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Matéria: GEOMETRIA ESPACIAL (MAT 3) Número do Tópico: 29 Assunto: Prismas.

Título: Prismas. Resumo Teórico 1.DEFINIÇÃO Chama-se prisma todo poliedro convexo composto por duas faces (bases) que são polígonos congruentes contidos em planos paralelos e as demais faces (faces laterais) que são paralelogramos determinados por pares de lados correspondentes nas duas faces.

Prisma regular: prisma reto cujas bases são polígonos regulares.

Natureza de um prisma: o prisma será triangular, quadrangular, pentagonal, etc, conforme a base seja um triângulo, quadrilátero, pentágono, etc.

As arestas das bases são duas a duas congruentes e as arestas laterais são todas congruentes entre si. A altura do prisma é a distância entre os planos das duas bases. Seção de um prisma é a interseção do prisma com um plano que intercepte todas as arestas laterais. A seção reta ou seção normal é a seção cujo plano é perpendicular às arestas laterais. Prisma reto: possui arestas laterais perpendiculares aos planos das bases e as faces laterais são retângulos.

Diagonais de um prisma: qualquer segmento que une dois vértice do prisma, excetuando-se as arestas e as diagonais de face. Assim, um prisma triangular não tem diagonais e um prisma quadrangular tem exatamente 4 diagonais. Paralelepípedo: paralelogramos.

prisma

cujas

bases

são

Paralelepípedo reto: prisma reto cujas bases são paralelogramos. Prisma oblíquo: as arestas laterais são oblíquas aos planos das bases.

Seja um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c, temos:

Paralelepípedo reto-retângulo ou paralelepípedo retângulo ou ortoedro: prisma reto cujas bases são retângulos.

Romboedro: paralelepípedo que possui todas as arestas congruentes. Suas faces são seis losangos.

diagonal:

d = a2 + b2 + c 2

área total:

ST = 2  (ab + ac + bc)

volume:

V = abc

No caso particular do cubo de aresta a, a diagonal é

d =a 3,

a área total é

ST = 6a 2

e o volume é

V = a3 . 3. ÁREA LATERAL, ÁREA TOTAL E VOLUME DO PRISMA

Romboedro reto: paralelepípedo reto que possui todas as arestas congruentes. Formado por 4 quadrados (faces laterais) e 2 losangos (bases).

Área lateral ( SL ) : área de todas as faces laterais. Área total ( ST ): área lateral mais a área das bases. Seja um prisma onde: a → aresta lateral 2p → perímetro da seção reta h → altura S → área da seção reta

SB Romboedro reto-retângulo ou hexaedro regular ou cubo: paralelepípedo retângulo cujas arestas são todas congruentes.

→ área da base

SL = 2p  a ST = 2p  a + 2  SB

V = SB  h V = Sa No prisma reto, a aresta lateral é igual a altura (a =h) e a seção reta é a própria base. 2. PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO

SL = 2p  h ST = 2p  h + 2  SB

 a 2 + b 2 + c 2 = 109  a 2 = 9  a = 3  b + c = 14  b 2 + c 2 + 2bc = 196  bc = 48  V = abc = 3  48 = 144 cm3

V = SB  h

QUESTÃO 2 4. TRONCO DE PRISMA Tronco de prisma é o sólido obtido quando um prisma é seccionado por um plano não paralelo às bases e que corta todas as arestas laterais. 4.1. Volume do prisma triangular

(EN 1997) Um paralelepípedo retângulo de volume V tem dimensões inversamente proporcionais a A, B e C. A área total do paralelepípedo é: 2VABC a) A +B+C V ( A + B + C) b) ABC c) 3 2V 2 ( A + B + C) d) 3 V( AB + AC + BC) e) 2( A + B + C)3

V2 ABC

RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: a, b, c → arestas laterais do tronco S → seção reta do prisma

a+b+c V = S  3   Para calcular o volume de troncos de outras naturezas, basta dividi-los em troncos de prismas triangulares.

