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TEMA I

Teoría de Circuitos

Electrónica II 2009 1

1 Teoría de Circuitos 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Introducción. Elementos básicos Leyes de Kirchhoff. Métodos de análisis: mallas y nodos. Teoremas de circuitos: Thevennin y Norton. Fuentes reales dependientes. Condensadores e inductores. Respuesta en frecuencia. 2

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1.8 Respuesta en frecuencia Circuitos de primer orden Circuitos de orden superior Impedancia, reactancia y admitancia Frecuencia de resonancia Circuito RLC Serie Circuito RLC Paralelo

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Resistencias y C.A. ◊ ◊

Son los únicos elementos pasivos para los cuales la respuesta es la misma tanto para C. A. como para C.C. Se dice que en una resistencia la tensión y la corriente están en fase.

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2

Capacidad y C.A. ◊ ◊

En C.C. su comportamiento es similar a las resistencias. En cambio en C.A. las señales tensión y corriente mantienen la forma de onda pero desfasadas 90º. La corriente se adelanta 90º a la tensión.

La corriente no depende exclusivamente del valor de la tensión y de la reactancia capacitativa, sino también de la frecuencia, siendo directamente proporcional a esta.

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Capacidad y C.A. ◊

El parámetro que mide el valor de la reactancia capacitativa:

XC = 1/2  f C = 1/w C Donde XC se expresa en ohms

◊

Como XC = V/I por la Ley de Ohm entonces tenemos:

i(t) = V(t)/XC = 2fC V(t) = wC V(t)

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3

Inductancia y C.A. ◊ ◊

En C.C. su comportamiento es similar a las resistencias. En cambio en C.A. las señales tensión y corriente mantienen la forma de onda pero desfasadas 90º. La corriente atrasa 90º con respecto a la tensión.

La corriente no depende exclusivamente del valor de la tensión y de la reactancia inductiva, sino también de la frecuencia, siendo inversamente proporcional a esta.

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Inductancia y C.A. ◊

El parámetro que mide el valor de la inductancia es la reactancia inductiva:

XL = 2  f L = w L Donde XL se expresa en ohms

◊

Como XL = V/I por la Ley de Ohm entonces tenemos que:

i(t) = V(t)/XL = V(t)/2fL = V(t)/wL

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4

Resistencia y reactancia ◊

La resistencia es el valor de oposición al paso de la corriente (sea continua o alterna) de la resistencia. resistencia

◊

La reactancia es el valor de la oposición al paso de la corriente alterna que tienen los condensadores y las bobinas.

◊

Existe la reactancia capacitativa debido a los condensadores y la reactancia inductiva debido a las bobinas.

◊

Cuando en un mismo circuito se tienen resistencias, condensadores y bobinas y por ellas circula corriente alterna, la oposición de este conjunto de elementos al paso de la corriente alterna se llama impedancia. 9

Impedancia ◊

La impedancia tiene unidades de Ohmios (Ohms). Y es la suma de una componente resistiva (debido a las resistencias) y una componente reactiva (debido a las bobinas y los condensadores). Z=R+jX La jota ( j ) que precede a la X, nos indica que la X es un número imaginario.

◊

La bobina y el condensador causan una oposición al paso de la corriente alterna; además de un desfase, pero idealmente no causa ninguna disipación de potencia, como si lo hace la resistencia (La Ley de Joule). Joule)

◊

El desfase que ofrece un bobina y un condensador son opuestos, y si estos llegaran a ser de la misma magnitud, se cancelarían y la impedancia total del circuito sería igual al valor de la resistencia. 10

5

Impedancia ◊

Las reactancias se muestran en el eje Y (el eje imaginario) pudiendo dirigirse para arriba o para abajo, abajo dependiendo de si es mas alta la influencia de la bobina o el condensador y las resistencias en el eje X. (solo en la parte positiva del eje X). El valor de la impedancia (la línea diagonal) será:

Z = R + j( j(XL - XC)

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Impedancia y Admitancia ◊ Al ser la impedancia un valor complejo (suma vectorial), t i l) se mide id su módulo ód l y fase: f

◊ La inversa de la impedancia es la Admitancia (Y): Y = 1/Z

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Orden del circuito Circuitos de p primer orden

Circuitos de segundo orden

Se reducen al equivalente de Thévenin/Norton conectado a un condensador o bobina.

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Combinaciones R-C ◊

Se combinan resistencias e inductancias:

En el diagrama vectorial de las tensiones del circuito ,vemos cómo VR está en fase con la corriente, VC está retrasada 90º con respecto a ésta. 14

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Combinaciones R-L ◊

Se combinan resistencias e inductancias:

En el diagrama vectorial de las tensiones del circuito ,vemos cómo VR está en fase con la corriente, VL está adelantada 90º con respecto a ésta. 15

Combinaciones R-L-C ◊

Se combinan resistencias, capacitancias e inductancias:

La tensión resultante total es función de las tres tensiones presentes, resultando la tensión total (VT) adelantada a la corriente si XL > XC, atrasada si XC > XL y estará en fase con la corriente si XC = XL. 16

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Circuitos resonantes ◊ ◊

Un circuito de resonancia está compuesto por una resistencia i t i un condensador d d y una bobina b bi en ell cuall se alimentan de corriente alterna. Hay dos tipos de circuitos resonantes: serie y paralelo.

