Clase # 3 Tpr Simetrías Par E Impar

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. TALLER PROBLEMAS RESUELTOS TPR CLASE # 10 .

Docente: Martha Guzmán. Página # 1 de 12.

COMPETENCIA: Manejar el concepto de construcción de ESPECTROS de Amplitud y Fase..

SIMETRÍAS DE ONDA EJEMPLO # 1: Considere la siguiente función, determine si tiene simetría: i = i ( t ) (Amperios) (-л,

4)

4

( л,

PAR, IMPAR, MEDIA ONDA ó NINGUNA.

i(t)

4)

función de t.

Con período

T = 2л seg.

t (seg). Con frecuencia -4л

-3л

-2л

-л

л

2л

3л

w = 1 (rad/seg)

Con Amplitud =

4л

4 (Amperios )

a) Lo primero es verificar si la i ( t ) tiene SIMETRÍA PAR. Para lograrlo, utilizamos la condición de simetría par: f ( t ) = f ( - t ). Como en este caso la función periódica se llama i ( t ) la condición a verificar será entonces: i ( t ) = i ( - t ). • Seleccionamos un t arbitrariamente, tal que corresponda a un i máximo o mínimo: Por ejemplo t = л. Y observe que i ( t ) = i ( л ) = 4 Amp. • Como la condición involucra i ( - t ), buscamos: i ( - t ) = i ( - л ) = 4 Amp. •

Nos preguntamos entonces, si se cumple la condición de SIMETRÍA PAR:

¿ ¿ ¿

i( t ) = i( - t ) ? i( л ) = i( -л ) ? 4 = 4 ?

La respuesta es sí, por lo tanto la función

i ( t ) sí tiene simetría PAR.

b) Lo segundo es verificar si la i ( t ) tiene SIMETRÍA IMPAR. consideremos: • La condición de simetría par es:

f(t) =

Pero antes de iniciar cualquier cálculo,

f ( - t ).

-

• La condición de simetría impar es: f ( t ) = f ( - t ). Por lo que podemos decir que ambas simetrías son MUTUAMENTE EXCLUYENTES, si una señal es PAR es imposible que tenga simetría IMPAR. Y si una señal es IMPAR, es imposible que tenga simetría PAR. Podemos concluir que la señal i ( t ) del ejemplo NO PUEDE TENER SIMETRÍA IMPAR, por que ya demostramos que tiene simetría PAR.

c) Lo tercero es verificar si la i ( t ) tiene SIMETRÍA DE MEDIA ONDA. Para lograrlo, utilizamos la condición de simetría de media onda: f ( t ) = - f ( t + { T/2 } ). Como en este caso la función periódica se llama

i(t)

la condición a verificar será entonces:

i ( t ) =

-

i ( t + { T/2 } ).

•

Seleccionamos un t arbitrariamente, tal que corresponda a un i máximo o mínimo: ejemplo t = л. Y observe que i ( t ) = i ( л ) = 4 Amp.

•

Como la condición involucra Buscamos: i ( t + { T/2 } Por lo tanto:

•

-

Por

-

i ( t + { T/2 } ), donde T es el período. ) = i ( л + { 2л /2 } ) = i ( 2л ) = 0 Amp. i ( t + { T/2 } ) = - 0 Amp = 0 Amp.

Nos preguntamos entonces, si se cumple la condición de SIMETRÍA DE MEDIA ONDA:

¿ f ( t ) = - f ( t + { T/2 } ).? ¿ i ( t ) = - i ( t + { T/2 } ).? ¿ 4 = 0 ? La respuesta es NO !!! Por lo tanto la función i ( t ) NO tiene simetría de MEDIA ONDA.

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SIMETRÍAS DE ONDA EJEMPLO # 2: Considere la siguiente función, determine si tiene simetría: x = x (t)

PAR, IMPAR, MEDIA ONDA ó NINGUNA.

Wattios. 3 2

( 1,3)

x (t)

función de t.

Período

T = 4 seg.

