Clase 1. Introducción. Cables Y Arcos.pdf

Análisis Estructural II

José Martin Velásquez Vargas [email protected]

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Acerca de mi… José Martín Velásquez Vargas [email protected]

Maestría en Europa

Conferencista y docente www.usat.edu.pe

Doctorando en Ingeniería

Cables y Arcos

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Introducción Los cables construidos con alambres de acero de alta resistencia son completamente flexibles y tienen una resistencia a la tracción 4 o 5 veces mayor que la del acero estructural. Los diseñadores usan cables para construir estructuras de grandes luces, incluidos puentes colgantes y techos en grandes estadios y salas de convenciones.

Esquema de un techo compuesto por cables conectados a un anillo de tensión interior y un anillo de compresión exterior.

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Introducción El diseñador debe lidiar con dos problemas: 1. Evitar que se desarrollen grandes desplazamientos y oscilaciones en cables que transportan cargas vivas cuya magnitud o dirección cambia con el tiempo. 2. Proporcionar un medio eficiente para anclar la gran fuerza de tracción transportada por los cables.

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Introducción En un análisis de cable, el diseñador establece la posición de los soportes de los extremos, la magnitud de las cargas aplicadas y la elevación de otro punto en el eje del cable (flecha -sag). Basándose en estos parámetros, el diseñador aplica la teoría del cable para calcular las reacciones finales, la fuerza en el cable en todos los demás puntos y la posición de otros puntos a lo largo del eje del cable.

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Características de cables Los cables, que están hechos de un grupo de cables de alta resistencia trenzados para formar un hilo, tienen una resistencia a la tracción máxima de aproximadamente 270 kips / in2 (1862 MPa). La operación de torsión imparte un patrón en espiral a los cables individuales.

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Características de cables Mientras que el trefilado de alambres a través del troquel durante el proceso de fabricación aumenta el punto de elasticidad del acero, también reduce su ductilidad. Los alambres pueden experimentar un alargamiento máximo de 7 u 8% en comparación con 30 a 40% para acero estructural con un punto de rendimiento moderado, por ejemplo, 36 kips / in2 (248 MPa).

Puente atirantado sobre el río Cooper en Charleston, Carolina del Sur 8

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Características de cables Los cables de acero tienen un módulo de elasticidad de aproximadamente 26,000 kips / in2 (179 GPa) en comparación con un módulo de 29,000 kips / in2 (200 GPa) para barras de acero estructural. El módulo inferior del cable se debe al desenrollamiento de la estructura espiral del cable bajo carga.

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Variación de la fuerza del cable Si un cable solo admite carga vertical, el componente horizontal H de la tensión T del cable es constante en todas las secciones a lo largo del eje del cable. Esta conclusión se puede demostrar aplicando la ecuación de equilibrio ΣFx = 0 a un segmento de cable. Si la tensión del cable se expresa en términos del componente horizontal H y la pendiente del cable θ,

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Análisis de un cable que soporta cargas de gravedad concentradas Cuando se aplica un conjunto de cargas concentradas a un cable de peso despreciable, el cable se desvía en una serie de segmentos lineales. La forma resultante se llama polígono funicular. La figura muestra las fuerzas que actúan en el punto B en un segmento de cable de longitud infinitesimal.

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Análisis de un cable que soporta cargas de gravedad concentradas Calculemos las reacciones de apoyo y las fuerzas en varios puntos a lo largo del eje del cable. La posición del cable en la ubicación de la carga de 12 kip se establece en 6 pies, i.e. la flecha de B. En este análisis, supondremos que el peso del cable es despreciable.

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Análisis de un cable que soporta cargas de gravedad concentrada Paso 1

Paso 2

Paso 3

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Análisis de un cable que soporta cargas de gravedad concentrada Paso 4

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Análisis de un cable que soporta cargas de gravedad concentrada Paso 4 Analogía con la viga simplemente apoyada

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Teorema general del cable “En cualquier punto de un cable que soporta cargas verticales, el producto de la deflexión h del cable y el componente horizontal H de la tensión es igual al momento flector en el mismo punto en una viga simplemente apoyada sometida a las mismas cargas. El tramo de la viga es igual al del cable”.

