Sol. R.m 4º - Intelectum.pdf

Editorial

Unidad 1

Planteo de ecuaciones

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 13) 1



Tenemos A B   & 8 7

A = 7B + 8 A - 7B = 8

Clave E

Sabemos: A + B = 136

6 Hacemos un esquema:

Planteando el sistema de ecuaciones:

S./ 4300

A + B = 136 A - 7B = 8

Pierde 700 + Q

B - (-7B) = 136 - 8 8B = 128 B = 16 & A = 120 ` A - B = 120 - 16 = 104

Clave D

2 Del enunciado tenemos:

Vestido: Muñeca: Zapatos:

En total gastó 400 soles: & (V) + (V + 30) + (V - 20) = 400 3V + 10 = 400 3V = 390 ` El precio es: V = 130

Luego: a + 1 = 1    & a + 10 2

H

Clave C

Clave A

Mujeres + M = 160

M = 14 & M = 98 7 Luego: H + 98 = 164 & H = 66 También:

5 Del enunciado tenemos:

Edad de Ramona: 2J Edad de Juana: J 2

Intelectum Evolución 4.°

ab - ba = 10a + b - (10b + a) = 10a - a + b - 10b = 9a - 9b = 9(a - b) ` Lo que aumenta es: 9(5) = 45

Clave C

2(a + 1) = 1(a + 10) 2a + 2 = a + 10 a =8

H no son responsables = 66 = 6 11 ` H responsables = 66 - 6 = 60

Clave A

Al invertir: ab Además: a - b = 5 Lo que aumenta es:

& a+1 a

` La fracción es: a + 1 = 8 + 1 = 9 8 8 a 4 Hombres

Del enunciado tenemos: 700 + Q + Q = 4300 2Q = 3600 Q = S/.1800

7 Sea el número: ba

3 Tenemos:

a+1 a

Queda Q

Finalmente triplica lo que le queda & 1800 . 3 = S/.5400 ` Ganó = 5400 - 4300 = S/.1100

V V - 20 V + 30

Numerador: Denominador:

Además; hace 15 años: 2J - 15 = 3(J - 15) 2J - 15 = 3J - 45 30 = J ` La edad de Ramona es 2J = 2 . 30 = 60 años

8 Del enunciado H: hombres; M: mujeres

H = 4 & H = 4k M 5 M = 5k

Luego, se retiran 8 parejas. H - 8 = 2 ; pero de (1) reemplazamos M-8 3 4k - 8 = 2 & 3(4k - 8) = 2(5k - 8) 5k - 8 3 12k - 24 = 10k - 16 k=4 Finalmente de (1) tenemos: H = 4 . 4 = 16 M = 5 . 4 = 20 ` Asistieron 36 personas.

Clave D

9 Hombres: 5(3x) = 15x Clave B

Mujeres: 3x Niños: x & 15x + 3x + x = 399 19x = 399 x = 21 ` Hombres: 21 . 15 = 315

Clave A

14 Sean:

10 Sea:

Daniel: José:

6J J

n.° de postes: p Del enunciado tenemos: g=p+3 g = 3(p - 3)

Pierde

6J - 50 J + 30

Gana

Del enunciado tenemos: J + 30 = 4(6J - 50) J + 30 = 24J - 200 230 = 23J ` 10 = J

G

REFUERZA PRACTICANDO Clave C

80

Sea: x: lo que gastó el hijo & 350 - x: lo que le queda

Queda

Del enunciado planteamos: x = 3 (350 - x) 4 4x = 1050 - 3x 7x = 1050 x = 150 ` Lo que le queda es: 350 - 150 = S/.200

80 - G

G = 3 (80 - G 5 5G = 3(80 - G) G = 30 ` Gasto total: 30 + 10 = S/.40

Clave E

Agregan

G + 8 + 17 = 5 G-7 1

n.° de patos: G+8 n.° de gallinas: G Retiran

Resolviendo: G + 25 = 5(G - 7) G + 25 = 5G - 35 G = 15 ` n.° de patos = G + 8 = 15 + 8 = 23

NIVEL 1 (página 15)

1 El hijo tiene: S/.350

Del enunciado:

12 Sean:

& p + 3 = 3(p - 3) p + 3 = 3p - 9 12 = 2p `p=6 Clave A

11 Si no compro el chocolate de S/.10.

Gasto

n.° de gorriones: g

Clave D

2 Sean x - 1; x + 1: 2 números impares consecutivos

Del enunciado planteamos: (x + 1)2 - (x - 1)2 = 424 4x = 424 x = 106 ` El mayor es: 106 + 1 = 107

Clave E

3 Sean x; x + 1: 2 números positivos consecutivos Clave B

13 Sea x el número de personas.

Cada una recibe: 120 x Aumenta 1/5, cada una recibe:

120 = 120 6x x+ 1 x 5 5 Según el enunciado, reciben S/.2 menos: 120 - 120 = 2 6x x 5

Del enunciado planteamos: (x)(x + 1) - (x + x + 1) = 71 x2 + x - 2x - 1 = 71 x2 - x - 72 = 0 -9 x x +8 & x = 9 (positivo) ` El mayor es: x + 1 = 9 + 1 = 10

Clave B

4 Patos: x

Conejos: y 2x + 4y = 92 x + y = 31

20 = 2 x ` Se repartió el dinero entre: x = 10 personas

Clave C

x + 2y = 46 & y = 15 x + y = 31 & x = 16 ` x - y = 16 - 15 = 1

Clave A

SOLUCIONARIO - Unidad 1

3

Del enunciado, planteamos: M+H=z M - H = 20 2H = z - 20 & H = z - 20 2 ` H = z - 10 2

5 A: n.° de lapiceros

B: n.° de lápices 8A + 5B = 96  2 16 7      8 12      0 (A + B)máx. = 18

Clave D

12 Inicio:

b

6 0,50x + (12 - x)0,20 = 3,60

0,50x + 2,40 - 0,20x = 3,60 0,30x = 1,20 x = 4 & 12 - x = 8 ` 4y8 7

a

a b

Clave B

p-5=a+b+c p + 10 = 2 (a + 10) p + 20 = 2 (b + 20) 4 + p + 30 = 2 (c + 30) 3p + 60 = 2 S a + b + c + 60 d p 5 n

A: área P: perímetro Dato: P = 44 & 2a + 2b = 44 a + b = 22 A=a.b Después:

...(1)

b+3

-

3p + 60 =2(p + 55) 3p + 60 = 2p + 110   p = 50 8

1980 - 19ab = a + b 80 - (10a + b) = a + b 80 = 11a + 2b . . 6 7 & 2a + b = 2(6) + 7 = 19 & 1967 + 19 = 1986

a-4

Clave D

Clave A

11 Sean:

H: n.° de hombres en clase M: n.° de mujeres en clase

4

Intelectum Evolución 4.°

Clave A

Clave A

13 Sea: 2b

a a

Clave D

NIVEL 2 (página 16)

Según el enunciado: a . b - (a - 4)(b + 3) = 30 4b - 3a = 18 ...(2) Resolvemos las ecuaciones (1) y (2): a = 10 ; b = 12 ` La base es 12 m.

5RV = 12RM 24RM + 20RV = 24RM + 4 # 12RM = 72RM Sean x correctas: 2x - (40 - x)(1) = 56 2x - 40 + x = 56 3x = 96 x = 32

a-4 b+3

9 24RM + 20RV = 36RM + 15RV

10

Clave D

a a

A1 = a2 2p1 = 4a Según el enunciado: 2p1 = 2p2 4a = 6b b= 2a 3

b

b 2b

A2 = 2b2 2p2 = 6a Piden: D = A1 - A2 D = a2 - 2b2 2 D = a2 - 2 b 2 a l 3 D = 1 a2 9

` D = 1 del área del cuadrado. 9

Clave D

14

Inicio

Luego

b

b+x

3 5 # S/.20 & c/u = 4

a+x

a

A1 = a . b 2p = 2(a + b) p=a+b

18 3 # S/.10 & c/u = 10

I. Gana: 4 - 10 = 2 c/cuaderno 3 3 2 1 100 = 150 3 4x = 2/3 x 100

A2 = (b + x)(a + x)

Piden: A = A2 - A1 A = (b + x)(a + x) - ab

II. Si compra x: x b 2 l = 30 . 4 3 x = 3 . 30 . 4 2 x = 180

A = ba + bx + xa + x2 - ab A = (a + b)x + x2 A = p . x + x2 ` Aumenta: x2 + px

Clave A

15 Sean:

B: volumen del balde VP: volumen de la persona 24B + VP = 490 20B + 2 VP = 490 VP = 4B 24B + 4B = 490 & B = 17,5 VP = 4B = 70

Clave A

20 Hombres: 3(4x) = 12x Clave C

Mujeres: 4x Niños: x

& 12x + 4x + x = 425 17x = 425 x = 25 ` Hombres: 25 . 12 = 300 Clave C NIVEL 3 (página 17)

21 Sean:

Clave E

17 ab & a + b = 11

ba + 103 = 3(ab) 10b + a + 103 = 30a + 3b  103 = 29a - 7b

x: el n.° menor y: el n.° mayor Del enunciado planteamos: • x + y = S ...(1) • x = R ...(2) y ...(3) • x + N = 1 y-N R

De (2) y (3) obtenemos: x+N = 1 = y y-N x x b l y

Resolviendo: 29a - 7b = 103 a = 5 4 a + b = 11 b = 6 ` ab + 11 = 67

Clave C

40 . 7 = 280 & Costo • 12 . 9 = 108 & Ingreso • (40 - 12 - 5) = 23 Quedan 23 jarrones: 23x + 108 = 280 + 81 x = 11

16 n: n.° de docenas

24n = 960 n = 40 Luego, tenía en total: 960 + 40 = 1000 cuadernos Compró: m grupos de cuadernos 7m + 3m = 1000 10m = 1000 m = 100 Entonces deberá comprar: 7m = 700 cuadernos

19

Clave E

x2 + Nx = y2 - yN Nx + yN = y2 - x2 N(x + y) = (y - x)(y + x) SOLUCIONARIO - Unidad 1

5

y-x=N x+y=S

Luego: Distancia antes del cruce

... (3) ... (1)

2x = S - N & x = S - N 2 ` El menor número es: S - N 2 22 Sean: x: los niños que pagan y: los niños que no pagan Del enunciado planteamos: x+y=7 x(17) + y(0) = 68 x=4& y=3 ` Los niños que no pagan son 3.

1

Clave A

Clave A

Del enunciado planteamos: mxy - m = a m . 102 + x . 10 + y - m = a 99 m = a - 10x - y a - 10x - y m= 99

24 100 & H

100 & M

a - 10x - y 99

Clave D

50 mayores 50 menores

50 + x = 100 - x 2x = 50 & x = 25 ` 25 y 75 30

Clave E

N x

Clave C

(30 - x) no han cumplido & (a - 1) años ax + (30 - x)(a - 1) + 30 # N = ...ab . cuadrado perfecto a = 2008 - N Resolviendo: 2008 # 30 - 30 + x = ...ab 60 210 + x = ...ab .  6 15 Clave D 26 

29 Sp: suma de la edad de los padres

Sh: suma de la edad de los hijos n: número de hijos Sp = 3a Sp = 3Sh Sp - 6 = 9(Sh - 3n) Sp + 34 = Sh + 17n Reemplazando: 3a - 6 = 9(a - 3n) 3a + 34 = a + 17n

Resolviendo: 3a - 6 = 9a - 27n 3a + 34 = a + 17n n=4 Clave B

N

20

(50 - x)

302 + x2 = 202 + (50 - x)2 900 + x2 = 400 + 2500 - 100x + x2 100x = 2500 + 400 - 900 Clave B 100x = 2000 & x = 20 26 Distancia antes del cruce: 6 km

Vchica = 6 km/h tchica = 1 h 50 min & 5 km 6

27 Según el enunciado: A B C 1°: 60 (Inicialmente) 2°: 15 120 45 3°: 40 40 100 60 60 60

Sh = a

x mayores (100 - x) menores

25

Clave A

28 x ya cumplieron & a años

23 Sean: el número

` El número es:

5 km

` 1 km & 10 min

Intelectum Evolución 4.°

30 Gasta 

x+2 2

b

Queda x-2 2

x - 2 1 + 2   x - 2 1 - 2 l b l 2 2 2 2

1 x -2 1 -2 +2 l F 2
Clave B

Unidad 1

Edades

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 22) 1 Sean: y la edad de Marisol; 3x la edad de Norma.

Pasado

Presente

Futuro

Norma

y/2

3x

2(y - 12)

Marisol

x

y

3x

y = 3x + x 2

3 y = 4x 2 8x = 3y

Dentro de 40 años tendremos: 20 + 40 = 60 30 + 40 = 70 ` Nos piden: 70 - 60 = 10 años.

Del cuadro tenemos: y+

& Yo tengo: 20 años Tú tienes: 50 - x = 30 años

Clave A

3 Sea: x la edad de la persona

Se presentan 2 casos: ... (1)

1.° 2x - 17 = 10 - x 3x = 27 ` La persona tiene x = 9 años.

Además: 3x + 3x = 2(y - 12) + y 6x = 3y - 24 ... (2)

2.° 2x - 17 = 100 - x 3x = 117 ` La persona tiene x = 39 años.

Reemplazando (1) en (2): 6x = 8x - 24 x = 12 / y = 32

Clave D

4 Sea: x la edad actual

Norma tiene: 3x = 3 . 12 = 36 años Marisol tiene: y = 32 años ` Sus edades suman: 68 años.

Yo Clave C

2 Sean:

x: la edad actual que tengo. 50 - x: la edad que tú tienes actualmente. Pasado

Presente

Futuro

Yo

2x - (50 - x)

x

x + 20

Tú

x + 20 2

50 - x

70 - x

20 años Del cuadro tenemos: (50 - x) + 2x - (50 - x) = x + x + 20 2 x 20 + 2x - x = 2 2x = x + 20 x = 20

Hace n años

Presente

Dentro de n años

x-n

x

x+n

Del enunciado tenemos: x - n = 2 & 9x - 9n = 2x + 2n x+n 9 7x = 11n x = 11 n años 7

` Dentro de 3n tendré: 7 11n + 3n = 14n = 2n años 7 7 7

Clave B

5 Sea: x: la edad actual de la persona 1.

y: la edad actual de la persona 2.

Del enunciado tenemos: (x + 8) + (y + 8) = 46 x + y = 30

...(1)

Además: (x - n) - (y - n) = 4 x-y=4

...(2)

& De (1) y (2) tenemos: x = 17 / y = 13 SOLUCIONARIO - Unidad 1

7

Hace m años

Presente

Persona 1

17 - m

17

Persona 2

13 - m

13

Del enunciado: (17 - m) = 3(13 - m) ` m = 11 años

Del enunciado: J + 7 = 4 (J + 15) 5 5(J + 7) = 4(J + 15) 5J + 35 = 4J + 60 J = 25

Clave A

Edad de Juan: 25 años Edad de Pedro: 25 - 8 = 17 años

6

Pasado A

Presente

b

a

B C

Futuro

10

Del enunciado tenemos: (a - c) + (b - c) = 2c a + b = 4c

b

a

c

26

Del enunciado: J - x = 2(J - 8 - x) 25 - x = 2(17 - x) & x = 9 Hace 9 años: Edad de Pedro: 8 Edad de Juan: 16

... (1)

También cumple en el pasado y futuro: (b - 10) + (a - 26) = 2c a + b - 2c = 36 ... (2)

(+)

24 años

Clave A

9 Sean: x: la edad de Mónica.

4x: la edad de Elena.

Reemplazando (1) en (2): 4c - 2c = 36 & c = 18 ` El menor tiene: c = 18 años

Clave E

7 En 1990:

Paola: 4x Vicky: x

En 1920

En 1928

En 1930

Elena

4x

4x + 8

4x + 10

Mónica

x

x+8

x + 10

Del enunciado: 4x + 8 = 2(x + 8) 4x + 8 = 2x + 16 x = 4 años

En 1998: 4x + 8 = 2(x + 8) 4x + 8 = 2x + 16 x = 4 años & Vicky nació en 1986.

Del cuadro vemos que Elena en 1930 tiene: 4x + 10 = 4 . 4 + 10 = 26 años

Luego: Año nacimiento + Edad actual = Año actual 1986 + Edad actual = 2004 ` Edad actual de Vicky es 18 años.

Clave B 10

Hace 2 años Presente Clave C

Renato

a+b-c a+b-c+2

Dentro de 5 años a+b-c+7

8 Sean: J: la edad de Juan.

J - 8: la edad de Pedro. Presente Dentro de 8 años Dentro de 15 años

8

Pedro

J-8

J

J+7

Juan

J

J+8

J + 15

Intelectum Evolución 4.°

Del enunciado tenemos: a + b - c + 7 = 2b - 2c + a 7=b-c & 3b - 3c = 3(b - c) = 3 . 7 = 21 años

Clave D

11 Sean: Edad de Elena: 55 - y

Edad de Carla: y Hace y años

Presente

Elena

(55 - y) - y

55 - y

Carla

0

y

Del enunciado tenemos:

Año

N Katy

5 años

Hace “m - a” años Presente

1.er hijo

Clave E

3 años

x años 2013

2.o hijo 3.er hijo

Karol

Mellizos

mx + (m - a) mx + (m - a) + (m + a)

B

x

x + (m - a) x + (m - a) + (m + a)

Del enunciado: mx + (m - a) + (m + a) = a[x + (m - a) + (m + a)]

x(m - a) = 2m(a - 1) ` La edad de “B” es: x =

2m (a - 1) años (m - a)

Clave A

REFUERZA PRACTICANDO NIVEL 1 (página 24)

1 Sea: x mi edad actual.

Clave D

Hoy

m.x

mx - ax = 2ma - 2m

Luego: Año nacimiento + Edad actual = Año actual N + 45 = 2013 ` N = 1968

x

A

mx + 2m = ax + 2ma

Del enunciado: k + p + s + t = 92 44 + 4x = 92 4x = 48 x = 12 & k = 45 años

b años

Dentro de “m + a” años

mx + m + m = a[x + m + m]

Sean: Edad Katy: k = 25 + 5 + 3 + x Edad 1.er hijo: p = 5 + 3 + x Edad 2.° hijo: s = 3 + x Edad 3.er hijo: t = x

13

Clave B

14 Sea: x la edad de “B”.

` Carla tiene 25 años. 25 años

Del enunciado tenemos: b + x + x + x = a 3x = a - b ` Cada mellizo tiene: x = b a - b l años. 3

(55 - y) - y = 1 (55 - y) 6 55 - y 55 - 2y = 6 6(55 - 2y) = 55 - y 330 - 12y = 55 - y 275 = 11y & y = 25

12

Sean: Edad de Karol: k = b + x Edad del 1.er mellizo: M1 = x Edad del 2.° mellizo: M2 = x

Hace 7 años Presente Dentro de 15 años Yo

x-7

x

x + 15

Del enunciado tenemos: 78 - (x + 15) = 5 (x - 7) 3 78 . 3 - 3x - 45 = 5x - 35 78 . 3 - 10 = 8x x = 28 ` Dentro de 5 años tendré: 28 + 5 = 33 años Clave E

SOLUCIONARIO - Unidad 1

9

2 Sean:

7 El hijo nació cuando el padre tenía:

AN: año de nacimiento x: mi edad actual

48 - 18 = 30 años En el pasado mencionado tuvo: 30 = 10 años 3

x 24

18

AN + 18 AN + 24 AN + x

AN

8 Edad del hijo: x

Edad de la hija: y 3y = 2x 3(y - 3) = x - 3

Del enunciado: AN + 18 + AN + 24 - (AN + AN + x) = 12 42 - x = 12 x = 30 ` Mi edad actual es 30 años.

Clave C

3 Sea: x mi edad actual.

Clave D

Tenía

Tengo

Tendré

Presente

Tendré

Mariana

y-8

x

82 - 2x

x

x + 10

Carlos

x+4

y

2x

Yo

Del enunciado tenemos: (x + 10) + x + (x + 10) = 3x 2 3 (x + 10) = 2x 2 3x + 30 = 4x x = 30 ` Hace 5 años tuve: 30 - 5 = 25 años

y-8-x=x+4-y & y-x=6

18 - x = 18 + 12 2 18 - x = 15     x = 3

Entonces, la edad de Mariana es 22 años. Clave D

Clave B

5 Edad actual: x

Clave B

10 Intelectum Evolución 4.°

Tenía

Tengo

Tendré

Yo

y-1

x

52 - x

Tú

x-5

y

x

52 - x - x = x - y & 3x - y = 52 años

... (1) ... (2)

De (1) y (2): x = 25 y = 23

6 Edad actual: x

3(x + 4) + 4(x - 9) = 6x 3x + 12 + 4x - 36 = 6x 7x - 24 = 6x   x = 24 años

Clave C

10 Según el enunciado:

y-1-x=x-5-y 4 = 2x - 2y &x-y=2

x + 14 = 2(x - 8) x + 14 = 2x - 16 30 = x El año pasado: 30 - 1 = 29 años

x - 82 + 2x = y - 2x & 5x - y = 82

Resolviendo: x = 22; y = 28

4 Hace x años:



Resolviendo: x = 6; y = 4 Por lo tanto, el hijo tiene 6 años. 9 Del enunciado:

+ 10 Tuve

Clave D

Clave C

La esposa es 5 años mayor, por lo tanto su edad es: 25 + 5 = 30 años

Clave B

15

NIVEL 2 (página 25)

11 Edades: x y (30 - x)



x + 10 = 2(30 - x - 10) x + 10 = 2(20 - x) x + 10 = 40 - 2x  3x = 30  x = 10

Las edades son: 10 y 20 años Piden el producto: 10(20) = 200

3y

46 - x

y

x/3

x

46 - 3y = 5x 3 x = 24 y=2

Entonces, Luis tiene 24 años. Clave D 16 Mi edad: y

Tu edad: x x + 12 = 7 5 y

x = 16 y = 20

y-x=4 Clave C

` 2x - y = 32 - 20 = 12 años

13 En 1990 Milagros: 4x

Vilma: x

Clave A

17 Mi edad: x

En 1998 4x + 8 = 2(x + 8) 4x + 8 = 2x + 16 2x = 8 & x = 4

Tu edad: a x - 5 = 5 & 3x - 15 = 5a - 25 a-5 3 5a - 3x = 10 Clave E

14 Edad del hijo: x

x + 25 = 7 & 5x + 125 = 7a + 175 a + 25 5 7a - 5x = -50 Resolviendo: x = 80; a = 50 Entonces, mi edad es 80 años.

Edad del padre: y y - 10 = 2(x - 10)

Clave D

y + 20 4 = x + 20 3

18 Del enunciado:

Resolviendo: y - 10 = 2x - 20 & 2x = y + 10 3y + 60 = 4x + 80 & 3y - 4x = 20 Reemplazando:  3(2x - 10) - 4x = 20 6x - 30 - 4x = 20 2x = 50 x = 25 años

0

Luis

Clave C

= 52 - x = 52 - x = 64 = 32

En el 2014: 2014 - 1990 = 24 La edad de Vilma es: 24 + 4 = 28 años

Jorge

x = 12y

Rony: 52 - x Fiorella: x - 8

` Fiorella: 32 - 8 = 24 años

Tengo

3y = x - y; 3y - 46 + x = x - x 3 3

12 Vanessa: x

& (x - 8) - 4 x - 12 2x x

Tenía

Clave A

Tenía

Tengo

Tendré

Yo

a

x

n

Tú

a - 12

a

x

Él

n/8

a-6

a+6

x - a = a - (a - 12) x - a = 12

...(1)

SOLUCIONARIO - Unidad 1

11

Por suma en aspa: x+x=a+n 2x = a + n n = 2x - a a - (a - 12) = a - 6 - n 8      12 = a - 6 - n 8 Reemplazando (2) en (3): 12 = a - 6 - 2x - a 8 8 a 2 x a + 18 = 8 144 = 9a - 2x

22 [(2a + 5) # 50 - 365] # 2 + 115 = ab5

200a - 115 = ab5 .      . . 2 28

...(2)

` Edad del sobrino: 2 años

...(3)

23 R + 8 = L

R + 15 = 4 (L + 15) 5

Además: 25 - x = 2(17 - x) 25 - x = 34 - 2x 2x - x = 34 - 25 x=9

Clave A

19 En 1990:

Edad de Alex: 4x Edad de Beto: x

Las edades hace 9 años fueron: Romel: 17 - 9 = 8 Luis:  25 - 9 = 16

En 1998: 4x + 8 = 2(x + 8) 4x + 8 = 2x + 16 2x = 8 & x = 4

` 8 + 16 = 24 años

Desde 1998 hasta el 2005 hay: 2005 - 1998 = 7 años Por lo tanto, en el 2005 Beto tendrá: 4 + 8 + 7 = 19 años

Clave D

x + n = 4(y + n) x + n = 4y + 4n

Clave C

NIVEL 3 (página 26)

21 La ciudad fue fundada en 19ab.

19ba - 19ab = 5(a + b) ba - ab = 5(a + b)  9(b - a) = 5(a + b) 2b = 7a & a = 2 b=7 ` 5(a + b) = 5(9) = 45 años 12 Intelectum Evolución 4.°

Clave B

Clave B

x - 4 + x +8 =6

24

20 Sean n años:

x - 4y x - 4y = 3n & n = 3

... (1) ... (2)

Reemplazando (1) en (2): R + 15 = 4 (R + 8 + 15) 5 5R + 75 = 4R + 92 R = 17 & L = 25

...(4)

Resolviendo (1) en (4): x = 36 Por lo tanto, yo tengo 36 años.

Clave A



x+8 = 6- x-4   x  + 8 = 36  -  12 x - 4   +  x  -  4 12 x - 4 = 24   x - 4 = 2   x - 4 = 4  x = 8 años

Clave A

25 Padre: ab; a > b

Hijo:

ba ab - 1 = 2(ba - 1) 10a + b - 1 = 2(10b + a - 1) 10a + b - 1 = 20b + 2a - 2 8a - 19b = -1 . . 7 3 Entonces: ab - ba = 73 - 37 = 36 años

Clave E

26 1980 - 19ab = a + b



10 días

80 - ab = a + b  80 = 10a + b + a + b  80 = 11a + 2b   . . 6 7

29 1  2 ... ... 30  1 2 ...   10 11   ...  31 x

Diciembre Noviembre 10 + (30 - x) = x 40 = 2x & x = 20

Eva nació en 1967. ` En el 2005 tendrá: 2005 - 1967 = 38 años

Clave A

27 n: edad de Sebastián.

1 + 2 + 3 + ... + n = aaa

Luego: 20 + 10 = 25 2 Por lo tanto, la fecha pedida es 25 de noviembre.

Clave C

n _n + 1 i   = aaa 2    n(n + 1) = 111a # 2    n(n + 1) = 222a    = 37 # 6a    36

a = 6 & n(n + 1) = 36 # 37   n = 36 años

Entonces, para el 30 de noviembre faltan 10 días.

30 Sabemos, que si la persona ya cumplió años:

Año nac.

+

Edad actual = Año actual

Si no cumplió años: Año nac. Clave E

28 Sea la edad de la persona: x años + y meses x; y ! Z+

Del enunciado: Años + Edad en meses = 470 & x + 12x + y    = 470 13x + y = 470 . . ° ° 13 + y = 13 + 2 ; y < 12

y=2 & x = 36 ` La edad de la persona es 36 años y 2 meses.

Clave C

+

Edad actual = Año actual - 1

Del enunciado (asumiendo que las 5 personas ya cumplieron años): A1 + E1 = 2004 A2 + E2 = 2004 (+) A3 + E3 = 2004 A4 + E4 = 2004 A5 + E5 = 2004 &

5

5

i=1

i=1 5

/ Ai + /Ei = 10 020

Por dato:

5

/ Ai + /Ei = 10 018

i=1

i=1

Entonces, 2 personas aún no cumplen años.

Clave B

SOLUCIONARIO - Unidad 1 13

Unidad 1

Móviles Igualamos (1) y (2): 18t = 12(t + 1/4)

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 33) 1

t= 1 h 2

tA VA = VB + 3 A

300 m

& De (1) obtenemos: L = 18 . t = 18 . 1 2 ` L = 9 km

tA

VB

x

B

Donde: tA = tiempo de alcance d Sabemos: tA = ... (1) v A - vB

4

Dato: vB = 45 km/h Convirtiendo a (m/s): vB = 12,5 m/s & vA = 15,5 m/s & tA =

t v d = 400 km

300 = 100 segundos 15, 5 - 12, 5

Del gráfico: x = vB . tA = 12,5 . 100 ` x = 1250 m

t-1 v + 20 d = 400 km

Clave D

2

Clave A

Sabemos: d = vt & 400 = t ... (1) v Sabemos: d = (v + 20)(t - 1) d & = 1+t v + 20 ... (2)

& Igualamos (2) y (1): 400 + 1 = 400 & v2 + 20v = 8000 v + 20 v v(v + 20) = 80 . 100 ` v = 80 km/h

Sabemos: d = vt L = 8v ... (1)

Clave C 5

Sabemos: d = vt 400 + L = v . 10 ... (2)

De (1) y (2), resolvemos: 8v = L 10v = 400 + L

(÷) Donde:

8 = L 10 400 + L

Sabemos: d = vt

` L = 1600 m 3

Clave B t

v = 18 km/h L t + 1/4 v = 12 km/h L

vA = 37 m/s vB = 63 m/s

Sabemos que: & d = vt L = 18 . t ... (1) Sabemos que: d = vt & L = 12 . (t + 1/4) ... (2)

14 Intelectum Evolución 4.°

Para el móvil A:

d - x = vA . t 500 - x = 37 . t

... (1)

Para el móvil B:

d + x = vB . t 500 + x = 63t

... (2)

Resolvemos (1) y (2): 500 - x = 37t + 500 + x = 63t 1000 = 100t ` t = 10 segundos

Clave E

6

vA t

x

AB

9

vB

Donde: t = 20 min vA: velocidad de A vB: velocidad de B

t = 5 min -x

A B

0

0 30 t

d = vt x = vA . t 3000 - x = vB . t x = vB . 5

Sabemos: Móvil A: Móvil B: Dato:

` t = 15 segundos

... (1) ... (2) ... (3)

10 vA

Operamos (2) y (3): 3000 - 5vB = vB . 5 3000 = vB(20 + 5) & vB = 120 m/min

A

De (3), tenemos: x = 120 . 5 = 600 m Finalmente, de (1): x = vA . 20 ` vA = 30 m/min

vA

7 t 8m

& d = 4d

vs + 1n vc

Clave B

Sabemos: t : tiempo de encuentro vB E t = 80 = 20 B E v A + vB

tE

vA + vB = 4

... (1)

tE

A

B

80 m

vA - vB = 2 ... (2)

t2

& De (1) y (2), obtenemos: vA - vB = 2 vA + vB = 4

d

2vA = 6 & vA = 3 m/s / vB = 1 m/s

Donde: vc = 20 m/s vs = 340 m/s

` d = 72 m

tE

vB

Sabemos: tA: tiempo de alcance tA = 80 = 40 v A - vB

Clave B

vc: velocidad del camión; sabemos t = d v Observamos: t = t1 + t2 8 = d + d-8 vc vs vs

tE 80 m

t1 vC

d = 8 + 22 + 60 vc - v t 24 - 18

Sabemos: t =

Clave C

t

11 VA = 72 km/h

Clave A

VB = 36 km/h

A

B

A

120 m

120 m

120 m

Transformamos de (km/h) a (m/s):

8

Según dato: t1 + t2 = 1,5

vB = 36 km/h

vA = 72 b 5 l m/s 18

vB = 36 b 5 l m/s 18

vA = 20 m/s

vB = 10 m/s

Sabemos: t = 120 + 120 = 240 = 240 v A + vB 20 + 10 30

L - 30 + L = 1,5 Donde: v = 340 m/s s vs vs ` L = 270 m

vA = 72 km/h

` t = 8 segundos Clave D

Clave B

SOLUCIONARIO - Unidad 1 15

12 Ida:

d = vt’ d = 20t ... (1) Donde: velocidad de regreso del amigo: vr = y km/n & d = y t2 & t2 = d ...(2) y

Vuelta:

Dato: t1 + t2 = z d = vt’ d = 15(t + 5) d = 15t + 75 ... (2)

Igualamos (1) y (2): 15t + 75 = 20t t = 15 horas & De (1): d = 20(15) ` d = 300 km Clave A

13

...(3)

Reemplazamos (1) y (2) en (3): d + d = z x y xyz `d= (x + y)

Clave D

REFUERZA PRACTICANDO NIVEL 1 (página 35)

1 vB: velocidad del bote

Según datos: 60 = (vB + 5)t 20 = (vB - 5)t Donde: v = vB + vr = 50 km/h vr: velocidad del río vB: velocidad del bote

... (1)

Donde: v = vB - vr = 30 km/h vr: velocidad del río vB: velocidad del bote

... (2)

Resolvemos: vB = 10 km/h 2 Los tiempos son:

t1 = d ; t2 = d ; t3 = d v v v 2 4 Tiempo total: d + 2d + 4d = 7d v v v v

3

De (1) y (2), resolvemos: vB + vr = 50 vB - vr = 30

A

2vr = 20 ` vr = 10 km/h

Clave E

4

Donde: velocidad de ida del amigo: vi = x km/h

16 Intelectum Evolución 4.°

... (1)

Clave A

60 km/h

30 km/h

20 km/h

d

d

d

Por teoría: vm = d t t1 = d    t2 = d    t3 = d 60 30 20 3 d & vm = d + d + d 60 30 20  vm = 30 km/h

14

& d = x t1& t1 = d x

Clave A

d=v#t d = 3v(t - 2) v # t = 3v(t - 2) &t=3h ` 10 - 3 = 7:00 h

B

Clave C

Clave A

5

L A

24 km v(t + 1) = 24 (v + 2)t = 24

7

d & tE = 870 = 6 h va + vb 80 + 65 A

t

t

a

... (1)

Del gráfico: 6t1 + t2 = 2000

... (2)

De (1) y (2) tenemos: Clave C

6 Por teoría:

tE =

t1 + t2 = 30 min t1 + t2 = 1800 s

Dato:

Resolvemos: t=3h v = 6 km/h ` vLuis = 6 km/h

v; t + 1 v + 2; t

1300 2300

Analizamos las proposiciones: I. Juan corre durante un tiempo t1 = 40 s II. Juan camina: e = v2 . t2 = 1 . 1760 e = 1760 m

Clave B

B

` VVV 11

  1000 = 100t     t = 10 s Clave C

t v = 50 km/h

v = 60 km/h

LT: longitud del tren

d

d

(1)

(2)

Por dato: L T = 8vT ... (1) L T + 400 = 3 # 8 # vT ... (2)

& Sabemos: e = v . t Luego: d = 60(t - 1) d = 50t

De (1) y (2): 8vT + 400 = 24vT 400 = 16vT vT = 25 m/s ` LT = 8 # 25 = 200 m

Igualando (1) y (2), obtenemos: t = 6 h

...(1) ...(2)

Reemplazamos en (2): d = 50 . 6 ` d = 300 km Clave A

9 Sea: v1 > v2

Según el enunciado: v1 + v2 = 360 = 30 m/s 12 v1 - v2 = 360 = 6 m/s 60

Clave E

12 vM: rapidez de la madre

vH: rapidez de la hija t1 = 40 min

t1 = 30 min Oficina

d

d

Oficina

vM = 3k vH = 4k

& Se cumple: t = 8 min Clave D

NIVEL 2 (página 36)

t1

(V)

Clave C t-1

8 vT: velocidad del tren

Resolvemos: v1 = 30 + 6 = 18 m/s 2 v2 = 30 - 6 = 12 m/s 2

(V)

III. Juan camina durante un tiempo: t2 = 1760 s (V)

1000 - a

a = 60t 1000 - a = 40t (+)

10

t1 = 40 s t2 = 1760 s

VH = 4k

VM = 3k

e = 3k . 8 e = 24k

e t2

v1 = 6 m/s v2 = 1 m/s corre camina 2000 m

Nos piden el tiempo de alcance (tA): e tA = = 24k vH - vM 4k - 3k ` tA = 24 minutos

Clave B

SOLUCIONARIO - Unidad 1 17

13

t=x v

2v

t=x t=1h v v 2v

50 km

17 Mariano le da a José 6 km de ventaja: t=1h 2v

t t M

2v y 200 km 100 km

v

vx

2vx

6 km

30 km

Sabemos que:  d = v . t & 30 = vM . t vM 5 = / vM - v J = 6   24 = vJ . t vJ 4 t

Del gráfico observamos: y + 2v = 200 v + y = 100

J

(-)

Mariano le da a José 3 km de ventaja:

v = 100

t

` El móvil más lento tiene una rapidez de 100 km/h.