Exercícios de Aula (8 a 10) QUESTÃO 1

Sejam as dimensões

k k k    k 3 = VABC  k = 3 VABC A B C k k k k k k  ST = 2   +  +   = A B A C B C 1 1   1 = 2k 2  + + =  AB AC BC   A+ B+C = 2 3 V 2 A 2 B2 C 2  =  ABC  V=

= 2 ( A + B + C) 3

(AFA 1996) Em cm3, qual o volume de um paralelepípedo retângulo de área total 180 cm 3, de diagonal da base 10 cm e com a soma das arestas que concorrem no mesmo vértice igual a 17 cm? a) 99 b) 120 c) 135 d) 144

QUESTÃO 3

RESPOSTA: d

RESPOSTA: 6 m3

RESOLUÇÃO:

RESOLUÇÃO: Sejam x − 1 ,

ST = 2 ( ab + ac + bc ) = 180  ab + ac + bc = 90   b 2 + c 2 = 10  b 2 + c 2 = 100  2 2 2 a + b + c = 17  a + b + c + 2 ( ab + ac + bc ) = 289

k k k , e , então A B C

V2 ABC

(ITA 1987) Seja (P) um paralelepípedo retângulo de dimensões dadas por três números consecutivos. Se a área total de P é 22 m2, calcule seu volume.

paralelepípedo.

x,

x +1

as

dimensões

do

ST = 2 ( x ( x − 1) + x ( x + 1) + ( x − 1)( x + 1) ) = 22 x=2

 V = ( 2 −1)  2  ( 2 + 1) = 6 m3 QUESTÃO 4 (EN 1998) A altura de um paralelepípedo retângulo mede 60 cm e sua base é um quadrado. A diagonal do paralelepípedo forma um ângulo de 60º com o plano da base. O volume do paralelepípedo retângulo é em cm 3 a) 12000 b) 18000 c) 24000 e) 36000

a2 3 V = SB  h =  h = a3 4 4a 4 3 h= = a 3 3

QUESTÃO 6 (UFRJ 2006) A figura abaixo corresponde à planificação de um prisma regular hexagonal de altura 2a e perímetro da base igual a 3a .

RESPOSTA: e RESOLUÇÃO: Seja L o lado do quadrado da base.

Determine a distância entre os pontos P e Q no prisma.

RESPOSTA:

13 a 2

RESOLUÇÃO:

CG 60 = tg 60  = 3  L = 10 6 AC L 2

V = (10 6 )  60 = 36000 cm3 2

QUESTÃO 5 (AFA 1999) Qual deve ser a medida da altura de um prisma reto, cuja base é um triângulo eqüilátero de lado a, para que seu volume tenha valor a3 ? a 3 a) 4 3a 3 b) 4 c)

a 3 3

d)

4a 3 3

RESPOSTA: d RESOLUÇÃO:

O lado do hexágono é

a 2

.

A diagonal do retângulo na planificação é:

d 2 = ( 3a ) + ( 2a )  d = 13a 2

PQ =

2

d 13 = a 2 2

QUESTÃO 7 (UFC 2008) Uma caixa de cartolina em forma de um tronco de prisma retangular reto foi planificada, obtendo-se o recorte de cartolina indicado na figura abaixo. Para recuperar a caixa basta dobrar a cartolina nas linhas pontilhadas. As dimensões das arestas, em unidades de comprimentos, são como estão indicadas na figura.

 t  hQ = 6 

(

2t ) 4

2

3

 ( 2 t )  h Q = 6 3t

QUESTÃO 9 (MACKENZIE 2003) O recipiente da figura, que contém água, é um prisma reto cujas bases são triângulos equiláteros de altura 2. A superfície da água é paralela á face ABCD. Se o volume ocupado pela água é metade do volume do prisma, o valor de h é:

A) Calcule o volume da caixa original. B) Calcule a área da cartolina. RESPOSTA: A)

392 cm 3 , B) 280cm2

RESOLUÇÃO: A) A figura é um prisma reto cuja base é um trapézio retângulo. a)

6 5

b) c)

3 2

1 2 3 e) 4 d)

 10 + 4  V=  8   7 = 392 cm3  2   10 + 4   8  + 32  7 = 280cm 2 B) ST =   2 

RESPOSTA: c

QUESTÃO 8 (EFOMM 1999) Um prisma quadrangular regular cuja área da base vale t é equivalente a um prisma hexagonal regular de aresta da base igual à diagonal da base do prisma quadrangular e cuja altura é o dobro da aresta desse prisma. Então, a altura do prisma quadrangular regular é: a)

6 t

b)

5 3t

c) 6 d) 5t e) 3t

(UNICAMP 2005) A figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5cm cada um e a altura do prisma mede 10cm. a) Calcule o volume do prisma. b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A’.

