Clase # 3 Coeficientes De Fourier Y Simetrías De Onda

MEX-33 ITM. MATEMÁTICAS ESPECIALES. CLASE # 10

Docente: Martha Guzmán. Página # 1 de 9.

COMPETENCIA: Manejar los conceptos de ESPECTROS DE AMPLITUD Y FASE. Tema: SIMETRÍAS DE ONDA Y CÁLCULO DE COEFICIENTES DE FOURIER.

CÁLCULO DE LOS COEFICIENTES DE FOURIER En la clase anterior trabajamos la definición de SERIE DE FOURIER para una onda o señal periódica. Esta definición fue obtenida por J.B.J. FOURIER, un investigador francés del siglo XIX, que trabajaba sobre el flujo de calor. Según la definición de la SERIE DE FOURIER, cualquier señal periódica puede ser representada como la suma de: Un valor constante (llamado nivel DC), más una sumatoria infinita de ondas coseno (llamados ARMONICOS COSENO), más una sumatoria infinita de ondas seno (llamados ARMONICOS SENO). Estos armónicos en el seno y coseno, tienen una característica especial, sus respectivas frecuencias angulares: wn , son múltiplos enteros de la frecuencia angular fundamental w0 de la señal original, o sea que: wn = n * w0 . Dónde n representa a todos los números enteros positivos. Lo que introduce la idea de que, una señal periódica con una frecuencia angular fundamental w0 , tiene intrínsecamente contenidas, frecuencias angulares que están armónicamente relacionadas entre sí. Recordemos la definición para una señal periódica cualquiera, llamada f (t): +∞ f (t) =

a

0

+

∑

{ [ a * Cos ( nw n

0

+ [ bn * Sen ( nw0 t ) ]

t)]

}

n=1 O lo que es lo mismo, por que wn = n * w0 : +∞ f (t) =

a

0

+

∑

{ [ a * Cos (w n

n

t)]

+ [ bn * Sen (wn t ) ]

}

n=1

Para una señal periódica f (t) en particular, el período T es conocido y su frecuencia angular fundamental w0 también es conocida por que se puede calcular por fórmula. Pero, ¿ Cómo podemos calcular los respectivos valores de

a , a ,b 0

n

n

?.

Los valores de a0 , an , bn conocidos como los COEFICIENTES DE FOURIER, pueden ser calculados utilizando fórmulas que más adelante se detallan.

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SIMETRÍAS DE ONDA Son propiedades interesantes de las ondas o funciones periódicas que permiten simplificar la evaluación de los llamados COEFICIENTES DE FOURIER: a0 , an , bn .

SIMETRÍA PAR: condición:

Se dice que una señal periódica f(t) tiene SIMETRIA PAR, cuando cumple la siguiente Para un t dado, f ( t ) = f ( - t ).

SIMETRÍA IMPAR: siguiente condición:

Se dice que una señal periódica f(t) tiene SIMETRIA IMPAR, Para un t dado, f ( t ) = - f ( - t ).

cuando cumple la

SIMETRÍA DE MEDIA ONDA: Se dice que una señal periódica f(t) tiene SIMETRIA MEDIA ONDA, cuando cumple la siguiente condición: Para un t dado, f ( t ) = - f ( t + { T/2 } ). EJEMPLO 1: ¿ Qué tipo de simetría de onda tiene la siguiente señal f ( t ) ? f = f (t)

T = 2л

seg.

5 -2л

-л

- 3л/2

л -л/2

л/2

2л 3л/2 5л/2

t (seg)

-5

•

Evaluemos primero si tiene SIMETRÍA PAR: Si la tiene, debe cumplir la condición: f ( t ) = f ( - t ). Seleccionamos un tiempo t arbitrariamente para evaluar la condición, esto puede hacerse por que la condición, debe cumplirse para todo el dominio. Sin embargo, la recomendación es que se utilicen t tales que coincidan con valores máximos o mínimos de la función f. Seleccionemos: t = ( л/2 ) Evaluamos la función para ese t, observando la gráfica: Evaluamos también la función para el - t :

f ( t ) = f ( л/2 ) = 5 f ( -t ) = f ( - л/2 ) = - 5

Preguntémonos si la señal f ( t ) cumple la condición:

¿ f(t) = f(-t) ? ¿ f ( л/2 ) = f ( - л/2 ) ? ¿ 5 = - 5 ? NO!!!