M

Clave A

t + 10

J 3 km

14

&

30 km

vM . t = 30 & vJ(t + 10) = 27

vM t = 10 v J b t + 10 l 9

& 5 b t l = 10 4 t + 10 9 De las 11 h a las 12:45 el bus 1 recorre: 12:45 - 11 = 1:45 = 1 3 h 4 drecorrida = 40 # 1 3 = 70 km 4

t = 80 min = 4 h 3 Piden: vM – vJ = 6 = 6 # 3 = 4,5 km/h 4 t Clave D

Esta distancia es la que no avanzó el bus 2: t2 = 70 = 2 h 35

18

Lo que significa que el bus 2 se malogró hace 2 horas, entonces: ` 11 h - 2 h = 9:00 h Clave E

15 Normal: v ; t

Novato: 4v ; (t + 4) 5 vt = 4 v(t + 4) 5 5t = 4t + 16 Clave E

vA = vB + 10

vT: velocidad del tren Por dato:   L T = 13vT

... (1)

L T + 600 = 25vT

... (2)

16vA = 20VB 16(vB + 10) = 20(vB)

Reemplazando (1) en (2):

4(vB + 10) = 5(vB)

13vT + 600 = 25vT

vB = 40 & vA = 50 km/h Tiempo de encuentro: tE =

Clave D

19 LT: longitud del tren

` t = 16 h 16

Por dato: 6t = 8(t - 4) 6t = 8t - 32 32 = 2t t = 16 s & d = 6 . 16 = 96 m

450 = 450 = 5 h 90 Clave E 40 + 50

18 Intelectum Evolución 4.°

vT = 50 m/min

   & L T = 13(50) = 650 m

Clave E

NIVEL 3 (página 37)

t=2h

20 x

d

De (1), tenemos: De (2), tenemos:

El caminante, de A hacia B tarda: t La moto, de A hacia B tarda: t - 40 & 70(t) = 150(t - 40)   t = 75 min Luego: d = 70 # 75 d = 5250 m 21 De ida:

20t = d

 

v + 20

... (2) d=v. 8 3 d = (v + 20) . 2

Igualamos ambas expresiones: 8 v = 2(v + 20) 3 v = 60 km/h Luego: Clave B

... (1)

d = 8 = 60 . 8 3 3 ` d = 160 km

Clave E

24

De regreso: 15(t + 5) = d ... (2) De (1) y (2): 20t = 15(t + 5) 20t = 15t + 75  t = 15 h & d = 20(15) = 300 km ` Distancia total: 2 × 300 km = 600 km

Por tiempo de alcance: d tA = ; vB 2 v A vB - v A Clave D

22

50 = 103 + 147 vB - v A 5 = vB - 48 ` vB = 53 m/s

Clave E

25 Según el enunciado:

tAB + tBA = 20 d + d = 20 70 30 30d + 70d = 20 # 70 # 30   100d = 20 # 2100 d = 420 km

Clave A

23 Graficamos: V x

t = 2 h 40 min = 8/3 h d

y

... (1)

Para el barco: 5x + 60 = 15v & x + 12 = 3v

  ... (1)

Para el avión: 5x + (5x - 60) = 5 # 5v    10x - 60 = 25v    & 2x - 12 = 5v

  ...(2)

Reemplazamos: 2(3v - 12) - 12 = 5v  & v = 36 km/h

Clave C

SOLUCIONARIO - Unidad 1 19

26 Del enunciado:

28 t = d

v t = a km + nm (min) 40 km h Convirtiendo a horas: t = a + nm # 1 40 60

a0b - ba = ba - ab 100a + b - 10b - a = 10b + a - 10a - b 99a - 9b = 9b - 9a 11a - b = b - a 12a = 2b

t = a + nm 40 60

6a = b & a = 1 b=6 & ba - ab = 61 - 16 = 45 km/h

` t = 3a + 2nm 120 Clave D

27 Graficamos:

Clave D

29

B’ 60 millas d A

B 40

20 Intelectum Evolución 4.°

A’

A en 3 h & dA = 40 # 3 = 120 millas

& 2 d = 76 5 d = 190 km 3 .d &v= e = 5 = 3 . 190 4 20 t ` v = 28,5 km/h

80

B en 3 h & dB = 20 # 3 = 60 millas & d = 602 + 802 = 100 millas

Clave B

Clave C

Unidad 1

Cronometría

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 44) 1 Graficando: 24 - x

x

Del enunciado tenemos: x - 7 = 120 - (x + 13) x = 57 La hora es: 11 h + x min = 11 h + 57 min ` La hora es: 11 h 57’

Clave E

Hora actual 5 Graficando:

Según el enunciado: x = 3 (24 - x) 5 x=9

0h

24 h 3h

3h 24 h

Del enunciado, tenemos:

` La hora es: 9:00 a.m.

Clave B

` La hora es: 6:00 a.m.

2 Graficando: ( 2x ) min 7h

Hora xh x-3

21 - x 24 - x

21 - x = 5 (27 - x) 7 x=6 Clave C

x min

Hora 2 h < > 120 min

6 Sabemos que:

9h

-1 # Campanadas 3 x

& (2x) min + x min = 120 min 3x = 120 x = 40 min La hora es: 7 h + (2x) min = 7 h + 80 min = 7 h + 1 h + 20 min ` La hora es: 8 h 20 min

Clave A

3 Graficando:

# Intervalos 2 x-1

Tiempo(s) 3 9

Aplicando la regla de tres simple, pero con los intervalos y el tiempo: & x - 1 = 2.9 = 6 3 ` El número de campanadas es 7.

Clave D

7 Sabemos que:

Tiempo transcurrido 6 a.m.

Tiempo no transcurrido

Hora actual

10 a.m.

3x min 5x min 4 h < > 240 min

& 3x + 5x = 240 8x = 240 x = 30 min

-1 # Campanadas # Intervalos Tiempo(s) 5 4 4 10 9 x Aplicando la regla de tres simple, pero con los intervalos y el tiempo: & x = 4.9 = 9 4 ` Demorará 9 segundos.

Clave A

La hora es: 6 h + (3x)min = 6 h + 90 min = 6 h + 1 h + 30 min La hora es: 7 h 30 min ` Dentro de 4 horas será: 11 h 30’

Clave D

4 Graficando: 11 h

Hora actual 12 h

13 h

x min 13 min 120 -(x+13) min (x-7) min 7 min 2 h < > 120 min

8 Sabemos que:

-1 # beeps # Intervalos Tiempo(s) 73 72 15 19 18 t Aplicando la regla de tres simple, pero con los intervalos y el tiempo: & t = 15 . 18 = 15 72 4 ` Demora 3,75 s.

Clave B

SOLUCIONARIO - Unidad 1 21

& En 12 h de adelanto transcurre 360 horas <> 15 días. ` Debe transcurrir 15 días.

9 Sabemos que:

-1 # Campanadas x2 y

# Intervalos x2 - 1 y-1

Tiempo(s) x2 - 1 x-1

Clave C

13 Hora: 11 h 55’ & H = 11 / M = 55

Como el minutero aún no pasa al horario, la fórmula es: q = 30H - 11 . M 2 q = 30 . 11 - 11 . 55 2 q = 27,5°

Aplicando la regla de tres simple, pero con los intervalos y el tiempo. (x2 - 1) (x - 1) (x2 - 1) y-1=x-1 y=x y-1=

` Forma un ángulo de 27,5°.

` Tocará x campanadas.

Clave D

14 10

10

Tiempo transcurrido = 12 horas

11

12

1

3

8

4 7

2 p.m.

2 a.m.

& 2 min $ 1 hora x $ 12 horas x = 2 . 12 = 24 minutos 1 & Se adelanta 24 minutos. Sabemos: Hora marcada = hora real + adelanto Hora marcada = 2 a.m. + 24 minutos ` Hora marcada: 2:24 a.m.

1 hora x

x = 1 . 720 hora = 360 h 2 22 Intelectum Evolución 4.°

1 Sabemos que:

-1 # Campanadas 3 7

# Intervalos 2 6

Tiempo (s) 7 x

Aplicando la regla de tres simple, pero con los intervalos y el tiempo: & x = 7 . 6 = 21 2 ` Tardará 21 s.

Clave B

Clave B

12 Para que un reloj vuelva a marcar la hora correcta

$ $

Como el minutero pasó al horario, la fórmula es:   q = 11 M - 30H 2  90 = 11 M - 30 . 2 2 & M = 27 3 min 11 ` La hora es: 2 h 27 min

NIVEL 1 (página 46)

2 min $ 8 min x $ 3 h <> 180 min 2 . 180 x= = 45 min & Se atrasa 45 min. 8 Sabemos: Hora marcada = hora correcta - atraso 4 h 10’ = hora correcta - 45’ Hora correcta = 4 h 10’ + 45’

2 minutos 12 h <> 720 min

5

REFUERZA PRACTICANDO

11 Atraso

debe adelantarse 12 horas.

6

Clave C

Clave A

` La hora correcta es: 4 h 55’

Las manecillas del reloj forman un ángulo de 90° & q = 90° Además, el horario es 2. & H=2

2

9

Clave E

2 Sabemos que:

-1 # Campanadas 4 h <> 4 20 h <> 8

# Intervalos 3 7

Tiempo (s) 6 x

Aplicando la regla de tres simple, pero con los intervalos y el tiempo: & x = 6 . 7 = 14 3 ` Tardará 14 s.

Clave D

3 Sabemos que:

-1 # Campanadas 12 34

# Intervalos 11 33

Tiempo 12 x

Aplicando la regla de tres simple, pero con los intervalos y el tiempo: & x = 12 . 33 = 36 11 ` Demora 36 s.

Clave A

11 h 15 min " hora correcta 11 h 27 min " hora marcada

Luego, aplicando regla de tres: 2 min " 3 horas 12 min " x 3 . 12 x= = 18 h 2

5 h 15 min

Además: H = 10 & 36° = 30 . 10 - 11 M 2 M = 48 ` La hora es: 10 h 48 min

Clave E

Clave E

5 Graficando: x 9h

& 2x + x = 3 h &x=1h

` La hora es: H = 6 h + 2x = 8 h . (1 h) 6 Graficando: 7x

5x H: 3x horas

q = 30H - 11 M 2

& q = 30 . 9 - 11 .10 2 q = 215°

Dato: H = 9 h M = 10

Clave A

9 Sabemos: q = 11 M - 30H

2 Dato: H = 0 (Cuando el horario es 12 se M = 36 considera H = 0 en la fórmula)

Clave E

10 Sabemos:

11 h 15 min

` Empezó a adelantarse a las 5:15 a.m.

H 3h

2 Dato: q <> 6’ <> 6' . 30° = 36° 5'

& q = 11 . 36 - 30(0) 2 ` q = 198°

18 h

6h

7 Sabemos: q = 30 H - 11 M

` El ángulo que forma es 215°.

& Adelanto = 11 h 27 min - 11 h 15 min = 12 min

2x

Clave E

8 Sabemos:

4 Adelanta: 2 min cada 3 horas

Además:

& 5x + 7x = 24 12x = 24 x=2 ` La hora es: H = 5(2 h) = 10 h

q = 30 H - 11 M 2 Dato: H = 10 M = 28 & q = 30 . (10) - 11 . (28) 2 q = 146° a = 214°

` El menor ángulo es q: 146° Clave C

12 9

α θ

3

6

Clave C

NIVEL 2 (página 47)

11 Sabemos que:

# Campanadas 5 h <> 5 23 h <> 11

-1 # Intervalos 4 10

Tiempo (s) 6 x

SOLUCIONARIO - Unidad 1 23

Aplicando la regla de tres simple, pero con los intervalos y el tiempo:

Reemplazando el atraso en la fórmula inicial: 7:43 = a:bc - 1:21

& x = 6 . 10 = 15 4

a:bc = 9: 04 & a=9 b=0 c=4

` Tardará 15 segundos.

Clave E

12 Sabemos que:

` a + b + c = 9 + 0 + 4 = 13

-1 # “beep” 145 37

# Intervalos 144 36

Tiempo (s) 20 x

Aplicando la regla de tres simple, pero con los intervalos y el tiempo: & x = 20 . 36 = 5 144 ` Demorará 5 segundos.

Clave A

13 Sabemos: q = 3H - 11 M

2 Dato: q = 0 (coinciden las manecillas) & 30H = 11 M 2

Clave C

14 Adelanta: 4 min cada 3 horas

11 h 10 min " hora correcta 11 h 22 min " hora marcada

& Adelanta: 11 h 22 min - 11 h 10 min = 12 min Luego, aplicando regla de tres: 4 min " 3 horas 12 min " x x = 3 . 12 = 9 h 4

16 Sabemos que:

HM = HR - atraso ; HR = 3:15 Dato:

atraso = 40 min Reemplazando el atraso en la fórmula inicial: HM = 3:15 - 0:40 HM = 2:35 ` Marcará las 2:35. 17 Graficando el enunciado: x 10

5/7 x

0 (H - 2) H (H + 2) 4

H - 2 = 10 H = 12 m. H = 12 m.

Clave D 9h

11 : 10 p.m.

15 Sabemos:HM = HR - atraso; HM = 7 : 43

3 min Atraso Atraso Atraso

` La hora es:

24

18 Graficando el enunciado:

` Empezó a adelantarse a las 2:10 p.m.

Dato:

Del gráfico:

& 4+ 5 x=x 7 4=x- 5x 7 4 = 2x 7 x = 14 h

x

5/4 x

2 : 10 p.m.

2 min atraso

15 min 5h <> 5.60 min

Clave C

H toma 12 valores, es decir habrá 12 posiciones distintas donde coinciden las manecillas. ` 12 posiciones.

Además:

Clave D

Clave B

HR = a:bc & 20 min & 9 h <> 9 . 60 min = 3 . 9 . 60 20 = 81 min <> 1 h: 21 m

24 Intelectum Evolución 4.°

0

H

12

& 5 x + x = 12 4 9x = 12 4 x = 16 h 3 ` La hora es H = 5 x = 5 . 16 = 20 = 6 : 40 4 3 3 4 Clave B

19 Sabemos:

23 Dato:

q = 11 M - 30H 2

q = 1 a & a = 5q      5

Datos: H = 7 q = 100° & 100° = 11 M - 30 . 7 2 310° = 11 M 2 M = 56 4 min 11 ` La hora será: 7 h 56 4 min 11

Clave D

& 60 = 30 . 4 - 11 M 2 M = 10 10 min 11 ` La hora es: 4 h 10 10 min 11

H=5 M = 10

& q = 30 . 5 - 11 . 10 2 q = 95°

Clave B

24 θ

` El ángulo formado es 95°.

θ

Clave C NIVEL 3 (página 48)

21 Para que un reloj vuelva a marcar la hora correcta,

debe adelantarse 12 h. Entonces: 8 min " 1 hora 12 h <> 12 . 60 min " t

4

5

Para el minutero: 360° "60 min 2q " M M = 60 . 2q = q min 3 360 Sabemos: q = 11 M - 30H 2

t = 12 . 60 . 1 = 90 h 8 ` Volverá a marcar la hora correcta luego de 90 h. Clave B 22 Sabemos:

q = 30H - 11 M 2

M= q 3 H=4

Datos:

& q = 11 . d q n - 30 . 4 2 3 144 3

q = 144° & M =

H=4 q = 60°

= 48 min

` La hora es: 4 h 48 min

& 60° = 30 . 4 - 11 M 2 11 M = 60° 2 M = 10 10 min 11

` La hora será: 4 h 10 10 min 11

4

Sabemos: q = 30H - 11 M 2 Datos: H=4 q = 60°

q = 30H - 11 M 2

Datos:

5

Además:  a + q = 360° 5q + q = 360° q = 60°

20 Sabemos:

Datos:

θ

α

Clave D

25 Graficando el enunciado: 2x

x 0 Clave D

H-a 2y

H

H+a

24 h y

SOLUCIONARIO - Unidad 1 25

& x + 2x = 24 ; 2y + y = 24 x=8 y=8

28 Sabemos:

q = 11 M - 30H 2 Datos: q = 90° H=1

Además: x=H-a 2y = H + a

+

& 90° = 11 M - 30 . 1 2

x + 2y = 2H 8 + 2 . (8) = 2 H H = 12 ` Son las 12:00.

120° = 11 M 2 M = 240 min 11

Clave B

` Se forma después de m = 240 min 11

26 Graficando el enunciado: m 10ˈ10ˈ9m 0

6

H 120ˈ

8

Donde: H = 6 h + (m + 10)’ & m + 10 + 10 + 9m = 120 m = 10 H = 6 h + (10 + 10)’ ` H = 6:20 a.m.

29 Del dato inicial nos damos cuenta que el reloj tiene

un atraso de 20 minutos, entonces: En se retrasa 2h 4’ ×5 ×5

24 h

10 h 20’ Entonces, en 10 h se retrasa 20’. 10 h

Clave E

27 α

 

8 : 00 p.m.

11 12 1 10 α 2 9 3 α 8 4 7 6 5

Clave D

30 H r

θ

L 1 hora

H

La hora es: 6 h: (2a)’ (2a)’ <> (12a)° & 12a - a = 10 . 30° 11a = 300 a = 300/11

26 Intelectum Evolución 4.°

6 : 00 a.m.

` La última vez que marcó la hora correcta fue 8:00 p.m.

   H  M a° (2a)’ <> (12a)°

` La hora es: 6 h 2 300 = 6 h 54 6 min 11 11

Clave E

En 1 hora, el horario barre un ángulo de 30°. & q = 30° Además, el radio del horario es r. & r = 8,4 cm & L=q.r L = π . 8,4 cm ; π = 22 6 7 Clave C

` L = 4,4 cm

Clave D

Unidad 1

Inducción - Deducciòn

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 53) 1 Contando los cuadrados por figura y analizando:

& 1.2 F1 : 2 & 2.3 F2 : 6 & 3.4 F3 : 12 & 4.5 F4 : 20 h & 18 . 19 F18 : n & n = 18 . 19 = 342. ` El número de cuadrados es 342.

correspondencia de formación. I

2

& 2 = 22 - 1 & 4=2

3-1

9 puntos = 3(1 + 2)

Clave C

2222 _2222 + 1 i 2

_2222 i 2223 ` L= 2222

7 F1 : 1 = 13

Clave B

Clave C

8 El total de bolitas es:

g

N N I N N D D D I

g

3

& 1 = 21 - 1

I

3

F2 : 8 = 23 F3 : 27 = 33 F4 : 64 = 43 h F23 : 233 = 12 167

Formas de leer

1

3 puntos = 3(1)

h Para 20 bolitas: 3(1 + 2 + 3 + 4 + ... + 19) 3 _19 i_19 + 1 i = = 570 puntos 2 6 L=

Clave C

2

4 18 puntos = 3(1 + 2 + 3)

Clave D

3 Analizando por niveles y buscando la regla de

NIVEL

Clave A

5 Por inducción:

2 Contando los puntos de intersección por figura y

analizando: F1 : 5 & 1 . 5 = 1(1 + 4) & 2 . 6 = 2(2 + 4) F2 : 12 & 3 . 7 = 3(3 + 4) F3 : 21 & 4 . 8 = 4(4 + 4) F4 : 32 h & = 20(20 + 4) F20 : n & n = 20 . 24 = 480 ` El número de intersecciones es 480.

& n = 212 - 1 = 4095 ` Habrá 4095 bolitas.

NN g NN 9 & n = 29 - 1 8 & n = 2 = 256 ` Se puede leer de 256 maneras diferentes. Clave D 4 Analizando por figura y buscando la regla de

correspondencia o de formación: NIVEL n.° de bolitas 1 = 21 - 1 1 2

3 = 22 - 1

3

7 = 23 - 1

4

15 = 24 - 1

h 12

n = 212 - 1

75 # 76 + 74 # 75 = 2850 + 2775 2 2 = 5625

Clave C

9 Por inducción tenemos:

72 A & suma = 2(13)

>

2 4 H & suma = 2(23) 4 6

R V S2 4 6 W S4 6 8 W& suma = 2(33) SS6 8 10 WW T X h R V S 2 4 6 g 20 W S 4 6 8 g 22 W S 6 8 10 g 24 W & suma = 2(103) = 2000 W S h W Sh h h S20 22 24 g 38 W Clave D T X SOLUCIONARIO - Unidad 1 27

10 F1 = 3 = (1 + 1)2 - 1

Por lo tanto: ...5 + ...1 + ...9 = ...5

2

F2 = 8 = (2 + 1) - 1

F3 = 15 = (3 + 1)2 - 1 F4 = 24 = (4 + 1) - 1

:_1015 - 1 i_1015 + 1 iD = _1030 - 1 i 2

h 2

F100 = (100 + 1) - 1 = 10 200

2

_101 - 1 i = 81 & Σcifras = 9 22

2

22

2

1022 -- 11ii == __99 99ii2 == 9801 9801 & & ΣΣcifras cifras == 18 18 __10

100 cifras S1 = 62 = 36 & 3 + 6 = 9

1033999ii2 = 998001 001 & & ΣΣcifras cifras= 27 -11ii = =27 =__999 =998 __10

2

S2 = 66 = 4356

h

& 4 + 3 + 5 + 6 = 18

2

_1030 - 1 i & Σcifras = 30 # 9 = 270

S3 = 6662 = 443 556 & 4 + 4 + 3 + 5 + 5 + 6 = 27

de la fila 3 se observa la siguiente sucesión: 1 ; 3 ; 6 ; 10 2

3

4

  1 1 Su ley de formación es:

Clave C

2 tn = n + n 2

28

Para 1969 , aplicamos inducción: 19691 = ...9

Para la fila 20 le corresponde n = 18.

2

1969 = ...1

2 t18 = 18 + 18 = 171 2

19693 = ...9 19694 = ...1

Entonces:

h 196928 = ...1

F20 & 19 171 171 171 ... 19 20 términos Σ(F20) = 2(19) + 171(18) = 3116

Para 196730, aplicamos inducción: 1

19672 = ...9 19673 = ...3 19674 = ...1 19675 = ...7

REFUERZA PRACTICANDO NIVEL 1 (página 55)

1 1 2

2 & 4 = 3 # b2 l + 2 2 2

19676 = ...9 19677 = ...3 8

1967 = ...1 h & 196730 = ...9 28 Intelectum Evolución 4.°

Clave A

14 La fila 20 (F20) empieza con el número 19. A partir

12 196532 = ...5

1967 = ...7

2

Por inducción:

Clave C

11 S = (666...66)2

Entonces: S1 & 9 # 1 S2 & 9 # 2 S3 & 9 # 3 h S100 & 9 # 100 = 900

Clave E

13 Reduciendo:

2

1 2 3 4

2 & 14 = 3 # b 4 l + 4 2 2

Clave D

6 (95)2 = 9025 & Σcifras = 16 = 1 # 9 + 7

2 & 30 = 3# b 6 l + 6 2 2

1 2 3 4 5 6

(995)2  =  990 025  &  Σcifras  =  25  =  2  #  9  +  7 (9995)2 & Σcifras = 34 = 3 # 9 + 7

2 & 3 # b 20 l + 20 = 310 2 2 1 2 3 4

Clave C

4 +6

1 2

10

&

Para la siguiente expresión: (999...992) # (999...998)   41 cifras 41 cifras

+8

18

&

Clave E

7 92 # 98 = 9016 & Σcifras = 16 = 9 + 7

992 # 998 = 990 016 & Σcifras = 25 = 2 # 9 + 7 9992 # 9998 & Σcifras = 34 = 3 # 9 + 7

2

&

(999...9995)2  &  Σcifras  =  100  #  9  +  7  =  907 101 cifras

17 18 19 20

` Se emplearon 310 palitos.

1

h

& Σcifras = 40 # 9 + 7 = 367 Clave E

...

1 2 3

Para la figura mostrada el total de palitos es: 4 + 6 + 8 + 10 + ... + 102 Entonces: n.° total de palitos= b 4 + 102 l 50 = 2650 2 3 Fig. 1: 1

Fig. 2: 5 Fig. 3: 9

Clave A

+4 +4

Clave C

4 Formamos una suecesión:

10 4

15 5

21 6

7 # N = ...927 (-) 4 # N = ...244 3 # N = ...683

33332 = 11 108 889 & Σcifras = 36 = 9 # 4 h (333...33)2 & Σcifras = 9 # 33 = 297 Clave D

F2 = 1 + 2 F3 = 1 + 2 + 3 F4 = 1 + 2 + 3 + 4 h F40 = 1 + 2 + 3 + ... + 40 = 40 # 41 = 20 # 41 = 820 2

7

El precio del pescado es: 21 + 7 = S/.28 5

& Σcifras = 9  = 9 # 1 & Σcifras = 18 = 9 # 2 & Σcifras = 27 = 9 # 3

9 F1 = 1

h

6

332 3332

=9 = 1089 = 110 889

33 cifras

tn = 4n - 3

Fig.50: 4(50) - 3 = 197

8 32

Clave A

10 S =

Luego: 3 # N = ...683 (+) 7 # N = ...927

S=

10 # N = ...610

S=

Clave A

4

123 454 321 11 111

4

123 454 321 4 11 1112

4

123 454 321 = 4 1 = 1 11 1112

Clave C

Clave A

SOLUCIONARIO - Unidad 1 29

Por inducción:

NIVEL 2 (página 56)

11 F1 = 1 # 5

  999...97 # 999...993    101 cifras 101 cifras

F2 = 2 # 5 F3 = 3 # 5 h

& Σcifras = 9(100) + 3 = 903

F20 = 20 # 5

F2 & 3 + 5 F3 & 3 + 5 + 7 F4 & 3 + 5 + 7 + 9 h F50 & 3  +  5  +  7  +  9  +  ... +  x; x = 2(50) + 1

Entonces: 20

/Fi   =  1  #  5  +  2  #  5  +  3  #  5  +  ...  +  20  #  5

i=1          = 5(1 + 2 + 3 + ... + 20) 20

/Fi =

i=1

5 _20 i_21 i = 1050 2

` Σ cifras = 1 + 0 + 5 + 0 = 6

Clave E

3 = 2(1) + 1 5 = 2(2) + 1 7 = 2(3) + 1 9 = 2(4) + 1

15 F1 & 3

x = 101

Clave B

Por lo tanto: 2 3 + 5 + ... + 101 = b 101 + 1 l – 1 = 2600 2

Clave B

12 Por inducción tenemos: 16       11 - 2 = 9 = 32

[1] & suma = 1 = 13



1 2 H & suma = 8 = 23 > 2 3

111 111 - 222 = 110 889 = 3332 Por inducción: 1111...11 - 222...22 = 33...32

R V S1 2 3 W S2 3 4 W & suma = 27 = 33 SS3 4 5 WW T X h R S1 S2 S3 S Sh S10 T

2 3 4 h 11

3 4 5 h 12

g g g g

2a cifras

(a + b)2 & Σcoef. = 4 = 22 (a + b)3 & Σcoef. = 8 = 23 4

(a + b) & Σcoef. = 16 = 2

Clave C

333333 + 1 = 3 + 1 = 1 444444 4 4 4

Clave A

18 Todas las fracciones se reducen a: 13

34

Clave A

19 2 # 98 = 196 & Σcifras = 16 = 7(1) + 9

h

22  #  998  =  21 956  &  Σcifras  =  23  =  7(2) +9 Clave D

14 97 # 93 = 9021 & Σcifras = 12 = 9(1) + 3

997 # 993 = 990 021 & Σcifras = 21 = 9(2) + 3 9997 # 9993 = 99 900 021 & Σcifras = 30 = 9(3) + 3 30 Intelectum Evolución 4.°

a cifras

Son un total de 136 = 68 fracciones 2 ` M = 68 # 13 = 26 34

13 (a + b)1 & Σcoef. = 2 = 21

(a + b)20 & Σcoef. = 220

a cifras

17 De la expresión:

V 10 W 11 W 12 WW & suma = 103 = 1000 h W 19 W X Clave C

4

  1111 - 22 = 1089 = 332

222 # 9998  =  2 219556 & Σcifras = 30 = 7(3) + 9 h 222...22 # 999...98 & Σcifras = 7(103) + 9 = 730 103 cifras 104 cifras

Clave B

20 2047 = 211 - 1

31 = 3   32 = 9

Entonces: E=

8

33 = 27

1 + _211 - 1 i_211 + 1 i_222 + 1 i

34 = 81

E = 8 1 + _222 - 1 i_222 + 1 i

36 = 729

E = 8 1 + 2 44 - 1 ` E = 8 2 44 = 2 11

37 = 2187 Clave C

NIVEL 3 (página 57)

f(1) = 1 # 2 # 3 + 1 # 2 ' 12   6 2 f(2) = 2 # 3 # 4 - 2 # 3 # 22 2 6 f(3) = 3 # 4 # 5 + 3 # 4 ' 32 6 2 4 5 6 4 5 # 42 # # # f(4) = 2 6 h f(12) = 12 # 13 # 14 - 12 # 13 # 122 2 6

21

(...3) = ...1

35 = 243

38 = 6561 h Analizando el factor: 32001 + 2 = 3 (3) + 2 & (...1)3 + 2 = ...5 Entonces: P = (impar)(impar)(impar)(...5)(impar)... (impar) P = ...5

Clave A

24 Por inducción:

1

n.° de palitos & 3 = 3 (2)(2 – 1) 2

2

f(12) = 364 - 78 # 144 f(12) = 364 - 11 232 ` f(12) = -10 868

1

2

& 9 = 3 (3)(3 – 1) 2

3

h

Clave E

& 18 = 3 (4)(4 – 1) 2

22 Del enunciado, planteamos: a

1. fila

&

1

2.a fila

&

2

3.a fila

&

3

&

n

1

2

3

4

& n.° palitos = 3 (50)(50 – 1) 2 = 3675

h h

1

Luego: 1 + 2 + 3 + ... n = 3003

2

&2=

3 _12 i + 1 2

&7=

3 _22 i + 2 2

2 filas: Clave C

3 filas:

Entonces: 3n = (número impar) Veamos las potencias de 3:

48 49 50

25 1 fila:

23 Sabemos que el resultado de Kn es par si K es par, y

es impar si K es impar.

