Taller De Geometría Y Trigonometría
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Taller: Geometría & ……trigonometría Definiciones y aplicaciones
Presentado por: A. Dalmau Caribbean University 28 de marzo, 2009
Tabla de contenido Objetivos:........................................................................................................................ 2 Marco histórico ............................................................................................................... 2 Definición de Geometría ................................................................................................ 2 Elementos básicos de la geometría ................................................................................. 2 Plano ............................................................................................................................... 2 Perímetro......................................................................................................................... 2 Área................................................................................................................................. 2 Punto ............................................................................................................................... 3 Segmentos de líneas ........................................................................................................ 3 Rayos .............................................................................................................................. 3 Ángulos ........................................................................................................................... 3 1. Ángulos agudos ..................................................................................... 3 2. Ángulos rectos ....................................................................................... 3 3. Ángulos obtusos .................................................................................... 4 4. Ángulos llanos ....................................................................................... 4 5. Ángulos adyacentes ............................................................................... 4 6. Ángulos verticales ................................................................................. 4 7. Ángulos complementarios ..................................................................... 4 8. Ángulos suplementarios ........................................................................ 5 Líneas .............................................................................................................................. 5 Líneas paralelas ..................................................................................................... 5 Líneas perpendiculares .......................................................................................... 6 Circunferencias ............................................................................................................... 6 Tangentes ............................................................................................................... 6 Polígonos ........................................................................................................................ 6 Tipos de polígonos ................................................................................................. 7 Polígonos convexos ............................................................................................... 8 Polígonos cóncavos ............................................................................................... 8 Triángulos ....................................................................................................................... 8 Tipos de triángulos ................................................................................................ 9 Triángulos congruentes ................................................................................................... 9 Triángulos similares...................................................................................................... 10 Cuadriláteros ................................................................................................................. 10 Tipos de cuadriláteros .......................................................................................... 10 Trigonometría ............................................................................................................... 11 Identidades trigonométricas básicas ............................................................................. 13 Referencias ................................................................................................................... 14
Taller: Geometría y trigonometría v.2 3-28-09
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Geometría Objetivos:
Establecer un marco histórico del desarrollo de la geometría y su presencia en la vida diaria y la naturaleza Repasar las definiciones, vocabulario y conceptos básicos de la geometría en el plano Descripción de las figuras geométricas básicas y sus características Definir las funciones trigonométricas básicas y enfatizar en cómo se relacionan con la geometría Desarrollar algunas aplicaciones de las funciones trigonométricas
Marco histórico
El uso práctico de la geometría se remonta aprox. a 2000 AC. Existe evidencia que desde esa época los babilonios conocían de las relaciones pitagóricas. Para 400 AC, Euclides, matemático. griego, formalizó el conocimiento de la geometría con su tratado titulado Los Elementos. En 1600, Descartes, filósofo y matemático francés, establece el uso de sistema de ejes cartesianos, permitiendo definir las figuras geométricas con ecuaciones algebraicas. En los siglos IXX y XX, se desarrollan otros tipos de geometría: la No-Euclidiana, diferencial y fractal.
Definición de Geometría La palabra Geometría se deriva del griego geos, que significa tierra y metron, que significa medida. Se considera ser una importante rama de las matemáticas puras que trabaja con puntos, líneas, curvas y superficies. Para las sociedades antiguas la geometría era una ciencia muy importante y servía para la medida de distancias, la astronomía, la navegación y la construcción. Hoy en día tiene la misma importancia que antes y se sigue desarrollando gracias al uso de las computadoras.
Elementos básicos de la geometría Plano
Grupo infinito de puntos que se extienden en dos dimensiones (a lo largo y lo ancho). Por lo general representamos el plano como un rectángulo sin bordes para indicar que su extensión es infinita.
Perímetro
Se puede referir a la línea que limita una figura plana y también se refiere al total de las longitudes de todas las líneas que forman una figura plana.
Área
Medida de la superficie comprendida dentro de un perímetro.
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Punto Es un elemento en geometría que no tiene longitud, anchura ni grosor. Un punto define una posición exacta en el plano. Los puntos se identifican comúnmente con letras mayúsculas.
Segmentos de líneas
Es la ruta más corta entre dos puntos A y B, en el plano, por lo tanto una línea recta entre los dos ó . puntos. Se identifican de esta forma: Los segmentos de líneas están definidos por dos puntos terminales y contienen un conjunto infinito de puntos entre los dos puntos terminales. Los segmentos de línea tienen longitud pero no anchura.