RESOLUÇÃO:

VQ = VH  SBQ  h Q = SBH  h H

2

1 h =  = h = 2 2 2

QUESTÃO 10

RESPOSTA: c

Diagonal da base do prisma quadrangular :

Vágua Vrecip.

3t

Aresta da base do prisma quadrangular:

RESOLUÇÃO: A água ocupa o volume de um prisma reto de mesma altura que o recipiente. Assim, a razão entre o volume ocupado pela água e o volume do recipiente é igual à razão entre as bases do prismas. As bases são triângulos equiláteros semelhantes de alturas h e 2. Logo,

t 2t

4x ( 2x + 5 ) b) 4x ( 5x + 2 ) c) 4 ( 5 + 2x ) a)

4x 2 ( 2 + 5x ) 2 e) 4x ( 2x + 5) d)

RESPOSTA: a

QUESTÃO 13 RESPOSTA:

a)

V = 375 3 cm 3 ,

b)

S = 50 3 cm 2

(MACKENZIE 2007) O sólido da figura I foi obtido retirando-se de um prisma triangular, três prismas iguais, também triangulares e regulares, cada um deles representado pela figura II. Se

d=

RESOLUÇÃO: a)

 52 3  3 V = 6  10 = 375 3 cm  4 

volume de cada prisma retirado é volume desse sólido é igual a

3,

5 x 8

e o

então o

ˆ AC2 = AB2 + BC2 − 2  AB  BC  cos ABC  1  AC2 = 52 + 52 − 2  5  5   −   2  AC = 5 3

b)

S = AC  AA' = 5 3 10 = 50 3 cm2

Exercícios de Aprofundamento (10 a 15) QUESTÃO 11 (EEAR 2008) Um prisma reto é regular quando suas bases a) são paralelas. b) têm a mesma área. c) têm arestas congruentes. d) são polígonos regulares. RESPOSTA: d

a)

12 3

b)

14 3

c)

15 3

d)

16 3

e)

19 3

RESPOSTA: c

QUESTÃO 12 (UNESP 2004) Considere o sólido da figura (em cinza), construído a partir de um prisma retangular reto. Se AB = 2 cm , AD = 10 cm , FG = 8 cm e

BC = EF = x cm , o volume do sólido, em cm3 , é:

QUESTÃO 14 (EsPCEx 2002) Um galpão com as dimensões do desenho abaixo deverá ser construído para armazenar produtos que necessitam de controle de temperatura.

5 5m m

7 m 4 m

l Cada um dos condicionadores de ar disponíveis, que atendem às suas especificações, é capaz de

climatizar um volume de até 220 m3. Nessas condições, pode-se afirmar que o maior comprimento (l) que o galpão pode ter, em metros, para ser equipado com 3 (três) aparelhos de ar condicionado é: (desprezar a espessura das paredes e considerar que o galpão é um prisma reto e não tem forro nem laje) a) 13m b) 20m c) 5m d) 15m e) 25m.

solo (ver seção lateral abaixo). Determine a altura h do nível da água em relação ao solo.

RESPOSTA: d RESPOSTA: 21 cm

QUESTÃO 15 Dispondo de um recipiente em forma de paralelepípedo retângulo, com as dimensões da figura, preenchido com água até o nível indicado, um aluno fez o seguinte experimento: ● mergulhou na água um cubo maciço, com 1 cm3 de volume ● mergulhou, sucessivamente, novos cubos, cada vez maiores, cujos volumes formam, a partir do cubo de 1 cm3 de volume, uma progressão aritmética de razão 2 cm3. Após mergulhar certo número de cubos, que ficaram completamente submersos, verificou que a altura do nível da água passou para 45 cm.

QUESTÃO 17 Um

prisma

hexagonal tem

regular todas as

ABCDEF − ABCDEF 

AA é uma aresta CAˆ D é:

arestas de mesmo comprimento ( lateral). O cosseno do ângulo A)

B)

C)

D)

E)

2 3 3 4 3 5 5 8 5 9

RESPOSTA: d

QUESTÃO 18 Com base nessas informações, a área total do último cubo colocado é de aproximadamente a) 54 cm2 b) 42 cm2 c) 24 cm2 d) 87 cm2 e) 95 cm2 RESPOSTA: d

RESPOSTA: b

QUESTÃO 16 (FUVEST 2002) Um bloco retangular (isto é, um paralelepípedo reto-retângulo) de base quadrada de lado 4 cm e altura