3

Clave B

n (n + 1) = 3003 2 n(n + 1) = 6006 n(n + 1) = 77 . (77 + 1) n = 77 ` Σ cifras = 7 + 7 = 14

h

h

n.a fila

& 15 =

3 _32 i + 3 2

h SOLUCIONARIO - Unidad 1 31

50 filas:

1 &

2

28

48

N O N I O N C I O N A C I O N T A C I O N O T A C I O N L O T A C I O N P L O T A C I O N X P L O T A C I O N E X P L O T A C I O N

49 50

2i

3 _50 + 50 = 3775 triángulos 2

26

Clave A

E S S F F F U U U U E E E E E R R R R R R Z Z Z Z Z Z Z A A A A A A A A T T T T T T T T T E E E E E E E E E E

EXPLOTACIÓN & 11 letras ` n.° maneras = 211 - 1 = 1024

F1

ESFUERZATE & 10 letras ` n.° maneras = 210 – 1 = 512

Clave A

Clave A

n.° de bolitas

29

1

F2

& 22 + 2(2)(2 - 1)

F3

& 32 + 2(3)(3 - 1)

27 8 + 98 + 998 + 9998 + ...

45 sumandos Expresándolo de otra forma: (10  -  2) +(102  -  2) +(103  -  2) +(104  -  2) + ... + (1045 - 2) (10 + 102 + 103 + ... + 1045) - 2(45) Ordenando:

45 cifras 1 1 1 ... 1 1 1 1 0 90   1 1 1 ... 1 1 0 2 0

Clave B

& 202 + 2(20)(20 - 1) = 1160 Clave D

30

I

43 cifras

` Σcifras = 43(1) + 2 = 45

h F20

C E

L I N

A C E C

U L I N I

N A C E C A

A U L I N I S

1

N A C E C A

2

U L I N I

3

A C E C

n.° maneras de (6 + 6) ! = = 924 6! # 6! leer la palabra

32 Intelectum Evolución 4.°

4

L I

N

5

C E

6

I

Clave C

Unidad 1

Cuadrados mágicos

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 65) 1 Los números son: 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18

El valor de x + y + z es igual a la constante mágica “S”. Luego: 3S = 2 + 4 + 6 + ... + 18 3S = 90 S = 30 ` x + y + z = 30

Clave B

2 Por propiedad:

x+y = 71 & x + y = 142 2

Clave D

6 Por propiedad:

e = 5 + 17 = 22 & e = 11 2 2 También: 7 + a = 5 & 7 + a = 10 & a = 3 2

También: z + w = 47 & z + w = 94 2 ` x + y + z + w = 142 + 94 = 236

Clave C

3 La suma de los números que se ubican en los

vértices es (a + b + c).

20

Luego, el valor de la constante mágica es: S=3#e S = 3 # 11 S = 33 Finalmente: x + a + 17 = 33 ` x = 13

22 - c

a

20 - a

Luego: 4S = 2 + 4 + 6 + ... + 32 4S = 16 # 17 S = 4 # 17 ` S = 68

Clave C

22

7 Los números son:

c

b

21 - b

21

Del gráfico: (20 - a) + (21 - b) + (22 - c) = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 63 - (a + b + c) = 45 ` a + b + c = 18

3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24 ;27 3S = 3 + 6 + 9 + ... + 27 3S = 135 & S = 45 Luego, el término central es: e = 45 = 15 3

Clave A

4 Como nos piden la mayor suma en los vértices, se debe

z

ubicar los números mayores, es decir: 11; 12 y 13. Luego, la distribución es la siguiente: 11 39

6

7

5

9

10 12

y

Del gráfico: x + y = z + 15 42 = z + 15 & z = 27

39 8 13

39

` La suma máxima es 39.

15 x

Clave E

8 En el gráfico, la suma S se encuentra 10 veces y

cada punto 2 veces.

Clave E

5 Los números a distribuir son: 2; 4; 6; 8; ...; 32

La suma de los números ubicados en las casillas sombreadas es igual a la constante mágica.

Luego: 10S = 2(1 + 2 + 3 + ... + 20) 10S = 2 # 20 # 21 2 ` S = 42

Clave A

SOLUCIONARIO - Unidad 1 33

9 Se sabe que:

Además:

3S = 1 + 3 + 5 + ... + 17 3S = 81 & S = 27

x + 5x - 6 = y - 1 2 & y=7

Entonces: e = S = 27 = 9 3 3

` x + y + z = 3 + 7 + 3 = 13

Luego: 13 + 9 + n = 27 22 + n = 27 n=5 ` m # n = 85

13

/

x

1 + 9 + m = 27 10 + m = 27 m = 17

26

También: 36 = 54 + r & r = 18 2

Clave C

11 4S = 1 + 3 + 5 + ... + 31

4S = 256 & S = 64 5 + M + 11 + 29 = 64 & M = 19

z

Del gráfico: = 26 = 26 = 26 = 26

(+)

Finalmente: a + b + c + d + e + f + g + h = 90 - 14 = 76

Clave C

Aplicando el método de las x se tiene: 32

4

6

26

10 22 20 16

P + 21 + 13 + 27 = 64 &P=3

34 Intelectum Evolución 4.°

g

h

26

14 Los números a distribuir son: 2; 4; 6; ...; 32

25 + 21 + 11 + N = 64 &N=7

x+z-2 =x-1 2 & x=3

f

(x + y + z + w) + (2 + 3 + 4 + ... + 13) = 104    (x + y + z + w) + 90 = 104 & x + y + z + w = 14

q = 42 + r = 30 2

También:

a

(x + y + z + w) + (a + b + c + d + e + f+ g + h + x + y + z + w) = 26 # 4

Además:

z - 2 + 2z + 1 = z + 1 2 & z=3

e

x+b+a+w x+c+d+y y+e+f+z w+h+g+z

p = 42 + 54 = 48 2

12 Por propiedad:

y

d

26

Clave A

25 + P + 5 + Q = 64 & Q = 31 ` M + N + P + Q = 19 + 7 + 3 + 31 = 60

26

b

w

10 Por propiedad:

` p + q + r = 48 + 30 + 18 = 96

c

Clave D

18 14 12 24 8

28 30

2

Girando el gráfico 90° en sentido antihorario y comparando con el original. Clave B

26 16 24

2

6

20 12 30

4

22 14 28

32 10 18

26

B 20 12 30

4

A 14 28

8

Finalmente: A = 22 y B = 24 ` A # B = 528

Clave D

REFUERZA PRACTICANDO

7 = D+C & D+C= 7 4 2 2 1 ` A+B+C+D= + 7 =4 2 2

NIVEL 1 (página 67)

1 Aplicando propiedades:

a = 8 + 10 2

& a=9

6 = 10 + c 2

& c=2

b= 6+8+1 & b=5 3 ` a + b + c = 9 + 5 + 2 = 16

7 Los números son: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

El valor de (a + b + c) es igual a la constante mágica “S”. Luego. 3S = 1 + 2 + ... + 9 Clave B

2 Aplicando propiedades:

y = 2 + 12 + 10 3

&y=8

z = 12 + 0 2

&z=6

14 = x + 12 & x = 16 2 ` x + y + z = 16 + 8 + 6 = 30

Clave D

El valor de (a + b + c) es igual a la constante mágica “S”. Luego: 3S = 3 + 6 + ... + 27 3S = 3 b 9 . 10 l 2 S = 45 ` S = a + b + c = 45

Clave E

Clave A

10 Los números son: 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14

4 Aplicando propiedades:

3= z+w & w+z=6 2 x+y & x+y=4 2= 2 ` x + y + w + z = 4 + 6 = 10

El valor de (x + y + z) es igual a la constante mágica “S”. Luego: 3S = 1 + 3 + ... + 17 3S = 92 S = 27 ` S = x + y + z = 27

9 Los números son: 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; 27

& b=1

` a + b + c = 9 + 1 + 15 = 25

Clave A

El valor de (x + y + z) es igual a la constante mágica “S”. Luego: 3S = 6 + 7 + 8 + ... + 14 3S = 90 & S = 30 ` S = x + y + z = 30 Clave C

5 Aplicando propiedades:

x+y & x + y = 16 8= 2 7 = z + w & z + w = 14 2 ` x + y - (w + z) = 16 - 14 = 2 6 Aplicando propiedades:

1 = A+B & A+B= 1 4 2 2

Clave D

Clave B

& c = 15

a = 3 + 13 + 11 & a = 9 3 7 = 13 + b 2

3S = 9 . 10 & S = 15 2 ` S = a + b + c = 15

8 Los números son: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17

3 Aplicando propiedades:

c = 13 + 17 2

Clave B

NIVEL 2 (página 68)

11 Por propiedad sabemos:

3S = 1 + 2 + ... + 9

Clave C

3S = 9 . 10 2 & S = 15 Luego, el término central es: e = S = 15 = 5 3 3 SOLUCIONARIO - Unidad 1 35

y

z

Del gráfico: 5 + x = y + z 5+x=8 ` x=3

5 x

Clave E 12 Por propiedad sabemos:

3S = 2 . 9 . 10 2 & S = 30

Del gráfico: a + b = 10 + c c

12 = 10 + c `c=2

b

Clave B 13 Por propiedades sabemos:

3S = 11 + 13 + 15 + ... + 27 S = 57 Luego, el término central es: e = S = 57 = 19 3 3 Del gráfico, tenemos: 27 + 19 + n = 57 / 23 + 19 + m = 57 n = 11 m = 15 ` m - n = 15 - 11 = 4

Clave B

S = 27

Por propiedad sabemos:

Luego, el término central es: e = S = 60 = 20 3 3 Del gráfico: y + z = 20 + x

20 y

Clave C

17 La suma mágica “S” es:

3S = 4 + 8 + ... 36 & S = 60

x

Luego, el término central es: e = S = 42 = 14 3 3

16 Por propiedad sabemos:

Luego, el término central es: e = S = 30 = 10 3 3

10

3S = 6 + 8 + ... + 22 S = 42

Del gráfico, tenemos: 18 + 14 + a = 42 / b + 14 + 6 = 42 a = 10 b = 22 ` a + b = 10 + 22 = 32

3S = 2 + 4 + 6 + ... + 18

a

15 Por propiedad sabemos:

z

48 = 20 + x ` x = 28 Clave E

14 Por propiedad sabemos:

` x + y + z = 9 + 1 + 11 = 21

Clave C

18 La suma mágica “S” es:

S = 30

3S = 3 + 6 + ... + 27

Por propiedad sabemos:

3S = 3 . 9 . 10 2 S = 45

b = S = 30 & b = 10 3 3 14 2 + a= = 16 & a = 8 2 2 c 14 + & c = 18 16 = 2 ` a + b + c = 8 + 10 + 18 = 36

Luego, el término central es: e = S = 45 = 15 3 3 Del gráfico, tenemos: 27 + 15 + n = 45 / m + 15 + 9 = 45 n=3 m = 21 ` m + n = 21 + 3 = 24

19 La suma mágica “S” es: Clave A

36 Intelectum Evolución 4.°

x = S = 27 & x = 9 3 3 z = 17 + 5 = 22 & z = 11 2 2 5+y 3= & y=1 2

S = 13 + 23 + 21 S = 57

Clave E

Por propiedad sabemos:

24 Sea “e” el término central, aplicamos propiedad

del cuadrado mágico:

x = S = 57 & x = 19 3 3 z = 23 + 27 = 50 & z = 25 2 2 23 + y 17 = & y = 11 2 ` x + y + z = 19 + 11 + 25 = 55

2 + e + 14 = 3x + e + 5x 16 = 8x x = 16 8 ` x=2 Clave C

20 La suma mágica “S” es:

S = 12 + 10 + 20 = 42

2x + 1 = 4x - 2 + x + 1 2

Por propiedad sabemos: c = S = 42 & c = 14 3 3 a = 10 + 6 = 16 & a = 8 2 2 b 10 + 16 = & b = 22 2 ` a + b + c = 8 + 22 + 14 = 44

4x + 2 = 5x - 1 2 + 1 = 5x - 4x &x=3

Clave E

NIVEL 3 (página 70)

x - 2y + 5 2

2x - 2y = x - 2y + 5 2x - x = 5 `x=5

Clave D

22 Por propiedad sabemos:

3a - 6 = a - b + a + b 2 2(3a - 6) = 2a 3a - a = 6 2a = 6 ` a=3

Clave B

26 Por propiedad sabemos: 2 4z = 5z + z 2

8z = 5z + z2 3z = z2 ; z ! 0 z=3

Clave A

23 La suma mágica “S” es:

x + 3 + 2x + 3 + 4z = 4z + x + 2 + 3x - 1 3x + 6 = 4x + 1 &x=5 La suma mágica es “S”: S = x + 3 + 2x + 3 + 4z S=5+3+2.5+3+4.3 & S = 33

15 = S 3 & S = 45

Luego: x + 15 + y = 45 x + y = 45 - 15 ` x + y = 30

y + 5 = 3x + x 2 y + 5 = 3.3+3 2 &y=1 4x - 2 = z + 6 + 3x 2 4 . 3 - 2 = z + 6 + 3.3 2 &z=5 ` x+y+z=3+1+5=9

21 Por propiedad sabemos:

x-y=

Clave C

25 Aplicando propiedad:

Clave B

5y + 5z + x + 3 = S 5y + 5 . 3 + 5 + 3 = 33 &y=2 ` x + y + z = 5 + 2 + 3 = 10

Clave D

SOLUCIONARIO - Unidad 1 37

27 Por propiedad sabemos que la suma mágica “S” es:

4S = 2 + 4 + 6 + ... + 32 4S = 2(1 + 2 + 3 + ... + 16)

29 La suma de los números que se ubican en los

vértices es (a + b + c).

4S = 2 . 16 . 17 2 S = 68

16 - c

a 15

Además: 30 + 12 + 20 + B = 68 &B=6

16 c

b

15 - a

17 - b

17

Del gráfico: 15 - a + 16 - c + 17 - b = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 48 - a - b - c = 42

28 + 14 + D + 4 = 68 & D = 22 C + 14 + 20 + 26 = 68 &C=8

` a + b + c = 48 - 42 = 6

Clave D

30 Como nos piden la mayor suma, en los vértices se

A + 4 + B + 26 = 68 A + 4 + 6 + 26 = 68 & A = 32

deben ubicar los números mayores, es decir 9; 8; 7. Luego, la distribución es la siguiente:

` A + B + C + D = 32 + 6 + 8 + 22 = 68

9

Clave B

23

28 Empecemos por la tercera fila desde arriba:

5 8

8

Para que la suma de los términos de dicha fila sea 34; los dos casilleros en blanco deben sumar 34 - (8 + 8) = 18, y esto solo es posible cuando sumamos 9 y 9. Lo mismo se aplica para la primera columna; luego el cuadrado se completa fácilmente. 8

8

9

8

9

8

9

8

9

9

8

9

8

9

8

` Ambas diagonales contienen en total 6 nueves.

Clave D

38 Intelectum Evolución 4.°

23 3

6

2

7

23

8

9

4

1

` La suma máxima es 23.

Clave E

Unidad 2

Operadores matemáticos

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 77)

a b b l T b l = a + ab + b 3 4 & 2∆3 = b 6 l T b 12 l = 6 + 6 . 12 + 12 = 90 4 3

1 Hacemos: x = 3x + 6



   x + 1 = 3x - 1 & 10 = 3 . 10 + 6 = 36 10 = 36 = 35+ 1 = 3 . 35 - 1 = 104

&

2 Hacemos: a b

c













= a+b - b+c a-b b-c

   = - 3

3 Hacemos:

n = n2 + 4 1 = 12 + 4 1 = 5

 /

1 = 5 = 52 + 4 = 29 Finalmente: 1 -

n = 2n - 1   4 = 2.4-1   4 =7 4 = 7 =2.7-1   = 13

4 = 29 - 13 = 16.

ab = a2 - ab (x + 2)(x - 1) = 4x (x + 2)2 - (x + 2)(x - 1) = 4x x2 + 4x + 4 - x2 + x - 2x + 2 = 4x 6-x=0 ` 6=x

5 Hacemos:

a[b = (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab 111[52 = 4 . 111 . 52  37[13 = 4 . 37 . 13 Nos piden N = 111[52 = 4.111.52 37[13 4.37.13 ` N = 3 . 4 = 12 3

6 Como: 2a # 3b = a + b

Clave B

Clave C

Clave E

2

&M=4#9 M = 2 . 2 # 3 . 3 = 23 + 32 . . a b ` M = 17

a = 6 b = 12 Nos piden: (2T3) + 4 Clave E  90  + 4 = 94 8 Como: x - 2 = x(x - 2), hacemos un cambio de variable: x - 2 = m & x = m + 2 Luego: m = (m + 2)m Nos piden x - 1 = (x - 1 + 2)(x - 1)     x - 1 = (x + 1)(x - 1) = x2 - 1 9 Como:

Clave D

4 Hacemos:



Clave E

    14 10 = 14 + 10 - 10 + 8 14 - 10 10 - 8 8     = 24 - 18 = 6 - 9 2 4

7 Como:

Clave C

Clave B

3x + 1 = 6x - 1, hacemos un cambio de variable: 3x + 1 = m & x = m - 1 3 m 1 Luego: m = 6 b -1 3 l m = 2m - 3 Nos piden: 2 = 2#2-3 = 1 = 2 . 1 - 3 = - 1

10 Como:

Clave B

a∇b = ab + b - a & 5∇x = 5x + x - 5 = 6x - 5 7∇4 = 7 . 4 + 4 - 7 = 25 Nos piden: 5∇x = (7∇4)∇10 6x - 5 = 25∇10 6x - 5 = 25 . 10 + 10 - 25 6x = 240 x = 40 Clave C 2 11 Como: m * n = m + 3. 2 Observamos que el operador solo depende del primer valor. & B = 4 * (5 * (6x ...)) C 2 4 Clave A B=4*C= + 3 = 11 2 12 Como: a # b = a2 - 1, si a $ b a # b = b2 - a, si a < b 2 & 4 # 17 = _ 17 i - 4 pues: 17 2 4 4 # 17 = 17 - 4 4 # 17 = 13 Piden: E = 5 # 4 # 17   E = 5 # 13 = 52 - 1 ; pues 5 $ 13 ` E = 24

Clave C SOLUCIONARIO - Unidad 2 39

& &

6 2 * 5 = 2(2) + 5 - 3 = 6

a = (a - 1)2

13 Como:

x

2 * 5 = 6 = 62 + 1 = 37

= 64 = (9 - 1)2

7 3*2 = 2(3) + 2 = 8

= 9 = (4 - 1)2

x



& x = 4 = (3 - 1)2 ` x=3

1

8

Clave D

14 Como:

4*5 = 2(4) + 5 = 13 (3*2) * (4*5) = (8) * (13)   = 2(8) + 13   = 16 + 13 = 29

REFUERZA PRACTICANDO

9 -2

15 =

6 _15 i - 15 = 15 5

3 _10 i - 8 _4 i 2 10 # 4 = -1

Clave B

2-1 4 4*3= +3 = 7 4-3 3 E= 7

4

23 = 2 + 3 + 1 = 6

Clave C

Clave D

Clave C



5 (2*3) = 2(2) + 5(3)

 = 4 + 15  = 19 (19*1) = 2(19) + 5(1)   = 38 + 5   = 43

40 Intelectum Evolución 4.°



  ((x + 1)2 + 1)2 = 25  (x + 1)2 = 4 & x + 1 = 2     x = 1

Clave B

Clave D

Clave D

NIVEL 2 (página 80)

x = x +3 x = (x + 2) + 3 & x = x + 5 7 + 2 = (7 + 5) + (2 + 2) = 12 + 4 = 16 4 # 3 + (1 + 2) = 15 3 # 2 + (2 + 1) = 9 Piden: (32 * 25) * 12 [3 # 2 + (2 + 5)] * 12 13 * 12 = 1 # 3 + (1 + 2) = 6

12 15 # 16 = 60

6

` 2 + 4 + 1 = 6 + 10 + 8 = 24

2

11 3 # 2 + (2 + 8) = 16

16 = 1 + 6 + 1 = 8 5

Clave A 2

9 (((x + 1) + 1) + 1) = 676

10

45 = 4 + 5 + 1 = 10 3

= 4

2



2 10 # 4 =

3 2*1= 2+1 = 3

-3

4 = 42 = 16

NIVEL 1 (página 79)

1

= 3

3 = 32 = 9

Si: x + 2 = m & x = m - 2 m = 6(m - 2) - 3 = 6m - 12 - 3 m = 6m - 15 Piden: 8 + 9 (6 . 8 - 15) + (6 . 9 - 15) 33 + 39 = 72

-3

1  1 1

x + 2 = 3[2(x - 1) + 1] = 6x - 3

Clave C

1 1

-2

x = 2x + 1 x + 2 = 3 x -1

Clave C

4

12 # 12 = 36 4 12 20 # = 60 4 14 # 20 = ab = 70 4 7+0=7

Clave B

Clave A

Clave E

13 5x - 4 = 3  4 + 8

5x - 4 = 3(5 # 4 - 4) + 8 5x - 4 = 48 + 8    5x = 60  x = 12



14 3 x + 1

  x = x + 1



3 =4& 3 =5 2 2 =2 -1=3 Clave E

22

+ 6 = 3x - 6

17

P = P(P - 1) + 3 2 = 2(2 - 1) + 3 = 5

8 =8 10 + 9 + 4 - 6

Clave C

1 T 2 = (1 + 2)(12 - 1 # 2 + 22) = 9 9 T 9 = (9 + 9)(92 - 9 # 9 + 92) = 1458

23 a # b = d a b + 35b n b-1

4a

2

a # b = a + 35 4a

Clave C

Solo depende de a, entonces: 5 # :5# #5# (...) -D 1442443 B

Clave D

2 5 # B = 5 + 35 = 3 4 (5)

24

2

2

2

x = x + 2x + 1

2

Clave A

- 1 = a(a + 2)

= a(a + 2) + 1 = (a + 1)2

3 =3+1=4

Clave D

3 = 4 =4+1=5 2 = 22 - 1 = 3

Clave B

Clave A

x = x - 1 = x(x + 2)

2

a =a+1

8 * 2 = 3(8 + 2) + 1 = 31   31 T 30 = 31 - 30 = 31 - 15 = 16 2 Clave A 20 x + 1 = (x + 1)(x + 2)    x = 42 = (5 + 1)(5 + 2) = 5 + 1    x = 6     x = 6 = (1 + 1)(1 + 2) = 1 + 1     x = 2 & x = 2

21

a a

19

NIVEL 3 (página 81)

Clave D

2

4 = 4(3) + 3 = 15 18 2 T 1 = (2 + 1)(22 - 2 # 1 + 12) = 9

-8

17 - 8 = 34 - 8 = 26

2 = 5 = 5(4) + 3 = 23 4 + 2 = 23 + 15 = 38

Clave A

6 =6

= 36 = 35 - 4 = 31

15 P(2) = P b 4 l 2 P(2) = P(4) - P(2) 2P(2) = P(4) P _4 i =2 P _2 i 16 F(x + 2) = 2(x + 2) - 1 = 2x + 3 F(-1) = 2(-1) - 1 = -3 ` F(x + 2) + F(-1) = 2x

2

= (5 + 3) = 64

4 =4

x+1 =x-4 10 = 3(10) + 6 = 36 10

2

3 + 2 5 = 10

` 25

3 +

3

- 2 =4+5-3=6

n = 2 n + 1 = 3n

Clave B

n = 3n - 1 2 5 3 b l-1 5 3 = 5-1 = 4 = 2 3 = 2 2 2 4 = 2(4) + 1 = 9 4 = 9 = 3 (9) - 1 = 13 2 & 2 13 = 13

Clave B

26 6 = 0

& A = 10 = 1 SOLUCIONARIO - Unidad 2 41

x - 3 = -2 x = 1 # 1 & -2 = 2(1) - 2 = 0 x - 3 = -5 x = -2 # -1 & -5 = 2(-2) - 1 = -5 E=5+0-5=0

27 6  = 11 - 5 = 11 - 9 = 2

6 +6=8 6 + 6 = 8 = 13 - 5 = 13 - 9 = 4 4 + 6 = 10 , se observa que cada , suma 2. Con 120 operadores: 2 # 120 = 240 + 6 = 246



Clave B

28 m T n = (m + n) m ∆ n

(m T n)2 = (m + n)2(m T n) mT n = (m + n)2 -1T 2 = (-1 + 2)2 = 1 & M = 1exp = 1

Clave B

29 A = 1 @ B

= 3(1)2 - 20 = 3 - 20 = -17 -1

+

x - 3 = -1 x=221 &

Clave B

+

-2

-1

2003 circunferencias veces

5

=5

Clave A

1002 1002 & 1002 1002 = 1002 - 1002 = 0 1002 1002 & E = (base)cero = 1 33 a * b = (a + b)(a + b)

-5

Clave B

E = ((a + b) * (a + b)) & (2(a + b))2(a + b)

= 2(2) + 1 = 5

Unidad 2

Clave B

2

5 + 2 5 = 35 5 ( 5 + 2) = 5 # 7 5 =5&

32 Uno de los exponentes es:

2

30 E =

31

...

Clave B

E = (4(a + b)2)

(a + b)

Clave D

Conteo de figuras

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 88)

2 Observamos que esta figura se repite 5 veces:

1 Observamos que esta figura se repite 4 veces: 3

& 2.3 .3 = 9 2

2

1

1 1

3

Toda la figura:

2

& 9 # 4 = 36 triángulos. Toda la figura: Con 1 número: 1; 2; 3; 4 = 4 1 2 Con 2 números: 12; 34; 13; 24 = 4 3 4 & 4 + 4 = 8 triángulos

2 5

1 3

4 6

Los triángulos con 1 número ya están contados arriba. Con 3 números: 135; 136, 234; 534; 236 = 5

30 + 5 = 35 ` Hay 35 triángulos.

& 36 + 8 = 44 ` Hay 44 triángulos. Clave E 42 Intelectum Evolución 4.°

2

& 3 . 4 = 6 triángulos 2 & 6 . 5 = 30 triángulos

Clave B

3 Hallaremos el número total de triángulos. 2

*

*

1

* 1

2

3

4

8

10

& 5 . 6 . 2 = 30 triángulos 2

6

1

Número total de segmentos = 10 + 10 + 6 + 6 ` n.° de segmentos es: 32.

Clave E

9

Existen 5 diagonales las cuales están divididas en 3 segmentos.

Clave D

= 3.4 = 6 2 & 6 . 5 = 30 segmentos.

4

1

1

1

2

...

horizontal 10 . 11 = 55 2

9 10

2 vertical 2.3 = 3 2

& Segmentos horizontales = 55 . 3 = 165 & Segmentos verticales = 3 . 11 = 33 ` Hay 165 + 33 = 198 segmentos.

4#5 = 10 2 3#4 = 6 2

3

3

2

5

Ahora hallaremos el número de triángulos sin (*) (área sombreada) 9 sin (*) = 3 . 4 + 2 = 8 & 9 con (*) = 30 - 8 = 22 2 ` Hay 22 triángulos con (*).

4

2

1

2

3

Además el pentágono tiene 5 lados & 5 segmentos ` Existen 30 + 5 = 35 segmentos Clave D

10 Analizando por partes: 1

Clave C

5 triángulos

4 triángulos pues el triángulo más grande ya se contó.

2 3 4

5

5

3

5

1 3

2

3

4#5 = 10 2

3 3

Clave B

3

2

` Existen 5 + 4 + 6 = 15 triángulos. 11 Aplicando las fórmulas:

6

1

2

3

1

2 3 4

5

1

2 3 45 6

7

3 #4 = 6 2 5#6 = 15 2 7#8 = 28 2

` Total de triángulos: 28 + 15 + 6 = 49.

3 2 1

Clave C

1

En la figura sombreada existen: 6 triángulos.

4

` Total de cuadriláteros: 10 + 4 . 3 = 22

4

2

3

1

2

3

Clave A

C = n.° de cubos = ` 3 . 4 j = 36 2 3 T = n.° de paralelepípedos = ` 3 . 4 j 2   = 216 ` T - C = 216 - 36 = 180. 2

Clave B 12 Aplicando la fórmula para el paralelepípedo.

7 3

1

1 2 3 2

3#4=6 2 2#3=3 2

2 1

2

3

4

1

2

3

4

3 (3 + 1) 4 (4 + 1) 4 (4 + 1) 1 . . n.°deparalelepípedos = = 600 2 2 2 ` Luego, el número total de triángulos será: 3 (3 + 1) 4 (4 + 1) 4 (4 + 1) .  = 600 . 6 + 3 + 1 = 10 2 2 2 Clave A ` Hay 600 paralelepípedos. Clave E SOLUCIONARIO - Unidad 2 43

Con 3 zonas: 2 Con 4 zonas: 3 Con 6 zonas: 1

13 Analizamos por partes. 2#3 2 2#3

2#3 2 2#3 2

2#3 2

2#3 2

2

n.º de cuadriláteros convexos: 16

Con 1 zona: 6 Con 2 zonas: 4 Con 3 zonas: 0

Área sombreada por fórmula: n.° de = 2 . 3 . 3 = 9 2 Área no sombreada por fórmula: n.° de = 2 . 3 . 3 = 9 2 Ahora analizamos la figura total 1

2

3

4

Clave E

3 n.° de triángulos:

` Hay 10 triángulos. 4 n.° de cuadriláteros:

Con 1 zona: 5 Con 2 zonas: 12 Con 3 zonas: 10 + 4 = 14 Con 4 zonas: 0 Con 5 zonas: 0 Con 13 zonas: 1 Hay 32 cuadriláteros.

= 4 . 5 = 10 2 Pero tenemos que restarle los sectores circulares repetidos con todos en la primera parte. & n.° de

= 10 - 3 - 3 = 4

n.° de

` Hay 9 + 9 + 4 = 22 sectores circulares. 14 Aplicamos la fórmula para ángulos: 1 2

5 n.° de triángulos:

12

En total hay 12 triángulos.

8

8 9

9

6 En 6 ABCE & 4 . 5 = 10 paralelogramos

10

9 (9 + 1) n.° de B = = 45 2 Ahora como nos piden solo ángulos agudos, tenemos que restarle el ángulo recto incluido en el conteo. & n.° de B agudos = 45 - 1 = 44 ` n.° de B agudos es 44. REFUERZA PRACTICANDO

2 4 . 5 = 10 paralelogramos En 6 CDEF & 2 En 6 ABDF & 4 . 5 = 10 paralelogramos 2 ` 10 + 10 + 10 = 30 paralelogramos

7 9 ABC & 3 . 4 = 6 triángulos

2 9 EBF & 1 triángulos ` 6 + 1= 7 triángulos

Clave C

NIVEL 1 (página 90)

1 n.° de cuadriláteros:

8

Con 1 zona: 1 Con 2 zonas: 4 Con 3 zonas: 2 Con 4 zonas: 0 Con 5 zonas: 4 Con 6 zonas: 0 Con 7 zonas: 1 ` Hay 12 cuadriláteros.

2 n.° de cuadriláteros convexos:

Con 1 zona: 4 Con 2 zonas: 6

44 Intelectum Evolución 4.°

Clave E

Clave A

Con 1 zona: 6 Con 2 zonas: 4 Con 3 zonas: 1 Con 4 zonas: 0 El triángulo mayor: 1

Clave A

3

...

Clave C

Clave B

Clave D

Clave A

b d a c e g h i j k f l n o p q m r u s t

1 letra: a; b; c; d; e; f; g; h; i; j; l; m; n; o; q; r; s; u = 18 3 letras: pqu; dst; ejk; ojp = 4 4 letras: afgh; chij; mnho; bcdi; ghni; lmnr = 6 8 letras: chijmnop = 1 ` 18 + 4 + 6 + 1 = 29

Clave C

9

17 B

e d h

* b

f g

F

i * a

E

* c

Con 1 letra: a; c = 2 Con 3 letras: aic; dbf; dbg; hbf; heb; ebg = 6 Con 5 letras: ihgbe = 1 ` 2 + 6 + 1 = 9 triángulos 10 Total de cubos, por fórmula:

5 # 3 # 3 + 4 # 2 # 2 + 3 # 1 # 1 = 64 En total hay 64 cubos.