Rayos
Un rayo se define por dos puntos en el plano. Un punto, digamos A, es el origen y se traza un segmento de línea que no termine, sino que se extienda indefinidamente y que pase por el otro punto, digamos B. Si A es el origen, este rayo se identifica de esta forma: , sería incorrecto identificarlo como a menos que el punto de origen sea B. Los rayos tienen una longitud infinita pero no tienen anchura.
Ángulos
Dos rayos con un punto de origen común forman un ángulo. Por ejemplo los rayos y forman un ángulo al que llamamos ó . Note que al identificar el ángulo, el punto común se coloca en el medio. El punto común se llama vértice y los dos rayos son los lados del ángulo. Un ángulo se dice que está en su posición estándar cuando uno de los lados, que llamaremos lado inicial, está horizontal y apuntando hacia la derecha. El otro lado del ángulo se llamará lado terminal. Los ángulos positivos se miden en dirección contraria a las manecillas del reloj y los ángulos negativos a favor. Los ángulos se miden en grados y la cantidad de grados de la medida de un ángulo describe su apertura. El símbolo para grados es ⁰. Por lo tanto 32⁰ se lee “treinta y dos grados”. Los ángulos se pueden medir también con unidades de radianes y gradianes. Las medidas de ángulo fluctúan desde 0⁰ hasta 360⁰ (siendo la medida de 0⁰ igual a la medida de 360⁰), equivalente a una fluctuación desde 0 hasta 2p rarianes ó desde 0 a 400 gradianes. 1. Ángulos agudos Ángulos que miden más de 0⁰ pero menos de 90⁰.
2. Ángulos rectos Ángulos que miden exactamente 90⁰. Los ángulos rectos se marcan son este símbolo
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3. Ángulos obtusos Ángulos que miden más de 90⁰ pero menos de 180⁰.
4. Ángulos llanos Ángulos que miden exactamente 180⁰.
5. Ángulos adyacentes Ángulos que tienen un lado en común y el mismo vértice. En el ejemplo de la derecha es adyacente al . Sin embargo, para ser adyacentes, los ángulos no pueden estar uno dentro del otro. Por esta razón, y no son ángulos adyacentes.
6. Ángulos verticales Pares de ángulos opuestos por un vértice. Se forman cuando dos líneas rectas se cruzan. En el ejemplo de la derecha y son ángulos verticales. Los ángulos verticales son congruentes (tienen la misma medida). En este ejemplo y también son ángulos verticales y por lo tanto también son congruentes. Note el uso de las marcas en los ángulos para indicar que son congruentes. 7. Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios cuando los ángulos formen un ángulo recto al colocarse en forma adyacente. La suma de las medidas de los ángulos tiene que dar 90⁰. En el ejemplo de la derecha, y son complementarios por que la suma de las medidas de ambos ángulos da un total de 90⁰. Sin embargo un ángulo que mida 100⁰ y otro que mida 10⁰ no serán complementarios aún cuando sumen 90⁰.
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8. Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios cuando los ángulos formen un ángulo llano al colocarse en forma adyacente. La suma de las medidas de los ángulos tiene que dar 180⁰. En el ejemplo de la derecha, y son suplementarios por que la suma de las medidas de ambos ángulos da un total de 180⁰. Sin embargo un ángulo que mida 190⁰ y otro que mida 10⁰ no serán suplementarios aún cuando sumen 180⁰.
Líneas
Por definición es la distancia más corta con la que podemos conectar dos puntos en el plano, pero extendiéndose en ambas direcciones en forma infinita. Por ejemplo, si tenemos los puntos A y B, identificamos la ó , o línea que pasa por esos puntos con la notación escribiendo un nombre para línea, en este caso, línea k. Una línea está definida por dos puntos, contienen un conjunto infinito de puntos extendiéndose en ambas direcciones infinitamente. Las líneas tienen pues una longitud infinita, pero ninguna anchura. Podemos clasificar las líneas de acuerdo a su inclinación en el plano como: horizontales, verticales y oblicuas (líneas inclinadas). Líneas paralelas
En el ejemplo de la derecha tenemos la línea h y que tienen la misma inclinación. Decimos que ambas líneas son paralelas y se representa con la notación Las líneas paralelas en el plano nunca se intersecan. Si dos líneas en el plano se intersecan, entonces no son paralelas. Esto se puede representar con la notación Cuando dos líneas paralelas son intersecadas por una línea transversal, se forman ocho ángulos. Estos ocho ángulos se agrupan en cuatro pares de ángulos correspondientes. Del ejemplo de la derecha identificamos los pares de ángulos correspondientes: 1 y 5 ; 2 y 6 ; 1 y 5 ; 3 y 7 y 4 y 8 Cada par de ángulos son congruentes. Se crean también dos pares de ángulos interiores consecutivos: 4 y 3; y 5 y 6 y dos pares de ángulos exteriores alternos: 1 y 7; y 2 y 8 Cada par de estos ángulos son igualmente congruentes.
