

0

wn

sistema ortogonal; outras

objetivo e simplificar OS calculos algebricos, OU expJorar meJhor certas simetrias etc.

Neste Capitulo, vereinos como se alteram coordenadas de pontos e equayoes de lugares geome­ . tricos, com a mudanya de um sistema de coordenadas para outro. 0 problema central sera sempre estabelecer relayaes entre as "antigas" e as "novas" coordenadas.

§I

3

Mudan� de Coordenadas em E . . Sejam �1

sianas em

E 3,

Utilizaremos

=

-+ -+ -+ (0, e., e2, e3)

e

�2

=

1-+ -+ -t . . (0 , f1, f2, t3) do1s s1stemas de coordenadas carte-

o primeiro referido daqui por diante como o "antigo", o segundo como o "novo". x, y, z

sistema "antigo"

e

para indicar as coordenadas de:um ponto X qualquer, relativamente ao

chamaremos (h,

o'

k, m) a tripla de coordenadas de o' em relayao a ele:

=(h,k,m)� I

(h,k e m)

sao as coordenadas da "nova" origem no sistema "antigo") . 237

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

238

Sendo F

=

� � � (f1, f2, f3) base, sabemos que se X e um ponto qualquer de E3, existem u, v, w

reais, determinados univocamente, tais que

01X

=

u 11 + v12 + w 13.

u, v, w reais, a igualdade anterior deterrnina univocamente o ponto X.

Reciprocamente, dados

Se u, v,

w variam em

IR, todo ponto XE E3 e obtido desse modo. Em outros termos XE E3

A equa¢o e

15,

<==>

(1),

X

=

, � -1: + uf1 + vt2 + w13

0

(u, v, w E

R)

por analogia com os casos da reta e do piano estudados nos Capitulos

(1) 14

pode ser chamada "equa¢o vetorial do espa\:o E3". Nesse caso, os vetores 11, 12, 13, fazem

o papel de "vetores diretores" de E3, enquanto que

u, v,

w

atuam como "panimetros", do

mesmo modo que A, µ. etc. nos casos da reta e do piano ja citados. Assim, exatamente como foi feito

Ia, podemos obter de (1), equa1tOes de E3 na "forma parametrica". Para isso, vamos supor que

onde

E

=

� � � (e1> e2, e3). Entao, de

(1) segue

que

(2)

Agora, observe que u, v, w, dados em (1) slio exatamente as coordenadas de X em rela¢o ,� � � �2 (0, f1, f2, f3) (lembre a defini¢o dada no Capitulo 13) e portanto as equ a-

ao sistema

\:Oes

(2)

=

sao as rela\:oes procuradas entre as "antigas" e as "novas" coordenadas de X. Por essa

razao sao chamadas equaroes de mudanra de coordenadas do sistema I: 1 para o sistema �2.

Observa�o

Sabemos que a matriz

-------

Muda11fa de Coordenadas

e a matriz de mudanya da base E para a base F (recorde no Capftulo

7).

239

As equay<>es (2) podem

ser escritas matricialmente:

x-h

u

y -k

M

v

z -m

(3)

w

donde se obtem

x- h

u

y -k

v

w As formulas

(3)

e

(4)

(4)

' '

z-

sao as formulas

(6)

e

m

(7)

do Capftu lo

7,

aplicadas ao vetor

o'x.

EXERciCIOS RESOLVIDOS 1.

Escreva as equayaes da mudanya de coordenadas do sistema �1 para o sistema �2, � 7 "":t � 7 � � � . I onde, com a notayao antenor, 0 = (I, 2, -1) � 1 , 11 = e 1, 12 = e3, 13 = e1 + 2e 2 - e3. .

Resolu�o �

Pelos dados, vemos que f1=(I,0,

�

�

O)E, f2 =(O, 0, l)E, f3

=(1,

2, -l)E.

Entao, por (2)

lx=l+u+w y

z

2.

Tomando

�1

p

-3)�

=

(2,

sistema

1,

�1

.

e

1

= 2+2w = -1+v- w �2

como

no sistema

no

�2

exercicio

anterior,

de

as coordenadas do ponto

e as coordenadas do ponto

Q

=

(0,

1, -1 )

�2

no

240

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Resolu�o

P ara Q, basta aplicar diretamente as equa�es de mudarn;;a de coordenadas, fazendo ai u=0, v=l e w = -1 : x =l+0- 1

0

y=2- 2=0 z =-l+l-(-1)= Logo, Q =(0, 0, l)� l -3 Quanto a P: ou fazemos, nas equa9oes de mudan9a de coordenadas x=2, y=l e z= e resolvemos o sistema obtido ou usamos (4). Faremos do primeiro modo, esperando que voce fa9a do segundo:

2 = l+ u +w w=

2 +2w

l

-2

-3 = -1 + v- w

substituindo na

equa�o, vem que 2 =l + u - 1/2, donde u=3/2. Substituindo -5/2 . Logo, na 311 equa�o, resulta que -3 = -1 + v + 1/2 donde v= l!l

p

3.

=(3/2, -5/2,

1/2)�

-

2

Tomando novamente �1 e �2 como no Exercicio a) do piano b), da reta

'IT :

l,

obtenha equa� es no sistema �2:

[ X - 3y +2z - 2 = 0 ]�1

r: [X =(1, 1�2) + A.(3, 1,-2)]� 1

( o significado da nota9ao e 6bvio).

Mudan�a de Coordenadas

-------

241

Resolu�o Como foi visto no Exerclcio 1, as equa�oes da mudan �a de coordenadas de Li

para

L2 sao x = l+u+w = 2+2w

y

(a)

z = - l+v-w a)

Substituindo na eq ua�ao de I

rr,

vem:

+u+w-3(2+2w)+ 2{-l +v-w)-2 = 0

logo,

rr :

b)

[ u + 2v-7w -9

0 ]�2

Substituindo nas equa�es de r: I +u+w= I +3A.

x = 1+3A. y

= 1+A.

z = 2-2A.

(a) =>

2 + 2w

=

1+A.

-l +v-w = 2-2A.

destas ultimas vem que 1 5 u =-+-A. 2 2

1 1 w = --+-A. 2 2

3 5 v =---A. 2 2

e portanto

r: [ U { onde U

4.

=

(u, v, w )

L

=

{1/2, 5/2, -1/2) + A. (5, -3, l )] L2

J

Escreva as equa�es da transla�o do sistema o'

=

(h, k, m)

. Li

Li

�

�

�

(0, e1, e 2, e3)

para

o ponto

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

242

Resolu�o

0

termo translafiio e usado quando as bases E e F sao iguais

(7. -;1, 1,. = -;2, 13 =-;3 ), =

havendo altera�o apeilas quanto a origem. Entao, M e a matriz identidade, e as equa­ �oes (3) se reduzem nesse caso a (equagoes

z

·

de transla�o) x

h+u

=

y = k +v u

z =m+ w

EXERC(CIOSPROPOSfOS I.

Sejam

1:1 = (0,

-:1, -:2, -;3)

' e 1:2 = (O ,

1i, 12, 13)

Obtenha equa�es parametricas da reta r:

[X

=

dois sistemas de coordenadas tais que

(0, 0, 0) + X (0,

1:2. 2.

I, -1 )] no sistema 1:1 _

Idem, sendo e r

: [X

= (0,

0, 0) + X (0,

3.

Seja tr

§ 2

Mudan\:88 de coordenadas em E2

= 0]� • Obtenha uma equa�o geral de tr nos sistemas 1:2 dos 1 dois exercicios anteriores. :

r 2x

I, I)]l;1•

-

y+z

Tudo o que foi dito no panigrafo anterior para E3 (espa�o) pode ser adaptado para E2 (piano) . A Unica diferen�a e que as bases de V2 (conjunto dos vetores do piano) tern dois ao inves de tres vetores, e portahto para pontos de E2 temos apenas duas coordenadas. Sendo entao � "'1 =

(0,

-+

,.+ -t: ,.+ � = "O' e1, e2) e "'2 \: , t1, f2) do1s s1stemas de coordenadas em E2 , com •

•

.

'

I

0

= (h. k)l: 1

•

----

�

f1

=

( au, a2i)E

1:2 sao:

e

�

f2

=

Mudanra de Coordenadas

243

(a12, a22)E, as equayoes de mudanyas de coordenadas de 1:1 para

(5)

Quer6mos neste par.igrafo considerar os casos particulares das transla�es e rota�es em E2, que. sei:ao utilizadas com frequencia no pr6ximo capitulo. Suporemos daqui por diante que todos os sistemas sao ortogonais.

a)

Transla¢o Neste caso, temos f1

=

-:1 e 12

=

-:2, e portanto M e a matriz identidade; As equa�eii

(5) ficam entao

F9 � que sao as equa�es da translayao (compare com o 49 Exercicio Resolvido do par.igrafo anterior).

f I I

lo' , I I I I

_____ __

0

h

----

x

•

u

244

b)

Geometria A111llitica: um tratamento vetorial

Rota{iio Neste caso, O' . Seja 8

=

0 e portanto h

=

k

=

0.

a medida do angulo de rota�o (considerado positivo sempre o sentido

anti-horario) que transforma o sisterna(O,ei. e2) �

no sistema (0, fi ,12). Entio:

Ti

=

=

·

y

+(sen8) �

(-sen 8) e1 +(cos8) e2 �

�

�

f2

(cos 8) ;1

�

Segue dal'. e de (5) que as equa�oes da rota�ao sao

x

=

u cos8-v sen8

(7) y

=

u sen 8 + v cos8

Observa�o Resolvendo o sistema (7) nas inc6gnitas u e v, obtem-se

u

=

x cos8 + y sen8

(8) v

=

-xsen8 + y cos8

Tanto (7) como (8) podem ser obtidas a partir da tabela de.dupla entrada u

x y

cos 8

·

sen8

v

-sen8

(Note que a W coluna e a derivada da I !l ).

c;os8

---- Mudanfa de Coordenadas

EXERcfCIOS RESOLVIDOS

1.

Escreva as equayC>es da rotaylio para os seguintes valores de (J : a)

b) __!!_

rr

d)�

c)

2

3

Resolu�o Substituindo o valor de (J em (7), temos:

a)

l

x=u cos rr - v sen rr y

= u sen rr + vcos rr u •---

{

x =-u y

I

c)

I

j

x

' v

2

1(

{

I I I I

= -v

x=ucos

b)

L

y = sen 2

x = -v y

- vsen2

+ vcos

1(

T

1( 1(

v

•

____

e ....____ ..,. x

=u

x=u cosc=�)-v sen <- 7') y =u

4

4

:

:

sen (- )+ vcos(- )

y '

V: V:

x=u

'

+v

'

/

'

'

/

ti

v

/ / �/ _______., x /' e

--------

y =-u

y'2 + v yr 2

V2

x= - (u+v) 2

V2 y=(-u+v) 2

2

/

/

/

/

/

'

'

' �u

245

Geometria Arialitica: um tratamento vetorilll

246

I

d)

x= u cos 2

y = u sen2

l ; x=

Y =-

2.

2

-

.!!. 3

-

v sen2

.!!. 3

j +vcos2 j

- 1

=

\

\

yr

u -v 2-

u

\

1

v --2-

Sejam, em rela�o a um sistema de coor denadas r : x -2y

y

u

"

�1

=

(0,

-+ -+ ei. e2) em

\

\

2 E ,

\

P

=

(1, 2),

0 (equa�o geral de uma reta no piano, lembra-se?). Obtenha as coorde­

nadas de P e uma equa�o de r no sistema �2, obtido por uma r ota�o de

7r/6

radianos.

Resolu�o

Por

(8) temos: u=

1T

6

x cos

+ y sen

1T

v = -x sen

1T

6

1 y'3" x +-y

= -

1T

6 + y cos 6

2

-

2

'13

1

x + - y --2-2

y'3"-

Substituindo x e y pelascoordenadas de P obtemos

u =-

logo

'13

1

2

+

1,

p = (1 +-- ' --+ y'3)�2 2

""'

2

Para obter uma equa�o de r no sistema �2, usamos

x= u cos

6

1T

-

y = u sen

�

+ v cos

v sen

1T

6=

(7)

ft" u - 2

� =+ u

1 -2 v

+

v;

v

Substituindo na equa�ao dada, vem:

·

'13

- 2-

1

1

y'3

v - 2(-y u +-- v) u 2 2

1=0

v=

- T1

+

VT;

-------�-

Mudanfa de Coordenadas

247

donde

r: [(

y'3 2

1 - 1) u - (- + 2

V3) v -1

O] l:: 2

=

Observe que o termo independente da equa¢o permanece inalterado.

3.

Faya uma rotaylio em E

2

de modo que a reta r: [ x + y + 3

(novo) eixo das ordenadas.

=

O]l:: 1

fique paralela ao

Resolu�o Devemos achar o angulo de rota¢o. Para que r seja paralela ao eixo dos v, e necessario e suficiente que sua equa¢o seja da forma

"u = constante", isto e, que o coeficiente de v

seja nulo. Substituindo

temos:

(7) na equa¢o de r,

(u cos8-v sen8) + (u sen8+v cos8) + 3

=

0

OU

(sen8+cos 8) u + (cos8 -sen 8) v + 3 = 0

A condiyao e, pois,

cos8 = sen8

Entao, qualquer 8 que satisfaya Escolhamos, por exemplo, 8

=

(a:) (a:)

serve aos nossos prop6sitos: 8 = !!... + n 1T ' n inteiro. 4

: ; a equaylio de r flea, nesse caso,

(V2+ y'2 ) u+3=0, 2

2

ou seja,

V2

u+3=0

EXERCiOOSPROPOSTOS 1.

2 Faya uma rota¢o em E de modo que as novas coordenadas do ponto P =

(y'3, -1). 2.

Faya uma transla¢o em E

2

(y'3,

1)

sejam

de modo que a reta r: x+3y-2 = 0 passe pela (nova) origem,

sabendo que esta tern abscissa -1.

248

3.

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Fa\:a uma rota¢o em E2 de modo que a reta r: x + 2y +

1

=

0

fique paralela ao (novo)

eixo das abscissas e esteja contida no 39 e 49 (novos) quadrantes.

4.

Dado o sistema �1

-+

=

(0, e1,

-+

e2 ), seja C a circunferencia de centro

0 e o raio

que C, em qualquer sistema obtido por rota¢o de �1, tern equa\:ao u2 + v2

§3

r > 0. Mostre =

r2•

Aplica?o das transla�es e rota�es de E2 ao estudo da equa�o Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F

0

=

Fixemos um sistema oitogonal de coordenadas

(0,

-+-+

i,

j)

em E2• Sera de grande utilidade

no pr6ximo capltulo fazer algumas simplifica�es na equa¢o Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F

=

0

(9)

Vamos analisar aqui dois problemas:

(I)

Eliminar, por meio de uma trans/a{ilo, os termos de 19 grau. Consiste em descobrir o ponto

que a equa¢o

(9) se transforme

(h,

k) para o qual se deve transladar o sistema de modo

numa equa�o da forma

A u2 + B uv + Cv2 + F Substituindo as equa\:oes de transla¢o

(6) em (9),

=

0

(IO)

obtemos:

A(u + h)2 + B(u + h) (v + k) + C(v + k)2 + D(u + h) + E(v + k) + F

=

0

donde, efetuando os q uadrados e ordenando em rela¢o a u e v, vem: Au2 + Buv + Cv2 +(Bk+2Ah+D) u +,(2Ck+Bh+E) v + Ah2 +Bhk +Ck2+Dh+ Ek+ F

=

0

(11)

Entao, devemos achar h e k de modo que

l Se o sistema

(12)

Bk + 2Ah + D

=

0 (12)

2Ck + Bh + E

=

0

tiver solu¢o, teremos resolvido nosso problema. Note que se o determinante

---

B

Mudanra de Coordenadas

249

2A B2 - 4AC B

2C for diferente de zero, o sistema i nfinitas solu�es

OU

(12)

tern certamente solu9ao (unica). Se for nulo, pod em existir

pode nao existir nenhuma. Neste caso, e irnpossivel "eliminar

OS

termos de

1 q grau por meio de um� translayao".

Observe agora a igualdade

(11).

Os coeficientes dos termos de 29 grau sao os mesmos

(9). Trans/aroes niio afetam, pois os termos de ;f! grau ( * l. Alem disso, chamando G (x, y) o 1
(A, B e C) que na equa9ao

.

(II)

Eliminar, par meio de uma rota¢o, o termo misto de 29 grau. Consiste em descobrir um angulo de rotayao tal que a equayao

(9)

se transforme, ap6s

a rotayao, numa equayao da forma A'u2 +C'v2 +D'u+E'v+F' = 0

(13)

Para levarmos isso a efeito, devemos preliminarmente observar o seguinte: ap6s uma rota�ao de angulo 8, a equayao

(9) se transforma em

A'u2 + B'uv + C'v2 +D'u+E'v+F'

(14)

0

onde: B A'= A cos2 8 +- sen B' = (C - A)

2 sen 2 8

+ B cos

B c ' = A sen2 8 - - sen

2

( *)

28 + C

28

sen2 8

28

+ C cos2 8

(a) (b) (c)

D' = D cos 8 + E sen 8

(d)

E' = E cos8 - D sen8

(e)

F' = F

(f)

Dizemos que os roeficientes dos termos de 29 grau sio invariantes por transla�o.

(15)

Geometria Analirica: um tratamenro verorial

250

(prove isso). Observe que a, semelhan\:a das equa<;Qes

(8)

podemos obter (d) e ( e) da tabela de dupla entrada ao

�

o

D

cos8

-sen8

E

sen8

cos8

!ado. Observe tambem que a ultima igualdade, (f), nos diz que rotaroes niio afetam o termo independente (*)_ Mas, voltando ao nosso objetivo: para que

(14)

seja da forma

(C -A) sen 28 + B cos 28

(13),

E'

'

devemos ter B'

= 0,

ou seja:

0

donde, sendo B =to<**), concluimos que: •

se

A=C,

entlio cos

A' =_!_(A+ B + C) 2

C' = •

se

+ (A+ B

A =I= C,

+

e

2

8

=0

e portanto 8

C' =_!_(A- B + C); 2

pode ser

3n

ou 4 , e neste caso

B

Pode-se ainda demonstrar

A-;\ B/2

(e

A'

um born exercicio de trigonometria!) que, escolhido 8

e c' slio raizes da equa\:lio do 29 grau.

B/2

C-;\

o que simplifica bastante a obten\:lio de

(13) ( veja o Exercicio 4).

termo independente e invariante por rotal(Oes. =

e

nossos prop6sitos.

0

Se B

- B + C)

(16)

A-C

(16) serve aos

como acima, os coeficientes

(**)

1 A' = 2 (A

entlio

e qualquer 8 que satisfa\:a

O

, donde por (a) e (c),

C).

tg 28

(•I

;

0, o que queriamosja esta feito desde o infcio!

(17)

-----

Mudan�a de Coordenadas

251

A decisao sobre qual das ra(zes e A ' e qua! e c' depende da escolha do valor de 8, entre

OS

muitos poss(veis, e esta vinculada a relayao

l

A-C A'- C'

oos29=

(18)

que se obtem facilmente de (15).

EXERCiOOSRESOLVIDOS Esta fixado um s istema ortogonal de coordenadas

1.

(0,

-+ -+

i, j ).

Fazendo mudan9as de coordenadas convenientes em E2, transforme a equayao

G (x, y) = 9 x2-4 y2-18 x -16 y numa equa9ao da forma

A'u2 +C'v2 + F'

=

-

(a:)

7= 0

0.

Res olu9ao Devemos eliminar os termos de vimos em (I).

19 grau da equa9ao dada. Para isso, procedemos como

A transla9ao u+h v+k

transforma (a:) em

9u2 -4v2 +(18h-18)u+(-8k-16)v+G(h ,k)

onde

G(h, k)

=

9h2 - 4k2

=

0

18h - 16k - 7. lmpondo que os coeficientes de u e v

sejam nulos, temos:

!

18 h-18=0

. -8 k-16

h =

((3)

0

=

1,

k

=

-2

252

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Substituindo em ((3) , obtemos 9u2 - 4v2

0

=

Observa¢o Quando a equa�o dada nao apresenta o termo xy, pode-se resolver tambem comple­ tando quadrados. 9x2 -18 x

=

9(x2 -2x)

-4y2 - 16y -4(y2 + 4y) =

=

=

9 [(x-1)2-1]

-4 [(y+ 2)2 -4]

=

=

9(x-1)2 - 9

-4(y+ 2)2 +16

Substituindo em (a), obtemos 9(x- 1)2 - 4(y +2)2 e agora basta fazer u 2.

=

e

x-1

v

=

=

0

y+2.

Idem para a equa�ao G(x,y)

4x2 - 24x y+lly2 +56x- 58y+95

=

('y)

0

Resolu¢o ;\qui vamos inicialmente fazer uma transla�o para eliminar os termos de 1o grau e ap6s isso fazer uma rota�ao para eliminar o termo misto do 20 grau. a)

Transla�o:'

{

x

=

u+h

y

=

v+k

Substituindo em (-y), obtemos 4u2- 24uv+11v2 +(-24k+8h+56) u +(22k-24h-58) v+G(h, k) onde G(h,k)

l

=

4h2- 24hk+ I lk2 +56h - 58k+95. Queremos que

-24k+ 8h +56

=

0

22k-24h-58

=

0

=

0 (cS)

-------

Muda"fa de Coordenadas

Resolvendo o sistema, encontramos h = -2/5, k =11/5 e portanto, de

(o),

253

vem

4u2 -24uv+11v2+ 20 = 0

b)

Rota¢o: conforme vimos, A I e c' sao raizes da equa¢o (17)

-12

4 - x

=

0

11-X

-12

ou seja X2 - 15:\- 100 = 0. Logo, A1=20 e c'=-5

OU

A1=- 5 e C'=20.

Como, por (16) e (18), . tg20

o caso A'

=

24 =

e

7

--

cos 28

-

7

- -,---

A' -C '

20 e c' = -5 corresponde a escolha de20 no39 quadrante e o outro c or res­

ponde a escolha de 2 0 no 19 quadrante. Supondo 0 <, 28 <,2 1T e lembrando que F' = 20 (rota�es nao afetam 0 termo independente), temos duas possiveis solu9oes: 20t2- 5w2+ 20

=

0, para

3 1T 1T �28 � 2

:.

; �8

� 3 1T 4

e -5 t2+ 20w2+ 20 = 0, para 0 <, 28 <,

;

:. 0 <, 8 <,

�

onde t indica a abscissa e w a ordenada no novo sistema.

3.

