Actividad De Aprendizaje …2 Vectores En Rn.docx

NOMBRE: VILLAGRAN VELAZQUEZ ELMER ALEJANDRO MATRICULA: 94520 GRUPO: K050 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE …2 VECTORES EN RN MATERIA: ALGEBRA LINEAL DOCENTE: EMMANUEL HERNANDEZ ORTIZ

CIUDAD DE MEXICO A 15 DE MARZO 2019

1.- Sean u = (-1,1,2), v = (2,0,3) y w = (-1,3,9). Hallar en forma de coordenadas el resultado de las siguientes operaciones: a) u + v - w b) 6u + 2v - 2w c)⅓ (v + 3u - 4w) d) 4(u + v) - (v – w + u)

a) u+v-w (-1,1,2)+(2,0,3)-(-1,3,9) (-1,1,2)+(2,0,3)= (1,1,5) (1,1,5) – (-1,3,9) = (2,-2,4)

b) 6u+2v-2w 6(-1,1,2)+2(2,0,3)-2(-1,3,9) 6(-1,1,2)= (-6,6,12) 2(2,0,3) = (4,0,6) 2(-1,3,9) = (-2,6,18) = (-6,6,12) +(4,0,6) -(-2,6,18) (-6,6,12) +(4,0,6) = (-2,6,18) = (-2,6,18) -(-2,6,18) (-2,6,18) -(-2,6,18)=(0,0,0) = ((-2) -(-2) 6-6 18-18)) = (0,0,0)

c)⅓ (v+3u-4w) ⅓ [(2,0,3) + 3(-1,1,2) - 4(-1,3,9)] 3(-1,1,2) = (-3,3,6) 4(-1,3,9) = (-4,12,36) = 1/3 [(2,0,3) +(-3,3,6) -(-4,12,36) (2,0,3) + (-3,3,6) = (-1,3,9) =1/3 [(-1,3,9) – (-4,12,36)] (-1,3,9) – (-4,12,36) = (3,-9,-27) = 1/3 (3,-9,27) = (1,-3,-9)

d) 4(u + v) - (v – w + u) 4[(-1,1,2) + (2,0,3)] – [(2,0,3) – (-1,3,9) + (-1,1,2)] =4[(-1,1,2) + (2,0,3)] – [(2,0,3) – (-1,3,9) + (-1,1,2)] = (2,6,24) =4[(-1,1,2) + (2,0,3)] – [(2,0,3) – (-1,3,9) + (-1,1,2)] =4(1,1,5) – [(2,0,3) – (-1,3,9) + (-1,1,2)] =4(1,1,5) – [(3,-3,-6) + (-1,1,2)] =4(1,1,5) – (2,-2,4) = (4,4,20) – (2,-2,-4) = (2,6,24)

2.- Hallar las ecuaciones vectoriales y paramétricas de las siguientes rectas: a) La recta paralela a (2,-1,0) que pasa por P (1,-1,3) b) Las rectas que pasan por P (1,0,1) y cortan a la recta de ecuación vectorial p= (1,2,0) + t (2,-1,2) en los puntos situados a 3 unidades de distancia del punto Pₒ (1,2,0)

a) La recta paralela a (2,-1,0) que pasa por P(1,-1,3) Q= (2,-1,0) P= (1,-1,3) v= PQ = OQ-OP= (2,-1,0) – (1,-1,3) = (1,0,-3) (x, y, z) = (1, -1, 3) + t (1,0,-3) Ecuación vectorial

x = l t + x1 y = m t + y1 z = n t + z1 donde las:  

{l; m; n} - coordenadas del vector director: AB; (x1, y1, z1) - coordenadas de un punto situado en la recta (coordenadas de un punto A).

AB = {xb - xa; yb - ya; zb - za} = { 1 - 2 ; -1 - (-1) ; 3 - 0 } = { -1 ; 0 ; 3 }

Ecuación paramétrica de la recta: x=-t+2 y = -1 z = 3t

b) Las rectas que pasan por P (1,0,1) y cortan a la recta de ecuación vectorial p= (1,2,0) + t (2,-1,2) en los puntos situados a 3 unidades de distancia del punto Pₒ (1,2,0)

x=t+1 y=-t z=t+1 L= [Pₒ + ta / t € R L= [(1,0,1) + t (2,-1,2) /t € R Ecuación Paramétrica: L= [ Pₒ + ta/t € R