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Líneas perpendiculares Cuando dos líneas se intersecan a 90⁰, decimos que las líneas son Perpendiculares Expresamos esto usando la siguiente notación
" #
Circunferencias Una circunferencia o círculo es la colección de puntos en el plano que están a una misma distancia de un punto fijo. A este punto fijo se le llama centro de la circunferencia. Cualquier segmento de línea que conecte el centro con cualquier punto en la circunferencia es un radio. Un segmento de línea que conecta cualesquiera dos puntos en la circunferencia se llama una cuerda. En este ejemplo es una cuerda. Una cuerda que pase por el centro de la circunferencia se llama diámetro. En este ejemplo es un diámetro. El área y el perímetro (la circunferencia) de un círculo están dadas por la fórmulas: $ %& ଶ ' $ 2%& Donde r es el radio del círculo.
Tangentes Cualquier segmento de línea o línea recta que interseque la circunferencia en un solo punto se llama una tangente. Las tangentes siempre son perpendiculares al radio o diámetro de la circunferencia
Polígonos Un polígono es una figura cerrada formada al conectar segmentos de líneas donde cada segmento interseca exactamente otros dos segmentos. Los siguientes ejemplos ilustran esta definición.
Es polígono
No es polígono Segmentos no rectos
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No es polígono Figura no cerrada
No es polígono Interseca mas de dos segmentos 6/15
En un polígono se forman tantos vértices y ángulos como segmentos de líneas (o lados) tenga el polígono. La suma de los ángulos internos del polígono se puede calcular mediante la fórmula: () 2* + 180°
Donde n es la cantidad de lados que forman el polígono.
Tipos de polígonos Los polígonos se clasifican de acuerdo a la cantidad de lados que contengan, como por ejemplo: Cant. de lados n
Nombre
Suma de los ángulos internos
3
Triángulo
(3 2* + 180° $ 180°
4
Cuadrilátero
(4 2* + 180° $ 360°
5
Pentágono
(5 2* + 180° $ 540°
6
Hexágono
(6 2* + 180° $ 720°
Ejemplo
Otros nombres de polígonos son: Cant. de lados n 7 8 9 10 11 12
Nombre Heptágono Octágono Nonágono Decágono Endecágono Dodecágono
Cuando todos los lados en un polígono son iguales, la figura que se forma es un polígono regular. Taller: Geometría y trigonometría v.2 3-28-09
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Polígonos convexos Polígonos cuyos ángulos internos son todos menores a 180⁰. En un polígono convexo, cualquier segmento de línea que corte dos puntos en el perímetro del polígono estará contenida dentro de la figura. Polígonos cóncavos Polígonos que tienen al menos un ángulo interno mayor que 180⁰. En un polígono cóncavo, hay segmentos de líneas conectando dos puntos en el perímetro del polígono, que están fuera de la figura.
Polígono convexo
Polígono cóncavo
Triángulos Ya sabemos que un triángulo es un polígono de tres lados. Las intersecciones que forman los lados del triángulo se llaman vértices. En este ejemplo tenemos los vértices A, B y C. Los triángulos forman tres ángulos internos: , y . La suma de los ángulos internos será siempre 180⁰. Usamos la siguiente notación para identificar el triángulo de la derecha: Δ . Para calcular el área de un triángulo usamos la fórmula: ଵ $ ଶ(. · *
Donde b es la base del triángulo, en este caso, la longitud del lado , y h es la altura del triángulo o la distancia perpendicular desde la base del triángulo hasta el vértice opuesto a la base. En este . ejemplo, la altura está dada por la longitud de El área del triángulo se puede calcular usando cualquiera de los tres lados del triángulo como base.
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Tipos de triángulos 1. Equilátero Triángulo cuyos tres lados tienen la misma longitud. Los tres ángulos también son iguales y miden 60⁰.