Cuando el circuito entra en resonancia, tanto el de serie como el de paralelo, la tensión en la bobina es la misma tensión del condensador, entonces eso quiere decir que el valor óhmico se iguala ( XL = XC ). 17

Frecuencia de resonancia ◊

◊ ◊ ◊

La reactancia de un condensador o de una bobina es el valor óhmico que se opone al paso de electrones. electrones Cuando la frecuencia crece la reactancia de la bobina aumenta, en tanto que al del condensador disminuye. Pero hay una determinada frecuencia en la que los valores absolutos de ambas reactancias se igualan y a este fenómeno se llama "Frecuencia de resonancia". Su valor se deduce de esta manera: XC = 1/2fC XL = 2fL ; Para la frecuencia de resonancia: 2ff = 1/√(LC) /√( ) El factor de calidad es algo más amplio, puede definirse en el caso de una bobina, como la reacción: Q = XL/RL El ancho de banda es el margen de frecuencias. 18

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Circuito RC. Respuesta natural

◊ ◊

El interruptor ha estado cerrado para tiempo anterior al instante cero y por tanto el condensador ha almacenado energía De modo que en el instante cero entre sus placas tiene un potencial V0

Circuito RC. Respuesta natural

◊ ◊

A partir del instante cero el interruptor está abierto y por tanto tenemos el siguiente circuito La energía almacenada en el condensador se disipa en forma de calor a través de la resistencia

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Circuito RC. Respuesta natural Ecuación homogénea diferencial de primer orden: ◊ ◊ ◊ ◊ ◊

Ordinaria  una sola variable independiente (el tiempo) Primer orden  primera derivada del voltaje Lineal  la variable dependiente y sus derivadas no incluyen términos de segundo orden Coeficientes constantes  C y R no dependen del tiempo Homogénea  no hay términos que no incluyan el potencial o su derivada

Circuito RC. Respuesta natural

Integrando a ambos lados: Condiciones iniciales

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Circuito RC. Respuesta natural

Régimen permanente

El condensador se descarga sobre la resistencia siguiendo una evolución exponencial desde el valor inicial V0 hasta 0=V∞

Régimen transitorio

Circuito RC. Respuesta natural

◊ ◊ ◊ ◊ ◊

El producto RC (Ohmios x Faradios) tiene unidades de tiempo T= RC recibe el nombre de constante de tiempo del circuito Vemos que para t=T el voltaje ha caído un 63% del valor V0 Como este circuito no tiene ninguna fuente la solución que hemos hallado se llama respuesta natural (o no forzada) Y T recibe el nombre de constante de tiempo natural

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Circuito RC. Respuesta natural

Energía en el condensador:

Circuito RC. Respuesta forzada

◊ ◊

Ahora tenemos una ecuación no homogénea Solución: suma (superposición) de la homogénea y la solución de la ecuación particular

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Circuito RC. Respuesta forzada

Homogénea Particular

◊ ◊ ◊

Para el cálculo del parámetro A tenemos en cuenta las condiciones iniciales En el instante cero el voltaje en el condensador es V0 Así A= V0 - VS

Circuito RC. Respuesta forzada

◊ ◊

Gráfica con el tiempo normalizado respecto a la constante de tiempo Después de 5 veces la constante de tiempo el voltaje en el condensador alcanza el 99% del voltaje Vs

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Circuito RC. Entrada pulso

◊ ◊

Ell switch i h ha h estado d en lla posición i ió “a” “ ” por un tiempo i suficientemente largo para que el condensador esté completamente descargado En el instante inicial el switch cambia a la posición “b” y permanece en ella por un tiempo t1 y posteriormente retorna a la posición “a”

Circuito RC. Entrada pulso

Hasta t1 el circuito se comporta como un RC con respuesta forzada y voltaje inicial cero A partir de t1 el circuito es un RC con respuesta natural. Para conocer su condición inicial necesitamos hallar el voltaje en el instante t1

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Circuito RC. Entrada pulso

Gráfica normalizada respecto a la constante de tiempo

Circuito RL. Respuesta natural

◊ ◊ ◊

Estamos en una situación similar a la anterior El inductor tiene almacenada una energía y en el instante inicial se conecta en serie con una resistencia Por tanto comienza a fluir corriente y la energía almacenada en la bobina se disipa en la resistencia