Idem para a equa¢o G(x,y) = 16x2-24 xy+9y2- 85x-3 0y+l75 = 0

Resolu�o

{

Procedemos coma no exercicio anterior.

a)

Transla9lio

x

=

u+h

y = v+k

(a)

254

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Substituindo em

(a)

e anulando os coeficientes dos termos de 19 grau, obtemos o

sistema

l

-24k + 32h- 85 18k - 24h-

30

=

0

=

0

que e incompatfvel. Logo, nao existe transla�O que elimine OS termos de 10 grau.

b)

Rota¢o. Sabemos que A' e C' sa o rafzes de

16-A.

-12

- 12

9- X

0

ou seja A.2 -25X=O. EscolhamosA'=o,c'=25.Sabemos aindaque F'=l75.Entao. ap6s a rota�ao, a equa�ao

(a)

ficara

Ou2 + 25v2 + D'u + E'v + 175 = 0 Devemos entao calcular D' e E'. De (16) e (18), temos

tg28 =

-24 16 - 9

cos 28 =

-24 7

16 - 9

7

0 - 25

-25

Logo, 28 e do 29 quadrante e podemos escolher cos 8

>O).

Sendo cos2 (J + sen2 8 = 1 cos2 8 -sen2 8

( ) *

Pois cos 2 (J

=

2 cos2 (J - sen (J.

=

-7/25(*)

8

no 10 quadrante (sen 8

>0,

----

Mudaflfa de Coordenadas

255

vem, somando e subtraindo membro a membro, que 9

sen2 8 =

cos2 8 =25

4

donde sen 8 = 5 e cos

3

fJ = 5.

D = -85.

3 5

E'= -30.

�

,

4

85.

Substituindo em (/j), obtemos 25 v2

Logo, nao foi pOSS(vel c hegar plificada.

a

25

Agora, de (15), vem:

30. 5 +

16

--

� -

=

=

-75

50

75 u + 50v + 1 75

forma pedida .

De

=

0 ou

seja v2 -3u+ 2v+

qualquer modo, a equayaO

7

=

0.

foj sim­

Podemos simplifica-la .ainda mais, completando quadrados: v2 + 2v= (v+ 1)2 I e substituindo na equa\!ao obtida. Resulta (v + 1)2 - 1 - 3u+ 7 0, ou seja , -

(v+ 1)2 -3 (u-2)=0-.Pondo t=u-2,w=v+ l,chegamos a w2 -3t=O.

=

Observe que esta \Utima mudan� de vanaveis corresponde a uma translayao, sendo h=2 e k=-1.

Observa?o Se tivessemQS escolhido .A '= 25 e C'

=

0, teriamos cos 28

=

7 e entao 28 25

seria do 49 quadrante. Resolva deste modo: supondo 0 E;; 8 E;; 21T, voce vai obter

cos 8 = _.! sen 8 = l e chegar a 25 u2 + 50 u + 75 v+ 175 =0 ou seia � u2+ 2 u+ 3 v 5 5' 7 =0. Agora complete quadrados para obter uma equayao da forma t2+ 3w 0. =

4.

Idem para a equayao G(x, y)

a)

(x

Translayao Obtemos

I

=

=

8x2 -2xy + 8y2 - 46x

u + h, y

8h -

=

k = 23

-8h+ 64k

=

40

v + k)

-

lOy+ 11 = 0.

+

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

256

donde h = 3

e

k =1.

-------

Como G(h, k) = G(3, 1)

= -63, a equa� flea

8·ul - 2 UV+ 8 v2- 63 = 0

b)

Rota�o.

Como A =C, tomemos ()

=

�

18 1 ' C =(A - B + C) =2 2

=

· Nesse caso,

9

F' = -63

A equayii'.O obtida e, portanto, 7t2 + 9w2 -

63 = 0

EXERciCIOS PROPQSfOS Esta fixado um sistema ortogonal de coordenadas

l.

·

(O,i.J).

Demonstre as relayaes (15).

2.

Demonstre (18).

3.

Aplique OS metodos deste capitulo as seguintes equa�es: a)

4x2+y2+8x-lOy+13

b)

4x2- 3y2+24x-12y+17

c)

4x2-;-5y2+12x+40y+29 = 0

d)

y2 -4x+ lOy+13 = 0

e)

x2 - 6x- Sy+14 = 0

f)

x2+ 2y2- 4x -4y -1 ,;, 0

=

0

=

0

------'"-- Muda11fa de Coordenada:r

y"TI

g)

4x2 -12xy+ 9y2 -8

h)

3x2 -2xy+ 3y2 + 2

i)

6x2 -4xy+ 9y2 -20x - IOy - 5

j) I)

""'2

x

14

�

x- 6

12x2 +8xy-3y2 + 64x+ 30y

""'2 =

y + 117 = 0

y + 2. = 0 0

0

=

2x2 -4xy-y2 -4x-8y+ 14

y"TI

257

=

0

m) 13x2 +6xy+21y2 +34x- li4y+73 = 0

4.

n)

2x2 -12xy+7y2 +8x+ 20y-14

o)

7x2 +6xy-y2 -2x- lOy- 9 = 0

p)

25x2 + 20xy+ 4y2 + 30x+ 12y - 20

q)

4x2 -4xy+ y2 - 8

a)

y'S

x - 16

Prove que OS numeros A + c

=

y'S e

0

=

0

y =0

B2 - 4AC sao invariantes por rota�es (isto e,

se (9) e transformada em (14) por meio de uma rota�o, entao A' + C' =A + C e B'2 -4A'C' =B2 -4AC). b)

Mostre que as raizes

Ai e A2

de (17) sao reais, quaisquer que sejam A, B e C.

Mostre tambem que elas sA'o iguais somente quando A Ai = A2 =A = C.

5.

=

C e B =0, caso em que

Conclua que se A2 + B2 + C2 =I=- 0 nao pode ser Ai = A2 = 0.

c)

, B2 -4AC Mostre que A +C e a soma das raizes de (17) e 4

d)

Conclua que A' e C' sao raizes de (17), escolhido 8 de modo a eliminar-se o termo misto.

e o produto delas.

Prove que os ·numeros A + C e B2 - 4AC sio invariantes por uma mudan�a de coorde­ nadas da forma

Sugestio

- v sen 8

x

=

h+ u cos 8

y

=

k +u sen 8 + v cos 8

A mudan�a acima pode ser interpretada como uma transla�o seguida de uma

rota�o (roto-transla�o).

CAPITUW

21

CONICAS

§I

Elipse, hiperbole, parabola (forma reduzida)

A)

Elipse •

Defini�o Consideremos num piano

rr

dois pontos F 1 e F2, distantes 2c > 0 entre si. Seja

a > c. Ao conjunto dos pontos PE

rr

tais que

(I) se da o nome de

•

elipse. y

Equa�o na forma reduzida Tomando um sistema ortogonal

c

c

como mostra a figura, a igualdade (I) fica, para P

258

=

(x, y),

F1=(-c,o)

0

Fz=(c,o)

x

------

j(x + c)2 + y2

2a

Conicas

259

j(x - c)2 + y2

-

Elevando ao quadrado e simplificando resulta a

)(x - c)2 + y2

a2

- ex

Elevando novamente ao quadrado e simplificando resulta

Como a2 - c2 =I=

0

(na verdade a2 - c2 >

x2

�+ Seja b

=

Ja2 - c2

I Logo

a2

a2

Y2 _

porque a> c>

0),

(2)

c2

. Entao

0 <

b

<

e

a

b2 + c2

=

(3)

_

(2) se escrevex__

IL a2

Portanto se

P

=

+

b2

(4)

-

(x, y) pertence a elipse, x e y satisfazem (4). Reciprocamente, se

(x, y) verifica (4) entao P

•

0

=

(x, y) e ponto da elipse ( experimente provar isto ).

Esbo�o

Como (4) s6 apresenta x e y elevados a expoentes pares, a curva e simetrica em rela9ao aos eixos coordenados, e portanto em rela9ao a origem (se um ponto (p, q) satisfaz (4), os pontos (-p, q ), (p, - q ) e (-p, -q) tl!,mbem a satisfazem). Alem disso, de (4) con­ clufmos facilmente que para todo ponto .P

=

(x, y) da elipse, vale

260

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

xl --�I al

-a�x�a

yl 2 �I b

-b� y�b

e

--

isto e, a elipse esta contida no retangulo mostr ado na figura.

�

y (0,b)

-

(-a ,0)

(a,0)

x

(0,-b)

Achemos as interse�es da elipse com os eixos coordenados. Com Ox: fazendo y A1 com OY: fazendo x B1

=

=

=

=

0, vem x (-a, 0), 0, vem y

(O, -b),

=

± a, logo elas sao

A2

=

B2

=

(a,

O);

± b, logo elas sao

=

(0, b)

Gra�as a simetria , podemos restringir-nos ao 19 quadrante, onde y 0�x�a.

=

� a

Jal - x2 ,

Atribuindo valores a x entre 0 e a e calculando y, obtemos o esbo�o

x

261

Conicas

Aten�o

Se voce adotar um sistema ortogonal em que F 1 e F 2 estao no eixo Oy,

como mostra 'a figura ao !ado, ent�o (I) fornecera, de modo analogo, a seguinte

t

equa¢o

2 x2 Y --+--= b2 a2

Dispondo os eixos como e tradicional (Ox horizontal, Oy vertical), o esboyo da elipse toma o aspecto seguinte

Az

y

a2

Assim, a elipse x2 +

�

=

b2 + c2

I tern focos no eixo Oy, e a elipse

focos no eixo Ox,

•

=

Nomes F1, F2

focos

2c

distancia focal

A 1A 2

eixo maior

8182

eixo menor

0

centro

A,, A 2, 8,, 82

vertices .

F1 F2

segmento focal

� ; + y

=

I

tern

262

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

EXERCiCIO RESOLVIDO

i, J).

Esta fixado um sistema ortogonal (0,

Escreva a equa�o e esboce o grafico da elipse a)

de focos F1 =(-4, 0),

F2 =( 4, 0)

e eixo maior medindo 12;

b)

de focos F 1 =(0, -3),

F2 =(O, 3)

e eixo menor medindo 8.

Resolu�o a)

Temos 2a=12 e 2c= 4- (-4), logo a=6 e c=4. Dai b2=a2-c2=20. y

Como os focos estao em Ox, usamos (4 ) : x2 36

--

b)

+

.y2 --

20

=!

Temos 2b = 8 e 2c = 3 - (-3) = 6. Logo b 4 e c = 3. De a2 a 2 =42 + 32 =25. Como os focos esta-o no eixo Oy, usamos (5) : =

x2 16

=

b2

+

c2 vem

y2 25

--+--=

B)

Hiperbole •

Defini�o Consideremos num piano Seja 0
do is pontos

rr

PE

rr

e F2, distantes 2c rel="nofollow"> 0 entre si.

tais que

I d {P, Fi) - d (P, F2) I = 2a se da o nome de hiperbo/e.

F1

(6)

--

--

•

Equ�o na forma reduzida

y

Tomando um sistema ortogo­ como

no

c

c

nal como mostra a figura, da mesma forma

263

Conicas

caso da elipse,

�0��+. ��.... Fi �� F2 �•X

chega-se a que. P = (x, y) esta na hiperbole se e somente se

1

Pondo b =

Vc2 - a2

I

temos

c2 = 32 + b2

b

0 <

<

c

e

I

(7)

A equa¢o flea

(8)

• Esbo�

Como

(8)

s6 apresenta expoentes pares, concluimos (como no caso da elipse) que a

hiperbole e simetrica em rela¢o aos eixos coordenados e portanto em rela¢o a origem. Alem disso, de entao

(8)

x2 --

a2

concluimos que se P = (x, y) e um ponto qualquer da hiperbole,

y2 =1+--�1 b2

x �a

ou

x .i:;;; -a

lsso quer dizer que a curva nfo entra na faixa vertical indicada na figura ao lado. Assim o eixo Oy na:o a intercepta, enquanto que o eixo Ox

x

a intercepta nos pontos A1 =(-a, 0)

e A2 = (a,

0)

(verifique). Gra�as.

a simetria, podemos restingir-nos

ao

primeiro

quadrante,

e

ai

y=

! a

Vx2 - a2

, x � a.

264

Ge·ometria Analftica: um tratamento vetorial

x

Atribuindo valores a r : y

b =-;x

e

s : y

=

e calculando -

b -x a

y

obtemos o esboyo seguinte, onde as retas

sao assintotas a hiperbole. y

x

+

c 2 "" a2

Aten?o

Se voce adotar

ortogonal em que

um Sistema

b2

F 1 e F 2 estilo no

eixo Oy como na figura ao lado, entao de ( 6) obtera

b2 + a2 _E. r.

=

1

1.

Dispondo OS eixos como

(b

=

../c2 - a2

x

)

(9)

e tradicional (Ox horizontal, Oy vertical),

0

esboyo da hiperbole

toma o seguinte aspecto:

y

x c2

= a2

+ b2

Assim, x2 - y2

=

x2

y2

representa uma hiperbole com focos em Ox e - 4 + 1 00

I

=

1

representa uma hiperbole com focos em Oy. •

Nomes Fi. F2

focos

2c

distancia focal

A1 A2

eixo transverso

B1 B2

eixo conjugado

0

centro

Ai. A2

vertices

F1 F2

segmento focal

r

e

assintotas

s

EXERCfCIO RESOLVIDO Esta fixado um sistema ortogonal (O, 1,

J).

Ache as equa�oes da hiperbolee das suas assintotas, conhecendo a)

os focos F1

b)

um foco

2

yr

=

(

-

y'T3

,

0),

-VTI ),

F1 =(O,

v'IT.

F2 =(

0) e a medida doeixo transverso,6;

a distancia focal

2

y'TI

, e a medida do eixo conjµgado

y'l3

2 . Dai b2=c -a2=4. Como

(F2 noeixo Oy).

Resolu�o a)

Temos 2a=6 e 2c

=

2fe,

os focos estaoem Ox, usamos (8):

2

2

x Y --= 4

9

As assintotas ternequairoes

e

l go a=3 e c= o

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

266

b)

Temos 2b Dai a2

=

=

2y'7,

c2 - b2

2c = 2y'TI

= 4.

:. b =y'7,

c=�

Como os focos estao em Oy, usaremos (9):

x2 y2 --+--= 7

4

As assintotas tern equa�es 2 y =--x y'7

C)

2 y = --- x

e

vr

Parabola •

Defini�o Consideremos num piano dos pontos de

•

7r

7r

um ponto F e uma reta r, F
equidistantes de F e r se da o nome de parabola.

Equ�o

y I

Tomemos um sistema ortogonal como 2p

se

1--

mostra na figura. Seja

d (F, r). Nesse caso,

=

F= (p,0) r:

I .J. I I F= (p,o)

0

x+ p = 0

x = -p

Entao

--.--,P=(x,y)

I I I

P

=

(x, y) esta na parabola se e somente

..j(x

_

se

d (P, F)

=

d (P, r), isto

e,

Ix + p I v' 12+ 02

p)2 + y2

que e equivalente a (elevando ao quadrado e simplificando)

I y2

=

4px

I

(10)

Conicas

------

•

267

y

Esbo� Faya uma analise semelhante a que fize­

mos nos casos da elipse e da hiperbole para obter

esboyo ao lado, onde 0 e

0

0

pon to

medio de HF .

•

Nomes F

foco

r

diretriz

2p

parametro

reta por F e perpendicular a r

eixo ( de simetria)

V (pon to medio de HF)

ver tice

Aten�o

E scolhendo-se outros sistemas de coor denadas, e claro que a equayao da parabola

muda. Eis alg u n s casos. y '

'

F

,, � '

I I

I I I

\

:{_��-·

0

/

I

I

p

,L

p

I

F

·

x

----r

-

---

-

,..._ o_..,..

,,

-

F

'

r

,.

__

____

/

___

x

'

,'

F = (-p, O)

r:

y

y

r I

x = p

2 y = -4px

I

(11)

F = (O, p)

F=(O,-p)

r: y = -p

r: y = p

(12)

(13)

Observa�o 0 metodo Utilizado para chegar aos esbOyOS da elipse, da hiperbole e da parabola, e

precario e incompleto. Por exemplo, no caso da elipse, mesmo que voce atribua "muitos"

268

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

valores a

x, voce somente obteni um numero

finito de pontos. Ao liga-los, que criterio

adotar para decidir qual das figuras abaixo e a mais razoavel?

y

v

v

0

x

x

x

E born que voce saiba que as tecnicas algebricas de que dispomos nao sao suficientes para decidir isso.

f'. necessario recorrer ao Calculo Diferencial,onde se aprendem tecnicas

mais sofisticadas e eficientes para esbor;:ar graficos de certas funr;:oes.

EXERCTCIOS PROPOSTOS Esta fixado um sistema ortogonal (0,

1.

1, j).

Escreva a equar;:ao reduzida da elipse,dados

a)

os focos(± 5, O)

b)

osfocos(0,±6) e a=l7;

c)

dois vertices (± 5,

e

dois vertices(±

13,

O);

0) e a excentricidade e =

�

,

onde e

=

i·

Os focos estao no

eixo Ox;

d)

os focos(±1, 0),o serni-eixo menor medindo

e)

as extremidades do

y"2;

�°--menor(O,± 4), e o comprimento L i da corda perpendicular =

ao eixo maior da elipse e que passa por um dosfocos;

VJ),

f)

os focos (0,± 2

g)

o centro (0,O),um dos focos(0,

L

=

2, L co mo no item anterior;

14

-V'40 ),e um ponto (y'5, 3

) da elipse.

-------

Para as elipses dadas, determine os vertices, os focos, a excentricidade (e

2.

esbo�.

(a)\ 16x2 + 25y2 = ,...-b) x2 /

1

Conicas

c

= -

a

269

). Faya um

400

+ 9y2 = 9

c)' 2x2 + y2= 50

.'/ d) 3)X.2 + 4y2 = 12

_,j

3.

Escreva a equayao reduzida da elipse que tern centro na origem, focos num dos eixos coorde­ nados,e passa porA e B. a) A= (3,2)

•

,

b)A=(5,2) 4.

5.

B=(1, 4) B=(2,"4)

Ache os vertices e a area de um quadrado com lados paralelos aos eixos, inscrito na elipse 9x2 + 16y2 = 100.

Obtenha equayaes das elipses cujos focos e medida do semi-eixo maior sao dados.

a)

(-3, 2)

,(-3, 6) , a= 4

b)(-1,-1),(1, 1) , a= 3

c) (0, 0) , (1, 1) , a = 3 Sugestao

� mais oomodo resolver usando a defini¢o de elipse, mas· e mais instrutivo usar

transla9oes e rotayaes.

6.

Determine os vertices, os focos, a excentricidade (e= .£) e as assintotas· das hiperboles a

dadas a seguir. Fa9a um esbo90. ' ···�

,a,)

25x2 - l 44y2 = 3600

� b) 16x2 - 25y2 = 400

270

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

c) y2 - x2

16

=

d) 9y2 - 4x2 e) 3x2 - y2

7.

=

=

36

3

:&creva a equa¢o reduzida da hiperbole, dados a) OS vertices(± 2,

b) os vertices ( ± 15, c) b

=

e) as assfntotas y

f)

os focos

0), =

0);

e as assfntotas Sy

0),

4, as assintotas

d) os focos (± 5,

e OS focos (± 3,

0),

2y

=

± 4x;

± 3x (focos no eixo Oy);

e as assintotas

2y

± x;

=

± x, e um ponto da hiperbole,(5, 9 );

(± 5, 0),

e o comprimento L

=

F1 F2.

8.

=

�

da corda por um dos focos, perpendicular a

Obtenha equa90es das hiperboles, dados os focos e a. a) (3, -3)

(3,

b) (3, 4)

(-1,

7) -2),

a

=

a

=

3

Veja a s ugestao do Exercicio 5.

9.

Determin e os focos, os vertices e as diretrizes, das parabolas dadas a seguir. Fa9a um esbo\:O. a) y2 d) 5y2

I 0.

=

16x

b) y2 + 2 8x

l 2x

e) 2x2

=

7y

=

0

c) x2 + 40y f) 7x2

=

=

0

ISy

Escreva as equa96es reduzidas das parabolas com vertice na o rigem, dados a) o foco

(8, O);

b) a dfr�triz y

=

2;

----

c) o eixo de simetria Ox e um ponto da parabola, d) dois pontos da parabola, ( 6, 18) e e) um ponto da diretriz,

11.

271

(5, 10);

(-6, 18);

( 4, 7), e o eixo de s i metria Ox.

Ache as equa�es das parabolas de focos e diretrizes dados abaixo.

a) (2, 3)

,

x =0

b)(3,J)

'

y+3=0

c)

(-4, -2 )

, 2x+y=3

Veja a sugestao do Exercfcio

§2

Conicas

5.

COnicas (caso geral)

Deitni�o

Dado num piano

1T

um

sistema ortogonal de coordenadas, e dada a equa¢o

G(x, y)=Ax2 +Bxy+ Cy2 +Dx+ Ey+ F =0

(14)

com A2 + B2 + C2 * 0, ch ama-se cbnica ao conjunto dos pontos P=(x, y) de ;; tais que

(14) se verifica.

Exemplos de oonicas 1)

0 conj unto vazio: G(x, y)=x2 +y2 + 1

2)

Um ponto: G(x, y)=x2 +y2 =O

3)

Uma reta:G(x, y) =(x +y)2 =x2 +2xy+y2

4)

Reuniao de duas retas paralelas:

O

O

G(x , y)=(x+y)(x+y + I) =x2 +2xy +y2 +x +y=0

272

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

5)

Reuniao de duas retas concorrentes: G (x, y)

6)

Elipse: G (x, y)

7)

Hiperbole: G (x, y)

8)

Parabola: G (x, y)

9)

Circunferencia: G (x, y)

=

x2 + 2y2 - 1 x2 - y2 -

=

=

x - y2

=

=

=

1

x2

(x+y) (x-y)

-

0

y2

0 =

0

0

x2 + y2 - 1

=

0

Provaremos no § 3 que estes nove casos esgotam as possibilidades. Nos exemplos acima nao hli nenhuma dificuldade em se reconhecer a c6nica, a partir de sua equa�o. Ja nao se pode dizer o mesmo dos seguintes: 35x2 - 2xy + 35y2 - 34x - 34y - 289 3x2 + l 2xy + 8y2 - l 8x - 28y + 11 4x 2 - 4xy + y2 - 2x + y + 15

=

=

0

(eli pse)

0

(hiperbo le)

0

(vazio)

Neste paragrafo o nosso objetivo e reconhecer a c6nica e esboyar seu grafico, conhecida sua equa�o.

Roteiro

1)

Procure eliminar por meio de uma translayao os termos de cado em (I), no §3, capftulo anterior. O(s) ponto(s) centro(s) (de sirnetria) da c6nica! *I.