2. Isósceles Triángulo que tiene dos lados de igual longitud. Los ángulos opuestos a los lados son también iguales. El tercer lado tiene una longitud distinta. Puede ser más corto o más largo. El ángulo opuesto al tercer lado tiene que ser distinto a los otros dos ángulos. 3. Rectángulo Triángulo que tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto es el lado de mayor longitud y a este lado se le llama hipotenusa. Los otros dos lados pueden ser o no ser iguales, pero siempre más cortos que la hipotenusa. A estos lados se les llama catetos.
4. Escaleno Triángulo cuyos lados tienen distintas longitudes. opuestos también tienen distintas medidas.
Los
ángulos
Triángulos congruentes Triángulos cuyos ángulos y lados correspondientes son congruentes (tienen la misma medida). Identificamos dos triángulos congruentes de la siguiente forma Δ 0 Δ Las siguientes relaciones producen triángulos congruentes: Lado-Lado-Lado Esto significa que si las tres dimensiones Angulo-Lado-Angulo indicadas son congruentes, el triángulo es Angulo-Angulo-Lado congruente. Lado-Angulo-Lado
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Triángulos similares Triángulos cuyos ángulos correspondientes son congruentes (tienen la misma medida), pero cuyos lados correspondientes no son congruentes. Sin embargo, los lados correspondientes tienen que ser proporcionales, por lo tanto podemos crear las siguientes relaciones entre los lados: $ $
Identificamos dos triángulos similares de la siguiente forma: Δ ~ Δ
Cuadriláteros Los cuadriláteros son polígonos que se componen de cuatro lados. Tipos de cuadriláteros 1. Rectángulo: Cuadrilátero cuyos cuatro ángulos son todos rectos y con dos pares de lados de igual longitud. El área de un rectángulo está dada por la fórmula: $.+
2. Cuadrado: Rectángulo cuyos lados son todos de igual longitud. Por ser un rectángulo, sus cuatro ángulos son ángulos rectos. El área de un rectángulo está dada por la fórmula: $ 2 + 2 $ 2ଶ
3. Paralelogramo: Cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Además, los ángulos opuestos son congruentes y sus medidas todas distintas a 90⁰. Los lados opuestos son también congruentes. El área de un paralelogramo está dada por la fórmula: $.+ Donde b es la longitud de uno de los lados y h la distancia perpendicular entre ese lado y el lado opuesto. 4. Rombo: Es un caso particular de un paralelogramo, donde los cuatro lados que forman el paralelogramo son congruentes.
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5. Trapecio: Cuadrilátero con un par de lados opuestos paralelos, llamados bases, y el otro par de lados opuestos, no paralelos. El área de un trapecio está dada por la fórmula: ଵ $ ଶ(.ଵ 3 .ଶ * +
Donde .ଵ y .ଶ son las longitudes de los dos lados paralelos (las bases) y h la distancia perpendicular entre ellos.
Trigonometría Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. En particular, las funciones trigonométricas definen y describen las relaciones de los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo dentro de un círculo unitario de forma que un vértice coincide con el centro del círculo y uno de los catetos con el eje horizontal. Las tres funciones trigonométricas básicas son: sen (7* cos (7* tan (7* Estas funciones se pueden definir en forma geométrica utilizando el círculo unitario de esta forma:
Dentro del círculo unitario: sen 7 = la longitud de CA cos 7 = la longitud de OC tan 7 = la longitud de DF
Podemos identificar también las cofunciones: 1 sec 7 $ $ la long. OF cos 7 1 csc 7 $ $ la long. OG sen 7 1 cot 7 $ $ la long. EG tan 7
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Cualquier triángulo se puede poner en una relación de proporcionalidad con un triángulo similar que esté definido dentro del círculo unitario, según se muestra a la derecha. Por lo tanto: sen (7* opuesto $ 1 hipotenusa
cos (7* adyacente $ 1 hipotenusa
sen (7* $
cos (7* $
opuesto hipotenusa
adyacente hipotenusa
tan (7* sen (7* $ 1 cos (7* tan (7* $
opuesto adyacente
Valores de las funciones trigonométricas básicas para algunos ángulos comunes: Angulo (7* Radianes Grados 0
% 6 % 4 % 3 % 2
0°
30° 45° 60° 90°
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sen 7
cos 7
tan 7
0
1
0
1 2
√2 2 √3 2 1
√3 2 √2 2 1 2 0
√3 3 1
√3 No definido
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Identidades trigonométricas básicas
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Referencias 1. http://www.cliffsnotes.com/WileyCDA/CliffsReviewTopic/Geometry.topicArticleId18851.html 2. http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html 3. http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/recursos/tab-trig.pdf
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Tabla de contenido Objetivos:........................................................................................................................ 2 Marco histórico ............................................................................................................... 2 Definición de Geometría ................................................................................................ 2 Elementos básicos de la geometría ................................................................................. 2 Plano ............................................................................................................................... 2 Perímetro......................................................................................................................... 2 Área................................................................................................................................. 2 Punto ............................................................................................................................... 3 Segmentos de líneas ........................................................................................................ 