La respuesta es que NO se cumple la condición, por lo tanto f ( t ) NO tiene simetría PAR. •

Evaluemos ahora si tiene SIMETRÍA IMPAR, si la tiene debe cumplir la condición: Seleccionamos un tiempo t arbitrariamente para evaluar la condición,: Seleccionemos: t = 3 [ л/2 ] Evaluamos la función para ese t, observando la gráfica: Evaluamos también la función para el - t :

f ( t ) = - f ( -t ).

f ( t ) = f ( 3 [ л/2 ] ) = - 5 f ( - t ) = f ( - 3 [ л/2 ] ) = 5

Preguntémonos si la señal f ( t ) cumple la condición: ¿ f ( t ) = - f ( - t ) ? ¿ f ( 3[ л/2] ) = - f ( - 3[ л/2 ] ) ? ¿ - 5 = - ( 5 ) ? SI!!! La respuesta es que SI se cumple la condición, por lo tanto f ( t ) SI tiene simetría IMPAR !!.

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COEFICIENTES DE FOURIER SEGÚN LAS SIMETRÍAS DE ONDA f ( t ): d: T:

Señal periódica. Punto de inicio del período seleccionado. Valor del período de la señal f ( t ) .

wn:

Valor de la frecuencia angular del armónico número n. wn = n * w0 .

COEFICIENTES PARA ONDAS SIN NINGÚN TIPO DE SIMETRÍA DETECTADA: (d+T)

a

0

=

∫

( 1 ) * T

f ( t ) dt

d (d+T)

a

n

=

∫

( 2 ) * T

f ( t ) * Cos ( wn t )

dt

;

Para todas las n.

;

Para todas las n.

d (d+T)

b

n

=

∫

( 2 ) * T

f ( t ) * Sen ( wn t )

dt

d

COEFICIENTES PARA ONDAS CON SIMETRÍA PAR: ( d + {T/2} )

a

0

∫

= ( 2 ) * T

f ( t ) dt

d ( d + {T/2} )

a

n

b

n

∫

= ( 4 ) * T

f ( t ) * Cos ( wn t )

;

= 0

dt

;

Para todas las n.

d

Para todas las n.

COEFICIENTES PARA ONDAS CON SIMETRÍA IMPAR:

a a

0

=

0

n

=

0

;

Para todas las n. ( d + {T/2} )

b

n

b

n

∫

= ( 4 ) * T =

0

f ( t ) * Sen ( wn t ) dt

;

Sólo para las n impares.

d

;

Para las n pares.

CONSULTA: Para la próxima clase, averigüe cuales son las fórmulas que permiten calcular los coeficientes de fourier: a0 , MEDIA ONDA.

a ,b n

n

, para las señales periódicas que tienen SIMETRÍA DE

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EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COEFICIENTES DE FOURIER EJEMPLO 1: Considere la siguiente señal periódica V ( t ), que no tiene ninguna simetría de onda conocida. Calcule la SERIE DE FOURIER correspondiente a V ( t ) hasta n=3. V = V(t),

Voltios.

10 voltios

t 1

4

T = 4 seg.

5

8

w0 = (л/2) (rad/seg).

seg.

9

Amplitud = 10 voltios.

Recordemos que la fórmula generalizada para las SERIES DE FOURIER es: +∞ f(t) =

a

+

0

∑

{ [ a * Cos ( nw n

0

t)]

+ [ bn * Sen ( nw0 t ) ]

}

n=1 Nuestra función no se llama f(t) sino V( t ) y tiene una w0 = (л/2) (rad/seg) = 1.57 (rad/seg). Como el problema nos limita la representación hasta n=3, entonces la fórmula de la SERIE DE FOURIER puede reescribirse como: 3

V(t) =

a

0

+

∑

{ [ a * Cos ( n*1.57* t ) ] n

+ [ bn * Sen ( n *1.57* t ) ] }

n=1 V(t) =

a

0

+ [ a1 * Cos ( 1*1.57* t ) ] + [ a2 * Cos ( 2*1.57* t ) ] + [ a3 * Cos ( 3*1.57* t ) ] + [ b1 * Sen ( 1*1.57* t ) ] + [ b2 * Sen ( 2*1.57* t ) ] + [ b3* Sen ( 3*1.57* t ) ]