Frecuencia w = 1.57 (rad / seg). -4

-2

-1

1

2

4

t

Amplitud =

a)

3 Wattios.

Lo primero es verificar si la x ( t ) tiene SIMETRÍA PAR. Para lograrlo, utilizamos la condición de simetría par: f ( t ) = f ( - t ). Como en este caso la función periódica se llama x ( t ) la condición a verificar será entonces: x ( t ) = x ( - t ). :

•

Seleccionamos un t arbitrariamente, tal que corresponda a un x máximo o mínimo: x ( t ) = x ( 1 ) = 3 wattios.

• •

Buscamos también:

Por ejemplo

t = 1.

x ( - t ) = x ( - 1 ) = 0 wattios.

Nos preguntamos entonces, si se cumple la condición de SIMETRÍA PAR: ¿ x( t ) = x( - t ) ? ¿ x( 1 ) = x( -1) ? ¿ 3 = 0 ? La respuesta es NO, por lo tanto la función x ( t ) NO tiene simetría PAR.

b)

Lo segundo es verificar si la x ( t ) tiene SIMETRÍA IMPAR. Para lograrlo, utilizamos la condición de simetría impar : f ( t ) = - f ( - t ). Como en este caso la función periódica se llama x ( t ) la condición a verificar será entonces: x ( t ) = - x ( - t ).

•

Seleccionamos un t arbitrariamente, por ejemplo x ( t ) = x ( 1 ) = 3 wattios.

t = 1 y evaluamos:

•

Buscamos también: x ( - t ) = x ( - 1 ) = 0 wattios. Por lo tanto si necesitamos: - x ( - 1 ) = - 0 wattios. = 0 wattios. • Nos preguntamos entonces, si se cumple la condición de SIMETRÍA IMPAR: ¿ x( t ) = - x( - t ) ? ¿ x( 1 ) = - x( -1) ? ¿ 3 = 0 ? La respuesta es NO, por lo tanto la función x ( t ) NO tiene simetría IMPAR.

c)

Lo tercero es verificar si la x ( t ) tiene SIMETRÍA DE MEDIA ONDA. Para lograrlo, utilizamos la condición de simetría de media onda: f ( t ) = - f ( t + { T/2 } ). Como en este caso la función periódica se llama x ( t ) la condición a verificar será entonces: x ( t ) = - x ( t + { T/2 } ).

• •

Seleccionamos un t arbitrariamente por ejemplo t = 1. Y observe que x ( t ) = x ( 1) = 3 wattios. Como la condición involucra - x ( t + { T/2 } ), donde T es el período. Buscamos: x ( t + { T/2 } ) = x ( 1 + { 4 /2 } ) = x ( 3 ) = 0 wattios. Por lo tanto: - x ( t + { T/2 } ) = - x ( 3 ) = -0 = 0 wattios.

• Nos preguntamos entonces, si se cumple la condición de SIMETRÍA DE MEDIA ONDA: ¿ f ( t ) = - f ( t + { T/2 } ).? ¿ x ( t ) = - x ( t + { T/2 } ).? ¿ x ( 1 ) = - x ( 1 + { 4/2 } = - x ( 3 ) .? ¿ 3 = 0 ? La respuesta es NO !!! Por lo tanto la función x ( t ) NO tiene simetría de MEDIA ONDA.

En conclusión, acabamos de verificar que esta función x (t) no tiene ninguna de estas simetrías.

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EJEMPLOS DE CÁLCULO DE SERIES DE FOURIER NOTA IMPORTANTE. Las integrales pueden realizarse utilizando cualquiera de los siguientes métodos: • Técnicas de integración, como integración por partes. • Lectura de tablas de integrales. • Uso del software MATLAB. En este taller realizaremos las integrales usando en cada caso cualquiera de las opciones anteriores.

Un procedimiento posible, cualquiera es: 1.