3 Rayos .............................................................................................................................. 3 Ángulos ........................................................................................................................... 3 1. Ángulos agudos ..................................................................................... 3 2. Ángulos rectos ....................................................................................... 3 3. Ángulos obtusos .................................................................................... 4 4. Ángulos llanos ....................................................................................... 4 5. Ángulos adyacentes ............................................................................... 4 6. Ángulos verticales ................................................................................. 4 7. Ángulos complementarios ..................................................................... 4 8. Ángulos suplementarios ........................................................................ 5 Líneas .............................................................................................................................. 5 Líneas paralelas ..................................................................................................... 5 Líneas perpendiculares .......................................................................................... 6 Circunferencias ............................................................................................................... 6 Tangentes ............................................................................................................... 6 Polígonos ........................................................................................................................ 6 Tipos de polígonos ................................................................................................. 7 Polígonos convexos ............................................................................................... 8 Polígonos cóncavos ............................................................................................... 8 Triángulos ....................................................................................................................... 8 Tipos de triángulos ................................................................................................ 9 Triángulos congruentes ................................................................................................... 9 Triángulos similares...................................................................................................... 10 Cuadriláteros ................................................................................................................. 10 Tipos de cuadriláteros .......................................................................................... 10 Trigonometría ............................................................................................................... 11 Identidades trigonométricas básicas ............................................................................. 13 Referencias ................................................................................................................... 14
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Geometría Objetivos:
Establecer un marco histórico del desarrollo de la geometría y su presencia en la vida diaria y la naturaleza Repasar las definiciones, vocabulario y conceptos básicos de la geometría en el plano Descripción de las figuras geométricas básicas y sus características Definir las funciones trigonométricas básicas y enfatizar en cómo se relacionan con la geometría Desarrollar algunas aplicaciones de las funciones trigonométricas
Marco histórico
El uso práctico de la geometría se remonta aprox. a 2000 AC. Existe evidencia que desde esa época los babilonios conocían de las relaciones pitagóricas. Para 400 AC, Euclides, matemático. griego, formalizó el conocimiento de la geometría con su tratado titulado Los Elementos. En 1600, Descartes, filósofo y matemático francés, establece el uso de sistema de ejes cartesianos, permitiendo definir las figuras geométricas con ecuaciones algebraicas. En los siglos IXX y XX, se desarrollan otros tipos de geometría: la No-Euclidiana, diferencial y fractal.
Definición de Geometría La palabra Geometría se deriva del griego geos, que significa tierra y metron, que significa medida. Se considera ser una importante rama de las matemáticas puras que trabaja con puntos, líneas, curvas y superficies. Para las sociedades antiguas la geometría era una ciencia muy importante y servía para la medida de distancias, la astronomía, la navegación y la construcción. Hoy en día tiene la misma importancia que antes y se sigue desarrollando gracias al uso de las computadoras.
Elementos básicos de la geometría Plano
Grupo infinito de puntos que se extienden en dos dimensiones (a lo largo y lo ancho). Por lo general representamos el plano como un rectángulo sin bordes para indicar que su extensión es infinita.
Perímetro
Se puede referir a la línea que limita una figura plana y también se refiere al total de las longitudes de todas las líneas que forman una figura plana.
Área
Medida de la superficie comprendida dentro de un perímetro.
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Punto Es un elemento en geometría que no tiene longitud, anchura ni grosor. Un punto define una posición exacta en el plano. Los puntos se identifican comúnmente con letras mayúsculas.
Segmentos de líneas
Es la ruta más corta entre dos puntos A y B, en el plano, por lo tanto una línea recta entre los dos ó . puntos. Se identifican de esta forma: Los segmentos de líneas están definidos por dos puntos terminales y contienen un conjunto infinito de puntos entre los dos puntos terminales. Los segmentos de línea tienen longitud pero no anchura.