2)

19

(Ii, k) Ia

grau. Proceda como indi­ indicado(s) se chama(m)

Admitindo que isso possa ser feito, procure eliminar o termo em

uv

atraves de uma

rota�o, como se indica em (II), §3, Capftulo 20. Chega-se. a uma equa�o da forma ' 0, e da( e facil o reconhecimento (**I.

A 't2 + C'w2 + F

) (*

=

Esse nome advem do fato seguinte: se P esta na conica, tambem esta o seu simetrico em rela�ao ao centro.

Basta observar a equ�ao da oonica, quando se translada o sistema inicial: Au2

+

Buv

+

Cv2

+

F1=0.

Se (u, v) a satisfaz, entao ( -u, -v) tambem a satisfaz. Observe que •as p araboias sao as unicas conicas que nao tern centro (apesar de terem um eixo de simetria). Elipses, hiperboles, circunferencias, pontos e reunil>es de duas retas oonoorrentes possuem centro unico. Retas, reunic5es de duas retas pantlelas e vazio tern infinitos centros.

) (**

Note que esta Ultima equ�ao s6 apresenta expoentes pares para t e tamos no §1, ela descreve geometrioo do processo.

um

w,

e portanto, oomo j;! comen­

oonjunto simetrioo em rela�o aos eixos Ot e O�. Eis a{ o significado

----

Se nao pudermos eliminar os termos de

3)

Conicas

273

19 grau, paciencia. Efetuamos uma rota�o para

eliminarmos o termo em xy.

Observa\30 Poi visto, no Exercicio 4 do B'

=

0).

§3

do capitulo anterior,que B2 - 4AC

=

-4A'C' (pois aqui

Usando este fato,ni'o e dificil tirar as seguintes conclus0es,que ajudam a conferir resulta­

dos (daremos mais detalhes no pr6ximo paragrafo).

•

Se B2-4AC
•

Se, B2 - 4AC vazio.

•

=

0,

a conica s6 pode ser: reta,reuniao de duas retas paralelas,parabola, ou

Se 82 - 4AC > 0, trata-se necessariamente de reuniao de duas retas concorrentes, ou de hiperbole . Por causa disso, dizemos que a equa�o (14) e de ripo eliprico quando B2 - 4AC

de. ripo parabOlico quando

B2 - 4AC

0,

=


e de ripo hiperbOlico quando B2 - 4AC >

EXERcfCIOS RESOLVIDOS

Esta fixado um sistema ortogonal

I)

(0,

-+

-+

i , j ).

Esbo�ar o grafico da c6nica de equa�o G (x,y) = 4x2 - 4xy + 7y2+ l 2x +6y - 9

• B2 - 4AC

=

16 - 4.4.7

<0

=

0

(tipo eliptico). As possibilidades sao: vazio, ponto,

circunferencia,elipse. • Fazendo x = u+h, y

=

v+k, e substituindo na equa�ao,obteremos

4u2+4uv+7 v2+{8h-4k+I2)u + {-4h+l4 k+6)v+G(h,k)

=

0

274

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

0

Igualando os coeficientes de u e v a

I

8h - 4k

=

-4h + 14 k

de onde resulta h =

-2,

=

-12

- 6

•

y

v

I I

-1.

=

k

resulta

1

--��-+-����� x 0

��

A equa�o no novo sistema flea

---

24 = 0

4u2 - 4uv + 7v2 -

�

o· 1

• 1

• Vamos agora eliminar o termo uv.

Sendo tg

4

28 = -- =3 4-7

Ujt

'·

,

\

I \ I . I

-

Calculamos

A' e C',

0 •O

que sao rafzes de

4-A

-2

-2

7-A

-- II

• U

I

·

podemos escolher 'l1J no 19 quadrante.

---

2

v

w

-4

-

I

t

. .#

e,...... _

Le

_

- •u

= 0

Resolvendo, encontramos A

=

3

e A

observe que (f6rmula (20) do Capitulo

cos

Como cos Logo

A'

=

28 > 0, 3,

C' =

8.

t2

8

8.

Para decidir quem e

4-7

A'_ C'

w2 3

1

I! urna elipse. Eis o esbo\X) procurado:

e quern e

C',

-3

A1-C1 :.

A' < C'

A equa�o finale (lembre-se 3t2 + 8w2 - 24 = 0, ou seja

+--=

A'

20)

A' - C' < 0

resulta

se altera por rota9ao)

--

28 =

=

'

que o termo independente F

nao

y

,

v

w

t I

' \

/ I I

I

I

I

I

I

· � ,,,. I I -·-

t •

• U

\

2)

Idem para

G (x, y)

=

x2 - 2xy + y2 - 2x - 2y + 1

0.

Resolu?o •

B2

-

4AC

4 - 4

=

0

=

(tipo parab6lico). As possibilidades sao: reta, reuniao de duas

retas paraielas, parabola, ou vazio.

•

Tentemos a elimina¢o dos termos de Fazendo

x

=

u

+ h,

u2 - 2uv

y = v

+ k,

19

grau:

resulta

+ v2 + (-2k + 2h

- 2)u

+ (2k - 2h- 2)v + G {h, k)

0

lgualando os coeficientes de u e v a zero, resulta

{-2k

+ 2h 2k-2h

=

=

2 2

claramente incompatlvel. Logo nao existe centro, o que nos da a certeza de que se trata de uma parabola.

•

Vamos a rota�iio. Como A

=

C, tomemos 8

=

� . . COmo vimos no Ca pitulo 20, temos:

276

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

A'

'=

_!_

(A+B+C)

C'

'=

_.!_

(A-B+C}

2

'

2

=

0 2

: + E sen �

=

D cos

E'

=

-D sen

F'

:::

D

=

rr

2

=-

+ E cos ....!!.... 4

4

(Note que por ser B2 - 4AC

=

y'2 0

0 ja era previsto que OU

=

A'

=

0

OU c' = 0.)

A equa�o flea 2v2 - 2

u+ 1

.../2

que e wna para'bola, que voce na forrna t

=

u-

v2 1

2

y'2

-

y'2

=

ja

0

deve saber desenhar. Escrevendo a ultima equa9io

Jr )

(u -

2

=

0,

pode-se ainda fazer a transla�o

, para obter a equa¢o reduzida w2

=

y'2 t.

Eis a resposta:

y

t

/ "'u

w

.1'

/ /

v� /

'

/

' '

/

'

/

'

'

/

'

'

/ /F /

'

' ��������d�:�o--:::'ilt-�.;,_��==--��....j---=,-+ X / / / / / / / / /

w

=

v,

------

3.

Idem para G (x, y) =x2 - 4xy + 4y2 - 6x + 12y + 8

Conicas

277

0.

Resolu�o •

B2 - 4AC = 16 - 16 =

0

(tipo parabolico). Pode ser reta,reuniao de duas retas parale­

las,parabola,ou v azio . •

Para eliminar os termos de 19 grau, fazemos x = u + h,

y

= v + k, obtendo

u2 - 4uv + 4v2 +(-4k + 2h - 6)u+ (8k - 4h + 12)v +G(h,k) =

lgualando a

0

"J

os coeficientes de u e de v, vem

{

0

..v I I

-4 k + 2h = 6 8k - 4h = -12

0

x

I

+u

-1I

sistema compatfvel, indeterminado (logo nao solu?o,digamos h = 1, k =

-1.

u2 - 4uv + 4v2 •

1

se

o'

trata de parabola). Escolhemos uma

Com isso, a equa¢o flea

=

0

Para eliminar o termo em uv, calculamos -4 4 tg 28 = T="4 = -3 e escolhemos 28 no 19 quadrante. A' e c' sao as rafzes de 1- X

-2

-2

4- X

0

que sao 0 e

5.

' ' Para saber quern e A e quern e C , exarninamos

cos 28

1-4

A1-C1

- -1{ /I ,

/

I

29 I

/

278

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

Como

cos 20

A' = 0,

C' =

>0

pela escolha aci ma, resulta

A'

-

C'

< 0, logo, A ' < C', e daf

5. A equa9ao finale

Sw2

-

I

0

ou seja,

w

1 + --

- vs

Trata-se da reuniao de duas retas paralelas.

y

•

v

I I I I I I

w

\ \ \

/ / /

I

I

\ 0

,, x

Agora repare que este exercicio poderia ter sido resolvido de um modo todo especial, pela fatora�o do polinomio G(x, y): G(x , y) =

x2 - 4xy + 4y2 -6x + 12y + 8 (x-2y)2 -6 (x-2y) + 8 =(x-2y - 2) (x - 2y -4)

Logo

= = G(x,y) 0

1 ::

2y-2 = 0

x- 2y-4 = 0

Conicas

e portanto

279

a c6nica e a reuniao das retas paralelas descritas acima. De qualquer

modo, se voce nao perceber essa possibilidade e fizer a transla¢o, obtendo a equa¢o u2 - 4uv+4v2 -1

= 0, ainda resta a altemativa de

u2 - 4uv+4v2

-

1 =

que implica u - 2v=I ou u - 2v

(u-2v)2

-

I

fatorar:

=0

-1, e novamente temos as duas retas paralelas, desta

=

vez referidas ao Sistema 0' UV. Vale a pena ficar atento a esses casos especiais.

EXERO-CIOS PROPOSfOS

Esta fixado um sistema ortogonal de coordenadas

I.

2.

(0,

� �

i, j ).

Esboyar o grafico da c6nica representada por

a)

G (x,y)=3x2+3y2+2xy

b)

G(x,y)=x2+4y2+3 ...j3 xy

c)

G (x,y)

d)

G(x,y)=16x2-24xy+9y2-38x-34y+71=0

e)

G(x,y)=7x2+5y2+2y'3 xy-(14+2y'3)x-(10+2y'3)y+8+2y'3 =O

f)

G(x,y)=16x2 - 108xy-29y2+260=0

g)

G(x,y)=7x2+6xy- y2+28x+12y+ 28 = 0

x2+4y2+4xy

+

-

6 V2x+ 2 ../2y+2 = 0

I

-

I=0

= 0

Reduza a equa¢o a forma mais simples, atraves de translayao eventual e rota¢o. De o angulo de rotayao. Descreva o conjunto representado. a)

32x2 + 52xy-7y2+ 180

b)

7x2 - 6y'3 xy+13y2 -16=0

=

0

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

280

3.

§3

c)

x2 -Sxy- l ly2 - x + 37y+ 52

d)

4x2-4xy+y2- 8y'Sx-16y'Sy

e)

x2 + y2-2xy-8VT x-8VT Y = 0

f)

8y2+ 6xy- l2x-26y+ 11 = 0

g)

17x2 -12xy+8y2

h)

19x2 +6xy+ l ly2+ 38x+6y+29

=

=

0

=

0

0 0

Reconhe� as oonicas dadas a seguir: a)

3x2+ 4xy+y2 - 2x-1 = 0

b)

;r.2-6xy - 7y2+ I Ox -30y+23

c)

Sx2+ 4xy+y2-6x - 2y+2

d)

2x2+ 3y2 -8x+ 6y-7 = 0

e)

4x2 - 4xy+y2-6x+ 3y+2

f)

x2 -2xy+y2 - I Ox-6y+25

g)

x2 +4y2+ 4xy+2x+ 4y+ 1

h)

16x2+16y2 -16x+8y-59 = 0

=

=

=

=

0

0

0

=

0

0

aassifica�o das oonicas Como vimos no paragrafo anterior, o processo para esbo�ar o grafico de uma oonica e em

getal laborioso. Porem, se o interesse for apenas o de reconhecer a oonica, vimos que ha alguns "atalhos" que encurtam o caminho, como por exemplo a analise do sinal de 82 -4AC. Vamos agora sistematizar esses procedimentos para ver como se pode reconhecer a oonica de um modo relativamente simples, atraves da analise dos coeficientes de sua equa�o.

Fixemos

� 2 i, j) em E • Sendo

�

um sistema ortogonal de coordenadas (0,

G(x, y )

2

2

2 2 2 (A +B +C -::/=

= Ax +Bxy +Cy +Dx +Ey +F = 0

0)

(15)

a equa�o de uma oonica, associamos a ela a matriz (simetrica).

1

_

A

2

_1

M=

2 _l_

2

B

c

D

_

e os nfuneros

1

_

A

D.1 = A+C

,

D. 2 =

_1 2

1

2

2

1

_

B

2

1

_

2 E

E

(16)

F

B =

B

D

B

2

-4AC 4

c

, D.3 = detM

(17)

Considere a mudan� de coordenadas dada por

l

x =h+u cos 8

-

v sen 8

(18) y

=

k+u sen 8 + v cos 8

que corresponde a uma transla�o seguida de uma rota�o (roto-transla�o; observe que o novo Sistema de coordenadas tambem e ortogonal).

y u

I I I I

--+-------------0 x

___

l,_ h

282

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Substituindo ( 18) em ( 15) resulta uma equa¢o da forma g(u,v)=au2 +buv+cv2+du+ev+f = 0 a

qual fica associada uma matriz

m

a

b/2

d/2

b/2

c

e/2

d/2

e/2

f

e correspondentes n umeros b2 - 4ac 4

Proposi?o

1

Valem as igualdades li 1

=

t:::,,1 , li 2

=

/::,,2, li 3

=

/::,,3 (isso quer dizer que os numeros

!:::,,] , � e /::,3, sao invariantes por roto-transla�es, por isso sao chamados invariantes ortogonais da c6nica dada).

Demonstra?o

Para as duas primeiras igualdades, veja os Exercicios 4 e 5 do §3, Capitulo 20.

Quanto a terceira, observe inicialmente que o 19 membro de (15) pode ser colocado sob forma matricial (fa�a OS calculos para constatar isso):

G (x,

y)

•

[x y I] M

[ �]

[

]

Alem di$o, usando (18) vemos, ap6s um calculo matricial simples, que

T =

cos 0 -sen 0 h sen 0

cos 0 k

0

0

Transpondo, obtemos ainda [x y 1 ] = [ u v 1] rt

1

Ci>nicas

------

Substituindo na expresslo de G (x, g (u, v)

[u

=

y)

obtemos

v

1] (rt Mr)

283

[ l u

V

Mas, a exemplo de G (x,y), podemos escrever

[ l u

g (u, v)

=

[u

v

V

m

1]

Comparando as duas ultimas igualdades vem m

=

r tMr

de onde resulta

li 3

ja que det

r

det r

t

=

=

det M

=

det

rt

.

det M . det r

=

det M

=

!:::i.3

1.

Observa�o Uma altemativa para demonstrar a invarian9a de

!:::i.2, voce pode ver no Exercicio 2 .

Para a pr6xima Proposi9ao, serci util o lema seguinte, cuja demonstra�o e imediata e sera deixada como exercicio.

Seja g (u,v)

Lema

a)

cv2 +du+ev+f

Se c * 0 e d * 0, v

b)

=

=

Y -

e

2c

entao a mudan9a de variaveis (transla�o)

u

=

f

X-d +

e2 4cd'

, transforma g(u,v) em cY2 +dX.

Se c #:- O e d

=

0, entao a mudan9a de variaveis (transla9ao) v

forma g(u, v) em cY2 +q (onde q

=

f

e2

-

4c )

.

=

Y

-

�

2

(u

=

X}

trans-

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

284

As translayoes acima nao "cairam do ceu". sao motivadas pela conhecida tecnica

Observa�o

de completayao de quadrados: cv2+ev=c(v2+...!_v) = c [ v2+2. �v+(..!...)2-(�)2] 2c c 2c 2c

=

Considere a c6nica dada por( 15).

Proposi�o 2

a)

e2 e2 e e )2 - 2 c [(v+ 2C)2 -4?] = c(v+ 4c 2c

Se � -=I= 0, existe um sistema de coordenadas ortogonal, em rela¢o ao qual a equayao da c6nica tern a forma pX2+ qY2+ r = 0

11

Se � b1)

=

0, entao

se /::.3 -=I= 0, existe um sistema ortogonal de .coordenadas, em rela¢o ao qual a c6nica tern equayao da forma pY2+qX = 0

b 2)

(p2+ q2 -=I= O)

(p * 0,

q * 0)

se /::,3 0, existe um sistema ortogonal de coordenadas, em rela¢o ao qual a c6nica tern equayao da forma =

pY2

+

q= 0

(p -=I= O)

Demonstra�o

- 4AC - 82 4 sendo nao-nulo, podemos fazer uma trans layao para eliminar os termos de 19 grau; como sempre e

a) Decorre do trabalho desenvolvido no §

3

do Capitulo 20. De fato,

A D2

possivel fazer uma rotayao para eliminar o termo misto de 29 grau, obtemos ap6s essa roto­ trans layao um sistema ortogonal satisfazendo as condiyi)es do enunciado. b) Suponhamos 1::.2 0. Efetuando uma rotayao para eliminar o termo misto de 29 grau, obtemos um sistema de coordenadas ortogonal em relayao ao qual a equa¢o da c6nica tern a forma =

au2+ cv2+du+ev+f = 0

(19)

Conicas

285

onde a e c sao raizes de A- X

8/2

8/2

C- X

=

0.

Agor a

m=

a

0

d/2

0

c

e/2

d/2

e/2

f

e pela Proposi¢o 1 temos

b.1

De b.-i

=

a+ c

, b.2

ac ,

=

b.3 = a c f -

cd2

4

-

ae2 -4

(20)

0 segue que a 0 ou c = 0, nao podendo ser ambos nulos, senao a (15) nao seria de 29 grau (veja o Exercicio 4b, §3 do Capitulo 20). Suponhamos a 0 (o outro caso e analogo e fica como exercicio). Entao, (20) fornece =

=

=

cd2

(19)

se reduz a cv2 +du+ ev+ f =

bi) Se b.3 =F anterior, aplicada

0, (21) nos a (22), tomando

b2) Se b.3 =

0, (21)

Lema, tomando p = c.

Corohirio (i)

e c =FO

(21)

4

e

equa¢o

(22)

0

assegura que d =F p= c

nos da d

e

=

0,

q = d.

0

e o resultado segue da parte a) do Lema

e o resultado segue agora da parte b) do referido

Seja n um subconjunto de E2•

n e uma c6nica se e somente se n e de um dos seguintes tipos:

286

(ii)

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

I)

vazio

2)

conjunto de um unico ponto

3)

reta

4)

reuniao de duas retas paralelas

5)

reuniao de duas retas concorrentes

6)

elipse

7)

parabola

8)

hiperbole

9)

circunferencia

Se n =I= <J>, entao t:..3

=

0

se e somente se

n

e de um dos tipos

2), 3), 4), 5) do

item (i).

Demonstra�o (i)

Va'.mos estudar o caso

/::,,2 =I= 0, deixando o outro caso co mo exercicio. Pela Proposi¢o 2,

existe um sistema de coordenadas em rela¢o ao qua! a equa¢o da c6nica tern a forma pX2 + qY2 + r I)

Suponhamos r Ia)

=

0

+

q2

=I= 0)

(23)

=I= 0.

Se p, q, r tern mesmo Sinai, entao

lb) Se

(p2

n

=

<J>.

p, q, r nao tern mesmo sinal, entao

(23)

pode representar uma elipse, uma cir­

cunferencia o u uma hiperbole. II)

Suponhamos

r

=

0.

De

pX2 + qY2 Ila) Se

(23) segue

=

0

p e q tern mesmo Sinai, entao

(p2 + q2 pX2

=

qY2

=

=I= 0) 0.

Logo,

(24) n

e formado por

um

unico ponto. lib)

Se p e q tern sinais contrarios, entao (24) representa a reuniao de duas retas

ooncorrentes. (ii)

Deixamos oomo exercicio , lembrando que pela Proposi¢o I e por

(23)

tem-se

/::,,3

=

p q r.

-------

Conicas

287

Observa�o

0 conjunto vazio esta "fora do alcance" do item (ii); as equa�es x2 + 1 representam, ambas, o conjunto vazio, mas para a primeira l:!.3

=

=

0 e para

0 e x2 + y2 + 1 a segunda, l:!.3

=

=

0

1.

Vamos agora ver como se aplicam esses resultados.

EXERdCIOS RESOLVIDOS -+-+

Esta fixado um sistema ortogonal (0, i, j ). 1.

Reconhe�a a c6nica de equa�o 4x2 - 4xy + 7y2 + 12x + 6y

-

9

0

(veja o Exercicio Resolvido n9 1, §2).

Resolu�o Temos 4

-2

6

l:!.1

3

l:!.2

-9

l:!,.3

=

11

' '

M

=

-

2

7

' '

:

(-2). (-2) = 24 * 0

=

4 .7

=

det M = -576 * 0

-

____________ J

6

3

Como l:!.2 * 0, existe, pela Proposi�o 2, um sistema de coordenadas ortogonal em rela�o ao qual a equa�o da c6nica e da forma pX2 +qY2 + r =O

m=

p

0

0

0

q

0

0

0

r

p+q

288

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

{

Pela Proposi�o 1 devemos ter pqr =-576 pq =24 p+q=ll p > 0,

de onde resulta facilmente

cunferencia. Das igualdades pq

r < 0.

q > 0,

Trata-se portanto de elipse ou cir­

24. e p + q = 11 oonclui-se imediatamente que p * q.

=

Logo, a c6nica nao e circunferencia. Trata-se, pois, de uma elipse.

Observa?o

Caso se queira a equa?o da elipse na forma reduzida, basta resolver o sistema acima.

Obtem-se

3X2 + 8Y2

-

p=

3,

q

=

8 (OU

p

=

8,

q=

e r = - 24. A equa¢o e, pois,

24= 0 , ou seja,

y2 3

x2 8

--+--

=

y2 x2 - +- 3 8

A escolha da outra solu¢o fomece -

a medida

3)

8

=

1.

Este metodo nifo perrnite obter

do angulo de rota¢o, de modo que nao temos elementos para esboyar o

gnifico da c6nica.

2.

Idem para

x2

-

2xy + y2

-

2x - 2y + 1

0 (veja o Exercicio Resolvido n9 2, §2).

Seguindo os passos da resolu¢o do exercicio anterior, temos

-

M

1

-1

-

1

-1

-

/:::,.1

=

2

1

-1

Pela P roposiyao 2, existe um sistema ortogonal de coordenadas em rela¢o ao qual a c6nica e dada por uma equayao da forma pY2 +qX= 0.

Sendo

289

Conicas

m=

0

0

q/2

0

p

0

c52

q/2

0

0

c5 3

c51 = p

=

0

=

-

pq 4

2

a Proposiyao 1 n os leva a p

=

0

=

2 0

pq2 = -4 4 ou seja, p= 2, q

=

y'8, ou p

=

2, q= -y'B. Trata-se, pois, de uma parabola.

Observa\30

Num certo sistema de coordenadas, a parabola tern por equayao 2X2 + y'8 Y Num outro, 2x2 -VB Y

=

0.