A

C

D

Segmento AB & 3 segmentos Segmento AC & 3 segmentos Segmento FC & 3 segmentos Segmento BD & 3 segmentos Segmento BC & 1 segmentos Segmento FD & 1 segmentos & n.° de segmentos = 3 + 3 + 3 + 3 + 1 + 1 = 14 n.° de segmentos 14 ` = =7 2 2

Clave B

Clave D

Clave D

NIVEL 2 (página 91)

11 n.° de cuadriláteros = 9 # 10 # 3 # 4 = 270

2 2 intercepción = 3 # 4 # 3 # 4 = 36 2 2 Luego: 2 # 270 - 36 = 504

12 Por cada círculo:

18 b a

Clave A

4#5 2

#

Clave D

3 # 4 # 14 # 15 = 10 # 6 # 105 2 2 = 6300

Clave C

14 La estructura es: 4 # 6 # 10.



Por fórmula: 10 ×  4 ×  6 +  9  ×  3 × 5 + 8 × 2 × 4 + 7 × 1 × 3 = 460 cubos 15 n.° ángulos = 24 # 25 = 12 # 25 = 300

2

16 Triángulos grandes: 73 # 2

e f

n.° de triángulos: 1 letra: a; b; d; e; f; g = 6 2 letras: ab; de, ef; ga = 4 12 3 letras: gcf; bcd = 2 n.° de cuadriláteros: 1 letra: c = 1 2 letras: gc; cf; bc; cd = 4 12 3 letras: gcd; bcf = 2 5 letras: abcgf; gcdef; gabcd; fcbde = 4 7 letras: abcdefg = 1 ` n.° de triángulos = 12 n.° de cuadriláteros = 12

En los 5 círculos: 56 # 5 = 280

13 Por fórmula:

c g

8 # 7 = 56

Hay 280 sectores circulares.

d

Clave A

e j

Clave C

Triángulos chicos: 72 # 2 & Total = 73 # 2 + 72 # 2 = (73 + 72) # 2 = (145) # 2 = 290 Clave A

Clave B

19 b f k

a c g l

d h m

i n

o

1 letra: a; b; c; d; e; f; g; h; i; k; l; m; n; o = 14 3 letras: ejk = 1 4 letras: abcd; befg; dghi; imno; gklm; lfgh = 6 8 letras: bfglmekj = 1 9 letras: abcdefghi; dghiklmno = 2 15 letras: 1 ` n.° total de triángulos = 25 Clave E SOLUCIONARIO - Unidad 2 45

24

20 B



A

   n.° de triángulos en 9 ABD = 4 C    n.° de triángulos en 9 BCD = 12    ` n.° de triángulos = 4 + 12 = 16

1 2 3 4

1

1

21 Dividimos de la siguiente manera:

1.a parte:

B

E

2F

3C

4

A

C E

F

23



4 # 5 # 4 # 5 = 10 # 10 = 100 2 2 Cuadriláteros sin (*): 12 + 12 + 4 + 2 = 30 & 100 – 30 = 70 28 En la figura hay 61 cuadriláteros.

En cada cuadrilátero hay 2 diagonales. & n.° diagonales = 2 # 61 = 122.

29 Son:

2 + 3 + 2 = 7 asteriscos.

d

h

Clave C

Clave C

Clave B

Clave E Clave A

30

e

3 triángulos = 3 # 1

g

3 letras: bce; bed; cde; cbd = 4 5 letras: abcde; gcdbe; fcbde; hcbde = 4 6 letras: cbdeah; edcbfa; bdcefg; cbedgh = 4 7 letras: fgbcdeh; abcdefg; fcbdeha; abcdehg = 4 ` n.° polígonos = 4 + 4 + 4 + 4 = 16.

Clave C

46 Intelectum Evolución 4.°

6

27 Total de cuadriláteros:

Clave B

a c

5

En cada hay dos ángulos agudos & n.° ángulos agudos = 2 # 210   = 420

32

& Se cuentan 30 triángulos de esta forma.

f

4

26  La cantidad de triángulos es:

& Se cuentan 30 triángulos de esta forma.

b

3

21 # 20 = 21 # 10 = 210 2 31

` 248 + 30 + 30 = 308 triángulos.

= 1 triángulo Clave D

1 2

Clave A

Analizando una figura básica: & Se cuentan 8 triángulos Existen 31 figuras básicas & 31 . 8 = 248 triángulos B

= 6 triángulos

21 + (21 + 6) + (21 + 2 # 6) + (21 + 3 # 6) + (21 + 4 # 6) = 21 + 27 + 33 + 39 + 45 = 165 Hay 165 triángulos.

...

D

3

2

= 15 triángulos

25 De la figura:

En el triángulo mayor: 3(3) = 9 triángulos En el triángulo pequeños: 2(3) + 3 = 9 triángulos

En total: 15 + 12 + 9 + 9 = 45 triángulos.

A1

5

= 28 triángulos

` n.° de triángulos = 28 + 15 + 6 + 1 = 50 triángulos.

En el triángulo mayor: 3(5) = 15 triángulos En el triángulo menor: 3(4) = 12 triángulos

2.a parte:

D

4

3

7.8 2 5.6 2 3.4 2 1.2 2

1

NIVEL 3 (página 92)

22

7

2

1

Clave D

D

23 4 5 6

6 triángulos = 3 # 2 Luego, en total hay: 3 # 10 = 30 triángulos.

Clave C

Unidad 2

Fracciones

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 99) 1



2

R R V !V S 8 4 - 2, 8 W S 76 - 26 W 9 W' 1 W' 1 = S 9 R = S 9! S 3, 7 + 11 W 10 S 34 + 11 W 10 S S 9 9 W 9 W T X RT VX S 76 - 26 W 9 W ' 1 = 10 . 10  = S 9 S 45 W 10 S W 9 T X R = 100 ` R = 100 = 10 3 9 9 Clave C Por ser homogéneas: a1 = a2 = a3 = ... = a11 = a Efectuando la suma: 10 + 20 # 11 b 2 l 10 + 11 + 12 + ... + 20 = = 15 # 11 a a a



1.er día: x + 20 & queda: 4 x - 20 5 5

2.° día: 2 b 4 x - 20 l - 20 3 5 & queda: 1 b 4 x - 20 l + 20 3 5 Luego: 1 4 x - 20 + 20 = 80 l 3b5

7 Ventas

     Queda 1 x + 4   & 2x-4 3 3 3 2 x - 4   & 2 2x-4 b l l 5b3 5 3

Clave D

H



4 Graficando tenemos:

1 2 2x - 4 + 4 & 0 lF 2<5b 3 & 1 < 2 b 2x - 4 lF - 4 = 0 2 5 3

h3 = 54 cm

H = altura de donde se deja caer la bola de billar. Según el enunciado tenemos: h1 = 3 H, h2 = 3 h1, h3 = 3 h2 4 4 4 3 3 3 27 & h3 = ( ( H)) = H 4 4 4 64   h3 = 27 H 64   54 = 27 H 64 ` H = 128 cm

Clave E

    4x = 200 5      x = 250 6 De los cajamarquinos:

Clave C

2 + 3 + 5 = 972 7 13 11 1001 & n.º cajamarquinos = 1001 ` n.º arequipeños = 1010 - 1001 = 9

3 h2

Clave A

5 x: n.° de hojas del libro

Se nota que: a > 20 (fracción impropia) 3 # 5 # 11 = N máx. a Para que el resultado sea máximo, a debe ser mínimo. ` a = 33

h1

C = capacidad inicial del depósito & 2 ( 1 C + 40) + 84 = 1 C + 40 5 3 3   84 = ( 1 C + 40) 3 5 3 ` C = 300 L



Precio S/. 50

Clave A

S/. 40 S/. 30

1 2 2x - 4 = 4 lF 2<5b 3 2x - 4 = 20 3     2x = 24 & x = 36 3 Entonces, en total recaudó: 16 # 50 + 12 # 40 + 8 # 30 = S/.1520

Clave D 8 Si B lo hace en x horas , en una hora avanzan:



  1 + 1 = 1 10 x 6



  x + 10 = 1 10x 6 6x + 60 = 10x  60 = 4x  x = 15 h



Clave E SOLUCIONARIO - Unidad 2 47

9 Kike solo: x días & 1 de obra en 1 día.

p = 66 4

x

Daniel solo: 3x días & 1 de obra en 1 día. 3x

p = S/.16,5 14 Total de dinero: S/.360

El avance diario es: 1 +1 = 1 3x x 90

Blusa: 3 8

# 360 = 135 & Le quedan: S/.225 Sandalias: 3 # 225 = S/.135 5 & Le quedan: S/.90

4 = 1 3x 90  x = 120 Daniel demora: 3x = 3 # 120 = 360 días 10 No se vendieron:

Clave B

REFUERZA PRACTICANDO

2

b

examen.

4

 4p = 60 + 6 48 Intelectum Evolución 4.°

x - 16

5 5 V - 20 000 = 2 V 6 3

V3 = V1 + V2 = 500 + 400 = 900 = 300 3 3 3



x 16

16 = 2 (x - 16) & x = 24 + 16 3 ` x = 40 m

Por dato:

b Clave D

Clave D

Del enunciado: Sea x la longitud de la varilla:

Clave D

5 3 3 V = 100 & V = 400 2 4 2 3

5 p: precio por kilogramo de café tostado. 4 p = 12 + 12 10 5

a = 3 (N - a) & 5a = 3N - 3a 5    8a = 3N ` a =3 N 8



x = 4 . 60 5

13 1 kg (crudo) <> 4 kg (tostado)

1 + 7 # 3 # 5 # 4 # 10 5 6 4l 3 5

Clave A 3 Sea a lo resuelto y N el total de preguntas del

En 2 días avanzaron: 2 . 1 = 1 10 5 Solamente Beatriz: 1 obra –––––– 60 4 obra –––––– x 5

Piden: x = 100 & x = 1 300 3

Clave D

= b 1 + 7 l # 40 = 43 # 40 = 14 1 3 40 3 3 5 8

Clave A

1 + 1 = 1 12 60 10

12 3 V1 = 100 & V1 = 500

1A= 3 B & A= 3B 5 10 2

1

11 En un día juntos avanzan:

x = 48 días

Clave A

NIVEL 1 (página 101)

1 x+ 1 x = 8 x 5 15 3 Piden: 8x 15 = 8x = 4 2x 15 . 2x 15

Clave D

Clave A

5 - 2 V = 20 000 & V = 120 000 L 6 3l

Piden: V = 120 000 = 40 000 L 3 3 6 Sea J la cantidad total de Jorge. J - J + 1 cJ - J m 3 3 3 J- J+ J- J 3 3 9

` J = $108

Clave C

= J - 12

= J - 12 J = 9 # 12 = 108 Clave A

7 Sea N el número de personas.

2 . 30 = 20 30 - 20 = 10 3 3 . 10 = 6 10 - 6 = 4 5 ` Quedan 4 litros.

Si 2 N son mujeres & 1 N son varones. 3 3 3 Varones casados: # N = N 5 3 5 Del enunciado: N +6 = N & 6 = 2 N 15 5 3 ` N = 45

Clave A

14 Áreas sembradas:

Pasto: A 2

Clave A

Café: A # 1 = A 2 3 6

Del enunciado se tiene:

Maíz: 3 b A - A - A l = A 5 2 6 5 El área que queda sin sembrar es:

x - 1 x - 1 b x - 1 x l = 48 3 5 5

A - A - A - A = b1 - 13 l A = 2 A 2 6 5 15 15

4 x - 1 4 x = 48 & 4 x 1 - 1 = 48 5 3b5 l 3l 5 b

Piden:

8 Sea x el número de entradas.

2A 2A 15 = 15 = 4 = 1 24A 24 6 A+A+ 2 A 2 6 15 30

4 2 x = 48 & x = 48 $ 15 = 90 5 b3 l 8 9 Sea A el número de aves.

Clave C

15 Sea el fardo dividido en tres partes iguales:

4A+ 5 A- 4A +8=A 6b 5 l 5

Clave D

L

4 A + A + 8 = A & 29 A + 8 = A & 8 = A 5 6 30 30 ` A = 8 # 30 = 240

a

Clave D

10 Si: 1 x = 2 y & x = 2y

b= 2 # L = 2 L 5 3 15

5 5 x-y 2y - y y = =1 = 2x + y 2 _2y i + y 5y 5

11 Sea V la cantidad de vasos.

a + b = : 4 + 2 D L = 34 L 21 15 105 Además, del gráfico se tiene: L = 34 L + 710 105

Clave A

V - 1 V - 30 = 5 V 3 8

L - 34 L = 710 105

V b1 - 1 - 5 l = 30 & V = 30 3 8 24 ` V = 720 vasos 12 Mujeres son: 40 - 12 = 28

Niñas son 1/4(28) = 7 Piden: x = 21 28



13 Total: 48 litros

Se retira

Queda

3 . 48 = 18 8

48 - 18 = 30

a

a= 4 # L = 4 L 7 3 21

NIVEL 2 (página 101)

Por lo tanto, (x - y) es 1/5 de (2x + y).

710

71 L = 710 & L = 1050 105 ` a + b = 1050 # 34 = 340 m 105

Clave D

16 Sea x el sueldo:

Clave C

x + x - 1 b x + x l = 6 x - 1 $ 6 x = 6 x b1 - 1 l 5 5 5 5 5 5 5 5

Clave A



  = 24 x (es lo que queda) 25 ` Disminuye en 1/25.

Clave D

SOLUCIONARIO - Unidad 2 49

17 Sea a lo que se extrae:

23 Sea:

a = 1 (1400 - a) 4

x la cantidad total. a la cantidad que perdí. b la cantidad que recupero.

5a = 1400 & a = 280 Piden: a + a 4 ` a + a = 5 a = 5 (280) = 350 L 4 4 4

Clave D

NIVEL 3 (página 102)

18

a

B

C 1 R

4 3 A

D

P

Piden: 42 - 1 (a - b) = 42 - 1 : 2 _60 i - 1 _60 iD = 39 6 10 6 5

a.1 A> = 2 =1 A > A.a 8 B

C

B

R C

A

D

Clave D

19 Sea a un número impar.

f=

20



100a < 83a + 166   17a < 166   a < 9,76 {1; 3; 5; 7; 9 } 3 5 7 9 11

x - a = y & x2 - ax = y2 - ay y-a x   x2 - y2 = ax - ay   (x + y)(x - y) = a(x - y)    a = x + y

21

3 (100) 5 3 (60) 5 60 cm

36 cm

5 - 1 $ 5 = 15 (queda de alcohol) 4 4 Luego: 15 - 1 15 = 45 - 15 = 30 = 2,5 12 12 4 3b 4 l Clave C

25 E = 16 + 1616 + 161616 + ... + 1616...16

25

Clave B

2525

252525

Clave C

2525...25

16 _101 i 16 _10101 i 16 _1010...01 i E = 16 + + + ... + 25 25 _101 i 25 _10101 i 25 _1010...01 i

E = 16 _1 + 1 + ... + 1 i 25 25 veces E = 16 # 25 = 16 25

3 (36) 5

22 Sea V el total de agua y a lo tomado.

21,6 cm

Clave A

V - a = a & a = 3V 5 2 3 Lo que habré tomado en total (x) es: x = a + 1 (V - a) = 3 V + 1 V - 1 # 3 V 4 4 4 5 5 x = 14 V = 7 V 20 10 ` Me habré tomado los 7 del total.    Clave D 10 50 Intelectum Evolución 4.°

` Quedan 2,5 litros de alcohol.

_ b b b ` b b b a

100 cm

Clave B

24 Litros de alcohol: 5 L

Analizando los litros de alcohol:

a < 0, 83 a + 2 100

a < 83 & a + 2 100 a = {1; 3; 5; 7; 9} &



a = 2 (x - a) &a= 2x 3 5 1 b = (a - b) 3 b = a = 1 b 2 xl = 1 x 4 4 5 10 Del enunciado: x - a + b = 42 x - 2 x + x = 42 5 10 7 x = 42 & x = 60 10

26 Como es fracción propia se cumple:

x + 1 1 2x - 1 21x Por dato: x 1 7 & 2 1 x 1 7 ` 3 + 4 + 5 + 6 = 18

Clave B

Clave E

Unidad 2

Tanto por ciento

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 108)

6 Total de personas: 16

n.° de mujeres: 25% 16 = 25 . 16 = 4 100

1 PV = PC + G



PV = 270 + 10%PV + 40% 270 PV - 10%PV = 270 + 40 # 270 100    90% PV = 378   90 . PV = 378 100  ` PV = S/.420

2 Primera blusa (se gana un 20%)

Pv1 = Pc1 + g 60 = Pc1 + 20% . Pc1 60 = 120% . Pc1 & Pc1 = S/.50

n.° de hombres: 16 - 4 = 12 Llegan: x mujeres a la fiesta

Clave E



G: ganancia

` Llegaron 4 mujeres.

3 Sea: A; n.° total de aves

A = b.h 2

Luego: La base aumenta en un 20% b’ = 120%b

b

La altura disminuye en 10% h’ = 90%h

h' A' b'

Clave B

En total quedan: 60%A + 32%A = 92%A aves & Piden: 100%A - 92%A = 8%A

Clave D

a2 - b2 de 6000 (a - b)% # (20%) # b 1 l # a-b ( a - b) ( a + b ) ( a - b) ( a + b) (a - b) 20 . 6000 . . 1 . 100 100 (a - b) (a - b) (a + b) 20 . 6000 = 12 100 . 100 Clave A

5 Precio del costo inicial:

15 # 5 = 75 Descuento del 20% PC = 80% 75 = 60 & PV = PC + G 80 = 60 + G & G = 20 Luego en cada articulo se gana S/. 4. Piden: 4 # 100% = 25% 16

h A

n.° de gallinas: 40%A otras aves: 60%A Se vende 20% de gallinas & Quedan : 80%(40%A) : 32%A gallinas

4 Del enunciado planteamos:

Clave E

7 Inicialmente:

Segunda blusa (se pierde un 20%) Pv2 = Pc2 - P P: pérdida 60 = Pc2 - 20% . Pc2 60 = 80% . Pc2 & Pc2 = S/.75 Luego: Pc1 = Pc2 = 125 (costo total) Pv1 = Pv2 = 120 (venta total) ` Se perdió S/.5 soles.

& n.c de hombres = 12 = 60% total 16 + x & 12 = 60 16 + x 100    20 = 16 + x & x = 4

Clave D

& El área será: A’ = b\ . h\ 2 (120% b) (90% h) A’ = 2 A’ = b . h . 120 . 90% 2 100 A’ = A . 108% ` El área varía en: A’ - A = 108%A - 100%A = 8%A 8 Del enunciado planteamos:

Clave A

& (70%) # (120%) # 1 # 2000 20 & 70 # 120 # 1 # 2000 100 100 20

` 7 . 12 = 84 9 Total de asistentes: 7500

n° de hombres: H & H + M = 7500 n° de mujeres: M Luego se retiran: 12% de hombres & quedan H’ n° de hombres: H’ = 88%H

Clave D

... (1)

87% de mujeres & quedan M’ n° de mujeres: M’ = 13% M 13%M & Del dato: % = M\ .100% = = 12% total 13%M + 88%H SOLUCIONARIO - Unidad 2 51



& M = H ; &  M = 12k ...(2) 12 13    H = 13k ...(3) (3) y (2) reemplazando en (1): 13k + 12k = 7500  25k = 7500    k = 300 & H = 3900  /  M = 3600 Piden: Se han retirado 12% H = 12 # 3900 = 468 100

12 Área del triángulo inicial: A = b . h

Base del triángulo: b Altura del triángulo: h

h A

Luego: La base disminuye en 20% b’ = 80%b & A’ = bl . hl 2 Como A’ = A

Clave A

10 Precio de venta inicial: PV = PC + G



... (1) Incremento del PV en un x%: x% PV + PV Descuento del 20%: 20% [x%PV + PV] & Precio de venta final: PV’ = PC + G PV’ = (x%PV + PV) - 20%[x%PV + PV] = PC + G ...(2) De (1) y (2): PV’ = PV (x%PV + PV) - 20%(x%PV + PV) = PV     (1 + x%) - 20%(1 + x%) = 1       80%(1 + x%) = 1        80 (1 + x ) = 1 100 100        4(1 + x ) = 5 100        4(100 + x) = 5 . 100   400 + 4x = 500     4x = 100    x% = 25%

Clave B

11 Perímetro inicial (2p’)

2p = 4a Área del círculo (A) 2 A = pb a l 2

a a 2

a

a

A

a

Dato: Perímetro aumenta 20% 2p’ = 120% (4a) .

a’ A’

4a’ = 120%4a a’

2

a’ = 120%a & A’ = p d a\ n 2

2

A’ = p b 120% a l 2 2

A’ = p b a l . 144% 2 A’ = A . 144% & A’ - A = 144%A - 100%A = 44%A

52 Intelectum Evolución 4.°

h’

  bl hl = bh 2 2

A’ b’

(80%b)h’ = bh



  h’ = 100 h 80





  h’ = 125%h

& la altura varía en: h’ - h = 125%h - 100%h Aumenta = 25%h



13 Total de alumnos, ciclo semestral: T

Clave D

Alumnos UNI: 40%T  & Alumnos no UNI: 60%T Mujeres = 60%(40%T) Mujeres = 10%(60%T) Hombres = 40%(40%T) Hombres = 90%(60%T) Nos piden: nc de Mujeres . 100% %= Total 60% (40% T) + 10% (60% T) . 100% = T

Clave A 14 Aumento sucesivo (5%; 18%; 26%) equivale a z% a’ 2

a’

b

` % = 30%

a’

El nuevo perímetro (2p’)

2

Clave E

& = (105%) # (118%) # (126%) = 105 . 118 . 126 100 100 100 = 156,114% & z% = 156,114% - 100% z% = 56,114% & z = 56,114 Descuento sucesivo (4%; 15%; 20%) & = (96%) # (85%) # (80%) = 96 . 85 . 80 100 100 100 = 65,28% & w% = 100% - 65,28% w% = 34,72% & w = 34,72 Piden: 5(56,114) + 2(34,72) = 350,01

Clave D

REFUERZA PRACTICANDO

5 Descuentos: 20% & 80%N

30% & 70%(80%N)

NIVEL 1 (página 110)

Aumento: 50% & 150%(70%(80%N)) 150 # 70 # 80 # N 100 100 100 = 0,84N = 84%N Luego, equivale a un descuento del: 100% - 84% = 16%

1 Por dato:

Hombres Mujeres Bailan 25 25 No bailan 30 20 Total 55 45 I. % mujeres = 45 # 100% = 45% 55 + 45

II.  n.° hombres bailando = 25 = 50%    (n.°personas que no bailan)



III. n.° personas bailando = 50 = 100%    (n.°personas que no bailan)

6 Ins. + mano = 70%Pv



7 Primer artículo:

` VVV Clave C 2 Para que el n.° de peleas



adicionales sea mínimo, todas deben ser victorias. Sean x peleas más: 80%(100 + x) = 75 + x   8(100 + x) = 10(75 + x)   800 + 8x = 750 + 10x      50 = 2x      x = 25

3 n.° personas sentadas





PV = PC + G PV = PC1 + 20%PC1 PV = 120%PC1 Segundo artículo: PV = PC + G PV = Pc2 + 10%Pv PC2 = 90%PV Por dato:     PC2 = PC1 + 60 Pv + 60 & 90%PV = % 120 Pv = 60 15   PV = S/.900

8 PC = x

Clave A 4 Gasté: x & no gasté: 69 - x





Clave D

= 70%(70) = 49 Además:   H + M = 70 80%M + 10%H = 49 Despejando: H + M = 70 8M + H = 490 Resolviendo: H = 10; M = 60

. 40% Ins. Entonces: 140%Ins. = 70%Pv   Pv = 2(Ins.) ` Ins = 50%Pv

  x = 38 (69 - x) 100 100x = 38(69 - x) 138x = 38(69) x = 38 # 69 = 19 138 & No gasté: 69 - 19 = S/.50

Clave A





NIVEL 2 (página 111)

Clave A

PV1 = PC + 15%Pc S G

PV1 = 115%PC Segundo artefacto: PV2 = PC - 5%Pc S P PV2 = 95%Pc



Por dato:      PV = PC + G 115%PC + 95%PC = 2PC + 580     10%PC = 580   PC = S/. 5800

Clave C 12 A: cantidad inicial de dinero

A - 200 = 80%A   20%A = 200    A = 1000 Le quedan: 1000 - 200 = 800

Para 1200 le faltan: 1200 - 800 = S/.400 13 A = 21 Clave D

Clave B

  12H = 38M   6H = 19M & H = 19k      M = 6k

Clave B

11 Primer artefacto:

Clave A

1.a librería: 90%x 2.a librería: 85%x 90%x - 85%x = 15     5%x = 15 x = 15 # 100 = S/.300 5 Clave E 9 Primer descuento: PV1 = 90%x Segundo descuento: PV2 = 90%(90%x) = 1620    0,81x = 1620       x = S/.2000 10 12%H = 38%M



Entonces: x(25k) = 19k   x = 19 # 100% 25   x = 76%

Clave E

# 800 = 16,8

1000 B = 7 # 132 = 154 6 5 C = 7 # 3500 = 25 100 A B & V B>A>C &F ` VVVF

14 Aumento:

Clave D

PC + 25%PC = 125%PC = A Descuento: A - 12%A = 88%A = 88%(125%PC) = 110%PC ` Utilidad: 110% - 100% = 10%

Clave B

SOLUCIONARIO - Unidad 2 53



15  PC = 182 ' 130% = 140 1

NIVEL 3 (página 112)

 PC2 = 182 ' 70% = 260 PCtotal = 140 + 260 = 400 PVtotal = 182 # 2 = S/.364 Se perdió: 400 - 364 = S/.36

16 Sean x huevos en total.

21 Costo unitario del artículo C:

99 12 & 828C = 828 # 99 = 6831 = PVB 12 Para los 60 artículos B: PVB = 115%PVA 6831 ' 115% = 5940 = PVA Para los 20 artículos A: PVA = 110%PCA 5940 ' 110% = S/.5400 = PCA

Clave D

n.° huevos rotos = 4%x Además: 5%(x- 4%x) = 36 5 96x = 36 & x = 750 100 b 100 l Clave A



17  PC = 240 ' 120% = 200 1

800 - 296 = 504 S/.800 & 30% dscto. & S/.560 S/.560 & x% dscto. & 504 x . 560 = 560 - 504 100 & x% = 10%

Clave B 18 I. Descuentos sucesivos del

20% y 30%: 100% - 80 # 70 = 44% 100 100 II. Aumentos sucesivos del 20% y 30%: 120 # 130 - 100% = 56% 100 100 III. A: cantidad inicial de dinero. 1.a partida: A - 50%A = 50%A 2.a partida: 50%A - 20%(50%A) = 40%A 3.a partida: 40%A + 80%A = 120%A Ganancia: 120%A - A = 20%A ` FVF Clave C 19 Se rompen: 4% de 1000 = 4 # 1000 = 40 100 Están defectuosos: 5% (1000 - 40) = 5 # 960 = 48 100 ` n.° huevos útiles = 1000 - 40 - 48 = 912

20 %H = 75%; %M = 25%

23 Vcono = 1 Ab # h

Clave C

54 Intelectum Evolución 4.°

Clave B

3 1 Vcono = p R2h 3 De esta fórmula omitimos las magnitudes invariables y las constantes quedando: Vcono = R2



Sea: R = 10 Vinicial = 102 = 100  Vfinal = (10 + 1)2 = 121 Por lo tanto el volumen aumentó en: 121 - 100 # 100% = 21% 100 Clave D



Clave B

   H = 3k; M = k   3k + 60 = 65%(3k + k + 200) 5(3k + 60) = 13(k + 50) 15k + 300 = 13k + 650   k = 175 ` n.° inicial personas = 4k = 4(175) = 700

Clave E

22 Costo final:

 PC2 = 240 ' 80% = 300 PCtotal = 200 + 300 = 500 PVtotal = 2 # 240 = 480 Se perdió: 500 - 480 = S/.20



24 Costo del TV: A

  PV = 130%A  PVfinal = 75%(130%A)   PV = PC - P

n: n.° de artículos vendidos. Los respectivos ingresos son: I1 = nP I2 = 120%nP Por condición del problema: 120%nP = (n + x%n)80%P  120 = (1 + x%)80  1,5 = 1 + x%   x% = 0,5  ` x% = 50% Clave D 26 Precio blusa: B Precio pantalón: P Brenda: 80%B Carmen: 90%P Pero: Brenda: 90%B Carmen: 80%P 90%B - 80%B = 2 & B = 20 90%P - 80%P = 5 & P = 50 Entonces, pagaron: Brenda: 90%B = 18 Carmen: 80%P = 40 ` Diferencia de pagos: Clave B 40 - 18 = S/.22 27 Sal = 15% # 20 = 15 # 20 = 3 100   20%(20 - x) = 3    20 (20 - x) = 3 100    20 - x = 15   x = 5 Clave C b h # 28 A∆ =   constante 2 = 120% # 80% = 120 # 80% = 96% 100 ` Disminuye = 100% - 96% = 4% Clave E

 32,50 = A - 75 # 130 # A 100 100 & A = 1300 ` PVfinal = 75 # 130 # 1300 100 100   = S/.1267,5

1/2 2 29 3M # R   constantes 4   (25%)1/2 # (120%)2 5 # 120 # 120% = 72% 10 100

` Disminuye = 100% - 72% = 28% 30 A∆ = 99% # 101%

Clave E

25 Entiéndase ventas como el n.°

de artículos vendidos. Precio de venta 1: P Precio de venta 2: 80%P



Clave A

99 # 101% = 99,99% 100 ` Disminuye  = 100% - 99,99% = 0,01% Clave D

Unidad 2

Magnitudes proporcionales

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 118) 1 Gráficamente:

28 obreros

18 días

28 obreros 8 días

28 + a obreros 7 días

5

Se incorporan “a” obreros

Terminan 3 días antes

28 . 8 + (28 + a)7 = (28 + a) = 28 + a = a=

28 . 18 4 . 10 40 12

6

A # C = cte & 81 # 256 = A # 9 B2 82 42 81 # 16 = A # 3 64 16 A = 27 # 4 A = 108 A3 # C2 = cte & 23 # 122 = 43 # 62 B 4 B 8 # 144 = 64 # 36 2 B B =4 B = 16

Clave B 2

6 obreros

24 días

6 obreros 8 días

8 obreros x días

7

Precio = cte Pasajeros # distancia 30 = x 2 # 60 5 # 12 x=5#3 x = 15

Se incorporan 2 obreros más

6 . 8 + 8 . x = 6 . 24 6+x=6.3 6 + x = 18 x = 12 Clave D 3

18 obreros 20 días 18 obreros 5 días 8h/d

8h/d

9 A IP B & A # B = cte.

Clave A

24 días

8 h/d

10 + x obreros 7 días 10 h/d

Clave C

30 # n = 12 # 15 n=6 m # 10 = 12 # 15 m = 18 a # 1 = 12 # 15 a = 180 ` m + n + a = 204

2 10 A DP B & A = cte B a2 = 82 150 24 a2 = 64 & a2 = 400 & a = 20 150 24

Clave B

Clave A

2

Se contratan x obreros Se termina 7 días antes

10 . 10 . 8 + (10 + x) 7 . 10 = 10 . 24 . 8 (10 + x) 7 = 14 . 8 10 + x = 2 . 8 10 + x = 16 x= 6

Clave A

P1 P = 2 36 64 P1 P2 P1 + P2 420 = = = 6 8 14 14 P1 P2 = = 30 6 8

Entonces: P1 = 180; P2 = 240

18 . 5 . 8 + (18 + x) 12 . 9 = 18 . 20 . 8 (18 + x) 12 = 15 . 2 . 8 (18 + x) = 5 . 2 . 2 18 + x = 20 x=2

10 obreros 10 días 8h/d

Pago = cte losetas

18 + x obreros 12 días 9 h/d Se contratan x obreros Se entrega 3 días antes

4    10 obreros

8

Clave E

122 = 162 b 96 144 = 256 & b = 9 # 6 & b = 54 96 b Clave C

` a + b = 74

Clave D SOLUCIONARIO - Unidad 2 55

2

11 En OP: 12 = a

8 10 a = 15 En la curva PQ: a . 10 = x . 15   15 . 10 = x . 15  x = 10 ` x + a = 25



12 A DP B & A = K

6 = 27 B x 18 x=4 y = 27 10 18 y = 15 ` x + 2y = 4 + 2(15) = 34

13

B

A

x + 20

x

Clave B

Clave C

C

D

VA = 150 & VB = 150 VD = 50 & VC = 50 VB # d B = VC # d C 150x = 50(x + 20) 3x = x + 20 2x = 20 x = 10 ` La rueda C tiene 30 dientes 14 A DP B; si B # 8 (en particular B = 8)

n.° de obreros n.° dedías 10 25 50 x (n.° de obreros)(n.° de días) = constante  10 . 25 = 50 . x ` x = 5 días 3 DP  Peso 80 kg 60 kg

150

50

Clave E

5

Clave D

Clave E

NIVEL 1 (página 120)



IP n.° de pintores n.° de horas 1 16 4 x (n.° de pintores)(n.° de horas) = constante   1 . 16 = 4 . x ` x = 4 horas Clave E

56 Intelectum Evolución 4.°

Clave A

n.° de trabajadores n.° de horas 6 15 5 x (n.° de trabajadores)(n.° de horas) = constante  6 . 15 = 5 . x ` x = 18 horas