Um prisma reto com 5 cm de altura e base retangular com dimensões de 4 cm e 6 cm contém água até uma altura de 2 cm. Um cubo maciço de aresta igual a 3 cm é colocado dentro deste prisma, ficando totalmente submerso. A partir de então, a altura do nível da água, em cm, AUMENTA: a) 1 b) 1,125 c) 1,25 d) 1,5 e) 2

20 3 cm ,

com

2 3

de seu

volume cheio de água, está inclinado sobre uma das arestas da base, formando um ângulo de

30

com o

QUESTÃO 19 (UERJ 2004) Dois prismas regulares retos

P1

e

P2 ,

o primeiro de base triangular e o outro de base hexagonal, têm a mesma área da base e a mesma área lateral. A razão entre o volume de equivale a

P1

e o de

P2

d) 2, 4 e 8 e) n.d.a.

2 3 6 3 3 2

a)

b)

c)

RESPOSTA: a

QUESTÃO 23 (ITA 1986) Considere um prisma hexagonal regular tal que a razão entre a aresta da base a e a aresta

d) 1 lateral  é RESPOSTA: b

QUESTÃO 20 (ITA 1972) As dimensões de um paralelepípedo retângulo estão em progressão geométrica e a sua soma vale s. Sabendo-se que o seu volume é v3 e s  3v, então duas de suas dimensões são: a)

s + v  (s + v ) 2 − v 2

aumantada de 2 cm, o volume V do prisma ficará aumentado de 108 cm3 considerando que aresta lateral permanece a mesma, podemos afirmar que o volume do prisma é: a) 10cm3 b) 12cm3 c) 3/2cm3 d) 36cm3 e) 27/2cm3

RESPOSTA: d

2

b) v  (s − v ) 2 − 4v 2

QUESTÃO 24

c) s  v 2

d)

3 . Sabendo-se que a aresta da base for 3

s − v  (s − v ) − 4v

2

2

e) n.d.a. RESPOSTA: d

(ITA 1987) Considere (P) um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3m e tem área total de 80m2. O lado dessa base quadrada mede: a) 1m b) 8m c) 4m d) 6m e) 16m

QUESTÃO 21

RESPOSTA: c

(ITA 1995) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume deste prisma, em cm 3, é:

QUESTÃO 25

a) 27 3 b) 13 2 c) 54 3 d) 12

(ITA 1990) Considere um prisma triangular regular cuja aresta da base mede x cm. Sua altura é igual ao menor lado de um triângulo ABC inscritível num círculo de raio x cm. Sabendo-se que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo de lados 3 cm, 4 cm e 5 cm, o volume do prisma em cm3 é: a)

2 3 x 3

b)

2 2 3 x 5

c)

3 3 3 x 10

e) 17 5 RESPOSTA: c

QUESTÃO 22 (ITA 1975) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números

loge t , log e t 2 e log e t 3 e a área total é 792 cm2. Sabendo-se que a soma das dimensões vale 12 vezes a razão de proporcionalidade, quais são os valores dessas dimensões? a) 6, 12 e 18 b) 5, 10 e 15 c) 2, 3 e 4

3 3 x 10 e) n.d.a.

d)

RESPOSTA: c

QUESTÃO 26 (IME) A base de um prisma oblíquo é um semihexágono regular ABCD inscrito em um círculo de diâmetro AD = 2R. Seja a face oposta o

polígono A’B’C’D’. A face ADD’A’ é um retângulo tal que AA’ = R e a projeção ortogonal do vértice A’ sobre o plano da base está sobre o prolongamento de BC. Calcular o volume e a área total do prisma, em função de R. RESPOSTA: V =

ST =

3R 3 3 e 8

R2 (6 + 3 3 + 7 ) 2

RESPOSTA: a) Condição: DD' =

3a 2 + b 2 2b

b) b  a 3

QUESTÃO 30 (EN 2006) Um depósito de óleo diesel existente em uma das Organizações Militares da MB tem a forma de um prisma hexagonal regular com altura de 2 metros. Sabendo-se que o comprimento da diagonal maior do depósito 2 30 do comprimento da diagonal menor 9

QUESTÃO 27

vale

(IME) Dá-se um paralelogramo ABCD num plano  e um outro EFGH num plano ’ de modo que se obtém um paralelepípedo (P) de vértices A, B, C, D, E, F, G e H, oblíquo, com todas as arestas de comprimento a. O plano que contém os pontos A, E e F forma com  um ângulo de 60º e AÊF = 120º. Calcular em função de a e do ângulo FÊH =  o volume de (P).