.

=

0.

Novamente, faltam-nos subsidios para determinar (} e

esbo\:ar a parabola. 3.

Idem para x2 - 4xy + 4y2 - 6x + 12y + 8

=

0

(veja o Exercicio Resolvido n9 3, §2).

Resolu\30

Temos -2

-3

-2

4

6

� =

0

-3

6

8

f:::.3

0

M=

!:::., = 5

=

e portanto em relayao a um sistema ortogonal de coordenadas, a c6nica tern equa\:aO da forma pY2 + q

=

0.

Neste caso

290

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

0

0

0

0

p

0

0

0

q

m

p

e o sistema que se obtem igualando os invariantes s6 fornece p equayao pY2 + q

=

=

5.

Mas, observando a

0, vemos que s6 pode representar: reta, reuniao de duas retas para­

lelas, ou o vazio. Determinemos entao a interse�ao da conica com os eixos Ox e Oy. Fazendo x

=

0

na

equayao original, resulta 4y2 + l 2y + 8

=

0 e daf y

=

-2 ou y

=

-1.

Fica claro que se trata da reuniao de duas retas paralelas.

4.

Idem para x2 - 2xy + y2 + x - y + 1

=

0.

Resolu�ao Te mos

-

M

1/2

l

-1

!;;.!

=

2

-1/2

1/2

-1/2

e a situa�ao e a mesma do exercfcio anterior. Determinemos a interseyao da oonica com Oy. Fazend9 x

=

0 na equayao dada vem y2 - y + I

=

0, que nao tern rafzes reais;

logo, a oonica nao intercepta Oy. Agora, com Ox.

Fazendo

y

=

0 na equayao dada resulta x2 + x + I

0, que

tambem nao possui rafzes reais.

Conclusao: Trata-se do conj unto vazio.

� EXERO OOSPROPOSTOS -+ -+

Esta fixado um sistema ortogonal (0, i , j ).

l.

Fa�a o reconhecimento das oonicas dadas nos exercfcios propostos no §2, usando os metodos deste paragrafo.

Conicas

2.

a)

291

Mostre que a parte qu adratica de (15) pode ser escrita matricialmente sob a forma

on de

b)

Mostre que

(I 8) pode ser

posta sob a forma

Q

c)

Combinando

a) e b)

onde

R

=

[

cos 8 - sen 8 sen 8

cos8

]

h

,

Q

=

[ l k

e procedendo como na demonstrayao da invarianrra de

prove a invarianrra de !J.2.

!J.3,

CAPITUW 22

SUPERFiCIES

-+

-+ -+

Neste capltulo esta fixado um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas (0, i, j', k).

§I

Superficie esferica

1.1

Equa�o reduzida e equa�o geral Dados um ponto C E E3 e

nfunero real r > 0, a superflcie esferica S de centro C

um

e raio r e o lugar geometrico dos pontos de E3 que distam r do ponto C. Assim, pondo P

{x, y, z)

=

C

temos PE S se e somente se d (P, C)

I A equa9ao

=

=

(xo, Yo, z o) r, isto e,

(x-xo)2 +(Y-Yo)2 +(z- z0)2

( 1) e chamada equa(iio reduzida de S. Assim, por exemplo, (x + I )2 + (y-2)2 + z2

=

4

e a equa9ao reduzida de uma superficie esferica de centro C 292

(1)

=

(-1, 2, 0) e raio r

=

.J4

=

2.

-------

Superffcies

293

Desenvolvendo os quadrados em (I), obtemos x2 +y2 + z2 - 2x0x - 2y0y - 2z0z +x� +y� + z� - r2

=

0

(2)

que e uma equa¢o da forma

x2 +y2 + z2 +ax+by + cz +d

=

(3)

0

com a, b, c, d E R, chamada equariio geral de S. Surgem imediatamente duas ques toos:

I ii)

dada uma equa¢o da forma (3), como decidir se ela e equa¢o geral de alguma superffcie

esferica S?

2�)

em caso afirmativo, como obter, a partir da equa�o, as coordenadas do centro e o raio de S?

Para responde-las, basta completar os quadrados e colocar (3) sob a forma (I); se o 29

membro for negativo, o lugar geometrico e vazio; se for nulo, ele se reduz a um ponto; e se for positivo, trata-se de uma superficie esferica cujo raio e a raiz quadrada desse 29 membro e cujo centro se obtem observando o 19 membro. Assim:

x2+ax

=

(x2+ax+

a2 -

4

a2 a a2 ) --= (x+-)2 - 4

4

2

b2 y2+by= (y2 +by+ 4) z2+ CZ

(z2 t CZ+

Substituindo em (3),

(x+ donde

c2 -

4

)

c2

-=

4

c

c2

2

4

(z+ -)2

vem:

; )2 +(y + � )2 +(z + � )2 +d -+ (a2+b2 +c2)

0

294

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Entao,

(3) e a

equa¢o geral de uma superficie esferica se e somente se a2 + b2 + c2

- 4d > 0

(4)

e nesse caso, o centro e

a

(-

c

e

0

(Sa)

2'

=

raio e

r

Ja2 +b2 +c2 - 4d

(Sb)

2

=

Observa�es I.

Se a 2 + b2 + c2

- 4d

o lugar geometrico e

2.

=

{C}.

Na obten¢o da equa�o

0, a unica solu�o de (3) e o ponto C (veja (Sa)) e portanto Se a2 +b2 + c2

(3),

- 4d < 0, o luga rgeometrico e vazio.

notamos que os coeficientes a, b e c dependem exclusiva­

mente das coordenadas do centro de S. 0 raio r influi apenas no termo independente d (compare com (2)). Segue-se dal que a equa¢o x2 + y2 + z2 +ax+by+ cz +A

=

onde X e um parametro real, sujeito a condii;:ao

x<

(veja

a2 + b2 + c2

4

(4)), representa um feixe de superflcies

esfericas concentricas, com centro

c

=

(

a

--

2

c

- -) 2

0

(6)

EXERC(CIOS RESOLVIDOS

1.

De a equaiyao geral da superficie esferica de centro

(1, -1, 3)

e raio

4.

Resolu�o

Usando

temos:

(1)

(x - 1)2

+

(y + 1)2 + (z - 3)2

16.

=

Eliminando os parenteses e passando para a forma

x2 + y2 + z2 - 2x + 2y - 6z - 5 2.

Verifique se a equaiyao

=

(3),

o btemos a equaiyao geral procurada:

0.

x2 + y 2 + z2 - 4x - 2y + 8z + 12

=

0 e a equaiyao de uma super­

ficie esferica. Caso seja, de o centro e o raio.

Resolu�o Completemos os quadrados:

x2 - 4x

=

4 x2 - 2. ""2.·

x

=

x2 - 2. 2x + 22 - 22

=

(x - 2)2 - 4 (_/

z2 + 8z

=

z2 + 2.

8 2·

z

=

z2 + 2. 4. z

=

z 2 + 2. 4. z + 42 - 42

=

(z + 4)2 - 16

Substituindo na equaiyao dada, resulta

(x - 2)2 - 4 + (y - I )2 - I + ( z + 4)2 - 16 + 12 (x - 2)2 + (y - 1)2 + (z + 4)2

=

9

=

=

32

Po rtanto, trata-se de uma superffcie esferica de centro C

3.

Idem para

x2 + y2 + z2 - v'3x - 4y + 8

=

0

0.

=

(2,

I,

-4)

e raio r

=

3.

296

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

------

Resoluyao Completando quadrados:

2 x -

V3x

=

v;

x2 - 2.

y2 - 4y = y2 - 2.

2.

y

=

.

x

+(

v;

y2 - 2.

2.

)2

-

( v; )2

y +22 - 22

=

(y - 2)2

- 4

Substituindo na equayao dada vem que

(x--Vf ) 2 + (y-2)2 2

3 +z 2 - - -4+ 4

8

=

0

ou seja

. . '3

/

(x- _v- ) 2

+

(y - 2)2

13 +z2 + 4

=

Vemos claramente que nao existem

0 x,

y, z que satisfayam essa equa9ao. Logo, a equa9ao

dada nao representa uma superficie esferica, mas sim o conjunto vazio . 4.

Ache a equa9ao geral da superffcie esferica que passa pelos pontos (O,

(0, 2, 0) , (0, 0, 3). Resoluyao A equa9ao procurada sera da forma x2 + y2 + z 2 + ax +by+ cz + d

=

0

Impondo que os pontos dados satisfa9am essa equa9ao resulta

02 + 02 + 02

+ a. 0 + b.O +c.0 +d

I2

+ a.I + b.O + c.0 + d

+02 +

02 + 22

02

+02 + a.O + b.2 + c.0 + d

02 + 02 + 32 +

a.O + b.O + c.3 + d

=

=

=

=

0 0

0 0

0, 0), (I, 0, 0),

__ __

ou seja

d

Superffcies

297

0

I+ a+d=O 4+2b +d= 0 9 + 3c +d= 0

Resolvendo, vem a= -1,

b

c= -3.

-2,

Portanto, teremos por resposta x2 +y2 +z2 - x - 2y - 3z

5.

=

o(*)

Ache o raio da superficie esferica que passa pelos pontos (-2, I,v"26

),(1, 2, -4),(2,2, 3)

e cujo centro esta no piano Oxy.

Resolu�lio Como queremos o raio r, escrevemos a equayao procurada na forma (x - m)2 + (y - n)2 + (z - p)2 Como C

r2

=

(m, n, p) esta no piano Oxy, temos p

=

Levando isto

=

0.

a equayao acima, e impondo que os pontos dados estejam na superficie,vem

que (-2-m)2 +(l-n)2 +(y'26)2

r2

(I - m)2 + (2 - n)2 + (-4)2 (2 - m)2 + (2 - n)2 + 32

(*)

Em princ{pio, deverfamos verificar verificar se

OS

se

(a) r2

esta e equa�o de uma superficie esferica, o que e equivalente a

pontos dados nao sao coplanares. Mas isto nao e necessario, pois 0 sistema obtido admitiu

solu�o unica (veja o Exercicio 12).

298

Geometria Analitica: um tratamento vetoria/

Resolvendo o sistema acima, obtemos m = -2, n

6.

De a equarrao geral da superficie esffrica S:x2 +y2 +z2 -2x+3y-z

=

0

=

1, e

S1,

r=

..J26.

concentrica <;om a superficie esferica

e que passa pelo ponto P=

(1, 1,0).

Resolurrao Por ( 6), temos: S1 : x2 +y2 + z2 -2x + 3y - z +A

=

As coordenadas de P satisfazem essa equarrao, logo X = - 3. Entao 51 : x2 + y2 + z2 - 2x + 3y - z - 3

7.

Localize os pontos M

=

(1,

2,

1)1

N =

superffcie esferica S : x2 + y2 + z2 - 2x

+

0 1

+

1

+

0

e

Q =

-

2 + 3

-

0

+ X

=

0,donde

0

(-1, -1, O) 4y -z -1=

(1, 0, -1)

em relarrao

a

0.

Resolurrao Devemos comparar as distfmcias dos pontos dados ao centro de S, com o raio de S. Um jeito rapido de se fazer isso e notar inicialmente que o primeiro membro da equa9ao geral (3) nada mais e que d {P, C)2 - r2

(releia a obten9ao de (3) a partir de

(1), passando

por (2)). Assim, para localizar um ponto P em rela9ao a uma superffcie esffaica S, basta substituir suas coordenadas no

19

membro da equa9ao geral de S. Se o resultado obtido

for negativo, Pe interior a S; se for positivo, Pe exterior a S; se for nulo, PE S. Resolvamos entao o exercfcio: M

N

I +4+I :

-

-2 +8 -l -I

I + I + 0 +2 -4 -0

Q :l+O+l-2+1-l

-

10

> 0

l = -1 <

0

0

QE S

M e exterior a S

N

e interior a S

EXERCiCIOS PROPOSTOS

1.

2.

Ache uma equa9iio d a superffcie esferica d e centro C e raio r nos casos

2

a) C

=

( 1 ,- 1 ,-3)

r

=

b)

c

=

(O, 0, 0)

r

=

c) C

=

(v'2, 1,-3)

r

=

y'2

d) c

=

(18, -17,- 1 )

r

=

50

e) C

=

(O, 1 ,0)

r

=

4

1

Verifique se as equa9oes dadas sao equa9oes de superficies esfericas. Caso afirmativo, de o centro e o raio.

a)

3.

25

=

b)

x2,}· y2 + z2 - 4x + 6y + 2z - 2

c)

x2 + y2 + z2 - 2;it - 4y + 10

d)

x2 + y2 + z2 - 2x + 2y

e)

x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z + 1 6

=

=

=

0

0

0 0

=

f)

2x2 + 2y2 + 2z2 - 6x + 2y - 4z + 7

g)

4x2 + 4y2 + 4z2 - 8x - 8y - 8z + 10

h)

x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 15

i)

x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 5

0

=

0

0

=

=

=

0

Ache uma equa9ao da superficie esferica que passa pelos pontos {l,

( 4.

(x - 2)2 + (y + 6)2 + z2

1

1

0, O), (0, 1, 0),

v'2

) (0,0, 1 ). 2·2·-2- ,

Ache uma equa9ao da superficie esferica de centro {l,

1, 2)

que passa pelo ponto {I, I,

3).

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

300

5.

Os pontos A = (2, __:3, -5) e

B=

(4, 1, -3) sao extremidades de um diiimetro de uma superficie esferica. Ache uma sua equa9ao.

6.

Ache uma equa9ao da superficie esferica que passa pelos pontos (0, 0, 1) , {l, 0, 0), (0, 1, O) e cujo centro esta no piano x+y - z= 0.

7.

Ache uma equa9ao da superficie esferica que tern centro na reta r pelos pontos A= (6, -1, 3) e

8.

De

B=

:

2z 3 { xy== z1

e passa

(0, 7, 5).

equa9oes na forma simetrica da reta perpendicular ao piano 10 x - 2 y + 4 z - 1 = 0

e que contem um diiimetro da superficie esferica x2+y2+z2 +2x - 6y+z - l l = 0. 9.

Calcule a distiincia do ponto P = (1,

-1,

3)

a

superficie esferica

S : x2+y2+z2 - 6x+4 y - 1Oz - 62 = 0 (isto e, a distancia minima de P aos pontos de S).

10.

Mostre que, se

k<

('

0, a equa9ao

x2+y2+z2+ax + by+cz+k

=

0

representa uma superficie esferica, quaisquer que sejam a, b, c reais.

11.

Mostre que para todo E IR e para todo

£J E R,

o ponto de coordenadas x= a sen cos £J,

y = a sen sen £J, z = a cos pertence a superffcie esferica de centro na origem e raio a > 0. Fa9a uma figura e descubra o que sao e 8. Voce ja ouviu falar em coordenadas esfericas?

12.

Seja p (x, y, z) = x2+y2+z2+ax+by+cz+d. Sejam Ai = (x , Y • z ), i= l, 2, 3, 4. i i i Prove que sao equivalentes as afirma90es: (a) A1, A , A3, A4 nao sa-o coplanares. 2 (b)

sistema p (xi, Yi· zi) = 0, i = 1, 2, (mica.

0

3, 4,

nas inc6gnitas a, b, c, d, tern solu9ao

( c) Existe uma (mica superflcie esferica que passa por A1, Ai, A3, A4.

-----

13.

Superffcies

301

Mostre que os lugares geometricos descritos abaixo sao superficies esfericas e determine seus centros e seus raios: a)

l.g. dos pontos cuja distancia a origem e o dobro de sua distancia a

b)

l.g. dos pontos cujas distancias a B

c)

l.g. dos pontos tais que a soma dos quadrados de suas distancias aos eixos coordenados e

d)

'

15.

:

x-y+4

rr : x + y 2

= 0,

l .g. dos pontos

X tais que

-

----

2 = 0

PX l

----

Localize os pontos

-1,

A= (2, 2y -

3)

2z + 7

e B

e

rr3 : z + l

Dados: P

QX.

representa a superficie esferica que tern P 1P

2

2: 3.

=

o

(1, 1,

distancias aos planos

e

20.

O)

e

Q =

(O,

l,

0).

como diametro.

(3,

-1,

0)

em rela�o a superficie esferica

= 0.

De uma equa9ao da superffcie esferica de centro

l

(2, 3,

-1), que determina sobre a reta

Sx - 4y + 3z + 20 = 0 3x - 4y + z -

uma corda de comprimento

17.

estao na razao

=(3, -3, 3)

30.

S: x2 + y2 + z2 - 6x +

16.

e D

l.g. dos pontos tais que a soma dos quadrados de suas

7r1

e)

= (-2, 2, -2)

A= (IO, 0, O).

8

= 0

16.

Determine o diametro da superficie esferica x2 + y2 + z2 + cular ao plano x - y

-

2 = 0.

2x - 2y

=

O que e perpendi­

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

302

1.2

Plano tangente Seja S wna superficie esferica de centro C e

raio r.

Se tr e um plano tangente a S no ponto

T E S (ponto de tangencia), entao tr n S se reduz a um (mico ponto, precisamente o ponto T. Alem disso, o segmento CT e perpendicular a isso mesmo, d(C,

)

tr

=

tr,

e por

r. Cada um desses tres fatos,

7rnS={T}

(7)

CT l tr, TE S

(8)

d (C,

(9)

tr)

=r

caracteriza a tangencia de

1T

e S.

EXERCICIOS RESOLVIDOS

1.

Ache uma equa9lio geral do plano S : x2 +y2 +z2 - 2x - I = 0

tr,

tangente a superficie esferica

pelo ponto

T = (1, -1, 1).

Observe inicialmente que T E S, sendo portanto o ponto de tangencia. Sabemos que C = (1, 0, O) e o centro de S. normal a Como

2.

tr.

TE

Dai, tr

7T,

:

--+

Logo, por (8), temos que CT

=

temos -(-1) + 1 + d =0 donde d = -2. Assim

Escreva uma equa9ao geral do plano

s:

!

(0, -1, 1) e um vetor

- y+ z+d = 0.

tr,

que contem a reta

x+y+z =O 2x - 6y+3z -

49

=0

e e tangente a superficie esferica s de centro na origem e raio 7.

tr:

-y + z

-

2

=

0.

Resolu�o

rr

pertence ao feixe de pianos

por s, logo

rr : a:

(x + y + z) + /3 (2x -6y + 3z -49)=0

(a:2 + f * O)

ou seja, rr :

(a:+ 2/3)x + (et

-

6/3)y + (et+ 3/3)z-49/3=0

('Y)

Entll'o, impondo que d(C, 11')= r, onde C= (O, 0, 0) e r=7, obtemos

-4961 ---:;:::==::::;:===== ::: 1 ====== = =�= 7 v' (a+ 213)2 + (et-613)2 + (a+ 313)2 Quadrando e simplificando, vem 3et2 - 2et/3 et =

0

OU

et

:::

2

J

/3

=

0, donde et (3a - 213)

=

0, e portanto

•

Substituindo em ('Y) obtemos duas solui:0es: � rr

3.

: 2x - 6y + 3z -49= 0

e

1T:

8x -16y + l l z - 147=0

Obtenha equa�oes gerais dos pianos tangentes a superffcie esferica S : x 2 + y2 + z2 + 2x + 2y - 1=0 que sao paralelos ao plano

1T1 :

x - y - 2z - 2=0.

Resolu�o Chamemos 1T ao plano procurado. Entlo, 7r//7T1

�7T:x-y-2z+d=O.

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

304

Sendo C

=

(-1, - 1, 0) o centro de S e r

=

V3"

o seu raio, obtemos de (9):

1-1+1-2. o + d I

V6 ou Id I=

Vi8,

donde d =

±y'18.

As respostas sao, pois x -y - 2z + v'18

0

x -y-2z - v'18 =

e

0.

EXERC(CIOS PROPOSTOS 1.

Ache uma equa�o geral do plano tangente a S no ponto T, nos casos: S : x2 +y2 +z2 -2x- 1

a) T

b)

T

=

(0, "95,

=

0

S : x2 +y2 +z2 - 2x-4z -

O)

95

=

0 ('

2.

Ache OS pianos tangentes a superficie esferica (x - 1)2 + (y - 2)2 + z2 paralelos ao piano 2x +y - z

=

Ache OS pianos tangentes a superficie esferica x2 + y2 + z2

! 4.

1

que contem a reta

x+y+z=O x-y-z-2 =

0

Uma corda PQ da superffcie esferica S: x2 +y2 +z2 .,... 4x +2y - 8z + 10 =

na reta

5.

1 que sao

0. '··

3.

=

j

0

esta contida

x = 2z - I Determine os pianos tangente em P e Q. y = 1-z

Prove que se uma superficie esferica de centro C

=

(a, b, c) e tangente aos tres planos

coordenados, entao I a I = Ib I = t c I. 6.

Mostre que o plano tangente a S : x2 + y2 + z2 = r2 tem equa�ao x1x+y1y+z1z

=

r2.

no ponto P1 = (x1, y1, zi) E S

_____

7.

Superffcies

305

De equa�es gerais dos pianos tangentes A superficie esferica (x- 1)2 + y2 + z2 = 6, per­

x 1 pendiculares a reta -· - - y = z - 1. 2 -

8.

Obtenha equayOes gerais dos pianos que contem a reta t e sao tangentes A superficie esferica

S nos casos:

a) t

x+6

: 2

- =

y+3

=

z+ 1

S: x2 + y2 + z2 - 4x+2y - 4z+ 4

b) t: X

=

9.

0

(4, I, 1) + A(4, 3, 1).

S : x2 +y2 + z2 I-:>

=

-

2x+6y+2z + 8 = 0

Interprete os resultados.

Ache uma equa�o da superficie esferica de centro C

=

(3, 2,

-2),

tangente ao piano

x+3y - 2z +1 = 0. 10.

De uma equayao da superficie esferica tangente aos tres pianos coordenados, situada no

19 octante, com centro no piano 3x+2y - z 11.

8 = 0.

De uma equayao da superficie esferica tangente aos pianos

1T1

1T

e

: x = 2z + 8

cujo centro pertence cl reta 12.

-

x+ 2

=

y

=

2

: 2x - z+5

=

0,

0.

De uma equa�o da superficie esferica inscrita no tetraedro determinado pelos pianos:

1T1 : Sx - 2y+14z+ 11 1T3 : x + 2y+2z+7

=

=

1T

0,

2

: l lx

1T4 : x

0

-

-

2y+ IOz+14

2y+2z +7

=

=

0

0

13.

De uma equayao da superficie esferica circunscrita ao tetraedro do exercicio anterior.

14.

De uma equayao da superficie esferica que passa pelo ponto A= (-1, 6, -3) e tangencia

o piano 4x + 4y+7z - 96

=

0 no ponto T

=

(7, 3, 8).