Donde H = componente horizontal del cable Hz = Deflexión del cable en el punto z donde se evalúa Mz Mz = Momento en el punto z en una viga simplemente apoyada que lleva las cargas aplicadas al cable 16

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Teorema general del cable

Mostraremos que en un punto arbitrario z en el eje del cable, el producto de la componente horizontal H del empuje del cable y el pandeo del cable en el mismo punto en el mismo punto en una viga simplemente soportada que lleva las cargas del cable es el mismo. 17

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Teorema general del cable Comenzamos expresando la reacción vertical del cable en el soporte A en términos de las cargas verticales y H

donde ΣMB representa el momento sobre el soporte B de las cargas verticales (P1 a P4) aplicadas al cable.

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Teorema general del cable donde Σmz representa el momento sobre z de las cargas en un cuerpo libre del cable a la izquierda del punto z.

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Ejemplo 01 Determine las reacciones en los soportes producidos por la carga de 120 kip en el punto medio (a) utilizando las ecuaciones de equilibrio estático y (b) utilizando el teorema general del cable. Ignore el peso del cable.

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Ejemplo 01 - Solución Como los apoyos no están en el mismo nivel, debemos escribir dos ecuaciones de equilibrio para resolver las reacciones desconocidas en el soporte C.

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Ejemplo 01 - Solución Usando el teorema general de los cables, aplique la Ecuación en la mitad del intervalo, donde el hundimiento del cable hz = 8 pies y Mz = 3000 kip⋅ pies

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Ejemplo 02 Un techo soportado por cable lleva una carga uniforme w = 0.6 kip / ft. Si la flecha del cable en el punto medio se establece en 10 pies, ¿cuál es la tensión máxima en el cable (a) entre los puntos B y D y (b) entre los puntos A y B?

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Ejemplo 02 - Solución Aplique la carga uniforme a una viga simplemente apoyada y calcule el momento Mz en el punto medio. Dado que la curva de momento es una parábola, el cable también es una parábola entre los puntos B y D.

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Ejemplo 02 - Solución La tensión máxima del cable en el tramo BD se produce en los soportes donde la pendiente es máxima. Para establecer la pendiente en los soportes, diferenciamos la ecuación del cable y = 4hx2 / L2

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Ejemplo 02 - Solución Si despreciamos el peso del cable entre los puntos A y B, el cable puede tratarse como un miembro recto. Como la pendiente del cable θ es de 45 °, la tensión del cable es igual a

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Arcos El arco usa el material de manera eficiente porque las cargas aplicadas crean mayormente compresión axial en todas las secciones transversales. El diseñador puede establecer una forma de arco, la forma funicular, en la que todas las secciones están en compresión directa (los momentos son cero). Normalmente, la carga muerta constituye la mayor carga soportada por el arco. Si una forma de funicular se basa en la distribución de la carga muerta, los momentos se crearán en las secciones transversales mediante cargas activas cuya distribución difiere de la de la carga muerta.

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Tipos de arcos Los arcos a menudo se clasifican por el número de articulaciones que contienen o por la forma en que se construyen sus bases. El arco triarticulado es estáticamente determinado; Los otros dos tipos son indeterminados. El arco tri-articulado es el más fácil de analizar y construir. Dado que es determinado, el cambio de temperatura, el apoyo, los asentamientos y los errores de fabricación no crean tensiones.

Puente del ferrocarril (1909) sobre el rio de Landwasser, cerca de Wiesen, Suiza. Construcción de mampostería

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Tipos de arcos

Tipos de arcos: (a) triarticulado, estables y determinados; (b) biarticulado, indeterminados en primer grado; (c) Arco de extremo fijo, indeterminado de tercer grado.

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Arcos tri-arcticulados Para demostrar ciertas características de los arcos, consideraremos cómo varían las fuerzas de la barra a medida que la pendiente θ de las barras cambia en el arco con uniones articuladas. Dado que los miembros solo llevan carga axial, esta configuración representa la forma funicular de un arco que soporta una carga concentrada única en el punto medio.

