Equações Exponenciais Diferentes.docx

1) Resolver a equação exponencial abaixo 𝑋

𝑋

(√5 + 2√6) + (√5 − 2√6) = 10 𝑋

𝑎 = (√5 + 2√6)

√5+2√6 Segue que√5 − 2√6 = √5 − 2√6. √5+2√6

√52 −(2√6)2

√5 − 2√6=

√5+2√6

=

1 √5+2√6 𝑋

𝑋

1

(√5 − 2√6) = (

√5 + 2√6

)

1

𝑎 + = 10

A equação fica:

𝑎

𝑎2 + 1 = 10𝑎 →

𝑎2 − 10𝑎 + 1 = 0

∆= (−10)2 − 4.1.1= 100 – 4 = 96 → √∆=√96=4√6

𝑎=

10 ± 4√6 = 5 ± 2√6 2 𝑋

1)

(√5 + 2√6) = 5 + 2√6

→X=2

2)

(√5 + 2√6) = 5 − 2√6 =

1 = 5+2√6

Conjunto solução: S = { -2, 2}

−1

(5 + 2√6) → X = -2

2) Resolver a equação exponencial X X XX

49

7

= 77

76

7

7

= √7 X

=7

X 49

√7

6

76

7−1 .77

= (7

49 7

7

= √7 7

7

= √7

√7

√7

77 7−1

)

49

= 77

= 7−1 . 77

=

7 1 7 (77 )

49 7

= ( √7)

49

49

 X = √7 7

Elevando a 49 ambos os lados 49 49

( 𝑥𝑥 ) (𝑥 49 )𝑥

49

6 49

= (77 )

= (77 )7

𝑥 49 = 77 𝑥 = (7

1 7 )49

1

7

𝑥 = 77 = √7

7

6

6

= (749 )7 = (77.7 )7

6

77

7 7

= ( √7)

√749

3) Se X X

49

6

−4

= 77 e y √y = √4

Calcule S= X 7 + 8√y a) Elevando a 49 ambos os membros XX

49

= 77

6 49

49 49

( 𝑥𝑥 ) (𝑥 49 )𝑥

49

6

= (77 )

= (77 )7

6

= (749 )7 = (77.7 )7

6

7

𝑥 49 = 77 (𝑥 7 )7 = 77 7

𝑥 7 = √7 7 𝑥7 = 7 −4

b) y √y = √4 8

4

−4

1

16

−4

√4 = √4−1 = √4−2 = √4−4 = (4−4 )16 = (4−4 )2

Extraindo a raiz quadrada em ambos os lados √y √y √y

√y

−4

= √ √4 =

√(4−4 )2−4

−4

= (2−4 )2

√y = 2−4 y = (2−4 )2 = 2−8 4

4

√y = √√y = √2−4 = 2−1

8

8

√y =

1 2

S = X 7 + 8√y = 7 +

1 = 7,5 2

=

√4−4

2−4

4) Uma nova EQUAÇÃO EXPONENCIAL A equação abaixo possui pelo menos duas soluções racionais. Determine o conjunto solução. −𝑋

𝑋 3

7 + 3√5 (√9 + 4√5) + (√ ) 2

=2

−𝑋

𝑋 3

7 + 3√5 (9 + 4√5) + ( ) 2 9 + 4√5 =

18+8√5

1+√5

2

2

=(

=2

6

) = 𝜑6

7+3√5 1+√5 4 =( ) = 𝜑4 2 2 A equação fica: 𝑋 6 (𝜑 ) 3

+ (𝜑4 )−𝑋 = 2

𝜑2𝑋 + 𝜑 −4𝑋 = 2 Faça𝜑2𝑋 = y → 𝑦 + 𝑦 −2 = 2 𝑦+

1 𝑦2

= 2 →𝑦 3 + 1 = 2𝑦 2

𝑦 3 − 2𝑦 2 + 1 = 0→ (𝑦 − 1)(𝑦 2 − 𝑦 − 1) = 0 i) y – 1 = 0 → y = 1 ii) 𝑦 2 − 𝑦 − 1 = 0 → 𝑦 = → 𝑦′ =

1+√5 2

= 𝜑 e𝑦 ′′ =

1±√5 2 1−√5 2

=

−1 𝜑

 Se y = 1 →𝜑2𝑋 = 1→X = 0  Se 𝑦 = 𝜑→𝜑2𝑋 = 𝜑1 → 2X =1 →𝐗 =  Se 𝑦 =

−1 𝜑

→𝜑 2𝑋 =

Conjunto solução:S=

1

−1 (não convém) 𝜑

{0, } 2

𝟏 𝟐

5) Encontrar o valor da expressão 3

3

𝐸 = √2 + √5 + √2 − √5 3

1 + √5 2 + √5 = ( ) = 𝛼3 2

1 + √5 2

𝛼=

3

1 − √5 2 − √5 = ( ) = 𝛽3 2

𝛽=

1 − √5 2

3

3

3 3 𝐸 = √2 + √5 + √2 − √5 = √𝛼3 + √𝛽3 = 𝛼 + 𝛽 =

=

1 + √5 1 − √5 1 1 + = + =1 2 2 2 2

2 + √5 =

8+4√5 5+3+3√5+√5 √5.√5+√5+3+3√5 = = 4 4 4

√5.(√5+1)+3.(1+√5) 4 8+4√5 4

2 + √5 = Donde

=

3+√5 6+2√5 2

=

4

(√5+1).(√5+3) 1+√5 3+√5 =( ).( ) 4 2 2

1+√5

3+√5

2

2

=(

=

Por analogia 2

2

− √5 = (

).(

)

6+2√5 5+1+2√5 = 4 4

1+√5

Logo:2 + √5 = (

=

1+√5

).(

2

2

=

1+√5

) =(

1−√5

1−√5

2

2

).(

2

(√5+1) 4

2

2

) =(

3

)