A=2.8 A = 16 A IP B; si B $ 8 (en particular B = 8) Si B = 8; A = 16 & hallamos A para B = 32 16 . 8 = A . 32 A=4 ` Si A = 2; B = 1 entonces cuando B = 32; A = 4

1

Clave B

 Costo S/.240 x

Peso = constante Costo    80 = 60 240 x ` x = S/. 180 4 IP

Si A = 2; B = 1 2 = A 1 8

REFUERZA PRACTICANDO

IP



DP n.° de horas n.° de bancos 9 15 x 20 n.°de horas = constante n.°de bancos       9 = x & x = 12 horas 15 20

6 Del enunciado planteamos:

A DP B2 & A2 = constante B     122 = 32 ` x = 2 4 x 7 Del enunciado planteamos: A IP B & A . B = constante  8 . 9 = x 4 ` x = 12 8 Del enunciado planteamos:

A = constante B 12  3 = 3x ` x = 8 27 8

A DP 3 B &





Clave C

Clave D

Clave E

3

Clave B

9 Del enunciado planteamos:

2 A DP B & A = constante B 52 = 152 ` x = 27 3 x

16 Del enunciado planteamos:

A = constante ; B = constante C -5 B2 + 4 424444 3 1 4 4 44 2 4 4 44 3 1 4 4 4 4

2

10 Del enunciado planteamos:



A IP B & A . B = constante • 12 16 = x 4 • 12 16 = 16 y    x = 24   y = 9 ` x + y = 24 + 9 = 33

NIVEL 2 (página 121)

Clave E

Clave B

11 Del enunciado planteamos:

A . C2 = constante B A

8

9

B

16

x

C

6

4

5

x

B

2C

48

C

C

2

D

2

3





A

B

B

Clave A

1 A - 36  & A . B = (A - 36) bB + 4 B l 1 B + 1 B    A . B = (A - 36)B b1 + l 4 4  ` A = 180

14 Del enunciado planteamos:

a. b = constante 5 1 a 5/7 1/4 & 7 49 = 4 x ` x = 400 b 49 x

15  



A

B

  

B

2

y

Primero hallamos el valor de y, utilizando la expresión (2): y 2 C 81 49 = 81 - 5 49 - 5  y = 1 Finalmente hallamos el valor de x, utilizando la expresión (1): 16 = x ` x = 10 22 + 4 (1) 2 + 4

900 - 90



S

900



Clave C

1260

& 900 - 90 = 1260 900 x

x     ` x = S/.1400

Operando: A = constante C2 Luego: 2A 2 = constante B C A

36

B

2

C

3

x

x & 36 = 2 2 2 2 2 3 1 / 3 _ i _1/2 i 1/3 1/2

` x = 1/36

19 Del enunciado planteamos:

Clave E

Clave C

A = constante (C = cte.) B2 C . 1 = constante (B = cte.) A

Clave B

Sabemos que: (n° de dientes)(n° de vueltas) = constante    100 . 30 = 60 . VB   VB = 50 vueltas por minuto ` En 15 minutos dará: 50 . 15 = 750 vueltas

Clave D

G: gasto; S: sueldo; A: ahorro

18 Del enunciado planteamos:

A . B = constante A

x

G

& 5.C.2 = x.2.3 2C 48 ` x = 40

13 Del enunciado planteamos:

16

G = constante ; S & S=G+A G=S-A

Clave E

A . C . D = constante B A

A

17 Del enunciado planteamos:

2 2 & 8.6 = 9.4 16 x ` x=4

12 Del enunciado planteamos:

_2 i

_1 i

Clave D

R = constante S & R . T = constante S RT = constante 4 R 4/3 48 & 3 . 9 = 48 . 75 3 14 x S 3/7 x 7 T 9/14 75 ` x = 30 Clave A SOLUCIONARIO - Unidad 2 57

20 Del enunciado planteamos

A . B = constante





A B



A B

x%A 25%B

26 Sabemos:

` La variación 200%A - 100%A = 100%A NIVEL 3 (página 122)

nuevamente

20 . VA = 80 . 1 ` VA = 4 vueltas

Clave E 27

21 Del enunciado planteamos:



3 3 3 p.63 • 1602.3 = 1352m   • 1602.3 = 2 4 2 4 10

   m = 2 ` m . p = 2 . 125 = 250 22 Del gráfico planteamos: A = constante B



23

    p = 125

n.° de hombres 2 3

h/d 5 8

M . N = constante • 60(b - 1) = 45 . b b=4 • 45 . b = a(b + 2) 45 . 4 = a(4 + 2) a = 30 ` a + 5b = 30 + 5 . 4 = 50

58 Intelectum Evolución 4.°



C VC VD

Vi: vueltas del engranaje • 80.120 = 60 . VB VB = 160 & VC = 160

Clave A

28 Sabemos:

(n.° de vueltas)(n.° de dientes) = constante • VB . dB = VA . dA 240 . 15 = VA . 45 VA = 80 • VB . dB = VC . dC 240 . 15 = VC . 60 VC = 60 ` Exceso = 80 - 60 = 20 vueltas      Clave B

29 Del enunciado planteamos:

nivel 65 75

` x + 2y = 4 + 2 . 15 = 34



80 dientes 60 dientes

20 dientes 40 dientes

Clave B



P = constante ; P: precio del tubo 2 L     L: longitud del tubo Tenemos 2 tubos cuyos precios son P1 y P2: 4l

&

Clave E

25 Del gráfico planteamos:



• VC . 20 = VD . 40   160 . 20 = VD . 40 ` VD = 80 vueltas



_días i_n.c de hombres i_h/d i = constante nivel     & 4 . 2 . 5 = x.3.8 65 78 ` x = 2 días Clave A 24 Del gráfico planteamos: A = constante B y • 27 = • 27 = 6 18 10 18 x  y = 15    x = 4





DP días 4 x



B





IP

VB

Clave A



Clave E

y • 50 = 36    • 50 = 25 12 25 x   x = 18     y = 24 ` x + y = 18 + 24 = 42 IP

A VA

A.C3 = constante B2



(n.° de dientes)(n.° de vueltas) = constante   20 . VA = 80 . VB      1: para que los puntos coincidan



& A. B = x%A 25%B     x = 200

Clave B

9l

P1

(4,) 2

=

P2

(9,) 2

&

P1 16 = P2 81

` La relación de precios: 16 Clave E 81 30 Del gráfico planteamos: Magnitudes directamente proporcionales: A = constante (Gráfica recta) B 8 = a 12 18   a = 12 Magnitudes inversamente proporcionales: AB = constante (Gráfica curveada) a . 18 = b . 36 12 . 18 = b . 36 b=6 ` a + b = 12 + 6 = 18 Clave C

Unidad 2

Orden de información

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 131)

Clave E 6 Con los datos del enunciado llenamos el cuadro de

doble entrada.

Mara Luisa Irma

Clave A

4

José

Pedro

Luis

Juan

  

  

  

9

30

  

  

` El cumpleaños de Mara es el 30 de septiembre. Clave A 7 Con los datos del enunciado llenamos el cuadro de Biología

Ing. Civil

Clave B 8 Con los datos del enunciado llenamos el cuadro de

Roxana

Profesora

Rosa

Odontóloga

doble entrada.

Patricia

Ana Claudia Karina Sara

                ` Sara es abogada y Ana es profesora.

Clave D

Clave D 9

Q

R

N

Representamos la información del Gerardo problema.

M

` “Q” se ubica entre N y P.

Ing. Textil

                  ` Ricardo estudia Biología en la San Marcos.

Clave E

P

Representamos la información del problema.

Daniel Julio Ricardo

Abogada

Representamos la información del Milagros problema. Patricia Ahora analizamos Elena las alternativas: A) Falso Juana B) Falso C) Falso D) Verdadero E) Falso ` Juana es más baja que Roxana

VILLARREAL

doble entrada.

Ahora analizando las alternativas: A) Falso B) Falso C) Falso D) Falso E) Verdadero

Física

Química

La Salle

San Agustín

Guadalupe

doble entrada.

  

  

  

  

  

Gerson

` Gerson se sienta junto y la izquierda de Abelardo.

5 Con los datos del enunciado llenamos el cuadro de

  

Abelardo

Manolo

Clave D

Juana Rosa Ana

  

Arqueóloga

3

Representando la información del problema tenemos.

7

UNMSM

2

Diciembre

     Caso 1 Caso 2 D D 6.° Representamos la B C 5.° información del E E 4.° problema. C B 3.° A A 2.° F F 1.° ` En ambos casos “D” vive en el último piso.

Septiembre



UNI



Enero

1 Existen 2 casos:

Matemática



` Ana enseña Química y Rosa trabaja en el Guadalupe.

10

Clave E

Ivan

Representamos la información del problema.

Cynthia Leo Gellmy

SOLUCIONARIO - Unidad 2 59

Luego:

` Miguel es boliviano y la esposa de Julio es colombiana.

I. Verdadero II. Verdadero III. Verdadero ` Todas son verdaderas 11

Representamos la información del problema.

NIVEL 1 (página 134)

Clave E

1 Con los datos del enunciado planteamos

4.° 3.° 2.° 1.°

Brasil Perú

Colombia

Chile

EE.UU.

` La respuesta es: el presidente brasileño.

Clave B

Camila Eduardo Beatriz Andres Ariel Daniel

Ingeniero

Médico

Abogado

Profesor

Lima

Ica

Huancayo

Chimbote

doble entrada.

   

   

   

   

   

   

   

   

` El profesor vive en Chimbote.

` Menor puntaje Daniel y mayor puntaje Camila.

Clave B

3 Karla Elvis Gloria Alicia Rosa Paola

Clave D

13 Con los datos del enunciado llenamos el cuadro de







Ingeniería



Tercero

Economía

Segundo

Historia

Lima



Arequipa

Chiclayo

doble entrada.



























` La alternativa correcta es: FVF

Manzana

Ciruelo

Naranja

Clave D

Palto

14 Con los datos del enunciado llenamos el cuadro de

doble entrada.

` La afirmación correcta es la alternativa es C.

Clave C

Bolivia

Colombia

Alberto







Miguel







Manuel - Oscar

Julio







Pedro

Esposa de Julio







Esposa de Miguel







Esposa de Alberto







60 Intelectum Evolución 4.°

Clave B

4

` El tercero estudia ingeniería y vive en Chiclayo.

Panamá

Clave E

2

12 Con los datos del enunciado llenamos el cuadro de

Primero

Alejandro Daniel Carlos Benancio

` Daniel vive en el tercer piso.

Ecuador

Moisés Henry Toño Pilar

Clave B

REFUERZA PRACTICANDO

5

Carlos

` Son correctas: II y III

Clave E

6

12

Amara

Hernán Peter Miguel Rubén

Peter Carla Douglas

` Las proposiciones verdaderas son: I; II; III.

Clave B Azul

Verde

      ` El carro de Pedro es Rojo.

Mirtha

` Ximena está sentada frente a Mirtha.

Canario

         ` Julio tiene un canario y el dueño del perro es Fernando.

Julia Elena Ruth Peta

                ` La abogada es Ruth y la odontóloga es Julia.

Clave E

9









C









D









Clave A

15 Profesor

B

Actor



Contador

David



Condori

Manuel



Quispe

José



Mamani

Víctor

A

Samuel













Ingeniero

Médico

Abogado

Hugo













  

  

  

Carlos













` David es humilde y Víctor es A.

Clave A

10

Bruno César

` Samuel se apellida Quispe y su ocupación es contador.

Clave A

` Bruno es médico.

Clave C

16 Rímac

Moto

Microbús

Sandra













Blanca













Vanessa













Lima

J. María

NIVEL 2 (página 135)

11

Diana (muñeca) María (rompecabezas)

Luisa (pelota) Carla (peluche)

` Luisa tiene la pelota.

Clave C

Bicicleta

Alberto

Clave D

14 Profesora

Perro

Fernando Julio Luis

Ximena André

Clave C

8 Gato

Anaís

  

Nutrición

Rojo

Jorge Pedro Raúl

Clave E

13

Odontología

7

Abogada

` Son verdaderas: I

` Sandra vive en Rímac y se desplaza en microbús.

Clave D

SOLUCIONARIO - Unidad 2 61

17 Con los datos del enunciado planteamos:

22 Con los datos del enunciado planteamos:

7.° Luis 6.° Jorge 5.° José 4.° 3.° Cecilia 2.° Ana 1.° ` Las afirmaciones verdaderas son: I; II y III

Pía

` Las proposiciones verdaderas son: I y II.

Carlota

Estela

Angela

Frida Clara Bertha

Ana

Clave B

NIVEL 3 (página 137)

Perro

Tortuga

Cocina

Ana

Elsa

Ada Beatriz Claudia Dora Emma

Bertha

Diana

` Diana se sienta al lado de Elsa y Bertha. 62 Intelectum Evolución 4.°

Clave C

     

      Clave D

26

21 Con los datos del enunciado planteamos:

Carmela

Loro

                        ` Antonio es defensa derecho.

Doris

` Doris está sentada junto a Bertha y Ana.

Gato

Antonio César Elmer David Fredy Beto

Elena

Arq.

Clave D

Delant. I.

20 Con los datos del enunciado planteamos:

Clave A

25

                    ` Beatriz compró el refrigerador.

Lavadora

` Iván vive en Cusco y estudia educación.

Medio

Arquitectura

  

Microondas

Derecho

  

Cantante

Educación

  

Refrig.

Tacna

  

   

Pintora

Cusco

  

                            ` La actriz es Bety y Carla tiene el loro.

Ana Bety Carla Doris

Def. I.

Lima

19

  

Clave E

24 Baile

Clave E

` Doris está sentada frente a Frida.

Delant. D.

Ingeniero

Blanca

Doris

` La afirmación correcta es: Miguel es obrero.

Mario Luis Iván

Clave D

Frida

Televisor

Obrero

   

23 Con los datos del enunciado planteamos:

Actriz

Fútbol

   

Mía

Teo

Def. D.

Básquet

   

Leo

Aída

18

   

Liz

Luz

Clave A

Miguel Carlos Jorge Richard

Sam

     Clave E

27

Mayo

Noviembre

2000

1999

1998

Marisol













Rosario













Patricia













` Patricia nació un noviembre de 1998. Clave C

Arquero

  

Del. I.

  

Del. D

Surco

  

                        ` Blas es delantero izquierdo.

     

     

Def. D.

Lince

         ` Paola es ecuatoriana.

Miraflores

Chile

Ecuador

Colombia

28

Mónica Paola Rita

Clave E

Clave C

30

Ántero Blas Claudio Darío Elías Federico

Medio

    

Agosto

    

Def. I.

               ` Bernardo es el maquinista.

Maquinista

Alberto Bernardo Camilo Darío Elmo

Despachador

Portero

Chofer

Almacenero

29

Clave D

SOLUCIONARIO - Unidad 2 63

Unidad 3

Sucesiones x = 10 + 3 = 13 y = 26 + 11 = 37   ` x + y = 50

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 147)

-1 ; 1 ; 4 ; 9 ; 17 ; 29

1

+2

+3 +1

` x = 29

+2

+8

+12

+3

+4

9

+2 +1

` x = 17 A

+3 -2

D B,C

+1

+4

+0

+3

-4

+5

H,I

K,L

N,Ñ Letra O

Clave A

2 ; 5

4

+3

; 11 ; 23 ; 47 ; 95 ; x +6

+12 +24 +48 +96

#2 #2 #2 & x = 95 + 96 = 191 

#2

   

Clave B

6 Analizamos la sucesión:

3 ; 7 ; 15 ; 31 ; . . . . 24 - 1

25 - 1

-

26 - 1

6

& Término que sigue: 2 - 1 = 63

Clave C

7 De la sucesión:

9 . 32

16 . 42

25 . 52

+ 5

Clave C

+7

+9

+ 11

1 ; 5 ; 4 ; 10 ; 7 ; 17 ; 10 ; 26 ; x ; y +3

+3

-2

   Clave D

-8 ` x = 244

+0 +0

+8

+18 +64 +148

+18 +46 +84

+18 +28 +38

   Clave B

11 El triángulo sombreado gira en forma horaria

alternando primero un lugar; luego 2 lugares; 3 lugares y luego 4 lugares. El punto verde gira en forma horaria.     Clave A tn = 95 = 3(32) - 1 tn = t32 ` n = 32

Clave C

2

13 t1 = 3 # 1 + 1 = 4

t2 = 3 # 22 + 1 = 13 t3 = 3 # 32 + 1 = 28 t4 = 3 # 42 + 1 = 49 h tn = 3 # n2 + 1

   Clave A

14 Se cumple:

Clave A

REFUERZA PRACTICANDO

= 44 + 25 = 69

8

-3

-6

(20 - 2a) - 5 = 11x - (2a + 40) 15 - 2a = 11x - 2a - 40  55 = 11x & x = 5

15 ; 19 ; 28 ; 44 ;

&

+0

t2 = 3(2) - 1 t3 = 3(3) - 1 t4 = 3(4) - 1

2 . 3 + 1 7 . 3 + 1 22 . 3 +1 67 . 3 + 1

& 67 # 3 + 1 = x ` x = 202

4 . 22

+8

12 t1 = 3(1) - 1

2 ; 7 ; 22 ; 67 ; x

23 - 1

-4

-4

#2    Clave C

5 De la sucesión:

22 - 1

-1

6 ; 14 ; 14 ; 14 ; 32 ; 96 ; 244

G    J   M E,F

+3 -5

` x=2 10

+5     Clave C

2 ; 10 ; 13 ; 12 ; 8 ; 2 +8

   Clave A

2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 12 ; 12 ; 17

2

3

+5

Clave C

+3

64 Intelectum Evolución 4.°

+3

NIVEL 1 (página 149)

1 De la sucesión:

13 ; 20 ; 28 ; 37 ; 47 ; x +7

+8

x = 47 + 11 = 58

+ 9 + 10 + 11 Clave D

x = -3 r = +7; r: razón de la sucesión

2 De la sucesión:

60 ; 12 ; 3 ; 1 ; x

÷5 ` x= 1 2 3

÷4

÷3

tn = t1 + (n - 1) . r tn = -3 + (n - 1) . 7 ` tn = 7n - 10

÷2    Clave B

K ; M ; Ñ ; P ; R ; T ; . . . . . . L N O Q S U & Sigue la letra: V

11 De la sucesión:

   Clave A

13 ; 16 ; 21 ; 29 ; 41 ; x

4 De la sucesión:

3

+ 2   + 2   + 2   + 2

     -3 ; 0 ; 0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 6 ; a ; b   + 3   + 3   + 3   + 3 6+3=a&a=9 6 + 2 = b & b = 8  ` a + b = 17 5

+3

-1

-4

6

+1

+2

+6

C,D

   Clave C

+3

14

    Clave A

Clave D

1 4

;

el número de sus lados de uno en uno.

+7

+7

+7

Clave C

F,G

; K I,J

; L,M N

Clave C

+3

+3

+3

+3

3 2

; 5

Clave A

; 13

;

30 ;

x

#2+1 #2+2 #2+3 #2+4 #2+5 ` x = 30 # 2 + 5 = 65

Clave A

15 De la sucesión:

-4

9 La figura en el interior del cuadrado va aumentando

x ; 4 ; 11 ; 18 ; y

1

a=5+3=8 b = 14 + 3 = 17 ` b - 2a = 17 - 2(8) = 1

   Clave B

+10 +10 -14 +10 +10 -14 +10 +10

10

5

2 ; 5 ; a ; 11 ; 14 ; b

1 ; 11 ; 21 ; 7 ; 17 ; 27 ; 13 ; 23 ; 33

` La figura que sigue es:

17

13 De la sucesión:

 + 1   + 1   + 1   + 1 2 2 2 2

8

4 1

B ; E ; H

1  ; 1 ;  3  ; 2 ;  5 2 2 2

` El término que continúa es 5 . 2

3

12

12 De la sucesión:

+24

#1 #2 #3 #4 ` El número que continúa es 35. 7

Clave B

1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 11 ; 35 +1

8

1 x = 41 + 17 = 58 Suma: 5 + 8 = 13

-6

-5 -4 -3 -2 ` El número que continúa es 1.

5 2

1 ; 9 ; 12 ; 11 ; 7 ; 1 +8

Clave D

NIVEL 2 (página 150)

-4

-4

-4

4 ; 11 ; 8 ; 7 ; 12 ; 3 ; 16 ; –1 ; x ; y Clave E

+4

+4

+4

+4

x = 16 + 4 = 20 y = -1 - 4 = -5 Nos piden: x . y = -100

Clave A

SOLUCIONARIO - Unidad 3 65

16 De la sucesión:

NIVEL 3 (página 150)

# (-2)

# (-2)

# (-2)

# (-2)

21 De la sucesión: B D,E

2 ; 1 ; -1 ; -2 ; -4 ; 4 ; -7 ; -8 ; -x ; y -3

-3

-3

NA ; JC ; FF ; BJ

-3

M,L,K I,H,G E,D,C

` Sigue: BJ

-7 - 3 = -x & x = 10 (-8)(-2) = y   & y = 16 ` x - y = 10 - 16 = -6

x ; 1 ; 19 ; 45 ; 75 ; 107 ; y 2

2 ; 1 ; 2 ; 5 ; x 3 10 1 2

` x= 5 10

#

2 3

#

3 4

#

4 = 20 = 2 5 50 5

#

4 5

3 = 6 3 15

#

7+11 11+18

23

Clave B

+3

-4

Clave B

2 . 21

1 . 20

#2

22

; 15

+3

46

; 60

#4

; x

-1 Clave A

; G ; E -2

+2

-2 0

-2

Clave D

25 De la sucesión:

y

X

+5

60 + 5 = x & x = 65 46 + 48 = y & y = 94 ` x + y = 159 Clave C

66 Intelectum Evolución 4.°

I

-2

+ 6 + 12 + 24 + 48 10

Clave D

-4

-4 +4

20 De la sucesión:

+1

-4

-8

; 12

+3

T ; M ;

+5

` x=0+5=5

4

4 . 22

33

24 De la sucesión:

2 ; 3 ; 1 ; 4 ; 0 ; x -2

+7

-4

19 De la sucesión:

; 6

8 . 23

32

;M ; S ; V ; U

B +11

` x = 11 + 18 = 29

1

30

` x + y = 140 - 1 = 139

1+3 3 + 4 4+7

5

26

x = 1 - 2 = -1 y = 107 + 33 = 140

Clave A

1 ; 3 ; 4 ; 7 ; 11 ; 18 ; x . . . . .

+3

18 16 . 24

18 De la sucesión:

+1

Clave D

22 De la sucesión: Clave B

17 De la sucesión:

#

G,H,I

O

I

D

P, Q, R, S

J, K, L

E, F, G, H

T, U, V, W

M, N, Ñ

4

8

  6

2 B, C

A

Clave D

k = 4; ...; 24, hay 21 valores

26 De la sucesión:

+10

+10

+10

Luego de restar los siete múltiplos de 3, que son de la fora: 10 + 3n, k tomará 14 valores.

-M ; 2 ; 8 ; 12 ; 19 ; NP ; 30 ; 32 ; 41 +11

+11

+11

Clave E

29 tn = 7k

+11

Para que sea cubo perfecto: p3 = (7k)(72k2) p3 = 343k3

-M + 11 = 8 & - M = -3 & M = 3 12 + 10 = NP & NP = 22 & N = 2; P = 2 ` M+N+P=3+2+2=7

& 7 1 343k3 # 343 000 0 1 k # 10 k = {1; 2; 3; 4; ...; 10}

Clave C

27 t1 = 1 ; t2 = 1 R; t3 = 1 R2; t 4 = 1 R3 2 2 2 2

` Hay 10 cubos perfectos.

1 R3 = 1 & R = 3 1 2 8 4

30

18

6 t19 = 1 R18 = 1 d3 1 n = 1 b 1 l 2 2 4 2 4

t19 = 1 . 16 = 1 . 112 = 113 2 2 2 4 2 28 t1 = 10 + 3(1)

t2 = 10 + 3(2) t3 = 10 + 3(3) h tn = 10 + 3(n) 13 ≤ 10 + 3n ≤ 613 13 ≤ k2 ≤ 613 3,6 ≤ k ≤ 24,7

Clave C

Clave D

6 ; 2 ; 10 ; 30 ; 62 ; 106 ; ... ; t10 -4

8 12

20 12

32 12

44 12

tn = an2 + bn + c a = 12 = 6; b = -4 - 12 = -10; c = 6 2 2 & tn = 6n2 - 10n + 6 ` t10 = 6(102) - 10(10) + 6 = 506

Clave E

SOLUCIONARIO - Unidad 3 67

Unidad 3

Series y sumatorias

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 158) 1

20

S = 1 - 4 + 9 - 16 + 25 - ...

/k2 = 82 + 92 + 102 + ... + 202

k=8

= (12 + 22 + ... + 202) - (12 + 22 + ... + 72)

2

Clave E

/_3a - 1i 8

= (3 # 8 - 1) + (3 # 9 - 1) + ... + (3 # 22 - 1) = 3(8 + 9 + 10 + ... + 22) - 1 # 15

Agrupando convenientemente la serie:

Hallando el término enésimo (tn): tn = 4n - 3 S=

13

13

13

n=1

1

1

/(4n - 3) = 4/n - / 3 = 4 (132)(14) - 3 . 13

` S = 325

S = 12 - 32 + 52 - 72 + ... (20 términos)

Clave D

Agrupando convenientemente tenemos: S = 12 - 32 + 52 - 72 + 92 - 112 + ...

. 2(50) - 1

-8 Clave B

Donde: tn = 8 - 16n 10

Clave A

` S = -800

Clave E

denominamos S1 y S2, respectivamente:

Descomponiendo en forma conveniente se tiene: M = 23(13) + 23 . (23) + 23 . (33) + 23(43) + ... 23(203) M = 23[13 + 23 + 33 + 43 + ... + 203] Suma de los cubos de los primeros 20 números naturales: 20. (20 + 1) 2 F 2

68 Intelectum Evolución 4.°

10

8 Separando los términos positivos de los negativos,

M = 23 + 43 + 63 + 83 + ... + 403

6 Sea:

10

&S= / (8 - 16n) = / 8 - 16/n = 8 . 10 - 16 . 10 . 11 2 n=1 1 1

5 Sea:

M = 352 800

-40

-16 -16

2 + 4 + 6 + 8 + ... + m = 600 . 2k

M = 23 <

-24

& S = -8 - 24 - 40 - ... (10 términos)

4 De la igualdad:

k(k + 1) = 600 & k = 24 m = 2k = 48

Clave A

7 Sea la serie:

3 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99

Suma = 502 = 2500

+9

S = 1 + 5 + 9 + ...

22

= 3 b 8 + 22 l # 15 - 15 2 = 3(15) # 15 - 15 = 675 - 15 = 660

+5

13 términos

= 20 # 21 # 41 - 7 # 8 # 15 6 6 = 2870 - 140 = 2730

25 términos

Clave A

& S1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ... / S2 =- 1 - 1 - 1 - 1 ... 2

4

8

16

3

6

12

24

#1 #1 #1 #1 #1 #1 2 2 2 2 2 2 Ambas son series infinitas, por lo tanto: -1 1 & S1 = / S2 = 3 1- 1 1- 1 2 2 S1 = 2 / S2 = - 2 3 ` M = S 1 + S2 = 2 - 2 = 4 3 3

Clave D

9 Sea:

11 Hallando la suma de las áreas:

S = 6 + 10 + 14 + 18 + ... 3 9 27 81 3S = 6 + 10 + 14 + 18 + ... 3 9 27

#3

2

A1 = (4a)2 ; A2 = (2a)2 ; A3 = (a)2 ; A4 = b a l 2 Piden:

2 S = 16a2 + 4a2 + a2 + a + ... 4

Restando: 3S - S = 6 + 4 + 4 + 4 + ... 3 9 27

#

2S = 6 + 4 + 4 + 4 + ... 3 9 27

2 & S = 16a 1 - 1/4

1 4

2 ` S = 64a 3

Clave B

S = 1 # 2 + 2 # 5 + 3 # 10 + ... + n(n2 + 1) 10

& S = /n (n2 + 1) = n=1

Clave B

10

10

10

n=1

n=1

n=1

/ (n 3 + n) = / n 3 + / n

2

& S = b 10 . 11 l + 10 . 11 2 2

10 Hallamos el término enésimo de la sucesión de 3.er

orden

` S = 3080

0

; 2 ; 11 ; 33 ; 74 ; 140 +2

+9 +7

13

+22 +41 +66

+6

20

2

n=1

k=1

Clave A

b

1-1 + 1-1 + 1 -1 2 3l b3 5l b5 8l + b 1 - 1 l + ... + b 1 - 1 l 437 467 8 12

a=1 ; b=1 ; c=1 2 2

S = 1 - 1 = 467 - 2 = 465 934 2 467 467 # 2 Clave B 20

20

20

+ n n = / n3 + 1 / n2 + 1 / n 2 2 1 2 1 1

2

20 (21) 1 20 . 21 . 41 + 1 . 20 . 21 F + . 2 2 6 2 2

` n = 45 640

20

14 Transformando cada fracción:

& tn = n 3 + n + n 2 2 20

12

k=1 k=1

+6

2

/ dn3 + n2

/ 8 = 12 # 8 = 96 / / 8 = /_96i = 20 # 96= 1920

Entonces: tn = an3 + bn2 + cn + d Donde: t0 = 0 = d t1 = 2 = a + b + c t2 = 11 = 8a + 4b + 2c t3 = 33 = 27a + 9b + 3c

Clave C

12

k=1

+13 +19 +25 +6

M=<

#

12 Sea la serie:

` S=4

M=

1 4

#

Es una serie infinita de razón + 1 . 4

serie infinita de razón + 1 3 J 4 N K O 2S = 6 + K 3 O 1 KK 1 - 3 OO L P 2S = 6 + 2

Piden

1 4

REFUERZA PRACTICANDO NIVEL 1 (página 160)

1 4 + 7 + 10 + ... + x = 175

+3 +3

Clave E SOLUCIONARIO - Unidad 3 69

Donde: r = +3 t1 = 4 & tn = x

4 + x x - 4 + 1 = 35 . 5 l 2 lb 3 (4 + x) (x - 1)

= 35 . 30

Comparando los términos: ` x = 31 2

Clave E

11

/2k = 2 /_k i

k=5

k=5

= 2(5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11) = 2(56) = 112

50

40

k=1

p=1

/k + /p

# # = 50 51 + 40 41 2 2 = 1275 + 820 = 2095

(t1 + tn) tn - t1 + 1 F= 175 < 2 r b

11

8

4 + 7 + 10 + ... + x = 175

9 S = 2 + 5 + 10 + 17 + ... + 2501

S = (12 + 1) + (22 + 1) + (32 + 1) + (42 + 1) + ... + (502 + 1) S = (12 + 22 + 32 + 42 + ... + 502) + (1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 ) 1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 50 sumandos S = 50 # 51 # 101 + 50 6 S = 42 925 + 50 = 42 975

Clave E

. 2 # 49

1 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 44 3 24 términos

4

10

10

k=1

K=1

S= Clave B

/_2k + 1i = 2 /k + 10

S = 24 # 25 # 26 = 5200 3

Clave A

. 2 # 50 - 1

S = 1 # 2 + 2 # 3 + 3 # 4 + ... + 20 # 21 (n) (n + 1) (n + 2) 3 n = 20 términos & S = 20 . 21 . 22 3

502 - (1 + 3 + 5 + 7 + 9) = 2500 - 25 = 2475

` S = 3080 Clave C

/_12 - ki = 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 = 33

+0,01 +0,01 Clave D

7 Si da máximo 12 campanadas:

2(1 + 2 + 3 + ... + 12) + 1 # 24 2 b 12 # 13 l + 24 = 156 + 24 2 = 180

Donde:

(t1 + tn) tn - t1 + 1n d 2 r

r = +0,01 t1 = 0,01

E=

tn = 4

E=d

0, 01 + 4 4 - 0, 01 + 1n nd 0, 01 2

n = n.° de términos ` E = 802 Clave B

70 Intelectum Evolución 4.°

Clave A

12 E = 0,01 + 0,02 + 0,03 + ...+ 4

9

k=4

Clave E

11 Suma notable:

5 11 + 13 + 15 + ... + 99

6

24 _24 + 1 i_24 + 2 i 3

NIVEL 2 (página 161)

= 2 # 10 # 11 + 10 2 = 110 + 10 = 120

Clave E

10 S = 1 # 2 + 2 # 3 + 3 # 4 + ... + 24 # 25

3 2 + 4 + 6 + ... + 98

= 49 # 50 = 2450

Clave D

Clave B

13 Nos piden hallar n:

(1 + 2 + 3 + ... + n)(2 + 4 + 6 + ... + 2n) = 6050 . . n . (n + 1) . n(n + 1) = 6050 2 n2 . (n + 1)2 = 12 100 n2 . (n + 1)2 = 102 . 112

19 A =

/_3k2 + 2k - 5i 10

10

k=1

k=1

= 3 / k2 + 2 / k Clave C

10

/5

k=1

= 3 . 10 # 11 # 21 + 2 # 10 # 11 - 5 # 10 6 2

4(1 + 4 + 9 + 16 + ... + 576)

= 1155 + 110 - 50 = 1215

4(12 + 22 + 32 + 42 + ... + 242 ) 21

4 # 24 # 25 # 49 = 19 600 6

Clave B

15 1 + 3 + 5 + 7 + ... + k = 9801

. 2u - 1 u2 = 9801 & u = 99 k = 2(99) - 1 = 197

n.° días

1

2

3

Juana

13

13

13

...