Observe que en las SERIES DE FOURIER, después de reemplazar el valor de la w0

, lo único que queda pendiente

por calcular, son los COEFICIENTES DE FOURIER: a0 , an , bn . Para ello se utilizan las fórmulas según sea la simetría de onda. En este caso particular como V(t) no tiene simetrías de onda, utilizamos la tabla de fórmulas para las funciones que no tienen simetría de onda. Para utilizar las fórmulas, previamente es necesario definir el punto de inicio d para el período, luego calcular el ( d + T ) , y encontrar la ecuación que corresponde a la f ( t ) = V (t) en el intervalo de integración:

1. Arbitrariamente escogemos un punto de inicio del período:

d = 0

2. Ya que T = 4 seg., puede calcularse entonces: (d+T) = 0+4 = 4 3. Y observando el intervalo de integración, encontramos que la señal V ( t ) tiene como ecuaciones, a las siguientes rectas que tienen pendiente igual a cero y solo tienen intercepto con el eje vertical: entre : 0 < t < 1, : V = V ( t ) = 10 voltios. entre : 1 < t < 4, : V = V ( t ) = 0 voltios. •

Para encontrar el nivel DC de la señal periódica V ( t ) usamos la fórmula:

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4

(d+T)

a

=

0

( 1 ) * T

∫

f ( t ) dt

=

0

0.25 *

V(t) dt

{ ∫10

dt

}

0

= 2.5 * { 1 – 0 } =

0

=

10 dt

0

4

1

= ( 0.25*10 ) * ∫ dt

1

∫

( 1) *

1

∫0

dt +

=

0

4

0

a a

∫

( 1) *

4

1

a

=

d

4

=

2.5 *

0

{t} 0

2.5 * { 1 } = 2.5

2.5 voltios. ; Este es el nivel DC de la señal V ( t ).

Si queremos utilizar la herramienta de MATLAB para verificar el resultado, podemos hacerlo utilizando el comando int ( ) que nos permite calcular integrales, así: >>syms t; >>a0=0.25*int(10,t,0,1); >>pretty(a0)

•

Para encontrar los coeficientes

a

n

se utiliza la siguiente fórmula:

(d+T)

a

( 2 ) * ∫ f ( t ) * Cos ( wn t ) dt d T Entonces, para el caso en que n=1 tenemos: n

;

=

Se cumple Para todas las n.

4

a

1

=

∫ V ( t ) * Cos (

( 2 ) * 4

;

w1 t ) dt

Se cumple para la n = 1.

0 1

a

1

=

0.5 *

{ ∫

4

10 * Cos (1 *1.57* t ) dt

0

+ ∫

1

a

1

=

0.5 *

1

{ ∫ 10 * Cos (1.57* t )

dt

}

=

0.5*10 * ∫ Cos (1.57* t ) dt

0

0

1

a

1

= 5*

1

∫ Cos ( 1.57* t ) dt 0

a a

}

0 * Cos (1 *1.57* t ) dt

1

{ Sen (1.57*

1

= 3.18 *

1

= 3.18 voltios. ;

= 5*

{

1

Sen (1.57* t ) 0 1.57

1 ) - Sen (1.57* 0 )

}

}

=

3.18 *

{ Sen (1.57* t ) } 0

= 3.18

Esta es la amplitud del ARMONICO número 1 en el coseno.

Si queremos utilizar la herramienta de MATLAB para verificar el resultado, podemos hacerlo utilizando el comando int ( ) que nos permite calcular integrales, así: >>syms t; >>a1=0. 5*int(10*cos(1.57*t),t,0,1); >>pretty(a1)

Entonces, para el caso en que n=2 tenemos:

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4

a

2

=

∫ V ( t ) * Cos (

( 2 ) * 4

;

w2 t ) dt

Se cumple Para la n = 2.

