Goldbach-sejtés

-1-

A GOLDBACH SEJTÉS TÖRTÉNETE (History of Goldbach’s Conjecture) Dr. phil. Klopfer Ervin, PhD, CSc. okl. villamosmérnök, osztályvezet , ny. f munkatárs, MTA KFKI.

Összefoglalás: Prímszámok. Néhány tétel és sejtés a prímekkel kapcsolatban. Az er s és gyenge Goldbach-sejtés. Euler ötlete. Megoldási kísérletek és részeredmények (E. Waring, A. Desboves, A. Cunningham, V. Brun, G.H. Hardy, J.E. Littlewood, S. Ramanujan, L.G. Snyirelman, I.M. Vinogradov, K.V. Borodzin, Rényi A., T. Wang, J. Csen, O. Ramaré, S.K. Kapoor, R. Knjzek). A számítógépes ellen rzése igen nagy számokig megtörtént (N = 2×10exp17; N. Pipping, M.K. Shen, M.L. Stein & P.L. Stein, H.J.J. te Riele, J.-M. Deshouillers, J. Richstein, T.O. e Silva). A Faber-díj. Megoldható-e a Goldbach-sejtés egyáltalán? Páros számok prímösszeg-táblázata N ¿ 198-ig. Summary: Prime Numbers. Some theorems and conjectures in connection with primes. Strong and weak Goldbach Conjecture. Euler’s idea. Experiments and particular results for the solution (E. Waring, A. Desboves, A. Cunningham, V. Brun, G.H. Hardy, J.E. Littlewood, S. Ramanujan, L.G. Snyirelman, I.M. Vinogradov, K.V. Borodzin, A. Rényi, T. Wang, J. Csen, O. Ramaré, S.K. Kapoor, R. Knjzek). Computer tests have been done up to very large numbers (N = 2×10exp17; N. Pipping, M.K. Shen, M.L. Stein & P.L. Stein, H.J.J. te Riele, J.-M. Deshouillers, J. Richstein, T.O. e Silva). Faber Prize. Is it possible to solve Goldbach’s Conjecture at all? Table of the sum of primes for even numbers up to N < 198.

-21. PRÍMSZÁMOK Mottó: „A prímek világítótornyok a számok tengerében” „A matematika a tudományok királyn je, és a számelmélet a matematika királyn je” (Gottfried Wilhelm Leibniz német matematikus, filozófus, 1646-1716) „Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschwerk” (Az egészszámokat a Jóisten teremtette, minden más emberi alkotás, Leopold Kronecker német matematikus, 1823-1891))

A prímszámok azok a természetes egészszámok, amelyek eggyel és önmagukon kívül más számmal maradék nélkül nem oszthatók. A többi szám ún. összetett (kompozit) szám. Az egy sem nem prím, sem nem összetett szám. Egyetlen páros prím van, a kett . A prímszámok a természetes számok épít kövei, azaz minden természetes szám - a tényez k sorrendjét l eltekintve - egyértelm en felírható prímszámok szorzataként. Végtelen sok prímszám van; erre alexandriai Eukleidész (kb. i. e. 365-300) görög matematikus minden id k egyik legszebb matematikai bizonyítását adta. A prímszámok megtalálására Eratoszthenész (i. e. 276-195) görög matematikus és csillagász adott egy roppant egyszer módszert, ez az ún. Eratoszthenész-szita. A szita-módszer hatékony, egyszer és gyors számítógépes programmal futtatható. Ha N ¿ 50, a prímek: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, összesen 15 darab. Az alábbiakban közlünk néhány prímekkel kapcsolatos bizonyított tételt és megoldatlan kérdést:  Minden páros szám – legalább egyféleképen - el áll, mint két prím különbsége,  N és 2N között mindig van prím, ha N > 1 (P.F. Csebisev, Bertrand, Erd s Pál).  Két egymást követ prímszám között tetszés szerinti nagy „hézag” lehet.  Egy tetsz leges N egészszám körüli k hosszúságú intervallumban közelít leg k/ln N darab prímszám van, azaz a prímek átlagos távolsága ln N.

 Az n-edik prím p(n) ~ n ln (n). Ennél egy valamivel jobb becslés p(n) ~ n [ln(n) + ln ln(n) – 1] (Hardy és Wright).  Van-e végtelen sok ikerprím, ahol (pi – pi-1) = 2,  Van-e végtelen sok prím, amely (N2 + 1) formában írható fel?  Mindig van-e prím N2 és (N + 1)2 között?  Mindig van-e prím N2 és (N2 + N) között, ha N > 1?  Van-e végtelen sok prím, amely (4N + 1) formában írható fel?  Van-e végtelen sok prím, amely (4N - 1) formában írható fel? Melyik típusúból van több?  Van-e végtelen sok prím, amely (N! + 1) formában írható fel?  Van-e végtelen sok prím, amely (N! - 1) formában írható fel?  Létezik-e általános prímképlet?  Van-e általános formula a prímfaktorizációra?  A legnagyobb ismert ún. Mersenne prím (2004): 224036583-1. Ez a 41-edik Mersenne-prím, amelynek formája: (2p – 1).  Van-e végtelen sok Mersenne prím?

-3 A legnagyobb ismert ún. Fermat prím (2004): 1361244131072+1. A Fermat prím (1650) formája n  2 2 1  .  Van-e végtelen sok Fermat prím? n lim =1 n  Prímszámtétel: n  ∞ , ha  n  jelöli az n egészszámig a prímek dz ∫ ln z 2 számát (Jacques S. Hadamard, Charles de la Vallée-Poussin, Erd s Pál [1949], Atle Selberg) [15].

 Leonhard Euler (1707-1783) vezette be els ként a számelméletbe az ún. ζ(s) (valós) zeta-függvényt: ∞ 1 1 ps 1 = ∑ =∏ =∏ s =∏ ζ(s) n=1 n s p 1 p p −1 −s , 1− s p 1− p p ahol vagyis:

n természetes szám,

p = 2; 3; 5; 7; 11;… prímszám,

1

1

1

1

1

2s

1

2

3

4

5

2 s −1

 s

 s

 s

 s

.. .= s

×

3s 3 s −1

×

5s 5 s−1

×

7s

11 s

× ×. . . 7s −1 11 s −1

Ha s ≤ 1, akkor a sor divergens (s = 1 eset a harmonikus sor), ha s > 1, akkor konvergens. Euler azt az esetet vizsgálta, amikor s = 2, vagyis: ∞

2 1 1 1 , illetve a végtelen produktumból: =1   ...= 2 4 9 16 6 n=1 n 4 9 25 49 121 169 289 361 529 841 = × × × × × × × × × ×¿ … 3 8 24 48 120 168 288 360 528 840 ¿

 2 = ∑ 2

6

1

A produktum konvergenciájával kapcsolatban megjegyezzük, hogy tíz tényez (pn = 29) figyelembe vétele esetén: π2/6 ≅ 1,633070491…, és ebb l π ≅ 3,1(30243272…), vagyis az eredmény egy tizedesjegyre pontos.  1859-ben G. F. Bernhard Riemann (1826-1866) német matematikus kiterjesztette az Euler-féle zetafüggvény fogalmát komplex változóra is, amikor s = (x + iy).  A prímszámokkal kapcsolatban két fontos algoritmikus probléma fogalmazható meg: (1) ha adott egy k jegy szám, hogyan tudjuk eldönteni róla, hogy prímszám-e? (2) ha nem prímszám, hogyan tudjuk megtalálni a prímtényez it? Az els probléma sokkal könnyebb, mint a második. Vannak hatékony polinomiális algoritmusok, amelyek akár 1000 jegy számról is viszonylag könnyen eldöntik, hogy prím-e. A prímtényez kre bontásra azonban egyel re csak olyan algoritmus ismert, amely 100-nál több számjegy esetén már csak igen nehezen, 150 számjegy fölött pedig egyáltalában nem m ködik (pl. a Miller-Rabin teszt, 1976, Gary L. MILLER [School of Computer Science, Carnegie Mellon Uni, Pittsburgh, PA, USA)] és Michael O. RABIN [Engineering and Applied Sciences, Harvard Uni, Cambridge, MA, USA]). Egy 5000 jegy számnál a prímteszt próbaosztással kb. 102486 évig(!), egy egyszer sített prímteszttel kb. 5000 évig tartana. A Miller-Rabin prímteszt kb. 8 óra gépid t igényel, megbízhatósági valószín sége ~10-140, ami nagyon jónak mondható! Nemrégiben az 5000 órás tesztid t is – egy nagyon hatékony számítógépes programmal – sikerült jelent sen csökkenteni (Karl-Heinz Indlekofer és Járai Antal, Universität Paderborn, Paderborn, http://www.adobe.com/Ostwestfalen-Lippe, Germany).

Mint említettük; az igen nagy számok prímfaktorizációja nagyon nehéz feladat. A kronológia: 1970 1978 1981 1982

132 bit (39 jegy decimális szám) 150 bit 156 bit 170 bit

-41983 210 bit 1984 240 bit 1986 290 bit 1987 299 bit (90 jegy decimális szám) 1988 332 bit 1990 369 bit 1991 386 bit 1992 429 bit 1996 432 bit 1998 466 bit 1999 512 bit (154 jegy decimális szám) 2018 (2037) 1024 bit (308 jegy decimális szám) Az 512 bit-es prím faktorizációját Herman J.J. te RIELE és csoportja találta meg 1999. augusztus 22-edikén, amely két 78 digitb l álló prím szorzata. A módszer az ún. Number Field Sieve (számmez - szita) volt, a komputerid 3,7 hónap a Scientific Applications & Research Associates (SARA) Inc. (Albuquerque, New Mexico, USA) Cray-C916 szuperkomputerével.

