Una Aplicación Bayesiana A La Modelización De Mercados

Una aplicación Bayesiana a la Modelización de Mercados

Master Oficial en Ingeniería Matemática Problema planteado por BAYES INFERENCE, S. A.

Exposición del problema (I)  

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Se considera un mercado de competencia oligopolista Se consideran productos sustitutivos perfectos (mismo valor de la función de utilidad) Se estudia un sólo producto por marca Los consumidores tienen una función de utilidad cardinal de forma que asignan utilidad a cada marca alternativa Cada consumidor en el periodo “t” puede consumir una unidad de la marca “A” o de la marca “B” o alguna de las englobadas dentro de la categoría “C” de marcas minoritarias

Mercado 

Desarrollaremos la forma funcional de las demandas para todas las marcas que operan sobre el mercado.

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A = Primera marca –



B = Segunda marca –



(Primer incumbente) (Disputa la incumbencia)

Cj = Marcas minoritarias [1...k]

A B C1 C2 C3 Ck

Reparto del mercado en función de las demandas sobre las ventas totales de la marca estudiada

Ciclo de mercado OBSERVACIÓN DE LA DEMANDA: -Propia -Ajena ACTUACIÓN DE LA MARCA: - Precio - Publicidad

MERCADO u LANZAMIENTO DE LA OFERTA: -p -q

Diccionario de variables y = Demanda del producto de una marca p = Precio instantáneo de una marca P = Precio instantáneo de una marca como variable aleatoria q = Inversión instantánea en publicidad Q = Inversión instantánea en publicidad como variable aleatoria α = Influencia del precio en la demanda β= Influencia de la publicidad en la demanda e = Error en la demanda t = Instante de tiempo k = Número de marcas minoritarias i = Índice de las demandas j = Índice de las marcas minoritarias

Modelo 

Se puede suponer que en el modelo, el total del mercado se puede dividir en porcentajes que dependen de las demandas ”yi”.

t

y X  Demanda de la marca "X" en el instante "t" t

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Asumimos que la demanda de una marca ”yi”, es función lineal de los precios “p” y de las inversiones en publicidad “q”, para cada una de las marcas.

p X  Precio de la marca "X" en el instante "t" t

q X  Inversión en publicidad de la marca "X" en el instante "t" t

t

u   X p X   X q X  función de utilidad cuando el precio de la t

marca X es p Xt y la inversión en publicidad es q X en el instante "t" X=  A,B,C1 ,C2 ,...,Ck 

Modelo 



Cada marca conoce sus datos e ignora los del resto de marcas Por ejemplo, para la marca A: t 1

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t 1

Marca A : y A  y A   A p A   A q A   B PB   B QB   C1 PC1  C1 QC1  ...   Ck PCk  Ck QCk  eA

A B C1 C2 C3 Ck

Modelo Recorrido temporal: [t1…tf] Cada marca conoce sus datos e ignora los del resto de marcas que se introducen en el modelo como variables aleatorias (P,Q)

t 1

t

t

t 1

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t 1

t

t

t

t

t

t 1

Marca A : y A  y A   A p A   A q A   B PB   B QB   C1 PC1   C1 QC1  ...   Ck PCk   Ck QCk  eA t

t

Marca B : yB  yB   A PA   AQA   B pB   B qB   C1 PC1   C1 QC1  ...   Ck PCk  Ck QCk  eB t 1

t

t

t

t

t

t

t

t

t 1

t

Marca C1 : yC1  yC1   A PA   AQA   B PB   B QB   C1 pC1  C1 qC1  ...   Ck PCk  Ck QCk  eC1 . . . t 1

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t 1

Marca C k : yCk  yCk   A PA   AQA   B PB   B QB   C1 PC1   C1 QC1  ...   Ck pCk  Ck qCk  eCk

Estimación del modelo Se trata de estimar todas las variables aleatorias (indicadas en mayúsculas) con el método que se elija en su caso. Para simplificar, sustituiremos cada valor de la variable aleatoria por su media. Supondremos que las distribuciones de P y Q son conocidas. Además debemos determinar los parámetros (α,β), para lo cual se aconseja emplear regresión lineal a partir de series históricas.