P€L

P = Pₒ + ta para algún t € R

(x, y, z) = (xₒ yₒ zₒ) + t (a1 a2 a3) x = 1 +1 + 2t y= 0 + 2 – t

L=

z= 1 + 0 + 2t 3.- Hallar el punto de intersección (si existe) del siguiente par de rectas: x=4+2s y=6+3s z=1+s x=3+t y=1−2t z=3+3t x= 4+2s = 3+t

despejamos

y= 6+3s = 1-2t

despejamos

z= 1 + s = 3+3t despejamos

s=t–1 2 s = 1/3 (-2t-5) s = 3t + 2

tomamos dos ecuaciones anteriores y despejamos 3t + 2 = 1/3 (-2t-5) t = -1 en la ecuación

s = 3(-1) + 2 y obtenemos

s= -1

Sustituimos en las ecuaciones (x, y, z,) x = 4 + 2(-1) = 3 + (-1) 2 = 2 y = 6 + 3(-1) = 1 – 2(-1)

El punto de intersección es (2, 3, 0)

3 = 3 z = 1 + (-1)

=

3 + 3(-1)

0= 0 4.- Espacios vectoriales: Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por u, v, y w cuando: a. w = (2,1,1), v = (1,0,2) y u = (2,1,-1)

w • (u × v) = det 2 2 1

1 1 0

1 -1 2

=

· 2 -1 1 -1 2 1 - 1 + 1 · = 0 2 1 2 1 0

= 2 ·

= -2 Por lo tanto, el volumen del paralelepípedo es 2

5.- Hallar el área del triángulo definido por los siguientes vértices: b.

A (3, -1,1), B (4,1,0) y C (2, -3,0)

CA = (1,2,1)

CA × CB = det

CB = (2,4, 0)

i

j

k

1

2

1

2

4

0

= 2j – 4i

Area del triángulo = √ (2) ² - (4) ² = √4 – 16 = √-12 2 2 2

6.- Sea V el conjunto de ternas ordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) y defínase la suma de V como en ℝ3. Para cada una de las siguientes definiciones de multiplicación por un escalar, decidir si V es un espacio vectorial. c. 𝑎 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎𝑥, 𝑦, 𝑎𝑧)

d. 𝑎 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,0)

c. a (x, y, z) = (ax, y, z) (ax, ay, az) ≠ (ax, y, z) d) a (x, y, z) = (0,0,0) (ax, ay, az) = (0,0,0) Si a=0 (0,0,0) = (0,0,0)

7.- Subespacios de espacios vectoriales En cada caso determinar si U es un subespacio de Rᵌ, justificar la respuesta: a. 𝑈 = {[1 𝑠 𝑡]𝑇|𝑠, 𝑡 ∈ ℝ} b. 𝑈 = {[𝑟 0 𝑠]𝑇|𝑟2+𝑠2=0, 𝑟, 𝑠 ∈ ℝ} Independencia lineal 8. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos son independientes? Justificar respuesta. a. {[1−1 0]𝑇, [3 2−1]𝑇, [3 5−2]𝑇} de ℝ3 No son independientes {e1 – e2, e2 – e3, e3 – e1} donde e1; e2; e3; son tres vectores independientes. b) {(1,-1,0), (3,2,-1) (3,5,2)} cualesquiera que sean (x; y; z) Serán independientes si los únicos coeficientes ʎ1, ʎ2, ʎ3, , que podemos poner en la combinación lineal: ʎ1(e1 - e2) + ʎ2(e2 - e3) + ʎ3(e3 - e1) para que salga cero son todos cero. Por lo tanto, det

1 -1 3 2

0 -1

3

-2

5

= -2

b. {[1−1 1−1]𝑇, [2 0 1 0]𝑇, [0−2 1−2]𝑇} de ℝ4 Si son independientes {e1 – e2, e2 – e3, e3 – e1} donde e1; e2; e3; son tres vectores independientes. b) {(1,-1,1, -1), (2,0,1,0) (0,-2,1,-2)} cualesquiera que sean (x; y; z) Serán independientes si los únicos coeficientes ʎ1, ʎ2, ʎ3, , que podemos poner en la combinación lineal: ʎ1(e1 - e2) + ʎ2(e2 - e3) + ʎ3(e3 - e1) para que salga cero son todos cero. Por lo tanto, det

1 -1 1 -1 2 0 1 0 0 -2 1 -2

=0

9. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos de vectores es linealmente independiente. a. [1+𝑥,1−𝑥, 𝑥+𝑥2] en P2 1+x=0 1- x=0 x + x² = 0

b.