13

x

María

1

2

3

...

x

Según el enunciado del problema 13 + 13 + 13 + ... + 13 = 1 + 2 + 3 + ... + x Clave B

20

20

n=1

n=1

/n - / _4 i

20 _21 i = 8(21) + 5 . - 4(20 - 1 + 1) 2 = 168 + 1050 - 80 = 1138

Clave C

# 17 A = 50 51 = 25 # 51 = 1275 2

` A - B = 1275 - 1225 = 50

x veces 13 . x = b 1 + x l x 2 x = 25 días Noviembre Inicio Diciembre

Fin

15

10

15 días

10 días

` La dieta concluyó el 10 de diciembre.

B = 352 = 1225

Clave E

2

22 S = a1 + a2 + a3 + ... + an = 3n + 13n Clave E

4

/_2k - 5i2

2 2 Luego: S(400) = a1 + a2 + a3 + ... + a399 + a400 2 = 3 . 400 + 13 . 400 2 2

k=1

S = (-3)2 + (-1)2 + (1)2 + (3)2 S = 9 + 1 + 1 + 9 = 20

Clave E

NIVEL 3 (página 162)

4 _24 i_24 + 1 i_2 # 24 + 1 i 6

18 S =

Clave A

10

k=1

14 La serie es:

16 8(35 - 15 + 1) + 5

K=3

A = (-2)2 + (-1)2 + 02 + 12 + 22 + 32 A=4+1+0+1+4+9 A = 19 20

Comparando obtenemos el valor de n. ` n = 10

8

/_k - 5i2

Clave E

2 S(399) = a1 + a2 + a3 + ... + a399 = 3 . 399 + 13 . 399 2 2 & S(400) - S(399) = a400 = 1205

Clave D SOLUCIONARIO - Unidad 3 71

23 S = 1 + (1 + 4) + (1 + 4 + 7) + (1 + 4 + 7 + 10) + ...

=

20 términos t0 # 0 ; 1 ; 5 ; 12 ; 22 ; ... +4

r # +3

+7 +3

+10 +3

= 101 /k -

27 S = k

c=0

k=1 100

/ k2

k=1

Clave D

k

/i = k (k2+ 1)

i=1

n

n

k=1

k=1

n

/ Sk = / k (k2+ 1) = 12 /(k2 + k)

(n) (n + 1) (2n + 1) 1 n (n + 1) S= 3 2 6 2 2

`

k=1 n

n

= 1 > / k2 + / k H 2 k=1 k=1

n

/ Sk = 16 n(n + 1)(n + 2)

Clave A

k=1

28 Sean n días:

& n = 20 ` S = 4200

Clave C

n

/_3k + 2i

k=1

n

n

k=1

k=1

= 3 / k + 2 /1

n

/ _3k + 2i =

k=1

n _3n + 7 i 2

Clave A

25 n + (n + 1) + ... + (n + 2n) = 1640

n(2n + 1) + (1 + 2 + 3 + ... + 2n) = 1640

_2n i_2n + 1i = 1640 2 2n(2n + 1) = 1640 n(2n + 1) +

Clave D

S = 1 + 2 + 3 + ... (34 números) + 3 + 6 + 9 + ... (33 números) + 2 + 4 + 6 + ... (33 números) S = 1 + 2 + 3 + ... + 34 + 3(1 + 2 + 3 + ... + 33) + 2(1 + 2 + 3 + ... + 33) S = 34 # 35 + 3 # 33 # 34 + 2 # 33 # 34 2 2 2 S = 595 + 1683 + 1122 S = 3400

Clave D

30 1 + 2 + 3 + ... + n = 120

2n(2n + 1) = 40 # 41

n _n + 1 i = 120 2 n(n + 1) = 240 = 15 # 16 & n = 15  

2n = 40 & n = 20 Clave B 72 Intelectum Evolución 4.°

1.a tortuga: 4 + 4 + ... + 4 = 4n 1 4 44 2 4 44 3 n n _n + 1 i a 2. tortuga: 1 + 2 + ... + n = 2 n _n + 1 i & 4n = &8=n+1 2 n=7

29 S = 1 + 3 + 2 + 2 + 6 + 4 + 3 + 9 + 6 + ...

n _n + 1 i + 2n 2

2 2 = 3n + 3n + 4n = 3n + 7n 2 2

`

k=1

100

S =/ tn = / b 3 n2 - n l = / b 3 n2 l - / b n l 2 2 2 2

=3

100

= 101 . 100 # 101 - 100 # 101 # 201 2 6 = 510 050 -338 350 = 171 700 & Suma de cifras: 16

& tn = 3 n 2 - n 2 2

24 Se pide:

100

/ 101k - / k2 k=1

tn = an2 + bn + c a = r ; b = p0 - a; c = t0 2 a= 3 ; b=-1 ; 2 2

100

/_101 - kik

k=1

S = 1 + 5 + 12 + 22 + ...

p0 # +1

26

Clave E

Unidad 3

Analogías y distribuciones numéricas

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 167)

9 1.a fila: (8 – 2)(4) = 24

1 1.a fila: 6 # 4 = 24

2.a fila: 8 # 5 = 40 3.a fila: 3 # 8 = a = 24

Clave A

2 Fila 1: 4 # 3 = 12

Fila 2: 5 # 9 = 45 Fila 3: 6 # 2 = x ` x = 12 3 1. fila: 8 # 2 + 4 = 20

10 1. fila: (2 + 8)(5) = 50

` x = -69

Clave A

14

2.a fila: (1 + 2)(6) = 18 3.a fila: (4 + 8)(2) = 24 4.a fila: (1 + 7)(6) = x ` x = 48

0,3 0,8

& 0,6 + 0,4 - 0,3 + 0,1 = 0,8

11

0,4 7 3 12

Clave E

0,4

0,6

Clave C

0,8

0,5

& 0,5 + 0,8 - 0,4 + 0,1 = 1,0

9

8

1,0

& (12 + 9) ÷ 7 = 3

4 6

& (8 + 16) ÷ 4 = 6

Luego:

16 0,7

Luego:

Fila 3: 8 + 6 = ? 2

x

13

Clave D

& (13 + 14) ÷ 3 = 9 14

` m2 = 81

Clave B

12

Clave E

25

(60 – 40) ÷ 2 = 10 % 2.a fila (70 – 30) ÷ 2 = a % 3.a fila ` a = 20

5

& (56 ÷ 7) . 6 = 48 & (25 ÷ 5) . 6 = 30

Luego: ? 12

Clave A 7 Fila 1: 3 64 = 4

7

30

6 (12 – 2) ÷ 2 = 5 % 1.a fila

3

Clave C

4

& (-2) - 5 = 11 4

8 Fila 1: 2(3) + 5 = 11 -3

Clave B

NIVEL 1 (página 169)

1 1.a figura: 18 + 29

47 1

3

(4 + 7) + 18

29

4

7 + (4 + 7)

18 x

7 1+3 3+4

4+7 ` x = 11 13 + 21

11

Clave D

Fila 2: 2(7) + 1 = 15 Fila 3: 2(4) + 9 = y ` y = 17

Clave A

2.a figura: -2

Fila 3: 3 512 = x = 8

` x = 1,7

& (12 ÷ 3) . 6 = 24

13

Fila 2: 5 32 = 2

& 0,9 + 1,4 - 0,7 + 0,1 = 1,7 = x

REFUERZA PRACTICANDO

48 56

1,4

0,9

3 m

5 1.a fila: (10 + 17)/3 = 9

2.a fila: (6 + 12)/3 = 6 3.a fila: (20 + 4)/3 = x `x=8

& (-4)3 -5 = -69 = x

3

Clave C

4 Fila 1: 5 + 7 = 6 2 9 3 =6 + Fila 2: 2

`?=7

x

a

Clave B

a

2.a fila: 5 # 3 + 4 = 19 3.a fila: 1 # 8 + 4 = 12 ` n = 12

-4

2.a fila: (10 – 4)(5) = 30 3.a fila: (20 – 18)(7) = 14 = z ` z = 14

-32

3

& (-3)3 - 5 = -32

y

1

2

(3 + 5) + 13

21

3

5 + (3 + 5)

13 a

5 1+2

3+5 ` y = 34 & x + y = 11 + 34 = 45

2+3

Clave D

SOLUCIONARIO - Unidad 3 73

2 Col. 1 : 10 ÷ 2 = 5

10 Fila 1 : (3 + 4) # 12 = 84

Col. 2 : 18 ÷ 6 = 3 Col. 3 : 30 ÷ 5 = x & x = 6

Fila 2 : (6 + 7) # 6 = 78 Clave C

Fila 3 : (8 + 4) # 3 = x & x = 36

3 Fila 1 : 20 ÷ 2 = 10 NIVEL 2 (página 170)

Fila 2 : 15 ÷ 5 = 3 Fila 3 : 40 ÷ 8 = x &x=5

11 Col. 1 : (10 + 6) : 2 = 8 Clave E

4 Fila 1 : 16 ÷ 8 = 2

Col. 2 : (17 + 3) : 2 = 10 Col. 3 : (40 + 10) : 2 = a & a = 25

Fila 2 : 21 ÷ 3 = 7 Fila 3 : x ÷ 5 = 2 & x = 10

Clave B

& A = 10

Clave D

14 Fila 1 : (5 + 4)(3) = 27

Fila 2 : (6 + 1)(2) = 14 Clave E

7 Fila 1 : 37 + 12 = 72

Fila 2 : 73 + 27 = 102

Fila 3 : (9 + 4)(3) = a & a = 13 # 3 = 39

Clave D

15 Fila 1 : 8 + 2 + 4 = 14

Fila 3 : 16 + 9 = 25

Fila 2 : 1 + 3 + 7 = 11

25 = 52 & x = 5 Clave B 8 Col. 1 : 33 = 27

Col. 2 : 82 = 64

Fila 3 : 14 + 2 + 3 = a & a = 19

Clave B

16 Se cumple:

Fila 1 : 2 + 3 + 4 = 9

Clave E

9 Se cumple:

Col. 1 : 8 . 2 . 4 = 64

Fila 2 : 8 + 0 + 1 = 9 Fila 3 : 7 + x + 0 = 9 &x=2

Clave B

2

17 Fila 1 : 3 – 4 = 5

Col. 1 : 1 . 32 . 2 = 64

74 Intelectum Evolución 4.°

Fila 2 : (8 # 4) ÷ 2 = 16 Fila 3 : (5 # 4) ÷ 2 = A

2.a figura: 7 + 13 = 10 2

Col. 1 : ? . 8 . 1 = 64 &?=8

Clave A

13 Fila 1 : (3 # 2) ÷ 6 = 1 Clave E

6 1. figura: 10 + 8 = 9 2

Col. 3 : 72 = x & x = 49

Fila 2 : 6 # 4 + 2 = 26 Fila 3 : 7 # 1 + 8 = m & m = 15

a

3.a figura: 43 + 1 = x 2 & x = 22

Clave E

12 Fila 1 : 9 # 2 + 3 = 21

5 1.er gráfico: 4 # 3 = 12

2.do gráfico: 5 # 6 = 30 3.er gráfico: 4 # 2 = x &x=8

Clave B

Fila 2 : 52 – 12 = 13 Clave C

Fila 3 : 72 – 24 = ? & ? = 25

Clave D

23 Se cumple:

18 Fila 1 : 12 = 9 + 9

Fila 2 : 6 = 4 + 4 Fila 3 : ? = -2 + 25 &?=3

Clave C

19

6 + 5 = 11 6 + 1 = 7 3 + 8 = 8 9 - 6 = 3 10 - 6 = 4 8 - 3 = 5 Resolviendo las 2 ecuaciones: y=7 x = 11 ` x + y = 18

y+4=x 13 - y = 6

11 + 6 = 17 13 + 2 = 15

Resolviendo la ecuación: y=3 x + z = 22 ` x + z + y = 25

Clave D

21 + y = 24 z + x = 22

do

2. 3.er

gráfico: 2 + 4 + 8 = 14 gráfico: 3 + 5 + 6 = 14 gráfico: 1 + 2 + x = 14 & x = 11

Clave B 24 Se cumple:

1.er gráfico: (2 + 4) . 3 = 18 2.do gráfico: (1 + 4) . 9 = 45 3.er gráfico: (2 + 3) . 6 = 30 & x = 30

9 + 1 = 10 2+2=4 3+3=6 8 + 4 = 12 & a = 12

Clave C

26 1.a figura: (7 + 5) – (3 + 4) = 5

3.a figura: (5 + 6) – (4 + 3) = x &x=4 Clave B

Clave E

27 4 + 9 # 2 = 20

2

8 + 5 # 2 = 14 2 Clave C

10 + 3 # 2 = z 2 & z = 11

22 Se cumple: 2

Clave D

2.a figura: (9 + 6) – (3 + 5) = 7

NIVEL 3 (página 171) er

21 1.

= 10 = 30 = 25 = 50 & x = 10

25 Se cumple:

20

3 + 7 = 10 7+1=8

2#5 6#5 5#5 x.5

Clave C

2

Col. 1 : 8 - 2 = 60

2

28 [(8 + 12) - (5 + 9)] = 36

Col. 2 : 72 - 32 = 40 Col. 3 : (?)2 - 82 = 36 & ? = 10 Clave D

[(7 + 3) - (9 + 2)]2 = 1 [(10 + 4) - (7 + 3)]2 = w & w = 16

Clave A

SOLUCIONARIO - Unidad 3 75

Unidad 3

Desigualdades e inecuaciones 6 x2 < 3x + 18

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO

x2 - 3x - 18 < 0 -6 x x +3 (x - 6)(x + 3) < 0

(página 177)

1 x2 + 2x - 8 < 0

+4 x x -2 (x + 4)(x - 2) < 0

+ -3

+ -3

-

+3

2

` x ! G-4; 2H

7

2x - 8 + 6 # 7 - x + 6 ; x ! 3 x-3 x-3 2x - 8 # 7 - x 3x # 15 x#5

2 x2 - x - 6 > 0

x -3 x +2 (x - 3)(x + 2) > 0

` x ! G-3; 5] - {3}

+

-

+

-2

8

+3

3

/

x#6

/ 2 <x#6 3

4

#

2 < 3x 2 <x 3

Clave E

x+5 < 5- x;5- x >0 x + 5 < 25 - 10 x + x 10 x < 20 x<2 ; x$0 x<4 0#x<4 ` x ! [0; 4H

Clave A

0 -3

Clave C

-

+

-1

6

+3

Valores enteros: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

3 3x + 4 # 2x + 10 / 2x + 10 < 5x + 8

x#6

x-6 x+1

+

` x ! G-3; -2H , G3; +3H

` x ! G2/3; 6]

+3

Clave C

Clave B

-3

+ 6

Suma de soluciones enteras: = -2 - 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 12

+

-4

-3

9 30x + 20x + 15x + 12x 2 x - 17 60 77x > 60x - 1020 17x > - 1020 x > - 60 x ! G-60; +3H

& x = 78

2

5 15 $ x + 2x

11

x2 + 2x - 15 # 0 x +5 x -3 (x + 5)(x - 3) # 0

Clave E

2 < x-1 3 x+3 2x + 6 < 3x - 3 9<x

+

-5

Clave D

10 5x - x < 3x - 273 11 273 < 39 x 11 77 < x Clave A

-3

Clave B

+3

` x ! [-5; 3] Clave D 76 Intelectum Evolución 4.°

/ /

& 9 < x < 15

+ 3

x-1 < 7 x+3 9 9x - 9 < 7x + 21 2x < 30 x < 15

Suma de valores enteros: 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 60

Clave A

12

13

2

6x + 4x + 3x < x + 30 12 2 6 13x < 2x + 60 11x < 60 x < 60 = 5,45 11 ` Mayor valor entero: 5

A+B -3 -10

-3

5

6

+3

Se observa que: A + B = [-3; 5] Clave A

2#x#5 1#x-1#4 1 # 1 #1 4 x-1

Piden: A + B + (A , B) = A + B ` A + B + A , B = [-3; 5]

Clave A

3 Sacamos el MCM a las fracciones y operamos:

7x - 11 > 24 x>5

3 # 3 #3 4 x-1

-3

+3

5

` El menor valor que cumple es 6.

7 # 1+ 3 # 4 4 x-1

Clave E

4 De la inecuación:

7 # x+2 # 4 4 x-1 El menor valor de x es 7/4. 14

B

A

Clave A

5#x#8 6#x+1#9 1 # 1 #1 9 x+1 6

2x - x > 10 + 5 3 3 6x - x > 30 + 5 3 3 & x>7 x ! G7; +3H Luego:

m' = G7; +3H m' = G-3; 7]; complemento de m.

- 4 $ -4 $- 4 9 x+1 6

m' = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}; valores enteros positivos.

5 $ 1- 4 $ 1 9 x+1 3

7 valores ` Son 7 los números.

1 # x-3 # 5 3 x+1 9

Clave B

5 Despejando x:

ax - x < 3a - 3 ; como a ! G1; -3H

El mayor valor de x es 5/9.

Clave E

x(a - 1) < 3(a - 1)

REFUERZA PRACTICANDO NIVEL 1 (página 179)

a>1 a-1>0

& x ! G-3; 3H

1 Esquematizando:

-3 < 4 -5x # 21

M-N -6

5

Restando a todo 4 y dividiendo por -5: 7 > x $ - 17 5 5

13 +3

& M - N = G5; 13H Valores enteros: {6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} ` 7 números verifican.

Clave E

6 Multiplicando todo por 3.

M

N -3 -8

pues

7 números

-3

Clave C

-17 = -3,4 5

7 = 1,4 5

+3

` El mayor valor entero que verifica es 1.

Clave E

SOLUCIONARIO - Unidad 3 77

7 Si: a < b & 0 < b - a

11 Sea x la cantidad de mesas que fabricó al principio.

Luego, en la inecuación: b - a < bx + a - ax + b 2 2 & 2(b - a ) < x(b - a) - (b - a) 2(b - a) < (x - 1)(b - a) ; b - a > 0 2<x-1 x>3 ` x ! G3; +3H 8

Del enunciado se plantea: x - 49 > x & x > 98 2

... (I)

x - 49 + 9 - 20 < 41 & x < 101

... (II)

De (I) y (II): 98 < x < 101 Como x es par (según dato) & x = 100 ` La cantidad de mesas hechas es: 100 + 9 = 109

Clave D

Clave B

12 Factorizando la inecuación por aspa simple.

2 (3x - 1) - 5 (x + 1) 7 - x < 7 10

x2 - 11x + 28 > 0 x -7 x -4 & (x - 4)(x - 7) > 0 ; puntos críticos x=4/x=7

6x - 2 - 5x - 5 < 7 - x 10 7 & x - 7 < 7 - x & 7x - 49 < 70 - 10x 10 7 Trasladando a “x” a un solo lado: 17x < 119 x<7 ` x ! G-3; 7H

+ -3

Clave A

-

+ +3

7

4

` x ! G-3; 4H , G7; +3H

Clave A

9 Resolviendo la primera inecuación:

4x - 5 < 7x + 21 & x > - 26 3

13 Multiplicando por 5/2 se tendrá: (x + 4)(3x - 1) # 0

Luego usamos el criterio de los puntos críticos: x = - 4 ; x = 1/3

Resolviendo la segunda inecuación: 3x + 8 > 8x - 20 & x < 28 5

+ -3

Luego, la solución del sistema será: - 26 < x < 28 & -8,6 < x < 5,6 3 5

-4

+ 1/3

` x ! [-4; 1/3]

Como x ! Z: x ! {-8; -7; -6; ...; 5}

T = b2 - 4ac & T = 12 - 4(1)(1) = -3

Clave A

NIVEL 2 (página 179)

Entonces con T < 0 y 1 > 0; x2 + x + 1 siempre será positivo, para cualquier valor de x. ` x!R Clave C

10 Sea x la cantidad de pollitos:

También: x - 35 + 3 - 18 < 22 & x < 72 De (I) y (II): 70 < x < 72 ` x = 71 (ya que x es entero) 78 Intelectum Evolución 4.°

Clave D

14 Calculando el discriminante:

` La suma de valores enteros será: - 8 - 7 - 6 = -21 (los demás se eliminan).

x - 35 > x & x > 70 2

+3

... (I)

15 Transponiendo los términos de manera adecuada:

... (II)

Como x ! R y además su primer coeficiente es positivo (1 > 0); entonces el discriminante debe ser menor o igual a cero, luego tenemos: T = 16 - 4(M + 12) # 0

x2 - 4x + 12 + M $ 0

Clave C

& 16 - 48 # 4M M $ -8

20 Observa que la expresión irracional siempre es no

` El menor valor de M es -8. 2

3

5

3

Clave C

5

2

16 Dato: a . b . c < 0 & b . c < 0; a $ 0

& Se deduce que b y c son de signos opuestos. ` bc < 0

Clave C

17 Del sistema se obtendrá:

Clave D

2

21 CVA: 2x + x $ 0 & x(2x + 1) $ 0

& x#-1 0 x$0 2

... (a)

Luego: 2x2 + x $ S 1 S +

Elevando al cuadrado, se tiene: 2x2 + x $ 1 & 2x2 + x - 1 $ 0 & (2x - 1)(x + 1) $ 0

6x # 6 x#1

/ /

` De donde x ! [4; +3H

+

3x - 4 # 5x + 2 / 5x + 2 # -x + 8 -6 # 2x -3 # x

negativa para: 2x - 8 $ 0 x$4

` -3 # x # 1

Clave C

18 -x + 3 ! [-6; 5H , -6 # -x + 3 < 5

Del cual: x # -1 0 x $ 1/2 ... (b) Intersecando: a y b, resulta:

-2 < x # 9

Hallando el intervalo para (2x + 5): -2 < x # 9 , 1 < 2x + 5 # 23 , (2x + 5) ! G1; 23]

-3

2

22 CVA: 25 - x $ 0 & 25 $ x

Comparando: a = 0; b = 10 ` a20 + b2 = 100

Clave D

19 Sabemos que la expresión está bien definida si x ! 0,

es decir x ! R - {0}

Operando x - 2 < 0 / x ! 0 x

Luego: 25 - x2 < 4 Elevando al cuadrado: 25 - x2 < 16 & 9 < x2 x<-3 0 x>3 ... (b)

x2 b x - 2 l < 0 . x2 x Vemos que el sentido no cambia, ya que x2 es positivo. x(x - 2) < 0 / x ! 0

` x !G0; 2H

Clave E

2

Intersecando (a) y (b), se tiene:

Multiplicando ambos miembros por x2:

+

0

+3

1/2

x2 # 25 & -5 # x # 5 ... (a)

NIVEL 3 (página 180)

+

0

` x ! G-3; -1] , [1/2; +3]

Pero: (2x + 5) ! Ga + 1; b + 13]

-3

-1 -1/2

2

-3 -5

-3

3

5

+3

` x ! [-5; -3H , G3; 5]

Clave D

23 CVA: 4x - 1 $ 0 & x $ 1/4 ... (a)

Es decir, los valores de x son positivos.

+3

Por esto:

4x - 1 < 2x S S (+)

Clave E

Elevamos al cuadrado:

(+)

4x - 1 < 4x2

SOLUCIONARIO - Unidad 3 79

Transponiendo: 4x2 - 4x + 1 > 0 & (2x - 1)2 > 0 Del cual: x ! R - {1/2} ... (b)

26 Tenemos: x ! G1; 2H & 1 < x < 2

En la expresíon: A = x2 - 4x + 4 + x2 - 2x + 1 A = (x - 2) 2 + (x - 1) 2 = x - 2 + x - 1

Intersecando (a) y (b):

-3

1/4

1/2

Pero: -1 < x - 2 < 0 & (x - 2) es (-) 0 < x -1 < 1 & (x - 1) es (+)

+3

` x ! [1/4; +3H - {1/2}

Luego:

Clave A

24 Se tendrá que: x $ 0 / b - x < 2x - 1 < x l

2

2

2

& x $ 0 / (-x # 4x - 2 # x) x $ 0 / (-x # 4x - 2 / 4x -2 # x) x$0 / x$ 2 / x # 2 &x $ 2 / x# 2 5 3 5 3 ` x ! :2 ; 2 D 5 3

Clave E

25 Por simple inspección de las alternativas y

considerando la teoría, se tendrá que: Si: a < b / c < 0 & a > b c c

80 Intelectum Evolución 4.°

Clave B

A = |x - 2| + |x - 1| A = - (x - 2) + (x - 1) ` A=1 Clave B

27 2

4

Por la desigualdad entre los lados de un triángulo: 2+4>a>4-2 & 6>a>2 a puede ser: 5; 4 ó 3 Los perímetros son: 6 + 5 = 11; 6 + 4 = 10; 6 + 3 = 9 ` La suma de perímetros: 11 + 10 + 9 = 30 cm

Clave B

Unidad 3

Logaritmos

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 186) 1

8 logx2 = log192 # 0,75

logx2 = log192 # 3 4 logx2 = log144 x2 = 144 x = 12

log71 73 + log6-1 61 6

log23 2 + log5-1 5

4

= 3 - 1 =- 1 2-4 Clave A 2 (x + 1)2 = 5x + 19

x2 + 2x + 1 = 5x + 19 x2 - 3x - 18 = 0 -6 x x +3 (x - 6)(x + 3) = 0 & x = 6 Clave B

3 E = -colog4{antilog24} 4

E = -colog4{2 } E = -colog416 E = -(-log416) E = log416 E=2

logxn = m 10m = xn m x = 10 n 10 log5 300 = log52 . 5 3 = log52 + log55 + log5 3 = a + 1 + log531/2 =a+1+ 1 b 2

Clave A

Clave D

11 2x2 + 15x + 26 = 43

2x2 + 15x + 26 = 64 2x2 + 15x - 38 = 0 +19 2x x -2 (2x + 19)(x - 2) = 0 x = - 19 0 x = 2 2 Luego: suma de soluciones = 2 - 19 =- 15 2 2

Clave E

4 S = 3 - log5 0, 04 + 52

S = 3 - log5 1/25 + 25 S = 3 - log5 5-2 + 25

S = 3 - (- 2) log5 5 + 25 S = 3 2 + 25 S = 3 27 = 3

Clave C 12 Clave D

5 log a 64 . logxa = log b c . logxb . logcx6

logx64 = logxx6 x6 = 64 x=2

log39x = 3log2x2x log39x = 3 9x = 33 x=3

1 + 2logx = log(x + 2) log10 + logx2 = log(x + 2) log10x2 = log(x + 2) 10x2 = x + 2 2 10x - x - 2 = 0 Luego, suma de soluciones = -

Clave B

6 log 4x 9x . log 5x 4 x . log35x = log2x(2x)3

(- 1) = 1 10 10 Clave B

13 antilogx(antilog 4 2 . 23) = 625

antilogx(antilog 4 2 8) = 625 antilogx 4 2

8

= 625

antilogx4 = 625

Clave A

7 log3n2 - log3n = 3

x4 = 625 & x = 5

2

log3 d n n = 3 n log3n = 3 n = 33 n = 27

Clave B

9 logx + logn = m

14

Clave E

Clave E

colog4(log2(log22 (antilog42))) = colog4(log2(log22 16))

= colog4(log216) = colog44 = -log44 = -1

Clave D

SOLUCIONARIO - Unidad 3 81

REFUERZA PRACTICANDO

8 Por propiedad:

NIVEL 1 (página 188)

8x + 7 = 73 8x = 7(72 - 1) 8x = 7 . 48 x=7.6 ` x = 42

1 Por propiedad:

81 = x4 4

x=

34

` x=3 Clave E 2 Por propiedad: 2/3

x=8

x = 3 82 x = 3 26 ` x=4 Clave A 3 Por propiedad:

9 Propiedad:

81 = (2x + 3)2 81 = 2x + 3 9 = 2x + 3 6 = 2x ` x=3 Clave A NIVEL 2 (página 188)

x = log279

10 log[(3x - 5) . 6] = log8x

x = log33 32 x = 2 . log3 3 3 x = 2 .1 3 ` x= 2 3

Clave D

& (3x - 5) . 6 = 8x 18x - 30 = 8x 18x - 8x = 30 Clave B

10x = 30 ` x=3

4 Por propiedad:

Clave E

2 = x1/2

(x + 3) 11 log < F= 1 (x - 6)

21/2 = x1/2 ` x=2

Clave D

5 logx = log b 32 . 22 l

16

` x=8 6

Clave E

A = log2 b 20 . 8 l 5

Clave B

A = log225

12 logx3 - log32 = log b x l ; x > 0

A = 5 . log22

2

A=5.1 ` A=5

3

Clave E

82 Intelectum Evolución 4.°

log x = log b x l 2 32 3 & x = x; x>0 32 2

7 log4[2 . (3x + 2)] = 3

2(3x + 2) = 43 3x + 2 = 32 3x = 30 x = 30 ÷ 3 ` x = 10

& x + 3 = 101 x-6 x + 3 = 10x - 60 63 = 9x x = 63 ÷ 9 ` x=7

x2 = 16 x=!4 ;x>0 ` x=4 Clave C

Clave E

13

3 = x2 + 2x x2 + 2x - 3 =0 +3 x x -1 x+3=0 x-1=0 ` x = {-3; 1}

5x - 2 = 21 3x - 5 5x - 2 = 6x - 10 6x - 5x = 10 - 2 ` x=8 Clave B Clave E

14

18 log2(x + 1)(x - 2) = 2 , x > 2

2 log5 x

E = _51/2 i E=

(x + 1)(x - 2) = 22 x2 - 2x + x - 2 = 4 x2 - x - 6 = 0 -3 x x +2 x-3=0 0 x+2=0 ; x>2 x=3 0 x = -2 ; x > 2 ` x=3

1 . 2 log5 x b5 2 l

E = 5log5 x Por propiedad: aloga b = b & E = 5log5 x ` E=x

Clave B

Clave A 15

2

E = antilog2 _log2 5 6 i E = 2log2

19 E = 2 . 2

log3 4

+3 .3

E = 12 + 36

E = 56

` E = 48

E = 53

Clave A Clave D

NIVEL 3 (página 189)

log 3 log 2 1+ log 3 log 2 20 A = + log 2 log 3 11log 3 log 2 1+

16 log(35 - x3) = 3log(5 - x); x < 5 / < 3 35

log(35 - x3) = log(5 - x)3 & 35 - x3 = 53 - 3 . 52 . x + 3 . 5 . x2 - x3

log 2 + log 3 log 3 + log 2 log 2 log 2 A= + log 3 - log 2 log 2 - log 3 log 2 log 2

35 = 125 - 75x + 15x2 15x2 - 75x + 90 = 0 x2 - 5x + 6 = 0 -3 x x -2

A=

x - 3 = 0 0 x - 2 = 0 ; x < 3 35 x = 3 0 x = 2; x < 3 35 ` x ! {3; 2}

log 2 + log 3 log 2 + log 3 + log 2 - log 3 - (log 2 - log 3)

` A=0 Clave A

17 log2(5x - 2) + log2 b 1 l 3x - 5 1 log2 :(5x - 2) . =1 3x - 5 D

2

E = 4 . (3) + 9 . (4)

56

` E = 125

log2 3

21 E = log 1/3 b3 3

E=

Clave D 1 3

l - 3log22 (2)

1 3 log 3 - 3 12 log2 2 3 1 3 SOLUCIONARIO - Unidad 3 83

x -x 25 10 + 10 = 3 x -x

1 E = 3 . (1) - 3 2 . 1 3

10 - 10

10x + 10-x = 3 . 10x - 3 . 10-x 4 . 10-x = 2 . 10x 2 . 10-x = 10x

E = 3 .d 3 n- 3 3 3 E= 3 . 3- 3 3 ` E=0 Clave D 22 Por propiedad:

log24 . 42 . 43 ... 4n = log246 41 + 2 + 3 + ... + n = 46 n (n + 1) & =6 2 n(n + 1) = 3 # 4

Clave A

log3(log2x) = 40 = 1 log2x = 31 = 3 3

x=2

` x=8 Clave E 24 logxlogx + logx - 6 = 0

De (1) y (2) obtenemos la solución: ` x=3 Clave D

28 Dato:

E = colog6 78log2 3 . 81 A

logm . nn = -2

... (2)

E = colog6[27 . 8]

E = logm . n

E = log6 : 1 D 27 . 8

E = logm . n n3 - logm . n 3 m7

E = log6(6-3)

E = logm . nn3/2 - logm . nm7/3

E = -3 log66 = (-3) . 1

E = 3 logm . nn - 7 logm . nm 3 2

Clave D

E = colog6 72log2 27 . 8 A

Nos piden:

` E=-3 Clave B

logx . logx + logx - 6 = 0

27 Resolviendo:

1 1 = log7 4 + log 7 log 7 log (x - 2) log (x + 1)

(logx)2 + logx - 6 = 0 Si: logx = z & z2 + z - 6 = 0 +3 z z -2

log (x - 2) log (x + 1) log 4 = + log 7 log 7 log 7 log(x - 2)(x + 1) = log4 0 z-2=0 0 z=2 . 0 logx = 2 / x2 = 102

` x1 . x2 = 10-3 . 102 = 0,1 Clave B 84 Intelectum Evolución 4.°

... (2)

... (1)

26 E = colog6 78

23 log4[log3(log2x)] = 0

& x>2

logm . nm = 3 logm . nm . n = 1 logm . nm + logm . nn = 1 . 3 + logm . nn = 1

log2 3 + 1 A

` n=3

z+3=0 z=-3 . logx = -3 x1 = 10-3

x 2 = 10-x 10 2 = 102x log2 = log(102x) log2 = 2x . log10 log 2 = x . (1) 2 ` x = 1 log2 2

Además, las bases son mayores que cero: x-2>0 / x+1>0 x>2 / x > -1

& (x - 2)(x + 1) = 4 x2 + x - 2x - 2 = 4 x2 - x - 6 = 0 -3 x x +2 x - 3= 0 0 x + 2 = 0 x=3 0 x = -2 ...(1)

3

n3 m7

Reemplazando (1) y (2): E = 3 (-2) - 7 (3); 3 2 E=-3-7 ` E = - 10 Clave B

Unidad 3

Cerillos

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 196)

5 Se deben retirar 5 palitos.

1 Se debe mover 1 palito.

retirar

retirar

3

6

retirar

3

Clave A 2 Se debe mover 1 palito. Clave C 6 Se deben retirar 3 palitos.