-52. A GOLDBACH-SEJTÉS SZÜLETÉSE Mottó: „Egy jó sejtés sokszor többet ér, mint egy szép bizonyítás” „Sejts, és bizonyíts” (Erd s Pál magyar matematikus, 1913-1996) „Lisez Euler, lisez Euler, c’est notre maitre à tous” (Olvassátok Eulert, olvassátok Eulert; mindenben a mi mesterünk, Pierre Simon de Laplace francia matematikus, csillagász, 1749-1827) „Imagination is more important than knowledge” (A képzelet sokkal fontosabb, mint a tudás, Albert Einstein német fizikus, 1879-1955) „A magyarok szerint a tudományt nem helyes válaszok, hanem megválaszolhatatlan kérdések alkotják” (Mathematical Intelligencer 4, 1983) „Noé bárkáját amat rök csinálták, a Titanicot profik”

Christian Goldbach (1690-1764) porosz amat r matematikus és történész (aki f leg Szentpéterváron és Moszkvában élt és dolgozott) 1742. június 7-edikén azt írta Leonhard Euler-nek [1.ábra], hogy „Mindenesetre úgy néz ki, hogy egy 2-nél nagyobb szám el állítható három prímszám összegeként” („Es scheinet wenigstens, daß eine jede Zahl, die größer ist als 2, ein aggregatum trium numerorum primorum sey”). Ez a „gyenge Goldbach-sejtés”. Euler válaszában azt írta, hogy ennek bizonyításához elegend azt belátni, hogy „minden kett nél nagyobb páros szám (2n) - legalább egyféle módon - felbontható két prímszám (p1 és p2) összegére” (lásd alább), vagyis 2n = p1 + p2. Megengedett a p1 = p2 is. Ez az ún. Goldbachsejtés, pontosabban a „páros Goldbach-sejtés”, („er s Goldbach-sejtés” vagy „kett s Goldbach-sejtés”). Pl: 4 = 2+2; 6 = 3+3; 8 = 3+5; 10 = 3+7 = 5+5, stb. A Goldbach-sejtés - amit a matematikai irodalomban csak Goldbach Conjecture (GC) néven emlegetnek - legegyszer bb formájában tehát így hangzik: „Minden kett nél nagyobb páros szám legalább egyféleképpen el áll, mint két prím összege.” Úgy t nik, hogy Euler nem próbálkozott a Goldbach-sejtés bizonyításával.  Érdekesség, hogy Euler egy 1731-ben Goldbach-hoz írt levelében már találkozhatunk az e számmal.  Tréfásan azt szokták mondani, hogy: „Every even number is the sum of two primes” és „Every 

marriage is the sum of two individuals” (Mansur DARLINGTON szakíró). Egy budapesti napilap internetes online fórumán 2004. március 30-adikán jelent meg az alábbi versike:

Bertrand mester Euler öcsém, látom, Bizonyíthatatlan itt egy posztulátum. Pedig sejtem, érzem: biztos, mint a halál, N és 2N között prímet mindig talál, Aki ilyent keres. Euler félretette, Talán jobb id kre. Vagy nem érdekelte. Csebisevnek viszont, kit épp dobott n je,

-6Volt b ven ideje és könyökvéd je. Papírt nem kímélve, agyát csikorgatva, Pótcselekvés gyanánt bebizonyította. Kicsit nyögvenyel s volt a bizonyítás, Nem is ezt akarta... De jó, amíg nincs más. Véletlen rábukkant a fiatal Erd s, Tizennyolc alig múlt, zseni volt, nem szájh s. Ránézett, s az ihlet elkapta a fiút, Már látta is, merre visz a királyi út. Volt zsebében éppen egy használt koperta, A megoldást azon nyomban rákaparta. Mára már közismert mind a három sora, Csak a szegény Bertrand nem tudta meg soha.

Az „er s GC” enyhébb formája a „hármas Goldbach-sejtés” vagy „három prím probléma”, amely szerint: „minden ötnél nagyobb páratlan szám felírható három prím összegeként”. Pl: 9 = 2+2+5; 11 = 2+2+7; 103 = 3+47+53; 111 = 3+ 11+97; 117= 17+29+71; 189 = 41+59+89, stb.  Mint fentebb láttuk, Christian Goldbach 1742-ben Eulerhez írt levele egy olyan sejtést tartalmaz, miszerint „minden ötnél nagyobb szám felírható három prím összegeként”. Euler gondolatmenete szerint: mivel (amennyiben ez igaz) páros számok esetén az egyik prím mindenképpen a 2 (mivel három páratlan prím összege szükségszer en páratlan lenne, és 2 az egyetlen páros prím), kézenfekv következmény, hogy „minden páros szám két prím összege”. Tehát nem is Goldbach, hanem Euler fogalmazta meg a sejtést, ami ma a másik nevét viseli. Goldbach sejtését Eulerhez írt levelének margójára írta. Úgy látszik, hogy a levélmargók a matematikai sejtések megfogalmazásában gyakran kaptak jelent s szerepet (pl. Nagy Fermat Sejtés). Megjegyzend , hogy Goldbach az 1-et is prímnek tekintette. De az 1 nem prím, mert akkor 2 = 1×2 összetett szám lenne, mint két prím szorzata. De nem csak a 2 lenne összetett szám, hanem bármely prím is, hiszen pi = 1×pi.  Goldbach Eulerhez írt levelét el ször 1843-ban Pavel Nyikolajevics Fussz (1797-1855) orosz matematikus tette közzé [10].  Pithagorasz (kb. i. e. 582-500) és követ i, a pithagoreusok éles különbséget tettek a páros és páratlan számok között. Számmisztikájukban a páros számokat n i , a páratlanokat férfi jelleg nek tekintették (2 = n ; 3 = férfi; 2+3 = 5 = házasság).  Christian Goldbach a Balti-tenger közelében, a Pregel folyó partján fekv – akkor porosz Königsbergben (ma Kalinyingrád) született, apja lelkipásztor volt; matematikát és jogot tanult. Beutazta egész Európát (Északeurópa, Ausztria, Itália) és találkozott kora legkiválóbb matematikusaival (Leibniz, Euler, Nicholas I. Bernoulli, Nicholas II. Bernoulli, Daniel Bernoulli, Moivre, Hermann). 1725-ben a Szentpétervári Birodalmi Egyetem matematika és történelem professzora, majd az akkoriban létesített Szentpétervári Tudományos Akadémia titkára lett. 1728-ban Moszkvába ment és nevel je lett Péter cárevicsnek, a kés bbi II. Péter cárnak (1728-1732). 1734-ben visszatért Pétervárra, 1742-t l Moszkvában a Külügyminisztérium tisztvisel je. Jelent s eredményeket ért el a számelmélet, a végtelen sorok összegezése, a görbék és egyenletek elméletében. Eulerrel és D. Bernoullival 20 évig levelezett, és mintegy 200 levelet írt.  Leonhard EULER (1707-1783) matematikus, fizikus és csillagász, a 18. század legnagyobb és minden id k egyik legtermékenyebb matematikusa, a matematikatörténet egyik legnagyobb alakja volt; aki a matematika szinte minden területét m velte és ezeken maradandót alkotott. Egyike volt a legsokoldalúbb tudósoknak; állítólag elejét l a végéig kívülr l tudta az „Aeneis”-t. A svájci Basel-ben született, apja Paul EULER Riehen-ben szegény kálvinista lelkész volt, aki azonban nagyon szerette a matematikát és ifjú éveiben szorgalmasan hallgatta Jacob BERNOULLI óráit. Apja azt szerette volna, hogy Leonhard is lelkész legyen. Leonhard – apja kívánságára – 1720-ban beiratkozott a Baseli Egyetemre, ahol el ször teológiát, görög, latin és héber nyelveket tanult, de több kedvet érzett a matematikához. Apja beleegyezett, hogy matematikát tanuljon. A Baseli Egyetemen Johann BERNOULLI (Jacob Bernoulli öccse) tanítványa lett, akinek házába is bejáratos volt, és jó barátságba került fiaival, Nicolaus (III.) és Daniel (I.) BERNOULLI-val. Tanára hamar felismerte rendkívüli

-7tehetségét és külön is foglalkozott Vele. Bár az egyetemet kíválóan végezte el és 16 éves korában már megszerezte a magiszteri fokozatot, egyetemi állást nem sikerült kapnia. 1725-ben NAGY PÉTER (I. PÉTER, 1672-1725, uralk: 1682-1725) orosz cár az Általa alapított szentpétervári Akadémiára hívta meg a két Bernoulli-fiút (Nagy Péter levelezésben állt LEIBNIZ-cel, akinek segítségével szervezte meg a pétervári Akadémiát). Daniel 1727-ben kieszközölte I. KATALIN (1679-1727, uralk: 1725-1727) orosz cárn nél (Nagy Péter felesége) Euler meghívását. Euler I. Katalin halála napján érkezett Pétervárra, 1727ben – Nicolaus 1726-ban bekövetkezett halála után egy évvel - került az élettani tanszékre (mivel csak ott volt üres hely), és 1730-ban (23 évesen) lett a pétervári Akadémia fizika professzora. Daniel Bernoulli 1733-ban végleg visszatért Basel-be, így Euler átkerülhetett a helyére és 1733-ban - alig több, mint 25 évesen - lett az Akadémia tagja, els számú matematikusa, egyetemi tanára. 14 éves szentpétervári tartózkodása alatt sokat dolgozott: tanított, szerkesztette Oroszország térképét és 130 tudományos munkát írt; sokat a szentpétervári Akadémia által alapított „Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae” cím tudományos folyóiratba (ahol még 43 évvel halála után is jelentek meg munkái). 1736-ban – 29 éves korában - jelent meg els könyve „Mechanica sive motus scientia analytice exposita” (Mechanika, azaz a mozgás tudománya analitikus módon kifejtve), amelyben a tömegpont mozgását tárgyalta. 1733-ban Oroszországban házasodott össze Katharina Gsell-lel, egy svájci fest , a m vészeti Akadémia igazgatójának leányával. Tizenhárom gyermekük közül csak öt maradt életben; három fiú és két leány. A 19. század Oroszországában a gyermekek leszármazottai magas pozíciókba kerültek. 1735-ben - az er ltetett munka és egy szembetegség következtében – látászavarai lettek, majd jobb szemére megvakult (ezért nevezte t VOLTAIRE „Cyclope mathématique”-nek, a matematika Küklopszá-nak). Panasz nélkül dolgozott tovább és csak annyit mondott: „most majd kevesebbet háborgatnak”. Csaknem 1000 matematikai értekezésén kívül több jelent s könyve jelent meg az analízisr l. 1741-ben elfogadta NAGY FRIGYES (II. FRIGYES, 1712-1786, uralk: 1740-t l) porosz király (a porosz militarizmus megteremt je, katonai zseni és zeneszerz , fanatikus Voltaire-rajongó) meghívását az I. FRIGYES (1657-1713; uralk: 1701-1713) porosz király (Gottfried Wilhelm LEIBNIZ patrónusa) által 1707-ben alapított berlini Akadémiára (I. Frigyes csak úgy beszélt róla, hogy „az én Akadémiám”). Ett l kezdve Euler „udvari matematikus” (amely tisztségét kés bb LAGRANGE vette át), a berlini Akadémia alelnöke, a matematikai osztály elnöke, matematika professzor. A szentpétervári Akadémiának továbbra is tagja, s t igazgatója maradt, évi 3000 rubel fizetést is kapott (halála után feleségének 1000 rubelt folyósítottak, amire nagy szüksége is volt, hogy két házasságából született 13 gyermekét (!) felnevelhesse). Három fia jó állást kapott Péterváron, legid sebb fia Johann Albrecht fizikus az Akadémia titkára lett. Euler 25 évi berlini tartózkodása alatt további 275 tudományos munkát írt (!), amelyek egy része Oroszországban jelent meg. Euler – Nagy Frigyes kérésére – közrem ködött a porosz uralkodó potsdami Sanssouci kastélyában épített, 30 méteres szök kút tervezésében is (a szök kút véglegesen csak 1841-ben készült el). Mivel Euler Nagy Frigyes porosz udvarának rideg, katonás légkörét nem tudta megszokni, így örömmel elfogadta NAGY KATALIN (II. Katalin, 1729-1796, uralk: 1762-t l) orosz cárn meghívását (aki Voltaire-rel és DIDEROT-val is levelezett és anyagilag is támogatta k et, és aki felvilágosult abszolutista uralkodó volt), és 1766-ban - családjával együtt, a „hétéves háború” el l - visszaköltözött Szentpétervárra, ahol ett l kezdve élete végéig (még 17 évet), mint a matematika és a fizika professzora m ködött. Egy, a házában pusztító t zben majdnem megégett; csak saját magát és matematikai kéziratait tudta megmenteni. Keményen dolgozott és tanított, miközben – a túlhajszolt munka következtében – 1771-ben ép szemén hályog képz dött és teljesen megvakult. 1776-ban ugyan a hályogot m téttel eltávolították, de sebe elfert z d ött és Euler visszazuhant a teljes vakságba. Johann Albrecht-nek, továbbá tanítványainak és Svájcból hozatott titkárának vakon diktálta le 416 további munkáját. „Algebra” cím könyve – amelyet élete utolsó éveiben leányának diktált le – nemzedékeken át a legfontosabb matematika tankönyv volt. Sokat tett a matematika szimbólumrendszerének megalkotása terén: T le származik sok alapvet matematikai jelölés, pl. az