1−√5 2

3

)

1+√5

=(

2

2

)

6) Encontrar o valor da expressão 3

7 − 3√5 (2 + √5) − ( ) 2 4

E=

√5 3

1 + √5 2 + √5 = ( ) = 𝛼3 2

𝛼=

1 + √5 2

4

7 − 3√5 1 − √5 =( ) = 𝛽4 2 2 Fórmula de Binet:

E=

Fn =

(𝛼 3 )4 − (𝛽4 )3 √5

Série de Fibonacci: Fn

∴ 𝐄 = 𝟏𝟒𝟒

𝛽=

1 + √5 2

𝛼 𝑛 −𝛽 𝑛 𝛼−𝛽

𝛼 12 − 𝛽12 = = F12 = 𝟏𝟒𝟒 𝛼−𝛽

= {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, 𝟏𝟒𝟒, … }

7) Encontrar o valor de y3x , sendo: 1

x

x9

= √3√3 ;y = x

[ 𝑦𝑥 ] 𝑦

1º) Encontrar x

√3

x x 9 = √3 Elevando a 9 ambos os membros:

√3

x9 9

9

(x ) = (√3 ) = (√3) 3 3√3

9

x 9x = (√3 )

9√3 3

3 √3

9

(x 9 )x = (√3 )

3

3

x 9 = √3 (x 3 )3 = √3 x 3 = √3 3

6 x= √√3  x = √3 2º) Encontrar y em função de x

y=x 𝑦

𝑦𝑦

𝑥

1 [ yx ] y

𝑦

𝑦𝑦

𝑥

= [𝑥

1 x yy

𝑦𝑦

𝑥

]

=𝑥

Seja z = 𝑓(x) = 𝑦 𝑥 ,A função composta𝑓(𝑓(𝑓(x)): 𝑓(𝑓(𝑓(x)) = y 𝑓(𝑓(𝑥)) = y 𝑦 Se 𝑓(𝑓(𝑓 (x))

𝑓(𝑥)

= 𝑦𝑦

𝑦𝑥

=x

= 𝑥, por definição 𝑓(x) = 𝑓 −1 (𝑓(x)) = x

𝑓(x) = x  y = x  y = x x

3º) Encontrar y 3x

y 3x = (y x )3 = x 3 = √3

1 x

8) Resolver a equação abaixo 𝑥−1

√√2 + 1.

√2 − 1 =

𝑥+1

16

√√2 − 1 = √17 + 6√8

(√2 − 1). (√2 + 1) √2 + 1

16

=

1

= (√2 + 1)

√2 + 1 16

16

−1

2

 √17 + 6√8 = √9 + 8 + 2.3√8= √(3 + √8) = 8

√3 + √8 = 8

2

8

4

= √1 + 2 + 2√2 = √(√2 + 1) = √√2 + 1 A equação fica: 𝑥−1

√√2 + 1.

(√2 + 1) (√2 + 1)

𝑥+1

1 𝑥−1

√(√2 + 1)

. (√2 + 1)

1 −1 𝑥−1+x+1

−1

−1 x+1

1

4

= √(√2 + 1)

= (√2 + 1)

= (√2 + 1)

1 4

1 4

1 −1 1 + =  4(x + 1) − 4(x − 1) = (x + 1)(x − 1) 𝑥−1 x+1 4 x 2 − 1 = 4x + 4 − 4x + 4 = 8 x2 = 8 + 1 = 9 x = √9  x = 3(Letra B)

9) Se e4 + e−4 = 47, determine o valor de e+1 e2 + 1 7 −6 A = √( ) (e + e ) − 3 ( ) e e Note que 47 é o termo de ordem 8 da série de Lucas: L(8) = 47 Lucas:L(n) = {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843...}  L(8) = 47 Fibonacci: F(n) = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...} F(8) = 21 𝜑n =

L(n)+F(n).√5 2

𝜑8 =

L(8)+F(8)√5 2

𝜑8 + 𝜑 −8 = Logo,

1+√5 e 2

, onde𝜑 = =

𝟒𝟕+𝟐𝟏√5

L(8)−F(8)√5

2

2

47+21√5 2

𝜑2n + 𝜑 −2n = L(2n)

+

e𝜑 −8 =

47−21√5 2

=

𝟒𝟕−𝟐𝟏√5 2

= 𝟒𝟕= L(8) confirmando a propriedade

e4 = 𝜑8  e = φ2 e =

3+√5 2

e+1

1º)( ) . (e7 + e−6 ) = (1 + e−1 )(e7 + e−6 ) = e7 + e−6 + e6 + e −7 e = = (𝜑2 )7 + (𝜑2 )−7 + (𝜑2 )6 + (𝜑2 )−6 = 𝜑14 + 𝜑−14 + 𝜑12 + 𝜑 −12 = = L(14) + L(12) = 843 + 322 = 1165 2º)

e2 +1 e

= e1 + e−1 = 𝜑2 + 𝜑 −2 = L(2) =3

A = √1165 − 3.3 = √1165 − 9 = √1156 = 34(Letra A)

10) Se x x2

√x

xx

1

= , simplificar

𝑥 x2

x x2

2

(2x)x −xx+1

=

(2x)x −xx+1 x x x2

√x (2x)x−xx+1

=

(2x)x xx+1 x − x x x2 x2

= =

2x .1 1.x x 2 −2

1 =( ) 2 =

1 22

−

1 2

=

1 2x −x 2 (x ) 1 −1 2

1 = [( ) ] 2

= √2

=

1 x−2x −2 (x )

x

=(

x x) 𝑥2

1 −2

=

2x .xx xx .x1 x − x x x2 x2