2. 3. 4. 5. 6. 7.

para

calcular

una

SERIE DE FOURIER

para una señal periódica f ( t )

Establecer la SIMETRÍA que caracteriza a la señal periódica f ( t ) en estudio. Establecer los valores para el Período T y la frecuencia angular fundamental w0 de la señal periódica. Definir un n finito para la serie. Escribir la Serie de Fourier hasta el n pre-fijado. Seleccionar las FÓRMULAS que servirán para calcular LOS COEFICIENTES DE FOURIER: a0 , an , bn , según la simetría de onda encontrada. Definir un punto de inicio ( d ) y el punto final ( d + T ) o ( d + T/2 ), para el período que se va a integrar. Observando las fórmulas, escribir las siguientes integrales reemplazando los valores conocidos de: T, w0 , d, ( d + T ), y n. : • La integral para calcular el nivel DC, o sea el coeficiente: a0

•

8. 9. 10.

Las n integrales para calcular las amplitudes de los n armónicos en el coseno, o sea los coeficientes: an . • Las n integrales para calcular las amplitudes de los n armónicos en el seno, o sea los coeficientes: bn . Como las integrales para calcular a0 , an , bn , involucran a la función f ( t ),, es necesario para cada una de las integrales en el numeral 7), encontrar las ecuaciones que definen la señal periódica f ( t ) en el intervalo propio de cada integral. Reemplazar en las integrales, las ecuaciones que definen la señal f ( t ) , en el intervalo propio de cada ecuación. Realizar todas las integrales anteriores, utilizando una de las siguientes opciones: • Uso de las TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN conocidas. • Uso de TABLAS DE INTEGRALES.

•

Uso del comando int ( ) de MATLAB. 11. Reemplazar los valores encontrados para a0 , todos los an , y todos los bn , en la serie de fourier escrita en el numeral 4). 12. Graficar en MATLAB la serie de fourier encontrada.

CÁLCULO SERIES DE FOURIER EJEMPLO # 1: Considere la siguiente función i (t) que tiene forma de frente de onda cuadrado, y calcule la correspondiente SERIE DE FOURIER para esta señal periódica, hasta n = 3.

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. TALLER PROBLEMAS RESUELTOS TPR CLASE # 10 . i ( t ) Amperios

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Período T = 2 Seg. 1

Frecuencia Angular Fundamental w0 = л (rad/seg) w0 = 3.14 ( rad/seg)

t seg -3

-2

-1

0

1

2

3

Amplitud

= 1

-1

Iniciamos el procedimiento para calcular una SERIE DE FOURIER : 1.

Establecer la SIMETRÍA que caracteriza a la señal periódica f ( t ) en estudio.

Aplicando el método gráfico, podemos determinar que la función i(t) tiene simetría IMPAR.

2.

Establecer los valores para el Período T y la frecuencia angular fundamental w0 de la señal periódica. Entoces: w0 = 2 л = 3.14 (

Establecemos de la lectura de la gráfica que: T = 2 seg.

rad/seg )

T

3.

Definir un n finito para la serie.

Definimos el número de armónicos a calcular como n = 3.

4.

Escribir la Serie de Fourier hasta el n pre-fijado.

i(t) = a0 + [ a1 * Cos ( 1*3.14* t ) ] + [ a2 * Cos ( 2*3.14* t ) ] + [ a3 * Cos ( 3*3.14* t ) ] + [ b1 * Sen ( 1*3.14* t ) ] + [ b2 * Sen ( 2*3.14* t ) ] + [ b3* Sen ( 3*3.14* t ) ]

i(t) = a0 + a1Cos(3.14 t) + a2 Cos(6.28 t) + a3 Cos(9.42 t) + b1Sen(3.14 t) + b2 Sen(6.28 t) + b3Sen (9.42 t ) Es fácil observar que en esta serie, los únicos datos que todavía no conocemos y debemos calcular, son los coeficientes de fourier: a0 , an , bn Que corresponden a las AMPLITUDES de los armónicos.

5.

Seleccionar las FÓRMULAS que servirán para calcular LOS COEFICIENTES DE FOURIER: a 0 , an , bn , según la simetría de onda encontrada.

Como la señal periódica que nos ocupa tiene simetría impar, para calcular los coeficientes utilizamos las fórmulas correspondientes a tal simetría, recordemos: COEFICIENTES PARA ONDAS CON SIMETRÍA IMPAR: a0 an

= =

bn

=

bn

=

0 0

; Para todas las n. ( d + {T/2} )

6.