da base, pode-se dizer que o valor da função f,

3a 3 RESPOSTA: V = sen  4

QUESTÃO 28 (IME 1970) Um prisma reto, de base hexagonal regular, tem 4,5 cm 3 de volume e 12 cm 2 de superfície lateral. Calcular o lado do hexágono e a altura do prisma. RESPOSTA:  =

3 4 3 cm e h = cm 2 3

QUESTÃO 29 (IME 1987) Num plano  tem-se um retângulo ABCD de dimensões AB = 2a e AD = a. Consideram-se a superfície prismática, cujas arestas são as retas perpendiculares a , passando por A, B, C, D e um ponto C’, sobre a aresta traçada por C tal que CC’ = b. a) Mostre que é possível obter-se para seção plana um losango AB’C’D’, onde B’ e D’ são pontos das arestas que passam respectivamente por B e D. b) Determine, em função de a e b, uma condição necessária e suficiente para que o losango e seja situado em um mesmo semiespaço em relação ao plano . c) Calcule o volume do tronco de prisma ABCDB’C’D’, supondo satisfeitas as condições do item anterior.

−

1

f ( x) = 2 x 3 definida por no número representante do volume do depósito vale:

a) 2 c) 2 e) 2

63

9 6 243

9

b) 2 d) 2

V

3 9 6 243

5

6 243

3

RESPOSTA: c

QUESTÃO 31 (ITA 1971) Cortando-se determinado prisma triangular , reto, por um plano  que forma um ângulo de 45 com o plano da base ABC, observamos que a reta r, interseção de  com o plano da base, dista 7 cm de A, 5 cm de B e 2 cm de 2

C. Se a área da face for 21 cm , o volume do tronco de prisma compreendido entre a base ABC e o plano  será: a)

105 cm 3

b)

294 cm 3

c)

98 cm 3

d) e)

98 2 cm 3 98 cm3 2

RESPOSTA: c

Desafio Mil (5 a 10) QUESTÃO 32 (AFA 2006) O produto da maior diagonal pela menor diagonal de um prisma hexagonal

regular de área lateral igual a 144 cm

2

e

3

volume igual a 144 3 cm é: a) 10 7

não corta nenhuma de suas bases, determinando uma secção triangular de lados a, b e c. Calcule o lado da base do prisma em função de a, b e c. RESOLUÇÃO: (Referência Revista Eureka N 24 de 2006)

b) 20 7

c

10 21 d) 20 21 c)

b2 −

2

RESPOSTA: d

b

a2 −

a

2

RESOLUÇÃO:

Podemos supor, sem perda de generalidade, a configuração acima e, portanto, pelo teorema de Pitágoras:

+

2

(

(b

2

b2 −

2

−

2

− a2 −

2

)( a

2

−

4 ( b2 a 2 − b2 2 − a 2 2 +

2

2

) =a )=

)

2

2

= c2 

+ b2 − c2 −

2



4

+ a 4 + b 4 + c 4 − 2a 2 2 − 2b 2 2 + 2c 2 2 + 2a 2b 2 − 2a 2 c 2 − 2b 2 c 2  3 4 − 2 ( a 2 + b2 + c2 ) 2 4

A maior diagonal é AB e a manor é AE.

SL = 6ah = 144  ah = 24

−( a 4 + b 4 + c 4 − 2a 2b 2 − 2a 2 c 2 − 2b 2 c 2 ) = 0

a2 3 V = SB  h = 6  h = 144 3  a 2 h = 96 4 a =4 e h=6

O discriminante da equação do segundo grau acima,

ABC : AB2 = ( 2a ) + h 2 = 64 + 36  AB = 10

+4  3  ( a 4 + b 4 + c 4 − 2a 2b 2 − 2a 2 c 2 − 2b 2 c 2 ) =

2

2

em

,é

 =  −2( a 2 + b 2 + c 2 ) 

2

ADE : AE 2 = ( a 3 ) + h 2 = 48 + 36  AE = 2 21

16(a4 + b4 + c4 − a2b2 − a2c2 − b2c2 ).