306

15.

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

De uma equayao da superficie esferica tangente aos planos x = 0 e sendo T

=

3x + y + z - 2

=

0,

(O, 2, - 1) um dos pontos de tangencia. 0 e 6x-3y-2z +63

0eT=

16.

Idem,sendo os planos 6x-3y-2z

17 �

Calcule o raio de uma superficie esferica tangente aos tres pianos coordenados, que passa pelo ponto

18.

(I , - 1,

- 35

=

=

(5, - 1, - 1).

2).

Calcule a para que o plano x + y + z = a seja tangente a x2 + y2 +z2 =

12,e determine

o ponto de tangencia.

19.

De uma condiyao sobre a, b, c, d para que o plano ax +by + cz + d a superficie esferica x2 + y2 +z2 = r2

20.

•

x2 + y2 +z2

=

6.

De uma equayao da superficie esferica de centro

tangente ao eixo Ox. ( uma

(6, 3, -4),

reta t, tangente a uma superficie esferica S, satisfaz condiyoes analogas a com t em lugar de

22.

Obtenha a equayao reduzida da superficie esferica S1

t

l

(7),

(9),

,

concentrica com S e tangente a

x-y+z= 0 e 2x-y-z =

S1 : x2 + y2 +z2· -

0.

6y-8z+ 16

3

Obtenha a equayao geral da superficie esferica com centro na reta PQ, que tangencia os eixos Ox e Oy, sendo que as tres coordenadas do centro silo negativas. Dados: P e Q=

24.

( 8), e

)

tr .

reta t. Dados:

23.

0 seja tangente

Calcule o maximo e o minimo valores atingidos pela expressao x - 2y + z sobre a super­ ficie

2 1.

=

=

(I, 3, - 1)

(-1,0,-2).

Obtenha equayoes gerais dos planos que passam pelos pontos P =

( 1,

1,

- 1)

e Q

=

(I, 2, 1)

e tangenciam a superficie esferica x2 +y2 +z2 -4x - 2y-4z +8 = 0.

1.3

Plano st?cante. Seja

S

Equ�oes de uma circunferencia

uma superficie esferica de centro C e raio r. Um plano

somente se d (C,tr) < r. Nesse caso,a interseyao Sn tr,

que pode ser dada pelo sistema de equayoes

tr

tr

e secante a S se e

e uma circunferenciaS. contida no piano

_______

&:

!

x

2

2

+y

2

+z

+ ax + by + cz + d

mx + ny + pz + q

=

Superffcies

307

0

0

=

Para se detenninar o centro P e o raio p da circunferencia &, basta observar que P e a proje�ao ortogonal de C sobre n e que (veja na figura o triangulo retangulo CPA) 2 r

=

p

2

+ d(C, n)

2

(

OU

2

=

2 2 p + d(P, q

Observa�o

Dada uma circunferencia

&,

contida em um

piano n, existe uma infinidade de superficies esfericas que interceptam n

em & . A "menor" delas (isto e,

a de menor raio) tern o mesmo centro e o mesmo raio que &, sendo & seu equador.

EXERC(CIOS RESOLVIDOS

1.

{

Ache o centro P e o raio p da circunferencia

&:

2 2 2 x + y + z + 3x - y

2x - y - 2z - I

=

0

=

0

308

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Resolu�o Achamos inicialrnente o centro C e o raio r da superficie esferica

S

. x2+ y2 + z2 +.3x - y = 0' ·

Como vimos,

•

P

1 0 2' 2' )

e a proje�ao ortogonal de C sobre o piano

reta por C, perpendicular a

1vro m -+-= 2 .

3 obtendo C=(- -

rr

e r=

:

2x

-

4

---.

y

4

- 2z - 1=

O

rr:

3

x = -2 + 2X s :

I X 2

y=

z = 0 - 2X •

interse�ao de s com 3

2(-2 logo,

+

rr:

2A) - (

I - X) - 2(- 2X) T

-

1= 0

�

X

1 2

=-

1

P=(-2,0,-1).

Quanto a p: sendo p2 + d (P, C)2= r2, temos P2

2.

=...!.Q_ 4

-

(I+_!._+ I) 4

Obtenha equa��es da circunferencia pontos

Q=

(2, 3,0)

e

=

.!Q. 4

_

_2_ 4 = _!._ 4

&, de centro

R =(-1, -i, -1).

.

donde

P = (I, 1, - 2)

e que passa pelos

Resolu�o Devemos obter equa�es de sendo

PQ

=

(I, 2, 2)

e

rr

e de S.

PR= (-2, -2, 1),

rr

e certamente o piano que passa por

temos

P,Q e R;

______

x-1

y-1

z+2

2

2

7T :

7T :

309

= 0

1

-2 donde

Superffcies

6x - Sy+2z +3

=

0.

Quanto a S, escolhamos aquela que tern mesmo centro e mesmo raio que & (veja a observa9ao anterior): r= d(P,Q) = 3,

C= P = ( 1, 1,-2). Logo,

S :(x-1)2 +(y-1)2 +(z+2)2 = 9 ou seja, S :x2 +y2 +z2 - 2x - 2y +4z

-

3

=

0

e finalmente x2 +y2 +z2 - 2x - 2y +4z - 3 = 0 6x

-

5y+ 2z+3 = 0

EXERC!CIOSPROPOSTOS 1.

Ache o centro e o raio da circunferencia interse9ao do piano 2x - 2y - z +9 =

O com

a superficie esferica x2 +y2 +z2 - 6x +4y - 2z - 86 = O

2.

Obtenha equa9oes da circunferencia que tern diiimetro AB e passa por C, sendo dados A=(3,-2,5), B=(-1,6.-3), C=(l,-4,1).

3.

Obtenha equa9oes da circunferencia que passa I>elos pontos A= (3, -1, -2), B = (1, 1, -2) e

C= (-1,3,0).

310

4.

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

3x+ 2y +6z

O plano

=

6

intercepta os eixos coordenados nos pontos A, B, e C. Obtenha

equa�es da circunferencia circunscrita ao trilingulo ABC.

5.

Dados A=

(3, -1, -2)

e B=

1,

(1,

-2),

obtenha equayoes do lugar geometrico dos

pontos X tais que o triangulo ABX seja equilatero. Interprete geometricamente.

6.

j 7.

(1, -1, -2),

Obtenha equayoes da circunferencia de centro

2x - y

2z - 1 2

+

4x - 7y - z

+

6

0

=

uma corda de comprimento 8. =

0

x - 2y - z

De equayoes gerais dos planos paralelos ao plano ficie esferica

S : x2 + y2 + z2

que determina sobre a reta

+ 2x +

2y - 2z

=

0,

=

0, que interceptam a super­

segundo circunferencias de raio

v'3fi 8.

Um hexagono regular inscrito na circunferencia

{

x2 +y2 + z2 + 2x+ 2y+ 2z-3 x+y+z

tern um vertice na reta X =

9.

=

0

=

I

(-1, 1, 1/3)+A.(2, -1, 1 )

.

Determine seus seis vertices.

Verifique se as superficies esfericas

S1 : x2+ y2 +z2 - 2x - 2y-'-- 2z +2

=

0

S : x2 + y2 +z2 + 2x+ 2y+ 2z-4 2

=

0

sao secantes. Em caso afirmativo, ache o centro e o raio da circunferencia que subtraindo as equayoos de

S1 10.

n

Ache

S; 2 A.

por que?).

S1

e

S

2

real tal que as superficies esfericas

S1

n

S 2

(observe

obtem-se uma equayao do plano que contem

S1

S1 :(x-1)2 +(y-3)2 +z2

e

S 2

=

sejam tangentes:

1,

S : x2 + y2 +z2 -2A.x+4A.y+4A.z 2

=

0.

11.

Sejam S1 : x2 + y2 + z2

9 e S : x2 + y2 + z2 - 6x - 12y + 12z + 72 0. De as 2 equayoes reduzidas das superffcies esfericas tangentes a S1 e a S , com centro colinear 2 com os centros de S1 e S • 2

12.

De uma equa?o da superficie esferica tangente ao plano z

=

=

=

0

no ponto

(I, -2, 0), I

tangencia extemamente a superficie esferica x2 + y2 + z2 - 6x - 8y - 2z + 13.

Obtenha as equayoes gerais das superficies esfericas com centro interlormente a superffcie esferica

§2

S: x2 +

y2

+ z2

-

2x + y

-

10

(I, 0, I) 0.

que

=

0.

que tangenciam

=

Generalidades sobre curvas e superficies Nesta seylio vamos falar levemente sobre curvas e superffcies. E importante ressaltar que

o enfoque vai ser essencialmente intuitivo e nll'o-rigoroso, uma vez que o habitat natural para esses conceitos e o da

Geometria Diferencial,

cujos recursos nll'o estllo a nossa disposiylio no

momento. A ideia de superficie e a de algo bidimensional que se pode imaginar,por exemplo,tomando um pedayo de uma placa de borracha bem fina, e deformando esse pedayo sem rompe-lo, mantendo a bidimensionalidade. Por exemplo, um plano e uma superficie. Observe uma sua equaylio: ax + by + CZ + d

=

(a2 + b2 + c2 -=!=

0

O)

Uma superficie esferica e uma superficie; sua equaylio tern a forma x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d

=

0.

As duas equayoes anteriores sll'o casos particulares de f(x,y,z)

=

(10)

0

Vamos definir uma superffcie S como sendo um subconjunto de E3 tal que (fixado um sistema de coordenadas)

P

=

satisfazem uma equa9ao da forma

(x, y, z) (10), que

pertence a ela se e somente se suas coordenadas sera uma equayao de S. E claro que a defini9lio

e defeituosa, pois vimos que uma equa9lio como

(10)

pode representar um ponto, ou o vazio

312

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Por outro lado, uma curva e algo unidimensional, como a trajet6ria de um movimento de um ponto, e pode ser concebida como a interse9ao de duas superficies:

C:

{

f(x ,y,z)

0

g(x,y,z)

0

(11)

Por exemplo , uma circunferencia no espa90 pode ser dada como interse9ao de uma super­ ficie esferica com um plano:

J

ou de duas superffcies esfericas:

x2

+ y2 + z2 - 2 z

+ 2 z x2 + y2

=

1

=

0

_____

Super[fcies

313

Mesmo uma reta (que-e uma curva!), como sabemos, pode ser dada como interse�ao de dois pianos

r:

{

x - 2y + z

=

0

2x-y+l=O

-Observa�o Existem outras maneiras de representar curvas e superficies (sob forma parametrica, por exemplo) as quais nllo vamos considerar aqui.

§3

Superffoie cilindrica

Um subconjunto S de E3 se diz uma superficie cilindric.a se existir uma curva C e uma reta !:::. tais que s e a reunrao das retas paralelas a !:::. e que passam por algum ponto de c. c e chamada diretriz de S e as retas citadas, paralelas a !:::. , sllo chamadas geratrizes de S. Fixado um sistema de coordenadas, vamos supor:

•

•

C dada por

{

f(x,y, z)

0

g(x,y,z)

0

(12)

....

....

v = (m,n, p) * 0 um vetor diretor de!:::..

Entao, PE S

se

e somente existem Q E C e >..E R tais que -

....

PQ =Xv

314

Geometrill Analftica: um tratamento vetorial

Escrevendo P=

Q = (x,y,z) P =

'

(X,Y,Z)

(X, Y,Z)

Q=(x,y,z)

a rela\:ao anterior flea

(x-X, y-Y, z-Z) =

c

X(m,n,p)

e dai

x = X + Xrn

(13)

y=Y+Xn

z =

Z+Xp

Ora, como Q E C em

se e somente se

x,

y, z verificam

(12):

{

f (X + Am, Y + Afi, Z +Xp =

0

'

(12),

obtemos, substituindo

(13)

(14) g (X + Am, Y+Xn, Z +Xp=o;

Se p udermos eliminar X dessas duas equa\:oes, chegaremos a uma rela\:ao do tipo

(15)

F(X, Y,Z) = 0 que, se for equivalente a

(14)1 *I,

definira a superficie cilindrica como uma superficie, que tera

( 15) por equa�o.

( *)

Quer dizer, X, Y, Z satisfazem (15)

<=>

existem X, m, n, p tais que (14) se verifica.

EXERCiCIOS RESOLVIDOS

1.

{

Ache uma equa¥ao da superffcie cilindrica de diretriz

C:

x2 + y2 + z2 = 4 z= 0 a reta � :

cujas geratrizes sao paralelas

{

x=A. y= A.+

I

z=2 A.

Resolu�o �

Temos, usando a nota¥iiO vista, v

=

(m, n, p)=(1, 1, 2)

{x=X+A. As rela¥0es (13) ficam

y

Y +A.

=

z=Z+2A.

{

Devemos substituir nas equa¥oes de

C:

C, as quais sao equivalentes a

x2 + y2 = 4 z= 0

logo,

{ Da

2�

equa¥3:o vem

A.=

(X+A.)2 + (Y +A.)2 = 4 z+

-

2A.= 0

.Z..., que levado na 1� equa¥iiO fornece

2

(X -�)2 + (Y -�)2 2 2 que e a equa¥aO procurada.

=

4,

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

316

Observa�o Sugerimos a voce que faya uma figura representando a superficie.

2.

�

Ache uma equayao da superficie cilindrica de geratrizes paralelas ao vetor v e circunscrita a superficie esferica x2 + y2 + z2

=

=

(2, -1, 1)

I.

Resolu�o Pode-se obter uma diretriz achando a interseyao da superficie esferica com um piano �

rr

pelo centro da mesma e perpendicular a v. Em seguida procede-se como no exercicio anterior. Vamos optar, no entanto, por uma segunda reso­ luyao. Seja Q

=

(x, y, z). Escrevamos a equaylio �

de uma reta qualquer paralela a v , passando por P

=

(X, Y,Z): x

=

X+2X

y

=

Y-X

z

=

Z+X

Vamos agora obrigar Q a pertencer a superficie esferica. Substituindo x, y, z dados acirna na equaylio desta superficie, vira

(X+2A)2 +(Y - X)2 +(Z .f. X)2 ou seja,

6X2 +2A(2X-y+ Z) +X2 +Y2 +Z2 - 1

Para cada ponto P

=

(X, Y, Z)

esta equayao em

0

X

tera nenhuma, uma (mica, ou-duas

rafzes reais. Tera uma imica se e somente se P esta na superficie cilindrica procurada, logo se e somente se seu discriminante for nulo:

[2(2X-Y+Z)]2 -4.6.[X2 +Y2 +Z2 -1]

=

0

isto e (2X

- Y + Z)2 - 6 (X2

+ Y2 + Z2

- 1)

=

0,

que e a equayao procurada.

Observa�o A figura abaixo ilustra o que foi feito:

p

(a)

(I>)

�

No caso (a), nil'o existe X que "estique" v

(c)

�

de modo que P +Xv fure a superficie

esferica. No caso (b) existem dois valores. No caso (c) existe um futico!

3.

Verifique que uma relayio do tipo

F(X, Y)

=

0

e equayiio de wna superffcie cilindrica

S de diretriz

C:

l

F(x, y)

z

=

=

0

0

e geratrizes paralelas a Oz. Represente no plano Oxy os pontos (x, y, o) tais que F (x, y)

0

e trace as retas que passam por eles e sao paralelas a Oz. A superficie S e a reuniao dessas

retas.

Resoluyao �

Se voce seguir o metodo exposto no Exercicio 1, com v

=

(0, 0, 1 ) ,

obtera F (X,

Y) 0 =

para equa9ao da superficie cilindrica. Fa9a como exercicio. Preferimos aqui argumentar de uma outra maneira, mais intuitiva.

=

Geometrla AnaUtica: um tratamento vetorilll

318

z

"

x

Suponha P

=

{

F

(x, y)

z

=

=

0

0

(X, Y; Z) sobre a superficie

P

cil{ndrica S tendo C por diretriz e de geratrizes

=

(x, y, z)

paralelas a Oz. Entllo, por constru�o, a proje�llo

Q

=

(X, Y, 0) de P sobre Oxy na dire�llo de Oz,

cai sobre

C, logo satisf�

e dai F(X, Y)

=

!:

1

F(X, Y)

z

=

=

0

0

0. Reciprocamente, se P

=

(X, Y, Z) e tal que F(X, Y)

=

0, isso indica

que P se projeta (paralelamente a Oz) no piano Oxy num ponto de C, logo, por constru�o de S,PE S. Por exemplo, X2 + Y2

=

1

6 a equa�llo de uma superficie cilindrica, mostrada na figura

abaixo: z

f I

I I I i ----t�

Circunferincia ralO 1 x

y

de

__

__

Superffcies

319

EXERCICIOSPROPOSTOS

I.

{

Ache uma equayao da superficie cilindrica de diretriz

C:

x2 +y2 = z cujas geratrizes sao paralelas a reta b.

x-y+z =O

:

l : : ::: z = 3+A.

2.

3.

4.

5.

Idem para

I dem para

Idem para

Idem para

c

c,

c

C:

{ { { {

x2 - xy+ 1

b.: z=

x = 2z

0

y = z+ 3

b.:x=y=z x+y-z=0 x+y+xy=0 b.:x z=0 f(x, y)

y=z

{

0

x = mz

b.:

0

(m, nE

R)

y = nz

Ache uma equayao da superficie cilfndrica de geratrizes paralelas a cunscrita

§4

{

xy=z

z

6.

0

a superffcie esferica de centro (I, -2, 2) e raio

� v =

(3,

-2, I) e cir-

../3.

Superficie conica Um subconjunto S de E3 se diz uma

superficie

conica se existir uma curva

C e tim -ponto

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

320

V ft. C tais que S e a reuniio das retas VQ, onde Q percorre C. C se chama diretriz de S, V vertice de S, cada reta VQ uma geratriz de S. Fixado um sistema de coordenadas, suponhamos C dada por

•

C:

{

f(x,y,z)

Entao

P

0 (16)

g(x,y,z) •

=

=

0

V = (a, b, c)

(17)

= (X, Y, Z) esta em S se e somente se existe Q = (x, y, z) pertencente a C e A. E

R

tais que V= (a,b,c)

ou seja -

Q= V+XVP de onde resulta x = a+A.(X -a) y = b +X(Y-b)

( 18)

z = c+A.(Z-c) Como Q E C se e somente se x,y,

z

verificam(16),vem,levando (18) a (16):

1 f(a+X(X-a), b+X(Y-b), c+X(Z-c)) t (a+A.(X-a), b+A. ·(Y-b),c+A.(Z - c)) g

=

0 (19)

=

0

Se pudermos eliminar A., o bteremos uma rela�io entre X,Y, Z: F(X, Y,Z)

=

(20)

0

que,se for equivalente a(l9), define S como uma superficie, sendo (20) uma sua equa�ao.

( •)

Escrevendo assirn, exclufmos V, isto e, P se etc ...

'i=

V. Deverlamos dizer: P 'i=

V

esta em S se e somente

______

Superffcies

321

EXERCICIO RESOLVIDO

Ache uma equa9ao da superficie conica de vertice V circunferencia

C:

{

=

(1, -1, 3)

x2 + y 2 z

0

=

Resoluyiio As rela9oes (18) ficam

x y z

=

1+A.(X- I)

=

-1+A.(Y+1)

=

3 +A. (Z-3)

Substituindo nas equa9oes que definem C, vem

{

(l+A.(X-1)]2 + [-l+A.(Y+l)]2 3 +A. (Z-3)

=

0

Da 2il equayao resulta

A.=-

3 Z-3

-­

(Z

-:1=

3)

Levando. na 1!l equa9ao :

3 3 - (Y +1)]2 [1- -- (X-1)]2 + [-1 Z-3 Z-3 -

ou seja,

que tern por diretriz a

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

322

Observa�o Esta equa9ao foi achada excluindo-se o vertice

(Z =t-

a satisfaz.

3), mas e facil ver que V =(1, -1, 3)

EXERCiCIOS PROPOSTOS 1.

{

Ache uma equa9ao da superficie conica de vertice (0, 0, O) cuja diretriz e a parabola

p:

x2 -2z+1=0 y-z+l=O

2.

C

3.

{

Idem para V =(0, 0, 1), a diretriz sendo a circunferencia :

x2 +y2 -x =

0

.

z=0

{

Idem para V =(O, 0, 0), a diretriz sendo a hiperbole h

:

xz=1 y= 1

4.

Ache uma equa9ao da superficie conica tendo a origem como vertice, e circunscrita a superficie esferica

x2 +y2 + z2 - 3x - y+2 = 0 Sugestao

5.

Use o truque de !:!:. = 0, utilizado no Exercicio Resolvido 2 do §3.

Ache uma equa9ao da superficie conica circular reta de vertice V= (1, I, 1), sabendo

que as geratrizes formam angulo medindo 60° com 0 eixo, que e a reta x= 1 +X

r:

y= 1+2A z= I

-

X

Sugestio

Uma resolu�iio elegantee escrever pE

-+

s

<==>

I VP

. -; I

=

II

VP II

-+

II v

II cos 60°

-+

onde v * 0 e um vetor diretor de r. Procure resolver tambem "pelas vias normais".

§5

Superficie de rota�o Um subconjunto S de E3 e uma superficie de rota�iio se existem uma reta r e uma curva C

tais que Se a reuniiio das circunferencias centradas em i, cujos pianos sl'o normais a r, e que passam por algum ponto de C. Em outras palavras, Se obtida pela rota�iio de C em tomo de r. r se diz eixo de rot(lfiio de S.

•

Cada uma das circunferencias acirna referidas se

•

diz um paralelo de S.

A interse�iio de S com um semiplano de origem r

•

se diz um meridiano de S.

{

Fixado um sistema ortogonal de coordenadas, suponhamos C dada por

C:

f(x,y,z)= 0 g(x, y,z) = 0

-+.

Sejam v Po

=

=

(m, n, p) *

(Xo, Yo, Zo)

-+

0

um vetor diretor de

um ponto de r, e P =

r,

(X, Y, Z).

Entao P E S se e somente se

•

existe um paralelo

•

que intercepta C, digamos em Q =(x, y,z)

•

que passa por P

=

(X, Y, Z).

v= (m,n, p)

'324

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Ora, um paralelo pode ser dado como interse'Ylio de um piano esferica de centro em P0 (veja a figura). Entao, P (X, Y, Z) E X,µ,x,y,zE R, µ > 0, tais que: =

1T

S

r com uma superficie se e somente se existem

l

(21)

{

f(x,y,z)

0 (22)

g (x,y,z)

{

=

=

0

mX + n Y + pZ

=

X (23)

(X - Xo)2 + (Y

-

Yo)2 + (Z - zo)2 µ2 =

Vamos supor que de (21) e (22) se possam eliminar x, y, z, obtendo-se uma equa'Ylio equivalente


=

0

(24)

De (23) e (24) resulta ti> (mX + nY + pZ , ../(X- x0)2 + (Y - y 0)2 + (Z - z0)2)

=

0

(25)

Entao

P

=

(X, Y, Z) pertence a S

Logo (25) e uma equa'YliO de

=

(25) se verifica.