e ,i ,

, ∑ ,∫ , f  x 

és még sok más; a fels bb matematika jelöléseinek jelent s része. Rendszerezte, és tovább fejlesztette az analítikus geometriát, a függvénytant (analízist), a differenciál-és integrálszámítást, a komplex számok elméletét, teljessé tette a trigonometriát. Megalkotta a poliéderekre vonatkozó - ma Descartes-Euler formulának nevezett – tételt, amely szerint: LAP + CSÚCS = ÉL + 2

-8Megjegyzend , hogy fenti poliédertételt René du Peron DESCARTES (1596-1650) francia filozófus, matematikus és fizikus fedezte fel els ként 1619-ben, amikor a bajor hadseregben szolgált. Az e szimbólum megválasztásának okáról csak találgatni lehet. Vannak, akik szerint az e az exponenciális szó kezd bet j e lenne, mások az a, b, c, d - az akkori matematikát m vel k között bevetten használt - bet k sorában a következ t látják benne. A rosszmájú irigyek véleménye az, hogy Euler a számot önmagáról nevezte el. Euler foglalkozott a bolygók mozgásával is. Sok könyvet és könyvtárnyi tanulmányt írt. A matematika minden ágában – a számelméletet is beleértve – jelent set alkotott; könyvei, tanulmányai átfogták és szintetizálták az egész 18. századi matematikát. Elmondható Róla, hogy munkássága nyomán megváltozott szinte az egész matematika. Kortársai „mathematicus acutissimus”-nak (a legélesebb elméj matematikus) nevezték. ♦ Amikor 1783 szeptember 18-adikán Euler-t halálos szélütés érte, CONDORCET márki, francia filozófus és matematikus, a francia Akadémia tagja ezt mondta: „…et il cessa de calculer et de vivre” (…és [Euler] megsz nt számolni és élni).

♦ Mint érdekességet, megemlítjük, hogy a kommunista rezsim alatt megjelent szovjet könyvek – személyét kisajátítva - úgy emlegetik, mint „a mi nagy orosz matematikusunk, Ejler”. Ilyen jelleg patrióta, néha nacionalista kisajátításra sok példa akad: Johann Heinrich Lambertet (Jean Henri Lambert) magukénak tekintik a németek, a franciák és a svájciak, Liszt Ferencet (Franz Liszt) a magyarok és az osztrákok, Lénárd Fülöpöt (Philipp Lenard) a szlovákok, az osztrákok, a németek és a magyarok, stb. Euler 886 könyvet és tudományos értekezést publikált (átlagos teljesítménye évi 800 nyomtatott oldal volt!). 1907-ben - születésének 200-adik évfordulójára – a Svájci Természettudományi Társulat - a berlini és pétervári Akadémiával közösen - elhatározta, hogy kiadja összegy jtött munkáit, amelyet kezdetben 35 kötetre terveztek. A kiadás 1909-ben indult; az els kötet 1911-ben jelent meg (Teubner Verlag GmbH, Wiesbaden, Deutschland). Gustav ENESTRÖM (1852-1923) neves svéd matematikatörténész összeállította Euler m veinek csaknem teljes gy jteményét; így kiderült hogy a 35 kötetre tervezett kiadás 72 kötet lett. 1931-ben már 32 kötet volt készen (Birkhäuser Verlag, Basel, Schwitzerland. 1964-ig 59 kötet (egyenként 600 oldal) látott napvilágot. És eme gigantikus életm még nem tartalmazza kiterjedt szakmai levelezését a Bernoulli-akkal, Goldbach-al és más kíváló matematikusokkal. Becslések szerint mintegy 4000 levélr l van szó, amelyekb l 2791 maradt fenn. GAUSS írta: „Euler m veinek tanulmányozása mindig a legjobb iskola lesz… és semmi más nem pótolhatja.” A fizikában – D’ALEMBERT mellett - az analitikus mechanika megalapítója: nevét a merev testek mozgását leíró Euler-egyenletek, valamint a hidrodinamika Euler-egyenletei (kontinuitási-egyenlet) rzik. A súlypont helyett bevezette a tömegközéppont fogalmát. Mint a variációszámítás megalapozója, jelent s eredményeket ért el a mechanikai minimálelv megfogalmazásában (a Maupertuis-elvet is fogalmazta meg; korábban és precízebben, mint maga Maupertuis). HUYGENS-szel együtt részletesen vizsgálta a húrok és membránok gerjesztett rezgéseit és az uralkodó NEWTON-i korpuszkuláris elmélettel szemben a fényt, mint rezgési állapotot fogta fel; igaz, hogy nem transzverzális, hanem longitudinális hullámként kezelte. Megcáfolta Newton állítását az akromatikus lencsék készítésének lehetetlenségér l. Newton-tól függetlenül rájött, hogy er nem a mozgásállapot fenntartásához, hanem annak megváltoztatásához szükséges és felírta az er = tömeg × gyorsulás alapvet összefüggést (F = d(mv)/dt). Könyvet írt a hidraulikáról, a hajótervezésr l, a tüzérségr l, s t a zenér l is. ♦ Euler-nek volt néhány állandó levelez partnere, köztük d’Alembert, akit nem tartott valami sokra (!) és személyében sem kedvelte, továbbá Goldbach, a Bernoulli-ak, stb. Euler-nek elképeszt számolókészsége, memóriája, „bels látása” és munkabírása volt. Egyik éjszaka – már vakon - fejben kiszámította az els 100 egészszám hatodik hatványát és néhány nappal kés bb még emlékezett az egész táblázatra, és leírta! Sokszor úgy végezte fejben komplikált számításait, hogy kedvenc macskája a nyakában, egyik gyermeke pedig az ölében ült. Legjelent sebb m vei : ♦ Mechanica, sive motus scientia analytice exposita (Mechanika, azaz a mozgás tudománya analitikus módon kifejtve, 1736) - [tömegpontok dinamikája], ♦ Methodus inveniendi lineas curvas maximum minimumque proprietate gaudentes (A maximum és minimum tulajdonságú görbék feltalálásának módja, 1744) - [széls érték- és variációszámítás],

-9♦ Introductio in analysin infinitorum I-II. (Bevezetés a végtelenek analízisébe, Berlin, 1748) ♦ ♦ ♦

[trigonometria, jelölések, függvények sorbafejtése, imaginárius és komplex számok, analitikus geometria, számelmélet, felületek és görbék tulajdonságai], Institutiones calculi differentialis I-II-III. (A differenciálszámítás alapjai, Berlin, 1755) [differenciálszámítás, differenciálegyenletek], Institutiones calculi integralis I-II-III-IV. (Az integrálszámítás alapjai, Szentpétervár, 1768-70) [differenciál- és integrálszámítás, differenciálegyenletek elmélete, Taylor sorok alkalmazásai, speciális integrálok], Vollständige Anleitung zur Algebra (Teljes algebrai bevezetés, 1770) - [harmad- és negyedfokú algebrai egyenletek elmélete].

Egyébként René DESCARTES (1595-1650) francia matematikus, fizikus és filozófus már jóval Goldbach és Euler el tt ismerte a GC-problémát, és egy – posztumusz közzétett levelében említette. Bár nem volt teljesen meggy z d ve róla, így fogalmazott: „Minden páros szám egy, kett vagy három prím összege”. Pl: 2 = 2; 4 = 2+2 = 1+1+2; 6 = 3+3 = 2+2+2; 8 = 3+5 = 1+2+5; 10 = 5+5 = 2+3+5; 12 = 5+7 = 2+5+5; stb. Láthatóan is az tételezte, hogy az 1 prímszám.  Erd s Pál a világhír magyar matematikus mondta: „Jobb, hogy a sejtést Goldbach után nevezték el, mivel matematikus nyelven szólva Descartes végtelenül gazdag, Goldbach pedig nagyon szegény volt”.

