Bitácora 4

CIMA UAEH Seminario de Investigación

Maestría en Ciencias Matemáticas y su Didáctica

Marcos Campos

Problema: Considere una mesa de billar de dimensiones mxn, la cual se cuadricula de tal forma que m representa las filas y n las columnas; la mesa tiene buchacas solo en las esquinas. Si se hace un tiro a 45° siempre desde una de las esquinas ¿cuántos rebotes dará la bola antes de entrar en cualquiera de las buchacas?

La estrategia que se aborda para la solución de este problema es nuevamente el estudio de casos particulares, buscando encontrar un patrón que nos ayude a representar el caso general. Partimos de analizar el caso en que el número de filas m se mantiene fijo en uno y se comienza a variar el número de columnas n, como se muestra a continuación:

Dimensiones de Número la mesa mxn rebotes 1x1

0

1x2

1

1x3

2

1x4

3

de

Figura y Tabla 1: Muestra el estudio y los resultados de la primer serie de figuras estudiadas, son los casos más simples iniciando siempre con una fila La primer conclusión que se obtiene de este estudio es que para toda mesa de dimensiones 1x n en la cual n represente el número de columnas, se tendrán un total de n-1 rebotes. Para seguir con un orden establecido, se decidió seguir manteniendo el número de filas fijo, pero aumentándolas a dos, mientras que el número de columnas volverá a correr de n hasta donde se quiera, tal como se muestra a continuación:

CIMA UAEH Seminario de Investigación

Maestría en Ciencias Matemáticas y su Didáctica

Marcos Campos

Dimensiones Rebotes mxn 2x1

1

2x2

0

2x3

3

2x4

1

2x5

5

2x6

2

2x7

7

Figura y Tabla 2: Se aumenta una fila al caso anterior para continuar con el estudio y buscar la generalización

De este estudio se obtienen otras conclusiones importantes, por ejemplo si en la mesa de dimensiones mxn, resulta que m= n no existirá rebote alguno. Para toda mesa de 2xn, cuando n es impar, el número de rebotes coincide con n. Auxiliándonos de otros caso particulares como una mesa de dimensiones 4x8 y 8x16; se concluye que: si existen mesas de dimensiones mxn; 2mx2n; 4nx4n;… siendo m≠n el número de rebotes es el mismo en cualquier caso. Otra conclusión del estudio de casos es que no importa la orientación de la mesa, es decir, se tiene el mismo número de rebotes en una mesa de 2x5 que de 5x2 (5 rebotes). Se decidió hacer un estudio más con la serie de las mesas que cuentan con m=3 filas y n columnas que van a variar desde 1 hasta donde se quiera, El cual se muestra a continuación:

CIMA UAEH Seminario de Investigación

Maestría en Ciencias Matemáticas y su Didáctica

Dimensiones mxn

Rebotes

3 x1

2

3x2

3

3x3

0

3x4

5

3x5

6

3x 6

1

3x7

8

Marcos Campos

Figura y Tabla 3: Se estudia un caso más aumentando filas, y se utilizan conclusiones de casos anteriores para las conclusiones de este.

Para el caso de mesas con m=3 filas y n columnas, se observó que ahora el número de rebotas equivale a n + 1 columnas, siempre que no sea una mesa que ya se estudió en un caso anterior, por ejemplo una mesa de 3 x1 equivale a una mesa de 1 x3 (dos rebotes); la mesa de 3 x 2 equivale a la mesa de 2 x 3 ( tres rebotes); además el estudio de esta serie ayudó a detectar que cuando una mesa tiene el doble de columnas que de filas, por ejemplo una de 1x2, 2x4, 3x6, etc. solo habrá un rebote. Algo que llamó la atención en particular es que alrededor de los lados de la mesa se forman triángulos “completos” isósceles y “medios” triángulos o triángulos rectángulos, dependiendo de las dimensiones m y n; pues resulta que al menos para mesas en las que m y n > 1; m≠n; el número de rebotes equivale al número de triángulos completos. Hasta aquí terminó el estudio, no se ha podido generalizar todavía para el caso más general; lo que puedo concluir de esta actividad es que es de especial interés para ejemplificar como se estudian problemas en matemáticas; partiendo de casos particulares, identificando patrones, buscando las relaciones entre un caso ya estudiado y el nuevo para tratar de generalizar, proponiendo conjeturas que se aceptarán o rechazarán según los resultados. Es una actividad interesante que se puede buscar adaptar para trabajar en el aula con nuestros estudiantes.

Figura 4: Se observa una relación directa entre los triángulos coloreados y el número de rebotes.