S.

Observa�ao Se X e µ > 0 forem quaisquer, (21) nos dani todas as circunferencias do espa'Yo centr�das em r e jazendo em pianos ortogonais a r. A rela'Ylio (24) restringe X e µ de modo a que tenha­ mos somente aquelas que passam por algum ponto de C.

EXERCfCIOS RESOLVIDOS

1.

Ache uma equa9ao da superficie de rota9ao gerada pela curva

c

{

2 2 x +y = x+z = 0

em torno da reta

r:

x =

Q

y=

a

z

Escolhamos P0 ficam

=.a

�

=

{ {

(0, 0, 0) de r, e v

=

(1, 1,

1), vetor diretor de r. Entllo (21) e (22)

x+y+z =A.

(a)

2 2 2 2 x +y +z = µ

(13)

2 2 x +y = 1

(r)

x+ z = 0

(c5)

0 sistema e equivalente a (relacionando

com (c5)):

(a')

y=A. 2 2 z =µ

(13) com ('Y) e (a)

-

1

' (13 )

2 2 x +y = 1

(-y')

x+z = 0

(c5')

326

Geometria A "1alftica: um tratamento vetorial

Relacionando

(a')

com

( r')

vemos que este sistema e equivalente a

y

x

=

z2 = µ 2

-

z2 +X2 = x+ z

{

l

} µ2

l

+

0

;>._2

-

2 =0

ti> (X, µ)

A equac;ao procurada sera obtida substituindo ncssa relac;ao

X

e

µ

dados por

X+Y+Z=X x2 + y2 + z2

µ2

Resu lt a

X2 +Y2 +Z2 +(X+Y+Z)2 2.

'J:

0

Ache uma equa9ao da superficie gerada pela rotac;ao da curva

0 em torno do eixo

Oz.

Resoluyao

Tomemos P0

--+

=(0,0.0).

z =

v

=(0,0, I).

x

x2 + 2 + Y f(x. Z) y =0

z2

= 0

=

µ2

Entao(21)e(22)ficam

f (± ../µ2

{

de onde resulta

·>..2, �.) =" 0.

-

A equa�ao (23) se escreve

z =� x2 + y2 + z2 = µ2

logo,substituindo na rela�lo anterior,vern que

f(±VX2 +Y2,Z)=O

Observa�o

{

Ternos assirn a seguinte regra:

sendo C dada por

f(x,z)

=

0 para obter urna equa�ao da superficie gerada pela rota-

y

=

0

�ao de C em tomo de Oz, substitua x por exemplo, se

C:

{

z= x .

y=

± ../X2 + Y2

2

e

z por Z

em f(x,

z) =

0. Por

z

0

entao urna equ�ao sera

Z= (±.Jx2 +Y2 )2 ou seja,

y

Z= X2 +Y2 x

Enuncie o resultado analogo para rota�ao, em tomo dos eixos Ox e Oy, de curvas contidas nos outros dois pianos coordenados.

328

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

EXERCiCIOS PROPOSTOS

I.

Ache uma equa9ao da superficie de rota<;:llo gerada pela rota9ao da curva C em torno

da reta r, sendo

c

{

x-I=y

r:x= y=z

z=0

x - y =z=0.

2.

Idem, C sendo a reta

3.

Ache uma equa9ao da superficie de rota<;:ao gerada pela rota9ao, em torno do eixo Oz, da curva C, sendo esta dada por

a)

<.:)

{ {

t

3z2 + 3x=I

b)

y = 0

{

x2 + z2 = y = 0

(x - I)2 + (z - 2) 2 y

0

4.

Idem, girando em torno do eixo Ox.

5.

Obtenha uma equa<;:[o da superficie gerada pela parabola

C:

{

z = y2

-

I quando gira em torno de Oy.

x= 0

6.

Idem para {�+L = a2 b2 C: x

0

em torno de Oy e Oz.

---

7.

329

Obtenha uma equayao da superficie gerada pela rotayao, em tomo de Oz, da curva 0:

x C:

y

=

z

8.

Superffcies

=

ci

(o: E R)

0:2

Obtenha uma equayao da superffcie definida coma reuniao das retas que se apoiam no

{

eixo Ox e na circunferencia

C:

x2 + y2 z

=

=

2

mantendo-se paralelas ao piano Oyz (esta nao e uma superficie cilindrica. nem conica, e tampouco de rotayao; no entanto voce pode adaptar as tecnicas que aprendeu nesses casos para resolver o exercicio).

§6

Quadricas (forma reduzida) Chama-se

quadrica ao conjunto dos pontos P

=

(x, y,

ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j numeros reais, a, b, c, d, e,

=

z) E

E3 tais que

0 onde a, b,

...

, j, sao

f nio simultaneamente nulos.

Nao faremos o estudo das quadricas em geral, limitando-nos a casos especiais da equayao acima.

(A)

Elips6ide Um subconjunto S de E3 e um

e/ips61de se existe um sistema ortogonal de coordenadas

e numeros a, b, c, positivos, tais que

S

=

{P

=

x2 (x, y, z) I -- + a2

v2 b2

-"--

+

z2 c2

-

=

I}

330

Geometria Anditica: um tratamento vetorial

E pois uma superficie, tendo

2 L +-z2x - - -+ 2 = 1 2 2 b a c

(26)

por equa9ao. Valero as propriedades: 1.

S e um conjunto simetrico em rela9ao aos pianos coordenados, aos eixos coordenados,

e a origem (do sistema referido). Basta observar que o 19 membro de

tuirrnos x por -x, y por -y, ou z por -z.

2.

A interse9ao de S com um

f

ou seja

{

k

logo e nao vazia se e somente se

a interse9ao e a elipse

x'

' + 7 -fz=

1 -

se9ao se reduz a um ponto, que e

nao se altera se subs­

piano z = k e dada por

z' x' -= --2- +_iC__ 2 +-2 b a c z=

(26)

(0, 0,

�

0,

c) se k

=

isto e, c e

-

-

k

2

C2

k

c.;;;;; k .;;;;; c. Se k = ± c, a inter-

(0, 0,

-c) se k = -c. Se -c < k < c,

2 2 y x ---- + -- -'----= 2 k 2 b2(I a (l --2) c -

z

�: )

= k

cujos semi-eixos decrescem se I k I cresce. Em particular, se

por

{_L_+L= 2 2 b a

z

=

0

z

=

0

(piano Oxy) a elipse e dada

-------

Super{fcies

331

Fazendo interseyoes com os pianos y = 0, e x = 0, chega-se a conclusOes semelhantes. Estas considerayoes nos permitem esboyar

um

desenho de

S.

z

(o,o,c)

to--.... y

o,b,o)

ll

(B)

Hiperboloide de uma folha Um

subconjunto

S de E3 e

um

hiperbol6Uie de

uma

folha se existe

um

sistema

ortogonal de coordenadas e nfuneros a, b, c, positivos, tais que

S={P=(x,y,z)

x2

17+

_i_ b2

-

z2

7 = 1}.

E pois uma superffcie, de equaylio

I ....£.. -

z a

+

b2 ..:L_

-

2

-

c .I__

1l .

(27)

Valem as propri.:da"es 1.

S

e um conjunto simetrico em relayao aos pianos coordenados, aos eixos coordenados, e a

origem. Basta observar que o y por -y ou z por -z.

19 membro de (27) nao se altera se substituirmos x por -x,

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

332

2.

{E

A interse�ao de S com um piano z= k e dada por

{�

+

2 a

z =

2

-F

ou seja

k

_r

+ b2

= 1 +

2 k 2 c

­

z = k

Logo, e uma elipse no piano z

=

k, y2

2 b

(I

IkI

cujos semi-eixos crescem se

e dada por

1£

a

2

+

��)

cresce.

z = 0 (piano Oxy), a elipse

Em p articular, se

2 a

z

3.

0

=

A interse�ao de S com um piano y= k e dada por

t a

y

2

+ b2

2

z

2

2

ou seja

y = k

Entao,

•

se

k

lbi

< 1, isto e,

{

' x

7

-

z

2

7"

-

k

2

b2

y= k

-b < k < b, a interse�ao e uma hiperbole contida no piano

y = k, com segmento focal paralelo a Ox.

e

SC

k

jbj

> I

isto C, k > b

OU

k

< -b, a interse�ao e uma hiperbofe contida no

piano y = k, com segmento focal paralelo a Oz.

•

se

k

1-b-I

=

I. isto c.

equa\:oes sao

sc

k

=

± b. a interse\:ao e um par de retas concorrentes, cujas

{

cx- az= 0 e

{

y= b

{

cx-az=O e

7

{

cx+az= 0 quando k = b. -

y=-b

Em particular, se y= 0 (plano 2 x

quando k = b, e ,y = b

y=-b

{

cx+az= 0

z

2

- CI

Oxz) tem-se a hiperbole

= 1

y= 0 Considera�es semelhantes sao obtidas cortando-se S com planos de equa�es da forma x= k. Estas considera�es nos pennitem esbo�ar

um

d�senho de S:

334

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

Observa�o As equa�s

x

2

7

b

2

2 z

+ ?" =

1

(27a)

.r_

e

2 x

-·7 +

2

�

z

2

+ ?" =

1

(27b)

representarn tarnbem hiperbol6ides de uma folha. Para ver isso, basta fazer (por exemplo) a rotayao

x = X, y = Z, z = -Y no caso da equa�o (27a) e a rota�o x

z = -X no caso da equa�o (27b). As figuras seguintes esclarecem bem: z

x

y

x

=

Z, y = Y,

---

(C)

Superflcies

335

Hiperbol6ide de duas folhas

Um subconjunto S de

E3 e

um hiperboloide de duas folhas

se

existe um sistema ortogonal

de coordenadas e numeros a, b, c, positivos tais que

L z2 x2 S={P=(x,y,z)l-7+ b2 -7

l}.

:h pois uma superficie, tendo p or equa�o

(28)

V alem

as propriedades:

1.

e

S

em relayao 2.

a

A

um conjunto simetrico em relayao aos pianos coordenados, eixos coordenados, e

origem (por que?) interseyao de S com um piano z x2

z logo

e

=

z2

v2

-7 + _.[_ b2

-

7

=

k e

dada por

=l ou seja

k

z =

k

uma hiper b ole no piano z =k, com segmento focal paralelo a Oy.

z

=

k

k.

Considerayoes analogas se podem fazer considerando pianos dados por x 3.

A

interseyao de S com

um

{

piano y = k e dada por

ou seja

_){

:_ + I_

y

k

a2

c2

=

_k b

�

-

l

336

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorlal

e e nao vazia se e somente se

I

� I ;;;i. l,

isto e, se e somente se k;.. b ou k � -b. Entao

•

se k =±b, a interse�o se reduz ao ponto (0, k, O);

•

se k > b ou k < -b, a interse�ao e a elipse de equa�Oes

+

y = k

cujos semi-eixos crescem quando

IkI

cresce.

As considera�Oes feitas nos permitem esbo�ar um desenho de S. z

0

x

Observa¢o As equa�es

(28a)

e

(28b)

tam� representam hiperbol6ides de duas foni.. Para ver isso, basta fazer, no caso de (28a), a

ro�lo x

z= Y

= Y, y = Z, z = X

(por exemplo ), e no caso de (28b), a rota�o x

= Z, y = X,

(por exemplo). Veja as figuras seguinfes.

z

z

y

0 �------Y

"

"

(D) Parabol6ide ellptico Um subconjunto S de E3 e um parabol/Jide elfptico se eXiste um sistema ortogonal de

coordenadas e mimeros a, b, positivos, tais que

S

=

{P

=

(x, y,

x2

z) I z = �

+

y2

b2 }

� uma superffcie de equa�o

(29)

338

Geometria Analftica: um tratamento vetorlal

S e simetrico em rela¢o aos pianos Oxz e Oyz, e que as S com pianos z =k sao ou vazias ou constituidas de apenas um ponto, ou elipses. E com os pianos x = k e y = k sao parabolas. Deixamos para ·voce verificar que

interse�es de

z

x

Verifique tambem que as equa�es

x2 y =7

e

+

z2 7

(29b)

representam parabol6ides elipticos e esboi;e seus desenhos.

(E) Pamboi6ide hiperb6lico Um subconjunto

S de E3 e

um

parabol/JUJe hiperbOlico

se existe um sistema ortogonal

de coordenadas e nfuneros a, b, positivos, tais que

x2 S= {P =(x,y,z) lz = -7

+

2

?"-}

I! uma superficie de equa¢o

(30)

---

--

Superficies

339

Valem as propriedades:

1.

S e simetrico em relac;;ao aos pianos Oxz e Oyz (por que?).

2.

A intersec;;ao de S com um piano z

=

_r_

{

k

x

2

-7

=

k e

+

2 b

z = k

Entao, •

{

{

se k= 0, a intersec;;ao e um par de retas concorrentes na origem, de equac;;oes

bx-ay= 0 e z= 0

•

bx+ ay

z=

=

0

0

se k > 0, a intersec;;iio e uma hiperbole contida no piano z =

k, com segmento focal

paralelo a Oy. •

se k < 0, a intersec;;ao e uma hiperbole contida no piano z = k, com segmento focal paralelo a Ox.

3.

{

A intersec;;ao de S com um piano y

z=

-

:�

+

=

k e dada por

2 k 2 b

­

y= k

que e uma parabola com concavidade "para baixo".

Em particular, se k = 0.

{

(piano Oxz) temos

z =

Y

x

2

-7 0

340

Geometria Analitica: um tratammto vetorlal

A interse?o de S com wn piano x = k fomece parabolas de concavidade "para cima". Verifique isso. Eis wn esbo�: z

Por isso S tambem e chamada se la (de cavalo)

.

O�o As equ�eies

tambem representam selas. Verifique isso fazendo rotayCies convenientes.

EXERC(CIOS PROPOSTOS 1.

Mostre que se dois dos numeros a, b, c Slo iguais, o elips6ide (26) e uma superffcie de rota­ �ll'o. Especifique o eixo de rota�o em cada caso.

2.

Mostre que se a= b, o hiperbol6ide de uma folha (27) e uma superffcie de rotaya'.o. Qual e o eixo de rotayi'o?

-------

3.

Idem, para o hiperbol6ide de duas folhas (28b�

4.

Idem, para o parabol6ide eliptico (29).

5.

A equa\:ltO

(30) de um parabol6ide

z

a)

=

(

x --

a

Mostre que dado c-::/=

Superffcies

341

hiperb6lico S pode ser escrita na forma

+ y )( -

b

x -

a

+ y) -

b

0, a reta x y -+-=

b

a

- �+L= b

a

c

z

c

esta contida em S. Tambem, dado d *

0,

a reta

�+L=� a

b

d

-�+L=d a

b

esta contida em S.

b)

Prove que por cada ponto Pde S de cota z =I= 0 passa uma unica reta da forma rc,e uma Unica reta da forma rd. (No caso z = 0, ja vimos o que acontece; veja a Pr opriedade 2

para k

=

0.)

Observa�lio Veja que a sela, isto e, o parabol6ide hiperb6lico, apesar de "torto", e formado por retas. Uma superficie assim e chamada regrada.

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

342

6.

Mostre que o hiperbol6ide de uma folha

(27) tambem e uma superficie regrada, colocando a

equa9ao na f orma

x

z

(-+-) ( a

7.

x

--

c

a

Mostre que a superficie de equa9ao

z

(1

-) c

z =

+l:'._) b

(1

_

l:'._) b

xy e um parabol6ide hiperb61ico, efetuando uma mu-+

-+

-+

-+

-+

-+

-+

dan9a de coordenadas de(O, e1, e , e3) para(O', f 1, f , f3), sendo O' = 0, f1 2 2 -+

f2=

8.

e1 -'-e1

---

V2

-+

-+

=

=

v'2

,

f3=e3. Fa9a umafigura.

(-2, 0, 0).

rr

: x=

2

e do

Reconhe9a esse lugar geometrico.

Obtenha uma equa9lro do lugar geometrico dos pontos de r: X

. 10.

,

Obtenha uma equa9lro do lugar geometrico dos pontos equidistantes do piano ponto P

9.

=----,

-+

-+

-+

e1 + e1

-+

(O, 0, 0) +A. (1, 0, O)

e s: X=

(0, 1, O) +A. (O, 0, I).

E

3

que equidistam das retas

Descreva o lugar geometrico.

Usando OS metodos deste panigrafo, descreva a superficie de equa9ao

(z

-

2)2

= x2 + y2• Fa-

9a um esbo90.

Aten�ao

11.

Esta quadrica n[o e elips6ide nem parabol6ide nem hiperbol6ide.

Obtenha equa90es das superficies esfericas de raio z

=

x2 +

Aten�o

3/

no ponto T

=

fit,

tangentes ao parabol6ide eliptico

(1, 1, 4).

Para resolver este exercicio voce vai precisar do conceito de gradiente, dado no cur­

so de C:ilculo Diferencial.

·

PARTE

1

RESPOSTAS DOS EXERO.CIOS PROPOSTOS

CAPITULO

2

ADI�AO DE VETORES (pag. 10)

2.

/ /

4.

----+

a) AD -

e) AF

b)

->

0

-

f) BF

c)

--+

AC -

g) AD

··�

/

�

d)

BG+ BG

h)

A5 343

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorial

344

MULTIPUCAt;AO DE NUMERO REAL POR VETOR (pag.15)

CAPITUW 3

6.

7.

-+ 3-+ 5-+ x = --u --v 4

8

-+ 5 -+ 2-+ x =-u +-v ' 7 7 -+

1-+ --v 7

1-+

y =-u

7

CAPITUW 4

1.

2.

SOMA DE PONTO COM VETOR (pag.

m

--+

ex=

1

--+

l+m

CB+

22)

--+

--

l+m

CA

-

Para CX, ver a resposta do Exercicio 1.

1

--+

--+

--+

AY =--CB - CA n+l

--+

BZ

--+

-

p

-

=

l+p

CA - CB

-+

4.

--

c)

a

ex=

CA+ b CB a

--+

x = c +ex

+b

CB

a CA - b ----­

---+

CY=

a -

-

Y=C+CY

(a* b)

b

-+

-+

ondea= llCBllcb= llCAll

5.

(tg

-+

ex:

�

=

AX=

"

--+

---+

(I

-

-

�

"

"

"

-

-

1se'B6reto,CX =CB -

m) OB+ m OC �

-+

-+

(se Ae B nao sa:o retos); se A6reto, CX =CA; ,A

tgA+tg B

-

13. OX

""

Al CA+( tg Bl CB

._.

- OA +(I - m) OB+ m OC

------ Rapostas dos Exercfcios Propostos

345

- 1 - ::::"% 14. OX=3 (OA+Ots+OC) -+

-

15. x =4MN

1

-+

-+

-+

: ( a+ b + c ) 17. G=O +3

3 - 1 21. X=A+-AB+-AC 5 10 22. a= - 1

CAPfTUW 6

BASE

1.

a) (3, 0, 6)

2.

Nao.

3.

-+

-+

b) (

-+

(pag. 45)

3,

-

-3 , -3)

c)

(8, 4, -3)

-+

t = u+ 2v + w

4. Nao. S.

-+

u nao

e

-+.-+ -+

(u, v, w) 6.

7.

combina�ao linear de

-+

ve

-+

w qualquer que seja m real. Para m = 0 e para m = 3 temos

LD.

a) L I

b)

e) LI

I) LO

LI

c)

LI

d) L D

g)

LD

h) LI

Nao.

8. a) ± l l 0.

b) ( - I ,

l 1.

a)

b) O; l I 2

c) Nao existe

d)

I

, l)

� b) �

c)

5

d)

V2l

O; 2

346

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

CAPITULO 7

1.

2.

MUDAN(:A DE BASE (pag. 47)

a)

-+ v

=

-+

-+

-+

1 2 e1 - 8 e2 - 3 e3

;

-+

-+

V3' 4. De F para E:

M

=

2

2

0

0

-+

-+

- 5 e1 + 3 e2 + 4 e3

v =

1

v3' 2

2

0

N

=

1

1

0

0

0

1

v3+1 Y3+1 v'3 -----De

F para G:

2

P= MN=

2

2

De G para F:

0

0

p-1 = N-lM-1::

v3--1 E--1 -1 ----2

2

2

=

2

1

0

De G para E: N-

v'3

0

=

1

De E para G:

2

2

De E para F: M-1

2

1

VJ -- 0

0

0

0

0

1

0

1

-1

1 -1

0

0

1 2

vT--1 2

1

-1 0

0

fl 2

-Y3+1 2

-------

ANGUW ENTRE VETORES. PRODUTO ESCALAR

CAPITUW 8

1. a) 2 .

a)

Tr

2

4.

3 3 -) (3, -,

5.

(I, -1, -1)

6.

2 {l, 0, )

7.

(

8.

-1/2

9.

52

-2-,

c)

arc cos 3

d)

b) - 2

c )

±..fi:'

d)

-

rr

3

1 0, -) 2 (-,

Y2

1)

-2- ,

OU

V2

Y2

( 2 , - I) -2-' - - -

3 2 10. - /

3 4 11 . -1 /

c s 1 .2 arc o

1 3. e)

14.

a)

1 ' 4

-

6

IT

4-

V26 .

-

3

--

4

,

V(;'

--

4

(3,- I, II

· '

- 4•

b)

5 -

9

3

. 4

-

4 -.

-

( 2. '· 2) -

c)

e)

nao existe

3 ; angulo agudo: {3, - 3, -) 3 . (- ,3 3 , )

OU

OU

1

b) � 4

-9

V2

Respostas dos Exercfcios Propostos

(0.0,0)

311' 4

(pag. 57)

347

Geometria Analftica: um tratamento 11etorial -----

348

1 5.

17.

-+ w1

-+ e1

3

=(0, JO,

W

. 1

=3 (1, 2 , 2) -+

-+

-+

30. x = lmv '1H2

-+

9

-+ W2

),

-+ e2

=

1

=

J

33 11 (-1 , -15, lO).

(2, -2, 1)

-+

+ Aa +µb

-+

-+

(a e b ortogonais av)

32. c), d),

e

)

33.