1999-ben Hongbo LI (Mathematics Mechanization Research Center, Institute of Systems Sciences, Chinese Academy of Sciences, Beijing, China) meghatározása szerint azokat a pozitív egészszámokat, amelyek el állnak, mint két páratlan prím összege, Goldbachszámoknak nevezzük. Pl: 6 = 3 + 3; 18 = 5 + 13; 36 = 7 + 29, stb.  A számelméletnek azt az ágát, amely a számoknak prímszámokból való el állításával foglalkozik, additív számelméletnek nevezik.

A Goldbach-sejtés egyike a matematika (ezen belül a számelmélet) legrégebbi, máig megoldatlan problémájának.

- 10 3. MEGOLDÁSI ER FESZÍTÉSEK - GOLDBACH SEJT… ÉS? Mottó: „Nonne mathematici veri natique poetae? Sunt, sed quod fingunt, hosce probare decet” (Vajon nem született és igaz poéták a matematikusok is? Azok, de azt, amit kiagyalnak, bizonyítaniok kell, Leopold Kronecker (1823-1891) német matematikus) „Arkhimédészre emlékezni fognak, amikor Aiszkhüloszt már régen elfelejtették, mert a nyelvek mulandók, de a matematikai gondolatok nem. Lehet, hogy buta szó a ’halhatatlanság’, de bármit jelentsen is, a matematikus pályázik rá a legjobb eséllyel” (G.H. Hardy (1877-1947): Egy matematikus véd beszéde) „Essentiae rerum sunt sicut numeri” (A dolgok lényegei a számok, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) német matematikus) „Another roof, another proof” (Ahány ház, annyi bizonyítás, Erd s Pál magyar matematikus, 1913-1996)

Edward WARING (1734-1798) angol matematikus a „Meditationes Analyticae” (Cambridge, 1776) c. könyvében a következ sejtést fogalmazta meg: „Minden páros szám két prím összege és minden páratlan szám vagy prímszám, vagy három prím összege”. Pl: 2 = 1+1; 6 = 3+3; 8 = 3+5; 10 = 5+5; 14 = 7+7; 15 = 3+5+7; 21 = 7+7+7; stb. Az egyet is prímnek tekintette. „Minden páros szám (legalább egyféle módon) el áll, mint két prím különbsége” – ez a sejtés nagyon hasonló ahhoz, amit Goldbach állított, de mégsem ugyanaz. Pl: 10 = 17-7; 32 = 43–11 = 39–7= 37-5; stb. 1855-ben A. DESBOVES francia matematikus igazolta, hogy minden 2 < 2n < 10.000 páros szám két prím összegeként áll el [11]. 1894-ben Georg CANTOR (1845-1918), a kiváló dán/német matematikus kielemzett egy prímtáblázatot, aminek segítségével igazolta 2n < 1000-ig a Goldbach-sejtést.  CANTOR-t a kortárs matematikusok (Kronecker, Poincaré, Schwarz) meg nem értése mániás depresszióba, majd az rületbe kergette; 1918-ban egy Halle-i ideggyógyintézetben szívroham végzett Vele. Egyik megnyilatkozása: „Én vagyok a matematika Alfája és Omegája – én, Georg!… A kisujjamat se mozdítom, hogy megvédjem magam”.

1896-1903 között A. AUBRY igazolta a Goldbach-sejtést 1002 < 2n < 2000 közötti páros számokra. 1896-ban R. HAUSSNER igazolta a sejtést 2n < 10.000-ig. 1896-ban Paul Gustav STÄCKEL (1862-1919) német matematikus – Kronecker és Weierstrass tanítványa (differenciálegyenletek, halmazelmélet, prímszámok) - és mások lassan sz kítették a problémát.

- 11 A. CUNNINGHAM bebizonyította a sejtést N < 2×108-ig, speciális típusú számokra. Cunningham nevéhez f z d nek az ún. els és második típusú Cunningham-láncok. Legyen p prím, és q = 2p+1, r = 2q+1, s = 2r+1, stb. szintén prímek. Ekkor [p;q;r;s;…] els típusú Cunningham-láncot alkot. Pl: [2; 5; 11; 23; 47] egy öt tagból álló, els típusú CC („Cunningham Chain”). Legyen ismét p prím és q = 2p-1, r = 2q-1, s = 2r-1, stb. szintén prímek. Ekkor [p;q;r;s;…] második típusú Cunningham-láncot alkot. Pl: [2; 3; 5] vagy [1531; 3061; 6121; 12241; 24481]. Utóbbi egy öt tagból álló, második típusú CC. Mindkét prímlánc típust komplett láncnak nevezzük. 1997-ben Tony FORBES talált egy 14 tagú els típusú és egy 16 tagú második típusú CC-t (utóbbi hossza 19 digit). Phil CARMODY és Paul JOBLING 16 tagú, els típusú CC-t (hossza 21 digit) talált. P. JOBLING 1999-ben talált egy 15 tagú, els típusú CC-t (hossza 17 digit). A >1000 digitb l álló prímek a „titán-prímek” (Samuel YATES elnevezése). 1897-ben J.J. SYLVESTER (1814-1897) kijelentette; valószín leg igazolni tudja a Goldbachsejtést. Szerinte „minden N = 2n páros szám el áll két prím összegeként, ahol az egyik prím p1 > N/2, a másik prím p2 < 3N/2” [6];[7]. Sejtését 2 < N < 1000-ig igazolta. Srinivasza RAMANUJAN (1887-1920), a zseniális indiai matematikus (az angol Hardy felfedezettje és kés bbi munkatársa) sejtése, hogy valamilyen nagyon nagy szám felett a Goldbach-sejtés ellenpéldájára bukkanhatunk. Mottó: „When a distinguished but elderly scientist states that something is possible he is almost certainly right. When he states that something is impossible, he is very probably wrong” (Ha egy kiváló, de öregecske tudós valamir l azt állítja, hogy lehetséges, akkor majdnem biztos, hogy igaza van. Ha azt állítja, hogy valami lehetetlen, nagyon valószín , hogy téved Arthur C. Clarke: Profiles of the Future: An Inquiry into the Limits of the Possible) „Ubi dubium, ibi libertus” (Ahol kételkednek, ott szabadság van)

1912-ben Edmund Georg Hermann LANDAU (1877-1938), világhír német matematikus, számelmélész azt mondta a Goldbach-sejtésr l: „a tudomány mai állása szerint megoldhatatlan”.  Hermann Landau Göttingen-i egyetemi tanár 1934-ben – zsidó származása miatt - faji támadások kereszttüzébe került, és eltávolították az egyetemr l Ludwig Georg Elias Moses BIEBERBACH (18861982) - egy egyébként kiváló - német számelmélet tudós, aki szégyenletessé tette önmagát fasiszta, antiszemita nézetei miatt, vezet szerepet játszott Landau eltávolításában, és a náci fajelmélet (Herrenvolk) szellemében fogant „indoklását” írásban is közzétette. G.H. Hardy angol matematikus volt az, aki igen keményen és karakánul állt ki Landau mellett.

- 12 1915-ben fordulat következett be, amikor Jean MERLIN észrevette, hogy a Goldbach-sejtés valamilyen módon összefüggésben van az ikerprímekkel. Sajnos korai halála miatt munkáját nem fejezhette be.  p1 és p2 akkor ikerprímek, ha (p2 – p1) = 2, pl: [3;5], [5;7], [11;13]; [17;19]; [29;31]; [41;43];… [101;103]; [821;823]; stb. Sejtés: végtelen sok ikerprím létezik (Richard F. ARENSTORF, Vanderbilt Uni, 2004. máj. 26.) – de bizonyítása hibás volt, amint arra Gérald TENENBAUM francia matematikus rámutatott.

1920-ban Viggo BRUN (1885-1978) norvég matematikus, számelmélész cikket publikált, amelyben – elemi módszerekkel – bebizonyította, hogy „minden ’elegend en nagy’ páros szám el áll, mint két olyan szám összege, amelyek mindegyike kevesebb, mint 9 prím szorzata”. Ezek a prímek lehetnek egyenl k is.  Viggo Brun 1910-t l Göttingenben tanult, 1914-ben párizsi tanulmányútra ment, 1915-ben jelent s számelméleti munkát publikált (Brun-szita) az ikerprímekkel kapcsolatban. Azt tudjuk, hogy a pímek reciprokának sora divergens vagyis, ha pk a k-adik prím: ∞

∑

k =1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =           . ..  ∞ . p k 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31

Brun bizonyította be, hogy az ikerprímek reciprokának sora konvergens; összege a tiszteletére elnevezett Brun-állandó:

  

B2 = lim B 2  p  = p∞



1 1 1 1 1 1      . ..≃1, 902160583104 . .. 3 5 5 7 11 13

Thomas R. NICELY (Lynchburg, VA, USA) 1993-ban számítógéppel összeadta az ikerprímek reciprokait 3,155×1015-ig és a Brun-állandót 1,902160582310-nak találta. Eddig a határig összesen 3.471.427.262.962 darab ikerprímet talált. Az ikreprímek reciprok sorának összegére a legjobb becslést 2002-ben Pascal SEBACH tette, megvizsgálva az ikerprímeket p < 1016-ig. Szerinte az ikreprím Brun-állandó B2 = 1,902160583104… és a prím-kvadruplettek reciprok sorának összege: B4 = 0,87058838 ± 5×10-10. Prím-kvadruplettek: [5;7,11;13]; [11;13;17;19]; [101;103;107;109]; stb. Brun 1919-20-ban megalkotta a sokdimenziós lánctörtek elméletét. 1923-tól a Technical University Trondheim, majd 1946-1950 között az University of Oslo matematika professzora volt. Utóbbin olyan kiváló matematikusok tanítottak, mint Abel, Lie, Størmer és Thue. David Underbakker, Phil Carmody et al. 2001-ben megtalálták az addig ismert legnagyobb ikerprímet, amely: 318032361×2 107001 ±1 . Az ikerprím (twin prime) elnevezés Paul Gustav Stäckel (18621919) német matematikustól származik (számelmélet, differenciálegyenletek, halmazelmélet).  1849-ben tette közzé Alphonse de POLIGNAC (1817-1890) francia matematikus a prímekre vonatkozó sejtését, ami szerint végtelen sok olyan [p1;p2] prímpár létezik, amelyek közötti különbség 2k, azaz (p2 – p1) = 2k. Ha k = 1, ez az ikerprímek esete. Az els 50 prím között 16 ikerprím található.  A prímszámok reciprokának sorösszege – mint említettük - végtelen, de extrém lassan tart a végtelenhez. Ha az els 50 millió (!) tagját összeadjuk, még mindig csak <4 összeget kapunk. A sor 11 tagjának összege csak 1,565696836…  Az, hogy végtelen sok ikerprím létezik-e, a számelmélet egyik legnagyobb – megoldatlan – problémája, amir l Barbra Streisand által 1996-ban rendezett romantikus vígjáték filmjében is szó esik, címe: „Mirror Has Two Faces” (Tükröm tükröm). Két fiatal, Rose Morgan és Gregory Larkin – mindketten a Columbia University (New York, USA) professzorai – találkoznak. Rose romantikus irodalmat tanít, de nincs románc a magánéletében, bár vágyik rá, csúnya n , szerelem és szex nélküli élettel. Greg jókép , de unalmas matematikus, aki megcsömörlött a szext l, ami tönkretette életét; csalódott, nyugalomra és intellektuális barátságra vágyik. Rose anyjával és amorális n vérével küszködik. Mindkett jük magánélete frusztrált; kett jükben semmi közös nincsen; ez hozza ket össze. Nem sokkal szerelem nélküli, formális házasságuk után súlyos problémák merülnek fel; semmiben sem értenek egyet. Házasságuk – Greg szigorú kikötésére - szexmentes. Greg fél a szext l Rose-zal, amit utóbbi egyre jobban hiányol. Amíg Greg hosszabb el adókörúton van, Rose diétázni és tornázni kezd; átalakítja