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Circuito RL. Respuesta natural Asumiendo q que la

solución tiene la forma

Solución no trivial Condiciones iniciales

Circuito RL. Respuesta natural

◊ ◊ ◊ ◊ ◊

El producto L/R (henrios/ohmios) tiene unidades de tiempo T= L/R recibe el nombre de constante de tiempo del circuito Vemos que para t=T el voltaje ha caído un 63% del valor V0 Como este circuito no tiene ninguna fuente la solución que hemos hallado se llama respuesta natural (o no forzada) Y T recibe el nombre de constante de tiempo natural

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Circuito RL. Respuesta natural

Procedimiento análisis transitorio RC y RL ◊

1 – Calcular la inductancia/ capacitancia equivalente

◊

2 – Calcular la resistencia de Thévennin vista por la inductancia/ capacitancia equivalente

◊

3 – La constante de tiempo es ReqCeq o Req/Leq

◊

4 – Calcular el valor inicial de V o I en el circuito

◊

5 – Buscar el valor final de Vc o IL para tiempo infinito

◊

6 – Solución =valor final+[valor inicial-valor final]

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Circuito con dos constantes de tiempo

◊ ◊

El switch ha estado en la posición “a” por un tiempo suficientemente largo para que el condensador esté completamente descargado En el instante inicial el switch cambia a la posición “b” y permanece en ella por un tiempo t1 y posteriormente retorna a la posición “a”

Circuito con dos constantes de tiempo

◊

Las ecuaciones dependen de las dos constantes de tiempo

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Circuito con dos constantes de tiempo para para

Respuesta a un impulso

Respuesta general

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Respuesta a un impulso respuesta

◊

Si el impulso es más estrecho la salida no alcanzará el valor máximo

Circuito RLC serie ◊ ◊

La intensidad que pasa por todos los elementos es la misma. La suma (vectorial) de las tensiones de los tres elementos.

El vector resultante de la suma de los tres vectores es:

Se denomina impedancia del circuito al término:

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Circuito RLC serie

KVL

C i t circuito Corriente i it

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Circuito RLC serie

Ecuación de segundo orden

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Circuito RLC serie Ecuación de segundo orden

Sol. Particular + sol homogénea

particular

homogénea

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Circuito RLC serie homogénea

Asumiendo que la solución tiene la forma Ecuación característica:

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Circuito RLC serie Raices Ecuación característica

Solución de la homogénea

Solución completa A1 y A2  condiciones iniciales 47

Circuito RLC serie Respuesta subamortiguada

◊ ◊

Las raíces son complejas. El sistema presenta un comportamiento oscilatorio 48

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Circuito RLC serie Respuesta Críticamente amortiguada

◊ ◊

Las raíces son números reales y de igual valor El sistema no presenta oscilaciones 49

Circuito RLC serie Respuesta Sobreamortiguada

◊ ◊

Las raíces son números reales y son distintas No hay oscilación 50

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Circuito RLC serie Parámetros Frecuencia de resonancia: Frecuencia natural del sistema. Factor de amortiguamiento: Críticamente amortiguado Sobreamortiguado Subamortiguado

◊

Cuando se aumenta el valor de la resistencia aumenta el valor de alfa  respuesta sobreamortiguada 51

Circuito LC serie Asumiendo que la solución l ió es d de la forma:

Ecuación característica:

Frecuencia de resonancia ◊

En el límite cuando la resistencia se hace cero el circuito RLC serie se reduce a el circuito LC serie 52

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Circuito RLC paralelo

◊

Determinar la corriente y la tensión en el inductor: 1 2 3 4

– – – –

Establecemos las condiciones iniciales del sistema. sistema Determinamos la ecuación que describe el sistema. resolvemos la ecuación. Distinguimos las características de operación en función de los parámetros de los elementos del circuito.

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Circuito RLC paralelo La caída de tensión es igual en los tres elementos:

Condiciones iniciales: KCL:

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Circuito RLC paralelo Ecuación diferencial que describe al sistema

La solución de la ecuación es la suma de la sol. homogénea y la sol. particular

Solución Particular

Ecuación homogénea

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Circuito RLC paralelo Ecuación homogénea

La solución es de la forma:

Ecuación característica

Frecuencia resonancia Coeficiente amortiguamiento

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Circuito RLC paralelo Ecuación característica:

Raíces de ecuación característica

La solución de la homogénea es una combinación lineal de:

Solución general 57

Circuito RLC paralelo

Críticamente amortiguado. S1 y S2 son iguales y reales. No respuesta oscilatoria Sobreamortiguado. Sobreamortig ado S1 y S2 son distintos y reales reales. No respuesta oscilatoria Subamortiguado. S1 y S2 son complejos. Respuesta oscilatoria

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Circuito LC paralelo

En el circuito LC no hay amortiguamiento ◊ ◊

Resistencia infinita  coeficiente de amortiguamiento nulo 59

RLC respuesta transitoria Sumario Paralelo

Serie

Críticamente amortiguado

Sobreamortiguado

Subamortiguado Respuesta

60

30