Rayos
Un rayo se define por dos puntos en el plano. Un punto, digamos A, es el origen y se traza un segmento de línea que no termine, sino que se extienda indefinidamente y que pase por el otro punto, digamos B. Si A es el origen, este rayo se identifica de esta forma: , sería incorrecto identificarlo como a menos que el punto de origen sea B. Los rayos tienen una longitud infinita pero no tienen anchura.
Ángulos
Dos rayos con un punto de origen común forman un ángulo. Por ejemplo los rayos y forman un ángulo al que llamamos ó . Note que al identificar el ángulo, el punto común se coloca en el medio. El punto común se llama vértice y los dos rayos son los lados del ángulo. Un ángulo se dice que está en su posición estándar cuando uno de los lados, que llamaremos lado inicial, está horizontal y apuntando hacia la derecha. El otro lado del ángulo se llamará lado terminal. Los ángulos positivos se miden en dirección contraria a las manecillas del reloj y los ángulos negativos a favor. Los ángulos se miden en grados y la cantidad de grados de la medida de un ángulo describe su apertura. El símbolo para grados es ⁰. Por lo tanto 32⁰ se lee “treinta y dos grados”. Los ángulos se pueden medir también con unidades de radianes y gradianes. Las medidas de ángulo fluctúan desde 0⁰ hasta 360⁰ (siendo la medida de 0⁰ igual a la medida de 360⁰), equivalente a una fluctuación desde 0 hasta 2p rarianes ó desde 0 a 400 gradianes. 1. Ángulos agudos Ángulos que miden más de 0⁰ pero menos de 90⁰.
2. Ángulos rectos Ángulos que miden exactamente 90⁰. Los ángulos rectos se marcan son este símbolo
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3. Ángulos obtusos Ángulos que miden más de 90⁰ pero menos de 180⁰.
4. Ángulos llanos Ángulos que miden exactamente 180⁰.
5. Ángulos adyacentes Ángulos que tienen un lado en común y el mismo vértice. En el ejemplo de la derecha es adyacente al . Sin embargo, para ser adyacentes, los ángulos no pueden estar uno dentro del otro. Por esta razón, y no son ángulos adyacentes.
6. Ángulos verticales Pares de ángulos opuestos por un vértice. Se forman cuando dos líneas rectas se cruzan. En el ejemplo de la derecha y son ángulos verticales. Los ángulos verticales son congruentes (tienen la misma medida). En este ejemplo y también son ángulos verticales y por lo tanto también son congruentes. Note el uso de las marcas en los ángulos para indicar que son congruentes. 7. Ángulos complementarios Dos ángulos son complementarios cuando los ángulos formen un ángulo recto al colocarse en forma adyacente. La suma de las medidas de los ángulos tiene que dar 90⁰. En el ejemplo de la derecha, y son complementarios por que la suma de las medidas de ambos ángulos da un total de 90⁰. Sin embargo un ángulo que mida 100⁰ y otro que mida 10⁰ no serán complementarios aún cuando sumen 90⁰.
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8. Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios cuando los ángulos formen un ángulo llano al colocarse en forma adyacente. La suma de las medidas de los ángulos tiene que dar 180⁰. En el ejemplo de la derecha, y son suplementarios por que la suma de las medidas de ambos ángulos da un total de 180⁰. Sin embargo un ángulo que mida 190⁰ y otro que mida 10⁰ no serán suplementarios aún cuando sumen 180⁰.
Líneas
Por definición es la distancia más corta con la que podemos conectar dos puntos en el plano, pero extendiéndose en ambas direcciones en forma infinita. Por ejemplo, si tenemos los puntos A y B, identificamos la ó , o línea que pasa por esos puntos con la notación escribiendo un nombre para línea, en este caso, línea k. Una línea está definida por dos puntos, contienen un conjunto infinito de puntos extendiéndose en ambas direcciones infinitamente. Las líneas tienen pues una longitud infinita, pero ninguna anchura. Podemos clasificar las líneas de acuerdo a su inclinación en el plano como: horizontales, verticales y oblicuas (líneas inclinadas). Líneas paralelas
En el ejemplo de la derecha tenemos la línea h y que tienen la misma inclinación. Decimos que ambas líneas son paralelas y se representa con la notación Las líneas paralelas en el plano nunca se intersecan. Si dos líneas en el plano se intersecan, entonces no son paralelas. Esto se puede representar con la notación Cuando dos líneas paralelas son intersecadas por una línea transversal, se forman ocho ángulos. Estos ocho ángulos se agrupan en cuatro pares de ángulos correspondientes. Del ejemplo de la derecha identificamos los pares de ángulos correspondientes: 1 y 5 ; 2 y 6 ; 1 y 5 ; 3 y 7 y 4 y 8 Cada par de ángulos son congruentes. Se crean también dos pares de ángulos interiores consecutivos: 4 y 3; y 5 y 6 y dos pares de ángulos exteriores alternos: 1 y 7; y 2 y 8 Cada par de estos ángulos son igualmente congruentes.