- 13 magát csúf, antiszex kiskacsából szexbombává, hogy megmentse házasságát, de ez csak további bonyodalmak forrása. A fim zenéje is igen sikeres lett.

1923-ban Hans RADEMACHER (1892-1969) német matematikus Brun eredményét 7 prím szorzatára szorította le.  H. Rademacher algebrai- és analitikus számelmélettel, mértékelmélettel, moduláris formákkal, numerikus- és komplex analízissel, geometriával foglalkozott. 1934-t l a Swarthmore College, majd az University of Pennsylvania (Philadelphia, PA, USA) professzora lett.

1932-ben T. ESTERMANN angol matematikus a Brun-eredményt 6 prím szorzatára módosította, és 1938-ban bebizonyította, hogy „majdnem minden páros szám két prím összege”. 1940-ben N. PIPPING igazolta ezt N ¿ 10.000-re (lásd alább). 1937-ben G. RICCI (1901-1973) bebizonyította, hogy „minden elegend en nagy egészszám el áll legfeljebb 67 prím összegeként”. SCHNIZEL megmutatta, hogy a Goldbach-sejtés ekvivalens azzal a kijelentéssel, hogy „minden N > 17 egészszám három különböz prím összege”. Pl: 20 = 2 + 7 + 11; 25 = 3 + 5 + 17; stb. Godfrey Harold HARDY (1847-1877) 1921. október 6-odiki el adásában [8] kifejtette, hogy a Goldbach-sejtés valószín leg egyike a matematika legnehezebb, megoldatlan problémájának.

- 14 4. MUNKÁBAN A SZUPERKOMPUTEREK Mottó: „Pourquoi faire simple si on peut faire compliqué? (Miért legyen valami egyszer , amikor bonyolult is lehet?) „Wir Mathematiker sind ein biβchen meschugge” (Mi matematikusok mindnyájan egy kissé bolondok vagyunk, Edmund Georg Hermann Landau [1877-1938] német matematikus) „Aki tudománnyal foglalkozik, az hülye. Aki nem, az az is marad!” (Benedek Pál [1921-] magyar vegyészprofesszor) „A jó gondolatok általában gondolkodás eredményei” „Két út áll el ttünk. Az egyik nem vezet sehová, a másik járhatatlan” „Minden út jó út, mert valahová vezet” (Hioszi Tatiosz, i. e. 4-3. sz.) „ Any sufficiently advanced technology is indistinguishable from magic” (Bármely elegend en fejlett technológia megkülönböztethetetlen a varázslattól, Arthur C. Clarke angol sci-fi szerz , 1917-)

A 20. sz. közepén megjelentek a gyors, digitális, elektronikus, programvezérelt komputerek, amivel a sejtés ellen rzése egyre nagyobb számokig – elfogadható id alatt – elvégezhet volt. Az alábbi összeállítás mutatja, hogy kik, mikor és meddig igazolták a páros Goldbach-sejtést: A. Desboves N. Pipping M.K. Shen M.L. Stein & P.L. Stein A. Granville, J.v.d. Lune, H.J.J te Riele M.Sinisalo Jean-M. Deshouillers, H.J.J te Riele, Yannick Saouter Yannick Saouter (páratlan GC) Jörg Richstein Tomás Oliveira e Silva Tomás Oliveira e Silva Tomás Oliveira e Silva Silva célkit zése

1855 1940 1964 1965 1989 1993 1998 1998 1999 2003.03.24. 2003.10.03. 2004 2005

104 (kézi) 105 (komputer) 3,3×107 108 2×1010 4×1011 1014 1020 4×1014 2×1016 6×1016 2×1017 (Cray gép) 4×1018

 Jörg Richstein 1999-es eredményét MS QBasis programmal, Dell 1,9 GHz-es Pentium 4 processzorral, 256 MB memóriával, 29 nap futási id alatt produkálta. Pontosan N < 400000001068266. Szerinte eredményében a kisebbik prím sohasem nagyobb, mint 5569. Pl: 389965026819938 = 5569 + 389965026814369.

Ez azonban még mindig nagyon messze van attól, amit Goldbach és Euler megsejtett. A sejtés általános matematikai bizonyítása vagy cáfolata a mai napig sem sikerült. Neves számelmélészek ma is azt mondják, hogy bizonyítása teljesen reménytelen. A matematika problémái általában a következ kategóriák valamelyikébe sorolhatók:  problémák, amelyeket egyszer en meg tudunk oldani,  problémák, amelyeket – ha nem is egyszer en , de - meg tudunk oldani,

- 15  problémák, amelyek megoldhatóak, de nem megoldottak,  problémák, amelyek megoldhatatlanok. Lehetséges, hogy a Goldbach-sejtés az utolsó kategóriába tartozik?  Fenti félelemnek ellentmond a Nagy Fermat Sejtés, amelynek megoldása 350 évig váratott magára. Alátámasztja viszont az aggodalmat Gödel nem-teljességi tétele, ami ebben az esetben (is) áthághatatlan korlátot jelent(het).

1923-ban Godfrey Harold HARDY (1877-1947) és John Edensor LITTLEWOOD (18851977), a 20. sz. legkiválóbb számelmélészei bebizonyították, hogy „minden ’elegend en nagy’ páratlan szám el áll, mint három páratlan prím összege”. Hardy szerint a Goldbachsejtés elemi úton nem bizonyítható; az analitikus megoldási próbálkozást preferálta. Egy másik – a témával kapcsolatos – sejtésük: „minden természetes szám el állítható legfeljebb 4k számú k-adik hatvány összegeként”. Pl: ha k = 1; 14 = 21 + 31 + 41 + 51 , ha k = 2; 68 = 22 + 22 +22 +22 +32 + 32 +32 +52 , stb. 1931-ben Lev Genrikovics SNYIRELMAN (1905-1938) nagyon fiatalon elhunyt szovjet matematikus bebizonyította, hogy „minden természetes szám el állítható véges számú prímszám összegeként”. 1939-ben Snyirelman becslést is adott erre a számra és bebizonyította, hogy minden 2n ¿ 4 páros szám el áll legfeljebb 300.000 prímszám összegeként. Ez – enyhén szólva is – meglep dolog volt. 1937-ben G. RICCI (1901-1973) bebizonyította, hogy „minden elegend en nagy egészszám el áll legfeljebb 67 prím összegeként”. Snyirelman kés bb bebizonyította, hogy ehhez legfeljebb 20 prím összege elegend , majd 7 prímre redukálódott ez a küszöb. Ez már nagyon is elfogadható volt, de még mindig nagyon távol a Goldbach-sejtés bizonyításától. 1937-ben Ivan Matvejevics VINOGRADOV (1891-1983) orosz/szovjet matematikus bebizonyította, hogy „minden ’elegend en nagy’ páratlan szám el áll három prím összegeként”, ami a „hármas” Goldbach-sejtés egy partikuláris megoldása. Az eredményhez trigonometrikus összegek ún. „éles” becslésén keresztül jutott. Vinogradov bizonyítása indirekt volt, így nem tudott becslést adni erre az „elegend en nagy” számra.  I.M. Vinogradov egyike volt a 20. század legnagyobb matematikusainak, a modern analitikus számelmélet megteremt inek. 1918-20 között a Permi Egyetem tanára, 1920-tól a Szentpétervári Állami Egyetem professzora, 1934-t l haláláig a Steklov Mathematical Institute (Moszkva, SzU) igazgatója (névadója Vlagyimir Andrejevics Steklov [1864-1926], orosz/szovjet fizikus-matematikus). Megkapta az összes létez szovjet kitüntetést, volt, amit többször. Többek között foglalkozott a Riemann-féle zeta függvénnyel, valószín ség- számítással, számelmélettel, primitív gyökökkel, stb).

HUA Lo-keng (1910-1985) kínai matematikus lényegesen leegyszer sítette Vinogradov bizonyítását. Foglalkozott számelmélettel és numerikus analízissel. 1938-ban T. ESTERMANN bebizonyította, hogy „’majdnem’ minden páros szám két prím összege”.

- 16 N. PIPPING azt igazolta, hogy Estermann bizonyítása N = 2n ¿ 10.000 esetében igaz. A Goldbach-sejtés matematikai bizonyítása – klasszikus esetben – három úton lehetséges: algebrai, analitikus és geometriai. Miután megjelentek a nagy teljesítmény elektronikus szuperszámítógépek, megnyílt a negyedik út, a számítógép, és az erre alapozott kísérleti matematika („experimental mathematics”). 1947-ben RÉNYI Alfréd (1921-1970, Linnyik és Vinogradov tanítványa) magyar matematikus kandidátusi disszertációjában bebizonyította az ún. gyengített Goldbach sejtés-t a Linnyik-féle nagy szita segítségével. 1956-ban Konstantin V. BORODZIN - aki akkor Vinogradov tanítványa volt - megmutatta,  315   e16 . 573  hogy Vinogradov „elegend en nagy” száma: N ¿ 3 ≃e ¿ 3, 25×10 6.846.168 =314 . 348 . 907 . Ez a szám 6.846.168 jegy . A sejtés tehát ezután sem volt igazolt, mivel ekkora számig nem volt elvégezhet az ellen rzés.