( 4 ) * ∫ d T 0

;

f ( t ) * Sen ( wn t ) dt

;

Sólo para las n impares.

Para las n pares.

Definir un punto de inicio ( d ) y el punto final ( d + T ) o ( d + T/2 ) ,

para el período que se va a integrar.

Definimos como punto de inicio del período de integración: d = 0 , punto final se define como: ( d + T/2 ) = 0 + 2/2 = 1

y como la señal tiene simetría IMPAR el

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7.

Docente: Martha Guzmán. Página # 5 de 12.

Observando las fórmulas, escribir las siguientes integrales reemplazando los valores conocidos de: :

• •

La integral para calcular el nivel DC, o sea el coeficiente:

T, w0 , d, ( d + T ),

y n.

a0

Las n integrales para calcular las amplitudes de los n armónicos en el coseno, o sea los coeficientes: an .

•

Las n integrales para calcular las amplitudes de los n armónicos en el seno, o sea los coeficientes: bn .

Planteamos entonces todas las integrales de interés así:

a a a a

0

=

0 Amperios.

1

=

0 Amperios.

2

=

0 Amperios.

=

0 Amperios.

3

1

b

1

∫ i(t)*

= (4) * 2

b

=

2

0

Sen ( 1*3.14* t ) dt

0

Amperios. 1

b

∫

= 2 *

3

1

i ( t ) * Sen ( 3*3.14* t ) dt

= 2 *

0

∫

i ( t ) * Sen ( 9.42* t ) dt

0

Significa entonces que para la señal i ( t ), por tener SIMETRÍA IMPAR, la serie de fourier hasta n = 3, solamente tiene dos armónicos: El número 1 en el seno con amplitud

8.

b,

y el número 3 en el seno con amplitud

1

b. 3

Como las integrales para calcular a0 , an , bn , involucran a la función fi( t ),, es necesario para cada una de las integrales en el numeral 7), encontrar las ecuaciones que definen la señal periódica f ( t ) en el intervalo propio de cada integral..

En el intervalo de integración 0 < t < 1 la función i ( t ) tiene una ecuación que es una recta con pendiente igual a cero e intercepto igual a 1, observe: i = 0*t + 1 i = 1

9.

Reemplazar en las integrales, las ecuaciones que definen la señal f ( t ) , en el intervalo propio de cada ecuación.

1

b

1

∫

= 2 *

i ( t ) * Sen ( 3.14* t ) dt

0 1

b

1

= 2*

∫

1

1 * Sen ( 3.14* t ) dt

=

2 *

0

0

1

b

3

=

2 *

∫ 0 1

i ( t ) * Sen ( 9.42* t ) dt

∫

Sen ( 3.14* t ) dt

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. TALLER PROBLEMAS RESUELTOS TPR CLASE # 10 .

b

3

= 2

∫

*

Docente: Martha Guzmán. Página # 6 de 12.

1 * Sen ( 9.42* t ) dt

0 1

b

3

∫

= 2 *

Sen ( 9.42* t ) dt

0

10. Realizar • • •

todas las integrales anteriores, utilizando una de las siguientes opciones: Uso de las TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN conocidas. Uso de TABLAS DE INTEGRALES. Uso del comando int ( ) de MATLAB.

Comencemos por la integral para calcular la amplitud del armónico número uno del seno: 1

b

1

∫

= 2*

Sen ( 3.14* t ) dt

0 1

b

1

=

2 * { - Cos(3.14 * t) 3.14

} 0 1

b

1

0.64 * { Cos(3.14 * t)

= -

}

0

b

= - 0.64 *{ Cos(3.14 * 1) - Cos(3.14 * 0 )}

b

= -

0.64 * { Cos(3.14) - Cos( 0 )

b

= -

0.64 * { (- 1 ) - 1

b b

1

= -

0.64 * { - 2

1

= 1.28 Amperios.