9

3

Clave E

retirar retirar

3 Se deben retirar 2 palitos.

retirar

retirar

Clave D retirar

Clave B

7 Se deben retirar 4 palitos.

4 Se deben mover 3 palitos.

retirar

retirar retirar

Clave C

Clave A

SOLUCIONARIO - Unidad 3 85

8 Se debe mover 1 palito.

Clave B 12 Se deben mover 3 palitos. π 22 7

Clave B

9 Se deben retirar 5 palitos. retirar

retirar retirar

retirar

retirar

Clave D 10

Clave C 13 Se deben cambiar de lugar 1 palito.

Luego se obtiene: Se mueven 2 cerillos.

Clave D

11 Se deben cambiar 4 palitos.

Clave D 86 Intelectum Evolución 4.°

14 Se deben cambiar 4 palitos.

Entonces, ahora la igualdad se verifica.

` Se deben retirar como mínimo dos cerillos.

Clave C

3

Finalmente se obtiene:

6

-

6

0

` Se debe mover como mínimo 1 cerillo

Clave D

4

5

Clave D REFUERZA PRACTICANDO

-

=

2

` Se deben mover 2 cerillos.

3

Clave B

5

NIVEL 1 (página 198)

1 Resolviendo:

2

-

1

` Se debe mover 1 palito.

=

Cuadrado perfecto

1

` Se debe mover 1 cerillo.

Clave A

2 En la expresión observamos que el primer miembro

es 2 más que el segundo.

Clave E

6 1

2

3

4 Retirando un cerillo se puede conseguir que disminuya en 1.

Retirando un cerillo se puede conseguir que aumente en 1.

5

` Debo mover 2 palitos como mínimo.

Clave A

SOLUCIONARIO - Unidad 3 87

12

7

=

100

+

100

-

5

` Se moverán 3 cerillos. +

3

3

Clave A

6 =

` Se moverá 1 cerillo.

5

13

Clave E

8 -

5

=

1

4

` Se moverá 1 palito.

-

7

=

3

-

8

` Se moverá un solo cerillo.

Clave C

14

= 4

Clave D =

3

9

-

6

3

` Se moverá 1 palito. =

` Se moverán 2 palitos.

Clave D

15

1

Clave E

=

-

3

2

` Se moverá 1 palito.

10

Clave E

16 x

x

=

0

#

10

` Se quitarán 2 cerillos.

0

Clave C

NIVEL 2 (página 199)

` Se moverán 3 cerillos.

Clave B

11 17

5

+

3

=

6

` Se moverá 1 palillo.

88 Intelectum Evolución 4.°

2

Clave E

90

=

` Se moverán 2 palitos.

95

-

5

Clave C

18

` Se moverán 2 cerillos.

` Se moverán 2 palitos.

Clave D

19

Clave B 25

x =

4

-

10

x

x

6

` Se moverá 1 cerillo.

x

Clave B

` Se deben retirar como mínimo 4 cerillos.

NIVEL 3 (página 200)

Clave C 26

20

` Se agregan 5 cerillos.

Clave D

21

` Se deben quitar 8 cerillos.

Clave A

27 Se debe pensar en una figura en tres dimensiones:

` Se debe quitar 1 cerillo.

Clave C

22

` Para un tetraedro regular, se necesitan 6 cerillos.

Clave E

5

+

=

1

28 Se foma un cubo:

6

` Se deben mover 2 cerillos.

Clave E

23

` Se forman 6 cuadrados iguales. 12

` Se moverán 2 palitos.

=

12

Clave C

Clave D

29 Formaremos un cubo:

24

` Total de cuadrados: 6 + 1 = 7

Clave B

SOLUCIONARIO - Unidad 3 89

Unidad 4

Razonamiento geométrico

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 210)

6 Convenientemente trazamos la altura BH

BHC, notable de 30° y 60° & BH = 1 BHA es notable de 45° & AH = 1 m   HD = 2 - 1 = 1 m

1 m+ADE = m+DEC (alternos internos)

DDEC es isósceles EC = DC = 6 cm & BE = 10 - 6 = 4 cm B 4 cm E

6 cm θ

x

M

N θ

A

C

10 cm

6 cm θ

A

Clave E

D

3 El triángulo

θ

B

10 cm

A

C

& OC = 4 El triángulo BOC es notable (45° y 45°). ` BC = 4 2 u

B

O

45°

15°

8

C

Clave C 4 DCDE y DAFD son triángulos equilateros.

A

5 DOPT es isósceles

& m+OTP = m+OPT Además: m+AOT = x + x = 2x ATO es isósceles m+AOT = 45°  & 2x = 45°   ` x = 22,5°

F 60°

x 45°

C 60° 45° E

30° 60° 60° D

60°

O

C

T

45° D

21 B

37° 4k

3k 21

45° 45° 3k C

Clave D 10

B

D

 Se traza OT = AD Clave B

90 Intelectum Evolución 4.°

D

Clave D

x

2x x A

x

C

A

4k + 3k = 21    7k = 21 & k = 3 Piden: BD = 5k = 5(3) = 15

Clave C P

θ

Clave E

9 Del gráfico:

B

θ

! ! ! mAB = mBC = mCD = θ θ D Por propiedad C del ángulo inscrito: x ! θ 120° E m+AED = mAD 2 B θ    120° = θ + θ + θ A 2    q = 80° Por propiedad del ángulo interior tenemos: ! !   x = mCD + mBA = θ + θ = 80° + 80° 2 2 2 ` x = 80°

4

45°

30°

ABCD es un cuadrado. DFDE es isósceles & m+DEF = m+DFE = 45° B DFDC es isósceles. & m+DFC = 75°   x + 45° = 75°    ` x = 30°

80° E

8 Sabemos:

4

A

B

Por propiedad del ángulo exterior tenemos: ! ! 2θ - (2θ - 80°)  ` x = 40° x = mAB - mEC = 2 2

Clave E

AOC es notable (30° y 60°)

C

    Clave E

10 cm 2θ

El DADB es notable de 30° y 60°. ` DB = 5 cm

60° 5 B

45° 30° 1m D

2θ

θ θ

D 10

H 2m

m+BAC = m+BCA = q ! ! mAB = mBC = 2θ (áng. inscrito) ! Luego: mEC = 2q - 80°

A

A 30°

45° 1m

2m

7 DABC es isósceles

2 El triángulo BAC es isósceles:

m+BCA = m+BAC En el triángulo ADB: q + 2q = 90°   & q = 30°

x

1m

Observamos que el BHP es notable de 45°. & 30° + x = 45° ` x = 15°

D

ABED (MN = x)

MN es base media del   x = 4 + 10 2 ` x = 7 cm

B

x A

x

O

2x

50°

C

50° + 2x = 90°    2x = 40°     x = 20°

& m+ABC = 90° + 20° = 110°

Clave D

11

5q = 60° & q =12° 3b = 60° & b = 20°  x = 60° + b + 4q  x = 60° + 20° + 4(12°)  x = 128°

A D 3

8

R 3

A

S

C

R B

5

H

4

O

4

P

r

B C

OR: radio AB = 2(OR) AB = 2(5) AB = 10       Clave B

5

D

4

x

B

75°

53° C 37° + x 37° 53° B D

Trazamos convenientemente OC En el cuadrilátero AODC: m+O + m+C = 180° ` AODC es inscriptible & m+ODA = m+OCA = 53° DAOC es isósceles, pues AO = OC = R & 37° + x = 53° ` x = 8°

2a

Clave D

3 20° x 40°

20°

30°

x = 40° + 30° ` x = 70°

Clave B

4

x α β

θ ω

2x

8

I. V III. V 

9

θ

2β

A

x A

60°

4θ

5θ

C

Clave D

II. F  IV. V

Clave A

B

B β

ω

     2a + 2b = 180°       a + b = 90°      2q + 2w = 180°        q + w = 90° a + b + q + w + 3x = 360°         90°  90°  + 3x = 360°         x = 60°

a

AB + BC + CD = AD + 2(r + R) ...(1)

θ

30°

x + x + 30° = 180°    2x = 150°   ` x = 75°

a los triángulos ABC y BCD:

C

Clave D

β

70°

α

7 α

x

a

D

En el AED: ED = a; AD = 2a   entonces: m+EAD = 30°       2a + 30° = 90°          2a = 60°          a = 30°

x

14 Aplicando teorema de Poncelet

Dato: AD = BC + CD ...(2)  AB = 28    ...(3)

A

2

30°

α

a 2α

α

x

β

Clave C

Clave C

AB + BD = AD + 2R   (+) BC + CD = BD + 2r AB + BC + BD + CD = AD + BD + 2(r + R)

2β

b + 2b + 75° = 180°     3b = 105°    b = 35° x + b = 90°    x + 35° = 90°     x = 55°

37° x

E

β

75°

C

H

B

30°

A

O

6

1

Clave D

R

A

Clave A

NIVEL 1 (página 212)

C

ββ E β P

α α

En el DPBE: m+BPE = m+BEP entonces: BP = BE = 8 u

REFUERZA PRACTICANDO

1

Por propiedad de relaciones métricas: AB = 2 9 . 4 = 12 BC = 2 4 . 1 = 4 & x = AB + BC = 12 + 4 = 16 13

8u

Clave A

9

A

B

Reemplazando (2) y (3) en (1): 28 + BC + CD = BC + CD + 2(r + R)      28 = 2(r + R) ` r + R = 14

12

Clave E

θ

2θ

P a H

C

2a x

D

En el PHD: PH = a; PD = 2a entonces x = 30°.

Clave C

SOLUCIONARIO - Unidad 4 91

10 En el DABC notable de 37° y 53°:

AB = 18 = 3(6) BC = 24 = 4(6) AC = 5(6) = 30 Por T. Poncelet: AB + BC = AC + 2r 18 + 24 = 30 +2r   12 = 2r    r = 6

En el DQRS: x + 60° + 70° = 180° x = 50°

18 B

y

b-

2

a−

y m−

2

AB = 6 - 2 = 4 u

Clave E

12 12 u

B 10 u A

6u

8u

C 10 u

H

8

α

E

16

A

C

En el DABE: AB = BE = 8 cm EC = 12 - 8 = 4 cm Luego: x = AD + EC = 12 + 4 = 8 cm 2 2

Clave A

14

m-y+x m

M S

B 4 2θ

A

θ = 60°

M

4

C

70° 60° 70° 40° 60° 60° A Q 60° 70° R

B

A C

S

92 Intelectum Evolución 4.°

A

x

C

Clave A

D 40°

θ

α

E

C

α = 100° - 40° = 30° 2 θ = 100° + 40° = 70° 2

M

AHB: 2a + b + b = 90° 2a + 2b = 90°    a + b = 45°

Clave D

NIVEL 3 (página 214)

21 B

αα

Clave B

D

C

β

β A

H

z

   x + y = 18    y + z = 19 (+)    x + z = 17 2(x + y + z) = 54 x + y + z = 27 cm

C

2α + β

x

z x

B

Luego: AD = AM + MN + ND AD = 4 + 4 + 4 = 12 17

y

x A

100°

AMB: AM = 4 CND: ND = 4

B

T

B y

D

β αα

P

Clave D

19

20

θ

A

E

C

N

30°

O

! mCD = 2m+A = 2(30°) = 60° ! x = mCDE = 60° + 90° = 75° 2 2

q + 2q = 180°   3q = 180°    q = 60°

D

12

+x

8

x

8 α α

y

-y

Clave E

Clave C

B

m

Q

D

En el AHB es notable de 37° y 53° AH = 8 u entonces HD = 12 - 8 = 4 u 13

D

b T

Dato: b - a = 12 AM = MC = m Además: MS = y - x QM = y - x Del gráfico: BQ = BT a-m+y+x=b-m+y-x 2x = b - a x = b - a = 12 2 2 ` x=6u

A B

−x

P x

A m−y R m

6

+y

y

Clave B

m

Clave E

B x P

C

m+

m+

a−

a

11 6

Clave A

15

NIVEL 2 (página 213)

BAM: x + a + b = 90° x + 45° = 90°   x = 45°

H

D

En el DABD; BH es altura y bisectriz, entonces: AB = BD En el DBCD: BD = BC = CD (equilátero) Entonces: b = 60°

Clave E

22

B

     

4x

A

23

C

4x

 

4x

B

D

x

β θ

C

θ

8m

A

24

x

x+θ

E a

B

θ+β

M

a

D

5x

C

53° /2 θ

a

53°/2 2a

25

O

a

29

A

L1 60°

P

θ

15°

Q

Por propiedad, la altura relativa a la hipotenusa en el QPC mide: QC = 4k = k 4 4 En el BNP: m+NBP = 30° En el cuadrilátero BACP: 30° + 2q + 15° = 90°  q = 45° 2 Clave D

a 3

x

a R C 60° a 3 2a

x

60°

O

30° 60° r r 60° 60° C2 C1 r

2

N 3 (x − a) 2

L2

C

4k

B

Clave E

Clave E

Por dato: BP = QC 2

30

En el OPQO' (trapecio) se cumple: x = ab + ba    ` x = 2ab a+b a+b

! mAB = 2m+A ! mAB = 160° & m+AOB = 160°   m+AOC = 20°

B N 30° 2k k θ Pk

b b O'

T

O

! ` x = mAC = 20° = 10° 2 2

Q

x

a

B

C

Clave A P

26

x

θ + 53° + 53° = 90° 2 2    q + 53° = 90°      q = 37°

D

80°

A

Clave B

N

A

28

Clave A

En el paralelogramo ABCD: m+EAB = m+DCB & m+ECB = x En el DEBC isósceles: BC = BE = 8 m

a 2a

  4x + 5x = 90° 9x = 90°  x = 10°

P

2x

5

M

30° A

Del gráfico: C 2 P = L2

D

Sea: AO = 2x / OC = 2a

C1 P = L1 Suma de ángulos agudos: 60° + 60° = 120° 27 x A

Clave C

T x

B

40°

! mAT = 2x & m+TBA = x m+BTC = 90° – x En el DBTC: 40° + 90° – x = x       130° = 2x       x = 65°

C

& BN = a 3 NP = 3 (x - a) 2 En el BPM: a 3 =2 5 3 x-a _ i 2    5a 3 = x 3 - a 3      5a = x - a      x = 6a

En el BRO: 2 22 = x2 + _a 3 i 2 2  4 = (6a) + 3a  4 = 39a2  a = 2 39

` AO = 2x = 12a = 24 = 8 39 cm 13 39

Clave C

Clave C SOLUCIONARIO - Unidad 4 93

Unidad 4

Perímetros y áreas &A=B Entonces:

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 222) 1

B

N

& 16S = 72   S = 4,5

O 4S

S

N S A

S

S

M

4S

S

G

S

M

C

D

Trazamos la otra mediana (CN), entonces G es baricentro del DABC. Por dato: AD ABC = 66 m2

Nos piden:

P

M

4S

S

A

`

S

N

Clave A

P

S

B

O

S

B

Clave B

A

4S S

5 Por relación de áreas:

 6S  = 66 2 S  = 11 m Por lo tanto, el área de la región sombreada mide 11 m2. 2

2S

N

a

C

2a

ATAMN = S =1 ATABC 6S 6

ATAMN 1 = 6 ATABC

Clave E

6 Por relación de áreas en el triángulo. D

B

C

M

Aplicando la propiedad: Y

N

S=

S C

A
L

En el problema:

A
Clave A

A = A2 = pR2 πR2 2 A1 Piden: = 3 2 = πR 2 = 1 A2 3 πR 3πR A1 1    ` = A2 3

B E

θ

S A

a 4 m2

θ

D a 3

α

C

DABC a DDEC

3S a

4.3 = S + 4 12 = S + 4 & S = 8 m2

6S

k 2S 4S S G 2S 2k

3S

Clave C

4 Por propiedad: B

Clave B

7

4 = a2 = a2 S + 4 _a 3 i2 3a2

A

C

Como TABC es equilátero: O es baricentro y circuncentro. El área sombreada es equivalente al A BOC. Sea: 2 2 A  BOC = A1 = 120c . πR = πR 360c 3

S=

3

R S S O 60° 60° S S 30° R S S R 30°

24S = A = a2

A

A

A A

94 Intelectum Evolución 4.°

3S a

2 &S= a 24

Clave B

Del gráfico: NBCD es un trapecio. Por relación de áreas en el trapecio: ATNED = ATBEC = S Por relación de áreas en el paralelogramo:    ATABD = ATBDC A+B+S=S+X   A + B = X `X=A+B

8 6-y

B y

A 6

6

6.y 6-y +d n.6 2 2 = 3y + 18 - 3y

A+B=

A + B = 18 m2 9

Clave C N M a M 53°/2 2a

B 3M

4a

8M

A

P 53° 2

m

S r

2

S+A=

2 π_ r i = πr    ...(1) 2 2

S+B=

2 45c.π _2r i = πr ...(2) 360c 2

2

&S+A=S+B

NIVEL 1 (página 224)

2A

S

2m

B

9S = 9 b 20 l = 60 m2 3

S B

C

S

B S

E

A

S R S

B R 2S

6S

N 6S

Clave C

C

Se cumple: MP = PR = RB Completamos las demás áreas en función del área sombreada. Además: • A BAM = A DCN • A MAE = A NBE & ATNRB = 2S & NR = 2ER / ATDNR = 2ATDRE Por dato: A = 480 m2 24S = 480 S = 20 m2 Por lo tanto, el área sombreada mide 20 m2.

B S P

S

D

gulo:

gramo.

S

P M 2S 2S

R

2(70) = 21S & S = 20 3 Nos piden el área sombreada:

Clave A 11 Por dato ABCD es un paralelo-

E

A 3S

13 Por relación de áreas en el trián-

 A = B ` A =1 B

2S Q S C

2 Por Pitágoras: BC = 28

Clave C

B

2

Por dato: ATABC = 28 m

X

A A

Clave D

REFUERZA PRACTICANDO

Del anterior gráfico: 2A = 21S

Del gráfico:

N

2 A = π d a n & A = b π l a2 2 4 8

ATPQR = 210 3A = 210   A = 70

B A

Por Pitágoras: a2 = (2b)2 + (2c)2 = 4(b2 + c2) 2   a = b2 + c2 4 Por lo tanto:

1

A m

C

2 2 A = πc + πb = π (b2 + c2) 2 2 2

Clave C P

45° r

a

A = A1 + A2

R

2m

b

c

a

7S

Q

10 2r

A

N c 2S B

Por el teorema de Menelao: (AR)(QN)(PB) = (QA)(NB)(PR)   (a)(QN)(m) = (2a)(NB)(3m)     QN = 6(NB) Por relación de áreas:

D

Dato: A  ABCD = 20 Entonces: 20M = 20   M=1 ` A   MAR = 3 cm2

12S

b

B

2a 6c

A2

A A1 c

Q

C

R

3M

Clave A

14

Clave C

12

4M

M

Por lo tanto, el área sombreada mide 4 m2.

D

  7S = 28 S =4

28

21

A

35

C

SOLUCIONARIO - Unidad 4 95

Por Poncelet: 21 + 28 = 35 + 2r   14 = 2r &r=7m   Asomb. = A ABC - A   Asomb. = 21 # 28 - p(7)2 = 294 - 49p 2 ` Asomb. = 49(6 - p) m2 3

A

a

B

2,

a a b lb l 2 2 2 =a 2 8 Como son cuatro las partes simétricas, entonces el área total sombreada será 4 veces esta región.

4S a 2

2 2 ` Atotal somb. = 4(Asomb.) = 4 d a n = a 8 2

C

D

3k

θ

a/2

a/2

Del gráfico:

2 2 2    A1 + A2 + πa + πa = a 16 16 2

C

2 2 & 23S = 23 d a n & 23S = 23a m2 60 60

2 2        A1 + A2 + πa = a 8 2 2 2         A1 + A2 = a - πa 2 8 2 ` A1 + A2 = a (4 - p)    Clave B 8

Clave C

5

8

d/3

d/2 d/3 P

a/2

2 2 πb a l πb a l 2 2 = ab a l A1 + A2 + + 4 4 2

12S

d/6

A A2 1 a

a/2

Clave E

Piden el área sombreada: 23S

A

Clave B

a/2 a/2

2

N

2n

F 3S 3 n α 2k θ M

7

2 a = 60S & S = a 60

9S 4S

2S

Entonces esta parte sombreada es equivalente al área del triángulo:

Del gráfico: A = 60S

20S

,

a/2

Clave D

Asomb. =

  6S = 30   S = 5 Nos piden el área del cuadrado ABCD: & 16S = 16(5) = 80 ` A  = 80 m2

10S

S

3S

Del gráfico, la diagonal es: 4a Por dato: Asomb. = 30 m2

10 n

S a/2

3a

a 3S 45° S a 2 a S a 45° 45° D N a 2

a

a/2

B

M

A

y analizando una de ellas, tenemos:

4S

a 2

4

6 Particionando la figura en cuatro partes simétricas,

d/3 d

Q

B ,-a

d/3

B A

2 2 2 Asomb. = π b d l - < π b d l + π b d l F 2 2 2 6 2 3

,-a

D ,-a 60° ,

C

a 60° a 60°

a

60°

E

 ADCDE = 1 ADABC 4

2 2 2   = πd - < πd + πd F 18 8 72 2 2 2   = πd - 5πd = πd 8 72 18

Clave E 96 Intelectum Evolución 4.°

60°

60°

a2 3 2 3 = 1 _, - a i 4 4 4   4a2 = (, – a)2  (2a)2 = (, – a)2    2a = , – a; a = ,/3

Clave B

9

12

A

A 60°

3 10

2k

k B

30 20 10 B 9 10 M H θ 10 30 3 10 α O N α 10

C

k 3

k + 2k + k 3 = P

P _3 + 3 i

_3 - 3 i _3 - 3 i P 2P . = 3 _3 + 3 i _3 - 3 i

Clave E

10

C

Por Pitágoras: AO = 60 m / MN = 10 10 El OHN ,   DCN & CD = 3 10 Piden el área del rectángulo: A A  = _20 10 i_3 10 i = 20 # 10 # 3 A  = 600 m2

 k(3 + 3 ) = P

Piden: 2k =

D

θ

3 10

10

  3k + k 3 = P      k =

10

Clave C

13 Hay que recordar: En un cuadrado, se cumple:

A

O

Dato: S Sea:

3

cm

C

S

α

2

= 9 cm DB = AC = m m∠AOB = a & S COD = 9 1 a(3)2 = 9 & a = 2 rad 2

COD

A 3S

2 E

A

D

2 15° 2 2 45°

60° 2

 ATEDB =

C

Por dato: A = 240 m2     24S = 240       S = 10 Nos piden: 3S = 3(10) = 30 m2 Por lo tanto, el área sombreada mide 30 m2. 15

C

a a

a

2 _2 2 i _ 6 - 2i . sen15c = 2 2 2 4 2_ 6 - 2i 2 3 -2 = = 3 -1 2 2

` ATEDB = _ 3 - 1 i cm2

2a 6S

Clave D

2

Por la fórmula trigonométrica:  ATEDB =

B 2S

6S

B

2

2S

a S

D

60° 2

S

S

2S

Clave A

11

Clave C

14

Calculo de m: (3+m)a = 10 & m=2 Nos piden: S = S AOB - S COD S = 1 (2)(5)2 – 9  ` S = 16 cm2 2 NIVEL 2 (página 225)

ST 20

S

ST: área total del cuadrado Entonces, sea ST = 20S AS = 7S = 7 S T 20S 20

B

D

3ST 10

6S

10 cm

Clave B

a

a

r

a

a a

a

Del gráfico: a 2 = a + r & r = a 2 - a Asomb. = A - 4A - A 2

Asomb. = (2a)2 - 4 d πa n - p _a 2 - a i 4

2

SOLUCIONARIO - Unidad 4 97

Piden el área no sombreada: 6S & 6S = 6 _2 3 i = 12 3 cm2

Asomb. = 4a2 - pa2 - pa2 _3 - 2 2 i Asomb. = 4a2 - 4pa2 +2 2 πa2

` Asomb. = 2a2(2 - 2p + π 2 ) m2

Clave B

16

P

F a 150° c 60° 60°

E c

c

C

S

Clave E

A

2A

A

2   8A = a 2 2 ` 4A = a 4

a

18 B B B B B B 1 2 B B B B n B B B B B n n n n n a

A

A

2 2 15 b a l = L2 & L2 = 3a 5 5

Clave B

L

...(2)

4

2S

S2 S C

Del gráfico: DPBC es un trapecio. Por relación de áreas en el trapecio: ATDEC = ATPEB = S Como ABCD es un rectángulo, entonces:   A DAB = A BCD S1 + S3 + S = S + S 2     S3 = S2 - S1 Por dato: S2 = 21 m2 / S1 = 12 m2 ` S3 = 21 - 12 = 9 m2

A

60° 60° 60° O

S

S 1

S

S

S

4

2 Del gráfico: 2S = 4 3 & S = 2 3 4

98 Intelectum Evolución 4.°

  O

1

A = A - AT 4

1A

S

4 S

Clave C

S

S

2S

O

E

D

1 O1 60° 60° 1 60°

Clave A 4 60° 4 2S 60° 60°

S

22 La figura presenta simetría, entonces:

` L = a 15 m 5

19

B

S3

...(1)

Además: 5n = a & n = a 5 Reemplazando (2) en (1):

Clave D

P

L

15(n2) = L2

R

S1

& Se deduce: 15B = A

4

T

NIVEL 3 (página 227)

Del gráfico:

A

2S

6

Nos piden: S = m.n ...(I) 2 Pero en el DQTR por propiedad de triángulo rectángulo: 62 = m . n ...(II) Reemplazamos (II) en (I): S = 36 = 18 cm2 2 21

A

A

n V

a

A

A

Q

m

a

ADABC = 32 ac = 32 & ac = 64 ...(1) 2 Por condición del problema: ADEBF = kADABC   ac sen150° = k(32) 2     64 1 = k(32)   ` k = 1 2 2 2

2A

m S

Dato:

17

Clave B

20 Sean: PQ = PS = m también: QV = n

2 2 A = 60c . 1 . π - 1 . 3 360c 4 3 π ...(1) A= 6 4

60º

1

Pero también, el A = b . h   A + B + 50 = b . h …(2) Reemplazando (2) en (1):   A + B = A + B + 50 2 2(A + B) = A + B + 50 & A + B = 50 Por lo tanto, el área de la región sombreada mide 50 m2.

También: 2

S

A A 1

60°

60°

π _1 i 2 π  S + 4A = …(2) 2

& S + 4A =

A

A

1

Reemplazando (1) en (2): S + 4d π - 3 n = π 6 4 2

Clave C

 S = 3 - π 6 Nos piden: 6S & 6S = 6 b 3 - π l = 6 3 - π 6 Por lo tanto, el área sombreada mide _6 3 - π i m2.

25

A

B

Z

x

P D 8

A

y

M

C

N

2

3 A1

Clave A

h

D

&A+B=

(+) b . h1 2 b _h1 + h2 i 2

b _h i 2

A2

2 3

A1 + Ax + A2 = & A+B=

3

B

A1 = π - 3 3 2 Se cumple:

b . h2 & A = 2   B =

Ax

30° =α 30° = α 3

O

A2 = 3 # 3 = 3 3 2 2 2 30c _2 3 i π 3 # 3 A1 = A - A = 360c 2

C

20 m2

A 30°

A

h1

Clave C

3

b

26

2

b

30 m2 A

r B

` Asomb. = p(4) = 4p m2

h2

B

P r

Asomb. = π (2Rr) = pRr …(2) 2 Reemplazando (1) en (2):

Por propiedad: Z = x & Z = 10 3 8 y 8    Z = 80 3 Luego: ADABC = 3ADMBN ADABC = 3(Z + 8) = 3 b 80 + 8 l = 3 b 104 l 3 3 ADABC = 104 cm2 B

R

Asomb. = π (R2 + 2Rr + r2 - R2 - r2) 2

Por teorema de Menelao: (3m)(x)(n) = (5m)(y)(2n)    3x = 10 y     x = 10 3 y Asombreada = 8 cm2

24

R

Por relaciones métricas en el triángulo rectángulo: (OP)2 = (2R)(2r) = 4Rr   42 = 4Rr & Rr = 4 …(1) Del gráfico: 2 2 2 π _R + r i Asomb. = - πR - πr 2 2 2

Clave D 23

O

...(1)

2

60c _2 3 i π 360c

π - 3 3 + A x + 3 3 = 2p ` Ax = p m2 2 2

Clave D

SOLUCIONARIO - Unidad 4 99

27

29

D 26 u

3u A

16°

C A

B

r

2A

7u

A

r

B

2r

A

A

A 2r

O

B

2

Del gráfico: 2A + B =

B

2A + B = pr2 - 2r2

ABC notable de 16° y 74°: ` AC = 25 DADC (Fórmula de Herón)

π _2r i _2r i_2r i 4 2

Nos piden: 4A + 2B = 2(2A + B)

P = 3 + 26 + 25 & p = 27 2 Luego: ADADC = 27 _27 - 3 i_27 - 26 i_27 - 25 i ADADC = 27.24.2 ` ADADC = 36 u2

Clave E

& 2(2A + B) = 2(pr2 - 2r2) = 2pr2 - 4r2 Por dato: 4r = 6 & r = 3 2 2 2 Asombreada = 2(2A + B) = 2π b 3 l - 4 b 3 l 2 2 ` Asombreada = 9 (π - 2) m2 2

Clave D

30 Del problema:

28 R M

A B A r

3 = 1 ,2 3 4

R

 , = 2

M

Del gráfico:       2A + B = pr2 2 & A = πr - B 2     M + A + B = pR2 2   M + πr - B + B = πR2 2 2M + pr2 - B + 2B = 2pR2      2M + B = 2pR2 - pr2     ` 2M + B = p(2R2 - r2)

100 Intelectum Evolución 4.°

A

15° 15°

a

D

Recordando el

a

B

,=2 3

, 75°

F

45°

C

de 15° y 75°: 4

De lo anterior:

45° ,

15° 6+ 2

Clave B

75° 60° E

75°

6- 2

a= 6 + 2 2 SABCD = a2 ` SABCD = 2 + 3

Clave B

Unidad 4

Análisis combinatorio

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 235) 1 (x + 4)(x + 3)(x + 2)! = 5040

& (x + 4)! = 5040 = 7! &x+4=7          x = 3

358! 2009! 2! R = 359 # 358! + 2010 # 2009! + 3 # 2! 358! 2009! 2! R = 359 + 2010 + 3 R = 2372

12 16 equipos y formar 5 primeros puestos

3!

0!

L = 7 # 6 # 5! - 6 # 5! + 6 # 5 # 4! - 5 # 4! + 4! 5! 5 # 4 # 3! - 4 # 3! + ... + 1 3! L =6 # 6 +5 # 5 +4 # 4 +3 # 3 +2 # 2 +1 L = 91 4 120 # 12024! = 5!(4!)! # (5 + x)!

120 # 12024! = 12024! # (5 + x)!       120 = (5 + x)!       5! = (5 + x)!      & x = 0 ` (x + 2)! = 2! = 2

5

C34

0 1 roja 0 3 blusas

6 faldas   0 1 morada   0 5 faldas

7 C10 4 = 210 ensaladas 8 C38 = 56 9 Importa el orden:

5 banderolas y señales con 2 banderolas. 5! P25 = = 20 _5 - 2 i !