V3 2

l

2

0

35. b)

-+ u

·

2

VT 2

1 --

0 0

v'2

v'2

0

0

-1 --

0

l

_ _

-+

I 3

l

_ _

V2

= (0,-1, l)E' v = (0, l, l)E,

.J2

-+ w

2

0

=

0

2

-2

2

(-1,0,0�, Hu-+ II=

2

-2

-+ - � v 2 = llv II

Respostas dos Exerclcios Propostos

0

d)

M=

0

-1

-1

v'2

0

V2

l --

RB=

e)

CAPITUW

(-1, l, l)E

=

N

=

0

-1

(0, R, l)F

ORIENTAf;AO DE V

9

'

0

Vi

v'2

0

3

(pag. 83)

I.

Mesma orienta9ao :

a) e

b).

Orienta9ao oposta:

c).

2.

Mesma orienta9ao:

a) e

b).

Orientac;ao oposta:

c).

6.

a) F

7.

aJ3-y>O

CAPITULO

I.

a)

b) F E 8

EA

10

PRODUTO VETORIAL (pag. 96)

(-10, -2, -14)

b) (10,

e

(10. 2. 14)

.e

(-10. -2. -14)

c) (-13, -3, 4)

e

(13, 3, -4)

d) (0, 0, 0)

e

(0. 0, 0)

2,

14)

-l

V2

V2

v'2

VT

0

0

349

350

2.

3.

4.

5.

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorial

(1,--5,4)

7

8.

'8

2

v3 2

V62

6.

7.

7

2

1 ±- -(2,1,1)

V6'

--> a

l 1 = (v'3 , .../3

-->

b =

1

fl (1

-

a

c

9.

0 -1) '

'

-->

--> -->

'

I

.../3 )

.

"'

b

=

�

-+

---+--+

x =(l,1,l)=i+j+k

JO.-;=

(-J,2,l)

-->

11. x = (-1, l.--])

22.-----­

llAB II

23. d =I AD

•

A13,...D(

-�

__.

II AB "DC II

I

.

-------

----- Respostas dos Exercicios Propostos

CA,PITULO

11

DUPLO PRODUTO VETORIAL (pag. 99)

IO

I.

(I, -2, I) e ( -

8.

u ,.,y 111 - � A-;. -; � x = --- + ------+ -+ --7' ., (u w) II u W

9.

,

T

II� 112

11�112

-;;

•

� x ={I,l,I)

u � IO. x= ---

11-;; 112

� � u "v 1n � � II. x =---+--- u

II� 112

II� 112

� � u ,.,y � � 12.x = - --- +A.v

lly 112

� y

�

�

� =-�- + (I-A.)v v U r-V

II 112

� ....... � � (u,.,v) "(nu - mv) � � � 13. x = ------ + A.(u .--.v)

II� �112 A

� � p-t. w 14. Ea resposta do exercicio 13, com A.= � � � u AV . w � � � � (u "v) " (nu - mv)

--+

t

=

e

351

Geometrla AnaUtica: um tratamento vetorial

352

CAPITUW 12

l'.

PRODUTO MISTO (pAg.

-1

2. 2

3. 2/3

6.

-6

7.

2

12. Ea formula do exercicio 11.

�

13. b) x

15.

�

=

�

�

2e1 + e2 + e3

2.././6-2

106)

PARTE 2

RESPOST AS DOS EXERCICIOS PROPOSTOS

CAPITULO 13

I.

2.

3.

4.

SISTEMA DE COORDENADAS (pag. 119)

a)

Lados: PQ ,QS ,SR,P R; diagonais: PS,QR.

b)

Sim; as diagonais sao AB

e

CD.

P = (a,b,c)EOx

<'>

b=c=O (.." P=(a.0.0))

P = (a,b,c)EOy

¢>

a=c

=

O (.".P=(O,b.O))

P = (a,b,c)EOz

¢>

a=b=O (.". P=(0,0,c))

P = (a,b,c)EOxy

<'>

c=O

(:. P=(a,b,O) )

P = (a, b, c)EOxz

<'>

b=0

(:.P=(a,0,c) )

P = (a,b,c)EOyz

<'>

a=O

(:. P=(O,b,c) )

P, =(a, b,0), P2 =(a,0,c), P3 =(0,b,c), P4 =(a, 0,0),P5 = (0, b. O);P6

a)

A=(0,0,0)

B= (l,0,0)

F=(0,0,1)

G=(-1,1,1)

C=(0,1,0)

D=(-1,1,0)

=

(0 0. c).

E=(-1,0,1)

H=(-2,1,1) 353

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

354

b)

-----

A={2,-l,_-1)

B={3,-1,-1)

C={2,0,-1)

D={l,0,-1)

E= {l,' ·1,0)

F={2,-1,0)

G=(l,0,0)

H=(0,0,0)

Observe que para obter as respostas do item b), basta somar a cada ponto do item a) o vetor (2, -1,-1 ); por que?

c)

d)

-1 /2)

B= (1,4, -1/2)

C=(l,2,0)

D = (1,0, O)

E= (0,0, -1/2)

F=(O, 2,-1/2)

G={O,0,O)

H=(O, -2, O)

C= (1,0, O)

D =(l,0,-1)

G=(1,1, -1)

H=(1, 1,-2)

A=(1,2,

A=(O, 0, O)

B=(0,0,1)

E= (O, l,-1)

F

CAPITULO

I.

a)

14

ESTUDO

={O,1,0)

DA

RETA

(pag.136)

X=(4,-7,-6)+X(l,-l,-l);XE=JR

x=4-X y=-7 +X {XER);

x-4 --

-!

y+7 z+ 6 = -- =-I

z = -6+X D nao pertence

a

reta. --

b)

basta verificar que Anao pertence a reta que passa por Be c, OU verificar que (AB' AC) e LI. {x=-1+5X

c)

y=4-llX

( XE JR)

z = -2 -4X

2.

interna:{;: ·

z =

�

X -

(XEJR)

I

{x=J+X externa:

y=X z =

I

(XE JR)

-------

' =�

3.

I r

Ox:

y= 0

(XEJR)

Oy:

=0

y =0

r

= 0 (XE JR)

y =X

z= 0

z=0

Oz:

355

Respostas dos Exercfcios Propostos

(XEJR)

z =X

4

.

.

5.

p=( 3 /4, 7 /4, 15/4) OU p:: ( 3/2, 5/2 , 15/2)

a)

c)

{ {

x =2-1 5X. y = 4X

(AEJR);

x =2-2l_ y =X

(XE

z = -3 - X

y z+3 =-=-18 -15 4

a)

7.

a)

r =s

8.

( 1, 1,

O);

9.

(2, 0, 4) e ( 0, 2, 4); d

10. (1, 0,

11.

O)

x =3+2X y=3+ X z

b)

--

d

=

3+ X

. (A, r)= ../3

x =2+X

�:�

3

_

( XE JR ) A

JR)

x-2

6.

{

b)

z = -3+ 18X

{

b)

x-2

=

y=

z+3

-­

-1

c)

z+3 x-2 --= y = -2 -1

c)

r =F s

porque um s6 ponto de r dista

(A, r)
.

../3

de

--

r =s

A.

pois existem dois pontos de r que distam Vil de A.

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

356

-----

12. Trajet6rias concorrentes. N!ro ha colisao. Releia a Observay!l'O

13. a ) n!l'o existe C c) nao existe

CAPITULO

1S

b ) nao existe

C

d ) (2, -1, 1) OU

C

(4, -3,1)

ESTUDO DO PLANO

§1

Equa�o Vetorial e Equayi'>es Parametricas de um Plano

1.

Equayoes vetoriais: a)

X

b)

x = (1, 0, 1) +A. (1, -1, 2) + µ(1,1,1)

139)

(1, 1, 0) + �(O, 2, 1} +· µ (2, 1, 0) '

c)

X

os tres.pontos sao colineares; nao esta determinado o piano TT.

a) sim

3.

� v

4.

x

6.

(pag.

d)

2.

5.

=

6.

(1,-1,0) + A.(-1,-,-2,1) + µ{0,1,1)

b) sim

c) nao

d) sim

= (ll,7,4)+(-10,-5,0)

=

Oxy:

X

=

(4,5,2) + A.(2,3, 1)

{x

= A.

y = µ z = 0

Oxz:

A. y = 0 z µ

{x

-

Oyz:

=

= (O, 0,O) + A.(I, 1, O) + µ(0,0, I)

x = (0,0,0) + A.(1,-1,0) + µ(0,0,1) X

= (0,0,0) + A.(O, 1, 1) + µ(1,0,0)

X

=

X

=

(0.0,0) + A.(O, 1,-1 ) + µ(1,0,0) (0,0,0) + A.(1,0, 1) + µ(O,1,0)

x = (0.0,0) + A.(I,0,-1) + µ(0,1,0)

{x

y

=

0

=

A.

z = µ

-------

xy = +X+2µ 2 {z = 2 -XX µ -

7.

Resposta11 dos Exercfcio11 Propo11to11

I

I +

+

§2. 2. ryz === Xµ2 yrz === XµA

CAPiTULO 15

ESTUOO DO PLANO

1=µ -X yrz===Aµ-1 ryz===µA-4 ryz==A = =A Aµ y= y = µ rz= -2 +µ rz=l-X-µ 3. Oxy: z = 0x -y=Oyz:0, xx =+ y0= 0, Oxz:x -zy==0,0 x + z=0, y -z=0, y + z= 0 Equa�o Geral

(pag. 146)

a)

b)

c)

e)

'f)

g)

bissetores:

4. 5.

6.

7.

8.

9.

a) nao

b) sirn

x3x-2y-y ++ 4zz -4+ 1==00 3x -y - 2z-1=0 x -y-1=0 -4y 4=0 2x -y - + =0 2= 0 b)

a) c)

d) os pontos sao colineares

8x

-

z +

3z

y

-

7

d)

357

358

Geometria Analltica: um tratamento vetorial

11. a) siin

b) na:o

-------

c) nfo

12. -8x-6y+z+39 =0 13. a) P=(-2, 2,-7),

1T:-17x+7y+6z-6=0

b) P=(-2, 6,-6), 1T:-4x+y+3z+4=0

CAPiTULO 1 S

§3.

ESTUDO DO PLANO

Vetor Normal a um Plano

1.

a) (1, 0, 0)

2.

x-y+2z-4=0

3.

(pag. 160)

b) (1, 2, 1)

c) (l,-2, 4)

x-2z = 0 ..-----

..._

4.

x+2y- z = 0

5.

� = (-3,0, -5) + (0,4,0)

6.

X = (1, 2, 3) + X(2, 1, :--1)

7.

{ �: �� {

z = 3 + 2X

x= X

8.

9.

11.

y= X

{

z= 0

3x+4y- z-10 = 0 6 uma equayao geral do piano. x = 1/2 'y = 1/2 z= X

CAPITULO 1 S ESTUDO DO PLANO

§4. 1.

Feixe de Pianos

x+z- 2 = 0

(pag. 166) 4.

2y+ z = 0

5.

Nao existe

------ Respostas dos Exercfcios Propostos

CAPITULO

POSI(:AO RELATIVA DE RETAS E PLANOS

Reta e Reta (pag. 170)

§1. 1.

16

a) paralelas distintas b) concorrentes em P c) reversas d) r s e) concorrentes em P f)concorrentes em P g) reversas h) reversas

(1, -1, 0)

=

=

2.

3.

a) m

b) m 1 e) qualquer m E =

a) 3x - 4y - 1Oz+ 3

c) 4x - 2y - z+ 3 h) 5x - 4y + z + 22

{j

=

=

=

0

=

2,

0 0

16

g) 7x - 1 l y + 3z+ 7

=

=

(1, 0, -1)

(-1/9, -4/9 , -1/9 )

f)r //7r

2 2. m 3. m 1, n 7 4. Qualquer m =I= 0 6 solm;:ao· =

=

=

(-9, -5, -13)

(pag. 175)

b) r //7r c) r C7r d) r //7r e) r fura7r no ponto P

=

=

POSI(:AO RELATIVA DE RETAS E PLANOS

1. a) r fura7r no ponto P

5. 1) p 3) p

=

a qualquer; (a+ 1) x - 3y + (5 - a) z+ (2a - 1)

Reta e Plano

=

R

c) m qualquer tal que m =I= 0 e m =I=

b) x - z- 1 0 f)-l 7x + 7y + 6z- 6

0

=

2/3, concorrentes no ponto P

=

CAPITULO §2.

(-2, 6, -6) (- 2, 2, -7)

1 d) nlio existem

5. m 6.

=

=

e) -4x + y+ 3z+ 4 4.

=

(11/17, 13/17, (5, -3, 4)

15/17)

=

0

=

=

0

0

359

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

360

CAPiTUW 16

Plano e Plano (Pag.

§3. 1. 2. 4

Posu;.Ao RELATNA DE RET ASE PLANOS

181) b) 1T1II1T2, 1T1=I= 1T2

a) 1T1 =1T2 a) -i·m (para m

c) 7T1 iTi 1T2

=-512, tem-se 1T1=7T2)

b)

m

= -512.

-+ -+ -+

-+ -+ -+

Se (u, V , t )eLlou( u , V,w)eLl,enta01T1 ffi 1T2

e

-+ -+

-+ -+ -+

-+

•Se (u,v, t ) e LO, (u ,v,w) e LD e AE 1T2 entao 1T1 =1T2 -+ -+

-+ -+ -+

-+

•Se (�u,v,t;) e LO, (u , v ,w) e LD e A<E 1T2, entao 1T1 n 1T2

CAPfruW 16

=

"'

POSI<;AO RELATN A DE RETAS E PLANOS

Miscelanea de Exercicios (pag. 186)

§4.

a)

l)

X = (1,1,1)

+

A.(-1,1,1)

b) Impossivel (reparalela ao piano (P, s)). c) PE r; logo, existem infinitas soluyoes, a saber, todas as retas que passam por P e por um ponto de s. d) lmpossivel (s e paralela ao piano (P, r}) e)

X=(1,0, 3) + ).. (6, -2,7). Observe que as retas '

-

-+

r e s sao concorrentes.

-+

a) Impossivel, pois MN e gerado por r e s (diretores de r e s) e portanto os pianos

2.

1T1 e 1T2 sao paralelos.

3.

b)

X = (O, 215,-115)

c)

X =(6, IO, 0)

a)

X = (1,1,0)

+

A.(1,0, I)

+ ).. (3,2, -1). Observe que r e s sao concol'!entes. +

A.(1,-3,-1)

b) Qualquer reta que passa por P e econcorrente com r e soluyao,pois o piano (P , r) e paralelo a 1T.

c) Nao existe; r e paralela a 1T mas o piano (P, r) nao e paralelo a 'IT.

4. x = (1,1,0) + A.(-2,-1, 1) 5. X = (1,0,2) + A. (O, -1, 2) 6. x- 2y + 1 = 0 7. x + y + z-8 = 0 8. Duas soluy<:Ses: h1: X=(l,1,3) + A.(1,3,-4) h2: X=(-4,-3,1) + A.(4,1,-5) 9. Sim, pois r II 'IT. 10. Volume: 116. 11. Volume: 12519. 12. 13. 14.

Nao, pois Ox iTi 'IT.

Nao existe o tetraedro, pois s II 'IT. B

= (15122,20122, 25122)

a) area

fi2

C = (7122, 2122, -3122)

b) i A, pois s II1T

c)

j A, pois

s c 1T

------- Re.pasta dos Exercicio8 hopoator

361

15. A proje�ao de Pep'= (-1, -4, -2). 16. Sim, infinitas, pois o piano 17. A

=

(1, 1, -1),

volume

(P,

=

r) e paralelo a

rr.

65/3.

18.a) t: X = (IO, 1, 1) + A(9, 2, IO) ou t :X =(1, -1,-9) + A( l , -2, IO), r e s sao con­ correntes e P pertence ao plano por elas determinado.

b)

i

t; r e s sao reversas, r e transversal ao piano

(P, s)

e s e transversal ao piano

(P,

r).

Logo, existe uma unica reta que passa por Pe concorre com r e s; essa reta nao satisfaz

a condi�o do exercicio. 19. a) 1.g.: 2x + 2y - 2z - 1 = 0. Trata-se .de um piano paralelo as retas r e s (que sao reversas), situado "a meio carninho entre elas". b)

1.g.: X=

(1/2, -1, O) + a (1, 2, 3). Trata-se de uma reta paralela as retas r e s (que

sao paralelas e distintas), coplanar com r e s, situada "a meio carninho entre etas". c) 1.g.: x - 3y + z - 1 = 0. Trata-se do piano determinado por r e s (que sao concor­ rentes). Compare com o Exercicio 19(a).

I

x = 1

20. a) l .g.: y

=

- 1/4

(o 1 .g. s6 contem um ponto)

z = 1/4 -

b) O 1.g. e q,; o vetor AB nao e paralelo ao piano das retas paralelas r e s (se fosse, a -

resposta seria a mesma do Exercicio 19b, salvo se AB

=

X (1, 2, 3); por que?).

c) 1.g.:X= (O, 0, 1) +a (4, 1, - 1). Trata-se de uma reta que passa pelo P<mto comum a r e s

(P =

-

0, 0, 1)) e esta contida no piano determinado por r e s (o vetor AB e

paralelo a esse piano). Compare com o Exercicio 19c. 21. a) 0 1.g. e E3. Uma "equayao" para E3 e, por exemplo, Ox+Oy +Oz= 0. b) 1.g.: x - y + 3z - 1/2

=

0. Trata-se de um piano paralelo a rr1 e a

rr 2

(que sao

paralelos!), situado "a meio caminho entre eles". 22. a) l .g.:3x - 7y+7z- 10=0 b) l .g.: x -y +3z- 1/2

=

0. � o mesmo piano do Exercicio 21b. Por que?

23. a) l .g.: x - 2y - z = 0. (note que r //

)

rr .

� um piano paralelo a rr, a "meio carninho entre rr e r"

Geometria Analltica: um tratamento' vetorlal

362

c) 1.g.: x - 2y - z

=

0 (e o piano 1T; note que r

c

1T).

(-1/3, 1/3, -I) + A (2, -1, 4). :£ uma reta paralela a r, interse�o do 24. a) l .g.: X 1.g. do Exercicio 23a com o plano que contem r e e paralelo a AB . =

b) l.g.: X (0, 0, 0) + A (4, 1, 1). :£ uma reta que passa pelo ponto onde r fura 1T. Observe que os segmentos que se apoiam em r e 1T e sao par;llelos a AB sao os mesmos segmentos que siio paralelos a AB e se apoiam em r e s, sendo s a reta interse�ao. do piano 1T com o piano que contem r e e paralelo a AB (UFA!). Compare =

com o Exercicio 20c. -

c) 1.g.: X (O, 0, 0) + A(l,O,l);ea pr6pria reta r. Nao estranhe: como r C 1T e AB nao e paralelo a 1T, um segmento apoiado em r e 1T s6 sera paralelo a AB se suas' extremidades coincidirem! =

2 5. X

26.

=

x

=

A

=

(11/5, 19/5,-1/5) + A (2, 1, 0) e (-1/5, 31/5, 11/5) + µ(2, 1,0) (1,1,1), (0, 0, O)

h: X

=

(2, 2, 2), A(l,1,1)

B +

c

=

=

(3,3,3),

27. Duas solu�oes: i) 1T: 2x B

ii)

1T: B

=

-y+

z-1

(0, -1,0),

-x + 2y + z - 1 =

vertices: A (0, 0, 1),

0,

=

C

=

0, vertices:

=

(0,1/2,0),

C

=

=

A

(1/2,0,0), D (0,0,O) =

=

(-1,0,0),

(0,0,1).

28. Duas solu�oes: i) 1T: 6x + 3y + 2z + 3 0 ii) 1T: 6x + 3y + 2z - 3 0 =

=

CAPITuLO §1.

17

PERPENDICULARISMO E ORTOGONALIDADE

Reta e Reta (p4g. 196)

1. a) perpendiculares c) perpendiculares e) nao sao ortogonais

b) nao sao ortogonais d) perpendiculares

------

2. a)

x= 2 -4 1A

Respostas dos Exercfcios Propo:ltos

1 x=l+-X 2

b)

y = 6- 52X

y =0

z = 1+31X

z=l-

z x- 2 =L =__ 1 1 -2

3· 4.

X

= (-

§2.

9,

9'

Reta e Plano

{

x

9

)+

'\ I\

{4 ' 5' -1)

PERPENDICULARISMO E ORTOGONALIDADE

(pag. 20 1)

1. a) nao 2. a)

20

l_ _!.!

CAPiTULO 17

b) Slln = 1 -X

c) Slln b)

y =-1

{

d) nao x= 1+2X y=3 -X z = 7+X

z =X 3. a) x- y+z + 2 = 0 b)x+y+z- 1 = 0

. c) x-y+z = 0 b) {l, -1, 2)

4. a) (3, 2 , 4) 5.

�X

a) (2, -1, -2) -8

-7

18

c) (19' 19• 19)

6. a) ( b)

58 56 ' 25 25

X

'

1)

3 3 ={-2, -2,o) +X(8, 10, 1)

1 I c) (2'2' 0)

e) Slln

363

364

7.

{

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

x=2+X y= l+X z = -3+5X

8. x+y - z - 1 =0

x y+ 1 10.1 =---=! = z V2 V2 � � 11. (-2-, 1 ,-2-), (../2,2 ,../i), (- - , 3 2 ) ; vo lum e 2

2 - -. 3

,-

CAPfTULO 17

§3.

PERPENDICULARISMO E ORTOGONALIDADE

Plano e Plano (pag. 205)

1. a) nao

b)

d)

c) sim

sim

2. x - 2y- z = 0 3. x+y - z - I = 0 4. (I, l, 0), (1, 3,v'2), ( 2, 2, v'2), (0, 2, 0) (2' 2, 0) (I, l,v'2) (I, 3,0) (O, 2,v'2) 5.

2 (3

'

-I 2 2 2 -I -3- , 3 ) ' ( 3 ' 3 '-3-) '(O, 0, l) '(O, I. 0)

CAPfTULO 18

I. a)

;�

ANGULOS (pag. 207) b)

c)

I b) arc sen VT

11'

2. a)4 c) arc sen

+

l 5

"' d)

v 2 .

arc sen

3

4

r;:; v 2 _

�

d) 0

sim

------

3. a) arc cos

2·

I

b) arc cos VJ

f7L v 66 _

Respostas dos Exercicios Propostos

rr

c)

4

4. S ao quatro retas: X=(5/2,2,-3/2)+A(I, I, I),

X=(-3,-5/3,4)+A(l. l,-1)

e

X"' (2/3, 2, 1/3)+A (-1. I. I)

X=(1/7. 3/7, 6/7) +A (I, -I, I)

5. Sao quatro retas:

X =(0, 2, I)+A (-1. I. I),

X= (0, 2, I )+A (-7,I. I)

X=(O,2,I)+A(3, I. --1 l.