1

1

1

}

}

}

Continuemos con el cálculo de la amplitud del armónico número 3 en el seno: 1

b

3

= 2 *

∫

Sen ( 9.42* t ) dt

0 1

b

3

= 2 * { - Cos(9.42 * t)

9.42

} 0 1

b

3

= -

0.21 * { Cos(9.42 * t)

}

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. TALLER PROBLEMAS RESUELTOS TPR CLASE # 10 .

Docente: Martha Guzmán. Página # 7 de 12.

0

b

= - 0.21 *{ Cos(9.42 * 1) - Cos(9.42 * 0 )}

b

= -

0.21 * { Cos(9.42) - Cos( 0 )

b

= -

0.21 * { (- 1 ) - 1

b b

3

= -

0.21 * { - 2

3

= 0.42 Amperios.

3

3

3

}

}

}

11. Reemplazar los valores encontrados para

a0 , todos los an , y todos los bn , en la serie de fourier escrita en el numeral 4).

i(t) = a0 + a1 Cos (3.14 t ) + a2 Cos ( 6.28 t ) + a3 Cos ( 9.42 t ) + b1 Sen (3.14 t ) + b2 Sen ( 6.28 t )

+ b3 Sen ( 9.42 t )

i(t) = 0 + 0 Cos (3.14 t )

+ 0 Cos ( 6.28 t ) + 0 Cos ( 9.42 t ) + 1.28 Sen (3.14 t ) + 0 Sen ( 6.28 t ) + 0.42 Sen ( 9.42 t )

Finalmente la serie de fourier para la señal periódica i ( t ) hasta n = 3 es: i(t) = 1.28 Sen (3.14 t ) + 0.42 Sen ( 9.42 t ) Compare estos resultados con el ejemplo # 1 del Taller TPR CLASE # 2. 12.

Graficar en MATLAB la serie de fourier encontrada.

>> t=linspace(-15,15,300); >>it=2.56*sin(3.14*t)+0.84*sin(9.42*t) ;

Observe la gráfica obtenida y compárela con la curva de la función i ( t ) de la página # 3 de este taller:

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. TALLER PROBLEMAS RESUELTOS TPR CLASE # 10 .

Docente: Martha Guzmán. Página # 8 de 12.

i ( t ) Amperios 1

t seg -3

-2

-1

0

1

2

3

-1

La gráfica obtenida en MATLAB es una REPRESENTACIÓN de la i ( t ) en series de fourier hasta n = 3. Es una buena representación por que las curvas se parecen. Pero la verdad es que sería mejor, o sea más parecida a la original, si hubiésemos calculado más armónicos utilizando un n mayor.

CÁLCULO SERIES DE FOURIER EJEMPLO # 2: Considere la siguiente función i (t) que tiene forma de diente de sierra y calcule la correspondiente SERIE DE FOURIER para esta señal periódica, hasta n = 2.

V ( t ) voltios 3 voltios

t -4л

-2л

0

2л

4л

(seg) 6л

Iniciamos el procedimiento para calcular una SERIE DE FOURIER: 1.

Verificamos simetrías, pero esta señal no presenta ninguna de las simetrías conocidas.

2. T

= 2 л seg. = 6.28 seg. w0 = 1 ( rad / seg ).

3. Definamos un n = 2 4. La serie de fourier al reemplazar las wn será entonces: V(t) = a0 + [ a1 * Cos (1*1* t ) ] + [ a2 * Cos ( 2*1* t ) ] + [ b1 * Sen (1*1* t ) ] + [ b2 * Sen ( 2*1* t ) ] Lo que falta calcular en la serie, son las amplitudes de los armónicos también llamados coeficientes de fourier.

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. TALLER PROBLEMAS RESUELTOS TPR CLASE # 10 .

Docente: Martha Guzmán. Página # 9 de 12.