25

14 8 miembros = 5H + 3M 5 C10 5 # C3 = 252 # 10 = 2520

REFUERZA PRACTICANDO

Clave A

Clave C

8 líneas aéreas 6 líneas terrestres 4 rutas marítimas Como se pueden utilizar solo una ruta: 8 + 6 + 4 = 18    Clave C

2 6 pantalones

4 camisas 3 pares de zapatos & 6 # 4 # 3 = 72 formas de vestir

Clave D

3 Ruta de A a B (directo) = 4

Ruta de A a B pasando por C = 3 # 4 = 12 & 12 + 4 = 16

4 10 < a b < 100 Clave A

 

. . 8 #7 = 56 números

Clave C

Clave B

Clave A

5 C68 = 28

Clave B

6 10 participantes y elegir a los 4 primeros lugares.

Clave C

P 410 = 5040 Clave B

10 Con 5 notas diferentes se pueden componer:

5 # 4 # 3 # 2 # 1 = 120 melodías.

13

1 Lima " Piura Clave E

    Clave C

3 # 5 = 15 & 15 + 1 = 16

Clave A

C25 + C53 + C54 =

NIVEL 1 (página 237)

= 4! = 4             Clave A 1!3!

6 4 blusas

Clave C

Si Cienciano sale siempre campeón & Quedan 15 equipos y 4 puestos restantes.     & P 415 = 32 760

Clave D

3 L = 7! - 6! + 6! - 5! + 5! - 4! + ... + 2! - 1!

4!

3! De 2 cifras: P24 = 4! = 4 # 3 = 12 2! De 3 cifras: P34 = 4! = 4 # 3 # 2 = 24 1! & 4 + 12 + 24 = 40

Clave E

2 R = 359! + 2010! + 3!

5!

11 De 1 cifra: P14 = 4! = 4

Clave B

7 Intercambiando el orden de sus elementos:

P8 = 8!

8 Importa el orden:

P37 = 210

Clave A

Clave B

Clave E SOLUCIONARIO - Unidad 4 101

9 CREMA ordenamientos

diferentes: (5 letras) = 5! = 120

10 6 teclas de un piano

20 5 personas en:

Clave B

libres, juntos

& Se pueden sentar de:  6! = 720 formas

Se eligen 3 simultáneamente. P36 = 120

Clave D

NIVEL 2 (página 238)

NIVEL 3 (página 238)

Clave D

12 10 invitados en 2 grupos de 5.

C10 5 = 252

14 Cifras: 1; 2; 3; 4; 5 y 7 & 6 cifras

forman 4 números de cifras diferentes. 6! & P 46 = = 360 _6 - 4 i ! Clave D

Clave D

22 Como un punto es el vértice fijo,

debemos unir con dos puntos de los 11 puntos restantes. 11 # 10 = 55 C11 2 = 2 Pueden formarse de 55 maneras.

15 4 personas se ubican en 7

Clave A 23 BLANQUIAZUL (11 letras)

& Permutación con repetición: 11! P211; 2; 2 = = 11! 8 2! # 2! # 2! Clave C 24

asientos. Importa el orden: P 47 = 840

16 Importa el orden:

P36 = 6 # 5 # 4 = 120     3 factores

17 n = 5

Clave E H

Clave D

26

19 12 equipos

& Partidos en total con 2 ruedas: C12 2 # 2 = 132 Clave E

102 Intelectum Evolución 4.°

Clave B

para sentarse en una mesa circular. PC(4) = (4 - 1)! = 3! Luego, las 3 integrantes siempre juntas también pueden alterar en su posición. & 3! ` Total = PC(4) # 3! = 3! # 3! = 36

posibilidades: 2 Luego quedan 5 asientos para que se sienten las 3 personas restantes: P35

Clave C

H

25 Existen 4 posiciones diferentes

18 Para el timón hay solo 2

# 2 = 120

Tomamos como elemento fijo al asiento vacío y a sus costados las chicas pueden ubicarse de 2 maneras diferentes.

P2 . PC4 = 48

Clave C

Clave B

` Total =

H H

k = 2 (director y subdirector) P25 = 5 # 4 = 20     2 factores

P35

M

M

1.a preg 2.a preg 3.a preg ... 10.a preg 2! # 2! # 2! # ... # 2!   10 veces

= 2!10 = 210 = 1024

una persona debe recibir 2 premios y las demás un premio cada una. Luego, esto se da de C24 = 6 maneras, pero como son premios diferentes, el número total de maneras es: 3! # C24 = 6 # 6 = 36

153 & Como los partidos son de ida y vuelta: 2 # 153 = 306

13 De 6 frutas preparar ensaladas de

Clave C

Clave D

C18 2 =

Clave E

3 frutas. & C63 = 20

 

21 18 equipos

11 5 personas ubicadas en 5

asientos: P5 = 5! = 120

27 Del enunciado se deduce que

1.° 2.° 3.° 4.° 5.°

Clave C

Clave A 28 Realizar señales con 5 banderas

diferentes. P15 + P25 + P35 + P 45 + P55 5 + 20 + 60 + 120 + 120 = 325

Clave D 29 Las maneras que se pueden

tomar cuatro de ellas es: 4 pares: 1 manera. 2 pares y 2 impares: C24 # C24 = 36 maneras

4 impares: 1 manera Por lo tanto: Existen 38 maneras diferentes de tomar cuatro de ellas. Clave C 30 Elegir:

2 ingenieros de los 5 ingenieros. 2 arquitectos de los 4 arquitectos. & C25 # C24 = 60 Clave B

Unidad 4

Probabilidades

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 244) 1 A = {3}; n(A) = 1; P(A) = 1

6 B = {4}; n(B) = 1; P(B) = 1 6 W = {1; 2; 3; 4; 5; 6} & n(W) = 6 Como: A+B=Q & P(A , B) = P(A) + P(B) P(A , B) = 1 + 1 = 1 6 6 3

2 A = {2; 3; 5}; n(A) = 3; P(A) = 3 = 1

P=

4 1.er dado 2.° dado

. 6

#

. 6

= 36 resultados

5 W = {CC; CS; SC; SS}

A: obtener sello aunque sea una vez. A = {CS; SC; SS} n _A i 3 & n(A) = 3  ` P(A) = = n _Ω i 4 6

B A R . . . {6; 8; 7} R: extraer un lapicero rojo & n(R) = 7 n(W) = 6 + 8 + 7 = 21 ` P(R) =

n _R i

n _Ω i

Clave D

Clave A

P(B/A) = casos a favor = 3 casos totales 10 ` P(A + B) = P(A) . P(B/A) = 5 11

#

3 = 3 10 22

Clave C

Clave B

10 W = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1),

Clave C

= 7 =1 21 3 Clave A

Obtener una tuerca: C13 Obtener un tornillo y una tuerca: C26 Por lo tanto, la probabilidad de sacar un tornillo y una tuerca es: C13 # C13 C26

A = {CCS; CSC; SCC} & n(A) = 3 El espacio muestral (W) debe tener: 2 # 2 # 2 = 8 elementos n _Ai 3 Es decir: n(W) = 8 ` P(A) = = n _Ω i 8 Clave E 9 3 peruanos 3 bolivianos 5 colombianos A: el colombiano llega 1.° P(A) = casos a favor = 5 casos totales 11 Dado que llegó un colombiano primero, quedan todavía 10 participantes en carrera. B: el peruano llega 2.°

7 Obtener un tornillo: C13

P=

Clave E

8 A: obtener dos caras y 1 sello

3 P(C) = x & probabilidad de ganar de “C”

& P(C) + P(B) + P(A) = 1 & x + 2x + 4x = 1 & x = 1   ` P(C) = 1 3 3

3! 3! nd n # 1! 2! # 1! = 3#3 6#5 6! d 4! 2! n 2 #

P= 9 15

6 2 B = {S}; n(B) = 1; P(B) = 1 2 Como ocurren simultáneamente, entonces: P(A + B) = P(A) . P(B) = 1 . 1 = 1 2 2 4 Clave E. P(B) = 2x P(A) = 4x Luego:

d 2!

(2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)}

n(W) = 36 A: obtener 10 puntos A = {(4; 6), (5; 5), (6; 4)} n _Ai & n(A) = 3 ` P(A) = = 3 = 1 n _Ω i 36 12

Clave B

11 A: 1.° que llegue sea hombre

B: 2.° que llegue sea hombre C: 3.° que llegue sea hombre 3 + 4 = 7 hijos mujeres hombres P(A) = 4 7 3 + 3 = 6 hijos mujeres hombres P(B/A) = 3 = 1 6 2   3 + 2 = 5 hijos mujeres hombres SOLUCIONARIO - Unidad 4 103

P(C/A + B) = 2 5 ` P(A) . P(B/A) . P(C/A + B) = 4 7

REFUERZA PRACTICANDO #

1 2

#

2 = 4 5 35

NIVEL 1 (página 246)

1 e: se lanzan dos dados al aire

Clave E 12

2R R B W: la canica cae en el círculo mayor B: la canica cae en el círculo mayor, pero no dentro del círculo menor. Se observa que el número de elementos del suceso es directamente proporcional al área. n(W) DP p(2R)2 = 4pR2 n(B) DP (4pR2 – pR2) = 3pR2 ` P(B) = 13

n _B i

n _Ω i

= 3 = 0,75 4

4

& n(W) = 36 A: al escoger 2 números la diferencia positiva entre ellos es 3. A = {(1; 4), (2; 5),(3; 6), (4; 7), (5; 8), (6; 9)}

14 Obtener un tornillo: C13

Obtener una tuerca: C13

Por lo tanto, la probabilidad de sacar un tornillo y una tuerca es:

P=

C13 # C13 C26 3! 3! d 2! # 1! nd 2! # 1! n 6! d 4! # 2! n

5 6

7 8

Clave A

Obtener un tornillo y una tuerca: C26

P=

3

Clave A

A = {(1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (1; 7), (1; 8), (1; 9), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (2; 7), (2; 8), (2; 9), (3; 4), (3; 5), (3; 6), (3; 7), (3; 8), (3; 9), (4; 5), (4; 6), (4; 7), (4; 8), (4; 9), (5; 6), (5; 7), (5; 8), (5; 9), (6; 7), (6; 8), (6; 9), (7; 8), (7; 9), (8; 9)}

& n(A) = 6 n _A i ` P(A) = = 6 =1 n _Ω i 36 6

2

W = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6)} n(W) = 36 A: la suma de puntos es 7. A = {(1;6),(2;5),(3;4),(4;3),(5;2),(6;1)} n(A) = 6 ` P(A) = 6 = 1    Clave C 36 6 n.° de casos favorables = 18 ` P = 18 = 1    Clave D 36 2 n.° de casos favorables = 12 ` P = 12 = 1 36 3 Clave E e: se lanzan 2 monedas W = {(S; C), (C; S), (C; C), (S; S)} n(W) = 4 A: salen dos caras = {(C; C)} n(A) = 1 ` P = 1    Clave A 4 n.° de casos favorables = 1 `P= 1    Clave B 4 n.° de casos favorables = 2 `P= 2 = 1 4 2 Clave C Si se saca una papeleta: `P= 8 = 2    Clave C 20 5 Si se extraen dos paletas una tras otra: ` P = 1 - 12 . 11 = 62 20 19 95 Clave A

9 W = {0; 1; 2; 3; ...; 20} & n(W) = 21

A: nota impar menor que 14. A = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13} & n(A) = 7   P(A) =

n _A i

n _Ω i

= 7 =1 21 3

   Clave B

10 n(Ω) = 280

= 3#3 = 9 15 6#5 2

104 Intelectum Evolución 4.°

A: obtener múltiplos de 4: 5 y 6 Múltiplos de 4; 5 y 6 en la sucesión: A = {60; 120; 180; 240} & n(A) = 4

Clave E

` P(A) =

n _A i

n _Ω i

= 4 = 1 280 70

Clave C

NIVEL 2 (página 247)

11 A: extraer una esfera azul

n(A) = 3 n(W) = 4 + 3 + 2 = 9 n _A i 3 1 P(A) = = = n _Ω i 9 3 Piden: P(A') = 1 – 1    ` P(A') = 2      Clave D 3 3 12 A: salga un sello A = {CCCS; CCCSC; CCSCC; CSCCC; SCCCC} & n(A) = 5 n _A i n(W) = 25 = 32 ` P(A) = = 5 n _Ω i 32 Clave D 13 A: obtener un resultado en el 1.er dado mayor que

el resultado del segundo dado. A = {(2; 1), (3; 1), (3; 2), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)} n(A) = 15 n _A i P(A) = = 15 = 15  ` P(A) = 5 12 n _Ω i 6 # 6 36

14 Es un experimento con reposición.

Clave A

n(W) = 1 + 1 + 1 = 3 A: sacar una tarjeta verde. n(A) = 1 Por lo tanto, la probabilidad de que en la primera y la segunda vez saque una tarjeta verde es: P(A) . P(A) = 1 # 1 = 1 3 3 9 Clave A 15 e: escribir un número de dos cifras. W = {10; 11; 12; ...; 99} & n(W) = 90 A: el número sea múltiplo de 12. A = {12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96} n _A i n(A) = 8 ` P(A) = = 8 = 4    Clave A n _Ω i 90 45 16 A: 1.a sea de color rojo

B: 2.a sea de color azul Total de esferas: 7 + 3 + 4 = 14 P(A) = 7 = 1 14 2 Quedan: 6 + 3 + 4 = 13 esferas P(B/A) = 4 13 Por lo tanto, la probabilidad que la 1.a sea roja y la 2.a azul es: P(A) . P(B/A) = 1 # 4 = 2 2 13 13 Clave B

` P(A) = 720 = 5          Clave A 7776 54 18 Sean: A: obtener una cara.   B: obtener un número par. Donde: A = {C} & n(A) = 1 P(A) = 1 2 B = {2; 4; 6} & n(B) = 3 P(B) = 3 = 1 6 2 Como son eventos independientes, la probabilidad de obtener una cara y un número par es: P(A + B) = P(A) . P(B) = 1 # 1 = 1    Clave B 2 2 4 19 3 hermanas + 3 amigos = 6 personas Las hermanas siempre deben estar juntas, entonces se les considera como un solo elemento: Tendremos una permutación de 4 elementos: 4! = 24 Pero hay que tener en cuenta que las hermanas pueden permutar de lugar, así tendremos: 3! . 24 = 144 ordenamientos favorables. n.° de ordenamientos en total de las 6 personas: 6! = 720 Por lo tanto, la probabilidad de que las hermanas estén siempre juntas es: 144 = 1 720 5 Clave B 20 A: Juan la visite & P(A) = 4 5 B: Pedro la visite & P(B) = 2 3 C: Alberto la visite & P(C) = 3 7 La probabilidad que ese día se encuentren los 4 amigos es: P(A) . P(B) . P(C) = 4 # 2 # 3 = 8 5 3 7 35 La probabilidad de que nadie la visite es: P(A’) . P(B’) . P(C’) = 1 # 1 # 4 = 4 5 3 7 105 Por lo tanto, la probabilidad de que alguien la visite es: 1 – 4 = 101 105 105 Clave B NIVEL 3 (página 248)

21 Por dato suponemos que la probabilidad de que un

dardo caiga sobre una superficie es proporcional al área de esta, entonces: Asector amarillo = Asector blanco = A

17 A: obtener números diferentes

1.er 2.° 3.er 4.° 5.° n(A) = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 = 720 Casos totales = 65 = 7776

V: constante

h SOLUCIONARIO - Unidad 4 105

M: el dardo cae en el sector rojo P(M) –––––– A 1 –––––– 2A  ` P(M) = A = 1 2A 2 22 A: se escoge 10 fotos al azar.

28 W = {1; 2; 3; 4; 5; 6} & n(W) = 6

Clave D

n ( A) = 10 = 1 n _Ω i 100 10 B: obtener la foto especial. n(A + B) = 1 n _A + B i P(A + B) = = 1 100 n _Ω i n(A) = 10 & P(A) =

` P(B/A) =

P _A + B i P _A i

1 100 = 0,1 = 1 10

23 A: resulten 4 caras y 4 sellos

C74

B: obtener un número primo. B = {2; 3; 5} & A + B = {3; 5} & n(A + B) = 2 n _A + B i 2 1 P(A + B) = = = 6 3 n _Ω i ` P(B/A) =

Clave C

C84

= 35 # 70 = 490 1287 6435 C15 Clave D 8 24 Una reina y un rey pueden sacarse cada uno de C14 = 4 maneras. Dos cartas cualesquiera pueden sacarse de C252 maneras. C4 # C4 Luego: P = 1 52 1 = 4 # 4 = 8 1326 663 C Clave C P(A) =

#

2

25 Evento A: selección de 3 miembros en los que

exactamente hay 2 químicos & P(A) =

C14

#

C39

C25

= 4 # 10 = 10 84 21

Clave B

26 n(W) = 29 = 512

A: obtener al menos 3 caras. C39 : n.° de veces que salen 3 caras exactamente. C94 : n.° de veces que salen 4 caras exactamente. h C99 : n.° de veces que salen 9 caras exactamente. C9 + C94 + C59 + C69 + C79 + C98 + C99 & P(A) = 3 512 P(A) = 466 = 233 512 256

Clave C 27 A: obtener tres caramelos (uno de cada sabor).

n(A) = C15

#

C14

#

C12 = 5 . 4 . 2 = 40

W: obtener 3 de los 11 caramelos n _A i n(W) = C11 = 40 = 8 3 = 165 ` P(A) = n _Ω i 165 33

Clave E

106 Intelectum Evolución 4.°

A: obtener un número impar A = {1; 3; 5} & n(A) = 3 n _A i 3 1 P(A) = = = n _Ω i 6 2

P _A + B i P _A i

1 = 3 =2 1 3 2

29 A: obtener números diferentes.

Clave D

A = {(1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 4), (3; 5), (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 5), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5)} & n(A) = 30 n _A i 30 5 P(A) = = = n _Ω i 36 6 B: la suma es impar B = {(1; 2), (1; 4), (1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5), (3; 2), (3; 4), (3; 6), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (5; 2), (5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 3), (6; 5)} A + B = B & n(A + B) = n(B) = 18 n _A + B i 18 1 & P(A + B) = = = 36 2 n _Ω i 1 P _A + B i 2 ` P(B/A) = = = 3      Clave B 5 5 P _A i 6 30 A: obtener 3 caras B: obtener una suma igual a 11 A = {CCCS; CCSC; CSCC; SCCC} & n(A) = 4 B = {(5; 6), (6; 5)} & n(B) = 2 W1: espacio muestral de lanzar 4 veces una moneda & n(W1) = 24 = 16 W2: espacio muestral de obtener una suma igual a 11 & n(W2) = 62 = 36 n _A i & P(A) = = 4 =1 n _Ω1 i 16 4 & P(B) =

n _B i = 2 = 1 n _Ω2 i 36 18

Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 3 caras y una suma igual a 11 es: P(A) . P(B) = 1 # 1 = 1     Clave D 4 18 72

Unidad 4

Lógica proposicional

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 256) 1

p

q [(p 0 q) &

q] , q

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

II. (ap 0 aq) + (p / q) F V F    V    F 0  V  + F  V + F / F III. (ap 0 ar) & (p / ar)    F 0 F   V / F   F &  F / V

Clave D

Clave D

6 Elaborando la tabla de verdad para cada esquema:

I.

2  

p

q

a (p 0 q)

0 aq

p

q

t (p T t)

& (q & t)

V

V

F

V

F

F

V

V

V

F

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

F

V

F

F

F

V

F

V

F

F

V

F

V

F

V

V

F

F

V

F

V

V

V

F

F

V

V

V

F

V

V

V

V

V

q

r

F

V

F

F

V

F

V

V

V V

F

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

F

V V

V

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

F

F

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

F

` 7-1=6

Clave C

3 s & t / F; r / s / F ; q 0 r / V

V F F  V p+q/F

II.

V F

4 [(r 0 aq) / (p 0 s)] & (a r 0 q) / F

Clave B

La condicional es falsa cuando el antecedente es V y el consecuente F. Luego: (a r 0 q) / F

F F ` q/F y r/V 5 [(ap 0 q) 0 ar] / F

   Clave B

La disyunción débil es falsa cuando ambas proposiciones son falsas. Luego: ap 0 q / F ; ar / F

 F F V p/V;q/F;r/V Reemplazando: I. (p / r) & (p 0 q) V/V & V 0F    V & V / V

q] , q

III. p

F V Luego: p / F; q / V; r / F; s / V y t / F

[(q 0 ar) /

q

r

a [aq / (p 0 q)] & (ap 0 r)

V V V

V

F F

V

V

F

V V

F

V

F F

V

F

F

F F

V

F

V

F

V V

V

V

F

V V

V

F

F

F

V V

V

V

F

F F

F

V V

V

F F

V

V

V

V V

F

V

F

V

F F

V

V

V

V F

F

F

V

V

V F

F

V

V

V V

F

F

F

V

V F

F

V

V

V F

7 Reemplazando los valores:

V V

Clave B

I. (p 0 q) / ar V F   V  V  /  V / V II. [(p 0 q) / (q 0 r)] 0 r  (V 0 F) / (F 0 F)] 0 F  V / F F    0 F / F III. [(p / r) 0 aq] / ap [(V / F) 0  V] / F [ F 0  V] / F V / F / F

Clave C

SOLUCIONARIO - Unidad 4 107

8 Elaborando la tabla de verdad:

p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r [(p & q) V V F V V F F F V V F V V V F V

/ (aq 0 r)] V F V V F F F F F V V V F V V F V F V V F F F F V V V V V V V F

2

& (ap 0 r) V F V V V F F F V F V V V F F F V V V V V V V F V V V V V V V F

/ a[a(ap 0 aq) 0 aq] 0 q / a[ (p / q) 0 aq] 0 q / [a(p / q) / q] 0 q / q 0 [ q / a(p / q)] /q

4

/ [(ap / q) & aF] / aq / [a(ap / q) 0 V] / aq / V / aq / aq

Clave A

11 a{(p / q) 0 [p / (ap 0 q)]}

a{(p / q) 0 [(p / ap) 0 (p / q)]} a{(p / q) 0 [ F 0 (p / q)]} a{(p / q) 0 (p / q)}     a(p / q) q: Ana viaja Luego: [(p 0 q) & ap] & q

Clave C

q: Luis tiene dinero Luego: [(q & p) / aq] & ap

q V F V F

(ap F F V V

   Clave C

0 (p + q) V V F F V F V V    Clave D

q) V F V F

0 V F V V

p

aq F V F V

/ F F F F

& (aq & ap) V F V F V V F F V F V V V V V V

` Es una tautología.

   Clave E

/ aq) + a (ap 0 q)

q

(p

V V

V

F

F

V

F

F

V V

V

F

V

V

V

V V

F

F

F

V

F

F

F

V

F

V

V V

F

F

F

F

V

V

F

V

V

F F

q: Giuliana es feliz r: Giuliana es joven Luego: [(p / aq) / (q 0 r)] & p

Clave B

6

p V V F F

Clave B

14 p: Giuliana es bonita

q aq & V F V F V F V F V F V V

[(p & q) / ap] V F F F F F V V V V V V

` Es una contingencia.

Clave A

Clave C

7

REFUERZA PRACTICANDO

p

NIVEL 1 (página 258)

1

(p 0 q) + (ap & q) V V F V V V V F V F V V V V V F V V F F

108 Intelectum Evolución 4.°

q] V F V F

0 V F V F

` Es una tautología.

13 p: Luis va al cine

` Es una tautología.

5

[(p / q) V F F F

p q (p & q) V V V V F F F V V F F V ` Es una contingencia. p V V F F

Clave B

12 p: Ana trabaja

q V F V F

` Es una contradicción.

Clave B

10 [(ap / q) & a(r / ar)] / aq

q V F V F

3

Clave D

9 a[(ap 0 aq) & aq] 0 q

p V V F F

p V V F F

   Clave A

q)

/ aq]

&

ap

V V

q [(p & V

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

V

V

F

F

V

F

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

V

` Es una tautología.

Clave D

13 (p & q) & r

8

p V V F F

q V F V F

(p / q) V F F F

/ F F F F

(p V V F F

& aq) F F V V V F V V

` Es una contradicción.

FoV

V

V Clave A 14 (p 0 q) + (ap / aq) Clave E

V

F

 V

9

p V V F F

q V F V F

a(p F V F F

& q) + a (aq V V F F F F F V V F V F V V F V

` Es una contingencia.

0 p) V V V V F F V F Clave B

NIVEL 2 (página 258)

p= V (p & aq) = F & q=V

Clave C

15 (p / q) & (p / r)

V

V

F

 ? F No se puede determinar, depende del valor que toma q. 16 p / (q & r)

(ar & as) = F & r = F s= V Al reemplazar se tendrá:

?

V

V No se puede determinar, depende del valor que tome p.

a(aq 0 as) & ap    F  F

Clave A 17 Se sabe que: p & q / ap 0 q, luego, aplicando esta

F V

F   

F

Clave A

11 Del problema 11:

a(ar / s) & (ap & q)   V V F V    V F V V

Clave E

12 Del problema 11:

V

V

Clave E

18 Se sabe que: p & q / ap 0 q, luego aplicamos esta

propiedad dentro del corchete:

a(p 0 q) 0 (ap / q); Condicional

F

(ap / aq) 0 (ap /q); Distritutiva

F V

ap / (aq 0 q); De complemento ap / V

V F      F

propiedad dentro del corchete: a[(p / aq) 0 p] 0 q     Conmutativa a[p 0 (p / aq)] 0 q     Absorción a[p] 0 q / ap 0 q / p & q

[(p 0 q) & (ap / q)]

p & a [q & a(s & r)]

V

F

Clave D

10 Del problema

 

F

ap Clave B

Clave B SOLUCIONARIO - Unidad 4 109

25 Pablo atiende en clase: p

NIVEL 3 (página 259)

19 Llueve: p

Hace sol: q Los gallos cantan: r Simbolizando: ar & (ap 0 aq)

Pablo estudia en casa: q Pablo fracasa en los exámenes: r Pablo es aplaudido: s Simbolizando: (p / q) 0 (r / as)

   Clave C

20 Llueve: p

Hace sol: q Los gallos cantan: r Simbolizando: (p / ar) 0 (q / ar)

Pablo estudia en casa: q Pablo fracasa en los exámenes: r Pablo es aplaudido: s Simbolizando: (p / q) + a(r / as)

Clave D

21 Las estrellas emiten luz: p

Los planetas reflejan la luz: q Los planetas giran alrededor de las estrellas: r Simbolizando: (p 0 q) / r

q: y = 2 r: z = 3 s: w = 0 Simbolizando: {[(p / q) & r] / [(q & r) & s] / p} & s

22 Las estrellas emiten luz: p

Los planetas reflejan la luz: q Los planetas giran alrededor de las estrellas: r Simbolizando: p & (q / r)

Clave D

23 Pablo atiende en clase: p

Clave E

24 Pablo atiende en clase: p

Clave E 28

p

q

pFq

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

F

a (p / q)

Se nota que: p F q / a(p 0 q) / ap / aq También nótese que: p F q / q F p; r f r / ar

Pablo estudia en casa: q Pablo fracasa en los exámenes: r Pablo es aplaudido: s Simbolizando: a(p / q) & (r 0 as)

Luego: (p F q) F (q F p) / (p F q) F (p F q) / a(p F q) / a[a (p 0 q)] / (p 0 q) Clave C

110 Intelectum Evolución 4.°

Clave E

27 p: x = 1

Clave E

Pablo estudia en casa: q Pablo fracasa en los exámenes: r Pablo es aplaudido: s Simbolizando: (ap 0 aq) & (r / as)

Clave A

26 Pablo atiende en clase: p

Clave B

Unidad 4

Psicotécnico

ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO (página 265)

1

   OP  RS  UV     1; N; 3; Q; 9; T; 27; W; 81 # 3  # 3  # 3 # 3

Clave C

2 Ayer: -1

Mañana: +1 Anteayer: -2 Pasado Mañana: +2 -1 - 2 - 1 + 2 = martes - 1        - 1 = martes & Hoy es miércoles +1 +2 + 1 - 2 = + 2 ` Pasado mañana es viernes.

Clave D 3 El número inferior de la izquier-

da elevado al número de la derecha resulta el número superior. 22 = 4 ; 32 = 9 ; 15 = 1; 31 ! 6; 23 = 8 Clave D

4

10 El triángulo y la circunferencia

giran en sentido horario de la siguiente manera: :

2;

1;

2

:

2;

1;

2

El recuadro tramado avanza en sentido antihorario de la siguiente manera: :

2;

1;

Clave C

6 Las figuras 2 y 4 son congruentes. Clave B 7 Inicialmente:

y un cuarto del cuadrado se trama alternadamente. La figura que sigue es: Clave E

4 La figura 5 no continúa la

secuencia de tramados.

2

La figura que continúa es:

línea quebrada interior tiene (n – 1) lados. Por lo tanto, sigue la figura:

Clave B

Clave C Clave B

6 La figura se refleja horizontal-

mente, entonces sigue la figura:

12 Sigue la figura:

   Clave C 13 El círculo baja una posición de una

figura a otra. A partir de la cuarta figura la secuencia se repite. La flecha de una a otra figura tiene sentido opuesto a la vez que avanza una posición a la izquierda. Clave D

Clave C 7 Las figuras en la sucesión son

simétricas horizontalmente.

Clave E

8 Se nota que los giros son de 45°.

14 Las secuencias son:

1.a: X0 4.a: X0000 5.a: X00000 2.a: X00 3.a: X000 Por lo tanto, en los recuadros vacíos corresponde: X00

La figura que sigue es:

Clave E

Luego:

REFUERZA PRACTICANDO

= 17

Clave C 8 Tanto la circunferencia pequeña

como la figura interna giran en sentido antihorario.

Clave B 9 Las figuras interiores de las

NIVEL 1 (página 267)

= 17

figuras 1 y 3 alternan en la misma diagonal. Por lo tanto, la figura alternada de la figura 2 es:

1 La figura gira en sentido horario.

Entonces, sigue:

Clave A 2 El sector circular sombreado gira

está interiormente se ubica exteriormente; entonces la figura que sigue es:

en sentido horario. De la 1.a a la 2.a figura el sector circular avanzó dos posiciones, de la 2.a a la 3.a avanzó tres posiciones, de la 3.a a la 4.a, cuatro posiciones y así sucesivamente.

   Clave E

Clave C

   Clave C 9 En cada gráfico, la figura que

Clave E

5 El polígono tiene n lados y la

11 Sigue la figura:

  Clave D

5

3 La figura gira en sentido horario

Clave B 10

3 líneas

4 líneas

5 líneas

6 líneas

Entonces, sigue la figura con siete líneas. Clave C

SOLUCIONARIO - Unidad 4 111

17 Las cuatro figuras interiores giran

NIVEL 2 (página 268)

11 Las figuras van avanzando en

sentido horario, entonces la figura que sigue es:

en conjunto en sentido horario, pero además el triángulo y la elipse dan un giro horario de 90° de una posición a otra.

+

Clave C 12 El producto de los números

de la parte inferior es igual al número de la parte superior. El 1.er número inferior disminuye de 2 en 2. El 2.o número inferior aumenta de tres en tres. La figura que continúa es: 24 2 12

Clave E

sentido antihorario. Sigue la figura: Clave C

25 Todas las figuras están formadas

por dos letras A, excepto la figura 2.

18 El punto avanza una posición

en sentido horario. El cuadrado avanza en sentido antihorario una posición, luego dos, luego tres y así sucesivamente. La figura que continúa es:

Clave D

26 El

triángulo sombreado se desplaza en sentido horario una posición de una figura a otra. La figura que sigue es:

Clave E

Clave A

13 La figura gira 180°. La que sigue es:

24 Se nota que la figura gira en

19 Se observa que el tramado

Clave E 27

avanza de la siguiente manera:

Clave B

,

,

,

,

14 Considerando la cantidad de

2

3

4

5

Simetría horizontal e intercambio de filas

Clave B

líneas:

Sigue una simetría horizontal y luego un intercambio de filas.

20 Analizando la primera analogía,

la figura que sigue es:

La figura que continúa debe tener 11 líneas.

Clave A

a bd c e

28 La cuerda 3 es diferente a las Clave A

NIVEL 3 (página 270)

15 Observando las formas y el

21 Se nota que la 2.a figura es la

sentido de la trama, sigue la figura:

mitad de la 1.a, entonces la siguiente figura es:

Clave B

Clave D

16 De una figura a otra la circunfe-

rencia pasa de ser circunscrita a inscrita. Sigue la figura:

Clave C

©

22 Todos los gráficos tienen cinco

líneas excepto el quinto gráfico.

Clave E

23 Todas las figuras tienen cuatro

demás.

Clave B

29 La figura 2 tiene cuatro regiones

tramadas mientras que las demás solo tienen 3 regiones tramadas. Clave D

30 El tramado en la primera y

tercera figura es opuesto. Entonces, el tramado opuesto a la segunda figura es:

regiones excepto la figura 5.

Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor. RUC 20545774519 Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima Teléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 Fax: 330-2405 E-mail: [email protected] www.editorialsanmarcos.com

112 Intelectum Evolución 4.°

Clave B

Clave E

Impresión: Editorial San Marcos, de Aníbal Jesús Paredes Galván Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, Lima, S.J.L. RUC 10090984344

Clave C