Evolución del mercado 

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Inicializaremos el modelo con datos obtenidos de una fuente experta que conocería idealmente el estado exacto de todas las variables y parámetros. Con el paso del tiempo estos valores se sustituirán por los calculados a partir de las observaciones a fin de ajustar el modelo

t1

tf

A B C1 C2 C3 Ck

A B C1 C2 C3 Ck

Solución  

Permite obtener la forma funcional de las demandas de las diferentes marcas que componen el mercado Con el modelo se pueden determinar cómo dependen funcionalmente las relaciones de las demandas a partir de los precios e inversiones publicitarias de las marcas t 1 t t t t t t t t t t 1 Marca A : y A  y A  ˆ A p A  ˆ A q A  ˆ B PˆB  ˆB Qˆ B  ˆ C1 PˆC1  ˆC1 Qˆ C1  ...  ˆ Ck PˆCk  ˆCk Qˆ Ck  eˆA t 1 t t t t t t t t t t 1 Marca B : yB  yB  ˆ A PˆA  ˆ AQˆ A  ˆ B pB  ˆB qB  ˆ C1 PˆC1  ˆC1 Qˆ C1  ...  ˆ Ck PˆCk  ˆCk Qˆ Ck  eˆB t 1 t t t t t t t t t t 1 Marca C1 : yC1  yC1  ˆ A PˆA  ˆ AQˆ A  ˆ B PˆB  ˆB Qˆ B  ˆ C1 pC1  ˆC1 qC1  ...  ˆ Ck PˆCk  ˆCk Qˆ Ck  eˆC1

. . . t 1 t t t t t t t t t t1 Marca Ck : yCk  yCk  ˆ A PˆA  ˆ AQˆ A  ˆ B PˆB  ˆB Qˆ B  ˆ C1 PˆC1  ˆC1 Qˆ C1  ...  ˆ Ck pCk  ˆCk qCk  eˆCk



A partir de este momento se supone que todos los elementos que aparecen en el sistema están perfectamente determinados

Simulación   

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 

Se escoge un producto (A) Se fijan precios, inversiones publicitarias e instante temporal (p,q,t) Simulamos precios e inversiones de la competencia, obteniéndose los valores de demanda “yA” correspondientes al sistema de ecuaciones de nuestro modelo Se toma un percentil adecuado (p.ej 10%) de la distribución de “yA” arrojada por la simulación, que asegure una probabilidad alta de conseguir ese valor de demanda como mínimo Se iteran (3) y (4) en un mallado bidimensional (p, q) Se escoge el máximo absoluto que t ,* denotaremos: A

y

q5

60

q4

40

q3 20 0

q2 p1 p2 p3 p4 p5 p6

q1

40-60 20-40 0-20

Simulación   

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Se escoge un producto (A) Se fijan precios, inversiones publicitarias e instante temporal (p,q,t) Simulamos precios e inversiones de la competencia, obteniéndose los valores de demanda “yA” correspondientes al sistema de ecuaciones de nuestro modelo Se toma un percentil adecuado (p.ej 10%) de la distribución de “yA” arrojada por la simulación, que asegure una probabilidad alta de conseguir ese valor de demanda como mínimo Se iteran (3) y (4) en un mallado bidimensional (p, q) Se escoge el máximo absoluto que t ,* denotaremos: A

y

q5

60

q4

40

q3 20 0

q2 p1 p2 p3 p4 p5 p6

q1

40-60 20-40 0-20

Simulación   

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Se escoge un producto (A) Se fijan precios, inversiones publicitarias e instante temporal (p,q,t) Simulamos precios e inversiones de la competencia, obteniéndose los valores de demanda “yA” correspondientes al sistema de ecuaciones de nuestro modelo Se toma un percentil adecuado (p.ej 10%) de la distribución de “yA” arrojada por la simulación, que asegure una probabilidad alta de conseguir ese valor de demanda como mínimo Se iteran (3) y (4) en un mallado bidimensional (p, q) Se escoge el máximo absoluto que t ,* denotaremos: A

y

q5

60

q4

40

q3 20 0

q2 p1 p2 p3 p4 p5 p6

q1

40-60 20-40 0-20

Simulación 

Iteraremos el proceso para un número determinado de instantes de tiempo y para cada marca, con lo que se irán obteniendo los valores óptimos de demanda que satisfagan las restricciones estipuladas:

y tA,* , yBt ,* , yCt ,*1 ,..., yCt ,*k 

De los óptimos extraemos los valores de “p” y “q” que les corresponden y que son las soluciones buscadas.

y

t ,* marca ( X )

40 30 20 10 0

Soluciones : ( p tX,* , q tX,* )

30-40 20-30 10-20 0-10

Validación del modelo 

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Consiste en estudiar la diferencia entre nuestra solución y la prevista al inicio por el experto Se pueden emplear mixturas de ambas distribuciones: la arrojada por el modelo y la descrita por el experto

Alternativas y ampliaciones    

Alterar las funciones de utilidad cambiando la forma funcional del modelo Modificar la estructura de las ecuaciones de nuestro modelo (logarítmico, multiplicativo, etc) Modificar el método de estimación de los parámetros, utilizando por ejemplo la aproximación bayesiana Incorporar la interdependencia de las marcas

Miguel Ángel Gómez Villegas Alejandro Ferrer Pérez Inés Cubillo Dapena Alfonso de la Fuente Ruiz