5. No tiene ninguna simetría de onda, de las conocidas.

Por lo tanto para calcular los coeficientes,

tendremos que usar la tabla para las ondas sin simetría. COEFICIENTES PARA ONDAS SIN NINGÚN TIPO DE SIMETRÍA DETECTADA: (d+T)

a0

=

( 1 ) * T

∫

f ( t ) dt

d (d+T)

an

=

( 2 ) * ∫ d T

bn

=

( 2 ) * ∫ d T

f ( t ) * Cos ( wn t )

dt

; Para todas las n.

(d+T)

f ( t ) * Sen ( wn t )

dt

; Para todas las n.

6. Escogemos como punto de inicio para la integral (d+T)

=

0 + 6.28

=

a

d = 0

y como punto final

a

6.28

7. Planteamos todas las integrales necesarias, reemplazando los datos de T, wo, d y ( d + T ) : Como escogimos n = 2 debemos resolver las integrales para a0 , a1 , a2 , b1 , b2 . 6.28

a0

=

( 1 ) * 6.28

∫

6.28

v ( t ) dt

=

0.16 *

0

∫

v ( t ) dt

0

6.28

an

=

( 2 ) * ∫ 0 6.28

a1

=

0.32 * ∫

v( t ) * Cos ( n* w0 t )

dt

; Para todas las n.

6.28

v ( t ) * Cos ( 1* 1* t )

dt

;

Para n = 1.

v ( t ) * Cos ( 2* 1* t )

dt

;

Para n = 2.

0 6.28

a2

=

0.32 * ∫ 0

6.28

bn

=

( 2 ) * ∫ 0 6.28

b1

=

0.32 * ∫

v ( t ) * Sen ( n* w0 t )

dt

; Para todas las n.

v ( t ) * Sen ( 1* 1* t )

dt

; Para n = 1.

v ( t ) * Sen ( 2* 1* t )

dt

; Para n = 2.

6.28 0 6.28

b2

=

0.32 * ∫ 0

8. La función v ( t ) está definida en el intervalo de integración: 0 < t < 6.28 , como la ecuación de una recta con pendiente ( 3 / 2л )

e

intercepto 0,

entonces:

v =

0.48 * t + 0

9. Reemplazamos en las integrales la ecuación para la función v ( t ) = v = 0.48 * t. 10. Y solucionamos las integrales: 6.28

a0

=

0.16 *

∫ 0

6.28

v ( t ) dt

=

0.16 *

∫ 0

0.48 t

dt

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. TALLER PROBLEMAS RESUELTOS TPR CLASE # 10 .

Docente: Martha Guzmán. Página # 10 de 12.

6.28

a0

=

0.16 * 0.48 *

6.28

∫

t dt

=

0.0768 *

0

a0

=

0.0384 *

a0

=

1.51

a1

=

0.32 * ∫

{

{

02

}

= 1.51

}

= 0.0384 *

{

0

2

6.28 2 -

t

6.28 2

t2

}

0

voltios.

voltios.

6.28

v ( t ) * Cos ( 1* 1* t ) dt

;

Para n = 1.

0 6.28

a1

=

0.32 * ∫

6.28

0.48 * t * Cos ( 1 t ) dt

= 0.32 * 0.48 * ∫

0

t * Cos ( t ) dt

0

6.28

a1

=

0.15 * ∫

t * Cos ( t ) dt

0

Tenemos tres opciones para calcular esta integral, utilizar cualquier técnica de integración conocida ( por ejemplo INTEGRACIÓN POR PARTES ), utilizar TABLAS DE INTEGRALES, o utilizar el software MATLAB.

Utilicemos aquí la opción de MATLAB, así: >>syms t; >>a1=0.15*int(t*cos(t),t,0,2*pi) >>pretty(a1) La respuesta que MATLAB entrega es : a1 = 0 voltios. 6.28

a2

=

0.32 * ∫

v ( t ) * Cos ( 2* 1* t )

dt

;

Para n = 2.

0 6.28

a2

=

0.32 * ∫

0.48 t Cos ( 2 t ) dt

0 6.28

a2

=

0.15 * ∫

t Cos ( 2 t ) dt

0

Utilicemos aquí la opción de la técnica de INTEGRACIÓN POR PARTES, así: Sean:

μ = t

y

dv = Cos ( 2 t ) dt .

