Trabajo De Matemáticas.docx

Trabajo de matemáticas 1.

En este laboratorio vamos a realizar un estudio de los sistema de ecuaciones diferenciales para un modelo de especies competitivas y cooperativas, el modelo competitivo describe básicamente que la interacción entre determinadas especies trae consecuencias positivas para ambas, llegando al punto de que una especie dependa de la otra para seguir su proceso de desarrollo, por otra parte tenemos que el modelo competitivo es un sistema donde las especies que actúan allí salen dañadas por la interacción entre ellas, el hecho de que desaparezca una especie beneficia a la otra. Atreves de Este estudio se realizará por medio del análisis de campos vectoriales y del plano fase, y la manera como se compartan las posibles soluciones a través del plano fase con las gráficas x(t) y y(t)

1-Este sistema es cooperativo, debido a que los signos presentes en el producto xy que representa la interacción entre ambas especies es positivo en ambas ecuaciones, por lo que ambas especies salen beneficiadas por la interacción entre ellas. Donde el termino x para la primera ecuación representa la variación de la especie x con respecto al tiempo y donde el coeficiente y representa para la segunda ecuación la variación de la especie y con respecto al tiempo, X,Y son variables dependientes y t es la variable independiente. 2. se visualiza el campo de direcciones del sistema, con Los puntos de equilibrios (0,0) y (3/2, 4/3) y por medio de los cuales se puede formar la curva separatriz, la cual limita todas las posibles soluciones del sistema.

Explicar procedimiento para sacar las soluciones de equilibrio.

Comportamiento con las condiciones iniciales x0=0 y y0=0 Si x0= 0 la ecuación 1 desaparece por lo que x(t)=0 satisface 1, a su vez la ecuación 2 se reduce a dy/dt =-3y, lo cual implica que especie y declina exponencialmente cuando no esta presente la espacie x con coeficiente de decrecimiento -3 y por lo cual dicha especie tiende a cero.

Si y0=0 la ecuación 2 desaparece por lo que y(t)=0 satisface 2, de la misma manera que en el análisis anterior, la ecuación 1 se reduce a dx/dt=-4x y por la especie x declina exponencialmente cuando no hay presencia de la especie y con coeficiente de decrecimiento -4 y por lo cual también tiende a cero.

Curvas en el plano fase a lo largo de las cuales el campo vectorial es horizontal y vertical. Horizontal

X<0, x’>0 Vertical

x>0,x’<0

Y<0, y’>0 y>0,y’<0

3. Curvas en el plano fase 1)

Se puede apreciar que en la curva solucion con punto inicial (2.4, 0.5) la especie X decrece exponencialmente hasta extinguirse, mientras que la especie Y crece por un corto periodo de tiempo, y finalmente decrece hasta dejar de existir.

Es evidente que como una especie depende de la otra, entonces si una especie muere, la otra especie tendera a desaparecer sin importar que en un inicio alguna de las dos haya crecido significativamente. 2)

Se evidencia que en esta curva solucion con punto inicial (0.5, 4), las especie x crece exponencialmente hasta el infinito, mientras que la especie y decrece por un corto periodo de tiempo, y posteriormente empieza a crecer de manera exponencial. Se puede concluir que cuando una especie es muy pequeña, la otra especie va atender a declinar por un pequeño periodo de tiempo, y cuando la especie inicial empieza a crecer de manera exponencial, por ende la especie que estaba desapareciendo tambien empieza a crecer casi de la misma manera que la otra.

Este sistema es competitivo, debido a que los signos presentes en el producto xy que representa la interacción entre ambas especies es negativo en ambas ecuaciones, por lo que ambas especies salen perjudicadas por la interacción entre ellas. Donde el termino x para la primera ecuación representa la variación de la especie x con respecto al tiempo y donde el coeficiente y representa para la segunda ecuación la variación de la especie y con respecto al tiempo, cabe destacar que los términos X,Y son las variables dependientes y t es la variable independiente. 2. En esta grafica se visualiza el campo de direcciones y lo puntos de equilibrio propios del sistema, los cuales son (0, 0), (0, 7 / 3), (5 / 2, 0), (13 / 10, 3 / 5) y por medio de los cuales se pueden trazar las curvas separatrices para las posibles soluciones en este sistema competitivo. Hallar los puntos

Procedimiento para hallar los puntos de equilibrio. Comportamiento con las condiciones iniciales x0=0 y y0=0 Para cualquier condicion inicial, en la cual x=0 sucederan dos eventos, el primero si x=0 y Y<7/3, las soluciones tenderan a crecer hasta acercarse a dicho punto de equlibrio (7/3,0) donde la solucion es constante, el segundo evento cuando x=0 y Y>7/3, donde las soluciones decrecen hasta aproximarse al mismo punto de equilibrio, donde la solucion es constante.

Para la condicion inicial y=0, suceden dos eventos. Si y=0 y x<5/2, entonces x’>0 y por lo tanto las soluciones que esten por debajo de ese punto, tenderan crecer hasta acercarse al punto de equilibrio (0,5/2), por otro lado si y=0 y x>5/2 por lo tanto x’<0, lo que signica que las soluciones que esten por encima de 5/2 decrecera hasta aproximarce a el punto de equilibrio anteriormente mencionado.

Se puede evidenciar en los anteriores casos que independientemente de que una especie se extingue, hay otros factores que intervienen para evitar que la otra especie siga creciedno ya que estas siempre van hacer constantes.

Curvas en el plano fase Puntos para las curvas fase (3,2.5)

Se puede evidenciar en las graficas que la solucion con una condicion inicial de (3,2.5) al ser un sistema competitivo, en un inicio las especies empiezan a decrecer simultaneamente, hasta llegar a un punto donde una especie se ve mas afectada por la interracion entre ambas, por lo cual decrece exponencialmente hasta desaperecer, mientras que la otra especie se fortalece y tiende a crecer hasta aproximarse al punto de equilibrio (0,7/3), el cual representa un tope de creciemiento.

Punto (4,1.5)

para una solucion que comience en (4,1.5) , se puede apreciar que la especie x decrece por un breve periodo de tiempo posteriormente empieza a ascender hasta acercarse al punto de equilibrio (5/2,0), logrando de esta manera permanecer constante por un tiempo indefinido, por otra parte la especie y, debido a su baja tasa de poblacion, empieza a decrecer exponencialmente hasta desaparecer. Punto (0.3,0.2)

Para una solucion con condicion inicial (0.3,0.2) se puede apreciar que la especie x crece por un corto lapso de tiempo y finalmente desaperece, mientras que la especie y crece hasta acercarse al tope en el punto de quilibrio (0,7/3)

Punto (0.5,0.1)

Se puede visualizar en la grafica con condicion inicial (0.5,0.1) que las dos especies empieza a crecer por un periodo de tiempo corto, a continuacion se evidencia que la especie Y debido a su minoria de poblacion empieza a decrecer hasta extinguirse, con la otra especie ocurre lo contrario, crecen hasta alacanzar su tope de (5/2,0) Se puede concluir que en este tipo de sistemas competitivos siempre se obtiene como resultado la subsistencia de una sola especie, ya que una de las dos siempre saldra mas afectada que la otra en las interacciones entre ambas, ya sea por que pierden en mayoria de poblacion, o porque alguna de las dos tiene menos posibilidades de alimentarse de la misma presa de manera mas efectiva.