X=(0. 2. I)+A (3.

x- 1 6. ± V2 = y + 2

z-i

= ±I

9.

VJ, I, I -VJ),

X=(l. I. ll+A(-4,l,l) (-2 - VJ. I. I +

v'J

l

V3

arc sen -3

2z

10. 2x- 3y +z - 5 = 0

OU

3x- y

11. x+y - 3z - I = 0

OU

x- y - 3z + 3 = 0

--

-

4 = 0

13. 6x+ 3y+ 2z - 3 = 0 14. B = (I, 0, 0),

CAPiTULO 19

I. a) VS 2. a)

c)

rs ·/270 /29

I. I)

(sao quatro retas)

7. X=(I, I, I)+A(0. I. I). 8. (-2+

--

C = (I, I, I),

D

= (1,0,1).

DISTANCIAS (pag. 231)

b)Yill b) v' 34/7 d) 3 v'TOfi

365

366

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorial

3. a)

b) 5v'30

21 J/]I

6

4. a) 2

b) 7/2

5. a) 13/2

b)

6. a)

4 .

------

) 94/13

1

2

)-

c

2../3

b) 13

r:u 46

v

d) l

c

../3 7

) v'26

c

7.

(2, 0,2), {O,2,-2)

8.

Nao e x iste solu�ao,pois r

e

p aralela ao piano me di ador d e

AB.

9. a) (l,-1,-1) 23 7 -1 10· a) ( 3•3•3) 11. (2,0,2)

e

12. (1, 0, 0)

e

13.

16.

(0,2,-2)

x

= (-1,3,-3) + A.{l,0,2)

x

17 -7 ={-l.9.9) + A.(1,0,2)

1 14. {l,. r;:;, v 2 15.

) {l,1,1)

c

0

{

l .g

.

e

1 _

G2 ),

v

1 1 (l - ..[2' --) V2 ' {2,0,0) '

a reuniao d as retas

x+z= 2

e

y=- 2+V6

0 l .g.

{

x+z = 2 y=-2 - V6

ea reuniao dos dois pianos

1T1:y=z

e

1T 2

: 2x - y - z = 2

-------

{

Respostas dos Exercfcios Propostos

1 7. 0 l.g. e a reta

r:

2x- l=O

l 6x+6y+6z = 41

18. (-3,5,-8)

e

(9,-7,16)

19. (3, 1,2)

e

(-1, -1,-2)

20. x+z - 2= 0

21.

2

V3 6x - 2y- 3z - 7= 0

22. y- 1 = 0,

24. z = 1

x+y+2z-4 = 0

OU

25. x= (1,0,3) + A.(l,1,0);

x = (4,0,-3) + A.(7,4,0)

26. 0 l .g. e a reuniao das quatro retas

r,

:

{

"{

y +1

0 f2 :

{

y+1 = 0

2z =

2x + 2y = I

x-z =

x- z = 1

"{

2z = I

2x+2y=

27. 4/3

28. Trata-se de um par de pianos, de equaiyoes gerais 4x+3y - 2z= 0 e Sy - 6z +12 = 0, que se interceptam na reta

../y'6°

-

II

e

29. 2x - y +2z - 15 = 0

30. Volume = 2

7T1

2

7T2•

2x- y+2z - 3 = 0

36 7

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

368

31. 7x+l9y - IOz+5 = 0

e

l 7x

-

-------

y+IOz - 5 = 0

32. 3x+3y+1 = 0 33. x+3y - 6z = 0 34.

Sao quatro respostas: X = (- 2,2 , 1 )_+X(l,-1,0),

X = (0,0,-1) +X(I,-1,0)

X = ( O ,O,v'I?) +X (-1,1,4), X = (0,0,-v'I?) +X(-1,1,4)

35

I d1 - d2I

• .J32+b2 +CZ •

Pensou que fosse

I d1 - d2 I, hein?!

36. 6x+3y + 2z - 3 = 0

CAPITULO §1 .

20

MUDAN�A DE COORDENADAS

Mudan� de Coordenadas em E 3 (pag.

[ : : ;1 I : : ;l I

23 7 )

1

1.

r:

w =X

2.

r:

�2

w = - 1+ X

�2

3. 2u - v - w+2 = 0 u - v+2·=o

CAPITULO §2.

20

MUDAN�AS DE COORDENADAS

Mudan�as de Coordenadas em E2

1.

(} = rr/3 + 2nrr, n inteiro

2.

O' = (-1,1) �1

(pag. 242 )

----

8

3.

=

arc sen ( -

CAPITULO 20

§3.

v'5 5 -)

+

-

2mr,

Respostas dos Exercfcios Propostos

n inteiro

MUDAN�A DECOORDENADAS

Aplica�o das Transla�6es e Rota�i'ies de E2 ao estudo da Equa�ao Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

(pag. 256)

3. a)

4u2 + v2 - 16 = 0

i)

t2 + 2w2

b)

4u2 - 3v2 - 7 = 0

j)

13t2 -4w2 -

c)

4u2 -

I)

2t2 - 3w2 - 24 = 0

d)

v2 - 4u

m)

l lt2 + 6w2 - 66 = 0

e)

u2 - Sv = 0

n)

2t2 - 11w2 - 22

f)

u2 + 2v2 - 7 = 0

o)

4t2 - w2

g)

w2 -4t = 0

p)

t2-l=O

h)

t2 + 2w2

q)

w2

5v2 +

CAPfTULO 21.

§I.

I.

a)

2 x --

x

2

=

0

=

=

=O

=

0

0

8t

C()NICAS

+

2

253

c)

0

81

Elipse, Hiperbole, Parabola (Forma Reduzida) (pag. 268)

169

b)

=

0

=

-

100

6=0

-

' x·

25

+

+

y2 144

=

y2

-- =

289 y

d) 1

1

2

-- =

16

1

2 x

3 c)

x

2

400

f)

+

+

2 x

4

+

y

2

...,

y2

--

16

y2 16

=

=

=

1

1

369

370

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

x2 g)9

+

y2 =1 49

-

2. a) (± 5, 0), (O, ± 4), (± 3 0), '.

;

b) (± 3, 0), (O, ±1), (± 2 V2, 0),

d) (± 2, 0),

(O, ±VJ),

..t_

2"2 3

V2 (0,± 5), -2

(± 5,0),

c)(0,± 5 Vi),

x

-------

(±1, 0),

1 2

2

3. a)35

+

T

35 2

=

1

-

7

4. (±2,2), (±2,-2), 16 5. a) 4x2

+

3y2

+

24x - 24y + 36 = 0

6) 8x2 - 2xy + 8y2 - 63 = 0 c) 35x2 - 2xy + 35y2 - 34x - 34y - 289 = 0 6. a)(±12,0), (±13, 0), 13/12 , 12y = ±Sx

b)(±5,0)

v'4t/5,

Sy = ± 4x

c)(0, ± 4), (0,± 4 v'1.),

V2.

y = ±x

d)(0,±2), (0,±v'l3 ),

v'l3/2 ,

3y =±2x

e) (±1,0),

(±v'4t, 0),

(±2,0), 2 , y=± v'3x

------- Respostas dos Exercfcios Propostos c) d)

f)

y2 36

x2 16

--

-

-+2

x2

W

x2 16

_i_ 9

1

=

1

=

=

1

B. a) 9x2 - 16y2 - 54x+ 64y+ 161

0

=

b) 3x2 + l 2xy+ By2 - 1 Bx - 2By+ 11 9. a) (4,0), b)(-7,0),

(0,0),

x+ 4

(o; o),

x-7

0

=

=

c) (0,- 10),

(0, 0),

y

d) (5, 0),

3

(O, 0),

Sx+ 3

e)(0, 7/B),

(0, 0),

By+ 7

(0, 0),

2By+ 15

f)

(0,

15

28 ),

10. a) y2

=

b) x2

=

c) Y2

=

d) x2 e) y2

=

=

=

0

=

0

10 =

=

0 0 0

=

32x -By 20x _2y -16x

11. a) y2 - 4x - 6y + 13 b) x2 - 6x - By + 1

=

0

=

0

c) x2 - 4xy + 4y2 + 52x + 26y +

91

=

0

371

372

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

CAPITULO

Conicas (Caso Geral) (pag. 271)

§2. 1.

CONICAS

21

a)

t2 +

I

2

w2

=

I;

y

'4 t

/

/ 2

v2

b)� 2 -2

'

I ,.

11

y

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

u

-------

c) v = ±

l

8

--

VS

arc tg

=

(

-

1 -2-).

y

......

d)

w2

'

......

'

......

......

2t;

......

8

......

=

arc tg

�. y

�

'

'

'

'

'

'

'

'

'

'

.•

V

=

(

� , - ! ), em rela<;:lio ao sistema

Ouv.

Respostas dos Exercfcios Propostos

373

J 74

Geometria Analitica: um tratamento vetorial ---�----

2

v

8

I.'

1T =

6 .

+

y

,,,,,.

u

2

4

•

u

x

0

f)-

/

/

2

v 5 -

8

I;

arc

=

tg

3

2· y

v

..._

',

I

',

I

/

I

I

!'­

I

......

I

I

......

I

' '-....._ x

I

I

-------

0 =arc tg

g) w = ± 2t;

1 -

3

y

.v

\

I I I I I

\

Respostas dos Exercfcios Propostos

\i .

I

\:

_,,,....- ·

I I .

!\

i \

I I

2 u 2. a) hiperbole:--9

b) elipse:

c)

1;

tg (}

2 u 2 4 + v = 1.

(}

'

2 t hiperbole: 6

d) parabola:

w

e) parabola: w

f)

2 v

4=

2 hiperbole: t

2

2

-

2 w 46 = 1;

8t

= 8t;

conj unto vazio; tg 0 =

-

3,

1

--

vs

1T

6 rd

{19 quadrante)

tg (} = 2

(19 quadrante)

1T

rd

--

4

tg (} = 3,

cos(}

2 2 g) ponto(origem),20u +5v = 0, tg0=-1/2

h)

cos(} =

tg (} = 5

(}

2 w -= l ; 9

-2,

cos0 =

l

v'IO

_

l_

_

- VT6

(29 quadrante)

2 2 ; t + 2w + l = 0

375

376

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

------

3. a) reuniao de duas retas concorrentes

b) hiperbole c) ponto d) elipse e) reuniao de duas retas paralelas f) parabola g) reta h) circunferencia CAP(TULO 22

SUPERFiCIES

§ 1.

Supedlcie Esferica

1.1

Equa�o reduzida e equa�o geral (pag.

1. a) (x-1)2+(y+1)2+(z+ 3)2 =

292)

4

b) x2+y2+z2 = 1 c) (x-v'2)2+(y- 1)2+(z+3)2 = 2 d) (x-18)2+(y+17)2+(z+1)2 = 2500 e) x2+(y- 1)2+z2 2. a) C=(2,-6,0),. b)C=(2,-3 ,-1),

16 r

=5

r=4

c) nao d)C=(l,-1,0),

r

=v'2

e) nao f) nao g)C=(l,1,1),

VI r =-2-

h) nao i) nao 3. x2+ y2 +z2 = 1 4.

(x;- 1)2+(y- 1)2+(z- 2)2 = 1

------

5. (x - 3)2 + (y + 1)2 + (z + 4)2 6. x2 + y2 + z2

=

6

1

=

7. x2 + y2 + z2 + 14x + 6y + 4z - 136

8.

�

=

5

1-=..l

=

0

z + 1/2 =

-1

2

9. 7 13. a)

b)

40

(3,

0, 0) ,

6 v'3

(-6, 6, -6),

0,0), v'J5

c) (O,

d)(-1,3,-1), e)

20

3

I (-2,

v'20

1,0),

1

T

15. A e exterior, B e interior. 16. (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2

=

289

17. Extremidades do diametro: (0, 0, 0)

CAPiTULO

22

Superficie Esferica

1.2

Plano tangente (pag.

I. a) 4x - y + z + 2 x-

../95

=

0

4. x - y + 3z - 4 7. 2x + y + z + 4

=

3 02)

0

y + 2z + 95

2. 2x + y - z - 4 ± 3. x - 1

(-2,2, 0).

SUPERFfCIES

§ 1.

b)

e

V6

e

=

=

=

=

0

0

x - 2y - 2z - 3 0 0

=

0

e

3x - y - z - 14

e

2x + y + z - 8

0

=

=

0

Respostas dos Exerclcios Propostos

377

3 78

Geometria Analitica: um tratamento vetorial

8.

S (d(C,

a) Nao existe, pois a reta t e secante a

b)

x

- y - z - 2 = 0 (ha um

t) < r).

s6 piano, pois t e tangente

a S).

9. x2 +y2 +z2 - 6x - 4y + 4z+ 3 = 0 10.

(x

11.

(x+ 2)2+ y2 + (z+11)2

12.

(x

-

-

2)2+ (y - 2)2+ (z - 2)2 = 4 144 = 5-

'

16 (x+2)2 +y2 +(z+ 3)2 = 5

v'3/3 )2 + (y - v'3! 3 )2 + (z

6

_

\.../1 )2

=

(fl ;

3

)2

13. x2+y2 +z2-4z+1 = 0 14. x2+ y2 +z2 - 6x+ 2y - 2z - 70 = 0 15. x2 + y2 +z2 + (3 16.

(x + 1)2 + (y -

17. 3

±

VTI) x - 4y+ 2z+ 5 =0

2)2 + (z - 1)2 = 49

I

OU

18. a = 6

e

T =

(2, 2, 2),

OU

a =

-6

e

19. r2 (a2 +b 2+c 2) =d2 20. Maximo: 6;

Minima:

-6.

21. x2 +y2 +z2 - I 2x - 6y+ 8z+ 36 = 0 n.

173 x2 +(y - 3)2 + (z - 4)2 = 7

23.

x2 +y2 +z2 + 6x+6y+ 6z+9 = 0

24. x =

I

,

CAPiTULO

2x+ 6y - 3z - 1 I = 0

SUPERFICIES

22

§ i.

Superficie Esferica

1.3

Plano secante. Equa�0es de uma circunferencia

1. (-1, 2, 3)

e

8

(pag.

306)

T

= {-2, -2, -2).

--

--

2

3.

•·

379

(x- 1)2 + (y-2)2 + (z - 1)2 = 36

1 {

2x -z - 1 =0 (x-2)2

+ y2

+ (z - 3)2

=

27

x+y-2=0 3x+ 2y+6z=6

1

{

Respostas dos Exercfcios Propostos

x2 + y2 +z 2 -2x- 3y-z = 0

5. 0 l .g. e a circunferencia de equa9oes (x-1)2 + (y- 1)2

+

(z + 2)2 = 8

x-y-2=0

{

com

6.

7.

centro

P= (2, 0, -2)

e raio ../6 .

(x- 1)2 + (y+ 1)2 + (z + 2)2=65 18x-22y+5z = 30

x-2y-z±3

0

=

1 8· (I, O, O), (- 3

'

2 2 2 3 ' 3 ) (3 ,

-1 2 2 3' 3 ) ( 3

'

,

'

2

-1

3 3), (O, O, l) '

e (0, 1, 0). 9. Secantes. Centro ( 9

10. -4

OU

+, � , ; )

e raio

+

9

-16

5 1 1. (x- 2 )2 + (y-5)2 + (z +5)2

-

81 4

(x- 2- )2 + (y - 3)2 + (z + 3)2 =4 2 9

(x -

� )2 + (y- 3)2 + (z + 3)2

225

=--

4

'·/ ·.

380

Geometria AnaUtica: um tratamento vetorial

(x - _!__ )2 + (y -1)2 + (z +1)2 2 12.(x-1)2+(y+2)2+(z+2)2

=

CAPITULO §3.

4

=

16/9

0,

x2+y2 +z2 -2x- 2z -3

SUPERFiCIES

22

Superficie CiHndrica (pag. 313)

1.(Y-Z)2 +(2Y - X -Z)2 2.

=

�

4

=

(x -1)2+(y + 2)2 +(z -4/3)2 13. x2+y2 +z2 - 2x- 2z -18

-------

(X - 2Z)2

=

Y- X

- (X -2Z) (Y -Z),+ 1

3. (X- Z) (Y - Z)

=

=

0

2Z - X -Y

4. Veja a resposta anterior. 5.f(X-mZ,

Y-nZ)

O

=

6. (3X-2Y +Z - 9)2- 14 (X2+Y2 +Z2 - 2X+ 4Y - 4Z + 6) CAPiTULO §4 .

SUPERFICIES

22

Superficie Conica (pag. 319

1. x2 + Y2 - z2

=

o

2. X2 + Y2 +X (Z -1) 3. xz -Y2

=

)

=

0

0

4. x2 - 1Y2- sz2 +6XY

=

o

5. 2 (X+2Y-Z-2)2 -3 ((X-1)2 +(Y-1)2 +(Z-1)2)

CAPITULO §5.

22

SUPERFiCIES

Superficie de Rota�iio (pag. 323)

1. (X+Y +Z)2 -2 (X2+Y2+Z2) + 1

0

=

0

=

0

=

0

----

Respostas dos Exercfcios Propostos

2. (X +Y +Z)2 - 2(X2 +Y2 t Z2)= 0 3.a) 9(X2 + Y2)= (1-3Z2)2 X2 +Y2 +z2= 1

b)

c) 4(X2 +Y2)=

(X2 + Y2 +(Z -2)2)2 (a

superficie e urn toro).

4. a) 3(Y2 +Z2) + 3X= 1

s.

b)

X2 +Y2 +z2= 1

c)

16(Y2 +Z2)= [(X-1)2 +Y2 +Z2 + 3]2

z2 +x2=(Y2 - 1)2

y2 x2 z2 +- = 1 6. - - + 2 a2 a2 b 1.

e

X2 +Y2-z2-z= o

CAPITuLO 22

SUPERF(CIES

§6. Quadricas (Forma Reduzida) (pag. 329) y2 z2 8.X= -g--g-

parabol6ide eliptico; e urna superficie de rota�ao. z

......

parabol6ide hiperb6lico.

10. �

uma superficie conica de vertice V= (0,

0, 2),

que tern por diretriz a circunferencia

.{

x2

+y2= 4

C..

'

z =

y

0

Veja o Exercicio Resolvido n9

3, do§ 1,

Capitulo 18.

381

382

Geometria Analftica: um tratamento vetorial

11. x2 +y2 + z2 - 6x - 14y - 6z + 26

=

0,

x2 +y2 +z2 + 2x + lOy - IOz +IO = 0.

Se voce nao souber o que e gradiente de uma funyao, resolva o exercicio com este dado -+

adicional: o vetor n

=

(2,

6, -1) e normal ao parabol6ide dado no ponto T =(I, 1, 4).

BIBLIOGRAFIA

BORSUK, Karol. Multidimensional analytic geometry. Warszawa, PWN, 1969. 443 p. (monografie Matematyczne, SO). CAROLI, Alesio Joao de; CALLIOLI, Carlos Alberto; F EITOSA, Miguel Oliva. Vetores, geometria analitica: teoria e exercicios. 6.ed. Sao Paulo, Nobel, 1968. 212p.

MURDOCH, David C. Geometria anal(tica: com uma introdufao ao ctilculo vetorial e matrizes. 2.ed. Rio de Janeiro, Livros Tecnicos e Cientificos, 1971. 296p. KLETENIK, D. Problemas de geometria analitica. 2 .ed. Belo Horizonte, Cultura Brasileira, 1977. 29Sp. OLIVA, Waldyr Muniz. Vetores e geometria. Sao Paulo, Edgard Blucher-EDUSP, 1971. 14Sp. RODRIGUES, Antonio. Cr.mo de geometria analitica. Porto Alegre, EMMA, 1963. 3v. em 1. WOOTON, William; BECKENBACH, Edwin F.; FLEMING, Frank J. Modern analytic geometry. Boston, Houghton Mifflin, cl 978. 31p. (Houghton Mifflin Mathematics Program) , 383

OOICE ANAUfICO

Adi�iio de vetores, 7 Angulo

Distancia entre pianos, 230

entre pianos, 212

entre ponto e piano, 223

entre reta e piano, 210

entre ponto e reta, 221

entre retas, 207

entre pontos, 124, 219

entre vetores, 57

entre reta e piano, 230 en tre retas, 226 Duplo produto vetorial, 99

Base, 38 Base ortonormal, 41

Eixos coordenados, 119 Elipse, 258 Elipsoide, 329

Centro de uma conica, 272 Classifica�iio das oonicas, 280 Combina�iio linear, 28 Conicas, 258, 271 classifica�iio, 280 Coordenadas de vetor, 38 de ponto, 120

Equa�iio geral do piano, 146 Equa�iio vetorial da reta, 126 do piano, 140 Equa�0es da reta na fonna simetrica, 130 Equa�5es de circunferencia, 306 Equa�oes parametricas da reta, 128 do piano, 140 Equipotencia, 5 Espa�o vetorial, 13

Dependencia linear, 27 Desigualdade de Schwan, 62 384

Feixe de pianos, 166

Jndice analftico

Hiperbole, 262

Processo de ortonormaliza�ao de

Hiperbol6ide de duas folhas, 335 de uma folha, 331

Gram-Schmidt, 69 Produto escalar, 58 misto, 106 vetorial, 86

lndependencia linear, 27

Projevlio ortogonal, 63

LD, 27

Quadricas, 329

LI, 27 Representante, 5 Matriz de mudan�a de base, 49 Matriz ortogonal, 73 Mediana, 18

Retas ortogonais, 196 Rota�lio, 244, 249 Roto-transl�lio, 257

Mudan� de base, 47 Mudan�a de coordenadas, 237 Muitiplica�ao de numero real por vetor, 12

Segrnento orientado, 4 Semi-espa�o. 214 Sistema de coordenadas cartesianas, 119

Norma de um vetor, 6, 42

Sistema ortogonal, 119 Soma de ponto com vetor, 16 Superflcie

Orient�lio, 77

Ortonormal tbase) : 41

Parabola, 266 Parabol6ide ellptico, 337

cillndrica, 313 conica, 319 de rota�lio, 323 esferica, 292

Teorema de Pitigoras, 41 Transl�lio, 242-243, 248

hiperb61ico, 338 Perpendicularismo piano e piano, 205 reta e piano, 201 reta e reta, 196

Vetor, 1 adi�lio, 7 angulo entre vetores, 57

Plano mediador, 219

defini�lio, 6

Plano tangente a superflcie esferica, 302

dependencia linear, 27

Plano secante a superflcie esferica, 306

norma, 6

Pianos coordenados, 119

ortogonalidade, 41

Ponto medio, 122

vetor gerado, 28

Posi�o relativa

vetor normal a piano, 160

piano e piano, 181 reta e piano, 175 reta e reta, 170

vetor nulo, 6 vetor oposto, 6 volume de tetraedro, 109

385