Haciendo el cambio de variables tenemos que:

6.28

a2

6.28

= 0.15 * ∫ t Cos ( 2 t ) dt = 0

Como:

6.28

0.15 * ∫ μ 0

dv =

0.15 *

{

μv -

}

∫ v dμ 0

μ = t entonces aplicando primera derivada a ambos lados del igual, obtenemos: dμ = dt

Como :

dv = Cos ( 2 t ) dt . Aplicando integral a ambos lados del igual, obtenemos: ∫ dv = ∫ Cos ( 2 t ) dt v = Sen ( 2 t ) = 0.5 Sen ( 2 t ) 2 Reemplazamos estos resultados en la integral : 6.28

a2 = 0.15 * { μ v - ∫ v dμ

} = 0.15 * { 0

6.28

t * ( 0.5 sen( 2t ) ) - ∫ 0.5 Sen ( 2 t ) dt 0

}

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Docente: Martha Guzmán. Página # 11 de 12. 6.28

{

a2 = 0.15

0.5 * t Sen( 2t ) -

}

0.5 * ∫ Sen ( 2 t ) dt 0

6.28

a2 =

0.15

{

0.5 t Sen( 2t ) -

0.5 * ∫ Sen ( 2 t ) dt

} 0

Resolvemos la integral que falta, aplicando el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: 6.28

a2 =

0.15

{

0. 5 t Sen( 2t )

-

0. 5 * [ - Cos ( 2 t ) ] 2

} 0

6.28

a2 =

0.15

{

0. 5 t Sen( 2t )

+

0. 25 Cos ( 2 t )

}

0 6.28

a2 =

{

0.075 t Sen( 2t )

+

0.037 Cos ( 2 t )

}

0

Por último evaluamos los límites de la integración: a2 = { 0.075 * 6.28 * Sen(2*6.28) + 0.037 Cos(2* 6.28) } - { 0.075*0*Sen(2*0) + 0.037 Cos(2* 0) } a2 = { 0.471* Sen(12.56) + 0.037 * Cos(12.56) } - { 0 + 0.037 * Cos (0) } a2 = { 0.471* 0 + 0.037 * 1 } - { 0 + 0.037 * 1 } a2 = { 0.037 } - { 0.037 } = 0 a2 = 0 Voltios. En resumen hasta el momento hemos encontrado los valores correspondientes a los coeficientes de fourier: a0 , a1 , a2 y están pendientes b1 , b2 . Solucione USTED por cualquier método, las integrales planteadas para las amplitudes b1 , b2, si las realiza correctamente debe obtener como resultados: b1 = - 0.95 Voltios. b2 = - 0.47 Voltios.

11.

Reescribimos la serie de fourier para la v ( t ) y reemplazamos los valores encontrados para las amplitudes de los armónicos hasta n = 2 :

V(t) = 1.51 + 0 Cos (1 t ) + 0 Cos ( 2 t ) - 0.95 Sen (1t ) - 0.47 Sen ( 2 t ) V(t) = 1.51 - 0.95 Sen ( t ) - 0.47 Sen ( 2 t )

Compare estos resultados con el ejemplo # 2 del Taller TPR CLASE # 2. 12. Por último graficamos la señal obtenida utilizando MATLAB: >>t=linspace(-14,12,400); >>v=1.51-0.95*sin(t)-0.47*sin(2*t); >>plot(t,v)

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. TALLER PROBLEMAS RESUELTOS TPR CLASE # 10 .

Docente: Martha Guzmán. Página # 12 de 12.

Observe la gráfica obtenida y compárela con la curva de la función v ( t ) de la página # 8 de este taller: V ( t ) voltios 3 voltios

t (seg) -4л

-2л

0

2л

4л

6л

La gráfica obtenida en MATLAB es una REPRESENTACIÓN de la v( t ) original, pero en series de fourier hasta n = 2. Es una buena representación por que las curvas se parecen. Pero la verdad es que sería mejor, o sea más parecida a la original, si hubiésemos calculado más armónicos utilizando un n mayor.