1 1 0 1 -1 0 1 1 0

det

=0

si en linealmente independiente

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

en M22

Para ello la igualdad

1

1

ʎ1 +

0

1

+ʎ2 1

0

1

0

+ʎ3 1

1

1

1

+ʎ4 1

1

=0 0

1

10. Encontrar una base y calcular la dimensión de los siguientes subespacios de 𝑅4. {[1−1 2 0], [2 3 0 3]𝑇, [1 9−6 6]𝑇} 11. Encontrar una base y calcular la dimensión de los siguientes subespacios de ℝ4 𝑈={[𝑎𝑎+𝑏𝑎−𝑏𝑏]𝑇|𝑎, 𝑏 ∈ ℝ} 12. Encontrar una base de V que incluya al vector v. 𝑉=ℝ3, = (1,−1,1) 13. Encontrar una base de V que incluya al vector v y w. 𝑉=ℝ4, 𝐯= (1,−1,1,−1), 𝐰= (0,1,0,1) 14. Encontrar bases para los espacios fila y columna de A y determinar el rango de A. 2 2 𝐴=[ 4 0

−4 −1 −5 −1

6 3 9 1

8 2 ] 10 2

Utilizaremos el método de eliminación de Gauss. Multiplicamos la fila 1 por ½. 1 2 [ 4 0

−2 −1 −5 −1

3 4 3 2 ] 9 10 1 2

Multiplicamos la fila 1 por -2 y la sumamos a la fila 2. 1 −2 3 4 0 3 −3 −6 [ ] 4 −5 9 10 0 −1 1 2

Multiplicamos la fila 2 por 1/3. 1 −2 3 4 0 1 −1 −2 [ ] 4 −5 9 10 0 −1 1 2 Multiplicamos la fila 1 por -4 y la sumamos a la fila 3. 1 −2 3 4 0 1 −1 −2 [ ] 0 3 −3 −6 0 −1 1 2 Multiplicamos la fila 2 por -3 y la sumamos a la fila 3. 1 −2 3 4 0 1 −1 −2 [ ] 0 0 0 0 0 −1 1 2 Multiplicamos la fila 2 por 1 y la sumamos a la fila 4. 1 −2 3 4 0 1 −1 −2 [ ] 0 0 0 0 0 0 0 0 Vectores que forman una base para el espacio fila 𝐹1 = [1

−2 3

4]

𝐹2 = [0

1 −1 −2]

Vectores que forman una base para el espacio columna 1 0 𝐶1 = [ ] 0 0

−2 1 𝐶2 = [ ] 0 0

El rango de A es de segundo grado. 15. Calcular el rango de cada matriz 1 1 ( 3 2

2 3 8 1

−3 −2 −3 −2 0 −4 ) −7 −2 −11 −9 −10 −3

Utilizaremos el método de eliminación de Gauss. Multiplicamos la fila 1 por -1 y lo sumamos a la fila 2. 1 0 ( 3 2

2 −3 −2 −3 1 1 2 −1 ) 8 −7 −2 −11 1 −9 −10 −3

Multiplicamos la fila 1 por -3 y lo sumamos a la fila 3. 1 0 ( 0 2

2 −3 −2 1 1 2 2 2 4 1 −9 −10

−3 −1 ) −2 −3

Multiplicamos la fila 2 por -2 y la sumamos a la fila 3. 1 0 ( 0 2

2 −3 −2 −3 1 1 2 −1 ) 0 0 0 0 1 −9 −10 −3

Multiplicamos la fila 1 por -2 y la sumamos a la fila 4. 1 0 ( 0 0

2 −3 −2 −3 1 1 2 −1 ) 0 0 0 0 0 0 0 0

Por lo cual determinamos que el rango de esta matriz es 2 2 1 6 −14 ( ) −6 1 10 −16 16. Calcular ‖𝐯‖ si v es igual a2(1,−2,2) 17. Hallar el ángulo entre los vectores u = (7,−1,3) 𝑦 v = (1,4,−1) 18. Calcular la proyección de 𝐮 = (5,7,1) sobre 𝐯 = (2,−1,3) 19. Verificar que el siguiente es un producto interno en R2, donde u = (x1, x2) y v = (y1, y2): f (u, v) =x1y1−2x1y2−2x2y1+5 x2y2

20. Considérense los vectores de u = (1,−3) y v = (2,5) en R2. Hallar: 〈𝑢, 〉 con respecto al producto interno usual en R2 ‖𝑣‖ utilizando el producto interno usual en R2 21. Obtener una base ortonormal de ℝ3 mediante la normalización de: {[1−1 2], [0 2 1], [5 1−2]} 22. Hallar todos los vectores [𝑎 𝑏 𝑐 𝑑]∈ℝ4 para que le conjunto sea ortogonal {[1 2 1 0], [1−1 1 3], [2−1 0−1], [𝑎, 𝑏, 𝑐,𝑑]}

BIBLIOGRAFÍA:

https://rodas5.us.es/file/a126abff-9f74-d1f0-b8ff9f77be415de0/2/tema1_SCORM.zip/page_02.htm

https://prezi.com/4wtkysdu5oij/vectores-en-rn/

https://www.youtube.com/watch?v=LVKJfLBnFK8