0 1

a

2

=

0.5 *

{ ∫

4

+ ∫

10 * Cos (2 *1.57* t ) dt

0 1

a

2

=

0.5 *

0 * Cos (2 *1.57* t ) dt 1

{ ∫ 10 * Cos (3.14* t )

dt

}

0.5*10 * ∫ Cos (3.14* t ) dt

=

0

0

1

a

2

= 5*

1

∫ Cos ( 3.14* t ) dt

= 5*

{

0

a

2

a

2

= 1.59 *

}

1

{ Sen (3.14*

= 0 voltios. ;

1

Sen (3.14* t ) 0 3.14

1 ) - Sen (3.14* 0 )

}

}=

1.59 *

{ Sen (3.14* t ) } 0

= 0

Esta es la amplitud del ARMONICO número 2 en el coseno.

Si queremos utilizar la herramienta de MATLAB para verificar el resultado, podemos hacerlo utilizando el comando int ( ) que nos permite calcular integrales, así: >>syms t; >>a2=0. 5*int(10*cos(3.14*t),t,0,1); >>pretty(a2)

Entonces, para el caso en que n=3 tenemos: 4

a

3

=

( 2 ) * 4

∫ V ( t ) * Cos (

w3 t ) dt

;

Se cumple Para la n=3.

0

Defina y realice USTED esta integral y deberá obtener como resultado :

a

3

=

-1.06 voltios. ;

El resumen de los coeficientes a0 a1 a2 a3

= 2.5 = 3.18 = 0 = -1.06

voltios. ; voltios. ; voltios. ; voltios. ;

Esta es la amplitud del ARMONICO número 3 en el coseno.

a

0

y

a

n

calculados hasta n = 3,

es el siguiente:

Es nivel DC de la señal V ( t ). Es la amplitud del ARMONICO número 1 en el coseno. Es la amplitud del ARMONICO número 2 en el coseno. Esta es la amplitud del ARMONICO número 3 en el coseno.

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•

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Para encontrar los coeficientes

b

n

se utiliza la siguiente fórmula:

(d+T)

b

n

=

∫

( 2 ) * T

;

Se cumple Para todas las n.

;

Se cumple Para la n = 1.

f ( t ) * Sen ( wn t ) dt

d

Entonces, para el caso en que n=1 tenemos: 4

b

1

=

∫ V ( t ) * Sen (

( 2 ) * 4

w1 t ) dt

0

4

b

1

=

0.5*

{ ∫ V ( t ) * Sen (

}

1*1.57* t ) dt

0 1

b

1

=

0.5*

4

{ ∫ 10 * Sen (

1.57* t ) dt

∫ 0 * Sen (

+

0 1

b

1

=

0.5* 10 *

1

= - 3.18 *

{∫

1

=

{

}

1

Sen ( 1.57* t ) dt

}=

5*

{

- Cos ( 1.57 * t ) 0 1.57

0

b b

1.57* t ) dt

1

Cos ( 1.57 * 1 ) - Cos ( 1.57 * 0 )

}

}

= - 3.18 * { 0 - 1

}

3.18 voltios. ; Esta es la amplitud del armónico número 1 en el Seno.

Si queremos utilizar la herramienta de MATLAB para verificar el resultado, podemos hacerlo utilizando el comando int ( ) que nos permite calcular integrales, así: >>syms t; >>b1=0. 5*int(10*sin(1.57*t),t,0,1); >>pretty(b1)

Entonces, para el caso en que n=2 tenemos: 4

b

2

=

( 2 ) * 4

∫ V ( t ) * Sen (

;

w2 t ) dt

Se cumple Para la n = 2.

0 4

b

2

=

0.5*

{ ∫ V ( t ) * Sen (

}

2*1.57* t ) dt

0 1

b

2

= 0.5 *

4

{ ∫ 10 * Sen (

3.14* t ) dt

0

∫ 0 * Sen (

+

1

b

2

=

0.5* 10 *

3.14* t ) dt

}

1 1

{ ∫ 0

Sen ( 3.14* t ) dt

}=

5*

{

- Cos ( 3.14 * t ) 0 3.14

}

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b b

{

2

= - 1.59 *

2

= 3.18 voltios.

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Cos ( 3.14 * 1 ) - Cos ( 3.14 * 0 )

}

= 3.18

; Esta es la amplitud del armónico número 2 en el Seno.

