Guía 4.docx

Instituto Superior del Profesorado Nº 6 “Dr. Leopoldo Chizzini Melo” -2015Profesorado de Tercer ciclo y educación Polimodal en Matemática Cátedra: Tópicos de Geometría Prof. Patricia Cavatorta

Guía nº 4: “Poliedros y cuerpos de revolución: desarrollos planos, áreas y volúmenes” 1.Explicar razonadamente cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas: - El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, 4. - Las caras de un poliedro son todas iguales. - Hay poliedros con tres caras. - En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas. - Las caras de un poliedro han de ser forzosamente polígonos. - Todos los poliedros de cinco caras tienen 8 aristas y 5 vértices. - El número mínimo de caras que concurren en un vértice es 3. - El cilindro es un poliedro. 2. Dibujar dos desarrollos diferentes del tetraedro. ¿Crees que la figura adjunta es el desarrollo de un tetraedro? 3. Demostrar que las áreas laterales de los poliedros regulares de arista “a” son: Tetredro: √3. 𝑎2 Octaedro: 2√3. 𝑎2 Cubo: 6. 𝑎2 Icosaedro:5√3. 𝑎2 Dodecaedro: 4.¿Cuánto papel necesitaré para construir un cubo cuya diagonal mida 9 cm? 5.En el parque de una ciudad se ha construido un tetraedro regular de altura 4 m. ¿Cuál es su área lateral? 6.He encargado hacer un dodecaedro regular hueco de 3 cm de arista, de un material que pesa 20 Kg/m2, con el fin de usarlo como pisapapeles ¿Cuál será su peso total? ¿Y si el pisapapeles fuera un cubo? 7. Se quiere forrar una maceta con forma de tronco de cono. Si el diámetro de la base mide 20 centímetros y la generatriz, que tiene la misma longitud, forma un ángulo de 60° con el suelo, ¿qué cantidad de papel se necesita? 8.¿Cuál es el área lateral de la sección producida en un cono de revolución equilátero de 5 cm de altura, por un plano paralelo a la base a 2 cm de ésta? 9.¿Qué relación hay entre la arista de un cubo y su diagonal? ¿Y entre la arista y la diagonal de una cara? ¿Cuánto valdrá la arista de un cubo cuya diagonal valga 3m? 10. Una pirámide tiene por base un cuadrado cuya diagonal mide 3 cm. Hallar su área lateral y total sabiendo que su arista mide 7 cm. 11. Establecer una fórmula para el área lateral y total de la pirámide recta de base pentagonal en función de las aristas laterales y la apotema de la base. 12. En el paralelepípedo rectángulo de la figura, demuestra que se verifica que el cuadrado de una diagonal es igual a la suma de los cuadrados de las tres aristas que concurren en un vértice. (Este es el teorema de Pitágoras en el espacio). Demuéstralo. 13. ¿Qué altura alcanza el agua en esta pecera, sabiendo que contiene 171 litros de agua?

1

Instituto Superior del Profesorado Nº 6 “Dr. Leopoldo Chizzini Melo” -2015Profesorado de Tercer ciclo y educación Polimodal en Matemática Cátedra: Tópicos de Geometría Prof. Patricia Cavatorta

14. Hallar el volumen de: a) Todos los poliedros regulares cuyas aristas miden 15cm. b) Una pirámide cuya base es un cuadrado de lado 12 metros y cuya altura es de 10 metros. 15. a) Dibujar el desarrollo plano de un prisma recto cuya base es un triángulo equilátero. b) Si la altura del prisma del inciso a) es el cuádruple de la longitud de una arista de la base. Hallar una fórmula para: i) El área del prisma en función de una arista de la base. ii) El volumen del prisma en función de una arista de la base. iii) El área del prisma en función de la diagonal de una cara lateral. iv) El volumen en función de la altura de la base del prisma. c) ¿Cuál es el área si la diagonal de la cara lateral es de 8 cm?. ¿cuál el volumen? d) si el área del prisma es de 24 cm2, ¿cuál es la longitud de una arista de la base del mismo? 16. a) Hallar una fórmula para: El área y el volumen de un prisma recto cuya base es un hexágono regular en función del lado del hexágono teniendo en cuenta que la altura del prisma es el triple de la longitud del lado del hexágono. ¿Cuál es el área si el lado del polígono es

3 cm? Si el volumen es

30 3 cm 3 ¿cuál es la altura del prisma? b) Hallar una fórmula para: El área y el volumen de un cubo en función de la diagonal del mismo. ¿cuál es el volumen si la diagonal del cubo es 9 m?. si el área del cubo es de 24 m2, ¿cuál es la longitud de la diagonal del mismo?¿y la longitud de la diagonal de una cara? 17. Tres depósitos de agua tienen la forma y las dimensiones que se indican en las figuras adjuntas.

a. ¿Cuál es la capacidad de cada uno de ellos? b. Determinar la superficie de lámina necesaria para construir estos depósitos.

18. Con 20 kg de plomo, ¿cuántas bolas esféricas macizas de 1 cm de diámetro se pueden hacer, si la densidad del plomo es 11,3 g/cm3? 19. Calcular el volumen de un casquete esférico cuya base dista 2 cm de su polo y 4 cm del centro de la esfera. 20. Un túnel de sección semicircular de 40 m de diámetro tiene 1,5 km de longitud. ¿Cuántos metros cúbicos de tierra y roca se han extraído para su construcción? 2

Instituto Superior del Profesorado Nº 6 “Dr. Leopoldo Chizzini Melo” -2015Profesorado de Tercer ciclo y educación Polimodal en Matemática Cátedra: Tópicos de Geometría Prof. Patricia Cavatorta

21. Calcular el volumen engendrado por un triángulo equilátero de 2 dm de altura al girar alrededor de ésta. 22. Los radios de las bases de un tronco de cono de revolución son 80 cm y 40 cm, y la altura 30 cm. Calcular la generatriz y la altura del cono del cual procede dicho tronco, así como su volumen. 23. Hallar el volumen de estos cuerpos

24. Calcular el área total y el volumen del ortoedro.

3