1977-ben H.A. POGORZELSKI közölt egy „bizonyítást” a Goldbach-sejtésre, de munkáját matematikus körökben nem fogadták el. Paul STEIN és Stanislaw ULAM (1909-1986, lengyel származású amerikai matematikus) megfogalmazták azt a sejtésüket, hogy „minden ’elegend en nagy’ páros szám felírható, mint két darab (6k + 1) alakú prím összege”. Mottó: „A mesterséges intelligencia nem pótolhatja a természetes butaságot”

1982-ben Douglas B. LENAT „Automata Matematikusa” újra felfedezte a Goldbach-sejtést. Ez volt az els demonstráció arra, hogy mesterséges intelligencia (Artifical Intelligency, AI) képes tudományos felfedezést produkálni.  Doug Lenat egyike a világ vezet komputer tudósainak. Philadelphiában született, vallásos zsidó családban. Szüleinek szódapalackozó üzeme volt. Nagyon szerette Isaac ASIMOV népszer fizika és biológia könyveit. 1967-ben díjat nyert egy számelméleti munkájával, és elutazott Detroitba. 1968-tól a University of Pennsylvania hallgatója, ahol matematikát és fizikát tanult. 1971-ben John W. CARR vezette be a mesterséges intelligencia világába. 1984-ben elkezdte az els mesterséges intelligencia programot (AM), amelynek célja matematikai problémák keresése (nem megoldása!) volt. Professzora a Carnegie-Mellon és a Stanford University-nek. 1999-ben vezet je a Cyc-programnak („en-CYClopedia”, CyCorp, Austin, TX, USA). A számítógépbe – 600 emberévnyi munkával – betápláltak 3 millió „ökölszabályt” és kb. 300.000 meghatározást, axiómát és tételt.

1989-ben WANG Tian-ze és CSEN Jing-run – két kínai matematikus - Vinogradov 11 , 503  ¿ 3, 33×10 43 . 000 -ben határozta meg. „elegend en nagy” számát ¿ e e 1995-ben Olivier RAMARÉ francia matematikus (Université de Lille I, Villeneuve d'Ascq Cédex, France) bebizonyította, hogy „minden páros egészszám el áll legfeljebb hat prím összegeként [9].

- 17 1995-ben L. KANIECKI lengyel matematikus bebizonyította, hogy ha a Riemann-hipotézis (lásd alább) igaz, akkor „minden páratlan egészszám el áll legfeljebb öt prím összegeként”. Pl: 25 = 3+3+3+5+11; 39 = 2+2+3+3+29; stb. Kés bb Jean-Marc DESHOUILLERS, Gove EFFINGER, H.J.J. te RIELE és D. ZINOVJEV bebizonyították, hogy ha a Riemann-hipotézis igaz, akkor „minden ötnél nagyobb páratlan szám el áll három prím összegeként”, vagyis igaz a hármas Goldbach-sejtés is. A Riemannhipotézis azonban máig nem bizonyított.  A Riemann-sejtés egyike a hét, ún. „millenniumi” problémának, amelyek megoldásáért egy 2000-ben alakult nonprofit alapítvány, a Clay Mathematical Institute (CMI, Cambridge, Massachusetts, USA) egy-egy millió dollárt ajánlott fel. A díjat egy bostoni milliomos, Landon T. Clay által alapított CMI szponzorálja.  A prímszámok eloszlásával szoros kapcsolatban álló sejtését Bernhard Riemann (1826-1866) német matematikus - akinek a nem-euklideszi geometriával kapcsolatos munkásságára kés bb Einstein is támaszkodott - 1859-ben vetette fel egy számelméleti írásában. A Riemann-hipotézis kijelenti, hogy a komplex zeta-függvény összes - nem triviális - gyöke 1/2 valós rész , Re(s) = 1/2. A triviális gyökök a negatív páros számok: -2; -4; -6;… stb. A sejtés, a többi „nagy” sejtéshez hasonlóan, az id k során kultikussá n tte ki magát; számos matematikus tette fel az életét megoldására. John Forbes NASH [1928-], a „csodálatos elme” (Princeton Uni, Dept. of Math, Fine Hall, Princeton, NJ, USA, közgazdasági Nobel-díj: 1994) is megpróbálkozott vele, de eddig sem igazolni, sem cáfolni nem sikerült senkinek [14].  Louis De Branges de BOURCIA (1932-), a Purdue Mathematics Dept, Purdue Uni (Lafayette, Indiana, USA) francia származású matematikusa most egyetemi honlapján 2004. júniusban publikálta a Riemann-hipotézis 23 oldalas bizonyítását, amely azonban még igazolásra szorul. Állítólag De Branges bizonyítása hibás, mert megközelítésére már 1998-ban J. Brian Conrey és Xian-Jin Li matematikusok találtak ellenpéldát.  Gove EFFINGER Professor of Mathematics, Director of Quantitative Reasoning, Dept. of Mathematics & Computer Science (Skidmore College, Saratoga Springs, NY, USA).

1996-ban CSEN Jing-run (1933-1996) kínai matematikus (Chinese Institute of Mathematics, Chinese Academy of Sciences, Peking, Kina) azt állította, hogy „minden elegend en nagy páros szám felírható vagy két prím összegeként, vagy egy prím plusz legfeljebb két prím szorzataként”, vagyis 2n = p1 + (p2×p3) alakú. Megengedett a p1 = p2 = p3 és a p3 = 1 is. A (p2×p3) típusú számok az ún. „semi-prímek”. Csen Jing-run sejtését szokás (P+P2) vagy P(1,2) formalizmussal is felírni; jelentése ugyanaz. Pl: 6 = 2+(2×2); 8 = 2+(2×3); 16 = 7+(3×3); 18 = 3+(3×5); 60 = 11+(7×7); 100 = 23+(7×11) = 23 + 77 = 3 + 97; 120 = 29 + (7×13) = 29 + 91 = 17 + 103, stb. A zárójeles kifejezés a „semi-prím” nevet viseli, ami két prím szorzatából álló, összetett (kompozit) szám. Csen nagyon közel került a bizonyításhoz; ez már majdnem a Goldbach-sejtés bizonyítása, de mégsem ugyanaz. A sejtést Margaret CORBIT (Cornell Theory Center, Ithaca, NY, USA) 2n < 109-ig ellen rizte.  1999-ben Csen Jing-run eredményének tiszteletére a kínai posta bélyeget adott ki, amelyen portréja és prímtétele látható. Csen reflexiója: „magas megtiszteltetés, de a továbblépés gondokat jelent”.

 Alan BAKER Fields-érmes (1970) matematika professzor (Cambridge Uni) nem túl optimistán nyilatkozott, amikor ezeket mondta: „Csen 1996-os bizonyítása végül is az eddigi legjobb eredmény és valószín tlen, hogy további eredmény nyerhet valamilyen nagy áttörés nélkül. Sajnos nincsen hasonló nagy ötlet a láthatáron. Ha viszont jön egy nagy ötlet, akkor erre valamit rá lehet, és kell építeni. Nem gondolom, hogy a pénz (Faber-díj, lásd alább) ebben jelent s hajtóer t jelent. Ha az emberek megoldják, akkor ezt nem a pénzért, hanem a kihívásért teszik.”

- 18  Ian STEWART (1945-) Faraday-érmes (1995) matematika professzor (Warwick Uni, UK), Nagy Britannia és a világ egyik legismertebb matematikus ismeretterjeszt je, a Scientific American ’Mathematical Recreation’ rovatának vezet je valamivel optimistább: „Azt gondolom, hogy néhány matematikust elkápráztat egymillió dollár. Helyrebillenthetné az egyensúlyukat.”

1997-ben Jean-Marc DESHOUILLERS, Yannick SAOUTER és Herman J.J te RIELE bebizonyították, hogy Csen Jing-run sejtése minden N < 1014 pozitív egészszámra igaz. 1993-ban Thomas R. NICELY (Lynchburg College, Virginia, USA) 3,155×1015-ig összegezte az ikerprímek reciprokait, és eddig a határig 3,471,427,262,962 darab ikerprímet talált. Ennek alapján az általa becsült Brun-állandó: B2 ¿ 1,902160582310...  Ezzel kapcsolatban érdekesség az, hogy T.R. Nicely fenti számításai során hibát talált az Intel Pentium mikroprocesszor aritmetikai egységében. A gyártó – sok er feszítés és pénz árán – kijavította a hibát.

1996-ban Jörg RICHSTEIN et al. (Institut für Informatik, Universität Giessen, Deutschland) megtalálták az összes ikerprímet 1014-ig. Patrick H. FRY et al. (Dept. of Computer Science, Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, NY, USA) 1016-ig találták meg az összes ikerprímet. S.K. KAPOOR (New Delhi, India) egy bizonyítást közölt, amely szerint egy N páros szám ¿  N módon bontható fel prímek összegére [4];[5]. Pl: ha N = 100, akkor a lehetséges felbontások: [3+97]; [11+89]; [17+83]; [29+71]; [41+59]; [47+53]. Ez hatféle felbontás, és 6  100=10 . Ez azonban nincsen mindig így (pl. a 90 kilencféle, a 120 tizenkét féle, a 198 tizenhárom féle módon bontható fel prímpárok összegére); Kapoor erre egy szigorúbb limitet is adott.  A hindu védák (i. e. 1500-900) mintegy 3500 évre tekinthetnek vissza. A védikus matematika alapjai a szútrák, amelyek a sok évszázados szanszkrit sagak-ból alakultak ki. Évszázadok alatt részben feledésbe merültek, és a fiatalabb nemzedék nem használta. A védikus matematika – állítólag – az agy mindkét féltekéjét használja; koherens és szép, a számítások fejben elvégezhet k. A terület úttör je Jagadguru Swami Sri Bharati Krsna Tirthaji Maharaja (1884-1960) hindu matematikus, történész, filozófus, aki 16 szútrát (matematikai szabályt, aforizmát vagy szó-formulát; mindössze 120 szóban) szerkesztett össze. 1911-18 között fedezte fel újra a nyugati világnak a védikus matematika ókori rendszerét. A XX. sz. elején igen nagy érdekl dés mutatkozott az ókori szanszkrit szövegek iránt Európában és a világban. A matematikai vonatkozásúak az ún. „Ghanita Szútrák”, amelyeket Sri Bharati Krsna hosszasan és alaposan tanulmányozott. Megírta a „Vedic Mathematics” c. könyvét (1965), amely halála után öt évvel jelent meg. A módszert és rendszert ma már egyre több indiai (és nyugati) iskolában tanítják [4];[5].