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Líneas perpendiculares Cuando dos líneas se intersecan a 90⁰, decimos que las líneas son Perpendiculares Expresamos esto usando la siguiente notación
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Circunferencias Una circunferencia o círculo es la colección de puntos en el plano que están a una misma distancia de un punto fijo. A este punto fijo se le llama centro de la circunferencia. Cualquier segmento de línea que conecte el centro con cualquier punto en la circunferencia es un radio. Un segmento de línea que conecta cualesquiera dos puntos en la circunferencia se llama una cuerda. En este ejemplo es una cuerda. Una cuerda que pase por el centro de la circunferencia se llama diámetro. En este ejemplo es un diámetro. El área y el perímetro (la circunferencia) de un círculo están dadas por la fórmulas: $ %& ଶ ' $ 2%& Donde r es el radio del círculo.
Tangentes Cualquier segmento de línea o línea recta que interseque la circunferencia en un solo punto se llama una tangente. Las tangentes siempre son perpendiculares al radio o diámetro de la circunferencia
Polígonos Un polígono es una figura cerrada formada al conectar segmentos de líneas donde cada segmento interseca exactamente otros dos segmentos. Los siguientes ejemplos ilustran esta definición.
Es polígono
No es polígono Segmentos no rectos
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No es polígono Figura no cerrada
No es polígono Interseca mas de dos segmentos 6/15
En un polígono se forman tantos vértices y ángulos como segmentos de líneas (o lados) tenga el polígono. La suma de los ángulos internos del polígono se puede calcular mediante la fórmula: () 2* + 180°
Donde n es la cantidad de lados que forman el polígono.
Tipos de polígonos Los polígonos se clasifican de acuerdo a la cantidad de lados que contengan, como por ejemplo: Cant. de lados n
Nombre
Suma de los ángulos internos
3
Triángulo
(3 2* + 180° $ 180°
4
Cuadrilátero
(4 2* + 180° $ 360°
5
Pentágono
(5 2* + 180° $ 540°
6
Hexágono
(6 2* + 180° $ 720°
Ejemplo
Otros nombres de polígonos son: Cant. de lados n 7 8 9 10 11 12
Nombre Heptágono Octágono Nonágono Decágono Endecágono Dodecágono
Cuando todos los lados en un polígono son iguales, la figura que se forma es un polígono regular. Taller: Geometría y trigonometría v.2 3-28-09
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Polígonos convexos Polígonos cuyos ángulos internos son todos menores a 180⁰. En un polígono convexo, cualquier segmento de línea que corte dos puntos en el perímetro del polígono estará contenida dentro de la figura. Polígonos cóncavos Polígonos que tienen al menos un ángulo interno mayor que 180⁰. En un polígono cóncavo, hay segmentos de líneas conectando dos puntos en el perímetro del polígono, que están fuera de la figura.
Polígono convexo
Polígono cóncavo
Triángulos Ya sabemos que un triángulo es un polígono de tres lados. Las intersecciones que forman los lados del triángulo se llaman vértices. En este ejemplo tenemos los vértices A, B y C. Los triángulos forman tres ángulos internos: , y . La suma de los ángulos internos será siempre 180⁰. Usamos la siguiente notación para identificar el triángulo de la derecha: Δ . Para calcular el área de un triángulo usamos la fórmula: ଵ $ ଶ(. · *
Donde b es la base del triángulo, en este caso, la longitud del lado , y h es la altura del triángulo o la distancia perpendicular desde la base del triángulo hasta el vértice opuesto a la base. En este . ejemplo, la altura está dada por la longitud de El área del triángulo se puede calcular usando cualquiera de los tres lados del triángulo como base.
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Tipos de triángulos 1. Equilátero Triángulo cuyos tres lados tienen la misma longitud. Los tres ángulos también son iguales y miden 60⁰.
2. Isósceles Triángulo que tiene dos lados de igual longitud. Los ángulos opuestos a los lados son también iguales. El tercer lado tiene una longitud distinta. Puede ser más corto o más largo. El ángulo opuesto al tercer lado tiene que ser distinto a los otros dos ángulos. 3. Rectángulo Triángulo que tiene un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto es el lado de mayor longitud y a este lado se le llama hipotenusa. Los otros dos lados pueden ser o no ser iguales, pero siempre más cortos que la hipotenusa. A estos lados se les llama catetos.