Si queremos utilizar la herramienta de MATLAB para verificar el resultado, podemos hacerlo utilizando el comando int ( ) que nos permite calcular integrales, así: >>syms t; >>b2=0. 5*int(10*sin(3.14*t),t,0,1); >>pretty(b2)

Entonces, para el caso en que n = 3 tenemos: 4

b

3

=

( 2 ) * 4

∫ V ( t ) * Sen (

w3 t ) dt

;

Se cumple Para la n = 3.

0

Realice USTED esta integral y deberá obtener como resultado :

b

3

=

1.06 voltios. ; Esta es la amplitud del armónico número 3 en el Seno.

El resumen de los coeficientes bn b1 b2 b3

calculados hasta n = 3 es el siguiente:

= 3.18 voltios. ; Esta es la amplitud del armónico número 1 en el Seno. = 3.18 voltios. ; Esta es la amplitud del armónico número 2 en el Seno. = 1.06 voltios. ; Esta es la amplitud del armónico número 3 en el Seno.

Todos estos cálculos nos llevaron a encontrar los valores de los COEFICIENTES de la SERIE DE FOURIER, ahora

a0 , an , bn .,

son conocidos hasta n = 3 y podemos reemplazarlos en la SERIE DE FOURIER correspondiente a la función V (t) así:

V(t) = a0 + [ a1 * Cos ( 1*1.57* t ) ] + [ a2 * Cos ( 2*1.57* t ) ] + [ a3 * Cos ( 3*1.57* t ) ] + [ b1 * Sen ( 1*1.57* t ) ] + [ b2 * Sen ( 2*1.57* t ) ] + [ b3* Sen ( 3*1.57* t ) ] V(t) = 2.5 + [ 3.18 * Cos (1.57* t ) ] + [ 0 * Cos ( 3.14* t ) ] + [ -1.06 * Cos ( 4.71* t ) ] + [ 3.18 * Sen (1.57* t ) ] + [ 3.18 * Sen ( 3.14* t ) ] + [ 1.06* Sen ( 4.71* t ) ] Observe la gráfica correspondiente a la SERIE DE FOURIER para la función V ( t ) , hasta n = 3:

Esta es una pobre representación de V(t), construcción de la serie de Fourier.

pero será cada vez mejor, cuantos más armónicos se incluyan en la

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ORIENTACIÓN PARA SU T.I. DE 6 HORAS CORRESPONDIENTE A ÉSTA SEMANA:

1. Realice como repaso los dos Talleres de Inicio correspondientes a métodos de integración, que se encuentran “colgados” en la página web del ITM (www.itm.edu.co). El procedimiento para “descolgarlos” es el siguiente: • Programas de Formación • Tecnología de Telecomunicaciones. • Matemáticas Especiales. • Talleres 4 y 5 de Inicio.

2. Repase los procedimientos y métodos de integración: por SUSTITUCION, y por PARTES, en cualquier libro de Cálculo. Y busque ayuda con los docentes ASESORES que el ITM ha programado para USTED, en horarios que aparecen publicados en la Decanatura de Ciencias Básicas.

3. Consulte en un libro cualquiera de ANÁLISIS DE REDES o de ANALISIS DE FOURIER, sobre ejemplos de calculo de los coeficientes de fourier

4. Realice el Taller de PROBLEMAS RESUELTOS

TPR CLASE # 3,

sobre cálculo de

coeficientes de fourier.

5. Realice el Taller sobre PROBLEMAS PROPUESTOS. TPP CLASE # 3.

Puede utilizar las salas: G-305, H-401, H-402, Laboratorio de Física del H primer piso, en sus horarios de Atención a Estudiantes. Este trabajo debe entregarlo la próxima clase.

BIBLIOGRAFÍA: • •

• • • • • • •

Cualquier libro de ANÁLISIS DE REDES para estudiar ejemplos de análisis de Fourier, por ejemplo el de VAN VALKENBURG. ANÁLISIS DE FOURIER. Hsu Hwei. Cualquier libro de Cálculo para repasar integrales. Manual del Estudiante Software MATLAB, se consigue en la biblioteca del ITM. Help sobre el comando syms. Help sobre el comando int ( ). Help sobre el comando plot( ). MANUAL BÁSICO DE MATLAB. Prof: Dayron Arboleda. Se consigue en DOBLE CLICK. MANUAL MATLAB. Prof: Antonio Londoño. Se consigue en el código 34 de Doble Click.