2000. márciusban Masoud SHEYKI iráni matematikus hozzáfogott a GC bizonyításához, majd azt állította, hogy megoldotta a Goldbach-sejtést. „Azt hiszem, hogy bizonyításom a legjobb, és érdekes bizonyítás a Goldbach-sejtésre. Várom a további reflexiókat bizonyításomra. Mérnök vagyok egy réz kombinátban, Iránban, mint m szaki felügyel ” – írta. Bizonyítását több, kiváló angol és francia matematika professzornak küldte el; a reflexiók nem ismertek, és nem tudunk arról, hogy elnyerte volna a Faber-díjat (lásd alább). 2000. március 20-adikán Tony FABER, a Faber & Faber brit könyvkiadó óriáscég tulajdonosa (az „Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture” c. könyv [1] els kiadója) 1 millió dolláros díjat t zött ki a Goldbach-sejtés két éven belüli megoldására. „Boldog lennék, ha valaki

- 19 megnyerné” – mondta T. Faber. A díj kiírásakor az volt a vélemény, hogy a világon legfeljebb 20 ember lehet esélyes a díjra. Érdemi megoldás 2002. március 20-adikáig nem érkezett, a probléma továbbra is nyitott!  Apostolos Doxiadis „Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture” (Petrosz bácsi és a Goldbach-sejtés) c. könyve 15 nyelvre lefordított bestseller lett. Az 1953-ban született ausztrál szerz Athénban nevelkedett, a Columbia University-n 18 évesen matematikát végzett. Kés bb irodalommal és színházzal foglalkozott. Regényének h se, Petrosz Papakrisztosz (Petrosz bácsi) megszállott matematikus, kicsit nevetséges, öntelt, bizalmatlan szobatudós, aki a Goldbach-sejtés bizonyítására teszi fel az életét. Az 1910-es évek végén – matematikus zseniként - Cambridge-be kerül, ahol együtt dolgozik a kor legkiválóbb számelmélészeivel (G.H. Hardy, J.E. Littlewood, S. Ramanujan), majd kapcsolatba kerül C. Charatheodory-val, A. Turing-gal és K. Gödel-lel is. Berlinben egyetemi katedrát kap. Kés bb visszahúzódva, magányosan él, kutatásait titkolja, nehogy ellopják, és csak unokaöccsének fedi fel, hogy mit dolgozik. Családja véleménye, hogy Petrosz bácsi „kész cs dtömeg”. A sejtés megoldását elemi módszerekkel kísérli meg; álmaiban az egészszámok életre kelnek (pl. 299 és 2100, mint gyönyör ikerlányok) és személyes jó barátaivá válnak. Felfogása, számmiszticizmusra való hajlama és titkolódzása a pithagoreusi iskolát idézi. Amikor végre eldönti, hogy fontos részeredményeit publikálja, kiderül, hogy el tte ezt már mások megtették. Petrosz összeomlik, majd amikor értesül Gödel (1906-1978) ún. nemteljességi tételér l (1931), és világos lesz számára, hogy kit zött célja talán megoldhatatlan, meg rül. Egyik éjszaka azt hiszi, hogy megoldotta a problémát, de miel tt közölhetné unokaöccsével a (vélt) megoldást, egy szélütés végez vele, és titka sírba száll [1];[2].  Amikor A. Doxiadis-t megkérdezték; mi a véleménye a Faber-díjról, ezt mondta: „Igen, tudom, hogy Andrew Wiles hét évet töltött el a Nagy Fermat Sejtés bizonyításával. De ha valaki Wiles bizonyítási bejelentése el tt azt mondta volna; ’azt gondolom, hogy néhány éven belül megoldom’, rültnek tartották volna. Néha a dolgok váratlanul bukkannak el ”.

Rudolf KNJZEK (Ausztria) a következ sejtést fogalmazta meg: „Minden N > 4 páros egészszámhoz tartozik egy  N  pN / 2 prím úgy, hogy q=N − p szintén prím, és N = pq .” Pl: N = 64, akkor 8 < p < 32. Ha p = 23, akkor q = 64 – 23 = 41, és a felbontás: 64 = 23 + 41. Ha p = 17, akkor q = 64 – 17 = 47, és 64 = 17 + 47. Ez azt (is) jelenti, hogy egy „elegend en nagy” N számig mindig több prímpár van, mint  N /4 [12].  Knjzek azt mondta: „ha ezt be tudjuk bizonyítani, akkor bizonyított a Goldbach-sejtés. Azt gondolom, hogy ez nem annyira nehéz, mint az eredeti sejtés bizonyítása”. Kés bb hozzátette: „sejtésem azt mondja ki, hogy nem szükségesek kis prímek ahhoz, hogy kielégítsék a Goldbach-sejtést… Nem bizonyítás, csak egy er s érv a Goldbach-sejtés mellett”. Ötletét Goldbach-Knjzek sejtésnek nevezte el.

Victar KARPAU (Victor KARPOV) belorusz matematikus állítása szerint megtalálta(?) a Goldbach-sejtés bizonyítását, amelyet 2004. szeptemberben publikált [13]. Martin GARDNER (1914-) amerikai matematikus mondta: „Azt hiszem, ha száz év múlva felébrednék… kíváncsi lennék arra, hogy mi minden újat fedeztek fel a matematikában és a fizikában? Bebizonyították-e Goldbach sejtését? A Riemann-hipotézist?...”  Martin Gardner matematikus, tudományfilozófus, amat r b vész, ismeretterjeszt és szakíró, az áltudományok elleni küzdelem egyik zászlóviv je , a „matemágus” és „matematikai guru”, a „Scientific American” c. neves folyóirat „Mathematical Games” rovatának 25 éven át (1956-1981) volt a szerkeszt je. Gardner az áltudományok ellen harcoló szkeptikus mozgalom - az amerikai szkeptikusok (egyik, egyben legnagyobb) szervezete, a CSICOP (Committee for the Scientific Investigation of Claims Of the Paranormal, Paranormális Jelenségek Tudományos Vizsgáló Bizottsága) - alapító tagja és a 38.000 példányban, kéthavonta megjelen lapjuk, a „The Skeptical Inquirer” „Notes of a Fringe Watcher” (Egy kibic jegyzetei) cím , állandó rovatának vezet je. A CSICOP-ot - áltudós ellenségei - csak „PsiCops”-nak (Pszi Zsarúk) vagy „SciCops”-nak (Tudomány Hekusok) aposztrofálják.

- 20 Alább megadjuk a páros számok felbontásait két prím összegére, ha N = 2n ¿ 198: 4=2+2 6=3+3 8=3+5 10 = 3 + 7 = 5 + 5 12 = 5 + 7 14 = 3 + 11 = 7 + 7 16 = 3 + 13 = 5 + 11 18 = 5 + 13 = 7 + 11 20 = 3 + 17 = 7 + 13 22 = 3 + 19 = 5 + 17 = 11 + 11 24 = 5 + 19 = 7 + 17 = 11 + 13 26 = 3 + 23 = 7 + 19 = 13 + 13 28 = 5 + 23 = 11 + 17 30 = 7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17 32 = 3 + 29 = 13 + 19 34 = 3 + 31 = 5 + 29 = 11 + 23 = 17 + 17 36 = 5 + 31 = 7 + 29 = 13 + 23 = 17 + 19 38 = 7 + 31 = 19 + 19 40 = 3 + 37 = 11 + 29 = 17 + 23 42 = 5 + 37 = 11 + 31 = 13 + 29 = 19 + 23 44 = 3 + 41 = 7 + 37 = 13 + 31 46 = 3 + 43 = 5 + 41 = 17 + 29 = 23 + 23 48 = 5 + 43 = 7 + 41 = 11 + 37 = 17 + 31 = 19 + 29 50 = 3 + 47 = 7 + 43 = 13 + 37 = 19 + 31 52 = 5 + 47 = 11 + 41 = 23 + 29 54 = 7 + 47 = 11 + 43 = 13 + 41 = 17 + 37 = 23 + 31 56 = 3 + 53 = 13 + 43 = 19 + 37 58 = 5 + 53 = 11 + 47 = 17 + 41 = 29 + 29 60 = 7 + 53 = 13 + 47 = 17 + 43 = 19 + 41 = 23 + 37 = 29 + 31 62 = 3 + 59 = 19 + 43 = 31 + 31 64 = 3 + 61 = 5 + 59 = 11 + 53 = 17 + 47 = 23 + 41 66 = 5 + 61 = 7 + 59 = 13 + 53 = 19 + 47 = 23 + 43 = 29 + 37 68 = 7 + 61 = 31 + 37 70 = 3 + 67 = 11 + 59 = 17 + 53 = 23 + 47 = 29 + 41 72 = 5 + 67 = 11 + 61 = 13 + 59 = 19 + 53 = 29 + 43 = 31 + 41 74 = 3 + 71 = 7 + 67 = 13 + 61 = 31 + 43 = 37 + 37 76 = 3 + 73 = 5 + 71 = 17 + 59 = 23 + 53 = 29 + 47 78 = 5 + 73 = 7 + 71 = 11 + 67 = 17 + 61 = 19 + 59 = 31 + 47 = 37 + 41 80 = 7 + 73 = 13 + 67 = 19 + 61 = 37 + 43 82 = 3 + 79 = 11 + 71 = 23 + 59 = 29 + 53 = 41 + 41 84 = 5 + 79 = 11 + 73 = 13 + 71 = 17 + 67 = 23 + 61 = 31 + 53 = 37 + 47 = 41 + 43 86 = 3 + 83 = 7 + 79 = 13 + 73 = 19 + 67 = 43 + 43 88 = 5 + 83 = 17 + 71 = 29 + 59 = 41 + 47 90 = 7 + 83 = 11 + 79 = 17 + 73 = 19 + 71 = 23 + 67 = 29 + 61 = 31 + 59 = 37 + 53 = 43 + 47 92 = 3 + 89 = 13 + 79 = 19 + 73 = 31 + 61 94 = 5 + 89 = 11 + 83 = 23 + 71 = 41 + 53 = 47 + 47 96 = 7 + 89 = 13 + 83 = 17 + 79 = 23 + 73 = 29 + 67 = 37 + 59 = 43 + 53 98 = 19 + 79 = 31 + 67 = 37 + 61 100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53 102 = 5 + 97 = 13 + 89 = 19 + 83 = 23 + 79 = 29 + 73 = 31 + 71 = 41 + 61 = 43 + 59 104 = 3 + 101 = 7 + 97 = 31 + 73 = 37 + 67 = 43 + 61 106 = 3 + 103 = 5 + 101 = 17 + 89 = 23 + 83 = 47 + 59 = 53 + 53 108 = 5 + 103 = 7 + 101 = 11 + 97 = 19 + 89 = 29 + 79 = 37 + 71 = 41 + 67 = 47 + 61 110 = 3 + 107 = 7 + 103 = 13 + 97 = 31 + 79 = 37 + 73 = 43 + 67 112 = 3 + 109 = 5 + 107 = 11 + 101 = 23 + 89 = 29 + 83 = 41 + 71 = 53 + 59