4. Escaleno Triángulo cuyos lados tienen distintas longitudes. opuestos también tienen distintas medidas.
Los
ángulos
Triángulos congruentes Triángulos cuyos ángulos y lados correspondientes son congruentes (tienen la misma medida). Identificamos dos triángulos congruentes de la siguiente forma Δ 0 Δ Las siguientes relaciones producen triángulos congruentes: Lado-Lado-Lado Esto significa que si las tres dimensiones Angulo-Lado-Angulo indicadas son congruentes, el triángulo es Angulo-Angulo-Lado congruente. Lado-Angulo-Lado
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Triángulos similares Triángulos cuyos ángulos correspondientes son congruentes (tienen la misma medida), pero cuyos lados correspondientes no son congruentes. Sin embargo, los lados correspondientes tienen que ser proporcionales, por lo tanto podemos crear las siguientes relaciones entre los lados: $ $
Identificamos dos triángulos similares de la siguiente forma: Δ ~ Δ
Cuadriláteros Los cuadriláteros son polígonos que se componen de cuatro lados. Tipos de cuadriláteros 1. Rectángulo: Cuadrilátero cuyos cuatro ángulos son todos rectos y con dos pares de lados de igual longitud. El área de un rectángulo está dada por la fórmula: $.+
2. Cuadrado: Rectángulo cuyos lados son todos de igual longitud. Por ser un rectángulo, sus cuatro ángulos son ángulos rectos. El área de un rectángulo está dada por la fórmula: $ 2 + 2 $ 2ଶ
3. Paralelogramo: Cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos. Además, los ángulos opuestos son congruentes y sus medidas todas distintas a 90⁰. Los lados opuestos son también congruentes. El área de un paralelogramo está dada por la fórmula: $.+ Donde b es la longitud de uno de los lados y h la distancia perpendicular entre ese lado y el lado opuesto. 4. Rombo: Es un caso particular de un paralelogramo, donde los cuatro lados que forman el paralelogramo son congruentes.
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5. Trapecio: Cuadrilátero con un par de lados opuestos paralelos, llamados bases, y el otro par de lados opuestos, no paralelos. El área de un trapecio está dada por la fórmula: ଵ $ ଶ(.ଵ 3 .ଶ * +
Donde .ଵ y .ଶ son las longitudes de los dos lados paralelos (las bases) y h la distancia perpendicular entre ellos.
Trigonometría Es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. En particular, las funciones trigonométricas definen y describen las relaciones de los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo dentro de un círculo unitario de forma que un vértice coincide con el centro del círculo y uno de los catetos con el eje horizontal. Las tres funciones trigonométricas básicas son: sen (7* cos (7* tan (7* Estas funciones se pueden definir en forma geométrica utilizando el círculo unitario de esta forma:
Dentro del círculo unitario: sen 7 = la longitud de CA cos 7 = la longitud de OC tan 7 = la longitud de DF
Podemos identificar también las cofunciones: 1 sec 7 $ $ la long. OF cos 7 1 csc 7 $ $ la long. OG sen 7 1 cot 7 $ $ la long. EG tan 7
Taller: Geometría y trigonometría v.2 3-28-09
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Cualquier triángulo se puede poner en una relación de proporcionalidad con un triángulo similar que esté definido dentro del círculo unitario, según se muestra a la derecha. Por lo tanto: sen (7* opuesto $ 1 hipotenusa
cos (7* adyacente $ 1 hipotenusa
sen (7* $
cos (7* $
opuesto hipotenusa
adyacente hipotenusa
tan (7* sen (7* $ 1 cos (7* tan (7* $
opuesto adyacente
Valores de las funciones trigonométricas básicas para algunos ángulos comunes: Angulo (7* Radianes Grados 0
% 6 % 4 % 3 % 2
0°
30° 45° 60° 90°
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sen 7
cos 7
tan 7
0
1
0
1 2
√2 2 √3 2 1
√3 2 √2 2 1 2 0
√3 3 1
√3 No definido
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Identidades trigonométricas básicas
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Referencias 1. http://www.cliffsnotes.com/WileyCDA/CliffsReviewTopic/Geometry.topicArticleId18851.html 2. http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html 3. http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/recursos/tab-trig.pdf
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