 AB  AE = 20 21

Logo

2

2

QUESTÃO 33 (IME 1970) A interseção de um plano com as arestas de um prisma reto triangular determina, a partir da base, segmentos de 3, 4 e x metros sobre as arestas. Calcule o valor de x para que os dois volumes resultantes sejam equivalentes, sendo a aresta do prisma igual a 10 metros. RESPOSTA: 8 RESOLUÇÃO: Os três segmentos determinados sobre as arestas, a partir da base superior, são 7, 6 e 10 − x. Para que os dois troncos de prisma possuam o mesmo volume, deve-se ter

3 + 4 + x = 7 + 6 + (10 − x )  x = 8

=

2(a 2 + b 2 + c 2 )  16(a 4 + b 4 + c 4 − a 2b 2 − a 2 c 2 − b 2 c 2 ) 23

( a 2 + b 2 + c 2 )  2 a 4 + b 4 + c 4 − a 2b 2 − a 2 c 2 − b 2 c 2 3 De fato, observando que é menor ou igual a min 

2

=

2

{a, b, c}, temos

=



a 2 + b2 + c2 . Portanto 3

( a 2 + b 2 + c 2 ) − 2 a 4 + b 4 + c 4 − a 2b 2 − a 2 c 2 − b 2 c 2 3

Observação: Outra maneira de obter as equações é trabalhar em R3, supondo, sem perda de generalidade, que C = (0, 0, 0), A = ( ,0, h) e

 3  B =  , , z  , 2 2 

com

h, z  0 . Obteríamos,

então, as equações

QUESTÃO 34 (OBM 2005 F2) Um prisma é reto e tem como base um triângulo equilátero. Um plano corta o prisma mas

2

+ h2 = a 2 ,

2

+ z 2 = b2 e

2

+ ( z − h)2 = c2 , qu

e nos leva à mesma equação da solução acima.

QUESTÃO 35 (IME 1968) Dado um prisma reto cuja base é um quadrado de lado 10 m e a altura é 18 m, passa-se um plano que corta o prisma de modo que as três arestas consecutivas ficam medindo 10 m, 12 m e 14 m. Calcular, em metros quadrados, a área lateral do prisma truncado assim formado. RESPOSTA:

RESPOSTA: a)

V1 =

5− 2 5 3 b b , b) d = 3 6

RESOLUÇÃO: a) Consideremos o plano (A’B’C’) paralelo ao plano (ABC), onde A'  N .

NB'M  NC'P  MB' = PC'  MP BC  MP = BC = b 2

480 m 2

RESOLUÇÃO: Seja a base o quadrado ABCD e a seção o quadrilátero EFGH, onde AE = 10, BF = 12 e CG = 14. Sendo M o ponto médio de EG e N o ponto médio de AC, então

 MN = NP = MP = b 2  MB' = PC' = b  BM + AN + CP  V1 = SABC   = 3  

MN =

=

AE + CG 10 + 14 = = 12 2 2

Como BF = MN = 12, então DH = 12. Logo a área lateral é dada por

12 + 14  10 + 12  SL = 2   10 + 10  = 480 m 2  2 2 

b 2  2b + b + 2b  5 3  = b 2  3  6

b) Consideremos o plano (A”B”C”) paralelo ao plano (ABC), onde A"  S . Seja F ponto médio de B”C”, então

SF =

b 2 2

.

No triângulo SEF, temos: 2

QUESTÃO 36 (IME 1975) A figura abaixo mostra um prisma em que uma seção reta é o triângulo retângulo isósceles ABC, no qual

ˆ = A 2

e

AB = b .

ponto médio de RT e sendo SE = b , por construção. A menor distância entre as bases se

NS = NA + AS , sendo, por construção, NA = b . O comprimento AS = d é escolhido de tal forma que o volume V1 , do semiprisma superior BACMNP, seja igual ao volume V2 , encontra sobre a aresta

do semi-prisma inferior BACRST. Calcule:

V1

em função de b.

b) d em função de b.

2

Como EF é base média do trapézio B”C”TR, então A base superior

do prisma é o triângulo equilátero MNP, de lado a. A base inferior do prisma é o triângulo RST, sendo E o

a)

b 2 b 2 EF = b −    EF =  2  2 2

RB"+ TC" = 2  EF  AS + BR + CT  V2 = SABC   = 3    AS + BB"+ B"R + CC ''+ C"T  = SABC   = 3    3d + b 2  = SABC    3    3d + b 2  5b V1 = V2  SABC  = SABC    3 3   5− 2 d= b 3