- 21 114 = 5 + 109 = 7 + 107 = 11 + 103 = 13 + 101 = 17 + 97 = 31 + 83 = 41 + 73 = 43 + 71 = 47 + 67 = 53 + 61 116 = 3 + 113 = 7 + 109 = 13 + 103 = 19 + 97 = 37 + 79 = 43 + 73 118 = 5 + 113 = 11 + 107 = 17 + 101 = 29 + 89 = 47 + 71 = 59 + 59 120 = 7 + 113 = 11 + 109 = 13 + 107 = 17 + 103 = 19 + 101 = 23 + 97 = 31 + 89 = 37 + 83 = 41 + 79 = 47 + 73 = 53 + 67 = 59 + 61 122 = 13 + 109 = 19 + 103 = 43 + 79 = 61 + 61 124 = 11 + 113 = 17 + 107 = 23 + 101 = 41 + 83 = 53 + 71 126 = 13 + 113 = 17 + 109 = 19 + 107 = 23 + 103 = 29 + 97 = 37 + 89 = 43 + 83 = 47 + 79 = 53 + 73 = 59 + 67 128 = 19 + 109 = 31 + 97 = 61 + 67 130 = 3 + 127 = 17 + 113 = 23 + 107 = 29 + 101 = 41 + 89 = 47 + 83 = 59 + 71 132 = 5 + 127 = 19 + 113 = 23 + 109 = 29 + 103 = 31 + 101 = 43 + 89 = 53 + 79 = 59 + 73 = 61 + 71 134 = 3 + 131 = 7 + 127 = 31 + 103 = 37 + 97 = 61 + 73 = 67 + 67 136 = 5 + 131 = 23 + 113 = 29 + 107 = 47 + 89 = 53 + 83 138 = 7 + 131 = 11 + 127 = 29 + 109 = 31 + 107 = 37 + 101 = 41 + 97 = 59 + 79 = 67 + 71 140 = 3 + 137 = 13 + 127 = 31 + 109 = 37 + 103 = 43 + 97 = 61 + 79 = 67 + 73 142 = 3 + 139 = 5 + 137 = 11 + 131 = 29 + 113 = 41 + 101 = 53 + 89 = 59 + 83 = 71 + 71 144 = 5 + 139 = 7 + 137 = 13 + 131 = 17 + 127 = 31 + 113 = 37 + 107 = 41 + 103 = 43 + 101 = 47 + 97 = 61 + 83 = 71 + 73 146 = 7 + 139 = 19 + 127 = 37 + 109 = 43 + 103 = 67 + 79 = 73 + 73 148 = 11 + 137 = 17 + 131 = 41 + 107 = 47 + 101 = 59 + 89 150 = 11 + 139 = 13 + 137 = 19 + 131 = 23 + 127 = 37 + 113 = 41 + 109 = 43 + 107 = 47 + 103 = 53 + 97 = 61 + 89 = 67 + 83 = 71 + 79 152 = 3 + 149 = 13 + 139 = 43 + 109 = 73 + 79 154 = 3 + 151 = 5 + 149 = 17 + 137 = 23 + 131 = 41 + 113 = 47 + 107 = 53 + 101 = 71 + 83 156 = 5 + 151 = 7 + 149 = 17 + 139 = 19 + 137 = 29 + 127 = 43 + 113 = 47 + 109 = 53 + 103 = 59 + 97 = 67 + 89 = 73 + 83 158 = 7 + 151 = 19 + 139 = 31 + 127 = 61 + 97 = 79 + 79 160 = 3 + 157 = 11 + 149 = 23 + 137 = 29 + 131 = 47 + 113 = 53 + 107 = 59 + 101 = 71 + 89 162 = 5 + 157 = 11 + 151 = 13 + 149 = 23 + 139 = 31 + 131 = 53 + 109 = 59 + 103 = 61 + 101 = 73 + 89 = 79 + 83 164 = 7 + 157 = 13 + 151 = 37 + 127 = 61 + 103 = 67 + 97 166 = 3 + 163 = 17 + 149 = 29 + 137 = 53 + 113 = 59 + 107 = 83 + 83 168 = 5 + 163 = 11 + 157 = 17 + 151 = 19 + 149 = 29 + 139 = 31 + 137 = 37 + 131 = 41 + 127 = 59 + 109 = 61 + 107 = 67 + 101 = 71 + 97 = 79 + 89 170 = 3 + 167 = 7 + 163 = 13 + 157 = 19 + 151 = 31 + 139 = 43 + 127 = 61 + 109 = 67 + 103 = 73 + 97 172 = 5 + 167 = 23 + 149 = 41 + 131 = 59 + 113 = 71 + 101 = 83 + 89 174 = 7 + 167 = 11 + 163 = 17 + 157 = 23 + 151 = 37 + 137 = 43 + 131 = 47 + 127 = 61 + 113 = 67 + 107 = 71 + 103 = 73 + 101 176 = 3 + 173 = 13 + 163 = 19 + 157 = 37 + 139 = 67 + 109 = 73 + 103 = 79 + 97 178 = 5 + 173 = 11 + 167 = 29 + 149 = 41 + 137 = 47 + 131 = 71 + 107 = 89 + 89 180 = 7 + 173 = 13 + 167 = 17 + 163 = 23 + 157 = 29 + 151 = 31 + 149 = 41 + 139 = 43 + 137 = 53 + 127 = 67 + 113 = 71 + 109 = 73 + 107 = 79 + 101 = 83 + 97 182 = 3 + 179 = 19 + 163 = 31 + 151 = 43 + 139 = 73 + 109 = 79 + 103 184 = 3 + 181 = 5 + 179 = 11 + 173 = 17 + 167 = 47 + 137 = 53 + 131 = 71 + 113 = 83 + 101 186 = 5 + 181 = 7 + 179 = 13 + 173 = 19 + 167 = 23 + 163 = 29 + 157 = 37 + 149 = 47 + 139 = 59 + 127 = 73 + 113 = 79 + 107 = 83 + 103 = 89 + 97 188 = 7 + 181 = 31 + 157 = 37 + 151 = 61 + 127 = 79 + 109 190 = 11 + 179 = 17 + 173 = 23 + 167 = 41 + 149 = 53 + 137 = 59 + 131 = 83 + 107 = 89 + 101 192 = 11 + 181 = 13 + 179 = 19 + 173 = 29 + 163 = 41 + 151 = 43 + 149 = 53 + 139 = 61 + 131 = 79 + 113 = 83 + 109 = 89 + 103 194 = 3 + 191 = 13 + 181 = 31 + 163 = 37 + 157 = 43 + 151 = 67 + 127 = 97 + 97 196 = 3 + 193 = 5 + 191 = 17 + 179 = 23 + 173 = 29 + 167 = 47 + 149 = 59 + 137 = 83 + 113 = 89 + 107 198 = 5 + 193 = 7 + 191 = 17 + 181 = 19 + 179 = 31 + 167 = 41 + 157 = 47 + 151 = 59 + 139 = 61 + 137 = 67 + 131 = 71 + 127 = 89 + 109 = 97 + 101

- 22 IRODALOM [1] Apostolos Doxiadis: Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture (Faber & Faber Publ, 2003). [2] Aposztolosz Doxiadisz: Petrosz bácsi és a Goldbach-sejtés (Európa Könyvkiadó Kft, Budapest, 2004). [3] Simon Singh: A nagy Fermat-sejtés (Park Könyvkiadó, Budapest, 1999). [4] S.K. Kapoor: Proof of Goldbach Theorem. [5] S.K. Kapoor: (Vedic Mathematics Newsletter, 2000, Issue 10, New Delhi, India). [5] Jagadguru Swami Sri Bharati Krsna Tirthaji Maharaja: Vedic Mathematics (Motilal Banarasidass Publishers, Delhi, India, 1965). [6] Proceedings of the London Mathematical Society, Vol. 4, pp 4-6. [7] On the Goldbach-Euler Theorem Regarding Prime Numbers (The Mathematical Papers, Vol. IV, pp 734-73, Chelsea Publishing Co, New York, NY, USA). [8] Godfrey Harold Hardy (Mathematical Society of Coppenhagen). [9] On Schnirelmann’s Constant (Ann. Sc. Norm. Super, 22, Vol. 4, 1995, pp 645-706). [10] P.H. Fuss: Correspondance mathématique et physique de quelquescélébres géométres du XVIIIéme siécle, tome I (St. Petersburg, 1843). [11] A. Desboves (Nouv. Ann. Math. 14, p 293, 1855). [12] Rudolf Knjzek: About the maximum lenght of covered blocks. [13] www.wordiq.com/definition/Goldbach's_conjecture. [14] Sylvia Nasar: Egy csodálatos elme. A Nobel-díjas matematika géniusz, John Nash élete (Gabo Könyvkiadó Kft, 2002). [15] Paul Hoffman: A Prímember. Erd s Pál kalandjai a matematika végtelenjében (Scolar Kiadó, 1999).

- 23 ÁBRÁK

1. ábra Leonhard Euler (1707-1783), a Goldbach-sejtés végs megfogalmazója.

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@