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Arcos tri-arcticulados Debido a la simetría, las componentes verticales de las reacciones en los soportes A y C son idénticas en magnitud e iguales a P/2. Denotando la pendiente de las barras AB y CB por el ángulo θ, podemos expresar las fuerzas de la barra FAB y FCB en términos de P y el ángulo de la pendiente θ

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Arcos tri-arcticulados Podemos observar que a medida que aumenta el ángulo de pendiente, también aumenta la longitud de las barras y, en consecuencia, el material requerido. Para establecer la pendiente que produce la estructura más económica para un tramo L dado, expresaremos el volumen V del material de barra requerido para soportar la carga P en términos de la geometría de la estructura y la resistencia a la compresión del material

Donde A = Área de la sección transversal de una barra LB = longitud de una barra

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Arcos tri-arcticulados Para expresar el área requerida de las barras en términos de carga P, dividimos las fuerzas de barra dadas por la por el esfuerzo de compresión permisible σallow.

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Arcos tri-arcticulados

Variación del volumen de material en función de la pendiente de las barras.

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Forma funicular de un arco El material requerido para construir un arco se minimiza cuando todas las secciones a lo largo del eje del arco están en compresión directa. Para un conjunto particular de cargas concentradas, el perfil del arco en compresión directa se llama arco funicular. Al imaginar que las cargas transportadas por el arco se aplican a un cable, el diseñador puede generar automáticamente una forma de funicular para las cargas.

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Ejemplo 03 Establezca la forma del arco funicular para el conjunto de cargas que actúan sobre el arco de la armadura. El punto mas alto del arco es igual a 36 pies.

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Ejemplo 03 - Solución Imaginamos que el conjunto de cargas se aplica a un cable que se extiende a la misma distancia que el arco. Dado que las cargas de 30 kip en cada extremo del tramo actúan directamente en los soportes, no afectan la fuerza ni la forma del cable.

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Ejemplo 03 - Solución Aplicando la teoría general del cable, imaginamos que las cargas soportadas por el cable se aplican a una viga imaginaria simplemente apoyada con un tramo igual al del cable. Construimos los diagramas de momentos. Según el teorema general del cable en cada punto,

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Ejemplo 03 - Solución

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Ejemplo 04 La armadura de arco de tres bisagras tiene una cuerda inferior con la misma forma funicular del ejemplo anterior. Para demostrar un beneficio de usar una forma de arco funicular, (a) analice la armadura asumiendo que las cargas aplicadas representan la carga muerta de la estructura, y (b) analice la armadura con una carga viva concentrada única de 90 kips aplicada en la articulación L. El miembro KJ está detallado con una conexión en un extremo para que no pueda transmitir la fuerza axial. Supongamos que la articulación D actúa como una articulación.

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Ejemplo 04 - Solución

Los resultados del análisis de la armadura sometida a una sola carga viva concentrada de 90 kip se muestran en la figura. Note que hay muchos menos miembros de fuerza cero 41

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Forma funicular de un arco que soporta carga distribuida uniformemente Considerando el arco simétrico de tri aritculado en la Figura. La altura del arco se denota por h. Debido a la simetría, las reacciones verticales en los soportes A y C son iguales a wL / 2. El empuje horizontal H en la base del arco se puede expresar en términos de la carga aplicada wy la geometría del arco considerando el cuerpo libre a la derecha, encontramos

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Forma funicular de un arco que soporta carga distribuida uniformemente

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Forma funicular de un arco que soporta carga distribuida uniformemente

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Ejemplo 05 Establezca la forma del arco funicular para la carga uniforme que actúa sobre el arco tri articulado en la Figura. Para lograr la economía, el arco se estrecha a lo largo de su longitud. Determine el área de sección transversal mínima en tres ubicaciones (x1 = 17.5 pies, x2 = 35 pies, y x3 = 52.5 pies) si el esfuerzo de compresión máximo permitido es de 2000 lbs / in2.

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Ejemplo 05 - Solución Dado que este arco está cargado uniformemente, la forma del funicular está dada por

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Ejemplo 05 - Solución Dado que el esfuerzo de compresión máximo permitido es de 2000 lb / pul2 y la forma funicular del arco se ha establecido, entonces

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Ejemplo 05 - Solución

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• Kenneth M. Leet, Fundamentals of Structural Analysis, Fifth Edition, 2018

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